第4讲(4)Matlab中的矩阵分解命令
第四讲矩阵和线性方程实验投入产出分析
30000
85111
练习：
• （经济预测）在某经济年度内，各经济
部门的投入产出表如下表所示。（单位： 亿元）。假设t经济年度工业、农业及第 三产业的最后需求均为１７亿，预测t经 济年度工业、农业及第三产业的产出 （提示：直接消耗矩阵和Leonief矩阵可 视作不变）。
投入产出表（单位：亿元）
投入部门 工业 农业 第三产业 工业 6 2.25 3 农业 2 １ 0.2 第三产业 1 ０.2 1.8 最后需求 16 １.55 15 总产值 25 5 20
zeros(m,n) m行n列0矩阵； ones(m,n) m行n列1矩阵； rand(m,n) m行n列[0，1]上均匀分布随机矩阵； eye(n) n 阶单位矩阵； diag(A) A的对角线构成的向量（A为矩阵）； diag(X) X的元素构成的对角矩阵（X为向量）； linspace(x1,x2,n) x1与x2间的n维等距向量，即将[x1,x2]n-1等分。
x 1 B A , Y [ 1 , , 1 ] B x n ( 1 . 5 )
经济学上称
B—投入产出矩阵 Y—总投入向量 Z=X-Y—新创造价值向量
线性代数运算的MATLAB命令
zeros ones 生成0矩阵 生成1矩阵 eig 特征值、特征向量 diag 对角矩阵
(3) 如果煤矿需要增加总产值10000元，它对各个企业的产 品或服务的完全需求分别将是多少？
(4) （4）假定三企业的外部需求仍是用于城镇的各种消费 和积累，其中用于消费的产品价值分别为35000元、 18000元和20000元，而假定三个企业的新创造价值又包 括支付劳动报酬（工资等）和纯收入，其中支付劳动报 酬分别为25488元、10146元和14258元，试分析各企业 产品使用情况的比例关系；以及该星期系统的经济效益； (5) （5） 若在以后的三周内，企业外部需求的增长速度分 别是15%、3%和12%；那么各企业的总产值将增长多少？
数学实验教程_实验10(矩阵及其分解)
实验10 矩阵及其分解实验目的1．理解矩阵的概念，掌握矩阵的Matlab构造方法2．掌握矩阵的基本运算、初等变换和秩的Matlab实现3．掌握方阵的行列式和可逆矩阵的计算的Matlab命令4．了解方阵的分解的Matlab命令实验准备1．复习矩阵相关概念及其基本运算2．复习矩阵的初等变换、秩等3．复习可逆矩阵的基本知识4．查阅学习有关方阵LU分解。
实验内容1．矩阵的构造方法2．矩阵的基本运算：加法、数乘、乘法、转置3．方阵的幂、行列式、逆运算4．矩阵的初等变换和秩5．矩阵的分解方法软件命令表11-1 Matlab矩阵操作命令实验10 矩阵及其分解 - 61 -实验示例【例10.1】矩阵构造及修改1．分别利用命令窗口直接输入、由m 文件生成、由文本文件生成三种方式生成的矩阵110102155436A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
【步骤】：方法1：命令窗口直接输入： A=[1 -1 0 1;0 2 1 5;5 4 3 6]方法2：由m 文件生成：在m 文件中建立，文件中应该包含变量名，在命令窗口中直接调用，便于修改大型矩阵，但需要文件名与矩阵名不相同（以免混乱）。
（1）定义M 文件：Def2.m ，内容为 A=[1 -1 0 1;0 2 1 5;5 4 3 6]（2）在命令窗口中运行Def2即可。
方法3：由文本文件生成：建立一个包含矩阵数据的文本文件*.txt ，文本文件中不应该包含变量名，且每行数值个数必须相等，并将文件名作为变量名。
（1）按要求定义文本文件A.txt（2）用load 命令调入矩阵数据：load A.txt2．对１中的矩阵Ａ执行下述操作（1）在A 中增加一行[2 3 5 8]； （2）删除第2行； （3）删除第3列；- 62 - 第一章 基础实验（4）将第3行的元素修改为-1，-1，5，0。
【步骤】：（1）命令：B=[A;[2 3 5 8]];（2）命令：A(2,:)=[]; （3）命令：A(:,3)=[]; （4）命令：A(3,:)=[-1 -1 5 0]3．特殊矩阵的构造（1）生成3阶单位矩阵； （2）生成3x2的零矩阵； （3）产生一个3x4的的随机矩阵；（4）产生4阶的魔方矩阵； （5）产生以[-1 2 4 6]为对角元的对角阵； （6）提取1中矩阵A 的上三角和下三角部分元素； （7）产生4阶的Hilbert 矩阵及其逆矩阵。
matlab中的矩阵分解
matlab 中的矩阵分解matlab 中的矩阵分解矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。
常见的矩阵分解有LU分解（三角分解）、QR分解（正交变换）、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异分解等。
(1) LU分解（三角分解）矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。
线性代数中已经证明，只要方阵A是非奇异（即行列式不等于0）的，LU分解总是可以进行的。
MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式为：[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。
注意，这里的矩阵X必须是方阵。
[L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。
当然矩阵X同样必须是方阵。
（设P 是一个m×n 的(0,1) 矩阵，如m≤n且P*P′=E，则称P为一个m×n的置换矩阵。
）实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。
例7-2 用LU分解求解例7-1中的线性方程组。
