第六章整数规划

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运筹学课件第六章-整数规划3

物品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价格 15 45 100 70 50 75 200 90 20 30
设变量xij为第i个物品是否放在第j个包裹中
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3
• 保证需求约束
x11 + x21 + x31 = 450 x12 + x22 + x32 = 275 x13 + x23 + x33 = 300 x14 + x24 + x34 = 350
} 项目1 } 项目2 } 项目3 } 项目4
最大供应量 525 450 550
约束条件：
厂家1一旦向某项目供应水泥，其至少供应量为150。厂家2对单个项目供应量超过200吨的项目数不大于1。总产量=450 厂家3仅接受 200, 400, 和 550 吨这三个规格的货单。
1 中锋 1.93 2 中锋 1.91 3 前锋 1.87 4 前锋 1.86 5 后卫 1.80 6 后卫 1.85
配送计划模型
• 某建筑公司为完成4个工程项目，需要从3个厂家购买水泥，有关成
本如下
厂家1 厂家2 厂家3 需求量(吨)
项目1 $120 $100 $140 450
水泥的吨运费
项目2 $115 $150 $95 275
xi
0, 不携带第i件物品 1, 携带第i件物品 (i
1,2,, m)
m
max z ci xi i 1
m

ai xi
a
st.
i 1 m
bi

《运筹学》第6章整数规划

整数规划（Integer Programming，简称IP），是要求全部或部分决策变量为整数的规划。整数规划分为线性整数规划和非线性整数规划。本章只介绍线性整数规划，简称为整数规划。
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司）以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司在武汉设立分公司在长春建配送中心在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题

第六章整数规划(应用运筹学)

x2≥3
线性规划B6 Z5=6 x1=0 , x2=3
z6
z 6
§3 0—1规划Binary integer programming
当我面临是与非两种选择时，我们可以用决策变量取0或1值来表示这样的决策，这样，地j个是非决策问题可以表示成
if decision j is yes, 1 如果决策是 xj if decision j is no 0 如果决策是非
x2 3 2 1 2x1+3x2 =6 o 1 2 3 4 x1 2x1+3x2 =14 2x1+3x2 =14.66
得到线性规划的最优解为x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。由图表可看出，整数规划的最优解为x1=4, x2=2,目标函数值为14。
性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最大目
B0
max z =x1+2x2 s.t. 2x1+5x2 ≤ 15 2x1－2x2 ≤5 x1 , x2≥0
x2为整数的限制条件，得规划B0对应的最优解与最优值如下，而 X=(0，0)为A0 3 的可行解 B0 13 3 T 11 X (3 ,1 ) , z 6 14 7 14
2x1＋5x2=15
(1)每求出一次符合整数的解，都要考虑修改下界
函数值最大者为新的下界 (2)修改
z
，选整数解的目标
z
0
z ，找出所有未分枝问题目标函数值最大者，为新的上界 z 当改变完上、下界 z ，z 后，若 z ＝ z，则所有分枝均已查明，得到 A
的最优解，若
z＞ z
，则说明仍有分枝未查明，返回到第四步
分枝定界法
分枝定界法步骤

6第六章整数规划(3-4节)

max z 7 x1 9 x 2 6 x1 3 x 2 x 3 x 4 35 7 x1 x 2 x 、x 0，整数 1 2
x 3 6 x1 3 x 2 x 4 35 7 x1 x 2
第36页
将上式代入割平面约束：
优解为止。
第2页
一、割平面的概念
通过举例来阐述割平面的概念。
例：
maxz 7 x1 9 x 2 x1 3 x 2 6 7 x1 x 2 35 x 、x 0，整数 1 2
第3页
x1
C 3
2 D
B A 4
5
7
x2
可行域：ABCD
1 1 最优解：C点，其坐标为 ( x1 , x2 ) (4 ,3 ) 2 2
第27页
解：（1）利用单纯型法求解原问题的松弛问题 B ：
cj
CB XB b
7
x1
9
x2
0
x3
0
x4
θi
9
7
x2
x1
7/2
9/2
0
1
1
0
7/22
-1/22
1/22
3/22
c j– z j
0
0
-28/11 -15/11
第28页
（2）构造割平面约束 x1 = 9/2 = 4 + 1/2 x2 = 7/2 = 3 + 1/2
N
4
5
7
x2 Q
割去的部分 EFGCE 中不包含任何整数解。
第6页
新增加的线性约束条件切割掉了原问题可行域的一
部分，但该可行域内不包含任何整数可行解，所有

