2019版中考数学复习 第7课时 一元二次方程及其应用
中考数学复习：一元二次方程及其应用 课件
面积问题 1.如图①，设空白部分的宽为x，则S阴影＝__(_a_－__2_x_)_(_b_－__2_x_) _；
2.如图②，设阴影道路的宽为x，则S阴影＝__(_a_－__x_)_(b_－__x_)__；3.如图③，
b(a b)
围栏总长为a，BC的长为b，则S阴影＝________
x1
＝x121成立，理由如下：∵x1＋x2＝2k＋1，x1x2
＝k2＋k，∴ ＋ ＝1，即 ＝1，∴
＝1，解得k1＝
，k2
＝ 1 1；
x1 x2 2k 1
k2 k
x1 x2 x1 x2
1 5
2
1 5 2
(3)如果方程的两个实数根为x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1)＝6，求k的值；
由(2)得，x1＋x2＝2k＋1，x1x2＝k2＋k，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2 ＋1＝6，∴k2＋k＋2k＋1＋1＝6，即k2＋3k－4＝0，解得k1＝1，k2＝－ 4；
x32
x42
x32
x42
11.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017
年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019年“竹文化”旅游收入将
达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年
平均增长率约为( C )A. 2%
B. 4.4%
C. 20%
思维导图
一元二次方程 的概念
一元二次方程 的一般形式 一元二次方程
的解法
一元二次方程 及其解法
概念 根的情况与 判别式的关系
根与系数的关系
一元二次方程根 的判别式及根与
系数的关系
中考数学复习课件：第7课时 一元二次方程及其应用(共35张PPT)
考点四 一元二次方程根与系数的关系
误区警示
在解决根的判别式和根与系数的综合题时，必须注意以下两个 方面：
(1) 一元二次方程的二次项系数不为0. (2) 用根与系数的关系的前提是根的判别式是非负数，这往往
是最容易被忽略的．
第7课时 一元二次方程及其应用
考点演练
考点五 一元二次方程的实际应用
根的倒数恰好是它本身，则m的值为( C )
A.
5 2
1 B. 2
C.
5 2
1 或2
D.1
思路点拨
根据“方程的一个实数根的倒数恰好是它本身”求出这个实数 根，再根据方程根的定义代回方程求解．
第7课时 一元二次方程及其应用
考点演练
解：设这个实数根是x，则
1 x
＝x，解得x1＝±1.
1
将x＝1代入原方程，得1＋(m＋1)＋ 2 ＝0，解得m＝－ 1
5. 能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理．
第7课时 一元二次方程及其应用
知识梳理
1. 一元二次方程的定义：
只含有___一_____个未知数，并且未知数的最高次数是___2_____的
_整__式_____式方程叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式是 ax2＋bx＋c＝0 做
(a__≠__0)，其中ax2叫
思路点拨
(1)根据一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根，可得 Δ≥0，据此求出m的取值范围．
(2) 根据根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2的值，代入
x
2 1
x
2 2
＝6x1x2求解即可．
第7课时 一元二次方程及其应用
考点演练
考点四 一元二次方程根与系数的关系
最新中考数学总复习第一部分数与代数 第二章 方程与不等式 第7讲 一元二次方程及应用
数学
(2)解:∵x2－4mx+3m2＝0,即(x－m)(x－3m)＝0, ∴x1＝m,x2＝3m. ∵m＞0,且该方程的两个实数根的差为2, ∴3m－m＝2, ∴m＝1.
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数学
考点3 *一元二次方程根与系数的关系
8.(2021 黄石)已知关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2+m＝0 有 实数根. (1)求 m 的取值范围; (2)若该方程的两个实数根分别为 x1,x2,且x12+x22＝12,求 m 的值.
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数学
14.(2018广东)关于x的一元二次方程x2－3x+m＝0有两个不相 等的实数根,则实数m的取值范围是( A )
A.m＜9
4
B.m≤9
4
C.m＞9
4
D.m≥9
4
返回
数学
15.(2019广东)已知x1,x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实 数根,下列结论错误的是( D )
A.x1≠x2
一元二次方 题14,
题4,
程的解 4分
3分
解一元二次 方程
题 题9,3
21(2), 分 2分
题17, 6分
返回
数学
一元二次方程
题9,
题8,
根的判别式
3分
3分
一元二次方程
的应用题
◇链接教材◇人教版:九上第二十一章P1－P26
北师版:九上第二章P30－P58
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数学
课前预习
1.(2021深圳)已知方程x2+mx－3＝0的一个根是1,则m的值为 2.
2.(2021广州)方程x2－4x＝0的实数解是 x1＝0,x2＝4 .
2019年人教版中考数学《一元二次方程及其应用》复习课件
(3)公式法:利用一元二次方程的求根公式⑧
b b2 4ac x= 2a
(b2-4ac≥0)
解一元二次方程的方法,叫做公式法,公式法适用于所有的一元二次方程.
(4)因式分解法:因式分解法的步骤:将方程右边化为0;将方程左边分解为两个 ⑨ 一次因式 的乘积;令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个
的判别的应用
有关一元二次方程的应用中常见的等量关系 (1)增长率问题中的等量关系 增长率=增量÷基础量. 设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b,
当m为平均下降率,n为下降次数,b为下降后的量时,有a(1-m)n=b.
(2)利率问题中的等量关系 本息和=本金+利息;
2
解法二(公式法):a=4,b=-8,c=1, ∴b2-4ac=(-8)2-4×4×1=48>0,
(8) 48 2 3 ∴x= = , 2 4 2 2 3 2 3 ∴x1= ,x2= . 2 2
名师点拨 配方法虽然在解题中应用较少,但它是公式法的基础,且配方法适
用于任意一个一元二次方程,因此必须掌握用配方法解一元二次方程. 变式训练1 (2017邢台模拟)用适当的方法解下列方程: (1)x2-3x=18; (2)3y(y-1)=2-2y.
2 x12 + x2 (2)若原方程的两根x1,x2满足 -x1x2=3p2+1,求p的值.
答案
(1)证明:原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0.
则Δ=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2.
∵p为实数,∴(2p+1)2≥0,
一元二次方程、分式方程的解法及应用(基础巩固)-中考数学基础知识复习和专题巩固提升训练含答案
考向07一元二次方程、分式方程的解法及应用—基础巩固【知识梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x =；当m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为x =． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．方法指导：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆．△>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．方法指导： △≥0⇔方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么a c x x a b x x 2121=⋅-=+，．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．方法指导：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.方法指导：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．方法指导：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【基础巩固训练】一、选择题1. 用配方法解方程2250x x--=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．25 3．关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k≥﹣1C ．k≠0D ．k ＜1且k≠04．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. S a b + B. S av b - C. S av a b -+ D. 2S a b+ 二、填空题7．方程﹣=0的解是 ． 8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9． 某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m = m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---；（2）解方程：x x x x 221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根，（1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？答案与解析一、选择题1.【答案】B；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 整理即可得到B 项是正确的.2.【答案】C ；【解析】∵22127x x += ∴221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（， 解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=3.【答案】D ；【解析】依题意列方程组，解得k ＜1且k≠0．故选D ．4.【答案】B ；【解析】有题意2320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.5.【答案】B ；【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2653500+-=x x .6.【答案】B ；【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为（）S av -千米。
中考总复习数学第3节 一元二次方程及其应用
边的长是方程 x2－8x＋12＝0 的解，则这个三角形的周
长是 17 ．
3. (2020·无锡)解方程：x2＋x－1＝0.