命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';[L,U]=lu(A);x=U\(L\b)或采用LU分解的第2种格式，命令如下：[L,U ,P]=lu(A);x=U\(L\P*b)(2) QR分解（正交变换）对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。
QR 分解只能对方阵进行。
MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为：[Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。
[Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。
matlab中的矩阵的基本运算命令
1.1 矩阵的表示1.2 矩阵运算1.2.14 特殊运算1．矩阵对角线元素的抽取函数diag格式X = diag(v,k) %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k条对角线。
X = diag(v) %以v为主对角线元素，其余元素为0构成X。
v = diag(X,k) %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。
k=0：抽取主对角线元素；k>0：抽取上方第k条对角线元素；k<0抽取下方第k条对角线元素。
v = diag(X) %抽取主对角线元素构成向量v。
2．上三角阵和下三角阵的抽取函数tril %取下三角部分格式L = tril(X) %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵LL = tril(X,k) %抽取X的第k条对角线的下三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
函数triu %取上三角部分格式U = triu(X) %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵UU = triu(X,k) %抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
3．矩阵的变维矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape”，前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。
（1）“：”变维（2）Reshape函数变维格式 B = reshape(A,m,n) %返回以矩阵A的元素构成的m×n矩阵BB = reshape(A,m,n,p,…) %将矩阵A变维为m×n×p×…B = reshape(A,[m n p…]) %同上B = reshape(A,siz) %由siz决定变维的大小，元素个数与A中元素个数相同。
（5）复制和平铺矩阵函数repmat格式 B = repmat(A,m,n) %将矩阵A复制m×n块，即B由m×n块A平铺而成。
matlab 矩阵运算 奇异值分解
matlab 矩阵运算奇异值分解
奇异值分解（SVD）是线性代数中的一个基础方法，可以将一个矩阵分解为三个部分的乘积：
A = U \Sigma V^T
其中，A为任意m \times n矩阵，U为一个m \times m正交矩阵，\Sigma 为一个m \times n矩阵，仅有对角线上有数值且为非负实数（称为奇异值），V 为一个n \times n正交矩阵。
matlab中的SVD函数是svd，其用法为：
`[U,S,V] = svd(A)`
其中，A为一个矩阵，U、S、V分别为返回的矩阵U、奇异值矩阵S和矩阵V。
我们可以使用SVD来完成很多矩阵操作，例如：
1. 矩阵压缩：将一个矩阵的奇异值降低，从而达到压缩数据的目的。
2. 去噪：对于一个受到噪声干扰的矩阵，对其进行SVD分解，将奇异值低的部分去掉，再将去掉部分重构回原始矩阵，即可实现去噪的效果。
3. 图像压缩和重构：将一张图片看成一个矩阵，对其进行SVD分解，再将奇异值低的部分去掉，将去掉部分重构回图片，实现图片的压缩和重构。
4. 推荐系统：对用户和商品之间的评分矩阵进行SVD分解，然后通过对低奇异值部分的填充，实现对评分的预测，即推荐系统。
matlab对hermite矩阵分解-概述说明以及解释
matlab对hermite矩阵分解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括对Hermit矩阵分解的定义和背景的介绍。
下面是一个可能的概述内容的例子：在数学和计算科学的领域中，矩阵分解是一种重要的技术，用于将复杂的大矩阵表示转化为更简洁、可处理的形式。
其中一种矩阵分解方法是Hermit矩阵分解，它是对Hermit矩阵进行分解的一种特殊方法。
Hermit矩阵是一种具有特殊属性的正方矩阵，其元素复共轭对称。
在Hermit矩阵分解的过程中，通过将一个Hermit矩阵表示为两个特定形式的矩阵的乘积，可以使得矩阵运算更加有效，并且可以提取出矩阵的结构信息。
本文旨在介绍MATLAB在Hermit矩阵分解中的应用，并讨论Hermit 矩阵分解的算法和实现。
首先，我们将详细介绍Hermit矩阵分解的概念和相关背景知识。
接着，我们将探讨MATLAB在Hermit矩阵分解中的具体应用，包括如何使用MATLAB进行矩阵分解和分析。
最后，我们将总结Hermit矩阵分解的优势和局限性，并展望未来相关研究的发展方向。
通过本文的阐述，读者将能够了解Hermit矩阵分解及其在科学和工程问题中的应用价值，同时也能够熟悉MATLAB在这一方面的操作和实现。
无论是对于研究人员还是对于对矩阵分解感兴趣的读者来说，本文都将为他们提供有用的信息和参考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文共分为以下几个部分进行讨论和叙述。
