2019-2020年一元二次方程练习题及答案
2019-2020华师大版九年级数学上册第22章一元二次方程单元提高测试卷解析版
2019-2020华师大版九年级数学上册第22章一元二次方程单元提高测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.一元二次方程的解为（）A.B. x1=0,x2=4C. x1=2,x2=-2D. x1=0,x2=-42.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1=0的一根为0，则m的值是（）A. ±1B. ±2 C. ﹣1 D. ﹣23.一元二次方程2x2﹣5x﹣4＝0根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根 D. 无法判定该方程根的情况4.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD (围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．则AB长度为（）A. 10B. 15C. 10或15D. 12.55.《代数学》中记载，形如x2+10x=39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的矩形，得到大正方形的面积为39+25=64，则该方程的正数解为8-5=3”,小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m=0时，构造出如图2所示的图形，己知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为( )A. 6B. 3-3 C. 3 -2 D. 3 6.人文书店三月份销售某畅销书100册，五月份销售量达196册，设月平均增长率为x，则可列方程( )A. 100(1+x)=196B. 100(1 +2x)=196C. 100(1+x2)=196D. 100(1+ x)2=1967.欧几里得的《几何原本》中记载了用图解法求解一元二次方程的方法，小南读了后，想到一个可以求解方程x2-bx+a2=0的图解方法：如图，在矩形ABCD(AB>BC)中，AB= ，BC=a，以A为圆心，作AE=AB，交DC于点E，则该方程的其中一个正根是( )A. BE的长B. CE的长 C. AB的长 D. AD的长8.已知，是方程的两个实数根，则的值是( )A. 2023B. 2021C. 2020D. 20199.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（）A. 16B. 12C. 14D. 12或1610.关于x的方程至少有一个正整数解,且m是整数,则满足条件的m的值的个数是（）A. 5个B. 4个 C. 3个 D. 2个二、填空题（每小题4分，共24分）11.一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是________.12.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于________.13.已知是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则的值为________.14.你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明.数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得 .那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是________.（只填序号）15.对于实数，定义运算“◎”如下：◎ .若◎，则________.16.某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是________．三、解答题（每小题6分，共18分）17.解方程：（1）x2﹣2 x＝0（2）3x(2x+1)＝4x+218.如图所示，在长为32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，问道路应多宽？19.关于x的一元二次方程（2m+1）x2+4mx+2m﹣3＝0（Ⅰ）当m＝时，求方程的实数根；（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；四．解答题（每小题8分，共48分）20.如图，某校准备一面利用墙，其余—面用篱笆围成一个矩形花辅ABCD．已知旧墙可利用的最大长度为13 m，篱笆长为24 m，设垂直于墙的AB边长为xm．（1）若围成的花圃面积为70m 2时，求BC的长；（2）如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78 m2，请你判断能否围成这样的花圃?如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．21.如图，在△ABC中，，，∠，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于450m2？22.列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？23.已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1、x2，并且满足x12＋x22＝1，求m的值.24.已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x²-mx+ - =0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少?25.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式;（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？2019-2020华师大版九年级数学上册第22章一元二次方程单元提高测试卷一、选择题（30分）1.解：方程移项得：x2-4x=0，分解因式得：x（x-4）=0，解得：x1=0，x2=4．故答案为：B.2.解：把x=0代入方程得：0+0+m2﹣1=0，解得：m=±1，∵m﹣1≠0，∴m=﹣1，故答案为：C.3.解：△＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣4）＝57＞0，所以方程有两个不相等的实数根.故答案为：A.4.解：设AB=x米，则BC=（50-2x）米．根据题意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50-10-10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），故答案为：B．5.解: 由题意得：x2+6x=36,解方程得：x2+2×3x+9=45,（x+3）2=±3，∴x+3=3, 或x+3=-3,∴x=3-3, 或x=-3-3<0,∴该方程的正数解为：3-3，故答案为：B6.解：设月平均增长率为x，则四月份销售量为100（1+x）, 五月份的销售量为：100（1+x）2=196.故答案为：D7.解：∵四边形ABCD是矩形，AD=BC=a,,,∵x2-bx+a2=0，∴,故答案为：B8.解：，是方程的两个实数根，∴，，，∴；故答案为：A．9.解：解方程，得：或，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，故答案为：A．10.解：∵∆=（-8m）2-4m2·12=16m2≥0,又m≠0∴无论m为不等于0的实数时，该方程总有实数根，∴x=,∴x1=,x2=∵关于x的方程至少有一个正整数解 , 且m是整数 ,∴m=1或2或3或6，∴满足条件的m的值的个数是 4个。
2019-2020人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元训练题含解析