解：x1＝－1＋2
5，x2＝－1－2
5 .
4. (2020·荆州)阅读下列“问题”与“提示”后，将 解方程的过程补充完整，求出 x 的值．
【问题】解方程：x2＋2x＋4 x2＋2x－5＝0. 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设 x2＋2x＝t(t≥0)，则有 x2＋2x＝t2， 原方程可化为：t2＋4t－5＝0. 【续解】
－4ac ＞ 0.即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的 范围．(2)将 x＝1 代入方程 x2＋2x＋a－2＝0 得到 a
的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【自主作答】(1)b2－4ac＝22－4×1×(a－2)＝12－ 4a＞0，解得 a＜3.
(2)设方程的另一根为 x1，由解的定义及根与系数的 1＋2＋a－2＝0， a＝－1，
关系，得 1×x1＝a－2， 解得 x1＝－3，则 a 的值是 －1，该方程的另一根为－3.
类型3：一元二次方程的应用 ►例3沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产 企业在两年内的销售额从 20 万元增加到 80 万元．设这 两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为 () A．20(1＋2x)＝80 B．2×20(1＋x)＝80 C．20(1＋x2)＝80 D．20(1＋x)2＝80
数学 中考总复习
第3节 一元二次方程及其应用
类型1：一元二次方程的解法 ►例1分别用两种不同的方法解下列一元二次方程： (1)x2＋6x＝1； (2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0.
分析：公式法是解一元二次方程通用的方法，在运
2019编辑2019年全国中考数学真题分类汇编：一元二次方程和应用(含答案).doc
2019年全国中考数学真题分类汇编：一元二次方程及应用一、选择题1.（2019年山东省滨州市）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3【考点】解一元二次方程【解答】解：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，故选：D．2. （2019年四川省达州市）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500（1+x%）2＝9100C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故选：D．3. （2019年广西贵港市）若α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且+=-，则m等于（）A. B. C. 2 D. 3【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵+===-，∴m=-3；故选：B．4. （2019年江苏省泰州市）方程2x2+6x－1=0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（）A ．－6B ．6C ．－3D ． 3 【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】试题分析：∵一元二次方程2x 2+6x －1=0的两个实根分别为x 1，x 2，由两根之和可得; ∴x 1+x 2=﹣26=3， 故答案为：C ．5. （2019年河南省）一元二次方程（x +1）（x ﹣1）＝2x +3的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：原方程可化为：x 2﹣2x ﹣4＝0， ∴a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0， ∴方程由两个不相等的实数根． 故选：A ．6. （2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿 线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区 居民年人均收入平均增长率为 ．（用百分数表示） 【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x ， 20000（1+x ）2＝39200，解得，x 1＝0.4，x 2＝﹣2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%， 故答案为：40%．7. （2019年甘肃省）若一元二次方程x 2﹣2kx +k 2＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（ ） A ．﹣1B ．0C ．1或﹣1D ．2或0【考点】一元二次方程的解【解答】解：把x ＝﹣1代入方程得：1+2k +k 2＝0， 解得：k ＝﹣1， 故选：A ．8. （2019年湖北省鄂州市）关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0的两实数根分别为x 1、x 2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A．B．C．D．0【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．9. （2019年湖北省荆州市）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴△＝k2﹣4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．10. （2019年黑龙江省伊春市）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．故选：C．11. （2019年内蒙古包头市）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：当a＝4时，b＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8不符合；当b＝4时，a＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，∴a＝8不符合；当a＝b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；故选：A．12. （2019年内蒙古赤峰市）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（）A．400（1+x2）＝900 B．400（1+2x）＝900C．900（1﹣x）2＝400 D．400（1+x）2＝900【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设月平均增长率为x，根据题意得：400（1+x）2＝900．故选：D．13. （2019年内蒙古呼和浩特市）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4x12+17的值为（）A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，x12+x1＝3，∴x22﹣4x12+17＝x12+x22﹣5x12+17＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣5x12+17＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣5x12+17＝24﹣5x22＝24﹣5（﹣1﹣x1）2＝24﹣5（x12+x1+1）＝24﹣5（3+1）＝4，故选：D．14. （2019年内蒙古通辽市）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）A．48 B．24 C．24或40 D．48或80【考点】一元二次方程的应用【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，所以x1＝5，x2＝3，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∴菱形的另一条对角线为2＝6，∴菱形的面积＝×6×8＝24．故选：B．15. （2019年新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤B．k＞C．k＜且k≠1D．k≤且k≠1【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠1．故选：D．16.（2019年新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，故选：A．二、填空题1.（2019年上海市）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：由题意知△＝1﹣4m＜0，∴m＞．故填空答案：m＞．2. （2019年山东省济宁市）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是．【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解答】解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，∴x1x2＝＝﹣2，∴1×x2＝﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故答案为﹣2．3. （2019年山东省青岛市）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：根据题意得：△＝1﹣4×2m＝0，整理得：1﹣8m＝0，解得：m＝，故答案为：．4. （2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根得△＝b 2﹣4ac ＝4+4×3a ＞0， 解得a ＞ 则a ＞且a ≠0故答案为a ＞且a ≠05. （2019年四川省资阳市）a 是方程2x 2＝x +4的一个根，则代数式4a 2﹣2a 的值是 ． 【考点】一元二次方程的解【解答】解：∵a 是方程2x 2＝x +4的一个根， ∴2a 2﹣a ＝4，∴4a 2﹣2a ＝2（2a 2﹣a ）＝2×4＝8． 故答案为：8．6. （2019年江苏省泰州市）若关于x 的方程x 2+2x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】∵关于x 的方程x 2+2x +m ＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4﹣4m ＞0 解得：m ＜1，∴m 的取值范围是m ＜1. 