范德蒙行列式论文

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关于范德蒙行列式的应用

Vol. 41/No . 14/Westleather关于范德蒙行列式的应用杨澜泳(西安财经大学，陕西西安710100)摘要：大数据时代下，数据量的增长速度会超过储存数据介质容量的增长速度，那么储存代价会不断上升，储存介质的成本在不断增加。

面对这种巨大的数据生成量传统数据管理系统中的数据处理技术受到了极大挑战％如何更高效，稳定的储存这些数据成为数数据处理等许多领域研究的热h %本文从范德蒙行列式出发，b -范德蒙码以及范德蒙行列式特有的运算性质，优化并拓展了大数据时代最常见的动态分布式文件系统HDFS ，将其优化为a a nDHDFS 。

b -范德蒙列阵纠删码的灵活性、高精准度特性，配合HDFS 的可恢复性，打造出一个具有严格统一性与可恢复性的大数据储存系统。

关键词：大数据；储存介质；3德蒙行列式；HDFS 中图分类号：G633. 6 文献标志码：A 文章编号：1671 -1602 (2019) 14 -0079 -031基础知识1. 13德蒙行列式基O 知识范德蒙行列式就是在求线形递归方程通解的时候计算的行列式，若递归方程的9个解为5，⑰,a,…6则范德蒙行列式如下所示:形如上图的行列式称为9阶范德蒙行列式％为求其9阶解，需用数学归纳法对其归纳求解。

当9=2时范德蒙德行列式H =7-7，范德蒙德行列式成立。

现假设范德蒙德行列式对9 - 1阶也成立，则对于9阶有：首先要把H ”降阶，方法是从第9列起用后一列减去前一列的7倍，然后按第一行进行展开，就有>3 = (7 -7)(7 -7)0(7 -7)) (7 -7)于是就有原命题得证％：卩3 =n (7 $ 7#1. 2传统纠删码与3德蒙纠删码纠删码会创建一个数学函数来描述一组数字，这样就可以检查它们的准确性，而且一旦其中一个数字丢失，还可以恢复％多项式插值(polynomial interpolation )或过采样(oversampling)就是纠删码所使用的关键技术％常见的数学意义上插值法有：拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃米尔特插值法等等％从数据函数角度来说，纠删码提供的保护可以用下面这个简单的公式来表示：9二V + m %变量“V ”代表原始数据或符号的值％变量“m ”代表故障后添加的提供保护的额外或冗余符号的值％变量“9”代表纠删码过程后创建的符号的总值％举个例子来说，在一个EC 10/16的配置中，会有6个额外的符号(变量m )被添加到10个原始符号(变量V )中％这16个数据片段(变量9)会遍布16个驱动器、节点或地理位置中％而原始文件可以从10个验证片段中重建％纠删码，也称为前向纠错(FEC )编码，早在50年前就已出现％随后产生了不同类型％其中一个最早也是最常见的类型就是RS (Reed - Solomo9，里德一所罗门纠删码)，这种类型的数据可以使用任何V 符号的组合或数据块来重建，即使m 符号丢失或不可用％比如，在EC10/16中，即使有6个驱动器、节点或者地理位置丢失或不可用，而原始文件还是可以恢复%纠删码可以用于有大量数据和任何需要容错的应用程序或系统中，比如磁盘阵列系统、数据网格、分布式存储应用程序、对象存储或归档存储%目前，纠删码的一个常见的使用案例是基于对象的存%那么，若选取编码生成矩阵M '3,使得G 组成形如Lgo02 …On-1」所的纠删码为范纠删码， G 意 V 的方矩阵M 的转置矩阵为范德蒙矩阵，该范德蒙矩阵所组成的形如( )的行为范行 %2进一步对HDFS 基于范德蒙码的优化2. 1 HDFS 的基本运行思路HDFS 的文件下载是基于文件流形式，它将大于64M 的文件分割为一个又一个blocV (分块)，将他们储存在每个节点上，在用户调用文件时，首先系统会发送指令给9ame9ode 管理者，在它身上记录着每一个分块的大小以及位置信息，其次管理者会将这些信息反馈给客户端，则下一步客户端会与dataode 直接进行数据交互，采用据流的形，即在用个据会行下个据的调用，知道调用到最后一个数据节点时，dataode 会反馈给9ame9o-de —个信号，则9ame9ode 会反馈给客户端停止调用的信号，至此基金项目：陕西省西部能源经济与区域发展协同创新研究中心哲学社会科学重点研究基地项目《能源富集区产业结构与资源环境协调性统计测度理论与应用研究》(13JZ023)作者简介：杨澜泳(1995 -)，女，汉族，陕西人，在读研究生，西安财经大学，数理统计％79THEORIES AND RESEARCH理论与研究数据下载完毕%2. 2 VanDHDFS 编码的基本思路在VanDHDFS 中范德蒙码基本思路是从范德蒙行列式演变过来的，其本质意义是在原本的HDFS 系统上，加入范德蒙行列式作为间变换方式$在据输入的同时，利用范行据行编译，通常数据源为列向量，密的矩阵为列矩阵％在一个(q $ k )类型的范编码的过程中$原据总量为q $ 这些数据进行编码操作$生据量为k 的编码数据％其 k>q ,当我们进行文件操作导致文件损坏的时候，译码过程就会自动选取生成的q据有效的k行编码恢复$如下图％这使编码过程方便，并且容许大规模的数据错误，不会让原据％2. 3 编码构造构造范德蒙编码阵V ,使得编码过程为：它与数据源列矩阵D相乘，生的数据矩阵C , 如下：一 17271”一i —… 71 -- >1 --(1 11722”一i 72>2(2* > "1 723”一i 3*>3二(3-172%””一i…7」-> -I Q-转换出的C 矩阵即为编译后的原始数据，这样编译我们不难看出，在范行变的数据形似密处理的数据，这也为我们的数据加密工路％但是，随的问题就是，在这密处理的数据在今后每次使用的时候个解密的过程，虽然被解密数据为列矩阵，但解密过程却需要一个多阶甚至更高阶的范德蒙行列式来反编译％在HDFS 系统中，nameno de 本身的负荷量常重，如还要在让他担任大量的反编译工作，那能会产生的冗余和程度便会 $ 运行率会大％于是，我们必如上的范码进行简洁化处理$争取将之简化为便于处理与识别的编译方式％于是我们在原有的范行基础上，利用高斯消元法$进行变换%0 … 0 00 … 0 00 …1P 4…P - P100010S"00PP 兀y 2 咒兀…九一1 九由变换后的范行列式我们可以看出，我们将第部为1的行，变 k 位矩阵，而余下的n-k为了冗余校验码，这个校验码的目的是便于namenode 管理者识该数据是被经殊处理的数据，并且识该数据是怎样的范码的数据处理%另外，这样处理的范德蒙行我们为S 矩阵$ S 矩的好处在于其上半部分是由单位矩的，位矩原据包的乘积依旧是的原据，而余下的冗余校验码的乘积则成为了新的校验码，使namenode 的处理速度大大, 算量也随之减小％3-N3-N3-N3-NP P P P10000100S"0000PPP001P->1 ->2->1 ->2>3>N厶--0005」可以看到，伽生成的编码矩阵中，前k 阶同为原始数据D 是相同的，这为我们的数据读常便利的方法，而下半部分生成了一个识0校验矩阵$这个矩阵的意义在于在今后无论是数据部分损坏亦或是校验码部分损坏，都能通过校验码快速识U 出可恢复的数据所处位置，备份文件归属地，这样就能快速定位所需恢复的数据原始文件所在地，能高效的精准的减少恢据所需时间％下来我们使用C+ +进行范码的编码操作$所使用的的数据源为OpenCV %由于没有节点数据的支持，目前该C++编码只处于文本阶段, 期我们会将节点数据与变动后的HDFS 模型入，取运行据%2. 4 译码过程解析有了如上的编码过程，我们极大的缩短了 namenode 管理者处理信息的负载量，提高译码过程的效率％那$如果数据发生坏，编译加密的数据执行恢复操作%编码存的信矩第三行与第k 行数据模组同时发生错误，且k<n ,即原据包和冗余校验矩阵随机发生错误，那校验码中第一行与第二行完好，则选取第一行与第二行恢复运算％那我们原据矩变形的数据阵Dr其后运用数学知识，我们还原矩阵A",这我们构造A"要运用高斯消，并且位阵与冗余校验阵结合在：拼凑这个还原矩阵％贝IJ,还原矩阵A 要口下：10 (000)1…006ii 612…61,N-161N0 (1)L 621622…62,N-2为使还原矩阵A"可用，我们还需将A"进行求逆操作$目的是为了使用矩阵A"的逆矩阵A 可"行据恢复%矩阵A"的行det (A 可,0,因此矩阵A"必然 %在此处矩阵A"的运算无行人工参与，因此我在C+ +的基础上进行了译码操作$其矩阵A"的运算％在我们还原矩阵A"的逆矩阵A 可"后$我们将之提取，与损坏的矩阵D ，—起作为译码进行恢复运算，这$我们初的据矩 D , 文件恢 %3 VandHDFS 在实际应用中的技术分析在改进后的VanDHDFS 文件管理系统中，我们可以知道利用范德蒙码进行编译的分布式文件于之前的文件管无论是从容错率还是算效率都有了巨大的 %为此，我用范德80Vol.41/No.14/Westleather蒙码编译的VaDHDFS进行了数据化的测试。

范德蒙行列式及应用论文

范德蒙行列式及应用论文范德蒙行列式，又称范德蒙行列，是数学中的一个重要概念，它在线性代数、向量空间、微积分等领域有着广泛的应用。

范德蒙行列式由荷兰数学家范德蒙（Vandermonde）首先提出，它的定义和性质在很多数学分支中都发挥了重要的作用，特别是在矩阵理论、数论、代数学等领域，范德蒙行列式都有着深远的影响。

范德蒙行列式的定义是：对于给定的n个不同的数a1,a2,...,an，范德蒙行列式定义为：a1 a2 ... ana1^2 a2^2 ... an^2a1^3 a2^3 ... an^3... ... ... ...a1^n a2^n ... an^n即为由这些数按照一定顺序排列而成的矩阵行列式，其中ai^k表示ai的k次幂。