第一部分为引言部分，对整篇文章进行概述，并介绍文章的结构和目的。
在这一部分中，我们将简要介绍Hermit矩阵分解的概念以及MATLAB 在该领域的应用。
第二部分为正文部分，主要讨论Hermit矩阵分解的概念、MATLAB 在该领域的具体应用以及Hermit矩阵分解的算法与实现。
我们将详细介绍Hermit矩阵分解的相关概念，包括其定义、特性等，并探讨MATLAB 在该领域中的重要作用和应用。
此外，我们还将介绍一些常用的Hermit 矩阵分解算法，包括其原理、步骤和实现方式。
matlab河南工业大学课件第4章
例4.2 生成三对角矩阵:
1 5 0 0
2 0 0 2 3 0 4 3 4 0 3 4
>> V=diag([1 2 3 4])+diag([2 3 4],1)+diag([5 4 3],-1)
控制工程中的程序设计
授课教师:冯肖亮 E-mail: fengxl2002@
河南工业大学 电气工程学院
1
第四章
数值问题求解
2
第四章 数值问题求解（上）
4.1 4.2 4.3 4.4 4.6 特殊矩阵 矩阵分析 矩阵分解 秩与线性相关性 线性方程组的求解
3
4.1 特殊矩阵
triu(A) ，其用法与提取下三角矩阵的函数tril(A) 完全相同。
同样地，triu(A,k)可求矩阵A第k条对角线以上的上三角阵
10
求矩阵A的上三角矩阵、对角阵和下三角矩阵
>> A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1]; >> b=diag(A); b' ans = 1 1 1 >> triu(A) ans = 1 2 -2 0 1 1 0 0 1 >> tril(A) ans = 1 0 0 1 1 0 2 2 1
V= 1 5 0 0
2 2 4 0
0 3 3 3
0 0 4 4
例4.3 先建立5×5矩阵A，然后将A的第1行元素乘以 1，第2行乘以2，…，第5行乘以5。 命令如下：
A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25, 2,19]; D=diag([1,2,3,4,5]); D*A %用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数
matlab复值矩阵分解
matlab复值矩阵分解如何在Matlab中实现复值矩阵分解。
复值矩阵分解是将一个复值矩阵分解为两个或多个复值矩阵的过程。
Matlab提供了几种方法来实现复值矩阵分解，包括特征值分解，奇异值分解和矩阵分解算法。
一、特征值分解：特征值分解是将一个方阵分解成特征值和特征向量的过程。
对于一个复值矩阵A，特征值分解可以得到：A = V * D * V^(-1) (1)其中V是特征向量矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素是对应的特征值。
在Matlab中，我们可以使用eig函数来进行特征值分解。
例如，假设我们有一个复值矩阵A，可以使用以下代码进行特征值分解：[V, D] = eig(A);其中V是返回的特征向量矩阵，D是对应的特征值矩阵。
二、奇异值分解：奇异值分解是将一个复值矩阵分解为两个酉矩阵和一个对角矩阵的过程。
对于一个复值矩阵A，奇异值分解可以得到：A = U * S * V' (2)其中U和V是酉矩阵（单位模长度为1的列向量的集合），S是对角矩阵，对角线上的元素是奇异值。
在Matlab中，我们可以使用svd函数来进行奇异值分解。
例如，假设我们有一个复值矩阵A，可以使用以下代码进行奇异值分解：[U, S, V] = svd(A);其中U和V是返回的酉矩阵，S是对应的奇异值矩阵。
三、矩阵分解算法：除了特征值分解和奇异值分解之外，还有一些特定的矩阵分解算法可以在Matlab中使用，例如LU分解、QR分解和Cholesky分解等。
这些算法可以适用于复值矩阵的分解。
在Matlab中，我们可以使用lu函数来进行LU分解，使用qr函数来进行QR分解，使用chol函数来进行Cholesky分解等。
总结：在Matlab中，我们可以使用特征值分解、奇异值分解和其他矩阵分解算法来实现复值矩阵的分解。
这些方法可以帮助我们理解和处理复值矩阵的特征和结构。
通过这些分解，我们可以对复值矩阵进行降维、求逆、求伪逆等操作，从而为复值矩阵的应用提供了便利。
矩阵的五种分解的matlab实现
矩阵的五种分解的matlab实现由于这学期修了矩阵分析这门课，课程要求⽤matlab实现矩阵的5种分解，仅仅是实现了分解，上传到博客存档，万⼀哪天某位同学就需要了呢。
1.矩阵的满秩分解代码实现1 %矩阵的满秩分解2 clear3 %设输⼊矩阵为M（P152 例4.1.1）4 A = [1,4,-1,5,6;5 2,0,0,0,-14;6 -1,2,-4,0,1;7 2,6,-5,5,-7]8 A1 = rref(A); %将矩阵A化成⾏最简形式保存在A1中9 [m,n]=size(A); %获取矩阵A的⼤⼩：m⾏n列10 B0= [];%⽣成⼀个空向量11 C0= [];%⽣成⼀个空向量12for i=1:m %依次扫描矩阵m⾏13 flag=1;14for j=1:n %依次扫描矩阵n列15if A1(i,j)==1 %若A1(i, j)等于116for k=1:i-1 %固定j列，扫描此列的第1⾏到i-1⾏元素17if A1(k,j)~=0 %判断是否全为018 flag=0; %若不全为0，则将flag置为0（说明此列不是单位矩阵的列）19break;20 end21 end22for k=i+1:m %固定j列，扫描此列的第i+1⾏到m⾏（即最后⼀⾏）元素23if A1(k,j)~=0 %判断是否全为024 flag=0; %若不全为0，则将flag置为0（说明此列不是单位矩阵的列）25break;26 end27 end28if flag==1 %若flag为1（不为0），则说明此列是【矩阵的⾏最简形式矩阵】的单位矩阵的列29 B0=[B0,A(:,j)]; %将矩阵A的j列加到B0列向量之后30 C0=[C0;A1(i,:)]; %将矩阵A1的i⾏加到C0⾏向量之后，31 end32 end33 end34 end35 [m1,n1]=size(B0); %获取矩阵B0的⼤⼩：m1⾏n1列36 [m2,n2]=size(C0); %获取矩阵C0的⼤⼩：m2⾏n2列37 B=B0(:,1:n1) %将矩阵B0的第1列到最后⼀列赋值给矩阵B38 C=C0(1:m2,:) %将矩阵C0的第1⾏到最后⼀⾏赋值给矩阵C39 %验证：BC=A40 A_1= B*C2.