故答案为：m ＜1.7. （2019年江苏省扬州市）一元二次方程()22-=-x x x 的根为___.【考点】一元二次方程的解法 【解答】解：()22-=-x x x()()021=--x x x 1=1， x 2=28. （2019年湖北省十堰市）对于实数a ，b ，定义运算“◎”如下：a ◎b ＝（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2．若（m +2）◎（m ﹣3）＝24，则m ＝ ．【考点】一元二次方程的解法【解答】解：根据题意得[（m +2）+（m ﹣3）]2﹣[（m +2）﹣（m ﹣3）]2＝24， （2m ﹣1）2﹣49＝0，（2m ﹣1+7）（2m ﹣1﹣7）＝0， 2m ﹣1+7＝0或2m ﹣1﹣7＝0，所以m 1＝﹣3，m 2＝4． 故答案为﹣3或4．9. （2019年甘肃省武威市）关于x 的一元二次方程x 2+x +1＝0有两个相等的实数根，则m 的取值为 ．【考点】一元二次方程根的判别式 【解答】解：由题意，△＝b 2﹣4ac ＝（）2﹣4＝0得m ＝4 故答案为410. （2019年辽宁省本溪市）如果关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +k ＝0有实数根，那么k 的取值范围是 ．【考点】一元二次方程根的判别式 【解答】解：根据题意得：△＝16﹣4k ≥0， 解得：k ≤4． 故答案为：k ≤4．11. （2019年西藏）一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0的根是 ． 【考点】一元二次方程的解法【解答】解：△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5， x ＝，所以x 1＝，x 2＝．故答案为x 1＝，x 2＝．三、解答题1.（2019年安徽省）解方程2x 1=4-（）【考点】一元二次方程的解法【解答】利用直接开平方法：x-1=2或x-1=-2 ∴ ， 2.（2019年北京市）关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法【解答】∵01222=-+-m x x 有实数根，∴△≥0，即0)12(4)2(2≥---m ，∴1≤m∵m 为正整数，∴1=m ，故此时二次方程为,0122=+-x x 即0)1(2=-x∴121==x x ，∴1=m ，此时方程的根为121==x x3.（2019年乐山市）已知关于x 的一元二次方程04)4(2=++-k x k x . （1）求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为1x 、2x ，满足431121=+x x ，求k 的值； （3）若Rt △ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根1x 、2x ，求∆Rt ABC的内切圆半径.【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、一元二次方程根与系数关系、内切圆 【解答】（1）证明： 0)4(16816)4(222≥-=+-=-+=∆k k k k k ，∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根.（2）由题意得：421+=+k x x ，k x x 421=⋅， 431121=+x x，432121=⋅+∴x x x x ，即4344=+k k ， 解得：2=k ；（3）解方程得：41=x ，k x =2，根据题意得：22254=+k ，即3=k ， 设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图， 由切线长定理可得：5)4()3(=-+-r r ，∴直角三角形ABC 的内切圆半径r =12543=-+；4.（2019年重庆市）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？ （2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，64月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．【考点】一元一次方程的应用与解法、一元二次方程的应用与解法【解答】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，由题意得：2（50×2x+80x）＝90000，解得x＝250答：该小区共有250套80平方米的住宅．（2）参与活动一：50平方米住宅每户所交物管费为100元，有500×40%＝200户参与活动一，80平方米住宅每户所交物管费为160元，有250×20%＝50户参与活动一；参与活动二：50平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣%）元，有50（1+6a%）户参与活动二．由题意得100（1﹣%）•200（1+2a%）+160（1﹣%）•50（1+6a%）＝[200（1+2a%）×100+50（1+6a%）×160]（1﹣a%）令t＝a%，化简得t（2t﹣1）＝0∴t1＝0（舍），t2＝，∴a＝50．答：a的值为50．5. （2019年山东省德州市）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．【考点】一元二次方程的应用与解法【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x ）+128（1+x ）2=608 化简得：4x 2+12x -7=0 ∴（2x -1）（2x +7）=0， ∴x =0.5=50%或x =-3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%． （2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3=128×=432＜500答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．6. （2019年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚 熟芒果远销北上广等大城市。
中考数学一轮总复习 第7课时 二次方程(组)(无答案) 苏科版
第7课时：二次方程（组）【课前预习】 （一）知识梳理1、一元二次方程，二元二次方程（组）的定义。
2、一元二次方程的解法，基本思想是降次，常用方法是直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、十字相乘法。
3、二元二次方程组（一个是二元一次方程、一个是二元二次方程）的解法，基本思想是消元、降次，常用方法代入消元法。
（二）课前练习2221.3(1)2(2)40 .2. .3.7100 .4.1)(21x x x x x x x x m x m --+-==-+=-++将方程化成一元二次方程的一般形式，得，一次项系数是，二次项系数是方程的根是若一个三角形的三边长均满足方程，那么此三角形的周长是关于的一元二次方程（2)100 .x m m +-=的一个根为，那么的值是 5.下列关于x 的方程：2232223(1)230,(2)20,(3)5,(4)1x x x x x x y x--=-+=+=+= 其中是一元二次方程的有 . 6.用规定方法解下列方程：（1）()22132x -=（开平方法与因式分解法） （2）242x x +=（配方法与公式法）【解题指导】2221.1310 (2)3 (3)3250x x x x x +-=+=--=例解下列方程：（）2261102.210x y y x y ⎧-+-=⎨--=⎩例解二元二次方程组：3.2)340x ( ). . . . mm x mx m m m m -+-==±==-≠±A 2B 2C 2D 2例方程（是关于的一元二次方程，则例5.m 为何值时，方程组 2y 12xy 3x m ⎧=⎨=+⎩有两个相同的实数解.【巩固练习】()2222221.150 .2.210,4 .3.1 5 (2)( (3)(4)(32)110m x mx m a a a a x x y x x -+-=-+=-=-=+=+-+=方程是关于x 的一元二次方程，则满足的条件是若则2解下列方程：（）4.请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．22520111; (2) 2830x y x y xy x y -=+=⎧⎧⎨⎨=-+=⎩⎩.解下列方程组：（）【课后作业】 班级 姓名一、必做题:1、已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ） A ．3- B ．3 C ．0 D ．0或3 2、用配方法解一元二次方程542=-x x 的过程中，配方正确的是（ ） A ．（1)22=+x B ．1)2(2=-x C ．9)2(2=+x D ．9)2(2=-x 3、一元二次方程2520x x -=的解是（ ）A ．x 1 = 0 ，x 2 =25B ． x 1 = 0 ，x 2 =52-C ．x 1 = 0 ，x 2 =52D ． x 1= 0 ，x 2 =25-4、下列说法中，正确的是（ ）A ．如果a b c d b d ++=，那么a cb d= B 3C ．当1x <D ．方程220x x +-=的根是2112x x =-=，5、方程(x-1)2=4的解是 .6、请你写出一个两根分别为2，3的一元二次方程： ．7、若关于x 的方程2210x x k ++-=的一个根是0，则k = ．8、若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.9、用配方法解方程542=-x x 时，方程的两边同加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式． 10、解方程：（1）2(3)4(3)0x x x -+-=． （2）2230x x --=（3）2310x x --=． （4）0)3(2)3(2=-+-x x x（5）2213x x +=. （6）x 2－6x ＋1＝0．11、解方程组：（1）27x 6xy 82x 3y 5⎧-=⎨-=⎩ （2）二．选做题：1、若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-22、方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ） A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x =3、2(3)5(3) .x x x -=-一元二次方程的根为4、2222()4()120,1 .x x x x x x x ----=-+已知实数满足则代数式的值为5、用适当的方法解关于x 的方程（1）064)94(32=+--x x （2）032)26(2=+++x x6. 222222)(1)-120,+y x y x y x +-+=已知（求的值。