第21章一元二次方程一．选择题（共10小题）1．关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞12．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+2m﹣m2的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．23．方程4x2＝81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．4，0，81 B．﹣4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81 4．已知x＝a是方程x2﹣3x+1＝0的根，则2a2﹣5a﹣2+的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣35．用配方法解方程时，应将其变形为（）A．B．C．D．6．下列一元二次方程中两根之和为﹣4的是（）A．x2﹣4x+4＝0 B．x2+2x﹣4＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2+4x+10＝0 7．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝（x﹣3）2B．82+（x+3）2＝x2C．82+（x﹣3）2＝x2D．x2+（x﹣3）2＝828．如果长方形的宽增加1cm，长减少1cm，那么其面积增加3cm2．已知原长方形的面积为12cm2，则原长方形的长和宽分别为（）A．7cm，3cm B．6cm，2cm C．4cm，3cm D．5cm，2.4cm9．某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是（）A．100（1+x）2＝364B．100+100（1+x）+100（1+x）2＝364C．100（1+2x）＝364D．100+100（1+x）+100（1+2x）＝36410．若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k ＝0的两个根，则k的值是（）A．27 B．36 C．27或36 D．18二．填空题（共10小题）11．已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝．12．已知x＝m是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣4m﹣3的值为．13．如果a，b满足a2+2a﹣2＝0，b2+2b﹣2＝0，且a≠b，则+的值为．14．已知实数ab满足等式a2+3a﹣2＝0，b2+3b﹣2＝0，那么求的值是．15．若x2﹣6x+7＝（x﹣3）2+n，则n＝．16．当m满足时，1除以x2+x+m有意义．17．在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学共有人．18．关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为．19．阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．解得y1＝1，y2＝4当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±．∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣请利用以上知识解决下列问题：如果（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4，则m2+n2＝．20．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是．三．解答题（共7小题）21．配方法解方程（1）x2+4x﹣6＝0．（2）x2﹣2x＝822．解方程（1）x2﹣6x＝﹣2（2）（2x﹣1）2﹣9x2＝023．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有一个根小于1，求k的取值范围．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x＝1是该方程的根，求代数式2（m﹣1）2﹣3的值．25．已知关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2＝0有两个实数根x1，x2，（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22＝56，求m的值．26．如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，动点P从A出发沿AB向B 移动，通过点P引PQ∥AC，PR∥BC，问当AP等于多少时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？设AP的长为xcm，列出关于x的方程．27．一商品销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件商品降价2元，则平均每天可售出件；（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞1【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m+1≠0，即可求得m的值．【解答】解：根据一元二次方程的定义得：m+1≠0，即m≠﹣1，故选：C．2．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+2m﹣m2的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，∴m2﹣2m﹣1＝0，∴﹣m2+2m＝﹣1，∴1+2m﹣m2＝1﹣1＝0．故选：A．3．方程4x2＝81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．4，0，81 B．﹣4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81 【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数、一次项系数和常数项即可．【解答】解：方程整理得：4x2﹣81＝0，二次项系数为4；一次项系数为0，常数项为﹣81，故选：C．4．已知x＝a是方程x2﹣3x+1＝0的根，则2a2﹣5a﹣2+的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣3a+1＝0，即a2＝3a﹣1，把a2＝3a﹣1代入原式，化简得a+﹣4，再通分得到原式＝﹣4，然后再把a2＝3a﹣1代入化简即可．【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，∴a2﹣3a+1＝0，∴a2＝3a﹣1，∴2a2﹣5a﹣2+＝2（3a﹣1）﹣5a﹣2+＝6a﹣2﹣5a﹣2+＝a+﹣4＝﹣4＝﹣4＝3﹣4＝﹣1．故选：A．5．用配方法解方程时，应将其变形为（）A．B．C．D．【分析】先移项，再配方，即可得出选项．【解答】解：，x2﹣x＝，x2﹣x+（）2＝+（）2，（x﹣）2＝，故选：C．6．下列一元二次方程中两根之和为﹣4的是（）A．x2﹣4x+4＝0 B．x2+2x﹣4＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2+4x+10＝0 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2＝﹣对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．【解答】解：A、∵x1+x2＝4；故本选项错误；B、∵x1+x2＝1；故本选项错误；C、∵△＝16+20＝36＞0，x1+x2＝﹣4；故本选项正确；D、∵△＝16﹣40＝﹣24＜0，所以本方程无根；故本选项错误．故选：C．7．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝（x﹣3）2B．82+（x+3）2＝x2C．82+（x﹣3）2＝x2D．x2+（x﹣3）2＝82【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，故选：C．8．如果长方形的宽增加1cm，长减少1cm，那么其面积增加3cm2．已知原长方形的面积为12cm2，则原长方形的长和宽分别为（）A．7cm，3cm B．