矩阵的正交三⾓分解代码实现直接调⽤matlab⾃带qr()函数即可1 %矩阵的正交三⾓分解2 clear;3 A = [-3,1,-2;1,1,1;1,-1,0;1,-1,1]4 [Q, R] = qr(A) %正交三⾓分解，Q为⾣矩阵，R为正交下三⾓矩阵5 %验证:QR是否为A，以及Q是否为⾣矩阵6 A_1 = Q * R7 Q_1 = Q * conj(Q.')3.矩阵的奇异值分解代码实现1 %矩阵的奇异值分解2 clear,clc3 A = [1,1;0,0;1,1];4 [U,S,V] = svd(A) %返回⼀个与A同⼤⼩的对⾓矩阵S，两个⾣矩阵U和V，且满⾜A= U*S*V~H。
MATLAB中的矩阵分解与降维技术
MATLAB中的矩阵分解与降维技术随着科学技术的不断发展和数据规模的急剧增加，如何高效地处理和分析大规模数据已成为一个迫切需要解决的问题。
矩阵分解与降维技术在这一领域发挥着重要的作用。
本文将探讨MATLAB中的矩阵分解与降维技术，并介绍其应用于数据处理与分析中的具体实例。
1. 矩阵分解与降维技术简介矩阵分解与降维技术是一种将高维数据转化为低维数据的方法，通过将原始数据投影到一个更低维度的空间中，从而减小数据量的同时保留了数据的关键特征。
矩阵分解与降维技术的主要目标是找到一个能较好地近似原始数据的低维子空间，并且在降维过程中尽量保持数据的信息。
2. 主成分分析（PCA）主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的矩阵分解与降维技术，通过线性变换将原始数据映射到一个新的空间中。
在这个新的空间中，数据的维度被降低，并且尽量保留了原始数据的方差。
PCA的核心思想是寻找数据中方差最大的方向作为新的坐标轴，从而使得映射后的数据在这个方向上的方差最大化。
在MATLAB中，使用PCA进行数据降维非常简单。
首先，我们需要导入数据到MATLAB环境中，然后使用PCA函数进行降维处理。
具体的语法如下所示：```[coeff,score,latent] = pca(data);```其中，data表示原始数据矩阵，coeff是相关系数矩阵，score是降维后的数据矩阵，latent是主成分的方差。
3. 奇异值分解（SVD）奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种将矩阵分解为奇异值和两个酉矩阵的技术，常用于降维、矩阵压缩和数据恢复等领域。
SVD可以对任意大小和形状的矩阵进行分解，并且具有较好的数学性质。
在MATLAB中，使用SVD进行矩阵分解与降维同样非常简单。
我们可以使用svd函数对矩阵进行分解，并得到奇异值、左奇异向量和右奇异向量。
第4讲：向量和矩阵
ans = 左除和右除， \ 和 /。 。 ans 左除和右除，分别表示为 0.0667 0.0500 0.0972 =
A矩阵是非奇异方阵，则0.0667B/A可以实现。 矩阵是非奇异方阵， A\B和 0.3000 0.6389 可以实现。 矩阵是非奇异方阵 和 可以实现 27 若-31 12 0.0667。 1 A\B = inv(A)*B，B/A = B*inv(A)。0.0500 -0.0694 2 0 ， -13 29 -12
3
2）用冒号和函数来生成等差 等比元素向量。 ）用冒号和函数来生成等差/等比元素向量 等比元素向量。
linspace/logspace 函数 例2：生成等差向量。 ：生成等差向量。
>> vec1=10:5:60 vec1 = 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 >> vec2=linspace (10,60,11) vec2 = 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
8
2
3
>>x3=cross(x1,x2)
4.3 矩阵的创建方法
a.直接输入 直接输入 B=
1 2 4 矩阵以“[ ]”为首尾，行与行之间用分号“3 或按回 矩阵以“ 为首尾，行与行之间用分号“;”或按回 为首尾 5 6 7 车键；每行中的元素用逗号“ 或空格分隔 8 或空格分隔； 车键；每行中的元素用逗号“,”或空格分隔；当矩 9 10 11 阵中没有任何元素时，该矩阵被称作“空阵”。 阵中没有任何元素时，该矩阵被称作“空阵”12 13 14 15 16 例6：>> A=[1,sqrt(25),9,13 ： 2,6,10,7*2 3+sin(pi),7,11,15
matlab 中矩阵的schur分解
matlab 中矩阵的schur分解
Matlab中矩阵的Schur分解是指将一个n x n矩阵A分解成上三角矩阵T与酉矩阵U的乘积，即A=UTU^H，其中U^H是U的共轭转置。
进行矩阵的Schur分解的具体步骤如下：
1. 确定特征值
先使用Matlab中的eig函数求出矩阵A的全部特征值，存储在向量d中。
2. Schur分解
使用Matlab中的schur函数进行矩阵的Schur分解，即使用Hessenberg矩阵的累积旋转算法将A转化为上三角矩阵T和酉矩阵U 的乘积A=UTU^H。
