几何与线性代数(第一章 几何空间中的向量)

几何与线性代数
一、研究对象及特点
1、主要围绕一个问题: 解线性方程组； 2、研究的对象是离散，一个个的，不是连续的。
比如方程组，矩阵等等。
3、很困难的一门课： 抽象，不容易理解。 4、很容易的一门课：
解决问题的方法单一，步骤固定，程序化。
5、几何与代数关系： 代数给几何提供方法；几何给代数提供直观。
则 || M0M || ???
思考2：如何找出两平面交线上的点 M0 ( x0 , y0 , z0 )
思考3：三个平面的位置关系
对 三 元 一 次 方 程 组 的 求解 ， 实 质 上 是 求 三 个 平 面 的交 点 问 题
1 : a1 x b1 y c1z d1 0, n1 (a1 , b1 , c1 ) 2 : a2 x b2 y c2z d2 0, n2 (a2 , b2 , c2 ) 3 : a3 x b3 y c3z d3 0, n3 (a3 , b3 , c3 )
一般式方程：ax+by+cz+d=0 (a2+ b2+ c20)
例：三点式方程
确定平面的条件：三个不共线的点
已 知 ：P1( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ), P3 ( x3 , y3 , z3 )
则 可 化 为 过 平 面 任 一 点P( x, y, z)，
定理： 向量 , 共线，则存在不全为零的数k1,k2 ,使得 k1 k 2 0
特别地，当|| || 1时， || ||（同向） || ||（反向）
逆否命题：设 不平行与，且k1 k2 0，
则k1 k2 0
2.共面： 平行于同一平面的向量
定理： 三 个 向 量 , ， 共 面
存 在 不 全 为 零 的 数k1 , k2 , k3 , 使 得
问 题 ： 如 何 求 平 行 六 面体 的 体 积V ？
O
注 ：V
（ （
） ）
, ,为右手系 , ,为左手系
推论： , , 共面 ( ) 0
例：
证明：( ) ( )
第三节 向量及其运算的坐标表示
空间解析几何：用数量来研究向量的问题， 类似于平面解析几何需引入空间坐标系的概念。
P P1P, P1P2 , P1P3共 面
混 合 积( P1P, P1P2 , P1P3 ) 0
x x1 y y1 z z1
故
x2 x1 y2 y1 z2 z1 0
x3 x1 y3 y1 z3 z1
例：截距式方程
实质：三点式方程 M1（a，0，0）， M2（0，b，0），
二、学习方法和要求
1、抽象概念的理解：理解概念，用例子把概念、定 理具体化。 2、程序化的解题步骤：认真做题，掌握基本方法和 步骤。
3、基本要求：预习（课堂在线）+上课+作业（纸质 +课堂在线电子作业）
4、学会数学软件：matlab
三、答疑安排
第2周---第12周每周四晚6：30---8：50 励学楼B110
四、成绩
平时+作业: 30分 期末考试: 70分
第1章 几何空间中的向量
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
1.向量又：有既方有向数的值量大。用小（非 负或）a b， c等表示 向 量 的 长 度记 为|| ||
2.相等的向量
|| |||| || 且方向相同
3.负向量
|| |||| || 且方向相反
k1 k 2 k 3 0
推论 设不平行于，则与，共面 k1 k2 （k1，k2唯一）
逆否命题
若，， 不共面，且k1 k2 k3 0，
则k1 k2 k3 0
例： 已知， 不平行，问当k 取何值时， k 9 与4 k 平行？
第二节 向量的内积、外积和混合积
一、两个向量的内积
4.零向量 模 等 于 零 的 向 量 ， 方 向 任 意
5.单位向量 模 等 于1的 向 量
二、向量的线性运算及其性质
引例:力和位移的合成---平行四边形法 三角形法
1.加法运算：
注：向量可以相加，但不可以比较大小
运算法则： (1) (3)
(2)( ) ( ) (4) ( ) 0
例： 用向量的内积证明:
|| ||2 || ||2 2 || ||2 2 || ||2
二、两个向量的外积
1. 外积定义： 和 的 外 积是 一 个向 量， 记 为 ，
它 的 范 数 为|| |||| || sin( , ), 方 向 垂 直 于，， 且 使，， 形 成 一 右 手 系 。