6cm，2cm C．4cm，3cm D．5cm，2.4cm【分析】设长方形的长为xcm，则长方形的宽为cm，根据长方形的面积公式结合“长方形的宽增加1cm，长减少1cm，那么其面积增加3cm2”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设长方形的长为xcm，则长方形的宽为cm，依题意，得：（x﹣1）（+1）＝12+3，整理，得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣2（不合题意，舍去），∴＝2．故选：B．9．某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是（）A．100（1+x）2＝364B．100+100（1+x）+100（1+x）2＝364C．100（1+2x）＝364D．100+100（1+x）+100（1+2x）＝364【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是364万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，依题意，得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．故选：B．10．若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k ＝0的两个根，则k的值是（）A．27 B．36 C．27或36 D．18【分析】分3为腰长及3为底边长两种情况考虑：当3为腰长时，将x＝3代入原方程可求出k的值，将k的值代入原方程可求出x的值，由三角形的三边关系可得出k＝27舍去；当3为底边长时，由根的判别式△＝0，可求出k值．综上即可得出结论．【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，∴原方程为x2﹣12x+27＝0，∴x1＝3，x2＝9，∵3+3＜9，∴长度为3，3，9的三条边不能围成三角形∴k＝27舍去；当3为底边长时，△＝（﹣12）2﹣4k＝0，解得：k＝36．故选：B．二．填空题（共10小题）11．已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝﹣3 ．【分析】将x＝3代入原方程即可求出m的值．【解答】解：将x＝3代入x2﹣2x+m＝0，∴9﹣6+m＝0，∴m＝﹣3，故答案为：﹣3．12．已知x＝m是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣4m﹣3的值为 3 ．【分析】把x＝m代入已知方程，可以求得m2﹣2m＝3，然后整体代入所求的代数式求值即可．【解答】解：∵实数m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴2m2﹣4m﹣3＝2（m2﹣2m）﹣3＝2×3﹣3＝3．故答案为：3．13．如果a，b满足a2+2a﹣2＝0，b2+2b﹣2＝0，且a≠b，则+的值为﹣4 ．【分析】根据题意可知a、b是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得a+b＝﹣2，ab＝﹣2，再将+进行变形，然后代入计算即可．【解答】解：∵a2+2a＝2，b2+2b＝2，且a≠b，∴a、b是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝﹣2，ab＝﹣2，∴+＝＝＝＝﹣4．故答案为﹣4．14．已知实数ab满足等式a2+3a﹣2＝0，b2+3b﹣2＝0，那么求的值是2或6．【分析】分类讨论：当a＝b时，易得原式＝2；当a≠b时，可把a、b看作方程x2+3x ﹣2＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝﹣3，ab＝﹣2，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：当a＝b时，原式＝1+1＝2；当a≠b时，可把a、b看作方程x2+3x﹣2＝0的两根，则a+b＝﹣3，ab＝﹣2，所以原式＝＝＝＝6．故答案为：2或6．15．若x2﹣6x+7＝（x﹣3）2+n，则n＝﹣2 ．【分析】已知等式左边配方后，利用多项式相等的条件求出n的值即可．【解答】解：已知等式整理得：x2﹣6x+7＝（x﹣3）2﹣2＝（x﹣3）2+n，则n＝﹣2，故答案为：﹣216．当m满足m＞时，1除以x2+x+m有意义．【分析】根据题意得到分式，再根据分式有意义的条件得到x2+x+m≠0，然后利用根的判别式求解．【解答】解：要使有意义，则x2+x+m≠0，所以△＝1﹣4m＜0，解得m＞．故答案为m＞．17．在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学共有11 人．【分析】设参加晚会的同学共有x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼品，根据晚会上共送出礼物110件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设参加晚会的同学共有x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼品，依题意，得：x（x﹣1）＝110，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．故答案为：11．18．关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为 4 ．【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．【解答】解：由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0得m＝4故答案为419．阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．解得y1＝1，y2＝4当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±．∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣请利用以上知识解决下列问题：如果（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4，则m2+n2＝ 2 ．【分析】将m2+n2视为一个整体，然后设m2+n2＝y，则原方程化为y2+y﹣6＝0．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可．【解答】解：（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4设m2+n2＝y，则原方程化为（y﹣1）（y+2）＝4即y2+y﹣6＝0，（y+3）（y﹣2）＝0，解得y1＝﹣3，y2＝2，∵m2+n2不能是负数，∴m2+n2＝2故答案为2．20．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是k≤且k≠﹣2 ．【分析】因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，得关于k的不等式，求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴△≥0且k+2≠0即（﹣3）2﹣4（k+2）×1≥0且k+2≠0整理，得﹣4k≥﹣1且k+2≠0∴k≤且k≠﹣2．故答案为：k≤且k≠﹣2．三．解答题（共7小题）21．配方法解方程（1）x2+4x﹣6＝0．（2）x2﹣2x＝8【分析】（1）根据配方法即可求出答案．（2）根据配方法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2+4x﹣6＝0，∴x2+4x+4＝10，∴（x+2）2＝10，∴x＝﹣2±；（2）∵x2﹣2x＝8，∴x2﹣2x+1＝9，∴（x﹣1）2＝9，∴x＝4或﹣2；22．解方程（1）x2﹣6x＝﹣2（2）（2x﹣1）2﹣9x2＝0【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣6x＝﹣2，∴x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，则x﹣3＝±，∴x1＝3+，x2＝3﹣；（2）∵（2x﹣1）2﹣9x2＝0，∴（2x﹣1+3x）（2x﹣1﹣3x）＝0，即（5x﹣1）（﹣x﹣1）＝0，则5x﹣1＝0或﹣x﹣1＝0，解得x1＝0.2，x2＝﹣1．