2019-2020年中考数学复习考点精练：第7课时 一元二次方程及其应用
2019-2020年中考数学复习考点精练：第7课时一元二次方程及其应用命题点1 解一元二次方程（近3年39套卷，2015年考查3次，2014年考查3次，2013 年考查3次）1. （2015徐州20（1）题5分）解方程：x2-2x-3=0.2. （2014徐州20（1）题5分）解方程：x2+4x-1=0.3. （2014泰州17（2）题6分）解方程：2x2-4x-1=0.命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（近3年39套卷，2015年考查6次，2014年考查6次，2013年考查5次）1. （2014苏州7题3分）下列关于x的方程有实数根的是()A.x2-x+1=0B.x2+x+1=0C. (x-1)(x+2)=0D. (x-1)2+1=02. （2015连云港6题3分）已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k<13B.k>-13C. k<13且k≠0 D. k>-13且k≠03. （2013镇江8题2分）写一个你喜欢的实数m的值_______，使关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根.4. （2015南通12题3分）已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2的值等于_______.5. （2015南京12题2分）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m 的值是________.6. （2015镇江9题2分）关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是________.7. （2015徐州13题3分）已知关于x的方程x2x-k=0有两个相等的实数根，则k的值为_________.8. （2014扬州17题3分）已知a、b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为.9. （2015泰州18题8分）已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0.（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值.命题点3 一元二次方程的应用（近3年39套卷，2015年考查2次，2014年考查1次， 2013年考查3次）1. （2013南京14题2分）已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：__________.第1题图2. （2014南京22题8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的百分率为x.（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为_______万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本．．．．为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.3. （2013连云港23题10分）小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能．．．等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由.4. （2015淮安26题10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤.为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售. （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售是_______斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】命题点1 解一元二次方程 1. 解：因式分解得：(x +1)(x -3)=0，…………………………………………………………（3分）即x +1=0或x -3=0，…………………………………………………………………………（4分）解得：x 1=-1 ,x 2=3.……………………………………………………………………………（5分）2. 解：原式可化为（x 2+4x +4-4）-1=0，即（x +2）2=5，…………………………………（3分）两边开方得，x +2=4分）解得x 1x 2.…………………………………………………………………（5分）3. 解：这里a =2，b =-4，c =-1，……………………………………………………………（2分）∵b 2-4ac =16+8=24，…………………………………………………………………………（4分）∴x =424b a -±±=.即x 1,x 2=22-.…………………………………………………………………（6分）命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. C 【解析】A .b 2-4ac =(-1)2-4×1×1=-3<0，方程没有实数根，所以A 选项错误；B .b 2-4ac =12-4×1×1=-3<0，方程没有实数根，所以B 选项错误；C .x -1=0或x +2=0，则x 1=1,x 2=-2,所以C 选项正确；D .(x -1)2+1=0，方程左边为正数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误.2. A 【解析】∵方程x 2-2x +3k =0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac >0，即（-2）2-4×3k >0,解得k <13. 3. 0（答案不唯一）【解析】根据题意得：b 2-4ac =1-4m ＞0，解得：m ＜14，则m 可以为0，答案不唯一. 4. -2【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，∵a ＝2，b ＝4，c ＝-3，∴x 1+x 2＝ba＝-2. 5. 3，-4【解析】由题意及一元二次方程根与系数的关系知x 1x 2=3，得另一根为3，再由x 1＋x 2=-m ，得m =-4.6. a >0【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，本题中的判别式b 2-4ac =-4a ，∵方程没有实数根，则-4a <0，∴a >0.7. -3【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由于方程有两个相等的实数根，则)2-4×1×(-k )=0，解得k =-3.8. 23【解析】∵a ，b 是方程x 2-x -3=0的两个根，∴a 2-a -3=0，b 2-b -3=0，即a 2=a +3，b 2=b +3，∴2a 3+b 2+3a 2-11a -b +5=2a （a +3）+b +3+3（a +3）-11a -b +5=2a 2-2a +17=2（a +3）-2a +17=2a +6- 2a +17=23. 9. 解：（1）∵a =1,b =2m ,c =m 2-1,……………………………………………………………（1分）∴b 2-4ac =(2m )2-4×1×(m 2-1)=4＞0，………………………………………………………（3分）∴方程x 2+2mx +m 2-1=0有两个不相等的实数根;…………………………………………（4分）（2）∵x 2+2mx +m 2-1=0有一个根是3，∴32+2m ×3+m 2-1=0,…………………………………………………………………………（6分）解得，m =-4或m =-2.…………………………………………………………………………（8分）命题点3 一元二次方程的应用1. (x +1)2=25(本题答案不唯一)【解析】解法一：分割法，如解图①，将图形分割成两个长方形，由题意，x (x +1)+x ×1=24即x 2+2x =24，∴x 2+2x -24=0.解法二：补图法，如解图②，将图形补成一个正方形，由题意，(x +1)2-1=24,∴(x +1)2=25.第1题解图2.4分）（2）【思路分析】由题意，等量关系为第三年养殖成本4+2.6(1+x )2万元等于7.146万元，可解方程得结论.解：根据题意，得4+2.6(1+x )2=7.146.解方程，得x 1=0.1,x 2=-2.1(不合题意，舍去). 答：可变成本平均每年增长的百分率是10％.……………………………………………（8分）3. （1）【思路分析】设剪成的较短的一段为x cm ，较长的一段就为（40-x ）cm .就可以分别表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58 cm 2建立方程求出其解即可.解：设剪成的较短的一段为xcm ，较长的一段则为（40-x ） cm ，由题意，得：(4x ）2+(404x -)2=58, ………………………………………………………………………………………………（2分）解得：x 1=12，x 2=28，当x =12时，较长的为40-12=28 cm ，………………………………………………………（3分）当x =28时，较长的为40-28=12＜28（舍去），…………………………………………（4分）∴较短的一段为12 cm ，较长的一段为28 cm .……………………………………………（5分）（2）【思路分析】设剪成的较短的一段为m cm ，较长的一段则为（40-m ） cm .就可以分别表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48 cm 2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确.解：设剪成的较短的一段为m cm ，较长的一段则为（40-m ） cm ，由题意，得： (4m ）2+(404m -)2=48，……………………………………………………………………（7分）变形为：m 2-40m +416=0， ∵b 2-4ac =（-40）2-4×416=-64＜0， ∴原方程无实数根，…………………………………………………………………………（9分）∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.