2019高考数学分析

解：画出 f (x) cos 2x 的图象．
y
π
π
O
π
π
x
2
4
4
2
由图象可看出 f (x) cos 2x 的周期是 ，
2
且在区间 ( , ) 上单调递增，因此选 A．
42
试题（2019 全国Ⅰ卷文、理 5）
函数
f
(x)
sin x+x cos x+x2
在[, ] 的图象大致为
A．
B．
C．
D．
点为 (x, y) ，则
A． (x+1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1
B． (x 1)2 y2 1 D． x2 ( y+1)2 1
解： z 在复平面内对应的点为(x, y) ， 所以 z x yi ． 代入 z i =1，得 x ( y 1)i 1，
所以 x2 ( y 1)2 1．
解：①顾客一次购买草莓 和西瓜各 1 盒，按价格应付 140 元，已经超过 120 元．按促销 规则，顾客可以少付 10 元，故 需要支付 130 元．
②若顾客每一笔订单只订购四种水果中一种， 并且只订 1 盒，则由于都不足 120 元，故应全额 付款．此时，李明每笔订单得到的金额当然不低 于促销前总额的七折．
2 1 ( 2 ) 3 6 2 ．
22 2 2
4
特点 3：考查数学思想
试题（2019 全国Ⅱ卷理 9）
下列函数中，以 为周期且在区间( , )
2
42
上单调递增的是
A． f (x) cos 2x B． f (x) sin 2x
C． f (x) cos x
D． f (x) sin x
解：
f
(x)
sin(x) x cos(x) (x)2
sin cos
x+x x+x2
f
(x) ，
故函数 f (x) 为奇函数，排除 A．
又
f
( )
1 2
0 ，排除 B，C，
因此选 D．
特点 4：考查数学应用
试题（2019 全国Ⅱ卷文 14、理 13） 我国高铁发展迅速，技术先进．经统计， 在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的 正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经 停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估 计值为__________．
试题（2019全国Ⅲ卷理19）图 1 是由矩形 ADEB ， Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB 1， BE BF 2 ，FBC 60 ，将其沿 AB, BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG ，如图 2.
（Ⅰ）证明：图 2 中的 A,C,G, D 四点共面，且平面
因此选 C．
归纳与小结：此题考查了复 数的基本运算，考查了复数的几 何意义以及圆的方程．复数是高 中数学的基本内容之一，尽管简 单，但它是初等数学和高等数学 的衔接点之一，在历年的高考中 有着较高的考查频率．
试题（2019 全国Ⅱ卷文 9、理 8）
若抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点是 椭圆 x2 y2 1的一个焦点，则 p
E
所以 FN CD ．
又因为平面 ECD
M
平面 ABCD ，
C
所以 FN 平面 ECD ， F
BC 平面 ECD ，
D
故 FN EF ， BC CM ．
B
N A
在 RtEFN 中， EN 2 ( 3 a)2 ( a)2＝a2 ，
2
2
而在 RtBCM 中， BM 2 ( 3 a)2＋a2 EN 2 ， 2
可求得 BH 1， EH 3 ．
以 H 为坐标原点， HC 的方向为 x 轴的正方向，建立
由正弦定理，得 2 sin A sin 120 C 2sin C ，
注意到已求得 A 60 ，因此上式展开得
6 3 cos C 1 sin C 2sin C ，
22
2
整理得 1 cos C 3 sin C 2 ，
2
2
2
即 cos C 60 2 ． 2
由于 0 C 120 ，
二、试题特点分析
