范德蒙行列式论文

范德蒙行列式的推广及应用

目录

一、摘要

二、引言

三、第一章

1、定义……………………………………………………………

2、定义的证明………………………………………………………

3、推广定义及证明…………………………………………

4、性质……………………………………………………………………

第二章

1、范德蒙行列式在行列式计算中的应用……………………………………

2、范德蒙行列式在微积分计算中的应用…………………………………

3、范德蒙行列式在向量空间计算中的应用…………………………

4、范德蒙行列式在线性空间计算中的应用……………………………

第三章

1、范德蒙行列式在多项式插值中的应用………………………………

2、利用编程计算范德蒙行列式………………………………………………

第四章

结论…………………………………………………………………

参考文献……………………………………………………………

摘要

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略）

关键词：………………（略）

引言

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略）

英文

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略）

第一章 一、1.1定义

我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法。

当我们遇到这样一个数学问题：过平面上n 个不同的点(),i i k λ (i =1，2，…，n )且i λ (i =1，2，…，n)各不相同，是否存在唯一的一条n -1次曲线

123123n i n n n n n k x x x x x =+λ+λ+λ++λ……，

其中，1,2,n a a a ……是待定系数，经过这n 个不同的点呢?这个问题就等价于下面的线性方程组

关于待定系数1,,n X X 是否存在唯一的解．根据克莱姆法则，只需考虑方程组(1)的系数行列式的值，其系数行列式为

()2

因此只需计算行列式(2)的值．这个行列式(2)就称为n 阶的范德蒙（Vandermonde ）行列式

下面我们来证明，对任意的

阶范德蒙行列式等于

1,,n λλ 这n 个数的所有可能的差i j λ-λ（1≤j＜i≤n）的乘积.

首先，我们用数学归纳法证明范德蒙德行列式

我们对作归纳法.

（1）当时，结果是对的.

（2）假设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情况.在

中，第行减去第行的倍，第行减去第行的倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的倍，有

()()()

后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差（2≤j＜i≤n）；而包含的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明.

用连乘号，这个结果可以简写为

由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是

这n个数中至少有两个相等.

这是用数学归纳法证明的，下面我们在用定理证明

已知在级行列式

中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数

余子式的

乘积，在

=

中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得

=

根据上述定理

=

提出每一列的公因子后得

=

最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有

=

1.2行列式的性质

利用行列式的性质容易推得：

1、若将范德蒙行列式逆时针旋转可得

2、若将范德蒙行列

3、若将范德蒙行列式

1．3范德蒙行列式的推广定义及证明

利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。但是对于一些结构特殊的行列式，可以考虑用一些特别的方法。下面以n阶范德蒙行列式为例，我们来说明怎样利用n阶范德蒙行列式来简化行列式的计算。对于（1）式而言，n阶行列式D_n的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1。根据范德蒙行列式的这种结构特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后利用其结果计算。

常见的化法有以下几种：

所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序,拆行（列）等）将行列式化为范德蒙行列式。

例1 计算

解：由范德蒙行列式的性质3得

2.1.1用提取公因式计算行列式

例2 计算

解：中各行元素都分别是一个数的不同方幂，而且方幂次数从左至右按

递增次序排列，但不是从0变到n-1，而是由1递升至n，如提取各行的公因数则方幂次数便从0变到n-1，于是得

上式右端行列式即为n阶范德蒙行列式，故

.

2.1.2调换各行（或各列）的次序计算行列式

例3 计算

解：本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使