……………………（10分）4. （1）【思路分析】因为售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，售价降低x 元，每天可多售出20×0.1x 斤，每天销售量为100+20×0.1x =（200x +100）（斤）. 解：200x +100；………………………………………………………………………………（2分）（2）【思路分析】根据：每天销售利润=（原销售价-成本价-销售价降低部分）×每天销售量，建立方程求解.解：根据题意，得（200x+100）（4-2-x）=300，………………………………………………………………（4分）整理，得2x2-3x+1=0，………………………………………………………………………（6分）(x-1)(2x-1)=0,解得x1=1,x2=0.5，…………………………………………………………………………（8分）当x=0.5时，每天销售量为200×0.5+100=200<260，不合题意，舍去.………………（9分）答：销售这种水果要想每天销售盈利300元，张阿姨需将每斤销售价降低1元.……（10分）2019-2020年中考数学复习考点精练：第8课时分式方程及其应用命题点1 解分式方程（近3年39套卷，2015年考查5次，2014年考查7次，2013年考查9次）解分式方程考查的题型有选择题、填空题和解答题，其中以解答题为主，所给的分式方程有3种形式：①等号两边均为分式；②等号左边为分式，等号右边为常数项或分式与常数项的和或差；③等号左边为两个分式或常数项与分式，等号右边为常数项.1. （2015淮安9题3分）方程1x-3=0的解是__________.2. （2015宿迁12题3分）方程3x-22x-=0的解为________.3. （2015镇江19（1）题5分）解方程：3+4xx-=12.4. （2015南通19（2）题5分）解方程12x=1+5x.5. （2014苏州22题6分）解分式方程：2311xx x+=--.6. （2014连云港19题6分）解方程21322x x x-+=--.7. （2013泰州18题8分）解方程：22 222222x x xx x x x++--=--.命题点2 分式方程的应用（近3年39套卷，2015年考查3次，2014年考查2次，2013年考查2次）1. （2015苏州22题6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？2. （2015扬州24题10分）扬州建城2500年之际，为了加速美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20％，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵？3. （2013扬州24题10分）某校九（1）、九（2）两班的班长交流了为四川雅安地震灾区捐款的情况.（Ⅰ）九（1）班班长说：“我们班捐款总额为1200元，我们班人数比你们班多8人.”（Ⅱ）九（2）班班长说：“我们班捐款总额也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20％.”请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数.4. （2015连云港23题10分）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元.（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.【答案】命题点1 解分式方程1. x=13【解析】去分母得1-3x=0，移项得-3x=-1，系数化成1得x=13，因为x=13≠0，所以x =13是方程1x-3=0的解. 2. x =6【解析】给分式方程两边同时乘以x (x -2)，得3（x -2）-2x =0，解得x =6，经检验x =6是原分式方程的根.3. 解：去分母，得6+2x =4-x ，……………………………………………………………（2分）解得x =-23,……………………………………………………………………………………（4分） 经检验，x =-23是原方程的解.所以，原方程的解为x =-23.………………………………………………………………（5分）4. 解：方程两边同时乘以2x （x +5）,得x +5=6x ，………………………………………（2分） 解得x =1，……………………………………………………………………………………（3分） 检验：当x =1时，2x (x +5)≠0，……………………………………………………………（4分） 所以，原分式方程的解为x =1.………………………………………………………………（5分）5. 解：去分母得：x -2=3x -3, ………………………………………………………………（2分）解得：x =12，…………………………………………………………………………………（4分） 经检验x =12是分式方程的解.∴原分式方程的解为x =21. ………………………………………………………………（6分）6. 【思路分析】按照解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数 化为1求解.在去分母时，不要漏掉乘常数项，最后检验.解：去分母，得 2+3（x -2）=-(1-x )，……………………………………………………（2分） 去括号，得2+3x -6=-1+x ， 移项，得3x -x ＝-1+6-2， 合并同类项，得2x =3，系数化为1，得x =32.………………………………………………………………………（4分） 检验：将x =32代入公分母x -2中，得x -2＝32-2＝-12≠0，……………………………（5分）∴原分式方程的解为x =32.…………………………………………………………………（6分）7. 解：方程两边同时乘以x （x -2）得：（2x +2）（x -2）-x （x +2）=x 2-2，……………（2分） 化简得：-4x =2，解得：x＝-12，………………………………………………………………………………（4分）检验：把x＝-12代入x（x-2）＝54≠0，…………………………………………………（6分）故方程的解是：x＝-12 .……………………………………………………………………（8分）命题点2 分式方程的应用1. 【思路分析】根据相等关系“甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等”列出方程求解，注意不能忘记检验.解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，…………………………（1分）根据题意，得6050x+=50x，………………………………………………………………（3分）解方程，得x=25，…………………………………………………………………………（4分）经检验，x=25是分式方程的解，∴x+5=30.……………………………………………………………………………………（5分）答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗.……………………………………（6分）2. 【思路分析】本题基本的关系是工作量除以工作效率即为工作的时间，关键的等量关系就是实际比原计划提前两天完成，理顺这两个关系即可，但注意解出分式方程的根后要进行验根.解：设原计划每天栽树x棵.………………………………………………………………（1分）根据题意，得1200x-(1120)20%x+=2，……………………………………………………（5分）解得x=100，………………………………………………………………………………（7分）经检验，x=100是原方程的解，…………………………………………………………（9分）答：原计划每天栽树100棵.………………………………………………………………（10分）3. 【思路分析】首先设九（1）班的人均捐款数为x元，则九（2）班的人均捐款数为（1+20%）x元，然后根据九（1）班人数比九（2）班多8人，即可得方程：1200x-(1120)20%x+=8，解此方程即可求得答案.解：设九（1）班人均捐款数为x元，则九（2）班人均捐款数为（1+20%）x元，…（1分）由题意，得1200x-(1120)20%x+=8，………………………………………………………（5分）解得x =25，…………………………………………………………………………………（7分） 经检验，x =25是原分式方程的解，………………………………………………………（8分） 九（2）班的人均捐款数为：（1+20%）x =30.……………………………………………（9分） 答：九（1）班人均捐款为25元，九（2）班人均捐款为30元.………………………（10分）4.（1）【信息梳理】设每张门票的原定票价为x 元，解：设每张门票的原定票价为x 元.……………………………………………………（1分） 由题意得：6000480080x x =-, 解得：x=400，经检验，x =400是原方程的解.答：每张门票的原定票价为400元.………………………………………………………（5分）（2）【信息梳理】设平均每次降价的百分率为y ，由（1）知原定票价为400元.解：设平均每次降价的百分率为y .由题意得：400（1-y ）2＝324，解得：y 1＝0.1，y 2=1.9（不合题意，舍去），答：平均每次降价10％.……………………………………………………………………（10分）。
中考数学总复习之一元二次方程及应用 课件
B．难题突破 8．(2020·临沂)一元二次方程 x2－4x－8＝0 的 解是( B ) A．x1＝－2＋2 3，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
9．(2020·通辽)关于 x 的方程 kx2－6x＋9＝0 有 实数根，k 的取值范围是( D )
(2)当 Δ＝0 时，原方程有 C．7x2－14x＋7＝0
两个相等的实数根； D．x2－7x＝－5x＋3
(3)当 Δ<0 时，原方程没
有实数根.
4.一元二次方程根与系 4.若方程 x2－5x＋2＝0
数的关系：
的两个根分别为 x1，x2，
若一元二次方程 ax2＋bx 则 x1＋x2－x1x2 的值为
答：预计4月份平均日产量为26 620个．
A．夯实基础
1．(2018·柳州)一元二次方程x2－9＝0的解是
_x_1＝__3_，__x_2_＝__－__3_．
2．(2017·广东)如果x＝2是方程x2－3x＋k＝0
的一个根，则常数k的值为( B )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
3．(2020·邵阳)设方程 x2－3x＋2＝0 的两根分
A．1
B．－3
C．3
D．－4
2．(2020·常州)若关于x的方程x2＋ax－2＝0有 一个根是1，则a＝______1__．
3．(2020·扬州)方程(x＋1)2＝9的根是 __x_1＝__2_，__x_2_＝__－__4__．
4．(2020·齐齐哈尔)解方程：x2－5x＋6＝0.
解：因式分解，得(x－2)(x－3)＝0 于是得x－2＝0或者x－3＝0， x1＝2，x2＝3.
