平面向量基础知识梳理

平面向量基础知识梳理
一、向量的概念：
⒈有向线段： 叫做有向线段. ⒉向量： 叫做向量.
向量通常用有向线段→
AB 或a
表示.
⒊向量的模：向量→
AB 的 又叫做向量的模，记作 . ⒋两个重要概念：
①零向量： 叫做零向量.记作 . 注意：零向量没有规定它的方向，因此零向量的方向是任意的. ②单位向量： 叫做单位向量.
注意：单位向量的方向与它所在向量的方向相同.
⒌相等向量： 叫做相等向量. 向量a 与b
相等记
作 .
⒍平行向量： 叫做平行向量. 向量a 与b
平行可记
作 .
规定：0 与任一向量平行.即0
∥a ，→
AB ∥0 ，0 ∥0
.
⒎共线向量： 叫做共线向量.
注意：若a 与b 是共线向量，则a 与b
的方向 ，它们所在的直线
它们的夹角是 .
⒏相反向量： 叫做相反向量.
a 的相反向量是 ，−a 的相反向量是 ，0
的相反向量是 .
⒐两个非零向量
a
和
b
的夹
角： . 二、向量的运算：
⒈向量的加法：
⑴向量a 与b
的和的定义：
⑵向量加法法则：①三角形法则（请画图于右）→AB +→
BC （首尾相连） ②平行四边形法则（请画图于右）→
AB +→
AC （起点相同） ⑶向量加法运算律：①交换律：
②结合律：
⑷特例：0
+a = ，a
+0= ，00
+= .
⑸向量加法的坐标运算：设a
=（x 1，y 1），b
=（x 2，y 2），则b a
+= .
⒉向量的减法：
⑴向量a 与b 的差的定义：向量a 加上b 的相反向量叫做a
与b
的差，记作
a
+(−
b )=a −b
.
a
−b
是怎样的一个向量?答： .
⑵向量减法法则：设a =→OA ，b
=→
OB ，
则a −b
=→
OA -→
OB = .（请画图于右）.
重要结论：设AB ，AD 是两个不共线向量，则以AB 、AD 为邻边的平行
四边形的两条对角线的长分别是这两个向量和与差的模.
⑶特例：0
-a
= ，a
-0= ，00
-= . ⑷向量减法的坐标运算：设a
=（x 1，y 1），b
=（x 2，y 2），则b a
-= . ⒊实数与向量的积：
⑴定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa
，它的长度与方向规定如下： ①|λa |= ；
②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向 ，当λ＜0时，λa 的方向与a 的
方向 ；当λ=0时，λa = .
⑵运算律：①λ（μa ）= ；②（λ+μ）a
= ；③λ（b a
+）= .
⑶实数与向量的积的坐标运算：
O
B
⑷特例：若λ∈R ，则λ0
= . ⒋向量的数量积（或内积）：
⑴定义：已知非零向量a 和b
，它们的夹角为θ，则b a
⋅= .
⑶运算律：①
b
a
⋅= ；②（λ
a
）·b
= = ；③
（a +b
）·c = .
注意：向量的数量积没有结合律！
特别地，a a ⋅= ，或|a |= .
⑸向量的数量积的坐标运算：
设a
=（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则b a
⋅= . ⑹特例：a
⋅0= ，00
⋅= .
三、重要定理、公式及方法： ⒈平面向量基本定理：
如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线．．．向量，那么对该平面内的任一向量a 有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ11e +λ22e .
⒉向量模的计算公式：设a =（x ，y ），则|a |= .
⒋如何证明A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）三点共线？
⒌两个向量平行、垂直的充要条件：
⑴向量a
=(x 1，y 1),和b
=(x 2，y 2)平行的充要条件．．．．
是x 1y 2-x 2y 1=0.
⑵向量a =(x
1，y
1
),和b =(x
2
，y
2
)垂直的必要不充分条件
．．．．．．．是x1x2+y1y2=0.
⒎已知向量a =(x
1，y
1
),和b =(x
2
，y
2
)，它们的夹角为θ，则
cosθ= .
⒐线段的中点坐标公式：
已知P
1(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)，则线段P
1
P
2
的中点坐标是 .
⒑三角形的重心坐标公式：
设△ABC三顶点的坐标为A(x
1，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，C(x
3
，y
3
)，则△ABC的重心G的
坐标是 .。