23．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有一个根小于1，求k的取值范围．【分析】根据一元二次方程根的判别式公式，求出判别式，得到该方程有实数根，把原方程等号左边因式分解后，根据有一个根小于1，得到关于k的一元一次不等式，解之即可．【解答】解：△＝[﹣（k+3）]2﹣4（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，即该方程有实数根，∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1，∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x＝1是该方程的根，求代数式2（m﹣1）2﹣3的值．【分析】（1）进行判别式的值得到△＝8m2，从而可判断△≥0，于是得到结论；（2）利用一元二次方程根的定义得到2m2﹣4m＝1，再利用完全平方公式得到2（m﹣1）2﹣3＝2m2﹣4m+2﹣3，然后利用整体代入的方法计算．【解答】（1）证明：△＝（4m）2﹣4•2m2＝8m2≥0，所以不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）解：把x＝1代入方程得1﹣4m+2m2＝0，则2m2﹣4m＝﹣1，所以2（m﹣1）2﹣3＝2m2﹣4m+2﹣3＝﹣1+2﹣3＝﹣2．25．已知关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2＝0有两个实数根x1，x2，（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22＝56，求m的值．【分析】（1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；（2）利用根与系数的关系可分别表示出x1+x2与x1x2的值，利用条件可得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣2）x+m2＝0有两个实数根，∴△≥0，即[2（m﹣2）]2﹣4m2≥0，解得m≤1；（2）∵方程的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（m﹣2），x1x2＝m2，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2m2＝2m2﹣16m+16，∵x12+x22＝56，∴2m2﹣16m+16＝56，解得m＝﹣2或m＝10，∵m≤1，∴m＝﹣2．26．如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，动点P从A出发沿AB向B 移动，通过点P引PQ∥AC，PR∥BC，问当AP等于多少时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？设AP的长为xcm，列出关于x的方程．【分析】设AP的长为xcm，▱PQCR的面积等于16cm2，根据等腰三角形的性质和平行四边形的面积公式可列方程求解．【解答】解：设AP的长为xcm时，▱PQCR的面积等于16cm2，依题意有x（8﹣x）＝16．27．一商品销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件商品降价2元，则平均每天可售出24 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量为20+4＝24（件）；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【解答】解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量为20+4＝24（件）．故答案为：24．（2）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为1600元，由题意得：（50﹣x）（20+2x）＝1600整理得：x2﹣40x+300＝0∴（x﹣10）（x﹣30）＝0∴x1＝10，x2＝30∵每件盈利不少于25元∴x2＝30应舍去．答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元．。
第一章 一元二次方程【真题训练】(解析版)
人教版2020年第一单元《一元二次方程》真题再现一．一元二次方程的解（共2小题）1．（2019•兰州）x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2+ax +2b ＝0的解，则2a +4b ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣1D ．﹣6【分析】先把x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0得a +2b ＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a +4b 的值．【解答】解：把x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0得1+a +2b ＝0，所以a +2b ＝﹣1，所以2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（﹣1）＝﹣2．故选：A ．2．（2016•攀枝花）若x ＝﹣2是关于x 的一元二次方程x 2+23ax ﹣a 2＝0的一个根，则a 的值为（ ） A ．﹣1或4 B ．﹣1或﹣4 C ．1或﹣4D ．1或4 【分析】把x ＝﹣2代入已知方程，列出关于a 的新方程，通过解新方程可以求得a 的值．【解答】解：根据题意，将x ＝﹣2代入方程x 2+23ax ﹣a 2＝0，得： 4﹣3a ﹣a 2＝0，即a 2+3a ﹣4＝0，左边因式分解得：（a ﹣1）（a +4）＝0，∴a ﹣1＝0，或a +4＝0，解得：a ＝1或﹣4，故选：C ．二．解一元二次方程-配方法（共1小题）3．（2019•南通）用配方法解方程x 2+8x +9＝0，变形后的结果正确的是（ ）A ．（x +4）2＝﹣9B ．（x +4）2＝﹣7C ．（x +4）2＝25D ．（x +4）2＝7【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：方程x 2+8x +9＝0，整理得：x 2+8x ＝﹣9，配方得：x 2+8x +16＝7，即（x +4）2＝7，故选：D ．三．根的判别式（共5小题）4．（2020•自贡）关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +2＝0有两个相等实数根，则a 的值为（ ）A ．21B ．﹣21C ．1D ．﹣1【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＝0，即可得出关于a 的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出a 的值．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +2＝0有两个相等实数根，∴()⎩⎨⎧=⨯⨯--=∆≠024202a a ， ∴a ＝21． 故选：A ．5．（2020•湖州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数与实数b的取值有关【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．6．（2020•铜仁市）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（）A．7B．7或6C．6或﹣7D．6【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．