Schur函数返回矩阵T和矩阵U。
3. 去除小量
由于schur函数在计算的时候可能会出现数值误差，因此需要对T矩阵对角线上非常小的值进行修正。
可以选择一个较小的阈值eps，将T矩阵对角线上小于eps的值置为0。
4. 重构矩阵A
将修正后的T矩阵与酉矩阵U的共轭转置相乘即可得到矩阵A。
通过矩阵的Schur分解，我们可以将一个矩阵转化为上三角矩阵，从而更容易进行一些计算，如求矩阵的幂等操作、估计矩阵的条件数等。
在Matlab中，使用schur函数进行矩阵的Schur分解非常简单，只需要输入待分解的矩阵即可。
然后我们可以通过T和U对矩阵进行进一步的计算，满足我们的需求。
总之，矩阵的Schur分解在数学和工程中都有着广泛的应用。
通过Matlab中的schur函数，我们可以轻松实现矩阵的Schur分解，从而更加便捷地进行矩阵的进一步计算。
MATLAB命令大全和矩阵操作大全
MATLAB命令⼤全和矩阵操作⼤全转载⾃：MATLAB矩阵操作⼤全⼀、矩阵的表⽰在MATLAB中创建矩阵有以下规则：a、矩阵元素必须在”[ ]”内；b、矩阵的同⾏元素之间⽤空格（或”,”）隔开；c、矩阵的⾏与⾏之间⽤”;”（或回车符）隔开；d、矩阵的元素可以是数值、变量、表达式或函数；e、矩阵的尺⼨不必预先定义。
⼆，矩阵的创建：1、直接输⼊法最简单的建⽴矩阵的⽅法是从键盘直接输⼊矩阵的元素，输⼊的⽅法按照上⾯的规则。
建⽴向量的时候可以利⽤冒号表达式，冒号表达式可以产⽣⼀个⾏向量，⼀般格式是： e1:e2:e3，其中e1为初始值，e2为步长，e3为终⽌值。
还可以⽤linspace函数产⽣⾏向量，其调⽤格式为：linspace(a,b,n) ，其中a和b是⽣成向量的第⼀个和最后⼀个元素，n是元素总数。
2、利⽤MATLAB函数创建矩阵基本矩阵函数如下：(1) ones()函数：产⽣全为1的矩阵，ones(n)：产⽣n*n维的全1矩阵，ones(m,n)：产⽣m*n维的全1矩阵；(2) zeros()函数：产⽣全为0的矩阵；(3) rand()函数：产⽣在（0，1）区间均匀分布的随机阵；(4) eye()函数：产⽣单位阵；(5) randn()函数：产⽣均值为0，⽅差为1的标准正态分布随机矩阵。
3、利⽤⽂件建⽴矩阵当矩阵尺⼨较⼤或为经常使⽤的数据矩阵，则可以将此矩阵保存为⽂件，在需要时直接将⽂件利⽤load命令调⼊⼯作环境中使⽤即可。
同时可以利⽤命令reshape对调⼊的矩阵进⾏重排。
reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m*n的⼆维矩阵。
⼆、矩阵的简单操作1．获取矩阵元素可以通过下标（⾏列索引）引⽤矩阵的元素，如 Matrix(m,n)。
也可以采⽤矩阵元素的序号来引⽤矩阵元素。
矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。
在MATLAB中，矩阵元素按列存储。
序号(Index)与下标(Subscript )是⼀⼀对应的，以m*n矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。
matlab课后习题答案1到6章
欢迎共阅习题二1.如何理解“矩阵是MATLAB 最基本的数据对象”？ 答：因为向量可以看成是仅有一行或一列的矩阵，单个数据（标量）可以看成是仅含一个元素的矩阵，故向量和单个数据都可以作为矩阵的特例来处理。
(2) 删除矩阵A 的第7号元素。
答：A(7)=[](3) 将矩阵A 的每个元素值加30。
答：A=A+30;(4) 求矩阵A 的大小和维数。
答：size(A);ndims(A);(5) 将向量 t 的0元素用机器零来代替。
答：t(find(t==0))=eps; (6) 将含有12个元素的向量 x 转换成34⨯矩阵。
答：reshape(x,3,4); (7) 求一个字符串的ASCII码。
答：abs(‘123’); 或E 。
答：B=A(1:3,:); C=A(:,1:2); D=A(2:4,3:4);E=B*C;(2) 分别求E<D 、E&D 、E|D 、~E|~D 和find(A>=10&A<25)。
答：E<D=010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，E&D=110111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥答：student(1).id='0001';student(1).name='Tom'; student(1).major='computer';student(1).grade=[89,78,67,90,86,85]; 8.建立单元矩阵B 并回答有关问题。
B{1,1}=1;B{1,2}='Brenden';B{2,1}=reshape(1:9,3,3); B{2,2}={12,34,2;54,21,3;4 ,23,67};(1)size(B)和ndims(B)的值分别是多少？答：size(B) 的值为2, 2。
ndims(B) 的值为2。
(2)B(2)和B(4)的值分别是(2)建立5×6随机矩阵A，其元素为[100,200]范围内的随机整数。
MATLAB中的非负矩阵分解方法详解
MATLAB中的非负矩阵分解方法详解介绍非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization，简称NMF）是一种常用的数据分析和特征提取方法。
相比于传统的矩阵分解方法，NMF具有许多独特的优势，尤其适用于处理非负数据或稀疏数据。
NMF的基本思想是将一个非负矩阵分解为两个非负矩阵的乘积，其中一个矩阵表示特征的组合权重，另一个矩阵表示特征的表示方式。
这种分解方法可以被看作是一种特征选择和降维的手段，能够提取原始数据中的主要特征信息。
NMF的应用NMF广泛应用于多个领域，包括图像处理、文本挖掘、生物信息学等。