整数规划

15
16
1、0-1整数规划的应用
¾ 投资分析
关于固定投资的资金预算决策是一个是或否的决策，其表达形式如下：每个是或否的决策：是否应该在固定投资项目上投资？
决策变量
=
⎧1， ⎩⎨0，
是否
17
¾ 选址
每个可选地点的选择都是一个是或否的决策，其表达形式如下：每个是或否的决策：是否应该选择该地建新设施？
引入N个辅助0-1变量yj。
yj
=
⎧0, ⎩⎨1,
if Constraint j is chosen if Constraint j is not chosen
2、产品互斥的约束以及xj和yj关系的约束 y1+y2≤1 x1 ≤ My1 x2 ≤ My2
3、决策变量的约束
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 且为整数； y1, y2都是0-1变量。
41
42
7
该问题的整数规划模型为：
Max s.t.
z=300x1+500x2 x1≤ 4
2x2 ≤ 12 3x1+2x2 ≤ 18
6
1
每架飞机的年利润飞机的单位购价最多购买数量
小型飞机
$100万 $500万
2
大型飞机
$500万 $5000万
−
可获得的资金总额
$1亿
问题：为了获得最大的利润，公司应该购买多少飞机，各种型号又该如何组合呢？
7
整数规划模型：
决策变量： S=购买小型机的数量 L=购买大型机的数量
Max Z=S+5L （百万美元） s.t. 5S+50L≤ 100
5
6.1 范例
例1、TBA航空公司

运筹学第六章整数规划第一讲整数规划数学模型与纯整数规划的求解

项目所需资金（万元）收益期望值（万元）
A B C D E
6 4 2 4 5
10 8 7 6 9
A，B，C，D，E 之间的关系是： ① A、C、E 三项中需且只能选一项； ② B、D 两项中需且只能选一项； ③ 选 C 必须先选 D 。问题：如何选择投资决策，使总投资期望值最大？
6.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP
① 求解LP : 如果LP无最优解, 则IP无最优解;
设LP的最优解为x , 最优值为z , 则IP的最优值z * 满足 :
z z* z
其中 z 为IP在任何一个可行解处的目标值.
② 检验与分支：
如果x 满足IP的整数要求, 则x为IP的最优解：z* z . 否则考虑一个不满足整数要求的xr , 将约束
示不安排第i人去做 j工作。逻辑变量也是只允许取整数值的一类变量。
整数线性规划数学模型的一般形式：
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1 n
要求一部分或全部决策变量取整数值
n a ij x j bi ( i 1.2 m ) j 1 x j 0 (j 1.2n) 且部分或全部为整数
xr xr 和
xr xr 1
分别加入LP形成两个子问题 a] ([
不超过a的最大整数)
6.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming
Ch6 整数规划 Integer Programming
n
max
z cj xj
j 1
ij j
不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。

第六章整数规划(2012)

