常见不等式的解法归纳总结

常见不等式的解法归纳总结知识点精讲一．一元一次不等式（ax b >） （1）若0a >，解集为|b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭. (2) 若0a <，解集为|b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭（3）若0a =，当0b ≥时，解集为∅；当0b <时，解集为R 二、一元一次不等式组（αβ<）（1）x x αβ>⎧⎨>⎩，解集为{}|x x β>.（2）x x αβ<⎧⎨<⎩，解集为{}|x x β<（3）x x αβ>⎧⎨<⎩，解集为{}|x x αβ<<（4）x x βα>⎧⎨<⎩，解集为∅记忆口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大解不了。

三、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或. ②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且. ③若0∆<，解集为R .(2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<②若0∆≤，解集为∅四、简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下. 例如，解一元高次不等式()0f x > （1）将()f x 最高次项系数化为正数（2）将()f x 分解为若干个一次因式或二次不可分因式（0∆<）（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶切”）.（4）根据曲线显现出的()f x 的值的符号变化规律写出不等式的解集. 如：求不等式23(2)(1)(1)(2)0x x x x ++--<的解集.解：化原不等式为23(2)(1)(1)(2)0x x x x ++-->如图7-2所示，在数轴上标出各个根，然后据理画出曲线（12x =-，31x =，42x =为奇次根，需穿；21x =-为偶次根，需切） 由图7-2可知，所求不等式的解集为{}|21112x x x x -<<--<<>或或.五、分式不等式 （1）()0()()0()f x f x g x g x >⇔>g ，（2）()0()()0()f x f x g x g x <⇔<g （3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩g ，（4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩g 六、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f x g x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解题型归纳及思路提醒题型1 不等式的解法 思路提示解有理不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x 轴上，结合图象，写出其解集、含参数的根需对参数分类讨论后再写解集例7.14 （1）解关于x 的不等式223()0()x a a x a a R -++>∈（2）已知集合{}2|320A x x x =++<，{}22|430B x x ax a =-+<，若A ⊂≠B ，求实数a 的取值范围. 分析 由于含参不等式中，其原方程的两根大小不确定，故要进行分类讨论. 解析 由已知得2()()0x a x a -->①当2a a <，得10a a ><或时，解集为{}2|B x x a x a =><或a 2- 1- 3a 0 1图7-3 3a 2- 1-a 01图7-4 ②当2a a =，得10a a ==或，当1a =时，解集为{}|1x x ≠；当0a =时，解集为{}|0x x ≠ ③当2a a >，得01a <<时，解集为{}2|B x x a x a =><或（2）{}2|320A x x x =++<，即{}|21A x x =-<<-，{}22|430B x x ax a =-+<⇒{}|()(3)0B x x a x a =--<.①若3a a <，即0a >，则231a a ≤-⎧⎨≥-⎩（等号不能同时取得）（如图7-3所示），得123a a ≤-≥-或，此时无解.②若3a a <，即0a <，由A ⊂≠B ，则321a a ≤-⎧⎨≥-⎩（等号不能同时取得）（如图7-4所示），故213a -≤≤- 综上所述，实数a 的取值范围是2|13a a ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭.评注 本题考查一元二次不等式（含参）的解法，需要讨论两根的大小，进而确定不等式的解. 变式1 （1）若1a <-，则关于x 的不等式1()()0a x a x a--<的解集为（ ）.A 1|x x a x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 .B {}|x x a > .C 1|x x a x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或 .D 1|x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭（2）若不等式组222304(1)0x x x x a ⎧--≤⎪⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围（ ）.A (,4]-∞- .B [4,)-+∞ .C [4,20]- .D [4,20)-例7.15 已知关于x 的等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，求关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集.分析 解法一：由关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，得0a <，20ax bx c --->，1252b b x x a a -+=-=-=--，121c x x a =-=，则521b ac a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得52b a =，c a =（(0)a <，关于x 的不等式2502a ax x a -+>可变形为22520x x -+<，故解集为1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 解法二：因为方程20ax bx c ++=与方程20ax bx c -+=的根互为相反数，若不等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，所以0a <，且方程20ax bx c ++=的两根为1212,2x x =-=-，因此方程20ax bx c -+=两根''1212,2x x =-=-，不等式20ax bx c -+>的解集为1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 变式1 已知{}2|0x ax bx c ++>=1(,2)3-，则关于x 的不等式20cx bx a ++<的解集为例7.16 已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<（1,2,3i =）都成立的x 的取值范围是（ ）.A 11(0,)a .B 12(0,)a .C 31(0,)a .D 32(0,)a 解析 由2(1)1i a x -<，得111i a x -<-<，即111i a x -<-<得02i a x <<，又0(1,2,3)i a i >=，则20(1,2,3)i x i a <<=，不等式均成立，且1230a a a >>>，故120x a <<，故选B 变式1 若关于x 的不等式22(21)x ax -<的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是 变式2 设01b a <<+，若关于x 的不等式22()()x b ax ->的解集中整数恰好有3个，则（ ）.A 10a -<< .B 01a << .C 13a << .D 36a <<例7.17 解下列不等式 （1）(1)(1)(2)0x x x +--> （2）2(1)(2)(3)0x x x +-+> （3）23(1)(1)(2)0x x x x -++> 分析 利用“穿根法”的基本步骤求解.