特点 1：考查基础知识 特点 2：考查重点内容 特点 3：考查数学思想 特点 4：考查数学应用 特点 5：考查核心素养 特点 6：考查创新意识 特点 7：考查传统文化 特点 8：体现五育方针
特点 1：考查基础知识
试题（2019 全国Ⅰ卷理 2）
设复数 z 满足 z i =1 ， z 在复平面内对应的
得 sin2 B sin2 C sin2 A sin Bsin C ，
由正弦定理，得b2 c2 a2 bc ．
由余弦定理，得cos A b2 c2 a2 1 ．
2bc
2
因为 0 A 180 ，所以 A 60 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 B 120 C ，
因为 2a b 2c ，
又因为 AB 平面 ABC ，
所以平面 ABC 平面 BCGE ．
（Ⅱ）求图 2 中的二面角 B CG A 的大小．
解：（Ⅱ）作 EH BC ，垂足为 H ．因为 EH 平面
BCGE ，平面 BCGE 平面 ABC ，所以 EH 平面 ABC ． 由已知，菱形 BCGE 的边长为 2，EBC FBC 60 ，
心，△ECD 为正三
角形，平面 ECD 平面 ABCD ， M 是 线段 ED 的中点，则
A． BM EN ，且直线 BM , EN 是相交直线 B． BM EN ，且直线 BM , EN 是相交直线 C． BM EN ，且直线 BM , EN 是异面直线 D． BM EN ，且直线 BM , EN 是异面直线
所以sin C 60 2 ， 2
故 sin C sin C 60 60 sin C 60 cos 60 cos C 60 sin 60
2 1 ( 2 ) 3 6 2 ．
22 2 2
4
由于 0 C 120 ，
所以sin C 60 2 ， 2
故 sin C sin C 60 60 sin C 60 cos 60 cos C 60 sin 60
试题（2019 全国Ⅰ卷理 7）
已知非零向量a, b 满足| a | 2 | b | ，
且 (a b) b ，则a 与b 的夹角为
A． π 6
C． 2π 3
B． π 3
D． 5π 6
解：由 (a b) b 得(a b) b 0 ， 即 a b b2 0，也即| a || b | cos θ | b |2 0 ．
若顾客每一笔订单至少订购 2 盒，则总价至 少是 120 元（两盒草莓）．
要保证李明每笔订单得到的金额均不低于促 销前总额的七折，两盒水果的总价应该最低，总 价总价是 120 元（两盒草莓）．由题意，得
(120 x)80% 12070% ，解得 x 15 ．
即 x 的最大值为15 ．
特点 5：考查核心素养
销：依次购买达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单 顾客网上付款成功后，李明会得到支付款的80% ．
①当 x 10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，
需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额
均不低于促销前总额的七折，则 x 的最大值为________．
注意到| a | 2 | b | ，
所以 2 | b |2 cos θ | b |2 0 ，
故 cos θ= 1 ，所以 ，因此选 B.
2
3
归纳与小结：平面向量这一章， 涉及八个概念、四种基本运算、三 个充要条件、一个基本定理．此题 考查了两个向量垂直的充要条件， 考查了平面向量数量积运算以及向 量模的意义，这些都是平面向量中 既基本又重要的概念．
解：连 MN, BE ，
E
则 MN / /BE ，所以
M , N, B, E 四点共面，
故 BM 与 EN 相交． 设正方形 ABCD 的
边长为 a ，取CD 中点
M
C F D
B
N A
F ，连接 EF, FN,CM ． 由于 ECD 是正三角形，
故 EF CM 3 a ， FN a ．
2
2
因为 BC CD ，
