2019届高考数学专题14外接球

球的体积为（ ）
A．18π
B． 8 6
C． 36π
D． 32 3π
【答案】C
【解析】
如图，设正方形 ABCD 的中点为 E ，正四棱锥 P ABCD 的外接球心为 O ，
底面正方形的边长为 10 ，EA 5 ，
正四棱锥的体积为
50 3
，VP ABCD
1 3
10
2
PE
50
，
3
则 PE 5 ，OE 5 R ，
D． 64π
【解析】因为 BC BD 2， CD 2
22 22 3 ，所以 cosCBD
2
2
3 1 ，
222
2
CBD 2π ， 3
因此三角形 BCD 外接圆半径为 1 CD 2 ， 2 sinCBD
设外接球半径为
R
，则
R2
=22
+
AB 2
2
4
12
16
， S =4πR2
64π
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培优点十四 外接球
1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心
例 1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为16 ，则这个球的表面积是
（）
A．16π
B． 20π
C． 24π
D． 32π
【答案】C
【解析】V a2h 16 ， a 2 ， 4R2 a2 a2 h2 4 4 16 24 ， S 24π ，故选 C．
体外接球的表面积为（ ）
A． 19 π 2
【答案】A
B． 19 38π 24
C．17π
D． 17 17π 6
【解析】
由题意， △BCD 中， CB DB 2 ， CBD 60 ，可知△BCD 是等边三角形， BF 3 ，
∴ △BCD 的外接圆半径 r 2 3 BE ， FE 3 ，
3
3
∵ ABC ABD 60 ，可得 AD AC 7 ，可得 AF 6 ，∴ AF FB ，∴ AF BCD ，
∴四面体 A BCD 高为 AF 6 ．
设外接球 R ， O 为球心， OE m，可得： r2 m2 R2 ……①，
6 π 2 EF 2 R2 ……②
由①②解得： R 19 ．四面体外接球的表面积： S 4πR2 19 π ．故选 A．
2
2
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S
4πR2
4π
3 2
2 a
3a 2 π
，故选
C．
5．三棱锥 A BCD 的所有顶点都在球 O 的表面上， AB 平面 BCD ， BC BD 2，
AB 2CD 4 3 ，则球 O 的表面积为（ ）
A．16π 【答案】D
B． 32π
C． 60π
2
3
5 2 ，则：R2 3 ，
该长方体的外接球的表面积为 S 4πR2 4π 3 12π ．本题选择 B 选项．
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 2 3 ，顶点都在一个球面上，则该球的表
面积为（ ）
A．12π
B．28π
C．44π
D．60π
【答案】B
【解析】设底面三角形的外接圆半径为 r ，由正弦定理可得： 2r 2 3 ，则 r 2 ， sin60
，故选
D．
6．如图 ABCD A1B1C1D1 是边长为 1 的正方体， S ABCD 是高为 1 的正四棱锥，若点 S ，
A1 ， B1 ， C1 ， D1 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． 9 π 16
【答案】D
B． 25 π 16
C． 49 π 16
D． 81 π 16
【解析】如图所示，连结 A1C1 ， B1D1 ，交点为 M ，连结 SM ，
3 ，解得 a 4 ．
于是该正四棱锥内切球的大圆是如图 △PMN 的内切圆，
其中 MN 4 ， PM PN 2 3 ．∴ PE 2 2 ．
设内切圆的半径为 r ，由 △PFO △PEN ，得 FO PO ，即 r 2 2 r ，
EN PN
2 23
6
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AB AC 2 ， BAC 120，则球 O 的表面积为（ ）
A． 16 π 9
B． 16 π 3
C． 64 π 9
D． 64 π 3
【答案】D
3
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【解析】由余弦定理得： BC 4 4 2 2 2cos120 2 3 ，
设三角 ABC 外接圆半径为 r ，由正弦定理可得： 2 3 2r ，则 r 2， sin120
DE 25 9 4 ， DF 3， EF 16 9 7 ，
∴ GF 7 ，球半径 DG 7 9 43 ，∴外接球的表面积为 S 4π DG2 43π ．
2
4
2
故选 D．
二、填空题
13．棱长均为 6 的直三棱柱的外接球的表面积是_________．
【答案】 84π
【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为 r 1 6 1 6 2 3 ， 2 sin60 2 3 2
8
2
11．将边长为 2 的正 △ABC 沿着高 AD 折起，使 BDC 120 ，若折起后 A、B、C、D四点
都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）
A． 7 π 2
【答案】B
B． 7π
C． 13 π 2
D． 13 π 3
【解析】 △BCD 中， BD 1， CD 1， BDC 120 ，
底面三角形的底面外接圆圆心为 M ，半径为 r ，由余弦定理得到 BC 3 ，再由正弦定理
顶点都在同一球面上，
则该球的表面积是（ ）
A． 7π
B． 5π
C． 3π
D． π
【答案】A
【解析】由题意得该三棱锥的面 PCD 是边长为 3 的正三角形，且 BD 平面 PCD ，
设三棱锥 P BDC 外接球的球心为 O ，
△PCD 外接圆的圆心为 O1 ，则 OO1 面 PCD ，∴四边形 OO1DB 为直角梯形，
在 △AOE
中由勾股定理可得： 5
R2
5
R2
，解得
R
3 ，V球
4 3
πR3
36π
，故选
C．
9．如图，在 △ABC 中， AB BC 6 ，ABC 90 ，点 D 为 AC 的中点，将 △ABD 沿 BD
折起到 △PBD 的位置，使 PC PD ，连接 PC ，得到三棱锥 P BCD ．若该三棱锥的所有
则外接球的半径 R
32
2
2
3
9 12
21 ，
则外接球的表面积为 S 4πR2 4π 21 84π ．
14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16 3 ，则该正四棱锥内切球的表面积为________．
【答案】 32 16 3 π
【解析】设正四棱锥的棱长为