割平面法cutting plane approach 构造切割方程的步骤： 2、将（2 式）代入（1 式）得： xi + ∑ Nik xk - Ni = fi - ∑ fik xk ……………………（3 式） 3、提出变量为整（当然含非负）的条件：由于（3 式）中等式左边需整，而 0 ＜ fi ＜ 1 ，故有 fi - ∑ fik xk ≤ 0 ……………………（4 式）此即为所需切割方程。
16
第三节割平面法
割平面法cutting plane approach 构造切割方程的步骤：（1）切割方程 fi - ∑ fik xk ≤ 0 真正进行了切割，至少把非整数最优解这一点切割掉了。证明：（反证法）假设松驰问题的最优解 X* 未被切割掉，则由 fi - ∑ fik x*k ≤ 0，又因为 x*k = 0，（因 x*k 为非基变量）有 fi ≤ 0 ，这与 fi ＞ 0 矛盾。（2）不会切割掉任何整数解，因为切割方程是由变量为整的条件提出的。
该整数规划松弛问题的解为：（X1 ，X2 ）= （3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
7
第二节分支定界法
分支定界法图解整数规划
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6 B1：解（2，23/9 ） Z11 = 41/9 B2 Max 松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0 B1 Max Z = X 1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X1 ， X2 ≥ 0 Z = X 1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≤1 X1 ， X2 ≥ 0

整数规划

问题可分为两部分：选择哪些城市作为配货中心如何安排运输计划首先考虑后一个问题：已经选定了 m 个配货中，如何安排运输计划。假设从配货中心 i 运往连锁店 j 的物资数量为 xij，Z 为单位时间内的总费用。则上述问题可归结为如下的数学模型：
min Z cij xij
子模型 (P6) 无可行解
至此，已将所有分枝的子模型求解完毕，当前新的下界值相应的解，是现行最好的整数可行解，也就是原整数规划问题的最优解为： x1* = 1，x2* = 3。最优目标函数值为 z = 75。
z
z
整数解 (1, 3) 最优值为 75

整数解 (2, 2) 最优值为 70
注：图 3.3.3 中的子模型 (P3)、(P4)、(P5) 不再分枝，并不是说它们分枝后不可以找到新的整数可行解，而是表明：即使找出新的整数可行解也不会优于目前最好的整数可行解，其目标函数值不会大于目前的下界值，这些可行解已被全部隐含枚举了。实质上，分枝定界法是一种隐枚举法 (Implicit Enumeration)。
相应地，模型 (P0) 的可行域被分成两个相应的子域 R1 和 R2。
显然，被抛去的非阴影区域内(2 < x1 < 3)不含有原问题的整数可行解。
3. 将子模型 (P2) 暂时记录下来，待求解。先求解子模型 (P1)，得最优解为 x1 = 2，x2 = 2.67，最优值 z = 83.3。
引例 3.2.2 (选址问题)某商业连锁集团拟在 n 个连锁店所在城市中建立 m 个配货中心，每个城市最多建立一个配货中心。若在第 i 个城市建立配货中心，其配货能力为 Di，单位时间的固定成本为 ai，i =1, …, n，第 j 个连锁店的需求量为 bj，j =1, …, n。从第 i 个配货中心到第 j 个连锁店的单位运输成本为 cij。应如何选择配货中心位置和安排运输计划，才能得到经济上花费最少的方案。

整数规划_精品文档

整数规划引言：整数规划是一类特殊的数学优化问题，其中一部份或者全部变量被限制为整数。

整数规划问题在许多领域都有广泛的应用，如物流、生产计划、金融投资等。

随着科技的不断发展，整数规划的应用场景和求解方法也在不断扩展和深化。

一、整数规划的定义与分类定义：整数规划是一种特殊的数学优化问题，其目标是最小化或者最大化一个数学表达式（目标函数），同时满足一系列约束条件，且一部份或者全部决策变量被限制为整数。