第8讲 一元二次方程及其应用 2019各省市中考数学优选知识点题型汇编
第8讲 一元二次方程及其应用一、考点知识梳理【考点1 一元二次方程的概念及解法】1.一元二次方程的概念:只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，像这样的整式方程叫一元二次方程．其一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法:直接开平方法：这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程.配方法：配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数．公式法：求根公式为x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)，适用于所有的一元二次方程.因式分解法：因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为0；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 【考点2 一元二次方程根的情况】1．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可由b 2－4ac 来判定，我们b 2－4a 将称为根的判别式．2．判别式与根的关系：(1)b 2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)b 2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b 2－4ac ＝0⇔方程有两个相等的实数根． 【考点3 一元二次方程的应用】 1．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论． 2．一元二次方程应用问题常见的等量关系： (1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用， 利润率＝利润÷进货价． 二、考点分析【考点1 一元二次方程的概念及解法】【解题技巧】1.判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．2.关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解法：(1)当b ＝0，c ≠0时，x 2＝－c a ，考虑用直接开平方法解；(2)当c ＝0，b ≠0时，用因式分解法解； (3)当a ＝1，b 为偶数时，用配方法解简便．（1）将一元二次方程配成（x +m ）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【例1】（2019 吉林中考）若关于x 的一元二次方程（x +3）2＝c 有实数根，则c 的值可以为 （写出一个即可）．【答案】5（答案不唯一，只有c ≥0即可）【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c 的不等式，解不等式就可以求出c 的取值范围．【解答】解：一元二次方程化为x 2+6x +9﹣c ＝0， ∵△＝36﹣4（9﹣c ）＝4c ≥0， 解上式得c ≥0．故答为5（答案不唯一，只有c ≥0即可）．【一领三通1-1】（2019 安徽中考）解方程：（x ﹣1）2＝4． 【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可． 【解答】解：两边直接开平方得：x ﹣1＝±2， ∴x ﹣1＝2或x ﹣1＝﹣2， 解得：x 1＝3，x 2＝﹣1．【一领三通1-2】（2019 山西中考）一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0配方后可化为（ ） A ．（x +2）2＝3 B ．（ x +2）2＝5C ．（x ﹣2）2＝3D ．（ x ﹣2）2＝5【答案】D ．【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故选：D．【一领三通1-3】（2019 河北中考）（2019•兰州）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b ＝（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6【答案】A．【分析】先把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，所以a+2b＝﹣1，所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故选：A．【一领三通1-4】（2019 内蒙古中考）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．【分析】首先把方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，然后变形为x2﹣x＝17，然后利用配方法解方程．【解答】解：原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，x2﹣x＝17，x2﹣x+＝17+，（x﹣）2＝，x﹣＝±，所以x1＝，x2＝．【一领三通1-5】（2019 河北衡水中考模拟）我们把形如x2＝a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x 的完全平方方程．如x2＝9，（3x﹣2）2＝25，（）2＝4…都是完全平方方程．那么如何求解完全平方方程呢？探究思路：我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．如：解完全平方方程x2＝9的思路是：由（+3）2＝9，（﹣3）2＝9可得x1＝3，x2＝﹣3．解决问题：（1）解方程：（3x﹣2）2＝25．解题思路：我们只要把 3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．解：根据乘方运算，得3x﹣2＝5 或 3x﹣2＝．分别解这两个一元一次方程，得x1＝，x2＝﹣1．（2）解方程．【分析】根据题意给出的思路即可求出答案．【解答】解：（1）3x﹣2＝﹣5，（2）根据乘方运算，得或解这两个一元一次方程，得x1＝，x2＝．【考点2 一元二次方程根的情况】【解题技巧】1.一元二次方程有实数根的前提是b2－4ac≥0；(2)当a，c异号时，Δ>0.利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．2.一元二次方程系数的特点：（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a ≠0，△≥0这两个前提条件．【例2】（2019 甘肃中考）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0【答案】A．【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．【一领三通2-1】（2019 广东中考）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2【答案】D．【分析】由根的判别式△＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1•x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．【一领三通2-2】（2019 江西中考）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝．【答案】0．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．故答案为：0．【一领三通2-3】（2019 湖北孝感中考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣x1x2＝16，∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．【一领三通2-4】（2019 上海中考）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是．【答案】m＞．【分析】由于方程没有实数根，则其判别式△＜0，由此可以建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．【解答】解：由题意知△＝1﹣4m＜0，∴m＞．故填空答案：m＞．【一领三通2-5】（2019•新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤B．k＞C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠1【答案】D．【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠1．故选：D．【考点3 一元二次方程的应用】【解题技巧】【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【例3】（2019 山西中考）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为．【答案】（12﹣x）（8﹣x）＝77．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．【解答】解：∵道路的宽应为x米，∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77，故答案为：（12﹣x）（8﹣x）＝77．【一领三通3-1】（2019 江苏南京中考））某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．【解答】解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．所以3x＝90，2x＝60，答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．【一领三通3-2】（2019 江苏徐州中考）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？【分析】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，根据长方体盒子的侧面积为200cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，整理，得：2x2﹣25x+50＝0，解得：x1＝，x2＝10．当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．【一领三通3-3】（2019 辽宁大连中考）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？【分析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由2019年村该村的人均收入＝2018年该村的人均收入×（1+年平均增长率），即可得出结论．【解答】解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意得：20000（1+x）2＝24200，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．【一领三通3-4】（2019•青海）某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为．【答案】10%．【分析】设平均每次降价的百分比是x，则第一次降价后的价格为60×（1﹣x）元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1﹣x）×（1﹣x）元，从而列出方程，然后求解即可．【解答】解：设平均每次降价的百分比是x，根据题意得：60（1﹣x）2＝48.6，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），答：平均每次降价的百分比是10%；故答案为：10%．【一领三通3-5】（2019 辽宁大连中考模拟）如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为m．【答案】2．【分析】将矩形绿地平移后，根据图中的等量关系列出方程即可求出答案．【解答】解：设人行通道的宽度为x，将脸矩形绿地平移，如图所示，∴AB＝2x，GD＝3x，ED＝24﹣2x由题意可列出方程：36×24﹣600＝2x×36+3x（24﹣2x）解得：x＝2或x＝22（不合题意，舍去）故答案为：2三、【达标测试】（一）选择题1.（2019 河南中考）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A．【分析】先化成一般式后，在求根的判别式．【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴方程由两个不相等的实数根．故选：A．2.（2019•日照）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（）A．