a
，则
4
3 4
a2
16
得到 3 2r r 1， sin120
见图示：
AD 是球的弦， DA 3 ，将底面的圆心 M 平行于 AD 竖直向上提起，提起到 AD 的高度的
一半，即为球心的位置 O ，∴ OM 3 ，在直角三角形 OMD 中，应用勾股定理得到 OD ， 2
OD 即为球的半径． ∴球的半径 OD 1 3 7 ．该球的表面积为 4π OD2 7π ；故选 B．
所以外接球的体积是 4 πR3 32π ，故答案为 D．
3
3
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一、单对选点题增分集训
1．棱长分别为 2、 3 、 5 的长方体的外接球的表面积为（
A． 4π 【答案】B
B．12π
C． 24π
） D． 48π
1
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【解析】设长方体的外接球半径为 R ，由题意可知：2R2 22
易知球心 O 在直线 SM 上，设球的半径 R OS x ，在 Rt△OMB1 中，由勾股定理有：
OM
2
B1M 2
B1O2
，即： 2
x2
2 2
2
x2
，解得：
x
9 8
，则该球的表面积
S
4πR2
4π
9 2 8
81 π ．本题选择 16
D
选项．
7．已知球 O 的半径为 R ，A ，B ，C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1 R ， 2
A． a2π 【答案】C
B． 2a2π
C． 3a2π
D． 4a2π
【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为 2a
的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 a 的正三棱锥，另一个是棱长为 2a 的 正四面体，如图所示： 该几何体的外接球与棱长为 的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对 角线，所以 2R a2 a2 a2 3a R 3 a ，所以该几何体外接球面积
设外接球半径为 R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径 R2 3 2 22 7 ，
外接球的表面积 S 4πR2 28π ．本题选择 B 选项．
3．把边长为 3 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使得平面 ABC 平面 ADC ，则三棱锥
D ABC 的外接
球的表面积为（ ）
A． 32π
解得 r 2 2 6 2 ， 3 1
∴内切球的表面积为 S 4πr2 4π
6
2
2
32 16
3
π．
15．已知三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积
为 3 ， AB 2 ， AC 1 ， BAC 60 ，则此球的表面积等于______．
又 R2 1 R2 4 ，解得： R2 16 ，则球的表面积 S 4πR2 64 π ．本题选择 D 选项．
4
3
3
8．已知正四棱锥 P ABCD (底面四边形 ABCD 是正方形，顶点 在底面的射影是底面的中
心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 10 ，若该正四棱锥的体积为 50 ，则此 3
2．补形法（补成长方体）
例 2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是
．
【答案】 9π
【解析】 4R2 3 3 3 9 ， S 4πR2 9π ．
3．依据垂直关系找球心
例 3：已知三棱锥 P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC 满足
BA BC 6 ，ABC π ，若该三棱锥体积的最大值为 3，则其外接球的体积为（ ） 2
A． 8π
B．16π
C． 16 π 3
D． 32 π 3
【答案】D
【解析】因为△ABC 是等腰直角三角形，所以外接球的半径是 r 1 12 3 ，设外接球
2
的半径是
R ，球心 O 到该底面的距离 d
，如图，则 S△ABC
16 2
3，
BD
3 ，由题设
V
1 3
S△ABC
h
1 6
6h
3
，
最大体积对应的高为 SD h 3，故 R2 d 2 3，即 R2 3 R2 3 ，解之得 R 2 ，
【答案】 8π
【解析】∵三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为 3 ， AB 2 ， AC 1 ，
BAC
60
，
1 2
2
1
sin
60
AA1
3 ， AA1 2 ，
BC2 AB2 AC2 2AB AC cos 60 4 1 2 ，BC 3 ，
设 △ABC 外接圆的半径为 R ，则 BC ＝2R ，R 1， sin 60
由 BD
3 ， O1D 1 ，及 OB OD ，得 OB
7 ，∴外接球半径为 R 2
7， 2
∴该球的表面积 S 4πR2 4π 7 7π ．故选 A． 4
4
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10．四面体 A BCD 中， ABC ABD CBD 60， AB 3 ， CB DB 2 ，则此四面
B． 27π
C．18π
D． 9π
【答案】C
【解析】把边长为 3 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使得平面 ABC 平面 ADC ，
则三棱锥 D ABC 的外接球直径为 AC 3 2 ，外接球的表面积为 4πR2 18π ，故选 C．
4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面 积为（ ）
由条件， AB CD 4 ， BC AC AD BD 5 ，可知，△ABC 与 △ADB ，都是等腰三角
形，
AB 平面 ECD ，∴ AB EF ，同理 CD EF ，∴ EF 是 AB 与 CD 的公垂线，
球心 G 在 EF 上，推导出 △AGB≌△CGD ，可以证明 G 为 EF 中点，
42 12．在三棱锥 A BCD 中， AB CD 6 ， AC BD AD BC 5 ，则该三棱锥的外接球
5
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的表面积为（ ）
A． 43 43π 24
【答案】D
B． 43 43π 6
C． 43π 2
D． 43π
【解析】分别取 AB ， CD 的中点 E ， F ，连接相应的线段 CE ， ED ， EF ，