范德蒙行列式的值可以通过列主元化简为非零值，从而成为一个n阶矩阵行列式。

范德蒙行列式的应用非常广泛，下面我们来谈谈范德蒙行列式在数学中的一些重要应用。

首先，在线性代数中，范德蒙行列式是矩阵的一个重要特征，它可以用来描述矩阵的性质和结构。

通过范德蒙行列式，我们可以判断矩阵的秩、可逆性、行列式值等信息，进而用于解线性方程组、矩阵变换、特征值特征向量的求解等问题。

其次，在微积分中，范德蒙行列式也有着重要的应用。

在多元函数的求导、积分、微分方程的求解过程中，常常需要用到雅可比行列式，而雅可比行列式与范德蒙行列式有着密切的关系。

通过范德蒙行列式，我们可以求解多元函数的偏导数、雅可比行列式的值，从而解决相关的微分方程和积分问题。

另外，在数论中，范德蒙行列式也有着重要的应用。

由于范德蒙行列式的特殊性质，它经常出现在数论中的不同问题中，例如组合数学、数列求和、多项式插值等方面。

通过范德蒙行列式，我们可以推导出一些数学定理和结论，解决一些数论问题。

除了以上提到的领域外，范德蒙行列式还在代数学、几何学、概率论、信号处理、图论等领域有着重要的应用。

它不仅是数学理论研究的基础，还是许多工程技术问题的解决工具。

关于范德蒙德行列式的性质探讨

范德蒙德行列式的应用探讨李珊珊摘要：范德蒙德行列式作为一种重要的、著名的行列式性质独特、形式优美，利用范德蒙德行列式能大大降低我们解题时的难度，起到事半功倍的效果. 本文将介绍范德蒙德行列式的概念及其性质，并且给出范德蒙德行列式在行列式计算，向量空间理论，线性变换理论，多项式理论和微积分问题五个方面较全面的具体应用，并对方法和技巧做出概括和总结.关键词：范德蒙德行列式；向量空间；线性变换；多项式；微积分中图分类号：O13Discussion on The Application of VandermondeDeterminantLi Shan-shanAbstract:The determinant is an important tool in Mathematics. It is the basis of the follow-up to the content system, such as linear equations, matrix, vector spaces and linear transformations. And it has a wide range of applications. As an important and famous determinant, Vandermonde determinant has not only unique structure, but also exquisite form. Using V andermonde determinant can greatly reduce our computation on solving problems. That is also the essence of using V andermonde determinant. This article will introduce the concept of V andermonde determinant and its calculation method and properties. What's more, this article will summarize V andermonde determinant in determinant computation, vector space, linear transformation theory, theory of polynomial and solving the problems of calculus in specific applications. And the article in the methods and techniques of Vandermonde determinant will make a summary.Keywords: V andermonde determinant; vector space; linear transformation; polynomial; Calculus1. 引言行列式在高等代数中是一个重要的数学工具，活跃在数学的各个分支. 行列式最早出现在16世纪关于求解线性方程组的问题中. 它的研究是伴随着线性代数的发展而发展起来的. 18世纪，法国著名的数学家范德蒙德（A.T.V andermonde ,1735-1796）将行列式的理论脱离线性方程组，而放到理论高度作为专门的理论进行研究，并在此基础上确立了行列式的一些性质，使行列式逐步成为一门独立的数学研究课题. 范德蒙德行列式是范德蒙德在1772年提出的一种著名的行列式，具有重要的理论研究价值和广泛的应用价值. 利用范德蒙德行列式和它的一些性质，我们可以使计算变得更为简单、直接，从而大大的提高对高等代数和数学分析中问题的计算速度. 自上世纪50年代以来，数学工作者对范德蒙德行列式的计算方法和在一些应用方面进行了研究. 不同研究者的角度、出发点和研究方向均不相同. 例如：北京大学第三版《高等代数》教材（高等教育出版社，王萼芳石生明修订）中就提到了范德蒙德行列式在行列式计算和多项式根的存在性问题中的应用. 在一些高校的学报中我们也可以找到许多范德蒙德行列式的应用. 如：徐杰在《范德蒙德行列式的应用》（职校论坛，2009）中探讨了应用范德蒙德行列式证明向量的线性相关性问题；张文治、赵艳在《范德蒙德行列式应用三则》（北华航天工业学院学报，2007）中给出了构造范德蒙德行列式计算缺项行列式；程伟健、贺冬冬在《范德蒙德行列式在微积分中的应用》（大学数学，2004）中研究了利用范德蒙德行列式求高阶无穷小和证明K 阶导数极限存在问题等等. 综上所述，虽然国内外对范德蒙德行列式的应用研究比较多，但是对应用方法技巧的总结、归纳还比较欠缺和零散，系统性、规范性不足. 针对这种情况，本文较为系统的探讨范德蒙德行列式的应用，并对方法和技巧做出了总结.2. 范德蒙德行列式的概念及其性质定义形如12322221231111123111...1........................n n n n n n na a a a a a a a a a a a ----的行列式，称为n 阶范德蒙德（V andermonde ）行列式，记为n D .范德蒙德行列式构造独特、形式优美，并且有独特的性质. 下面将给出范德蒙德行列式的各种性质.首先，范德蒙德行列式拥有普通行列式的所有性质.（1）行列互换，行列式不变；（2）以一个数乘行列式的一行（列），相当于用这数乘此行列式；（3）行列式某一行（列）是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和；（4）如果行列式中两行（列）成比例，则行列式为零；（5）把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变；（6）行列式中两行（列）的位置，行列式符号改变.其次，我们给出范德蒙德行列式的五个更特别的性质. 性质1 对任意的(2)n n ≥，123222212311111123111...1......()..................n n n i j j i nn n n n na a a a D a a a a a a a a a a ≤<≤----==-∏，并且0n D =的充要条件是12,,...,n a a a 这n 个数中至少有两个相等，其中∏表示同类因子的乘积.证明：对n 进行数学归纳. 当2n =时，211211n D a a a a ==-，结果正确. 假设对于1n -结论成立，即111()n i j j i n D a a -≤<≤-=-∏.则对于n 阶的情况有，在n D 中第n 行减去第1n -行的1a 倍，第1n -行减去第2n -行的1a 倍，以此类推，由下向上依次减去上一行的1a 倍，有2131122221231311212122123131111...10 0..................0...n n n nn n n n n n nna a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------=------=2131122221231311212122123131.....................n n nn n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------------=1232222213111232222123111...1...()()...().....................n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a a -------.后面这是一个1n -阶的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差(2)i j a a j i n -≤<≤的乘积，而包含1a 的差全在前面出现了. 因之，结论对n 阶范德蒙德行列式也成立. 根据数学归纳法，可知 1()n i j j i nD a a ≤<≤=-∏.由n D =1()i j j i na a ≤<≤-∏，可知0n D =的充要条件是12,,...,n a a a 这n 个数中至少有两个相等，证毕.注 2.1 因为T n n D D =，所以范德蒙德行列式还可以写成211112122221333211...1...1..................1...n n n n nnna a a a a a a a a a a a ----，行列式的值不变.性质2 若将范德蒙德行列式n D 顺时针旋转90 ，可得1211112222(1)1233312...1...1...1..................1n n n n n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a --------=，则有(1)(1)2(1)n n nn DD -=-.证明：因为T n n D D =，所以2111121222(1)21333211 (1)...1..................1...n n Tn n n n nnna a a a a a D D a a a a a a ----==，交换行列式的第1列与第n 列，则根据行列式的性质（6），行列式的值变为原来的-1倍，即有12111122221233312...1 (1)...1..................1n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a ----=-，再交换所得行列式的第2列和第1n -列，行列式变为原来的2(1)-倍，即有121111222221233312...1 (1)(1)...1..................1n n n n n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a --------=-，依次进行下去，得到最终的行列式12111122221233312...1...1...1..................1n n n n n n n n nnna a a a a a a a a a a a --------，这样进行了(1)2(1)n n --次，于是1211112222(1)12233312...1...1(1)...1..................1n n n n n n n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a ---------=-，结论得到证明.性质3 若将范德蒙德行列式n D 逆时针旋转90 ，可得(2)nD =212111121222211111 (1)...1 (1)...n n n nnn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --------------，有(1)(2)2(1)n n nn D D -=-.事实上，与性质2 的证明类似，依次交换行列式的两行，我们容易得到性质3 的结果.性质4 若将范德蒙德行列式n D 旋转180 ，可得(3)nD =111112122121211111............ (1)1...11n n n n n n n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a -------------，有(3)nn D D =.事实上，类似于性质2和性质3的证明，连续进行两次性质2 或性质3 的变换，就可以得到性质4 的结果.性质 5 n 阶准范德蒙1232222123(4)111112311111231231111n n nk k k k n k k k k nnnnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x ----++++=1212,,...,1()n k n ki j p p p p p p j i nx x x x x --≤<≤=-∑∏，(1,2,,1)k n =- ，其中12,,,n k p p p - 是1,2,,n 中()n k -个数的一个正序排列，12,,,n kp p p -∑表示对所有()n k -阶排列求和.证明：在行列式中增补第(1)k +行和(1)n +列相应的元素. 考虑1n +阶范德蒙德行列式123222221231111111231231111112312311111()n n k k k k k n n kkkkknk k k k k nnnnnnnx x x x x x x x x xD x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x-----++++++=，按第1n +列展开，有11,12,11,11,111()1...()...()()inn n n i n n n n i j j i nD x A xA x A x A x x x x x x +++++++≤<≤=++++=---∏，其中,1(1,2,...,1)i n A i n +=+分别是21,,,...,n x x x 的代数余子式. 于是(4)(1)(1)1,1(1)n i ni n D A +++++=-. （1）对于11,12,11,11,111()1...()...()()inn n n i n n n n i j j i nD x A xA x A x A x x x x x x +++++++≤<≤=++++=---∏，由根与系数的关系（Vieta 定理）有12121,1,,...,1(1)...()n kn kn ii n p p p i j p p p j i nA x x x x x ---++≤<≤=--∑∏，由（1）式，可知1212(4),,...,1()n k n kni j p p p p p p j i nD x x x x x --≤<≤=-∑∏.3. 关于范德蒙德行列式应用的探讨前面介绍了范德蒙德行列式的概念及其性质，接下来我们将从行列式计算，向量空间理论，线性变换理论，多项式理论和微积分问题五个方面探讨范德蒙德行列式的应用.3.1 范德蒙德行列式在行列式计算中的应用范德蒙德行列式在行列式计算问题中起着举足轻重的作用. 利用范德蒙德行列式计算行列式已经被确立为一种特殊的方法被广泛使用. 下面我们来看几个例子：例1 计算行列式12322221232222123123111...1...........................n n n n n n nnnnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x ----=.解：法1 构造1n +阶范德蒙德行列式1232222212312222212311111123123111...11......()...........................n n n n n n n n nn n n n n nnnnnnnx x x x x x x x x xD x x x x x x x x x x xx x x x x+----------=，则行列式D 为1()n D x +中元素1n x -的余子式，将行列式1()n D x +按1n +列展开得11,12,11,1()1...nn n n n n D x A xA x A +++++=+++，其中1n x -的系数为21,1,1,1(1)n n n n n n n A M M D ++++=-==-.又111()()...()()n n i j j i nD x x x x x x x +≤<≤=---∏，由根与系数的关系有1n x-的系数是1ni i x =-∑，因此在1()n D x +中1n x -的系数为11()nij i i i j nx x x =≤<≤--∑∏，所以11()nij i i i j nD x x x =≤<≤=--∑∏.法2 由范德蒙德行列式的性质 5，1212,,...,1()n k n ki j p p p p p p j i nD x x x x x --≤<≤=-∑∏，这里11()nij i i i j nD x x x =≤<≤=--∑∏.例2 证明n 阶循环行列式123121112122341.........()()...()..................n n n n n n n a a a a a a a a a a a a f f f a a a a εεε---=，其中112()...n n f x a a x a x -=+++，12,,...,n εεε是所有的n 次单位根.证明：由于12,,...,n εεε是所有的n 次单位根，其所构成的n 阶范德蒙德行列式12322221231111123111...1......0..................n n n n n n nεεεεεεεεεεεε----≠，令123121123222211212311112341123...111...1................................................n nn n n n n n n n n n na a a a a a a a D a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε-------=⋅，再由行列式的乘法，D 的第i 行第j 列的元素是2112311......i i n ij n i n i j n jj n i jd a a a a a εεεε----+-+-+=++++++，1,2,...,i n =，规定n k k a a +=.由于22cossin,(1,2,...,)m m m i m n ππεππ=+=，所以1mm εε=.于是(2)(1)(1)23111111......jj i j i j i ij n i n i n n i d a a a a a εεεε----+-+-+=++++++.又11nε=，因而(1)11,,1,2,...,j i ij j d d i j n ε-==.而右端的数恰好为行列式111231222221231311111231111...100...0 00...0. 00...0....................................nn n n n n nna a a a εεεεεεεεεεεε---- 的第i 行第j 列的元素，即上面的行列式也等于D ，且原循环行列式的值为11121...n a a a ，由行列式D 的形状可知：1112...(),1,2,...,n j j n jj a a a a f j n εεε-=+++==.于是再根据行列式的性质有1232341(1)(2)2345212121.........(1)()()...()..................n n n n nn a a a a a a a a a a a a f f f a a a a εεε---=-.通过对上述例题的分析，可归纳出构造和利用范德蒙德行列式来计算行列式的一些技巧：① 观察要计算的行列式是否具有范德蒙德行列式的的某些结构特征； ② 通过适当的方法构造范德蒙德行列式；③ 结合范德蒙德行列式以及题目的要求进行行列式的求解；④ n 阶循环行列式的解法以多项式理论为基础，结合范德蒙德行列式进行求解，方法简便易行，具有一定的实用价值.3.2 范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用向量空间有时也称为线性空间，它是线性代数最基本的概念之一，也是我们在高等代数的学习中接触到的第一个抽象的概念. 向量空间与其子空间的关系问题，向量空间中向量的线性相关性问题都是向量空间研究的重点和难点，对逻辑推理有较高的要求. 对于判断、证明、计算向量空间中相应问题多往往比较难. 但将其与行列式适当结合，特别是与范德蒙德行列式相结合时，题目就会变得容易理解和掌握，如下面几个例子：例3 设V 是数域F 上的n 维向量空间，则V 不能写成它的有限个真子空间的并.证明：对n 进行数学归纳. 当1n =时，显然成立.设1n >时，令123,,,...,n a a a a 是V 的一组基，设1*12{...|}n n S a ka k a k F V -=+++∈⊂, 其中*F 是F 中元素的集合，令*112:,...n n F S k e ke k e ϕ-→→+++，其中12,,...,n e e e 是单位向量，则易证ϕ是双射,从而S 中有无穷多个不同的元素.