1000（1+x）2＝3990B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990C．1000（1+2x）＝3990D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990【答案】B．【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990．故选：B．3.（2019•新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36【答案】A．【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝36，把相关数值代入即可．【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，故选：A．4.（2019•四川内江中考模拟）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1【答案】C．【分析】)根据一元二次方程有两个不相等的实数根⇔b2－4ac>0；【解析】：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得k＞；且k﹣1≠0，k≠1．故选：C．5.（2019•广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30C．30x+2×20x＝×20×30D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30【答案】D．【分析】根据空白区域的面积＝矩形空地的面积可得．【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，故选：D．6.（2019 河北中考）（2019•哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A．20% B．40% C．18% D．36%【答案】D．【分析】设降价得百分率为x，根据降低率的公式a（1﹣x）2＝b建立方程，求解即可．【解答】解：设降价的百分率为x根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16解方程得，（舍）∴每次降价得百分率为20%故选：A．7.（2019 河北中考）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根【答案】A．【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案．【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，∴（﹣1）2﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A．8.（2016 河北中考））a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0【答案】B．【分析】利用完全平方的展开式将（a﹣c）2展开，即可得出ac＜0，再结合方程ax2+bx+c＝0根的判别式△＝b2﹣4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．【解答】解：∵（a﹣c）2＝a2+c2﹣2ac＞a2+c2，∴ac＜0．在方程ax2+bx+c＝0中，△＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．故选：B．（二）填空题1.（2019 江苏南京中考）已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝．【答案】1．【分析】把x＝2+代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝2+代入方程得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，解得m＝1．故答案为1．2.（2019 宁夏中考）已知一元二次方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．【答案】k＞﹣．【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【解答】解：∵方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即42﹣4×3×（﹣k）＞0，解得k＞﹣，故答案为：k＞﹣．3.（2019•威海）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是．【答案】x1＝，x2＝．【分析】直接利用公式法解方程得出答案．【解答】解：3x2＝4﹣2x3x2+2x﹣4＝0，则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，故x＝，解得：x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．4.（2019 河南兰考中考模拟）等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则等腰三角形底边的值是．【答案】4或6，【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．【解答】解：设底边为a，分为两种情况：①当腰长是4时，则a+4＝10，解得：a＝6，即此时底边为6，②底边为4，腰长为10÷2＝5，即底边长为4或6，5.（2019 山东聊城中考模拟）一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，其中x1＜x2，则x12﹣2x22的值为．【答案】﹣8.【分析】解方程得出方程的两根，代入计算可得．【解答】解：∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，∵x1＜x2，∴x1＝0，x2＝2，则x12﹣2x22＝0﹣2×22＝﹣8，即：x12﹣2x22＝﹣8.6.（2019 甘肃兰州中考模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向B移动，同时，点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度向点C移动，运动秒后，△PBQ面积为5个平方单位．【答案】1．【分析】由题意：PA＝t，BQ＝2t，则PB＝6﹣t，利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题；【解答】解：由题意：PA＝t，BQ＝2t，则PB＝6﹣t，∵×（6﹣t）×2t＝5，解得t＝1或5（舍弃），故答案为1．7.（2019 河北沧州中考模拟）已知x1，x2是方程x2﹣x+＝0的两根，若实数a满足a+x1+x2﹣x1x2＝2018，则a＝．【答案】2016．【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝，再利用整体代入的方法得a+﹣＝2018，然后解关于a的方程即可．【解答】解：根据题意得x1+x2═，x1x2＝，∵a+x1+x2﹣x1•x2＝2018，∴a+﹣＝2018，∴a＝2016．故答案为2016．8.（2019 河北张家口中考模拟）已知：a、b、c均为非零实数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一个实数根为2．（1）填空：a＞b＞c，4a+2b+c0，a0，c0（填“＞”，“＜”或“＝”）；（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，满足一个根为另一个根的2倍，我们就称这样的方程为“倍根方程”，若原方程是倍根方程，则求a、c之间的关系．（3）若a＝1时，设方程的另一根为m（m≠2），在两根之间（不包含两根）的所有整数的绝对值之和是7，求b的取值范围．【答案】（1）＝，＞，＜．（2）a=c或a=c（3）1＜b≤2．【分析】（1）由关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，其中一根为2，根据方程解的知识，可得4a+2b+c＝0，然后设方程ax2+bx+c＝0的另一根为x1，由根与系数的关系可得：x1+2＝﹣，2x1＝，然后分别从若x1为正与若x1为负去分析求解即可求得答案；（2）根据“倍根方程”的概念得到一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为2和4或两个根为1和2．当两个根为2和4时，当两个根为2和1时，解方程即可得到结论；（3）根据已知条件得到m＝﹣b﹣2，当m＞2时，2与m之间的和为7的整数是3、4，当m＜2时，m与2之间的绝对值和为7的整数是1、0、﹣1、﹣2、﹣3，解不等式即可得到结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，其中一根为2，∴将x＝2代入ax2+bx+c＝0得：4a+2b+c＝0，设方程ax2+bx+c＝0的另一根为x1，∴x1+2＝﹣，2x1＝，∵a＞b＞c，若x1为正，则a＞0，b＜0，c＞0（舍去）；若x1为负，则a＞0，c＜0；故答案为：＝，＞，＜．（2）根据“倍根方程”的概念得到一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为2和4或两个根为1和2．当两个根为2和4时，∴原方程可以改写为a（x﹣2）（x﹣4）＝0，∴ax2+bx+c＝ax2﹣6ax+8a，∴，∴a，c之间的关系是，当两个根为2和1时，同理a，c之间的关系是c，综上所述，a，c之间的关系是c或c；（3）若a＝1时，ax2+bx+c＝0，∴m＝﹣b﹣2，当m＞2时，2与m之间的和为7的整数是3、4，∴4＜m≤5，得4＜﹣b﹣2≤5，∴﹣7≤b＜﹣6；当m＜2时，m与2之间的绝对值和为7的整数是1、0、﹣1、﹣2、﹣3，∴﹣4≤m≤﹣3，当m＜2时，m与2之间的绝对值和为7的整数是1、0、﹣1、﹣2、﹣3，∴﹣4≤m＜﹣3，得﹣4≤﹣b﹣2＜﹣3，∴1＜b≤2．（三）解答题1.（2019 北京中考）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．2.（2019 河北衡水中考模拟）某县农场小刘承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质核桃，今年已进入第三年收获期．今年收获核桃2880千克，已知小刘第一年收获的核桃重量为2000千克．求去年和今年两年核桃产量的年平均增长率，照此增长率，预计明年核桃的产量为多少千克？【分析】设去年和今年两年核桃产量的年平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设去年和今年两年核桃产量的年平均增长率为x，根据题意得，2000（1+x）2＝2880，解这个方程得（1+x）2＝1.44，开方得：1+x＝±1.2，解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），∴x＝20%，2880 （1+20%）＝3456，答：明年核桃的产量为3456千克．3.（2019 辽宁辽阳中考模拟）构建模型：生活中的实际问题，往往需要构建相应的数学模型来解决，这就是模型的思想．譬如：某校要举办足球赛，若有5个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，则该校一共要安排多少场比赛？为解决上述问题，我们构建如下数学模型：（1）如图①，在平面内画出5个点（任意3个点都不共线），其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数．由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样总共可连成线段是5×4条，如果不考虑线段端点的顺序，那么连成线段只有条，所以该校一共要安排＝10场比赛．（2）根据图②回答：若学校有6个足球队参加比赛，则该校一共要安排15 场比赛；…（3）根据以上规律，若学校有n个足球队参加比赛，则该校一共要安排场比赛；问题解决：（4）小凡今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手），小凡发现所有人握手次数总和为36次，求合唱队有多少人？（写出求解过程）【分析】（2）（3）根据阅读材料计算；（4）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（2）有6个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排比赛的场数是：＝15，故答案为：15；（3）n个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛，故答案为：；（4）设合唱队有x人，则＝36，整理得，x2﹣x﹣72＝0，解得，x1＝9，x2＝﹣8（舍去）答：合唱队有9人．4.（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．【分析】（1）2020年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意，得：6（1+x）2＝17.34，解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．5.（2019 山东烟台中考模拟）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．（1）要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？（2）折成的长方形盒子的侧面积为600cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？【分析】（1）利用已知图形利用边长与面积之间的关系得出解析式即可；（2）利用长方体盒子的侧面积为：（40﹣2x）×x×4得出即可．【解答】解：（1）设减掉的正方形边长为xcm，根据题意得出：（40﹣2x）（40﹣2x）＝484，解得：x1＝9，x2＝31（不合题意舍去），答：剪掉的正方形边长为9cm；（2）设剪掉的正方形的边长为xcm，此时折成的长方体盒子的侧面积为600cm2，依题意，得：4（40﹣2x）x＝600整理，得：x2﹣20x+75＝0解得：x1＝5，x2＝15经检验，均符合题意．。