就全国卷而言，与 2018 年相比，主 观题在各部分内容的布局和考查难度 上进行了适当的调整和动态设计，打 破了过去压轴题考查导数或解析几何 的惯例．这在一定程度上有助于考查 考生灵活应变的能力以及自我调整心 态的素质，有助于学生全面学习和掌 握重点知识和重点内容，同时也有助 于破解僵化的应试教育．
2019 全国高考数学试题 评价与特点分析
北京 丁益祥
一、试题总体评价 二、试题特点分析
一、试题总体评价
2019 年全国及自主命题省市的高考数学试 题，都能依照考试大纲的要求，较好地坚持了 “考查基础知识的同时，注重考查能力”的原 则．在以能力立意的命题思想指导下，注意了 数学的学科特点和育人功能，体现了知识的基 础性和综合性，着意将知识、能力与素质融为 一体，既全面考查了必备知识和基本技能，又 着重考查了核心考点、数学思想、核心素养、 数学应用、创新意识、传统文化、“五育”精 神以及考生进入高校继续学习的潜能．
5
归纳与小结：此题考查了同 角三角函数的基本关系，考查了 二倍角的正弦和余弦公式．三角 函数历来是高考的必考内容之一， 通常以基础题和中档题为主，因 而是容易得分的好题．
特点 2：考查重点内容
试题（2019 全国Ⅲ卷文 12、理 11）设 f (x) 是
定义域为 R 的偶函数，且在0, + 单调递减，则
3p p
A．2
B．3
C．4
D．8
解：由题意知，抛物线的焦点是椭圆右焦点．
对于椭圆， c2 a2 b2 2 p ，故c 2 p ，
所以椭圆的右焦点坐标为( 2 p, 0) ．
又抛物线的交点坐标为( p , 0) ， 2
所以 p 2 p ( p 0) ，解得 p 8 ，因此选 D．
2
归纳与小结：此题考查了椭圆 和抛物线的标准方程及基本性质， 考查了一元二次方程的求解．参数 之间的关系、焦点坐标都是圆锥曲 线中的基本问题，应当熟练掌握．
解：根据题意，该站高铁列车所有 车次的平均正点率的估计值为
0.9710 0.98 20 0.9910 0.98 . 10 20 10
试题（2019 北京卷文、理 14）李明自主创业，在 网上经营一家水果店，销售的水果有草莓、京白梨、西
瓜、桃，价格依次为60元 / 盒 、 65元 / 盒 、80元 / 盒 、 95元 / 盒 ．为了增加销售量，李明对着四种水果进行促
ABC 平面 BCGE ； （Ⅱ）求图 2 中的二面角 B CG A 的大小．
解：（Ⅰ）由已知得 AD / /BE ， CG / /BE ， 所以 AD / /CG ，
故 AD,CG 确定一个平面， 从而 A,C,G, D 四点共面．
由已知得
AB BE, AB BC ，
故 AB 平面 BCGE ．
1，
因为 f x 为偶函数，
所以
f (log3
1) 4
f
log3 4
f
log3 4
，
因为 0
－3
22
－2
23
1 log3 4 ，
由 f x 在0, + 上单调递减，
故
f
3
(2 2 )
f
2
(2 3 )
f (log3
1) ，因此选 C． 4
试题（2019 全国Ⅲ卷文、理 8）
如图，点 N 为 正方形 ABCD 的中
A．
fຫໍສະໝຸດ Baidu
(log3
1) 4
3
f (2 2 )
f
2
(2 3 )
B．
f (log3
1) 4
f
2
(2 3 )
f
3
(2 2 )
C．
f
3
(2 2 )
2
f (2 3 )
f (log3
1) 4
D．
f
2
(2 3 )
3
f (2 2 )
f (log3
1) 4
解：由题知
log3
1 ＝4
log3
4
-1
，
而0
－3
22
－2
23
故 BM EN ，因此选 B．
试题（2019 全国Ⅰ卷理 17）
△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，
设 (sin B sin C)2 sin2 A sin Bsin C ． （Ⅰ）求 A ；
（Ⅱ）若 2a b 2c ，求sin C ．
解：（Ⅰ）已知式展开并整理，
试题（2019 全国Ⅱ卷理 10）
已知
0,
2
，
2sin
2
cos
2
1，
则 sin
A． 1 5
B． 5
5
C． 3
3
D． 2 5
5
解：由题意可知，
4sincos =2cos2 ，
即 2sin cos ．
与 sin2 cos2 1 联立， 注意到 (0, ) ，
2
解得sin 5 ，因此选 B.