分类：根据问题的特性，整数规划可以分为以下几种类型：0-1背包问题：决策变量只能取0或者1。

彻底背包问题：决策变量可以取任意非负整数。

整数线性规划：线性规划的变种，要求部份或者全部决策变量为整数。

二次整数规划：目标函数或者约束条件包含二次项。

二、整数规划的应用场景生产计划：在创造业中，整数规划可以用于优化生产流程、物料需求计划等。

物流优化：通过整数规划可以解决货物配送路线、车辆调度等问题。

金融投资：整数规划在投资组合优化、风险管理等领域有广泛应用。

资源分配：整数规划可用于解决资源分配问题，如人员调度、设备配置等。

组合优化：如旅行商问题（TSP）、装箱问题等，都是整数规划的典型应用场景。

三、整数规划的求解算法穷举法：通过逐个测试所有可能的解来找到最优解，但只适合于小规模问题。

分支定界法：一种基于树结构的搜索算法，能够处理较大规模的问题。

遗传算法：摹拟生物进化过程的优化算法，适合处理大规模问题。

摹拟退火算法：借鉴物理中退火过程的优化算法，具有避免陷入局部最优解的能力。

蚁群算法：摹拟蚂蚁觅食行为的优化算法，适合于求解具有离散变量的优化问题。

元胞遗传算法：将遗传算法和元胞自动机结合，能够处理更复杂的问题。

粒子群算法：摹拟鸟群觅食行为的优化算法，具有简单易实现的特点。

深度学习算法：利用神经网络进行求解，特别在处理大规模、高维度的问题时表现出色。

四、整数规划软件介绍CPLEX：由IBM开辟的商业优化软件，支持整数规划、线性规划、混合整数规划等多种优化问题。

第六章运筹学整数规划案例

第六章整数规划6.1 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。

1、 max z=3x1+2x2S.T. 2x1+3x2≤122x1+x2≤9x1、x2≥0解：2、 min f=10x1+9x2S.T. 5x1+3x2≥45x1≥8x2≤10x1、x2≥06.2 求解下列整数规划问题1、 min f=4x1+3x2+2x3S.T. 2x1-5x2+3x3≤44x1+x2+3x3≥3x2+x3≥1x1、x2、x3=0或1解：最优解（0，0，1），最优值：22、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3S.T. -4x1+x2+x3+x4≥2-2x1+4x2+2x2+4x2≥4x1+x2-x2+x2≥3x1、x2、x3、x3=0或1解：此模型没有可行解。

3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4S.T. 5x1+3x2+3x3+x4≤302x1+5x2-x2+3x2≤20-x1+3x2+5x2+3x2≤403x1-x2+3x2+5x2≤25x1、x2、x3、x3=正整数解：最优解（0，3，4，3），最优值：474、min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19约束条件x1 + x2+x3≤30x4+ x5＋x6-10 x16≤0x7+ x8＋x9-20 x17≤0x10+ x11＋x12-30 x18≤0x13+ x14＋x15-40 x19≤0x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20x i为非负数（i=1,2…..8）x i为非负整数（i=9,10…..15）x i为为0－1变量（i=16,17…..19）解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：8606.3 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：公司办公会决定选择原则如下：（1）B5、B3和B7只能选择一个。

第六章整数规划

原来的上界 .
在分枝定界法的整个求解过程中,上界的值在不断减小.
问题 B5
max f 20 x1 10 x2
问题 B6
max f 20 x1 10 x2
5 x1 8 x2 60 x1 8 x2 4 s.t x1 6 x2 3 x ,x 0 1 2
第六章整数规划
整数规划模型
分支定界法
割平面法 0-1整数规划问题
指派问题
整数规划模型
在许多线性规划问题中,要求最优解必须取整数.例如所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等.如果所得的解中决策变量为分数或小数则不符合实际问题的要求. 对于一个规划问题,如果要求全部决策变量都取整数, 称为纯(或全)整数规划;如果仅要求部分决策变量取整数, 称为混合整数规划问题.有的问题要求决策变量仅取0或l两
解设计划甲种宿舍建 x1 幢,乙种宿舍建 x2 幢,则本题数学模型为 :
max Z 20 x1 10 x2
0.25 x1 0.4 x2 3 x1 8 s.t x2 4 x1 , x2 0, 取整数
这是一个纯整数规划问题,称为问题 A0 。
（1）
作出问题 A1 , A2 的伴随规划 B1 , B2 , 则问题 B1 , B2 , 的可行域为 K1 , K 2 , 见图2(b). 以下我们将由同一问题分解出的两个分枝问题称为"一对分枝".
x2
4
3
x2
2 1
O
2
4
6
8
x1
O
1
2
4
6
8
x1
(a)
(b)