【解答】解：当m＝4或n＝4时，即x＝4，∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，解得：k＝6，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解得：k＝7，综上所述，k的值等于6或7，故选：B．7．（2020•黔西南州）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m≤2C．m＜2且m≠1D．m≤2且m≠1【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2x +1＝0有实数根，∴()⎩⎨⎧≥-⨯⨯-=∆≠-01142012m m ，解得：m ≤2且m ≠1．故选：D ．8．（2018•鄂州）已知关于x 的方程x 2﹣（3k +3）x +2k 2+4k +2＝0（1）求证：无论k 为何值，原方程都有实数根；（2）若该方程的两实数根x 1、x 2为一菱形的两条对角线之长，且x 1x 2+2x 1+2x 2＝36，求k 值及该菱形的面积．【分析】（1）根据根的判别式的意义得到当△＝[﹣（3k +3）]2﹣4（4k +2）≥0时，方程有实数根；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝3k +3，x 1x 2＝4k +2，则代入所求的代数式进行求值；然后根据菱形的面积公式进行计算即可．【解答】（1）证明：根据题意得：△＝[﹣（3k +3）]2﹣4（2k 2+4k +2）＝（k +1）2．∵无论k 为何值，总有（k +1）2≥0，∴无论k 为何值，原方程都有实数根；（2）∵关于x 的方程x 2﹣（3k +3）x +2k 2+4k +2＝0的两实数根是x 1、x 2，∴x 1+x 2＝3k +3，x 1x 2＝2k 2+4k +2，∴由x 1x 2+2x 1+2x 2＝36，得2k 2+4k +2+2（3k +3）＝36，整理，得（k +7）（k ﹣2）＝0．解得k 1＝﹣7（舍去），k 2＝2． ∴21x 1x 2＝21×2（k +1）2＝（2+1）2＝9． 即菱形的面积是9．四．根与系数的关系（共5小题）9．（2020•黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（）A．﹣7B．7C．3D．﹣3【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：设另一个根为x，则x+2＝﹣5，解得x＝﹣7．故选：A．10．（2020•遵义）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（）A．5B．10C．11D．13【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．故选：D．11．（2019•遵义）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（）A．10B．9C．8D．7【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x12＝3x1﹣1，则x12+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，接着利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，∴x12﹣3x1+1＝0，∴x 12＝3x 1﹣1，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3x 1﹣1+3x 2+x 1x 2﹣2＝3（x 1+x 2）+x 1x 2﹣3，根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．故选：D ．12．（2019•绥化）已知关于x 的方程kx 2﹣3x +1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x 1和x 2，当x 1+x 2+x 1x 2＝4时，求k 的值．【分析】（1）分k ＝0及k ≠0两种情况考虑：当k ＝0时，原方程为一元一次方程，通过解方程可求出方程的解，进而可得出k ＝0符合题意；当k ≠0时，由根的判别式△≥0可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．综上，此问得解；（2）利用根与系数的关系可得出x 1+x 2＝k 3，x 1x 2＝k1，结合x 1+x 2+x 1x 2＝4可得出关于k 的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：（1）当k ＝0时，原方程为﹣3x +1＝0，解得：x ＝31， ∴k ＝0符合题意；当k ≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k ×1≥0，解得：k ≤49． 综上所述，k 的取值范围为k ≤49．（2）∵x 1和x 2是方程kx 2﹣3x +1＝0的两个根，x 1+x 2＝k 3，x 1x 2＝k1． ∵x 1+x 2+x 1x 2＝4， ∴k 3+k1＝4， 解得：k ＝1，经检验，k ＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k 的值为1．13．（2019•巴中）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣1＝0有两不相等的实数根． ①求m 的取值范围．②设x 1，x 2是方程的两根且x 12+x 22+x 1x 2﹣17＝0，求m 的值．【分析】①根据“关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m 的不等式，解之即可，②根据“x 1，x 2是方程的两根且x 12+x 22+x 1x 2﹣17＝0”，结合根与系数的关系，列出关于m 的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．【解答】解：①根据题意得：△＝（2m +1）2﹣4（m 2﹣1）＞0， 解得：45 ＞m ， ②根据题意得：x 1+x 2＝﹣（2m +1），x 1x 2＝m 2﹣1，x 12+x 22+x 1x 2﹣17()()()17112172221221=---+=--+=m m x x x x 解得：m 1＝35，m 2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴m 的值为35． 五．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题）14．（2020•衢州）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．180（1﹣x ）2＝461B ．180（1+x ）2＝461C ．368（1﹣x ）2＝442D ．368（1+x ）2＝442 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x ，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程：180（1+x ）2＝461，故选：B ．15．（2020•遵义）如图，把一块长为40cm ，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600B．（30﹣x）（40﹣x）＝600C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600【分析】设剪去小正方形的边长是x cm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设剪去小正方形的边长是x cm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．故选：D．16．（2019•日照）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（）A．1000（1+x）2＝3990B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990C．1000（1+2x）＝3990D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，依题意，得1000+1000（1+x ）+1000（1+x ）2＝3990．