范德蒙行列式在微积分中的应用

ｐ
ｎ ， ｎ － Ｉ －
”一 １
例 ４ １ 设函数 ｆ ） ｘ 附近有连续的 ｎ阶导数， ｆ ０ ｝ｏｆ ）－ ， ，（（） ０若 ［ ４ （ 在 ＝０ ｘ 且 （） ， （ ７０ ｆｎ ０ ＝ ． ０ １ ） Ａ 存在惟一的一组实数 久，：… ， ， １几， Ａ １使得 当 ｈ ０时， ． ， ＋ － ｐ＋为一组两两互异 的实数， 明： 证 ｐ ２ ，＂ｌ
存在与二无关的常数 犷） ２ １ ， Ｖ）
形 ） 使得 ｋ，
Ｃ ） （（ ＝ ｋｘ ）
由此推得 ｂ ＥＩ Ｖ ＝１２ ｘ ， ｋ ，，
ｌ，
形 ） ； ， Ｖ ｋ （） Ａ ｘ ｘＥＩ ｀ 二１ ２ … ， 一 １ ， ｄ ｋ ，， ｎ ．
｝ｋ ） ｆ） ｃｘ｝ Ｉ ＡｘＩ （ 成艺 ｘ ；） ｋ｝（ ＜习 ｛）２＋Ｍ＝从 ． ） Ｉ Ａ｛Ｍ 杀ｏ （ ， ｋ
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了 、
１ １
、 ， 了
ｆ ｐｈ ＝ （ ｚ）
注 类似的方法可证如下命题［ ［ ３ ］
设函数 ｆ在（ ， 上有直到 ｎ阶导数 ， （ ＋－） ａ 且有
才￣ ＋ Ｃ 〕 ‘
ｌ ｆ ） ｉ （ 二Ａ， ｌ ｆ＂ ｘ ＝Ｂ ｍ ｘ ｉ （（ ） ． ｍ ＇
Ｊ ， ＋ ０二
万方数据
第３ 期
由此 得
ｆ ｘ （（ ） ｋ ）
ｋ！
ａ； Ｉ ｘ － ａｉ ＝ ｌ ｔ ）一 Ｊ ｘ ）一 一 ｋ
’ ｆ月（ ） （ ｝
ｎ！
ａ ｌ ７
因此
岁ｆ ） 毛 ｛（＋ａ ＋｛（）＋ （Ｘ ｋ ｆ 川 ｆｘ Ｉ ｋ ， ） （ ｘ
ｋＩ ！ ／ ｋ ＝ １
（） ２
其中ｘ ． ｘ ｍ ｍ ，，＂ ． ＜￥＜ ＋ ， ２＂， 这是关于尹（） ｘ ，． （‘ｘ 的 二１ ＂ｋ ｘ ， ）．， ） 线性方程组， 尹（ ．ｆ 一 （） ‘ 其系数行列式
生
（． １
，． 上
别 矛
勺 ‘
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ｎ
１ １ － １ 一 了 １ 、 ｔ
１
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心． １
２ ３ ６ ６
为范德蒙行列式． 由于Ｄ５ ， ：０故以ａｂｃｄ为未知数的方程组只有零解：＝ｂ ＝ｄ ， ６ ，，， ａ ＝ｃ ＝０从而ｆ ＝０ （） ． ｘ 这显然不合题意， 故以下考虑 ｆ 当ｘ 时最高阶无穷小为 ６ （ ） －０ ｘ 阶的情形． 令
［ 收稿日 期］２０－９ ０ ０３ － ０２ 〔 甚金项目〕安徽省重点教学研究项目（０１１） （ ００１ ２