(第五、六章目标规划和整数规划

1
x 1、 x2 、 x3分别为采用3条生产线时的产量
50x3 +1000，若x 3 ＞0 C 3(x 3 )＝ 0，若x 3 ＝0
目标函数：min z=C 1(x 1)+C 2(x 2)+C3(x 3)
可变成本（吨/元）固定成本（元）
1,当采用第j条生产线时，即当xj＞0 令y j = 0,当不采用第j条生产线时，即当xj＝0
建立0－1整数规划模型
引入0-1变量,令
Xi= 1,当Ai点被选用 0,当Ai点没被选用
7
于是: max z= ∑ ci xi i =1 7 s.t. ∑ bi xi ≤ Β,
x1 + x 2 + x3 ≤ 2, ( xi = 0 / 1 x 4 + x5 ≥ 1, x6 + x7 ≥ 1,
i =1
则：C 1(x 1)＝ 20x 1 +1500 y1 C 2(x 2)＝ 30x 2 +1200 y2 C 3 (x 3 ) ＝ 50x 2 +1000 y3 0≤x 1≤5000y 1 0≤x2 ≤5000y 2 0≤x 3 ≤5000y 3
场所选择
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部, 拟议中有7个位置Ai（i=1,2, …7）可供选择, 规定:在东区,由A1,A2,A3三个点中至多选两个; 在西区,由A4,A5两个点中至少选一个;在南区, 由A6,A7两个点中至少选一个.如选用Ai点设备投资估计为bi元,每年可获利润估计为ci元,公司投资总额不能超过B元。如何选择使年利润最大?
单纯形法
由于目标规划的目标函数中含有优先因子，所以在单纯形表中，将检验数行按优先因子的个数分成k行用单纯形法求解(同前) 例如：前面第一个目标规划模型

运筹学实验6整数规划

实验六、用EXCEL 求解整数规划用单纯形法求解线性规划问题，最优解可能是整数，也可能不是整数，但在很多实际问题中，要求全部或部分变量的取值必须是整数，如所求的解是安排上班的人数，按某个方案裁剪钢材的根数，生产设备的台数等等。

对于整数解的线性规划问题，不是用四舍五入或去尾法对线性规划的非整数解加以处理都能解决的，而要用整数规划的方法加以解决，如分枝定界法和割平面算法。

这些算法比单纯形法更为复杂，因此，一般的学习者要想掌握整数规划的数学算法有一定的困难。

然而事实上，由于Excel 的[工具][规划求解]可以求解整数规划问题，所以，对于一个真正有志于运用运筹学方法解决生产经营中问题的管理者来说，算法将不是障碍因素。

一、实验目的1、掌握如何建立整数线性规划模型，特别是0～1逻辑变量在模型中的应用。

2、掌握用Excel 求解整数线性规划模型的方法。

3、掌握如何借助于Excel 对整数线性规划模型进行灵敏度分析，以判断各种可能的变化对最优方案产生的影响。

4、读懂Excel 求解整数线性规划问题输出的运算结果报告和敏感性报告。

二、实验内容1、整数规划问题模型该问题来自于《运筹学基础及应用》（第四版）胡运权主编P126习题4.13,题目如下: 需生产2000件某种产品，该种产品可利用A 、B 、C 、D 设备中的任意一种加工，已知每种设备的生产准备结束费用、生产该产品时的单件成本以及每种设备限定的最大加工数量（件）如表1所示，问企业应该如何安排设备生产该产品才能使得总的生产成本最少，试建立该问题的数学模型并求解。

该产品可以利用四种不同的设备加工，由于采用不同的设备加工需要支付不同的准备结束费用，而如果不采用某种设备加工，是不需要支付使用该设备的准备结束费用的，所以必须借助于逻辑变量来鉴定准备结束费用的支付。