在图像处理领域，通过NMF可以将图像数据分解为基础形状和颜色分布，实现图像的压缩和图像特征的提取。
在文本挖掘领域，NMF可以用于对文本进行主题建模和情感分析。
NMF的算法原理NMF的目标是找到两个非负矩阵W和H，使得原始矩阵V与它们的乘积WH 的近似误差最小。
这个优化问题可以通过迭代算法来求解。
常见的NMF算法有HALS、MU和Lee-Seung算法。
算法1：HALS算法HALS算法是一种基于交替最小二乘法的NMF算法。
它通过固定一个矩阵，求解另一个矩阵的更新值，然后交替迭代，最终找到近似解。
该算法的迭代过程中对更新值进行非负性约束，确保输出的矩阵非负。
HALS算法的具体流程如下：1. 初始化矩阵W和H为非负随机数；2. 固定H，通过最小二乘法求解W的更新值；3. 固定W，通过最小二乘法求解H的更新值；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则。
算法2：MU算法MU算法是一种基于乘法更新规则的NMF算法。
与HALS算法不同，MU算法采用两个非负矩阵的元素逐个更新的方式。
该算法的迭代过程中同样对更新值进行非负性约束。
MU算法的具体流程如下：1. 初始化矩阵W和H为非负随机数；2. 根据乘法更新规则，更新矩阵W和H的元素；3. 重复步骤2，直到满足停止准则。
算法3：Lee-Seung算法Lee-Seung算法是最早提出的NMF算法之一，也是一种基于乘法更新规则的方法。
matlab分割矩阵
matlab分割矩阵
Matlab分割矩阵是指将一个大矩阵分割成若干个小矩阵的操作。
在Matlab中，可以使用以下两种方法进行矩阵的分割：
1. 使用方括号和冒号运算符进行矩阵分割
例如，对于一个4行4列的矩阵A，我们可以使用以下代码将该矩阵分割成4个2行2列的小矩阵：
B = [A(1:2,1:2) A(1:2,3:4); A(3:4,1:2) A(3:4,3:4)];
其中，A(1:2,1:2)表示选取矩阵A的第1行到第2行、第1列到第2列的元素，以此类推。
2. 使用mat2cell函数进行矩阵分割
mat2cell函数可以将一个大矩阵按行或列进行分割，返回一个元胞数组。
例如，对于一个4行4列的矩阵A，我们可以使用以下代码将该矩阵按行分割成2个2行4列的小矩阵：
B = mat2cell(A,[2 2],[4]);
其中，[2 2]表示将矩阵A分割成2个2行的小矩阵，[4]表示每个小矩阵有4列。
需要注意的是，使用以上两种方法进行矩阵分割时，分割后的小矩阵的行列数需要相等。
- 1 -。
MATLAB矩阵分析与处理
THANKS
线性判别分析（LDA）
寻找最佳投影方向，使得同类数据投 影后尽可能接近，不同类数据投影后 尽可能远离。
数据可视化
散点图
展示两个变量之间的关系。
柱状图
展示一个或多个分类变量的频 数分布。
热力图
展示矩阵或数据集中的数值大 小，通过颜色的深浅表示数值 的大小。
可视化树
展示层次结构数据的图形表示 ，如决策树、组织结构图等。
矩阵的属性
维度
描述矩阵的行数和列数。
大小
描述矩阵中元素的数量。
类型
描述矩阵中元素的数据类型。
矩阵的基本操作
01
加法
对应元素相加。
02
减法
对应元素相减。
03
数乘
所有元素乘以一个数。
04
转置
将矩阵的行和列互换。
02 矩阵运算
矩阵加法与减法
矩阵加法
对应元素相加，结果矩阵与原矩阵具 有相同的维度。
矩阵减法
处理效果。
机器学习中的矩阵运算
数据矩阵的建立
在机器学习中，数据通常以矩阵形式表示，每一行表示一个样本，每一列表示一个特征。
矩阵运算在机器学习中的应用
通过矩阵运算，如线性代数运算、矩阵分解、特征值分解等，可以用于构建机器学习模型 ，如线性回归、逻辑回归、决策树等。
模型评估与优化
使用Matlab中的机器学习工具箱，可以对机器学习模型进行评估和优化，如交叉验证、 网格搜索等。
数值分析中的矩阵运算
数值分析中的矩阵运算
数值分析中涉及大量的矩阵运算，如矩阵乘法、矩阵除法、矩阵求 逆等。
矩阵运算在数值分析中的应用
通过这些矩阵运算，可以求解线性方程组、求解特征值问题、进行 矩阵分解等。
matlab中的矩阵的基本运算命令
[R,jb] = rref(A,tol) %tol为指定的精度
rrefmovie(A) %给出每一步化简的过程
[Q,R] = qr(A,0) %产生矩阵A的“经济大小”分解
[Q,R,E] = qr(A,0) %E的作用是使得R的对角线元素降序，且Q*R=A(:, E)。
R = qr(A) %稀疏矩阵A的分解，只产生一个上三角阵R，满足R'*R = A'*A，这种方法计算A'*A时减少了内在数字信息的损耗。
说明 一般特征值问题是求解方程： 解的问题。广义特征值问题是求方程： 解的问题。
1.3.7 奇异值分解
函数 svd
格式 s = svd (X) %返回矩阵X的奇异值向量
[U,S,V] = svd (X) %返回一个与X同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足= U*S*V'。若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。
[C,R] = qr(A,b) %用于稀疏最小二乘问题：minimize||Ax-b||的两步解：[C,R] = qr(A,b)，x = R\c。
R = qr(A,0) %针对稀疏矩阵A的经济型分解
[C,R] = qr(A,b,0) %针对稀疏最小二乘问题的经济型分解
函数 qrdelete
在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足A?X=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）。
格式 z = null % z的列向量为方程组的正交规范基，满足 。
MATLAB中的矩阵分解与求逆技巧