一 ｂ＋ 合＋ｂ２４ｘ六 ＋ｂ＇４ｘ ＋ ｃ 一（２ ３ ２２ （２ ３ ＇＂ ＋ ｄ ａ２ ｃ ｄ ＋ ａ０ ｃ ｄ ＋＋ ） ＋＋ ） 一 （２ ３ ４ｘｏ 箭 ＋ｂ＇ ６＇Ｗ． ａ＇ ｃ ｄ ） ＋＋ ） ＋
当 ｘｉ －０时 ， ｆ ） 若 （ 最高阶无穷小在 ６阶以上 ， ｘ 则有方程组
刀＋ Ｉ
艺Ａ（ｈ一ｆ０是比 阶 无 小 ，ｐ） （ ｆ， ） 。高 的 穷 ．
证 由题设条件， ｆｐ ） ，， ，十１在 ｘ 处常有皮亚诺余项的马克劳林展开式 可得 （； （ ｈ ｉ ２ ｎ ） ＝０ ＝１
ｆｋ ０ ＋ｏ ｈ） ｃ（ ） （０ ） ｆ ｐｈ ＝ 间 （，） 。
Ｊｌ ｔａ Ｊ Ｊｌ ｒ Ｊ ，一 ． 一ａ － 下 丁一 ｘ－ ； ＝ － ｘ） ｔ 一Ｌ 一 ； 丁 ｒ一 ａ・ ，
， ，书 ｆ ） ． （ ｅ （ ，、 （ 二 ， ｆ ）。 ｋ ） （ ｎ ）
ｋ几 ＝ Ｋ： ｌ ，；
此以ｂｃｄ为未知数的线性方程组 ， ，， 其系数行列式为范德蒙行列式
１ 才
一
Ｄ
－一
３ ４ ２ ２
才
祥 ． ０
９
３ ４ ＇ ＇
方程组有唯一一组依赖于 ａ 的解：＝一２ ， ｂ ａｃ ＝
穷小有下述形式的表达式
ａ十 下￣ ＪＩ ｘＪ＝ 一 万二 ａ一 Ｌ＇
， （ ） ＝０的邻域 内的最高阶无 一下ａ 从而 ｆ 二 在 ｘ
＼ Ｇ！ ４！ ０！ Ｉ ＼ ‘工 ４！ ＯＪ Ｉ
Ｉ ｘ ｘ ６． ，。｝． ｛ （ｘ ２． ２ ） （ｘ ６． ，；｛ ． ２． ０ ｘ 、 ， ． ２ ） （ｘ ４ ２ ） ＿ 、
｛ （ｘ ２． ３ ） （ｘ ６ ，。１，，， （ｘ ２。 ４ ） （ｘ ６． ，。１ ． ３ ） （ｘ ＇ ３ ） ． 、 ｌ ４ ） ＿ ｘ ４ ４ ） ＿ 、 （
我们称形如
ｌ ｘｌ
Ｉ Ｘ
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式
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Ｉ ＜ｊ 蕊ｉ ‘ｎ
且 （一 ｉ ｘｘ ， ）
ｘ－ ｘ － … ；＇ ２＇
ｘ一 ：１
的行列式为范德蒙（ ａｄｒ ｏｄ） Ｖ ｎｅｍ ｎｅ 行列式． 它构造独特、 形式优美 ， 更由于它有广泛的应用， 因而成为一 个著名的行列式． 本文将通过若干实例来说明这个行列式在微积分中的应用。 例 ｌｌ 确定常数 ａｂｃｄ 使得 ｆ ＝ａｏｘ ｃｓｘ ｃｓｘ ｃｓｘ当ｘ 时为最高阶的 Ｅ ＇ ，，，， （） ｃｓ ＋ｂｏ２ ＋ｃ ３ ＋ｄｏ４ ｘ ｏ －０ 无穷小， 并给出其等价表达式． 解 对 ｆ ｘ 的各项利用泰勒公式 ， （） 有
ａ ＋ｃ ＋ｂ ＋ｄ＝０ ，
ａ ２十３ｃ ２ ＝０ 十２ ｂ ２十４ ｄ ， ａ ＇＋３ ＇ ＝０ ＋２ ＇十４ｄ ， ｂ ｃ
ａ ＇＋３ｃ ＇ ＝０ ＋２ｂ ＇＋４ｄ ，