设i V （1,2,...i t =）为V 的真子空间，则S 中的元素在i V 中的个数小于n . 否则，若,1,2,...,j i V j n β∈=,111121112........................................n n n nn n n a k a k a a k a k aββ--⎧=+++⎪⎨⎪=+++⎩,即211111121222222133333211...1...1 (1)...n n n n nn nnn a k k k a k k k a k k k a k k k ββββ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由,,1,2,...,,i j k k i j n i j ≠=≠知123,,,...,n a a a a 的系数行列式为范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式的性质 1知系数行列式非零，故,1,2,...,j k a V j n ∈=.进而,1,2,...,i V V i t ==矛盾, 从而S 中只有有限多个元素在1ti i V = ，即V 不能写成它有限个真子空间的并的形式.例4 设V 是数域F 上的n 维向量空间，任给正整数m n ≥，则在V 中存在m 个向量，其中任取n 个向量都线性无关.证明：因为n V F ≅，所以只需在n F 中考虑即可. 取211(1,,,...,)n a c c c -=,222122(1,,(),...,())n a c c c -=, .......................................... 21(1,,(),...,())m m n m m a c c c -=.令111222333212121211()...()1()...()1()...()...............1()...()nnnk k k n k k k n k k k n n k k k n c c c c c c D cc ccc c----=,121...,n k k k m ≤≤≤≤≤c为任意常数.因为111222333212121211()...()1()...()1()...()...............1()...()nnnk k k n k k k n k k k n n k k k n c c c c c c D cc ccc c----=是范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式的性质1知n 0D ≠，所以12,,...,nk k k a a a 线性无关. 再由n V F ≅，所以结论成立.在向量空间理论中，我们经常会碰到需要用范德蒙德行列式转化的问题，通过转化我们很容易地得到所需要的结论. 而这就要求我们充分掌握范德蒙德行列式以及它的结构特征，达到灵活的使用.3.3 范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用线性变换反映了线性空间中元素之间的一种最基本的联系，它是线性函数的推广.线性变换与行列式、矩阵联系密切. 利用行列式，尤其是范德蒙德行列式，来解决线性变换的特征值与特征向量问题能达到事半功倍的效果.例5 如果12,,...,s λλλ是线性变换的全部两两不同的特征值，(1,2,...)ii V i s λα∈=，则当12...0s ααα+++=时，必有12...0s ααα====.证明：注意到(1)i i i i s αλα=≤≤，对等式12...0s ααα+++=左右两边同时逐次作用，得112222211221111122 0...0 0s s s s s s s s s λαλαλαλαλαλαλαλαλα---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，用矩阵表示为()21111212222112333211 (1)...,,...,(0,0,...,0)1..................1...s s s s s sss λλλλλλαααλλλλλλ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）矩阵211112122221333211...1 (1)..................1...s s s s sss B λλλλλλλλλλλλ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式是范德蒙德行列式，并且由于12,,...,s λλλ两两不同，从而B 是可逆矩阵. 在（2）式两边右乘1B -,得()12,,...,(0,0,...,0)s ααα=，所以12...0s ααα====.例6 设数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换σ有n 个互异的特征根12,,...,n λλλ则：（i ）与σ可交换的V 的线性变换都是21,,,...,n e σσσ-的线性组合，其中e 为恒等变换；（ii ）21,,,,...,n V αασασασα-∀∈线性无关的充要条件是1nii αα==∑，其中(),1,2,...,i i i i n σαλα==.证明：（i ）设δ是与σ可交换的线性变换，且(),1,2,...,i i i i n σαλα==，则{|}ii V k k F λα=∈是δ的不变子空间.令21121...n n xe x x x δσσσ--=++++且(),1,2,...,i i i k i n σαα==，则有下方程组21111211121212221221121.......................................n n n n n nn n n n k x x x x k x x x x k x x x x λλλλλλλλλ------⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ , （3）可知（3）的系数行列式是范德蒙德行列式，且系数行列式1()i j j i nD λλ≤<≤=-∏，因为12,,...,n λλλ互异，由范德蒙德行列式的性质 1知0D ≠.于是方程组（3）有唯一解，所以δ是21,,,...,n e σσσ-的线性组合. （ii ）先证明充分性. 因为1nii αα==∑，所以21111212222121123333211 (1)...(,,,...,)(,,...,)1..................1...n n n n n n n nnλλλλλλασασασαααααλλλλλλ-----=.且2111121222213331211...1...()01..................1...n n n i j j i nn n nnλλλλλλλλλλλλλλ---≤<≤-=-≠∏，因而211112122221333211...1...1..................1...n n n n n nnλλλλλλλλλλλλ----是可逆矩阵. 又由12,,...,n ααα是V 的一组基，可知21,,,...,n ασασασα-线性无关. 再证必要性.设12,,...,n e e e 是分别属于12,,...,n λλλ的特征向量，则12,,...,n e e e 构成V 的一组基，因而有1122...n n k e k e k e α=+++. 若0,1,2,...,i k i n ≠=则i i k e 是σ的属于i λ的特征向量，故结论成立. 若存在{1,2,...,}j n ∈使0j k ≠，不妨设12,,...,r k k k 全不为零，而1...0r n k k +===，因而有1122...r r k e k e k e α=+++，则211111111212222222212112333333321......(,,,...,)(,,...,).....................n n n n r n rr rr rr r k k k k k k k k e e e k k k k k k k k λλλλλλασασασαλλλλλλ-----⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.利用范德蒙德行列式的性质 1可知21111111121222222221333333321...........................n n n n rr rr rr r k k k k k k k k A k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭有一个r 阶子式不为零，所以秩（A ）=r ，从而21(,,,...,)n r ασασασα-=秩，又因为21,,,...,n ασασασα-线性无关，所以21(,,,...,)n n ασασασα-=秩.而r n <,矛盾. 所以1nii αα==∑，其中(),1,2,...,ii i i nσαλα==.在高等代数中，线性变换一直是最难的部分之一，题目的变化也很多. 在这些题目中，我们巧妙地运用范德蒙德行列式来使复杂的问题得到解决.3.4 范德蒙德行列式在多项式理论中的应用多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛. 虽然多项式在整个高的代数中相对独立，然而却为高等代数的基本内容提供了理论依据. 研究多项式、多项式根的存在性问题、多项式求根问题是多项式理论中的重难点. 而多项式的求根问题又与行列式相关联，巧妙应用它们之间的联系，会起到化繁为简的作用. 例7 设01()n n f x c c x c x =+++ ，若()f x 至少有n+1个不同的根，则()0f x =. 证明：121,,,n x x x + 为()f x 的n+1个不同的根，则有齐次线性方程组20112112012222201121100n n nn n n n n n c c x c x c x c c x c x c x c c x c x c x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩. （4）将01,,,n c c c 看作方程组（4）的未知量.因为方程组（4）的系数行列式D 是范德蒙行列式，且1()0i j i j nD x x ≤<≤=-≠∏，由克莱姆法则知方程组（4）只有零解，从而有010n c c c ==== ，即()f x 是零多项式.例8 设12,,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,,i i f a b i n == .证明：设1011()n n f x c c x c x --=+++ ，由(),1,2,,i i f a b i n == ，知21011211112101222122210121n n n n n n n n n n c c a c a c a b c c a c a c a b c c a c a c a b------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ . (5）因为12,,,n a a a 互不相同，所以方程组（5）的系数行列式21111212222133312111()01...1n n n i j i j nn nnna a a a a a D a a a a a a a a ---≤<≤-==-≠∏.由克莱姆法则知方程组（5）有唯一解，即存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式1011()n n f x c c x c x--=+++ ，使得(),1,2,,i i f a b i n == .在多项式理论中，涉及到求根问题的有很多. 在分析有些题目时，范德蒙德行列式是能够起到关键的作用. 主要应用在多项式组成的方程组中，系数组成的行列式是范德蒙德行列式. 若系数行列式不为零（即范德蒙德行列式的性质 1），则由克莱姆法则知方程组只有零解. 熟练有效地运用范德蒙德行列式，对我们最终解决问题会有直接的帮助.3.5 范德蒙德行列式在微积分中的应用无穷大量、无穷小量、高阶导数和极限是微积分的主要内容. 这些概念的正确理解和掌握对学好微积分是必要的. 在解决这类问题的时候，有时巧妙地构造范德蒙德行列式变换形式，可以使问题得到容易理解的解答.例9 设f(x )在区间I 上n 阶可导(2)n ≥，若对x I ∀∈，0|()|f x M ≤，()|()|n n f x M ≤(0,n M M 是正常数）.证明：若存在1n -个正常数121,,...,n M M M -，对x I ∀∈，()|()|(1,2,...,1)k k f x M k n ≤=-.证明：设121,,,,0,()n i i j a a a I a a a i j -∈≠≠≠ 且，由泰勒公式，对1,2,...,1i n ∀=-，()()11()()()()!!k n n kni ii k fx ff x a f x a a k n ξ==+=++∑，由此得()()11()()()()!!k n n k nii i k fx fa f x a f x a k n ξ===+--∑，所以有()()101()|()||||()||()|||2,!!!k n n k nii i n k fx fA a f x a f x a M M k n n ξ==≤+++≤+∑其中11||m ax n ii n A a ≤≤-=.令1()1()()!kn k ii k a fx A x k ===∑，(x I ∈，1,2,...,1)i n =-，（6）则0|()|2!i n A A x M M n ≤+，(x I ∀∈，1,2,...,1)i n =-.由于方程组（6）的系数行列式D 为231111123122222311111...2!3!(1)!...2!3!(1)!..................2!3!(1)!n n n n n n n a a a a n a a a a D n a a a a n --------=--211112122221121333211111...1......1...1!2!...(1)!...............1...n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n a a a --------=-右边的行列式为121,,,n a a a - 的范德蒙德行列式，由0,()i i j a a a i j ≠≠≠知0D ≠，由克莱姆法则知，存在与x 无关的常数()()()121,,...,k k k n λλλ-，使得 1()()1()(),,1,2,...,1n k k i i i fx A x x I k n λ-==∀∈=-∑,由此推得x I ∀∈，1,2,...,1k n =-11()()()0011|()||||()|||(2)!n n k k k ii ik i i A fx A x M M M n λλ--==≤≤+=∑∑.例10 设函数f(x)在x=0附近有连续的n 阶导数，且'()(0)0,(0)0,...,(0)0n f f f≠≠≠，若121,,...,n p p p +是一组两两互异的实数，证明：存在惟一的一组实数121,,...,n λλλ+，使得当0h →时，11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑是比n h 高阶的无穷小.证明：由题设的条件，可得()i f p h ，1,2,...,1i n =+在0x =处带有皮亚诺余项的麦克劳林展开式为：()110()(0)(),!k knk nk p h f p h fo h k ==+∑（1q ）()220()(0)(),!kknk nk p h f p h fo h k ==+∑（2q ）.........................()110()(0)(),!k knk nn n k p h f p h fo h k ++==+∑（1n q +）112211()()...()n n q q q λλλ++⨯+⨯++⨯,得111()11111()(0)(1)(0)()(0)()!n n nn k k kn ii i ii i i k i f p h f f p fh o h k λλλ+++====-=-++∑∑∑∑.当0h →时，若11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑为比n h 高阶的无穷小，则有121112211222112211112211...1...0...0 0n n n n n n n n n n p p p p p p p p p λλλλλλλλλλλλ++++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪⎩，这是以121,,...,n λλλ+为未知数的线性方程组，其系数行列式有123122221231111231111...1......()0..................n n j i i j n nn nn n p p p p D p p p p p p p p p p ++≤<≤++==-≠∏，所以上述方程组有惟一的解，即存在唯一的一组实数121,,...,n λλλ+，使得当0h →时，11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑为比n h 高阶的无穷小.例11 设f(x)至少有k 阶导数，且对某个实数α有()lim ()0,lim ()0k x x x f x x f x αα→∞→∞==. （7）试证：()lim ()0,0,1,2,...,i x x f x i k α→∞==，其中(0)()()fx f x =.证明：由条件（7）知，要证明()lim ()0i x x f x α→∞=，只要将()()i f x 写成()f x 与()()k f x 的线性组合的形式即可，利用泰勒公式，21'"(1)()()()()()...()()2!(1)!!k kk k m mmmf x m f x m f x f x fx fk k ξ--+=+++++- （8）其中,1,2,...,m x x m m k ξ<<+=.这是关于'"(1)(),(),...,()k f x f x f x -的线性方程组，其系数行列式为21211111...2!(1)!2212...2!(1)! (1)...2!(1)!k k k k D kkkk ----=-212121111 (1)122 (21133)...31!2!...(1)!...............1...k k k k kkk ---=-，后一行列式是范德蒙德行列式，且有212121111 (1)122...21!2!...(1)!133...3 (1)...k k k k kkk---=-，所以D =1. 于是可从方程组（8）把'"(1)(),(),.()k f x f x f x-写成()(1,2,...,)f x m m k +=与()()(1,2,...,)k m fm k ξ=的线性组合. 只需证明()lim ()lim ()0,(1,2,..,)k m x x x f x m x fm k ααξ→∞→∞+===.事实上，设x t x k ≤≤+，于是()()()lim ()lim ()()lim ()lim ()0,(0,)i i i x x x x x x x ft t ft t ft i k tt ααααα→∞→∞→∞→∞====.在此式中分别令,0t x m i =+=和令,m t i k ξ==，则得()lim ()lim ()0,(1,2,..,)k m x x x f x m x fm k ααξ→∞→∞+===.通过对以上例题的分析可以总结利用范德蒙德行列式解决微积分问题的方法： ① 首先要应用泰勒公式，写出函数在某点的近似解；② 根据构造函数在某点的泰勒展开形式，构造范德蒙德行列式；③结合范德蒙德行列式和题目本身进行求解.4. 结束语范德蒙德行列式为问题的求解提供了十分有效地手段. 对范德蒙德行列式的应用，不仅需要对范德蒙德行列式的形式、特点及性质熟练掌握，而且要能灵活的应用. 范德蒙德行列式应用中，构造范德蒙德行列式是解决问题的难点和关键点. 要巧妙地构造范德蒙德行列式进行解题，必须对高等数学的基础知识熟练掌握，要善于将知识衔接起来. 达到这样的境界非一日之功，因此只有打好高等数学的基础，不断地分析解决典型的题目，找出内在的规律，日积月累，对范德蒙德行列式的应用才能得到进一步的掌握.参考文献：[1] 北京大学数学系集合与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，2001.[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006.[4] 邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉：武汉大学出版社，2001.[5] 章乐.几道考研试题的推广[J].大学数学，2003.[6] 牛莉.线性代数[M].北京：中国水利水电出版社，2005.[7] 吴良森，毛羽辉，宋国栋，魏木生，数学分析习题精解[M].北京：科学出版社，2002.[8] 易大义, 陈道琦. 数值分析引论[M].杭州: 浙江大学出版社, 1998.。