MATLAB中的矩阵分解与求逆技巧一、LU分解LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U 的乘积。
在MATLAB中，可以使用lu函数进行LU分解，示例代码如下：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,10];[L, U] = lu(A);其中，A是需要分解的矩阵，L和U是分解得到的下三角和上三角矩阵。
LU分解常用于求解线性方程组。
二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。
在MATLAB中，可以使用qr函数进行QR分解，示例代码如下：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,10];[Q, R] = qr(A);其中，A是需要分解的矩阵，Q和R是分解得到的正交矩阵和上三角矩阵。
QR分解常用于求解最小二乘问题和特征值问题。
三、奇异值分解奇异值分解（SVD）是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和一个正交矩阵V的乘积。
在MATLAB中，可以使用svd函数进行奇异值分解，示例代码如下：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,10];[U, S, V] = svd(A);其中，A是需要分解的矩阵，U、S和V是分解得到的正交矩阵、对角矩阵和正交矩阵。
奇异值分解常用于矩阵压缩和降维。
四、矩阵求逆在MATLAB中，可以使用inv函数求一个矩阵的逆矩阵，示例代码如下：A=[1,2;3,4];A_inv = inv(A);其中，A是需要求逆的矩阵，A_inv是求得的逆矩阵。
需要注意的是，矩阵A必须是可逆的，否则将会抛出异常。
除了使用inv函数外，还可以使用左除法或右除法来求解线性方程组。
例如，对于方程组AX=B，可以使用X=A\B求解，示例代码如下：A=[1,2;3,4];B=[1;2];X=A\B;其中，A是系数矩阵，B是常数矩阵，X是未知数矩阵。
需要注意的是，系数矩阵A必须是可逆的，否则将无法求解。
以上是MATLAB中常用的矩阵分解和求逆技巧。
通过这些技巧，可以在MATLAB中方便地进行矩阵计算和线性方程组求解，提高计算效率和准确性。
matlab矩阵特征值分解
matlab矩阵特征值分解Matlab是一种常用的科学计算软件，它提供了丰富的数学函数和工具箱，用于解决各种数学问题。
其中，矩阵特征值分解是其中一个重要的功能。
矩阵特征值分解是将一个方阵分解为特征值和特征向量的过程。
在Matlab中，可以使用eig函数来进行矩阵特征值分解。
下面将详细介绍矩阵特征值分解的原理和使用方法。
矩阵特征值分解的原理是基于线性代数的特征值问题。
对于一个方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为一个标量，那么称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
矩阵特征值分解的目的就是找到矩阵A的所有特征值和特征向量。
在Matlab中，可以使用eig函数来进行矩阵特征值分解。
eig函数的使用方法为：[V,D] = eig(A)，其中A为待分解的方阵，V为特征向量矩阵，D为特征值对角矩阵。
通过这个函数，可以得到方阵A 的所有特征值和特征向量。
特征向量矩阵V的每一列对应一个特征向量，特征值对角矩阵D的对角线上的元素对应着特征值。
特征值和特征向量是成对出现的，即特征值矩阵D的第i个特征值对应特征向量矩阵V的第i列。
矩阵特征值分解在科学计算中有着广泛的应用。
例如，在图像处理中，特征值分解可以用于图像压缩和去噪。
通过将图像矩阵进行特征值分解，可以提取出图像的主要特征，然后根据特征值的大小来进行图像的压缩或去噪处理。
在物理学和工程学中，特征值分解也有着重要的应用。
例如，在结构力学中，可以通过特征值分解来计算结构的固有频率和模态形态；在电力系统中，可以通过特征值分解来计算电力系统的固有频率和振荡模式。
矩阵特征值分解是Matlab中一个重要的功能，它可以将一个方阵分解为特征值和特征向量。
通过特征值分解，可以得到方阵的主要特征，进而在科学计算和工程应用中发挥重要作用。
希望通过本文的介绍，读者对矩阵特征值分解有更深入的了解，并能够熟练地使用Matlab进行矩阵特征值分解的操作。
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1
4—6 矩阵分解的Matlab 命令
2
(1)矩阵的LU 分解
(2)矩阵的QR 分解(3 )矩阵的Cholesky 分解(4) 矩阵的奇异值分解(5)矩阵的特征值分解(6) 矩阵的Schur 分解(7) 矩阵的Jordan 标准型分解
3(1)矩阵的LU 分解
在Matlab 中用函数lu 来实现矩阵的LU 分解，其命令格式为：[L, U]=lu(X)
说明：U 矩阵为上三角矩阵，满足X=L*U.
4
[L,U,P]=lu(X)
说明：返回的P 矩阵是置换矩阵，矩阵U 是上三角矩阵，矩阵L 满秩矩阵，满足L*U=P*X.
5例4.1
>>a=[1,2,4;2,-1,5;-1,10,4];>> [b,c,p]=lu(a)运行结果:b =
1.0000 0 0-0.5000 1.0000 00.5000 0.2632 1.0000
6
c =
2.0000 -1.0000 5.00000 9.5000 6.50000 0 -0.2105p =0 1 00 0 11 0 0
7
(2)矩阵的QR 分解
在Matlab 中，矩阵的QR 分解可由函数qr 来实现，其常用的调用格式如下：①[B,C]=qr(A)
说明：返回的C 矩阵为上三角矩阵，矩阵B 为满秩矩阵。
[Q,R,E]=qr(A)
说明：返回的矩阵E 是置换矩阵，矩阵R 是上三角矩阵，矩阵Q 是满秩矩阵，上述矩阵满足关系A*E=Q*R.
