常见不等式的解法归纳总结

常见不等式的解法归纳总结

知识点精讲

一．一元一次不等式（ax b >） （1）若0a >，解集为|b x x a ⎧⎫>

⎨⎬⎩⎭. (2) 若0a <，解集为|b x x a ⎧⎫<

⎨⎬⎩

⎭

（3）若0a =，当0b ≥时，解集为∅；当0b <时，解集为R 二、一元一次不等式组（αβ<）

（1）x x αβ>⎧⎨>⎩，解集为{}|x x β>.（2）x x αβ<⎧⎨<⎩

，解集为{}|x x β<

（3）x x αβ>⎧⎨

<⎩，解集为{}|x x αβ<<（4）x x β

α

>⎧⎨<⎩，解集为∅

记忆口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大解不了。

三、一元二次不等式

一元二次不等式2

0(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程2

0(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <

（1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0∆>，解集为{}

21|x x x x x ><或. ②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-

⎨⎬⎩⎭

且. ③若0∆<，解集为R .

(2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<

②若0∆≤，解集为∅

四、简单的一元高次不等式的解法

简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下. 例如，解一元高次不等式()0f x > （1）将()f x 最高次项系数化为正数

（2）将()f x 分解为若干个一次因式或二次不可分因式（0∆<）

（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶切”）.

（4）根据曲线显现出的()f x 的值的符号变化规律写出不等式的解集. 如：求不等式2

3

(2)(1)(1)(2)0x x x x ++--<的解集.

解：化原不等式为2

3

(2)(1)(1)(2)0x x x x ++-->如图7-2所示，在数轴上标出各个根，然后据理画出曲线（12x =-，31x =，42x =为奇次根，需穿；21x =-为偶次根，需切） 由图7-2可知，所求不等式的解集为{}

|21112x x x x -<<--<<>或或.

五、分式不等式 （1）

()0()()0()f x f x g x g x >⇔>g ，

（2）()

0()()0()f x f x g x g x <⇔

()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩g ，

（4）()()0()

0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨

≠⎩g 六、绝对值不等式

（1）2

2

()()[()][()]f x g x f x g x >⇔>

（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；

()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；

（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

题型归纳及思路提醒

题型1 不等式的解法 思路提示

解有理不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x 轴上，结合图象，写出其解集、含参数的根需对参数分类讨论后再写解集

例7.14 （1）解关于x 的不等式2

2

3

()0()x a a x a a R -++>∈

（2）已知集合{}

2|320A x x x =++<，{}

22|430B x x ax a =-+<，若A ⊂≠B ，求实数a 的取值范围. 分析 由于含参不等式中，其原方程的两根大小不确定，故要进行分类讨论. 解析 由已知得2

()()0x a x a -->

①当2a a <，得10a a ><或时，解集为{}

2|B x x a x a =><或

a 2- 1- 3a 0 1

图7-3 3a 2- 1-

a 0

1

图7-4 ②当2a a =，得10a a ==或，当1a =时，解集为{}|1x x ≠；当0a =时，解集为{}|0x x ≠ ③当2a a >，得01a <<时，解集为{}

2|B x x a x a =><或

（2）{}

2|320A x x x =++<，即{}|21A x x =-<<-，{}

22|430B x x ax a =-+<⇒

{}|()(3)0B x x a x a =--<.

①若3a a <，即0a >，则231

a a ≤-⎧⎨≥-⎩（等号不能同时取得）（如图7-3所示），得1

23a a ≤-≥-或，此时

无解.

②若3a a <，即0a <，由A ⊂≠B ，则321a a ≤-⎧⎨≥-⎩

（等号不能同时取得）（如图7-4所示），故2

13a -≤≤- 综上所述，实数a 的取值范围是2|13a a ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭

.

评注 本题考查一元二次不等式（含参）的解法，需要讨论两根的大小，进而确定不等式的解. 变式1 （1）若1a <-，则关于x 的不等式1()()0a x a x a

--<的解集为（ ）

.A 1|x x a x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 .B {}|x x a > .C 1|x x a x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或 .D 1|x x a ⎧

⎫<⎨⎬⎩

⎭

（2）若不等式组222304(1)0

x x x x a ⎧--≤⎪

⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围（ ）

.A (,4]-∞- .B [4,)-+∞ .C [4,20]- .D [4,20)-

例7.15 已知关于x 的等式2

0ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭

或，求关于x 的不等式

20ax bx c -+>的解集.

分析 解法一：由关于x 的不等式2

0ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭

或，得0a <，