再设，种设备加工的产品数量为利用第设;4,3,2,1=j j x j⎪⎩⎪⎨⎧=>=）种设备生产（即，若不使用第）种设备生产（即若使用第000,1j j i x j x j y 4,3,2,1=j则问题的整数规划模型为：43214321281624207008009801000min x x x x y y y y z +++++++=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥≤≤≤≤=+++4,3,2,110,01600120010009002000..443322114321j y x y x y x y x y x x x x x t s j j，或2、 [工具][规划求解]命令求解下面我们用Excel 中的[工具][规划求解]对该问题进行求解。

第6章-整数规划 ppt课件

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莫高瑞割平面法
• 割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
• 关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束条件。
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
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第四步：在B的最优解中任选一个（或最远离整数要求的变量），不妨设此变量为xj，以[bj]表示小于bj的最大整数，构造以下两个约束条件，并加入问题B，得到B的两个分枝B1和B2。
xj ≤[bj]和xj ≥ [bj]+1
第五步：求解B1和B2 。修改A问题的最优目标函数值z*的上下界，z 和 z。
4. 再求解这些子区域上的线性规划问题。
5. 不断缩小整数规划上下界的距离，最后得整数规划的最优解。
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ppt课件
用分枝定界法求解目标函数值最大的整数规划的步骤，我们将求解的整数规划 z 问题称为A，将与其相对应的线性规划问题称为பைடு நூலகம்：
第一步：求解问题B，可得以下情况之一：
1.B没有可行解，则A也没有可行解，求解过程停止。
1/ 2x2 2 / 3x3 x5 1/ 2
例6-5 19
ppt课件
6.3 0-1规划
0 1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量x j 仅取值 0 或 1。这时x j 称为0 1变量，或称二进制变量。 0-1规划的分支定界法
引入0-1变量的实际问题 ①双态变量的归一化（变量） ②不相容约束的归一化（约束条件） ③分段线性函数的归一化（目标函数）

第六章整数规划

第一节整数规划实例与模型
点
(0,0) (0,1) (0,2)
条件
可行解
Z值
0 10 20
(1,0)
(1,1) (1,2) (2,0) (2,1) (2,2) (3,0) (3,1) (3,2) (4,0) (4,1) (4,2)
① √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
② √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
b1x1+b2x2+b3x3+…b7x7≤B
1，表示Ai点被选用 Xi= 0，表示Ai点没被选用
第二节
0－1整数规划的建模方法
max Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+c7x7 s.t. b1x1+b2x2+b3x3+…b7x7≤B X1+x2+x3≤2 X4+x5 ≥1 X6+x7 ≥1 Xi=0或＝1 i=1,2…7
第一节整数规划实例与模型
所以选址模型为： min TC= TC1+TC2 s.t．x11+x12+x13≤10y1 x21+x22+x23≤20y2 x31+x32+x33≤30y3 x41+x42+x43≤40y4 x51+x52+x53≤30 x11+x21+x31+x41+x51=30 x12+x22+x32+x42+x52=20 x13+x23+x33+x43+x53=20
第二节
扩建厂房
0－1整数规划的建模方法
项目（千元）扩建仓库更新机器新产品研制 40 10 37 总可用成本 10 10 15 40 15 10 50 20 10 40 5 4 10 35