1.引例（做功）
2.定义两向量间的夹角：
(I)已知两个非零向量，经平行移动后使它们有共同的始点 (II)夹角的范围 (III)几种类型
//
A
//
A
3.内积定义 二向量， 的内积规定为一实数|| |||| || cos(, ), 记为 或(, ), 即 || |||| || cos(, )
平面： （一） （二） （三）
一点 + 两个不平行的向量(一般式) 一点 + 法向量（点法式） 三点 （不共点）（三点式，截距式）
例：求通过x 轴和点(4,-3,-1)的平面方程
特殊平面
1. a=0 (1,0,0) (a, b, c) 0
2. d=0
平面过原点
3. d=a=0 平面过x轴
4. a=b=0 平面//xoy平面
定理：设1
,
2
,
不
3
共
面
，
则，
必
存
在
唯
一
的
一
组
实数
1，2，3，使得 11 22 33
z
A3
y
3 3 A2
22
P
O
11
A1
M
N x
一、仿射坐标系
定义（仿射坐标系）：
空间中一点O以及三个有次序的不共面向量1,2 ,3 , 构成空间中以仿射坐标系，记为[O;1,2 ,3 ]
二、空间直角坐标系
1.定义（直角坐标系）：
对 于 一 个 仿 射 坐 标 系[O;1 , 2 , 3 ], 若 坐 标 向 量
1
,
2
,
是
3
两
两
互
相
垂
直
的
单
位向
量
，
则
称
此
仿 射 坐 标 系 为 空 间 直 角坐 标 系 ， 记 为[O；i，j，k]
2.注：
向 量在 直 角 坐 标 系[O, i, j, k]上 的 坐 标x,y, z分 别 是
3.1 2 (a1, b1, c1 ) (a2 , b2 , c2 ) 0
4.
1和
相
2
交(二
面
角)
cos(n1
,
n2
)
||
| n1 n2 | n1 || || n2
||
注意要加绝对值！
思考1：点到平面的距离：
M ( x1, y1, z1 )在上 的 投 影M0 ( x0 , y0 , z0 )，
x1 y1
x2 y2
x1 y2 x2 y1
x1 x2
y1 y2
?
注：如何记忆？ 两两组合,注意符号！
x1 x2
y1 y2
z1 z2
4. 向量的混合积的坐标表示
用行列式表示混合积
x1 y1 z1
( ) x2 y2 z2
x3 y3 z3
例：计算由向量 （1,3,1）， （2,1,3）， （1,2,3）, 所张成的平行六面体的体积。
a( x x0 ) b( y y0 ) c(z z0 ) 0
理论根据： M M0M n M0M n 0
二、平面的一般式方程：
引：由M0 M, , 共面可知(，M0 M ) 0
x x0 y y0 z z0
即
a1
b1
c1 0
a2
b2
c2
化简，并注意到和不平行,即(a1, b1, c1)k(a2, b2, c2)
例：
已 知 两 点A(1,1,2） ，B(3,1,1） ， 求 向 量AB的 方 向 余 弦
第四节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
定义（法向量）： 平面方程：
给 定 平 面 上 一 点M0 ( x0 , y0 , z0 ),以 及 它 的 法 向 量n (a, b, c), 则 平 面 上 任 一 点M ( x, y, z)的 坐 标 应 满 足
在 相 应 坐 标 轴 上 的 投 影， 即
z
( ) x, ( ) y, ( ) z
C
i
j
k
记 作 ： （x, y, z）
O
xA
M By
三、向量运算的坐标表示
1.线性运算的坐标表示：
设 （x1 , y1 , z1）, （x2 , y2 , z2）, 则 （x1 x2）i （y1 y2）j （z1 z2）k k kx1 i ky1 j kz1 k
| a1a2 b1b2 c1c2 |
a12 b12 c12
a
2 2
b22
c22
两个平面的位置关系
1.1 // 2 n1 // n2 (a1, b1, c1 ) (a2 , b2 , c2 ) 2.1 2 (a1, b1, c1 , d1 ) (a2 , b2 , c2 , d2 )
2.数乘运算：
运算法则： (1)1
(3)( )
(2)( ) () (4)( )
3. 模的性质：
(1) 0， 且 ＝0， 当 且 仅 当＝； (2) ； (3) ＋ ＋ . ， 0＝ 1 单 位 向 量