数学与应用数学本科毕业范文范德蒙行列式及其应用

本科毕业论文论文题目：范德蒙行列式及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导教师：学院：年月日毕业论文（设计）内容介绍目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)一、引言 (2)二、范德蒙行列式定义及性质 (2)三、范德蒙行列式的应用 (3)（一）范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (3)（二）范德蒙行列式对整除问题的应用 (5)（三）范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用 (6)（四）范德蒙行列式在向量空间理论中的应用 (7)（五）范德蒙行列式在线性变换理论中的应用 (8)（六）范德蒙行列式在微积分中的应用 (10)（七）范德蒙行列式在求解行列式中的应用 (13)参考文献 (16)范德蒙行列式及其应用摘要:行列式最早出现在16世纪关于线性方程组的求解问题中，时至今日行列式理论的应用却远不如此.它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；线性变换；多项式Application of Vandermonde’s DeterminantAbstrac t：The determinant appeared at the earliest which was used to solve the problem concerning the liner equations in 16 centuries,but the days up to now the theoretical in determinant was far used in lots of domains.Vandermonde’s determinant is regarded an a kind of special determinant,which not only have the special form but also have the extensive application.The article inquired into the Vandermonde’s determinant in vector space, linear transformation,polynomial theories and determinant’s calculation of application. Keywords:Vandermonde’sDeterminant;vectorspace;lineartransformation,polynomial theories; determinant’s calculation of application.一引言在高等代数中，行列式计算及其相关的证明是一个重点，也是难点.它最早出现在线性方程组的求解问题中，时至今日，行列式理论的应用越来越广泛，它是后期学习和应用线性方程组，向量空间，矩阵和线性变换的基础.正确而快速的解决行列式问题是其他一切工作的前提，也是科研工作中最为关键的一步.行列式的计算有一定的规律性和技巧性，掌握行列式的规律性有助于我们高效准确的解决科研工作中遇到的行列式问题.而范德蒙行列式是一种重要的行列式，在行列式计算中可以把一些特殊的或者是类似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式进行计算.由于范德蒙行列式有着独特的构造和优美的形式而被广大科研工作者广泛的应用，因而成为一个著名的行列式.二范德蒙行列式定义及性质1. 范德蒙行列式的定义形如12222121111211 (1)n nn n n nx x x x x x x x x ---的行列式，称为1x ,2x ,…n x 的n 阶范德蒙行列式，记作 n V （1x ,2x ,…n x ）.下面以递推法为例介绍范德蒙行列式的计算n V （1x ,2x ,…n x ）=21311222221331111111122133111111000n n n n n n n n n n n x x x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x ---------------=2131122133112222213311()()()()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------=21()x x -31()x x -…1()n x x -n-1V （2x ,…n x ）.仿上做法有n-1V （2x ,…n x ）=3242223()()n n n x x V x x --（x -x ）(x -x ).再递推下直到11V =，故n V （1x ,2x ,…n x ）=21()x x -31()x x -…1()n x x -.32422()n x x -（x -x ）(x -x )(1n n x x --).1=1i j j i nx x ≤<≤-∏. 有以上的计算易得，定理1 n 阶范德蒙行列式n V （1x ,2x ,…n x ）=12222121111211...1n nn n n nx x x x x x x x x ---=∏(i j x x -). 有这个结果立即得出定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等.三范德蒙行列式的应用范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.（一）范德蒙行列式在多项式理论中的应用在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助.例1 证明一个n 次多项式在至多有n 个互异根. 证不妨设n>0, 如果 f(x)=2012n n a a x a x a x ++++有n+1个互异的零点1x ,2x ,…n x ，1n x +，则有()i f x =22012=0i n+i i n i a a x a x a x ++++≤≤，11即 201121120222222012110,0,.......................0.n n nn n n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩这个关于01,,...n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式211122222111111nn n n n n x x x x x x x x x +++=∏(i j x x -)≠0.因此010n a a a ====，这个矛盾表明，f （x ）至多有n 个互异根. 例2 设12,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,i i f a b i n ==.证明：设()1011n n f x c c x c x --=+++，有条件得，(),1,2,i i f a b i n ==.知101111110121221011,,.n n n n n n n n n c c a c a b c c a c a b c c a c a b ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为12,,n a a a 互不相同，所以，方程组的系数行列式()21111212221211101n n ji i j nn nnna a a a a a D aa a a a --≤<≤-==-≠∏.则方程组有唯一解，即唯一解小于n 的多项式，使得()1011n n f x c c x c x --=+++，使得(),1,2,i i f a b i n ==.例 3 证明：对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点()(),1i i a b i n ≤≤，即()i i f a b =()1i n ≤≤.证明：设()12121n n n n f x c x c x c x c ---=++++，要使()i i f a b =()1i n ≤≤，即满足关于12,,,n c c c 的线性方程组：12111211112212221212121,,.n n n n n n n n n n n n n n n n a c a c a c c b a c a c a c c b a c a c a c c b ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩，而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式：121111222212111121111n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a D a a a a a a -----------=.当12,,,n a a a 互不相等时该行列式不为零，由Cramer 定理知方程组有唯一解，即对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点.（二）范德蒙行列式对整除问题的应用多项式的根与整除性是密切相关的，所以有时候可以用范德蒙行列式的性质讨论某些多项式或者整数的整除题. 例4 设121(),(),(),n f x f x f x -是n-1个复系数多项式，满足 11n x x ++++2121()()()n n n n n f x xf x x f x --+++,证明121(1)(1)(1)0n f f f -====.证设2121()()()n n n n n f x xf x x f x --+++=1()(1)n p x x x -+++，取22cossini n nππω=+，分别以21,,,n x ωωω-=代入，可得 212122(2)1211(1)(2)121(1)(1)(1)0,(1)(1)(1)0,(1)(1)(1)0.n n n n n n n n f f f f f f f f f ωωωωωω--------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 这个关于1(1)f ，2(1)f ，1(1)n f -的齐次线性方程组的系数行列式，因此21(,,,)0n V ωωω-=.例5 设12,,n a a a 是正整数，证明()12,,n V a a a 能被()()2121221n n n n ----整除.证明由()()()111222111111n nn n a a a a aa I aa a --=-1!2!!n =111222112111211121n n n a a a n a a a n a a a n ---. 知()12,,n V a a a 能被1!2!!n =()()2121221n n n n ----整除.（三）范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用例 6 A 是3阶方阵，A 有3个不同的特征值123,,,l l l ，对应的特征向量依次为123,,,a a a 令123b a a a =++.证明：2,,b Ab A b 线性无关.证 21231123()k b k Ab k A b k a a a ++=++22221122333112233()()k l a l a l a k l a l a l a ++++++=222121311222322333333()()()k k l k l a k k l k l a k k l k l a ++++++++=0.123,,a a a 线性无关，故有2111222223331101l l k l l k l l k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由于i j l l ≠，则0A ≠，所以方程组只有零解，即2,,b Ab A b 线性无关.例 7 设A 是n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关. 证明：设12,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,r ααα是其相应的特征向量，即r i r A αλα=，1i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=那么，()11220,11j r r A x x x j r ααα+++=≤≤-，即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑.由于其系数行列式()12,,0r V λλλ≠，故11220r r x x x ααα====，又0i α≠于是，0i x =，这证明了12,,r ααα线性无关.（四）范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，我们常常会遇到需要用范德蒙行列式转化问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论. 例8 设12,,,n t t t 是互不相同的实数，证明向量组21(1,,,)n i i i i a t t t -=，i=1,2,…n,n 是n 维向量空间的一组基.证令21111121222221111n n n n nnn a t t t a t t t A a t t t ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为12,,,n t t t 是互不相同的实数，所以0T A A =≠，则12,,,n a a a 线性无关.例 9 设V 是数域F 上的n 维向量空间，任给正整数n m ≤，则在V 中存在m 个向量，其中任取n 个向量都线性无关.证明：因为n V F ≅，所以只需在n F 中考虑即可. 取()2111,2,2,,2n α-=，()()()2222121,2,2,2n α-=，()()()211,2,2,2mmm n m α-=，令()()()()()()111222212121122212221222nnnk k k n k k k n n k k k n D ---=，121n k k k m ≤≤≤≤≤，()()()()()()111222212121122212221222n nnk k k n k k k n n k k k n D ---=是范德蒙行列式，且0n D ≠，所以12,,,n k k k ααα线性无关.例 10 设V 是数域F 上的n 维向量空间，则V 的有限个真子空间不能覆盖V.证明：当n=1时，显然成立.设n>1时，令12,,,n ααα是V 的一个基，设}{112n n n S k k k F V ααα-=+++∣∈⊂，其中，n F 为F 中元素之集合.令112:,n n n F S k e ke k e ϕ-→→+++，12,,,n e e e 为单位向量.则易证ϕ是双射，从而S 中有无穷多个不同的元素.设,1,2,i V i t =为V 的真子空间，则S 中的元素在i V 中的个数小于n,否则，若,1,2,j i V j n β∈=111121112,.n n n nn n n k k k k βαααβααα--⎧=+++⎪⎨⎪=+++⎩则由,,1,2,,,i j k k i j n i j ≠=≠，知系数行列式为非零的范德蒙行列式，故有,1,2,,j k V j n α∈=，进而,1,2,i V V i t ==矛盾.从而S 中只有有限多个元素在1ti i V =中，而S 中有无穷多个元素，所以存在x S ∈，但1,ti i x V =∉即V 的有限个真子空间不能覆盖其自身.（五）范德蒙行列式在线性变换理论中的应用在高等代数的学习中，线性变换一直是一个重点，也是难点，题目的变化也比较多，在有些题目中，我们可以巧妙地利用范德蒙行列式来解决这类题目. 例11 如果12,,,s λλλ是线性变换的全部两两不同的特征值，(1,2,,)i i V s λα∈，则当120s ααα+++=时，必有12s ====0ααα.证明注意到(1)I i i i s αλαΛ=≤≤，对等式120s ααα+++=两边逐次作用，得112222211221111220,0,0.s s s ss s s s s λαλαλαλαλαλαλαλαλα---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 用矩阵表示为()()111122121110,0,,01s s s s s s λλλλαααλλ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1)矩阵1111221111s s s s s B λλλλλλ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式是范德蒙行列式，由于12,,,s λλλ两两不同，从而B 是可逆矩阵.在(1)式两边右乘1B -，得12s ====0ααα.例12 数域F 上的n 维向量V 的线性变换σ有n 个互异的特征值12,,n λλλ，则1）与σ可交换的V 的线性变换都是21,,,n e σσσ-的线性组合，这里e 为恒等变换.2）21,,,,n V αασασασα-∀∈线性无关的充要条件为1,ni i αα==∑这里()i i i σααλ=，1,2,i n =证明：1）设δ是与σ可交换的线性变换，且(),1,2,,i i i i n σαλα==则 }{i i V k k F λα=⎪∈是δ的不变子空间.令21121n n xe x x x δσσσ--=++++且(),1,2,,i i i k i n σαα==，则由以下方程组21111211121212221221121,,.n n n n n nn n n n k x x x x k x x x x k x x x x λλλλλλλλλ------⎧=++++⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩ （1）因为方程组（1）的系数行列式是范德蒙行列式，且()1ij j i nD λλ≤<≤=-∏，所以方程组（1）有唯一解，故δ是21,,,n e σσσ-的线性组合.2)充分性因为1ni i αα==∑，所以()()()()111112212111,,,,,,1n n n n nn λλλλασασααααλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,并且()111122111101n i j j i nn nn λλλλλλλλ--≤<≤-=-≠∏，所以1111221111n n nn λλλλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是可逆矩阵，又因为12,,,n ααα是V 的一组基，()()1,,,n ασασα-线性无关.3)必要性设12,,,n e e e 是分别属于1,,,n λλλ的特征向量，则12,,,n e e e 构成V 的一个基，因而有1122n n k e k e k e α=+++.若0,1,2,i k i n ≠=，则i i k e 是σ的属于i λ的特征向量，故结论成立.若存在}{1,2,,j n ∈，使0j k ≠，不妨设12,,,r k k k 去不为零，而120r r n k k k ++====，因而有1122r r k e k e k e α=+++则()()()()()111111112222212121,,,,,,,,,n n n r r n r r r r r k k k k k k e e e e e e A k k k λλλλασασαλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥==•⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 利用范德蒙行列式可知A 有一个r 阶子式不为零，所以秩（A ）=r ，从而()()()1,,,n r ασασα-=,又因为r n <线性无关，所以()()()1,,,n ασασα-线性无关，矛盾.从而1,ni i αα==∑1,2,i n =.（六）范德蒙行列式在微积分中的应用如果视多项式为实函数，则范德蒙行列式还可以应用到微积分领域.例13 ()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数，证明a x b <<上有()()()()()1"2f x f a f b f a x a b a f c x b -----=-，这里(),c a b ∈.特别的，存在,(,)c a b ∈，使()()2,()2()"()24b a a bf b f f a f c -+-+=. 证在[],a b 上构造函数()()()()()22221111y y f y a a f a F x x x f x b b f b =，为范德蒙行列式，则()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数.因()()()0F a F x F b ===，故有中值定理，存在12a x x x b <<<<，使()()12''0F x F x ==，故再运用一次中值定理，存在()12,c x x ∈，使()''0F c =，即()()()()()''2''22002111f c a a f a F c x x f x b b f b ==0 . 展开行列式即得()()()()()1"2f x f a f b f a x a b a f c x b -----=-. 特别的，取2a bx +=，则有相应的()',c a b ∈，使上式成立，即()()()()212"22a b f f a f b f a a b b a af c a b b +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-+--=+-，化简即得()()2,()2()"()24b a a bf b f f a f c -+-+=.反复利用微分中值定理，可以类似的证明下面更一般的结论：设()f x 在[],a b 内存在n-1阶导数，12n a x x x b <<<<=.证明存在(),c a b ∈，使()()()()()111!n ni i i j j if x f c n x x -=≠=--∑∏. 例 14 设()f x 在区间I上n 阶可导()2n ≥，若对()()()()00,,,,n n n x I f x M f x M M M ∀∈≤≤为正常数，证明：存在n-1个正常数121,,,n M M M -使对x I ∀∈，有()()()1,2,1.k k f x M k n ≤=-证明：设121,,n a a a I -∈，且()0,i i j a a a i j ≠≠≠，由泰勒公式，对于1,2,,1i n =-，有()()()()()11!!n xn k ni i i k f f f x a f x a a k n ξ-=+=++∑，有此得 ()()()()()11!!n xn kn i i i k f f a f x a f x a k n ξ-==+--∑，因此 ()()()()()1012!!!nx n k n i i i n k f f A a f x a f x a M M k n n ξ-=≤+++≤+∑，其中11max ni i n A a ≤<-=，令()()()11,,1,2,,1!x n ki i k f a A x x I i n k -==∈=-∑,则()()02,1,2,,1!i n AA x M M x I i n n ≤+∈=-，由于方程组的系数行列式D 为()()()2311111231222223111112!3!1!2!3!1!2!3!1!n n n n n n n a a a a n a a a a n D a a a a n ---------=-=()211112122212121111111!21!1n n n n n n n a a a a a a a a a n a a a -------=-！，其中后面的行列式为121,,,n a a a -范德蒙行列式，由()i j a a i j ≠≠及0i a ≠知0D ≠，故由克莱姆法则知，存在于X无关的常数()()()()()()121,,k k k n λλλ-，使得：()()()()()11n k k i i i f x A x λ-==∑，(),1,2,,1x I i n ∀∈∀=-，由此推得,1,2,,1x I k n ∀∈∀=-，有()()()()()()()110112!n n k k k i n k i i i i A fx A x M M M n λλ--==⎡⎤≤≤+=⎢⎥⎣⎦∑∑.例15 设函数()f x 在0x =附近有连续的n 阶导数，且()()()()'00,00,,00n f f f ≠≠≠.若121,,,n c c c +为一组两两互异的实数，证明，存在唯一的一组实数121,,,n λλλ+，使得当0h →时，()()110n i i i f c h f λ-=-∑是比n h 高阶的无穷小.证明：由题设条件可得，()()1,2,1i f c h i n =+在0x =处带有皮亚诺型余项的马克劳林展开式：()()()()1100!k k nk nk h c f c h f h k ==+ο∑，()()()()2200!k k nk n k h c f c h f h k ==+ο∑，当0h →时，若()()110n i i i f c h f λ-=-∑为比n h 高阶的无穷小.则121112211222112211112211++=1,++=0,++=0,++=0.n n n n n nn nn n c c c c c c c c c λλλλλλλλλλλλ++++++++⎧⎪+⎪⎪+⎪⎨⎪⎪⎪+⎪⎩ 这是以121,,,n λλλ+为未知数的线性方程组，其系数行列式为：()121222121111211110n n ijj i n nn n n c c c D c c c c c c c c ++≤<≤++==-≠∏.故上述方程组有唯一解，即存在唯一一组实数121,,,n λλλ+，使得当0h →时，()()110n iii f c h f λ-=-∑是比nh高阶的无穷小.（七）范德蒙行列式在求解行列式中的应用行列式的计算是高等代数的重点内用之一，在一些行列式的求解问题中，常可见到范德蒙行列式的踪影，此时提示我们可利用行列式的性质或拆项，升降等方法，将给定行列式转化为范德蒙行列式的形式，从而利用其结果，求出原行列式的值，恰当灵活的运用范德蒙行列式会大大简化某些复杂行列式的计算.例16 122222221211112111=nn n n n n n n na x a x a x D a x a x a x a x a x a x ---+++++++++.解将原n 阶行列式升阶为一个n+1阶行列式122222221211112111110000nnn n n n n n na x a x a x D a x a x a x a x a x a x ---+++=++++++. 然后将此n+1阶行列式第一行乘以()1,2,i a i n -=加到第i+1行可得12222212121111n nnnn n na x x x D a x x x a x x x -=--=1222212122111000n nnn n nx x x x x x x x x -12222212121111n nnnn n na x x x a x x x a x x x =()()()121112nn ijiijj i ni j i nx x x x x x a x x ≤≤≤=≤≤≤•----∏∏∏.例 17 设0x y z >>>，试证明:()2221,,0xx yz f x y z y y xz xy yz xzz z xy=<++. 证明：()()()()222222312222xx yz x x yz x y z x x D yy xz c x y z c c y y xz x y z y y zz xyzz xy x y z z z +++-=+++-+++-+++- ()()()()222x x xy yz xzy y xy yz xz xy yz xz y x z x z y zz xy yz xz++=++=++---++故()2221,,x x yzf x y z y y xz xy yz xzzz xy=++=()()()y x z x z y ---. 由已知0x y z >>>，有()0y x -<，()0z y -<，()0z x -<，所以有(),,0f x y z <例18 计算行列式()()()()()()()()()0001010111101n nnn n nnn n nn nn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b +++++++=+++解：设01000111101n nn n n n n n n n n nn n n n nC C a C a C C a C aD C C a C a =，01111012111n nn n n n n nb b b b b b D ---=，对2D 进行各行依交换，就可以得到范德蒙行列式，于是()()0010112112112011111111nnn n nn n n nnnnn n nnn a a b b b a a D D D C CC b b b a a ++=•=•-=12n n nnC C C()0ijj i na a ≤<≤-∏()()121n n +-()0ijj i nb b ≤<≤-∏.参考文献[1] 同济大学数学系.线性代数（第五版）.北京：高等教育出版社.2007（9）[2] 北大数学系编.王萼芳等修订.高等代数.第三版.北京:高等教育社.2003(2).[3] 郭大钧等.吉米多维奇数学分析习题集解（第三版）.济南:山东科学技术出版社.2005（3）.[4] 张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社.1999[5] 白述伟.高等代数选讲[M].哈尔滨黑龙江教育出版社.1996.[6] 同济大学.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社.2005:223.[7] 刘丽，林谦，韩本三，等.高等代数学习指导与习题解析[M].成都:西南财经大学出版社.2009:39.170.253.[8] 邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉:武汉大学出版社.2001:168.169.176.[9] 吴良森，毛羽辉.数学分析习题精解：多变量部分 [M].北京：科学出版社，2005.[10] 毛纲源.线性代数解题方法和技巧[M].武汉：湖南大学出版社.山东师范大学本科毕业论文（设计）题目审批表山东师范大学本科毕业论文（设计）开题报告论文题目：学院名称：专业：学生姓名：学号：指导教师：年月日山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表指导教师意见评阅人意见答辩委员会意见学院学位分委员会意见山东师范大学本科毕业论文（设计）答辩记录表学院：（章）系别：专业：山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：专业：班级：山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：专业：班级：。

范德蒙行列式的应用论文

范德蒙行列式的应用论文范德蒙行列式的应用摘要行列式是线性代数的主要内容之一，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，有着很重要的作用。

而n阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。

它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。

本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。

关键词：行列式；范德蒙行列式；向量空间理论；线性变换理论；微积分VANDERMONDE DETERMINANT OF APPLICATIONSABSTRACT The determinant is one of the main contents of linear algebra, which is the follow-up course of linear equations, matrixes, vector spaces and linear transformation of the base, has a very important role. The n-order Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations, describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus.Key words: linear algebra，Vandermonde determinant，theory of vector spaces，linear transformation theory，infinitesimal calculus.第一章绪论1.1 引言我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法.形如行列式(1)称为n阶的范德蒙（Vandermonde）行列式.我们来证明，对任意的阶范德蒙行列式等于这n 个数的所有可能的差（1≤j＜i≤n）的乘积.1.2 范德蒙德行列式的证明1.2.1 用数学归纳法证明范德蒙德行列式我们对作归纳法.（1）当时，结果是对的.（2）假设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情况.在中，第行减去第行的倍，第行减去第行的倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的倍，有()()()后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差（2≤j＜i≤n）；而包含的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明.用连乘号，这个结果可以简写为由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是这n个数中至少有两个相等.1.2.2 用定理证明范德蒙德行列式已知在级行列式中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积，在=中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得=根据上述定理=提出每一列的公因子后得=最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有=同样可得=（）()()此处是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得=（）()（）1.3 范德蒙行列式的性质利用行列式的性质容易推得：1、若将范德蒙行列式逆时针旋转可得2、若将范德蒙行列3、若将范德蒙行列式第二章范德蒙行列式的应用2.1范德蒙行列式在行列式计算中的应用利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。

浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用毕业论文

本科毕业论文（设计）题目：浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用专业：数学与应用数学姓名：指导教师：职称：答辩日期：二〇一〇年五月八日浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。

而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。

Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。

本文系统的阐述了Vandermonde 行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde 行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。

关键字: 行列式；Vandermonde行列式；VandermondeVandermonde determinant of the natureand application of relevantAbstract: Within the study of advanced-math,determinant obviously bing important and difficult,was the basic of lated courses including Linear Equations，Vector spaces，Matrix，Linear transformation.There was a series regulations and skills in calculation of determinant.And Vandermonde determinant was an important determinant.Firstly,this thesis described the related natures and the application of Vandermonde determinant systermatically. Secondly,it illustrated several issues of Vandermonde determinant and how to take use of Vandermonde determinant to calculate the general determinant through some approaches.Finally,this thesis instructed and concluded how to take better use of Vandermonde determinant in scientific study and practice.Key words：Determinant; Vandermonde determinant; Vandermonde1 引言在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。

范德蒙行列式的若干应用论文--大学毕业设计论文

海南师范大学目录第一章. 绪论1.1引言- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1.2范德蒙行列式的证明- - - - - - - - - - - - - - 11.2.1 用数学归纳法证明范德蒙行列式1.2.2 用定理证明范德蒙行列式1.3范德蒙行列式的性质- - - - - - - - - - - - - - 4 第二章. 范德蒙行列式的推广与应用- - - - - - - - - 52.1范德蒙行列式在行列式计算中的应用2.2范德蒙行列式在求解n阶k循环行列式中的应用2.3范德蒙行列式在解决多项式的求根问题中的应用2.4范德蒙行列式在解答整除问题中的应用2.5范德蒙行列式在等差数列拆项中的应用2.6范德蒙行列式在微积分中的应用参考文献致谢范德蒙行列式的若干应用作者：高亚南指导教师：黄晓芬博士摘要: 行列式是线性代数的主要内容之一,它是线性代数的决定因素，这是在矩阵，线性方程，向量空间和线性变换之后的的基础上，具有一个非常重要的作用。

该n阶行列式是Vandermonde行列式著名的线性代数，它构建了一个独特而美丽的外形，而且还因为它具有广泛的应用前景，因而成为一个众所周知的决定因素。

范德蒙行列式不仅仅是极为重要的行列式之一，而且也是近代线性代数的一个分支。

范德蒙行列式的应用十分广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它还可以于证明行列式的一些问题，一些关于多项式的证明以及数列拆项等问题上。

本文将从线性代数、多项式理论，行列式向量空间理论等方面进行研究证明。

关键词: 行列式;范德蒙行列式;微积分；多项式理论；Vandermonde Determinant Of ApplicationsAuthor:Gao Yanan Tutor:Doctor Huang XiaofenAbstract:The determinant is one of the main content of linear algebra, it is a major determinant of linear algebra, this is in the matrix, linear equations, vector Spaces andlinear transformation, on the basis of has a very important role. The n order determinant is a famous Vandermonde determinant of linear algebra, it constructed aunique and beautiful appearance, but also because it has a broad application prospect,thus become a well known determinant. Vandermonde determinant, is a kind of extremely important determinant, at the same time is a branch of modern linear algebra. V andermonde determinant application is more extensive, not only applied tosome determinant calculation, and it can also prove that the determinant of someproblem and some certificates and some of the characteristics about the polynomialvector linear independence on such issues. This article will from linear algebra, theoryof polynomial, calculus, determinant, etc are studied.Key words: Determinant, vandermonde determinant, infinitesimal calculus,theoryof polynomial第一章.绪论1.1引言范德蒙行列式，是具有深刻研究价值的行列式，同时也是近代线性代数的一个分支。

浅析Vandermonde行列式的性质与应用毕业论文

浅析Vandermonde行列式的性质与应用摘要：在线性代数与高等代数的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，且其计算具有一定的规律性和技巧性.而Vandermonde行列式是一类很重要的行列式,它构造独特、形式优美、性质特殊，是行列式中的一颗璀璨明珠.为了使我们对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，同时开阔数学视野、培养发散思维能力，以便更好地为我们的科研和生活服务，本文主要阐述了Vandermonde行列式的证法及其相关性质,并用例举法介绍及总结了如何利用Vandermonde行列式计算某些特殊的行列式与其在多项式、向量空间等中的简单应用.关键词：行列式 Vandermonde Vandermonde行列式宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文Analysis of Vandermonde determinant Properties and ApplicationsAbstract:Linear algebra and advanced algebra learning, the determinant is undoubtedly a key and difficult points, it is the follow-up course matrix, the basis of vector spaces and linear transformations, and its calculation with a certain regularity and skill. Vandermonde determinant is a very important determinant, it constructs a unique, beautiful form of special nature, is a shining pearl in the determinant. To enable us to further deepen the understanding and application of the Vandermonde determinant, and at the same time broaden their mathematical horizons, develop divergent thinking ability in order to better serve our research and living services, the paper mainly expounds the Vandermonde determinant permit law and its related properties, and introduced with examples of France and summarizes how to use the Vandermonde determinant for the calculation of some of the special determinant of the Vandermonde determinant polynomial, the vect or space.Keywords: Determinant Vandermonde Vandermonde determinant宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文目录1 引言 (1)2 VANDERMONDE行列式的定义与证法 (2)2.1V ANDERMONDE行列式的定义 (2)2.2V ANDERMONDE行列式的证法 (2)3 VANDERMONDE行列式的性质 (4)3.1V ANDERMONDE行列式的翻转与变形 (4)3.2V ANDERMONDE行列式为0的充分必要条件 (5)3.3V ANDERMONDE行列式推广的性质定理 (5)4 VANDERMONDE行列式的应用 (7)4.1V ANDERMONDE行列式在行列式计算中的应用 (7)4.1.1 计算准Vandermonde行列式 (7)4.1.2 计算特殊的行列式 (7)4.2V ANDERMONDE行列式在多项式与向量空间中的应用 (10)4.2.1 Vandermonde行列式在多项式中的应用 (10)4.2.2 Vandermonde行列式在向量空间中的应用 (13)5 小结 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)1 引言行列式最早出现在17世纪关于线性方程组的求解问题中，由日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨分别发明，而法国数学家范德蒙德(A-T.Vander- monde，1735-1796)对行列式理论做出了连贯的、逻辑的阐述，并命名了著名的Vandermonde 行列式.后许多数学家如柯西、雅可比、泰勒等对其不断发展完善，做了进一步的解析与应用，使得19世纪中期行列式与向量、矩阵完美融合.时至今日，行列式成为了线性代数与高等代数的主要内容与重点内容之一，是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，而vandermonde行列式在多项式、向量空间、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值与特征向量、微积分等理论中都有大量应用，例如对Cramer法则的补充、Lagrange插值公式的推导、向量空间基的证明、与Taylor公式结合求微积分问题等起了重要的作用[1]，而其在简化行列式计算方面，更是灵活巧妙，成为了广大学生的有力工具.出于对n阶vandermonde行列式其独特的构造、优美的形式、特殊的性质的好奇与喜爱，我查阅了大量的参考文献后，决定就Vandermonde行列式的证法与相关性质，浅谈其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用，使得对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，培养自身的科研素养.当然我相信，随着科技的进步与更多数学家的进一步研究，Vandermonde行列式这颗璀璨明珠，将会在各领域绽放更耀眼的光芒.2 Vandermonde 行列式的定义与证法 2.1 Vandermonde 行列式的定义我们把型如 n V =121111211...1..................nn n n na a a a a a ---的行列式叫做Vandermonde 行列式，其值为1()i j j i na a ≤<≤-∏，即n V =121111211...1..................nn n n na a a a a a ---=1()i j j i na a ≤<≤-∏其中1()i j j i na a ≤<≤-∏表示12,,...n a a a 这n 个数的所有可能的差i j a a -（1j i n ≤<≤）的乘积（2n ≥）[2].2.2 Vandermonde 行列式的证法方法一：消元法（降阶法）[3]证明从第n 行开始，每一行加上前一行的1a -倍，根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有n V =)()(...)(0)()(...)(0............... (01)1...111211211222131131123211112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n -------------------- 再按行列式首项展开得：n V =1·)()(...)()()(...)(......... (121121)1222131131123211112a a aa a aa a aa a a a a a a a a a a a a a a n n nn n n n n n n n n n n n n --------------------各列提公因式得：n V =21111()...()()n n a a a a a a ----·2313333231222223111...11........................n nn n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a ----------- 注意到行列式2313333231222223111...11........................n nn n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a -----------是1n -阶Vandermonde 行列式1-n V ，即已经将n V 用1-n V 表示出来,降了一阶，并且少了一元1a .重复用上述方法对1-n V 再进行求解，经过有限步则可以得到：1n V -=（(21a a -)…111()()n n a a a a ---）·(()32122()...()n n a a a a a a ----)…(1n n a a --) =1()i j j i na a ≤<≤-∏即证.方法二：数学归纳法[4] 证明（1）当2n =时, 221121 1 V a a a a ==-成立.（2）假设对于1n -阶成立，则对于n 阶，首先构造一个辅助的n 阶行列式： 11-n 112112212221121)(11 1 1------=n n n n n n x xa a a xa a a xa a a V显然，n aV V n =)(，将)(x V 按第n 列展开，得：1)(=x V ·n A 1x +·n A 22x +·13-++n n x A ·nn A其中),,2,1(n i A in =是行列式)(x V 中元素),,2,1(1n i x a i in ==-的代数余子式，且不含x ，因此可知)(x V 是一个n-1次的多项式，它的最高次1-n x 的系数是nn A ，按定义知11)1(--+=-=n n n n nn V V A .另一方面，根据行列式的性质知121,,-n a a a 是)(x V 的n-1个根，根据多项式的理论，得：)())((1211)(-----=n n x a x a x a x V V取n a x =代入，得：)())((1211)(-----=n n n n n x a a a a a a V V即 )())((1211-----=n n n n n n a a a a a a V V根据归纳假设，1-n V =11()i j j i n a a ≤<≤--∏，因此n V =1()i j j i na a ≤<≤-∏.由（1）（2）结论得证.3 Vandermonde 行列式的性质3.1 Vandermonde 行列式的翻转与变形n V =121111211...1..................n n n n nx x x x x x ---(1)将Vandermonde 行列式逆时针旋转90，得11(1)11211111(1)1n nn n n n n n n n x x x x V x x ------=-.(2)将Vandermonde 行列式顺时针旋转90，得1111(1)222111(1)1n n n n n n nn x x x x V x x ----=-.(3)将Vandermonde 行列式旋转180，得1111111111n n n n n n n x x x V x x x -----=.3.2 Vandermonde 行列式为0的充分必要条件一个Vandermonde 行列式121111211...1..................nn n n na a a a a a ---为0的充分必要条件是：12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等.3.3 Vandermonde 行列式推广的性质定理行列式()n k V =122221211112111121211...1.......................................nnk k k n k k k nnn n nx x x x x x x x x x x x x x x ---+++=1212......n k n kp p p p p p x x x --∑·V (k=0,1,2…n -1)其中符号“()n k V ”中的下标“n ”表示n 阶行列式，“(k)”表示仅缺少的k 次方幂元素行；12,...n k p p p -是1,2,...n 中（n k -）个数的一个正序排列；12...n kp p p -∑表示对所有（n k -）阶排列求和；1(x -x )i j j i nV ≤<≤=∏[5].证明（i ）在行列式()1,2(...)n k n V x x x 中增补第（1k +）行和（1n +）列相应的元素，考虑（1n +）阶Vandermonde 行列式1211111212121111121211...11.....................()(,...,)........................n k k k k nn k k k k nk k k k nnn n nnx x x x x x x x f x V x x x x x x x x x x x x x x x x ----++++===213111()()()()n x x x x x x x x ----·))(()(2223x x x x x x n --- ·… … … … ))((11----n n n x x x x · ()n x x -=12()()...()n x x x x x x ---·1()i j j i nx x ≤<≤-∏(ii)由上式的两端分别计算多项式k x 中项的系数.在上式左端，由行列式计算k x 的系数为：行列式中该元素对应的代数余子式(1)k n +-·()n k V ，在上式右端，由多项式计算知12,,...,n x x x 为()0f x =的n 个不同根，根据根与系数的关系，k x 项的系数为：(1)n k n k a --=-·1212,......n k n kp p p p p p x x x --∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏(k=0,1,2…n -1)其中12,...n k p p p -是1，2…n 中（n k -）个数的一个正序排列，12,...n kp p p -∑表示对所有（n k -）阶排列求和.（iii ）比较)(x f 中k x 项的系数，计算行列式)(k n V .因为(*)式左右两端k x 项系数应该相等，所以(1)k n +-·)(k n V (1)n k -=-·1212,......n k n kp p p p p p x x x --∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏，则1212(),......n k n kn k p p p p p p V x x x --=∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏1212......n k n kp p p p p p x x x --=∑·V (k=0,1,2…n -1)定理得证.4 Vandermonde 行列式的应用4.1 Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用4.1.1 计算准Vandermonde 行列式利用Vandermonde 行列式推广的性质定理可以计算各阶准Vandermonde 行列式（缺行的Vandermonde 行列式也叫做超Vandermonde 行列式或准Vandermon -de 行列式），简便易行[6].特别地，当k n =时，令0p =1，()n k V 即为Vandermonde 行列式n V .例1 计算准Vandermonde 行列式1234562222221234566(3)444444123456555555123456666666123456111111a a a a a a a a a a a a V a a a a a a a a a a a a a a a a a a =解由定理，n =6,k =3,所以 1231236(3)p p p p p p V aa a =∑·∏≤<≤-61)(i j j ia a=123124456(...)a a a a a a a a a +++·∏≤<≤-61)(i j j ia a4.1.2 计算特殊的行列式Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用，除了应用其推广的性质定理来计算各阶准Vandermonde 行列式之外，还可以用以下一些方法来计算某些类似Vandermonde 行列式的特殊的行列式.（1）法一: 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde 行列式不完全相同，需利用行列的性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将其化为Vandermonde 行列式[7].例2 计算n 阶行列式n nn n n n D 22222111=解 n D 1212122211111!--=n n n n n n)1()13)(12(!---=n n ·)]1([)2()24)(23(-----n n n!n =·)!1(-n ·)!2(-n ·!2·!1（2）法二：利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的Vandermonde 行列式.例3 计算)1(+n 阶行列式n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a D 1111212111112122222221221111212111111+-+++-++-++------+=其中0≠i b ，0≠i a ，（1,,2,1+=n i ）解提取1+n D 各行的公因式，得：n n n n n a a a D 211=+·11222211111)(1)(1)(1---n n n nnn n a b a b a b a b a b a b （Vandermonde 行列式）上式右端的行列式是以新元素112211,,,++n n a b a b a b 为列元素的1+n 阶Vandermonde 行列式，所以：1+n D =n nn n a a a 21·∏+≤<≤-11)(n i j j jii a b a b（3）法三：如n 阶行列式n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列），且n D 中含有n 个分行（列）组成的Vandermonde 行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以（1-）加到（1+i ）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde 行列式[8].例4 计算行列式△4=434233322322213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++解在△4的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到△4=434233322322213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行，得:△4=4333232134********321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=∏≤<≤-41)sin (sin i j j i ϕϕ（4）法四：行列式中其他各行（列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）的元素不是相应元素的零次幂（即该行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函数，利用行列式的性质将这一行（列）元素化为全是1的元素.例5 证明△3=ba a c cbc b a cb a +++222证明将△3的第1行加到第3行上，得到△3=c b a c b a c b a c b a cba++++++222=222111)(c b a c b a c b a ++ ))()()((b c a c a b c b a ---++=4.2 Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用在线性方程组中，Cramer 法则有着非常重要的作用，它给出了一类重要的线性方程组的解的存在唯一性.而在许多行列式的计算与证明中，Vandermonde 行列式又是一个十分重要的行列式.两个如此“重要”的数学元素相结合，其产生的作用将更重要.Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用，主要就是结合Cramer 法则来证明相关的问题[9].下面一起来看几个典型的例子. 4.2.1 Vandermonde 行列式在多项式中的应用例6 证明一个n 次多项式至多有n 个互异的根. 证明用反证法.设n n x a x a x a a x f ++++= 2210)(有n+1个互异的根，分别为：121 , , ,+n x x x ，则有：0)(2210=++++=n i n i i i x a x a x a a x f （11+≤≤n i ）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++000122111022221201221110n n n n n n nn na x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a这个关于n a a a , , ,10 的齐次线性方程组的系数行列式是一个Vandermonde 行列式:0)( 11 111121!22221211≠-=∏+≤<≤+++n i j j in n n n n nx xx x x x x x x x x则由Cramer法则知该方程组只有零解，即0210=====n a a a a ，而n 次多项式)(x f 的最高次项的系数n a 是不为零的.这个矛盾表明)(x f 至多有n 个互异的根.例7 设多项式n k n k k x a x a x a x f +++= 2121)(，0≠i a ， j i k k ≠，j i ≠，},,2,1{,n j i ∈，则)(x f 不可能有非零且重数大于1-n 的根.证明用反证法.设0≠α是)(x f 的重数大于1-n 的根，则0)(,,0)(,0)()1('===-αααn ff f进而有0)(,,0)(,0)()1(1'===--αααααn n ff f即：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+--+++--++--=+++=+++0)2()1()2()1()2()1(0021212122221111221121n n n k n n nn k k k n n kk k n k k a n k k k a n k k k a n k k k a k a k a k a a a ααααααααα 把上式看作是以n k n k k a a a ααα，，， 2121为未知量的齐次线性方程组，则其系数行列式为：)2()1()2()1()2()1()1()1()1(111222111221121+--+--+-----n k k k n k k k n k k k k k k k k k k k k n n n n n n1121121111---=n nn n n k k k k k k∏≤<≤≠-=ni j j ik k10)(由Cramer 法则知上面的齐次线性方程组只有零解，从而),,2,1(,0n i a k i ==α因为0≠i a ，所以必须0=α，这与假设0≠α矛盾，故)(x f 没有非零且重数大于1-n 的根.例8 证明：对于平面上n 个点),(i i b a （n a a a n i , , , , 121 ≤≤互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式)(x f 通过这n 个点，即 i i b a f =)()(1 n i ≤≤.分析要证明n 个等式成立，也就是要证明n 个方程组成的方程组有解，很自然地会想到Cramer 法则，再根据系数行列式的特点，考虑用Vandermonde 行列式的结论.证明设n n n n c x c x c x c x f ++++=---12211)( ，要使)(1 )(n i b a f i i ≤≤=，即满足关于n c c c , , , 21 的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---------n n n n n n n n n n n n n n n n bc c a c a c a b c c a c a c a b c c a c a c a 12211212222112111221111该方程组的系数行列式为Vandermonde 行列式：111212221212111n n n n n n n n n a a a a a a a a a------，当n a a a , , , 21 互不相等时，该行列式不为0，由Cramer 法则知方程组有唯一解，即对于平面上n 个点),(i i b a （n a a a n i , , , , 121 ≤≤互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式)(x f 通过这n 个点. 4.2.2 Vandermonde 行列式在向量空间中的应用例9 设n t t t 21 ,是互不相同的实数，证明向量组（12, , ,1-n i i i t t t ）i=1,2,…n 是n 维向量空间n R 中的一个基.证明只需证明12, , ,1-n i i i t t t 线性无关即可.令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---12122221121121 1 1 1 n m m m n n n t t t t t t t t t a a a A ，因为n t t t 21 ,是互不相同的实数，所以 0)(1≠-==∑≤<≤ni j j iT t tA A ，故12, , ,1-n i i i t t t （i=1,2,…n ）线性无关，是n 维向量空间n R 中的一个基.例10 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}，证明 C[a,b]是R 上的向量空间.证明我们知道，C[a,b]是R 上的无限维向量空间，要证该结论，只需对任意的正整数n ，可证得n x x x , , ,12线性无关即可.设R k k k k n ∈∃, , , , 210 ，使得02210=++++n n x k x k x k k取n+1个实数121, , , +n c c c ，使得b c c c a n ≤<<<≤+121 ，则由上式知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++00121211022222101212110n n n n n nn nn c k c k c k k c k c k c k k c k c k c k k 即A ·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 10 n k k k ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n n n nn c c c c c c c c c A 121122221211 1 1 1 而0)(det 11≠-==∏+≤<≤n i j j i c c A A ，则A 可逆，用1-A 左乘A ·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 10 n k k k 的两端，得：0210=====n k k k k ，所以n x x x , , ,12线性无关. 故C[a,b]是R 上的向量空间，且是R 上的无限维向量空间.例11 设0dim >=n V F （即V 的维数为n ），存在集合V S ⊆，使S 含无穷多个向量，且S 中任意n 个不同的向量都是V 的一个基.证明设n ααα, , , 21 是V 的一个基，令{}F k k k k S n n ∈+++==-|13221αααα ，n n k k k k ααααβ13221-++++= ，让n k k k , , , 21 互不相同，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---11211222212121 1 11), , , (), , , (21n n n n nn n k k k k k k k k k k k k n αααβββ由于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---112112222121 1 11n n n n nn k k k k k k k k k T ，其行列式是Vandermonde 行列式，即0)(det 1≠-==∏≤<≤ni j j ik kT T ，故), , , (21n k k k βββ 线性无关，是V 的一个基，且S 中含无穷多个向量.当然，Vandermonde 行列式与Cramer 法则相结合的应用远不仅此，二者还可用于求缺项)11( -≤≤n k x k 的多项式的表达式、Lagrange 插值公式的推导等，还可与泰勒公式相结合来证明有关高阶微积分的问题，因所需的专业知识较深、综合性较强、推导计算等过程较复杂，这里不作研究.5 小结以上我们在回顾行列式相关知识的基础上，进一步比较系统地阐述了Vandermonde 行列式的一些重要性质与其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用等知识，使得我们对vandermonde 行列式进一步加深了解与应用.在本文的撰写中，我通过查阅大量文献，在各代数学家研究的理论基础上选择并总结了适合大学生学习与应用的部分，通过举例向大家具体呈现了Vandermonde 行列式的应用方法，同时开阔了自己的数学视野，培养了发散思维能力与科研素养，为今后继续对行列式及vandermonde 行列式更深层次、更复杂层次的相关研究做铺垫.对于第一次论文的撰写，难免有纰漏，望老师提出宝贵的意见，以便更好地为我们的学习、科研和生活服务.参考文献[1] 张贤科，许甫华.高等代数[M].北京:清华大学出版社,1998年4月:102.[2] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社.2003年6月:79-81.[3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].北京:高等教育出版社.2004年7月:95-96.[4] 张禾瑞，郝炳新. 高等代数[M].北京:高等教育出版社.1999年5月:119-120.[5] 黄玉蝉.多项式、线性方程组及Vandermonde行列式的相互应用[J].济南大学学报.1994(2):4-6.[6] 刘建中.范德蒙德行列式的一个性质的证明及其应用[J].河北大学学报（自然科学版）.2000(4):8-10.[7] 袁旭华，杨海文，赵耀峰.几种类Vandermonde行列式的计算[J].延安大学学报（自然科学版）.2006(1):7-9.[8] 王新长.Vandermonde行列式在高等代数中的应用[J].井冈山师范学院学报（自然科学版）.2002(3):3-5.[9] 宴林.范德蒙行列式的应用[J].文山师范高等专科学校学报.2001(2):10-13.谢辞在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师的悉心指导，在此表示衷心的感谢！李老师严谨治学的态度使我受益匪浅，在论文写作的这段时间里,她时刻关心着我的论文完成情况,并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方,并指导我如何查找资料，使得我最后顺利完成论文.同时感谢其他所有帮助过我的老师、同学以及一起努力过的朋友.。