故选：B ．六．一元二次方程的应用（共3小题）17．（2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm ，宽20cm ．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm 2？【分析】设剪去正方形的边长为x cm ，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x ）cm ，宽为（20﹣2x ）cm ，高为x cm ，根据长方体盒子的侧面积为200cm 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：设剪去正方形的边长为x cm ，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x ）cm ，宽为（20﹣2x ）cm ，高为x cm ，依题意，得：2×[（30﹣2x ）+（20﹣2x ）]x ＝200，整理，得：2x 2﹣25x +50＝0，解得：x 1＝25，x 2＝10． 当x ＝10时，20﹣2x ＝0，不合题意，舍去． 答：当剪去正方形的边长为25cm 时，所得长方体盒子的侧面积为200cm 2． 18．（2019•东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？【分析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，根据总利润＝每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，整理，得：x2﹣360x+32400＝0，解得：x1＝x2＝180．180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．19．（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．【分析】（1）2020年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意，得：6（1+x）2＝17.34，解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．。
一元二次方程基础练习50题含详细答案
一元二次方程基础练习50题含详细答案一、单选题1．已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−4D ．42．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ） A ．0B ．±1C ．1D ．1-3．若方程（m 2－1）x 2－mx －x ＋2＝0是关于x 的一元一次方程，则代数式|m －1|的值为（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．－24．已知2是关于x 的方程x 2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） A ．10B ．14C ．10或14D ．8或105．1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b=（ ） A ．2-B ．3-C ．4D ．6-6．若关于x 的一元二次方程(k+2)x 2﹣3x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜14且k≠﹣2 B ．k≤14C ．k≤14且k≠﹣2 D ．k≥147．下列方程有实数根的是 A ．4x 20+=B 1=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=-- 8．关于x 的二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0.59．已知关于x 的方程x 2+x ﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．610．已知x ＝2是一元二次方程x 2+mx +2＝0的一个解，则m 的值是（ ） A ．﹣3B ．3C ．0D ．0或311．若2x =是关于x 的一元二次方程220180ax bx --=的一个解，则2035－2a ＋b 的值（ ） A ．17B ．1026C ．2018D ．405322值（ ） A ．0B ．1或2C ．1D ．213．把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是( ) A ．1，-3，10B ．1，7，-10C ．1，-5，12D ．1， 3，214．关于x 的方程（m+1）21m x ++4x+2=0是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．m 1=﹣1，m 2=1B ．m=1C ．m=﹣1D ．无解15．已知1x =是一元二次方程22(2)40m x x m -+-=的一个根，则m 的值为（ ） A ．-1或2B ．-1C ．2D ．016．若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m+n 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-217．已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根﹣b ，则a ﹣b 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．﹣218．如果﹣1是方程x 2﹣3x+k=0的一个根，则常数k 的值为（ ） A ．4B ．2C ．﹣4D ．﹣219．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．x 2+2y=1B ．211x x+﹣2=0 C ．ax 2+bx+c=0 D ．x 2+2x=120．已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．无法确定21．如果2是方程x 2-3x +k =0的一个根，则常数k 的值为（ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-222．若关于x 的方程2230mx x -+=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤13B ．m≤13-C ．m≥13D ．m≤13，且m≠0 23．方程()24310mm x x m ++++=是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．2m =±B ．2m =C ．2m =-D ．2m ≠±24．若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．-325．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．21x+x 2=0 B ．3x 2﹣2xy=0 C ．x 2+x ﹣1=0D ．ax 2﹣bx=0A ．2B ．0C ．0或2D ．0或﹣227．方程3x 2﹣8x ﹣10＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和8B ．3和﹣8C ．3和﹣10D ．3和1028．已知一元二次方程2x 6x c 0-+=有一个根为2，则另一根为 A ．2B ．3C ．4D ．829．若关于x 的方程（a +1）x 2+2x ﹣1＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≠﹣1B ．a ＞﹣1C ．a ＜﹣1D ．a ≠030．若关于x 的一元二次方程()2210k x x k -+-=的一个根为1，则k 的值为（ ） A ．1-B ．0或1C ．1D ．031．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A ．5x 2-2x+2=0 B ．ax 2+bx+c=0 C ．2x+3=6D ．（a 2+2)x 2-2x+3=032．