初中复习方略数学第七讲 一元二次方程
1．一元二次方程二次项系数不为 0. 2．找各项系数时，要将方程化为一般形式，并注意每项的符号．
解一元二次方程
解法
形式
直接
x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝
开平方法
p(p≥0，m≠0)Fra bibliotek配方法
(x－m)2＝n(n≥0)
公式法
ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－ 4ac≥0)
因式分解法
(x－x1)(x－x2)＝0
D．有两个不相等的实数根
2．(2021·广安中考)关于 x 的一元二次方程(a＋2)x2－3x＋1＝0 有实数根，
则 a 的取值范围是( A )
A．a≤14 且 a≠－2
B．a≤41
C．a＜14 且 a≠－2
D．a＜41
3．(2021·济宁中考)已知 m，n 是一元二次方程 x2＋x－2 021＝0 的两个实数根，
【例题变式】某超市经销一种商品，每千克成本为 50 元，经试销发现，该种商品的
每天销售量 y(千克)与销售单价 x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销
售量的四组对应值如下表所示：
销售单价 x(元/千克)
55 60 65 70
销售量 y(千克)
70 60 50 40
(1)求 y(千克)与 x(元/千克)之间的函数表达式．
第七讲 一元二次方程
知识清单·熟掌握
一元二次方程的有关概念 1．定义的三要素： (1)只含有___一___个未知数． (2)所含未知数的最高次数是___2___ ． (3)必须是__整__式__方程． 2．一般形式：y＝ __a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a，b，c是常数，a≠0)，a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项． 3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边_相__等___的未知数的值．
(完整版)一元二次方程知识点及其应用
一、相关知识点1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程二．解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0<n 时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0<n 时，方程无实数解。
（3）公式法：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根aac b b x 242-±-=当042>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==；当042<-ac b 时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
2019-2020学年度最新中考数学第一部分教材知识梳理第二单元第7课时一元二次方程及其应用课件
因式分 解法
形如（x+m)2=n(n≥0)的方程，可直接开方求
解.则 x1 n m , x2 ①__n__m__
若ax2+bx+c=0(a≠0)不易于分解因式，可考虑 配方为a(x+h)2=k,再直接开方求解
公式法求根公式：x=②b b2 4ac (b2 4ac 0)
____2_a____
（2）【思路分析】当x=１时，代入原方程得到|m| 的值，根据绝对值的性质，得到m有两个值．把 |m|的值代入原方程进行求解，即得到另一个根．
解：把 x=１代入原方程，得(1-3)(1-2)=|m|,即 |m|=2，∴m=±2， 把|m|＝2代入原方程，得 x2-5x+4=0， ∴ x1=1,x2 =4， ∴m的值为±2，方程的另一根是4.
1 1
1
,所以x1+x2源自- x1x2 =2-(-1)=3.
【备考指导】一元一次方程中利用根与系数的
关系求代数式的值，常用到的几个关系式：
（1）x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2;
（2）1 1 = x1+x2 ;
x1 x2 x1 x2
（3）x112
1 x22
=（x1（+xx21）x22-）22 x1 x2
（1）【思路分析】先化简整理一元二次方程 ,列 出根的判别式，再根据绝对值的非负性 ,判断根的 判别式与0的大小关系，即可得证 ．
证明：原方程可化为x2-5x+6-|m|=0. ∴由根的判别式可得：(-5)2-4×1×(6-|m|)=2524+4|m|=1+4|m|. ∵|m|≥0, ∴1+4|m|≥1＞0， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根.
中考数学总复习：一元二次方程的应用
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
?
数学来源于生活又服务于生活
➢ 课前准备
用适当的方法解方程： (1)x2-2x-15=0；
(2)x2+4x-1=0
一元二次方程实际问题的常见类型
1、增 长率问 题
设a为原来量, m为平均增长率, n为增长 次数, b为增长后的量, 则a(1+m)n=b; 当 m为平均下降率, 则a(1-m)n=b
则S空白＝___(_a_-_x_)(_b_-_x_) _；
C.如图（3），设阴影部分的宽为x，
则S空白＝ _(a__-_x_)_(_b_-_x_)__.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一元二次方程的实际应用
例1 我省2019年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子
商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业迅猛发
展，2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量
售价=标价×折扣; 销售额=售价×销量/
2、利润
问题
利润=(售价 - 进价)×销量/ ;
3、面 积问题
利润率=
×100%
不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。
（3）面积问题：
A.如图（1），设空白部分的宽为x，
则S阴影＝_(_a_-2_x_)_(_b_-2_x_)__;
B.如图（2），设阴影部分的宽为x，
达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的年平均增长
率为x,则下列方程正确的是
()
C
A. 1.4(1+x)=4.5
B. 1.4(1+2x)=4.5
C. 1.4 (1+x)2 =4.5 D. 1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5
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2019版中考数学复习 第7课时 一元二次方程及其应用
【课前展练】
1．方程-3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
2．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n x n x n +++-+=中，则一次项系数是 .
3．下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①9 x 2=7 x ②32
y =8 ③ 3y(y -1)=y(3y+1) ④ x 2-2y+6=0 ⑤ 2( x 2+1)=10 ⑥ 24x
-x-1=0 A ． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤
4．某地xx 年外贸收入为2.5亿元，xx 年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为 .
5. 解方程：2
420x x ++=
6．关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p =（ ）
A ．4
B ．0或2
C ．1
D ．1- 【考点梳理】
考点一：一元二次方程的辨别
一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二
次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数，
叫做一次项的系数.
考点二：一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2
≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法，记得取正、负
（2）配方法，先移常数项，配方时二次项系数要化1.
（3）公式法：一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是
21,240)x b ac =-≥.
（4）因式分解法，因式分解时一定要化成一般式。
考点三: 一元二次方程的实际应用
熟记增长率公式：2
(1%)B A x =+ (其中A 是基量, x %是平均增长率,B 是2年后得出量), 会解增长(下降) 率应用题；熟悉几何图形中所隐含的公式或等量关系(如：特殊平面图形面积公式、立体图形体积公式、相似三角形对应边成比例、勾股定理等), 会解几何应用题.会解商品销售中售价与销售量相关应用题。
注：判断一个方程是不是一元二次方程，应化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a ，有解时还需判别式必须大于或等于零！
【典型例题】
例1 选用合适的方法解下列方程：
（1）)4(5)4(2+=+x x ； （2）x x 4)1(2=+；
（3）22)21()3(x x -=+； （4）31022=-x x .
例2.（1）两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程0342=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是
（2）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为 例3 已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.
例4.(山东潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形
荒地ABCD 进行绿化和硬化．
（1）设计方案如图①所示，矩形P 、Q 为两块绿地，
其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都
相14
，等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的
求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽．
（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两
等圆，圆心分别为
1O 和2O ，且1O 到AB BC AD 、、的距离与2O 到CD BC AD 、、的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．
【小结】本节主要考察一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式，会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。
本节考点多以选择题、填空题和解答题的形式出现！
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