8
例4.2
>> a=[1,2,4;2,-1,5;-1,10,4];>> [b,c,e]=qr(a)运行结果:b =
-0.1952 -0.5068 -0.83970.0976 -0.8619 0.4976-0.9759 0.0152 0.2177
9
c =
-10.2470 -4.1964 0.9759
0 -6.2762 -2.24580 0 -0.0622e =0 0 11 0 00 1 0
10
(3 )矩阵的Cholesky 分解
在Matlab 中用函数chol 对矩阵进行Cholesky 分解，函数chol 的调用格式为：1.R=chol(X)
说明：矩阵X 必须是正定矩阵，否则会返回错误信息，返回的矩阵R 是上三角矩阵。
2.[R,p]=chol(X)
说明：此调用格式不管矩阵X 是否正定，都不会返回错误信息。
如果矩阵X 正定，则返回上三角矩阵R, p 为零；如果矩阵X 非正定，则返回的矩阵R 也是上三角矩阵，但p 为正数。
11例4.4
>> a=[3,-1,1;-1,5,2;1,2,4];>> b=chol(a)运行结果:b =
1.7321 -0.5774 0.57740
2.1602 1.08010 0 1.5811
12
(4) 矩阵的奇异值分解
在Matlab 中，矩阵的奇异值分解则由函数svd 来实现，其调用格式为：[b,c,d]=svd(A)
说明：返回的矩阵b 为左奇异矩阵，矩阵d 为右奇异矩阵，矩阵c 为奇异值矩阵。
例4.5
>> a=[1,2,4;2,-1,5;-1,10,4];>> [b,c,d]=svd(a)
13运行结果:b =
0.3249 0.4385 -0.83800.1393 0.8542 0.50100.9354 -0.2795 0.2164c =
11.4170 0 00 6.1359 00 0 0.0571
14
d =
-0.0291 0.3954 -0.91800.8640 -0.4518 -0.22200.5026 0.7997 0.3285
15
(5) 矩阵的特征值分解
Matlab 中求矩阵的特征值的函数是eig 和eigs ，其中函数eigs 主要用于稀疏矩阵。
函数eig 主要有以下几种调用格式：1.D=eig(A)
说明：矩阵D 为矩阵A 的特征向量矩阵。
2.D=eig(A,B)
说明：矩阵D 为矩阵A,B 的广义特征向量矩阵。
3.[V,D]=eig(A)
说明：矩阵V,D 为矩阵A 的特征值矩阵和特征向量矩阵。
16
4.[V,D]=eig(A ，‘nobalance’)
说明：‘nobalance’表示在求矩阵A 的特征值矩阵和特征向量矩阵时禁止“平衡”程序的运行。
当矩阵A 中有元素小到与截断误差相当时，这样做可以减少计算的误差。
5.[V,D]=eig(A,B)
说明：矩阵V,D 为矩阵A,B 的广义特征值矩阵和特征向量矩阵，满足A*V=B*V*D.
17
6.[V,D]=eig(A,B,flag)
说明：使用某种确定的分解算法来计算矩阵的特征值和特征向量，参数flag 可以取”chol”或”qz”。
当参数flag 取”chol”时，表示对B 使用乔累斯基分解算法来计算矩阵A,B 的特征值和特征向量，若矩阵A 为对称矩阵，矩阵B 为对称正定矩阵，此算法为默认算法；当参数flag 取”qz”时，则忽略对称性。
18
例4.6
>> B=[3,-2,-0.9,2*eps;-2,4,-1,-eps;-eps/4,eps/2,-1,0;-0.5,-0.5,0.1,1];>> [VB,DB]=eig(B)运行结果:VB =
0.6153 -0.4176 -0.0000 -0.3305-0.7881 -0.3261 -0.0000 -0.2949-0.0000 -0.00000.0000 -0.81360.0189 0.8481 1.0000 -0.3765
19DB =
5.5616 0 0 00 1.4384 0 00 0 1.0000 00 0 0 -1.0000
20
(6) 矩阵的Schur 分解
Matlab 中矩阵的Schur 分解用函数schur 来实现，其调用格式为：[b,c]=schur(A)
说明：矩阵c 为Schur 矩阵。
例4.7
>> a=[1,2,4;2,-1,5;-1,10,4];>> [b,c]=schur(a)
21
运行结果:b =
-0.2204 -0.9719 0.0821-0.6821 0.2138 0.69940.6973 -0.0981 0.7100c =
-5.4654 3.9074 3.79090 0.0780 -4.51230 0 9.3874
22
(7) 矩阵的Jordan 标准型分解
Matlab 中矩阵的jordan 标准型分解用函数jordan 来实现，其调用格式为：[V,J]=jordan(A)
说明：返回的矩阵V 为矩阵A 的相似变换矩阵，矩阵J 为矩阵A 的jordan 标准型。
>> a=[1,2,4;2,-1,5;-1,10,4];>> [V,J]=jordan(a)
23
运行结果:V =
0.0431 + 0.0000i -0.0939 -0.0000i 1.0508 -0.0000i 0.0418 -0.2907 + 0.0000i 0.2489 + 0.0000i 0.0695 -0.0000i 0.2971 -0.0000i -0.3667 + 0.0000i J =
9.3874 0 0 0 -5.4654 -0.0000i
0 0 0.0780 + 0.0000i。