若2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，则m 的值为（ ） A ．1或4 B ．-1或-4C ．-1或4D ．1或-4二、填空题33．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____． 34．若关于x 的一元二次方程x 2+mx +2n ＝0有一个根是2，则m +n ＝_____． 35．已知m 是关于x 的方程2230x x --=的一个根，则224m m -＝______． 36．a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是_______．37．已知x=2是关于x 的方程240x x m -+=的一个根，则m ＝____________． 38．若a 是方程x 2-2x-2015=0的根，则a 3-3a 2-2013a+1=____________． 39．一元二次方程290x 的解是__．40．已知关于x 的方程x 2+3x ﹣m=0的一个解为﹣3，则它的另一个解是_____． 41．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0有一个根为0，则m 的值为_____． 42．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．43．关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.45．若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于_____．46．设m 是一元二次方程x 2﹣x ﹣2019＝0的一个根，则m 2﹣m +1的值为___． 47．若a 是方程2320x x --=的根，则2526a a +-=_____.48．若正数a 是一元二次方程x 2﹣5x +m =0的一个根，﹣a 是一元二次方程x 2+5x ﹣m =0的一个根，则a 的值是______．49．已知x=1是一元二次方程x²+ax+b=0的一个根，则代数式a²+b²+2ab 的值是____________.50．关于x 的一元二次方程22(2)620k x x k k ++++-=有一个根是0，则k 的值是_______．参考答案1．B 【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k 的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．详解：把x=1代入方程得1+k-3=0， 解得k=2． 故选B ．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．D 【分析】根据一元二次方程的定义，再将0x =代入原式，即可得到答案. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =， ∴210a -=，10a -≠， 则a 的值为：1a =-． 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 3．A 【解析】试题分析：根据一元一次方程的定义知m 2﹣1=0，且﹣m ﹣1≠0，据此可以求得代数式|m ﹣1|的值．解：由已知方程，得（m 2﹣1）x 2﹣（m+1）x+2=0．∵方程（m 2﹣1）x 2﹣mx ﹣x+2=0是关于x 的一元一次方程， ∴m 2﹣1=0，且﹣m ﹣1≠0， 解得，m=1，则|m ﹣1|=0． 故选A ．点评：本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1． 4．B 【解析】试题分析： ∵2是关于x 的方程x 2﹣2mx+3m=0的一个根， ∴22﹣4m+3m=0，m=4， ∴x 2﹣8x+12=0， 解得x 1=2，x 2=6．①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14； ②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 所以它的周长是14．考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 5．A 【分析】先把x=1代入方程220x ax b ++=得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值 【详解】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2. 故选A. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键 6．C 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，求出即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程（k+2）x 2-3x+1=0有实数根，∴k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0， 解得：k≤14且k≠-2， 故选C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k 的不等式是解此题的关键． 7．C 【解析】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B =−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆ =8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意． 故选C ． 8．B 【分析】把0x =代入可得210a -=，根据一元二次方程的定义可得10a -≠，从而可求出a 的值． 【详解】把0x =代入()22110a x x a -++-=，得：210a -=，解得：1a =±，∵()22110a x x a -++-=是关于x 的一元二次方程，∴10a -≠， 即1a ≠， ∴a 的值是1-， 故选：B ．本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法等知识点的理解和运用，注意隐含条件10a -≠． 9．A 【解析】试题解析：设方程的另一个根为t ， 根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3， 即方程的另一个根是﹣3． 故选A ．考点：根与系数的关系． 10．A 【分析】直接把x ＝2代入已知方程就得到关于m 的方程，再解此方程即可． 【详解】解：∵x ＝2是一元二次方程x 2+mx +2＝0的一个解， ∴4+2m +2＝0， ∴m ＝﹣3． 故选：A ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，难度系数较低，直接把解代入方程即可. 11．B 【分析】把x=2代入方程得2a-b=1009，再代入 20352a b -+，可求得结果. 【详解】因为x 2=，是关于x 的一元二次方程2ax bx 20180--=的一个解， 所以，4a-2b-2018=0, 所以，2a-b=1009,所以，20352a b -+=2035-（2a-b ）=2035-1009=1026. 故选B.本题主要考查一元二次方程的根的意义.12．D【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．【详解】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，解得：m=1或m=2，又m-1≠0，即m≠1，∴m=2，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠0这一条件．13．A【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可．【详解】方程整理得：x2−3x+10=0，则a=1，b=−3，c=10.故答案选A.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的每种形式. 14．B【解析】【分析】根据一元二次方程未知数项的最高次数是2，可得m2＋1＝2且m＋1≠0，计算即可求解. 