第六章整数规划

5
衣服
4
5
15
解：Xi为是否带第 i 种物品
maxZ=20X1 + 30X2 +10X3+18X4 +15X5
5X1+3X2 +X3 +2X4 +4X5 8 2X1+X2 +4X3 +3X4 +5X5 10 Xi为0, 1
一般形式：
max Z
C
i 1
n
i
Xi
n ai X i b i 1 X 0 ,且为整数 i
当100个0－1变量，几亿年
(二) 常用方法 • 分枝定界法
• 割平面法
• 隐枚举法 • 匈牙利法
(三) 分枝定界法
基本思路 maxZ=CX maxZ=CX (B) AX=b X 0
AX=b
(A) X 0
X 0且为整数 (B)为(A)的松弛问题。
i+1
Xj*
i
X*
(B1)
(B) Xj i+1 (B2)
maxZ = 20 X1 + 10 X2
5X1+4X2 24 2X1+5X2 13 X1 , X2 0 X1 , X2为整数
例2、背包问题
背包可再装入8单位重量，10单位体积物品物品 1 2 3 4 名称书摄像机枕头休闲食品重量 5 3 1 2 体积 2 1 4 3 价值 20 30 10 18
优点： (1) 任何模型均可用；
(2) 思路简单、灵活；
(3) 速度快； (4) 适合上机。
分枝变量选择原则 ① 按目标函数系数：选系数绝对值最大者变
量先(分对目标值升降影响最大)。

第6章 python 整数规划与非线性规划

目前，没有一种方法可以有效求解一切整数规划。常见的整数规划求解算法有：
（1）分枝定界法：可求纯或混合整数线性规划；（2）割平面法：可求纯或混合整数线性规划；（3）隐枚举法：用于求解0 1整数规划，有过滤隐枚举法和分枝隐枚举法；（4）匈牙利法：解决指派问题（0 1整数规划特殊情形）；（5）蒙特卡罗法：求解各种类型规划。
i1
xij
0或1,
i, j 1,2,
, n,
第 13 页
（6.1）
第6章
6.1整数规划
第 14 页
这是一个纯0 1整数规划模型。若将模型（6.1）中的cij组成一个n阶方阵C (cij )nn，则称C 为效率矩阵。这样，标准指派问题中的工作效率就可以很方便地用矩阵C 来表示，并且效率矩阵C 与标准指派问题一一对应。同样地，模型（6.1）的最优解也可以用 n阶方阵 X *的形式来表示，我们称之为指派问题的最优解方阵。由于标准指派问题要求“每项工作需且仅需一个人去完成，每个人需完成且仅需完成一项工作”，故最优解方阵一定是一个置换矩阵，即矩阵的每一行、每一列都恰好有一个“1”，其余元素均为 0。
标准指派问题的一般提法是：拟分派n个人 A1, A2 , , An去完成n项工作 B1, B2 , , Bn，要求每项工作需且仅需一个人去完成，每个人需完成且仅需完成一项工作。已知人 Ai 完成工作Bj的时间或费用等成本型指标值为cij，则应如何指派才能使总的工作效率最高？
第6章
6.1整数规划
第6章
6.1整数规划
第 15 页
标准指派问题的数学模型表现为0 1整数规划的形式，当然可以通过整数规划的分支定界法或0 1整数规划的隐枚举法来求得最优解。但标准指派问题的数学模型具有独特的结构，因此，为提高求解的效率，1955 年美国数学家 H. W. Kuhn 根据匈牙利数学家 D. König 关于矩阵中独立零元素定理，提出了一个求解标准指派模型的有效算法—匈牙利算法。

第六章 整数规划

运筹学课件 第六章-整数规划3

《运筹学》第6章 整数规划

第六章 整数规划(应用运筹学)

6第六章 整数规划(3-4节)

整数规划

运筹学 第六章 整数规划 第一讲 整数规划数学模型与纯整数规划的求解

第六章 整数规划(2012)

整数规划

整数规划_精品文档

第六章 运筹学 整数规划案例

第六章 整数规划

(第五、六章 目标规划和整数规划

运筹学实验6整数规划

第6章-整数规划 ppt课件

第六章 整数规划

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第6章 python 整数规划与非线性规划

第六章整数规划

运筹学课件第六章-整数规划3

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运筹学第六章整数规划第一讲整数规划数学模型与纯整数规划的求解

第六章整数规划(2012)

第六章运筹学整数规划案例

第六章整数规划

(第五、六章目标规划和整数规划

第六章整数规划

第六章整数规划