其系数行列式
１ １ ，
１ １
． 上
１ 犷 犷 护
Ｄ 一一
２ ３ ２ ２
， １
程伟健 ， ： 蒙行列式在微积分中的应用 等 范德
１ ９ ２
。 ｍ ｉ Ｊ ｆ ） ， ） （ ＝１２ ・ 刀。 求 证 ： ｋ 二 二０ ｋ ， ， ，，
例 ３ 〕 设 ｆ二 在区间Ｉ ｎ阶可导（－２ ， Ｌ ‘ （） 上 （＞ ）若对ｖ ＥＩ Ｉ（） Ｉ ） ） （ ， 为 ｎ － Ｘ ， ｘ Ｉ ｆ ＜ＭｌＩ（（ Ｉ Ｍｏ ｆＲｘ ＜Ｍ． Ｍ 正常数）证明： ， 存在 ｎ 个正常数 Ｍｔ ，． 一１ ， ．， Ｍ２ ． Ｍ－ｔ使对Ｖ ＥＩ Ｉ （） （＝１２ ． ，一１． ， Ｘ ， ） １ ｆｋ ｘ ＜Ｍｋ （ ｋ ，，． ．ｎ ） 证 设“ － ， ２ ａ 。， ， ａ｝ ， ａ（， ）由泰勒公式， ｉ ，，＂ －１ 一ＥＩ且 ； ０ ａＡ ； ｚｊ ， ： ６ ； ｉ＇ ＝ ｝ － 对Ｖ＝１２＂， ． ＂ｎ
泰勒公式
ｆ 十 ）ｆ ）Ｍ ＋ ｆ二 … 下共 ｆ ｌ ）买 （。， （ ｍ一（＋ｆ二 军 ｌ） 十 ｍ一 （ （十 ｆ ） 二 二 （ ） ｌ＋ （ ｋ二 － ｋ二 ） （
为
‘王 、 — １２Ｊ Ｋ ＲＪ
第２ ０卷第 ３ 期 ２０ 年 ６月 ０４
大 学 数
学
Ｖ ｌ２ ， ３ ｏ． Ｎ ． ０ ２
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ＣＯＬ ＥＧＥ Ｌ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩ ＣＳ
范德蒙行列式在微积分中的应用
程伟健 ， 贺冬冬
（ 合肥工业大学 理学院 信息与计算科学专业 ０ 级， ２ 合肥 ２００） ３６１
（） １
｝ ｘ ｝ Ｌ 。 －Ｍ 氏（） Ｍ 十 ！ Ｅ ｎ
由于方程组（） ３ 的系数行列式 Ｄ为 武 川 一２！ －３！ ａ１ 嘴 心 －２！ －３！ ａ２
Ｄ＝
， ， ．Ａ ． ＿＿ ，
（ ｘ任Ｉ Ｖ ＝１ ２ ， 一１ ． ｀ ｄ ， ｉ ，， ｎ ）
１ ａｌ ．． ， ａ２ ．ａ 一１ １
万方数据
１ ８ ２
大
学
数
学
第２ 卷 ０
ａ 十ｃ ＋ｂ ＋ｄ＝０ ，
ａ ２十３ｃ ２ ＝ ＋２ ２＋４ｄ ， ｂ ０
ａ ２ｂ ＇十４ｄ ＋ ＇＋ ｃ ＇ ＝０ ３ ，
等价于 ｂ 十ｄ ＋ｃ ＝一ａ ，
２ｂ ２＋ ｄ ２＋ ｃ ２ ＝一ａ ３ ４ ，
２ｂ ３ｃ ＇ 一ａ ＇＋ ＋ ｄ＝ ＇ ４ ．
ａ
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Байду номын сангаас ， 孟