范德蒙行列式的应用探究

范德蒙行列式的应用探究
范德蒙行列式（也称为双核格式或矩阵表示）是一种数学表示，指先把问题所
考虑的因果和变量抽象为不同维度罗列（行或列），叶构成表格，其中每一格按顺序表达一次变量的关系。

这种表示能够有效地帮助任务分解者清楚地辨明任务中存在的因果关系，以便创造出一种有针对性的解决方案。

通过使用范德蒙行列式，可以把任务中存在的因果关系构建起来。

这种表示方
法既可以把任务中各个因素用文字表达出来，也可以用简洁而准确的矩阵形式来表示。

因此，范德蒙行列式具有贴切地反映任务因果关系、把握任务结构、增强理解能力等优点，在模式分析、决策分析、任务调度等行业任务中得到了广泛应用。

例如，在服务行业中常常会遇到一组要求，也被称为SLA（服务级别协议）。

SLA的结构是复杂的，可能存在若干层次的流程关系、服务因素、责任者等，因此，使用范德蒙行列式详细描述SLA能够更好地阐明其各个层次之间的关系和联系，进而针对具体情况制定完善的SLA。

此外，范德蒙行列式也可以用于任务计划，例如在新产品的研发上。

对于一项
新产品的研发，可以采用范德蒙行列式来表示船将和其他因素之间的关系，把子任务放在一起详细描述，从而分析出每一步的责任、要求、能力等，以构建一个合理有效的研发计划。

范德蒙行列式在行业任务中有着广泛的应用，它能有效地帮助任务分解者对任
务中存在的因果关系有更清晰的认识，从而为创造出一种有针对性的解决方案提供有力的指导。

范德蒙行列式的几点重要的应用-应用数学毕业论文

阜阳师范学院信息工程学院Fuyang Shifan Xueyuan Xinxi Gongcheng Xueyuan诚信承诺书我谨在此承诺:本人所写的毕业论文《范德蒙行列式的几点重要的应用》均系本人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均作了注释。

如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理。

承诺人（签名）年月日范德蒙行列式的几点重要的应用姓名：苏春学号：200904010221 指导老师：王海坤摘要行列式是高等代数知识学习的基础，它在后续的学习中非常重要。

由于它有良好的特点和独特的形式而深受数学工作者的关注。

本文将立足于范德蒙行列式的性质, 探究其各种位置变化规律。

从而把一些似于它的行列式特点且根据一定的规律性和技巧性可以转化且利用它的性质特点进行优化处理，及如何构造它，把复杂的行列式进行优化，本文主要通过举例来探究它在多项式、线性变换、向量空间以及微积分等理论中的具体应用。

关键词：范德蒙行列式；行列式；微积分：向量空间；线性变换；多项式；1. 预备知识1.1 范德蒙行列式的定义我们把形式如下的行列式113121122322213211111----=n nn n n nnn a a a a a a a a a a a a D称为阶数为n 的范德蒙行列式（Vandermonde Determinant)。

下面我们来把范德蒙德行列式n D113121122322213211111----=n nn n n nnn a a a a a a a a a a a a D∏≤<≤-=ni j j i a a 1)(对于任意的)2(≥n n 恒成立. 作具体的证明:1.2 范德蒙行列式的证明1.2.1 范德蒙行列的归纳法的证明证明：用数学归纳法当2=n 时，有.)(112112212∏≤<≤-=-==i j j ia aa a a a D 故有当2=n 时成立。

假设对阶数为1-n 时成立原命题已证，现对阶数为n 时也证明同样成立。

范德蒙行列式的应用

范德蒙行列式的应用班级:应数一班姓名:刘成学号:1250411014摘要:行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具.范德蒙对行列式的发展起了至关重要的作用.事到如今,范德蒙行列式已得到了极大的发展和扩充.在行列式、因式分解等领域都有极大的作用。

关键词：范德蒙德行列式应用发展正文：导言:行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具.范德蒙对行列式的发展起了至关重要的作用.事到如今,范德蒙行列式已得到了极大的发展和扩充.在行列式、因式分解等领域都有极大的作用。

要想应用范德蒙行列式，我们必须知道范德蒙行列式究竟是什么，熟悉他的性质，才能将其灵活的应用。

首先，让我们看看范德蒙行列式的定义和性质。

定义：形如叫作范德蒙行列式。

其值为:∏<<-n)(《jiijaa用递推法可以证明＝11111131112313313331322122123212211312...0.............0...0...01...111------------------n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ＝)(....()(........)(...)()( (12))13231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n ------------＝（ａ２－ａ１）（ａ３－ａ１）….（ａｎ－ａ１）2232232................1 (11)---n nn n n a a a a a a −→−−→−推递＝）（《i jn0a -a∏<<j i 明白了范德蒙行列式的定义,接下来可以看看他的性质. 性质: 1. 若将范德蒙行列式旋转(不论是顺时针还是逆时针都一样)可得性质:2. 若将范德蒙行列式下面，我们可以看看范德蒙行列式的应用。