解析 （1）化原不等式为(1)(1)(2)0x x x +--<，如图7-5所示，在数轴上标出各个根，然后据理画出曲线.1231,1,2x x x =-==为奇次根，需穿，可知所求不等式的解集为{}|112x x x <-<<或.（2）化原不等式为2(3)(1)(2)0x x x ++->如图7-6所示，在数轴上标出各个根，然后画出曲线，133,2x x =-=为奇次根，需穿，21x =-为偶次根，需切，可知所求不等式的解集为：{}|32x x x <->或（3）化原不等式为32(2)(1)(1)0x x x x ++->如图7-7所示，在数轴上标出各个根，然后画出曲线，1232,1,0x x x =-=-=为奇次根，需穿，41x =为偶次根，需切，可知所求不等式的解集为：{}|21011x x x x -<<-<<>或或变式1 不等式2601x x x -->-的解集为（ ） .A {}|23x x x <->或 .B {}|23x x x <-<<或1 .C {}|213x x x -<<>或.D {}|213x x x -<<<<或1变式2 不等式2104x x ->-的解集为（ ） .A (2,1)- .B (2,)+∞ .C (2,1)(2,)-⋃+∞ .D (,2)(1,)-∞-⋃+∞例7.18 不等式1021x x -≤+的解集为（ ）.A 1(,1]2- .B 1[,1]2- .C 1(,)[1,)2-∞-⋃+∞ .D 1(,][1,)2-∞-⋃+∞分析 将分式不等式转化为整式不等式 解析 由1021x x -≤+得(1)(21)0210x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解得112x -<≤.故选A 变式1 不等式212x x ->+的解集是 变式2 不等式252(1)x x +≥-的解集是（ ） .A 1[3,]2- .B 1[,3]2- .C 1[,1)(1,3]2⋃ .D 1[,1)(1,3]2-⋃变式3 若2()24ln f x x x x =--，则'()f x 的解集为（ ）.A (0,)+∞ .B (1,0)(2,)-⋃+∞ .C (2,)+∞ .D (1,0)-题型2 绝对值不等式的解法思路提示求解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，而去掉绝对值符号的方法有等价转换法、零点分段法和数形结合法等.例7.19 若不等式的解集为{}|13x x ≤≤，则实数k = 分析 利用绝对值不等式的解法求解解析 因为42kx -≤，所以242kx -≤-≤得26kx ≤≤，又不等式的解集为{}|13x x ≤≤，得2k =. 变式1 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 例7.20 （1）若不等式43x x a -+->对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. （2）若不等式43x x a -+-<的解集在R 上不是空集，求实数a 的取值范围分析 若()f x a >对于一切实数恒成立，只需满足min ()f x a >即可；若()f x a <的解集在R 上非空，只要min ()f x a <即可.解析 （1）不等式43x x a -+->对一切实数x 恒成立.由绝对值的几何意义可知，43x x -+-表示数轴上点x 到3和4距离之和，那么对任意x R ∈恒成立，利用三角不等式可得43(4)(3)1x x x x -+-≥---=，故min (43)1x x -+-=，又min (43)x x a -+->，故1a <，所以实数a 的取值范围是(,1)-∞（2）由题意可知只需min (43)a x x >-+-即可，而min (43)1x x -+-=，所以1a >，所以实数a 的取值范围是(1,)+∞评注 绝对值的几何意义对于求解含参数的绝对值不等式参数的范围有着化繁为简的作用，体现了数形结合的思想在求解含参不等式方面的应用.变式1 （1）若不等式43x x a --->对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. （2）若不等式43x x a ---<对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.最有效训练题1．不等式组221030x x x ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩的解集为（ ）.A {}|11x x -<< .B {}|03x x <<.C {}|01x x << .D {}|3x x -<<12．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是（ ）.A [1,2]- .B [0,2] .C [1,)+∞ .D [0,)+∞3．不等式(1)(1)0x x +->的解集是（ ）.A {}|01x x ≤≤ .B {}|01x x x <≠-且.C {}|11x x -<< .D {}|11x x x <≠-且4．若集合{}2|10A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的值的集合是（ ）.A {}|04x x << .B {}|04x x ≤<.C {}|04x x <≤ .D {}|04x x ≤≤5．在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则（ ）.A 11a -<< .B 02a << .C 1322a -<< .D 1322a <<6．已知不等式1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，则m 的取值范围是（ ）.A 41[,]32- .B 14[,]23- .C 1(,)2-∞ .D 4[,)3+∞7．不等式13x x +≤的解集为8．不等式22032x x x ->++的解集是91x ≤+的解集是 10．解下列不等式.（1）22320x x -->；（2）234x x -≤-；（3）21x x ->-；（4）212(1)0x --≤；（5）210x x -+>；（6）22430x x ++≤；（7）2690x x ++≤；（8）1318329x x +-+>g ； （9）(5)(3)0x x +->； （10）2134222x x -<---<-11．已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集是{}|23x x -<<，求不等式210bx ax -+<的解集.12．解不等式2(2)20mx m x --->.。