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右边的行列式为ａ， ， ， ＿的范德蒙行列式， ； ａ（， ） ａｔ０ Ｄ｝ ， １ ． ａ ， ａ ． ２ 由ａＡ ； ｚｊ及 ， 知 ：０故由克莱姆法则知， ＝ ｉ－ ｋ ： － － ４
Ｊｌ ＝ ａｌ ｘ） １ 十 丁：一 二 十 ｏｌ 川 十 剑 １ － 万 － 十 一 汽 一 一 一 十 ｏ 月 下 ｘ０ 一 ，： 气 厂一 不下 ｌ ｘ－ ＼ Ｌ！ ４！ ｂ！ ／ ＼ ‘里 ４！ Ｏ： Ｉ 十 ， １ － 万 －十 一，： 一 －下二 －十 ｏｌ 川 十 ａｌ 一认 － 十 一丁丁 一 一二下一十 ｏｋ ） ｌ 一 二下 丁 一户 － ｘ－ １ 一 下 一 ｘ－ Ｉ
ｌ ０（ ） ， ｌ ０（（ ） ． ｉ ｆ ＝０ ｉ ｆ ｘ 二０ ｍｘ ｘ ｍｘ ｋ ＇ ．ｋ ， （（ ） ｘ （） ｘ 试证 ：ｍｘｆ ｘ ＝０ ｉ ， ， ， ． 其中 ｆ０ 表示 ｆ ． ｌ ＂｀（ ） ， 二０ １ ２ ． ， ｉ ＇ ＇
证 由条件（ ）要证明 ｌ ０（（ ） ， １， ｉ ｆ＇ｘ ＝０ 只要将 ｆ ） 写成 ｆ ） ｆ ｘ 的线性组合即可． ｍｘ ＇ ｕ（ ） ｘ （ 与 （（ ） ｘ ｋ ） 利用
ｌ ０（（） ｉ ｆ＇ ｔ ｍｘ ＇
一 （．ｉ ｌ手 ｌ手ｔ‘ ｉ ） ｉ ｛（ ｍ “ ｍ ０ ｆ， ） 卜
ｌ ００（） （＝０ｋ ． ｉ ｆ ＇ ｍｔ ｔ＝０ ｉ ，）
在此式中分别令 ｔ 十ｍ， ＝ｘ ｉ ＝０和令 ｔ ，ｉ ， ＝￥ ， ＂ ＝ｋ则得 ｌ ＂（＋ｍ） ｉ ０（（． 二０ ｍ＝１２…，） ｉ ｆ ｍｘ ｘ ＝ｌ ｆｋ ￥） （ ｍｘ ＇ ，， ｋ．
（ 一１ １ ｋ ）
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ｋ ２ … ｋ
ｋ一 ｋ１
，
（ 一１ ！ ｋ ）
后一行列式为范德蒙行列式， 其值为 １２．（一１ ！故 Ｄ＝１于是可从方程组（） 尹（ ）尹（） ！！ ． ．ｋ ）， ． ２把 ｘ ， ｘ ，… ｆ （ ） （ 二 写成 ｆ ｘ ｋ” （ ＋ｍ） （ ｍ＝１２…，） ｆ ￥） ，， 走 与 （（ （ ｋ ｍ ｍ二１２ ． ｋ 的线性组合． ） ，， ． ） ， 我们只要证明 ｌ ０（ ＋ｍ） ｉ ａ ￥） ｉ ｆ ｍｘ ｘ ＝ｌ ｆｋ ｍ ＝０ （ １ ２ … ， ） ｍｘ （（ ） ｍ二 ， ， ｋ 即可． 事实上， ｘ 镇ｘ ， 设 簇ｔ ＋ｋ 于是
衅一 。
Ｉ（（） ｆｎ ￥ １ ）
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一一 ０６ 晋 ＋ｘ （． ）
例 ２］ 设 ｆ 至少有 ｋ ［ ２ （） ｘ 阶导数， 且对某个实数 ａ 有