范德蒙德行列式在行列式计算中的应用

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０１７范德蒙德行列式在行列式计算中的应用范德蒙德行列式在行列式计算中的应用Һ侯丽芬㊀（朔州师范高等专科学校数计系，山西㊀朔州㊀０３６００２）㊀㊀ʌ摘要ɔ范德蒙德（Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ）行列式是一类重要的行列式，本文结合实例讨论了范德蒙德行列式的计算，以及如何将一些特殊的行列式化为范德蒙德行列式进行计算，以减小计算量，提高计算效率．ʌ关键词ɔ范德蒙德行列式；行列式计算行列式的计算是线性代数中的重要内容，范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它具有独特的标准形式及简明的计算结果．本文从范德蒙德行列式的计算结果出发，结合行列式的计算性质，讨论了将一些特殊的㊁类似于范德蒙德行列式的行列式转化为范德蒙德行列式进行计算，最终化繁为简，使解题达到事半功倍的效果．形如１１１ａ１ａ２ａｎａ２１ａ２２ａ２ｎａｎ－１１ａｎ－１２ａｎ－１ｎ的ｎ阶行列式称为范德蒙德行列式．若Ｄｎ为ｎ阶范德蒙德行列式（ｎȡ２），则Ｄｎ＝（ａｎ－ａｎ－１）㊃（ａｎ－ａｎ－２）（ａｎ－ａ１）（ａｎ－１－ａｎ－２）（ａｎ－１－ａｎ－３）（ａｎ－１－ａ１）（ａ３－ａ２）（ａ３－ａ１）（ａ２－ａ１）＝ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ），即ｎ阶范德蒙德行列式等于ａ１，ａ２，，ａｎ这ｎ个数的所有可能的差ａｉ－ａｊ１ɤｊ＜ｉɤｎ()的乘积．下面结合实例说明一些特殊行列式的计算方法．１．直接利用范德蒙德行列式的结果计算例１㊀计算行列式Ｄ＝１１１１１２３４１４９１６１８２７６４．分析㊀该行列式是一个四阶范德蒙德行列式，其中ａ１＝１，ａ２＝２，ａ３＝３，ａ４＝４．解㊀由范德蒙德行列式的结果，可得Ｄ＝１１１１１２３４１４９１６１８２７６４＝（４－３）（４－２）（４－１）（３－２）（３－１）（２－１）＝１２．２．利用行列式的性质计算（１）提取公因式法例２㊀计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝１２３ｎ１２２３２ｎ２１２ｎ３ｎｎｎ．分析㊀该行列式中各列元素都分别是一个数自上而下按升幂顺序排列，方幂次数都是从１到ｎ．如果分别提取各列的公因数，则方幂次数便成为从０到ｎ－１，得到一个标准的ｎ阶范德蒙德行列式，其中ａ１＝１，ａ２＝２，，ａｎ＝ｎ．解㊀Ｄｎ＝１２３ｎ１２２３２ｎ２１２ｎ３ｎｎｎ＝ｎ！１１１１１２３ｎ１２２３２ｎ２１２ｎ－１３ｎ－１ｎｎ－１＝ｎ！（２－１）（３－１）（ｎ－１）（３－２）（ｎ－２）［ｎ－（ｎ－１）］＝ｎ！（ｎ－１）！（ｎ－２）！２！１！．（２）行㊁列变换法例３㊀计算行列式Ｄ＝１１１１１＋ｓｉｎＡ１１＋ｓｉｎＡ２１＋ｓｉｎＡ３１＋ｓｉｎＡ４ｓｉｎＡ１＋ｓｉｎ２Ａ１ｓｉｎＡ２＋ｓｉｎ２Ａ２ｓｉｎＡ３＋ｓｉｎ２Ａ３ｓｉｎＡ４＋ｓｉｎ２Ａ４ｓｉｎ２Ａ１＋ｓｉｎ３Ａ１ｓｉｎ２Ａ２＋ｓｉｎ３Ａ２ｓｉｎ２Ａ３＋ｓｉｎ３Ａ３ｓｉｎ２Ａ４＋ｓｉｎ３Ａ４．分析㊀依次将行列式的上一行乘－１加到下一行，所得结果再乘－１加到下一行，则得到一个范德蒙德行列式．解㊀Ｄ＝１１１１ｓｉｎＡ１ｓｉｎＡ２ｓｉｎＡ３ｓｉｎＡ４ｓｉｎ２Ａ１ｓｉｎ２Ａ２ｓｉｎ２Ａ３ｓｉｎ２Ａ４ｓｉｎ３Ａ１ｓｉｎ３Ａ２ｓｉｎ３Ａ３ｓｉｎ３Ａ４＝ᵑ１ɤｊ＜ｉɤ４（ｓｉｎＡｉ－ｓｉｎＡｊ）．（３）升阶法例４㊀计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝１１１１ａ１ａ２ａｎ－１ａｎａ２１ａ２２ａ２ｎ－１ａ２ｎａｎ－２１ａｎ－２２ａｎ－２ｎ－１ａｎ－２ｎａｎ１ａｎ２ａｎｎ－１ａｎｎ．分析㊀根据ｎ阶行列式Ｄｎ的特点，通过加边的方法添加一行一列．在第ｎ行与第ｎ－１行之间加入含有ａｎ－１ｉ（ｉ＝１，２，，ｎ）的一行，再加入相应的一列１，ｂ，ｂ２，，ｂｎ，构造一个（ｎ＋１）阶范德蒙德行列式Ｄｎ＋１间接求出Ｄｎ．解㊀加边，作（ｎ＋１）阶范德蒙德行列式．. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０１７Ｄｎ＋１＝１１１１ａ１ａ２ａｎｂａ２１ａ２２ａ２ｎｂ２ａｎ－２１ａｎ－２２ａｎ－２ｎｂｎ－２ａｎ－１１ａｎ－１２ａｎ－１ｎｂｎ－１ａｎ１ａｎ２ａｎｎｂｎ，将Ｄｎ＋１按第（ｎ＋１）列展开，得Ｄｎ＋１＝Ｍ１，ｎ＋１㊃１＋Ｍ２，ｎ＋１㊃ｂ＋＋Ｍｎ，ｎ＋１㊃ｂｎ－１＋Ｍｎ＋１，ｎ＋１㊃ｂｎ．其中ｂｎ－１的系数为：Ｍｎ，ｎ＋１＝（－１）ｎ＋（ｎ＋１）㊃Ｄｎ＝－Ｄｎ．而由范德蒙德行列式的结果，可知Ｄｎ＋１＝（ｂ－ａ１）（ｂ－ａ２）（ｂ－ａｎ）（ａ２－ａ１）ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ）＝［ｂｎ＋（－１）（ａ１＋ａ２＋＋ａｎ）㊃ｂｎ－１＋］ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ），其中ｂｎ－１的系数为－（ａ１＋ａ２＋＋ａｎ）ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ），比较系数，得Ｄｎ＝（ａ１＋ａ２＋＋ａｎ）ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ）．（４）拆项法例５㊀计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝１＋ａ１１＋ａ２１１＋ａｎ１１＋ａ２１＋ａ２２１＋ａｎ２１＋ａｎ１＋ａ２ｎ１＋ａｎｎ．解㊀Ｄｎ⇒升阶１０００１１＋ａ１１＋ａ２１１＋ａｎ１１１＋ａ２１＋ａ２２１＋ａｎ２１１＋ａｎ１＋ａ２ｎ１＋ａｎｎ＝１－１－１－１１ａ１ａ２１ａｎ１１ａ２ａ２２ａｎ２１ａｎａ２ｎａｎｎ再把第一行拆成两项之和２０００１ａ１ａ２１ａｎ１１ａ２ａ２２ａｎ２１ａｎａ２ｎａｎｎ－１１１１１ａ１ａ２１ａｎ１１ａ２ａ２２ａｎ２１ａｎａ２ｎａｎｎ＝２ａ１ａ２ａｎᵑ１ɤｊ＜ｋɤｎ（ａｋ－ａｊ）－ᵑｎｉ＝１（ｘｉ－１）ᵑ１ɤｊ＜ｋɤｎ（ａｋ－ａｊ）＝２ᵑｎｉ＝１ａｉ－ᵑｎｉ＝１（ａｉ－１）[]㊃ᵑ１ɤｊ＜ｋɤｎ（ａｋ－ａｊ）．（５）拉普拉斯展开法例６㊀计算行列式Ｄ＝１０ａ１０ａｎ－１１００１０ｂ１０ｂｎ－１ｎ１０ａ２０ａｎ－１２００１０ｂ２０ｂｎ－１２１０ａｎ０ａｎ－１ｎ００１０ｂｎ０ｂｎ－１ｎ．分析㊀由拉普拉斯定理，运用公式Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋＋ＭｎＡｎ来计算行列式的值．解㊀取第１，３，，２ｎ－１行，第１，３，，２ｎ－１列展开，得Ｄ＝１ａ１ａｎ－１１１ａ２ａｎ－１２１ａｎａｎ－１ｎ１ｂ１ｂｎ－１１１ｂ２ｂｎ－１２１ｂｎｂｎ－１ｎ＝ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ）（ｂｉ－ｂｊ）．（６）行列式乘积变换法例７㊀计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝Ａ０Ａ１Ａｎ－１Ａ１Ａ２ＡｎＡｎ－１ＡｎＡ２ｎ－２，其中Ａｋ＝ａｋ１＋ａｋ２＋＋ａｋｎ＝ðｎｉ＝１ａｋｉ（ｋ＝０，１，，２ｎ－２）．分析㊀由行列式的乘法规则可以将Ｄｎ化为两个范德蒙德行列式的乘积．解㊀Ｄｎ＝ｎðｎｉ＝１ａｉðｎｉ＝１ａｎ－１ｉðｎｉ＝１ａｉðｎｉ＝１ａ２ｉðｎｉ＝１ａｎｉðｎｉ＝１ａｎ－１ｉðｎｉ＝１ａｎｉðｎｉ＝１ａ２ｎ－２ｉ＝１１１１ａ１ａ２ａ３ａｎａ２１ａ２２ａ２３ａ２ｎａｎ－１１ａｎ－１２ａｎ－１３ａｎ－１ｎ１ａ１ａ２１ａｎ－１１１ａ２ａ２２ａｎ－１２１ａ３ａ２３ａｎ－１３１ａｎａ２ｎａｎ－１ｎ＝ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ）２．ʌ参考文献ɔ［１］王萼芳，石生明．高等代数（第３版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．［２］郑大川，吴瑞武．线性代数与概率论［Ｍ］．北京：中国农业出版社，２０１２，０１．［３］杨艳丽．范德蒙行列式及其应用［Ｊ］．数学学习与研究：教研版，２０１５（９）：１３６－１３７．［４］牛海军．范德蒙行列式在行列式计算中的应用［Ｊ］．中国科教创新导刊，２００８（１７）：１４０．. All Rights Reserved.。

范德蒙行列式的证明及其应用

X 德蒙德行列式的证明及其应用摘要：介绍了n 阶X 德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了X 德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用X 德蒙行列式的结论简化n 阶行列式的计算过程.探究X 德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础.关键词：X 德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用1引言行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末,在十九世纪末,其理论体系已基本形成.人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在19世纪展开了更深层次的研究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双重组标记法、行列式的乘法定理等X 德蒙行列式整齐、完美的结构形式让我们体验到数学之美.简单探索它的应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索X 德蒙行列式并灵活运用它,未来将更广泛的应用在数学各个领域.2X 德蒙行列式的定义及证明2.1定义行列式1121121111---n nn n na a a a a a(1)称为n 阶的X 德蒙（Vandermonde ）行列式.由X 德蒙行列式的定义,我们可以得出结论:对任意的(2)n n ≥阶X 德蒙行列式等于n a a a ,,21这n 个数的所有可能的差)1(n i j a a j i ≤<≤-的乘积. 2.2X 德蒙德行列式的证明12112211120011111221111a a a a a a a a a a D n n n n n n n n r a r r a r r a r n n n n n -----------−−−−−−→−---)()()()()()(12132312221133122123121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n c ---------−−−→−---展开按上式112312)())((----=n n D a a a a a a仿上做法,有2224231)())((-----=n n n D a a a a a a D 再递推下去,直到11=D .故)()()())()(())((112242311312j i ni j n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D -=-------=∏≤<≤-已知在n 级行列式 nnnj n in ij i n j a a a a a a a a a D 111111=中,除第i 行（或第j 列）的元素ij a 以外,行列式中其余元素全是零,则由Laplace 定理得:此行列式等于ij a 与它的代数余子式ij A 的乘积ij ij A a D =,在113121122322213211111----=n nn n n n nn a a a a a a a a a a a a D中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的1a 倍,得)()()(0)()()(0011111213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n ---------=---根据上述定理)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n ---------=---把每列的公因子提出来,得223223211312111)())((------=n nn n nn n a a a a a a a a a a a a D等式右边的第二个因子是1-n 阶行列式,用1-n D 表示,则上式中111312)())((----=n n n D a a a a a a D同样地,可以得到2224231)())((-----=n n n D a a a a a a D此处2-n D 是一个2-n 阶X 德蒙行列式,一直继续下去,得)()())(())((122311312-------=n n n n n a a a a a a a a a a a a D)(1j i ni j a a -=∏≤<≤3X 德蒙德行列式的应用3.1在向量空间理论中的应用在解析几何中,直观上我们经常认为一维、二维、三维向量空间是有意义的.当3>n 时,就没有直接的现实意义,但在高等代数这门课程中,n 维向量空间却是很常见的.当涉及线性相关问题时,通常我们通过构造同构映射的方法,将其转化为X 德蒙行列式的问题,进而利用该行列式是否为零判断线性相关性.例 1.设V 是数域F 上的n 维向量空间,任给正整数n m ≥,则在V 中存m 个向量,其中任取n 个向量都线性无关]7[.证明:因为n F F ≅,所以只须在n F 中考虑.取)3,,3,3,1(121-=n a))3(,,3,1(2122-=n a))3(,,3,1(1m n m m a -=令.1,)3()3(31)3()3(31)3()3(312112*********1m k k k D n k n k k k n k k k n k n n n nk≤≤≤≤≤=---121212)3()3(31)3()3(31)3()3(31222111---=n k k k n k k k n k k k n n n nD是X 德蒙行列式且0≠n D ,所以n k k k a a a ,,,21 线性无关.3.2在线性变换中的应用线性变换是代数学中的一个重要概念,它的抽象性使我们在掌握这个概念时比较困难.此时,我们可以应用线性变换的定义及性质,考虑构造新函数,运用方程思想解决此类问题.例 2.设数域F 上的n 维向量V 的线性变换σ有个互异的特征值n λλλ,,,21 ,则与σ可交换的V 的线性变换是12,,,,-n e σσσ 的线性组合,这里e 为恒等变换.证明:由题意,由于σ是n 维向量V 上的线性变换,由线性变换的定义得n i i i i ,,2,1,)( ==αλασ,假设{}F k k V i ∈=|αλ是δ的不变子空间.根据不变子空间的特点,δ是与σ可交换的线性变换.令112210--++++=n n x x x e x σσσδ 且n i k i i i ,,2,1,)( ==αασ,则有以下方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=------111012121021111101n nn n n n n n n x x x k x x x k x x x k λλλλλλ （2）由于线性方程组的系数矩阵的行列式)(j 1j i ni D λλ-∏=≤<≤,所以方程组（2）有唯一解,即就是12,,,,-n e σσσ 这n 个向量线性无关,题目得证. 3.3多项式理论中的应用在多项式理论中,许多题目涉及求根问题.一般情况下,我们可以用综合除法解决这类问题,但是在不知道多项式函数最高次项系数和常数项系数的条件下,我们可根据题意列出线性方程组.通过计算该线性方程组对应的系数矩阵的行列式是否为零判断根的情况,进而得出结论.例 3.设n n x c x c c x f +++= 110)(.若()f x 至少有1+n 个不同的根,则0)(=x f .证明:取121,,,+n x x x 为()f x 的1+n 个不同的根.则有由齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++++000121211022222101212110n n n n n nn n n x c x c x c c x c x c x c c x c x c x c c (3) 其中n c c c ,,,10 看作未知量.且0)(1≠-∏=≤<≤j i ni j x x D .由于该方程组的等式右端的数均为零,由变形后的定理得:此方程组的解全为零.从而010====n c c c .即)(x f 是零多项式.3.4微积分中的应用例4.设)(y f 在],[b a 上连续,在),(b a 内存在2阶导数]2[.证明:在b x a <<上有)(21)()()()(''c a b a f b f a x a f x f f=-----.这里),(b a c ∈证明:在],[b a 上构造函数)(1)(1)(1)(1)(2222b f b bx f x xa f a ay f y y y F =是X 德蒙行列式,而函数)(y F 满足中值定理条件: 因)()()(y F x F a F ==.由中值定理,在),(b a 内存在b x x x a <<<<21，使0)()(2''1''==x F x F .故存在),(21x x c ∈,使0)(''=c F .即就是0)(1)(1)(1)(200)(222''''==b f b b x f x x a f a ac f c F .按行列式定义展开,即得所证. 3.5行列式计算中的应用涉及行列式计算问题时,经常运用行列式的性质解决问题,但其复杂多变的形式给行列式的计算增加了难度.对于具体的行列式,我们可以根据它的性质和定义解决.但对于那些结构特殊的、抽象的行列式,可通过观察、归纳总结,我们可以用特殊的方法迅速解决问题. (1)用提取公因式计算行列式例5.计算nn nn n n n D222333222111=解:由观察得到:该行列式中每行元素都分别是同一个数的不同方幂,并且其方幂次数从左至右依次增加,但它的次数是由1递加至n ,由行列式的相关性质,得1212121333122211111321---⨯⨯⨯⨯=n n n n n n n n D仔细观察,我们在右边的行列式中,从第2行开始,每行的1都写成该行中这个自然数的零次幂的形式,则它为n 阶X 德蒙行列式,故)]1([)2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n D n!1!2)!2()!1(! --=n n n(2）对换行列式中每一行(或每一列)的次序例6.计算1111)()()1()1(1111n b b b n b n b b b b b D n n n n n nn ------=---+ 分析:遇到这类问题,我们经常考虑运用行列式的六条性质来解决.为此,我们可以调换该行列式的次序,将它化为标准形式.解:把1+n 行依次与上面的每一行交换至第1行,第n 行依次与上面的每一行交换至第2行,以此类推,由自然数排列的逆序原则,共经过2)1(12)2()1(+=+++-+-+n n n n n 次交换得到1+n 阶X 德蒙行nn nn n n n n n n b b b n b b b n b b b D)()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++)]1([)]1(2)[()2)(1()1(2)1(--------------=+n b n b b b b n b b b b b n n!1k nk =∏=(3)用拆行（列）计算行列式n 阶行列式中的i 行(列)由两个互异元素构成,且任意相邻两行(列)都含有共同元素,那么我们可以利用行列式的初等变换原则,通过消去一些分行中某一元素的方法,巧妙运用X 德蒙行列式结论.例7.计算4阶行列式3424332332223121244233222211432111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++++++++++++=分析:观察此行列式,我们可以看出:该行列式满足拆项行(列)计算行列式的特点,因此我们可以用该方法来解决这个问题.解:消去此行列式第二行每一项中的数字1,得:342433233222312124423322221143211111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++ (4) 消去行列式 (4)第三行中加号前的元素,得:34243323322231212423222143211111a a a a a a a a a a a a a a a a ++++ (5)再从行列式(5)中消去第4行中与第三行一样的元素得:343332312423222143211111a a a a a a a a a a a a 因为该行列式为4阶X 德蒙行列式,故)(11114134333231242322214321j i i j a a a a a a a a a a a a a a -∏==≤<≤ (4)用加边法计算行列式行列式的各行（或列）有明显X 德蒙行列式定义的特点,但共同元素的方幂并不是按连续的自然数的顺序依次增加,此时我们可以考虑用加边法.例8.计算4级行列式444422221111d c b a d c b a d c b aD = 分析：D 不是X 德蒙德行列式,但具有该行列式的特点,可考虑构造5级的X 德蒙德行列式,再利用X 德蒙德行列式的结果,间接求出D 的值.解：构造5阶X 德蒙行列式按第五列展开得 45534523525155x A x A x A x A A D ++++= 其中3x 的系数为D D A -=-=+5445)1(又利用X 德蒙行列式的结果得))()()(())()()()()((5d x c x c d b x b d b c a x a d a c a b D ----⨯------= ])([))()()()()((34 ++++-⨯------=x d c b a x c d b d b c a d a c a b 其中3x 的系数为))()()()()()((d c b a c d b d b c a d a c a b D +++------=故))()()()()()((d c b a c d b d b c a d a c a b D +++------=4444433333222225a 11111x d c b a x d c b a x d c b a x d c b D =4结束语参考文献:[1]X臣君.X德蒙行列式在构造高阶无穷小的应用[J].XX师X大学学报,2015.2(1)[2]万勇,李兵.线性代数[M].XX:复旦大学,2006.[3]何江妮.X德蒙德行列式的证明及其应用[J].科教文化.[4]Kenneth C．Louden．piler Construction Principles and Practice[M]．:机械工业,2002.[5]徐杰.X德蒙行列式的应用[J].科技信息,2009（17）.[6]SERGE Lang.Linear Algebra(2nd ed)[M].NeW York:Columbia University,1988.[7]X彦信.高等代数(第三版)[M].西北工业大学,2004.[8]大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].:高等教育，2003.[9]大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].：高等教育，2003.Proof of Fandemengde Determinant and its ApplicationAbstract:This paper introduces the definition of n-order Vandermonde determinant. We proved Vandermonde determinant by recurisive method and Laplasse theorem , and explored its application in the higher algebra by some examples.Vector space theory is used to solve linear problem; It was used to structure linear equcations in linear transformation theory, polynomial theory and calculus theory , and judge the situation of root by Cramers rule or related theorem; In the calculation process of determinant calculation,It is maily used to simplify the n-order determinant. It laid a good foundation for further studying its properties and application by exploring the history of Vandermonde determinant and related applications.Keywords: fandemeng determinant; vectort space; linear trasformation; application。

范德蒙德行列式的性质及应用(16开)

Dn =( an − a1 )( an − a2 ) ⋯ ( an − an −1 )⋯⋯ ( a2 − a1 ) =
例1
1≤ j < i≤ n
∏
( ai − aj )
x1 x1 x1 − 1 x2 x2 计算行列式 D = x2 − 1 ⋯ ⋯ xn xn xn − 1
解从第 i 行提出
x12 ⋯ x1n −1
∏
( ai − aj ) 故 ∆ n +1 是一个关
1≤ j <i ≤n
∏
1≤ j <i ≤n
2、范德蒙行列式的计算方法
定理 1 1 1 a1 a2
2 Dn = a12 a2 ... ... n −1 n −1 a1 a2
[1]
1 a3
... ...
1 an
2 2 a3 ... an = ∏ ( a j − ai )( n ≥ 2) 1≤i < j ≤n ... ... n −1 n −1 a3 ... an
-1-
湖北师范学院文理学院 2012 届数学与应用专业毕业论文（设计）
范德蒙行列式的性质及应用
张鹏（指导老师：余红宴）（文理学院数学系 0807 班湖北黄石 435002）
1、前言
形如 1 a1 a12 ... a1n −1 1 a2 2 a2 ... n −1 a2 1 a3 2 a3 ... n −1 a3 ... ... ... 1 an 2 an ... n −1 ... an
(1)
不难看出, f ( x ) 是一个 ( n −1) 次多项式,并且它有 n − 1个根: a1 , a2 ,…,
a n −1 ,因此 f (x) = k ( x − a1 )( x − a2 )...( x − an −1 ), 其中 k 为特定常数.由于 k 为 x n −1

范德蒙德行列式的研究与应用

毕业设计（论文）题目范德蒙德行列式的研究与应用院（系）数理学院专业班级xxxxxx学生姓名xxx 学号xxxx指导教师xxxx 职称xxx评阅教师xxxx 职称xxxx2014年5 月30日注意事项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。

3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。

4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。

图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它学生毕业设计（论文）原创性声明本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（论文）是在导师的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。

与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

毕业设计（论文）作者（签字）：年月日重庆科技学院本科生毕业设计摘要摘要行列式最早出现于16世纪线性方程组的求解问题中。

浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用数学毕业论文

浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用数学毕业论文一、绪论行列式是矩阵理论中的重要概念，它不仅是线性代数、微积分、数论等许多分支的基础，而且在科学研究和工程技术中也具有广泛的应用。

Vandermonde行列式是一种特殊的行列式，具有一些特殊的性质和应用。

本文将就Vandermonde行列式的相关性质和其在应用中的作用进行探讨。

二、Vandermonde行列式的定义与性质Vandermonde行列式是由Vandermonde在18世纪提出的，它在数论、代数学、组合数学、微积分等领域中得到了广泛的应用。

对于一个给定的$n$个数$x_1,x_2,\\cdots,x_n$，可以定义它们的Vandermonde行列式为：$$V_n=\\begin{vmatrix}1&x_1&x_1^2&\\cdots&x_1^{n-1}\\\\1&x_2&x_2^2&\\cdots&x_2^{n-1}\\\\\\vdots&\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\1&x_n&x_n^2&\\cdots&x_n^{n-1}\\end{vmatrix}$$Vandermonde行列式具有一些特殊的性质：（1）Vandermonde行列式的值可以表示为：$$V_n=\\prod_{1\\leq i<j\\leq n}(x_j-x_i)$$（2）Vandermonde行列式是一个$n\\times n$的Vandermonde矩阵的行列式，即：$$V_n=\\det\\begin{pmatrix}1&x_1&\\cdots&x_1^{n-1}\\\\1&x_2&\\cdots&x_2^{n-1}\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\1&x_n&\\cdots&x_n^{n-1}\\end{pmatrix}$$（3）Vandermonde行列式的值与$x_1,x_2,\\cdots,x_n$的顺序无关。

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范德蒙行列式的推广及应用
目录
一、摘要
二、引言
三、第一章
1、定义……………………………………………………………
2、定义的证明………………………………………………………
3、推广定义及证明…………………………………………
4、性质……………………………………………………………………
第二章
1、范德蒙行列式在行列式计算中的应用……………………………………
2、范德蒙行列式在微积分计算中的应用…………………………………
3、范德蒙行列式在向量空间计算中的应用…………………………
4、范德蒙行列式在线性空间计算中的应用……………………………
第三章
1、范德蒙行列式在多项式插值中的应用………………………………
2、利用编程计算范德蒙行列式………………………………………………
第四章
结论…………………………………………………………………
参考文献……………………………………………………………
摘要
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略）
关键词：………………（略）
引言
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略）
英文
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略）
第一章一、1.1定义
我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法。

当我们遇到这样一个数学问题：过平面上n 个不同的点(),i i k λ (i =1，2，…，n )且i λ (i =1，2，…，n)各不相同，是否存在唯一的一条n -1次曲线
123123n i n n n n n k x x x x x =+λ+λ+λ++λ……，
其中，1,2,n a a a ……是待定系数，经过这n 个不同的点呢?这个问题就等价于下面的线性方程组
关于待定系数1,,n X X 是否存在唯一的解．根据克莱姆法则，只需考虑方程组(1)的系数行列式的值，其系数行列式为
()2
因此只需计算行列式(2)的值．这个行列式(2)就称为n 阶的范德蒙（Vandermonde ）行列式
下面我们来证明，对任意的
阶范德蒙行列式等于
1,,n λλ 这n 个数的所有可能的差i j λ-λ（1≤j＜i≤n）的乘积.
首先，我们用数学归纳法证明范德蒙德行列式
我们对作归纳法.
（1）当时，结果是对的.
（2）假设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情况.在
中，第行减去第行的倍，第行减去第行的倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的倍，有
()()()
后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差（2≤j＜i≤n）；而包含的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明.
用连乘号，这个结果可以简写为
由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是
这n个数中至少有两个相等.
这是用数学归纳法证明的，下面我们在用定理证明
已知在级行列式
中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数
余子式的
乘积，在
=
中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得
=
根据上述定理
=
提出每一列的公因子后得
=
最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有
=
1.2行列式的性质
利用行列式的性质容易推得：
1、若将范德蒙行列式逆时针旋转可得
2、若将范德蒙行列
3、若将范德蒙行列式
1．3范德蒙行列式的推广定义及证明
利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。

但是对于一些结构特殊的行列式，可以考虑用一些特别的方法。

下面以n阶范德蒙行列式为例，我们来说明怎样利用n阶范德蒙行列式来简化行列式的计算。

对于（1）式而言，n阶行列式D_n的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1。

根据范德蒙行列式的这种结构特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后利用其结果计算。

常见的化法有以下几种：
所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序,拆行（列）等）将行列式化为范德蒙行列式。

例1 计算
解：由范德蒙行列式的性质3得
2.1.1用提取公因式计算行列式
例2 计算
解：中各行元素都分别是一个数的不同方幂，而且方幂次数从左至右按
递增次序排列，但不是从0变到n-1，而是由1递升至n，如提取各行的公因数则方幂次数便从0变到n-1，于是得
上式右端行列式即为n阶范德蒙行列式，故
.
2.1.2调换各行（或各列）的次序计算行列式
例3 计算
解：本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使
中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第n+1行依次与上行交换直至第1行，第n行依次与上行交换直至第2行……第2行依次与上行交换直至第n行，于是
共经过n+(n-1)+(n-2)+
次行的交换得到n+1阶范德蒙行列式：
2.1.3用拆行（列）计算行列式
若第i行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含
相同分行（列）；且中含有由n个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将的
第i行（列）乘以-1加到第（i+1）行（列），消除一些分行（列），即可化成范德蒙行列式。

例4 计算
D.
解：将D的第1行乘以-1加到第2行得：
再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行得：
再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：
该式即为4阶范德蒙行列式，故
D
范德蒙行列式在微积分中的问题
例8确定常数使得当x0时为最高阶的无穷小，并给出其等价表达式.
解：对的各项利用泰勒公式，有
当时，若最高阶无穷小在6阶以上，则有方程组
其系数行列式
为范德蒙行列式，由于，故以为未知数的方程组只有零解：
从而，这显然不合题意，
故以下考虑当时最高阶无穷小为6阶的情形.令
等价于
此时为未知数的线性方程组，其系数行列式为范德蒙行列式
方程组有唯一一组依赖于的解：
从而在的领域内的最高阶无穷小有下述形式的表达式
.
2.3 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用
在向量空间理论中，我们会经常遇到需要用范德蒙行列式转化的问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论.
例10 设是数域上的维向量空间，任给正整数，则在V中存个向量，其中任取个向量都线性无关.
证明：因为所以只须在.
取
令
是范德蒙行列式，
且所以.
2.4 范德蒙行列式在线性变换理论中的应用
在高等代数的学习中，线性变换一直是一个重点，也是难点，题目的变化也比较多，在有些题目中，我们可以巧妙的运用范德蒙行列式来解决这类题目。

例11 设数域上的维向量的线性变换有个互异的特征值
，则
（1）与可交换的V的线性变换都是
线性无关的重要条件为
这里
证明：设是与可交换的线性变换，且
则且
则由以下方程组
因为方程组的系数行列式是范德蒙行列式，且
所以方程组有唯一解，故
（2）充分性
因为
所以
并且
所以是可逆矩阵，
又因为是V的一组基，线性无关. 必要性
设的特征向量，则
，i=1,2，则
，不妨设全不为零，而，因而有
则
利用范德蒙行列式可知有一个阶子式不为零，所以
，从而
,又因为 r 线性无关，所以
这里
，i=1,2，
第三章
拉格朗日插值公式
公式内容求一个n 次多项式10()n n n f x a a x a x -=+++……使得00()f x y =，
11()f x y =，……()n n f x y =，其中0,,n X X 是两两互不相同的数，0,,n y y 是1
n +个已知数，这样的多项式是唯一确定的，且 001110111()())))()()())))
n
i i i n i i i i i i i i n y x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x --=-------=-----∑
……（（……（……（（……（
这就是拉格朗日插值公式
(二)应用范得蒙行列式证明拉格朗日公式
设10()n n n f x a a x a x -=+++……，因为00()f x y =，11()f x y =，……()n n f x y =，所以
10000n n n a a x a x y -+++=……
11011n n n a a x a x y -+++=…… …… …… …… …… 10n n n n n n a a x a x y -+++=……
则D =。