【详解】因为一元二次方程的最高次数是2，所以m2＋1＝2，解得m＝﹣1或1，又因为m＋1≠0，即m≠﹣1，所以m ＝1，故选B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，掌握这个概念是解决此题的关键. 15．B 【分析】首先把x=1代入22(2)40m x x m -+-=，解方程可得m 1=2，m 2=-1，再结合一元二次方程定义可得m 的值 【详解】解：把x=1代入22(2)40m x x m -+-=得：2m 2+4m －－=0，2m m 20++=－，解得：m 1=2，m 2=﹣1∵22(2)40m x x m -+-=是一元二次方程， ∴m 20－≠ ， ∴m 2≠， ∴1m =-， 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0． 16．D 【分析】将n 代入方程,提公因式化简即可. 【详解】解：∵()n n 0≠是关于x 的方程2x mx 2n 0++=的根， ∴2n mn 2n 0++=，即n(n+m+2)=0, ∵n 0,≠∴n+m+2=0,即m+n=-2,故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键.17．A【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，∴b2﹣ab+b=0，∵﹣b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，∴a﹣b=1．故选A．考点：一元二次方程的解．18．C【分析】把x=-1代入方程可得到关于k的方程，可求得k的值．【详解】∵-1是方程x2-3x+k=0的一个根，∴（-1）2-3×（-1）+k=0，解得k=-4，故选C．【点睛】考查一元二次方程的解，把方程的解代入得到到关于k的方程是解题的关键．19．D【分析】一元二次方程是指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，根据定义判断即可．【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；C、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．20．B【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B21．A【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．【详解】解：∵2是一元二次方程x2-3x+k=0的一个根，∴22-3×2+k=0，解得，k=2．故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．22．A【分析】分m=0和m≠0两种情况求解即可. 当m=0时，方程是一元一次方程，一定有实根；当m≠0时，方程有两个实数根，则根的判别式△≥0，建立关于m的不等式，求得m的取值范围．【详解】当m≠0时，∵a=m，b=−2，c=3 且方程有实数根，∴△=b2−4ac=4−12m≥0∴m≤1 3 .当m=0 时，方程为一元一次方程，仍有解，故m的取值范围是m≤1 3 .故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 23．B【分析】根据次数最高项的次数是2，且次数最高项的系数不为0列式求解即可.【详解】由题意得，2m=，且20m+≠，解之得，2m=.故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义解答即可.24．A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．【详解】设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选A.考点：根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．由这四个条件对四个选项进行验证．【详解】A.不是整式方程，不是一元二次方程；B.含有两个未知数，不是一元二次方程；C.符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；D.二次项系数a不知是否为0，不能确定是否是一元二次方程．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．26．A【解析】试题分析：∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，∴4﹣4m+4=0，∴m=2．故选A．考点：一元二次方程的解．27．B【解析】【分析】分别确定2x和x的系数，注意符号不要遗漏.【详解】解：由题意得，二次项系数是3，一次项系数为-8，故选择B.【点睛】遗漏系数的符号是本题的易错点.28．C试题分析：利用根与系数的关系来求方程的另一根．设方程的另一根为α，则α+2=6， 解得α=4．考点：根与系数的关系．29．A【分析】根据一元二次方程的定义可得a +1≠0，即可得出答案.【详解】解：由题意得：a +1≠0，解得：a ≠﹣1．故选A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程.30．D【分析】把x=1代入()2210k x x k -+-=得以k 为未知数的一元二次方程，解方程求得k 值，再由二次项系数不为0 即可解答.【详解】把x=1代入()2210k x x k -+-=得k-1+1-k 2=0，解得k 1=0，k 2=1， 而k-1≠0，所以k=0．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k 的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．31．D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可得.【详解】A. 5x 2-2x+2=0，不是整式方程，故不符合题意； B. 当a=0时，方程ax 2+bx+c=0不是一元二次方程，故不符合题意；C. 2x+3=6是一元一次方程，故不符合题意；D. （a 2+2)x 2-2x+3=0是一元二次方程，故符合题意，故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程是整式方程，含有一个未知数，含有未知数的项的次数最高为2次是解题的关键.32．B【分析】把2x =-代入关于x 的方程22502x mx m -+=，得到2450m m ++=，解关于m 的方程即可．【详解】解：∵2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根， ∴2450m m ++=解得121,4m m =-=-故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m 的方程是解题关键．33．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程，通过解关于m 的方程求得m 的值即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，∴m 2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2，故答案是：2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．34．﹣2【分析】根据一元二次方程的解的定义把x ＝2代入x 2＋mx ＋2n ＝0得到4＋2m ＋2n ＝0得n ＋m ＝−2，然后利用整体代入的方法进行计算．【详解】∵2（n≠0）是关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋2n ＝0的一个根，∴4＋2m ＋2n ＝0，∴n ＋m ＝−2，故答案为−2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．35．6．【解析】试题分析：∵m 是关于x 的方程2230x x --=的一个根，∴2230m m --=，∴223m m -=，∴224m m -=6，故答案为6．考点：一元二次方程的解；条件求值．36．8【分析】直接把a 的值代入得出224a a -=，进而将原式变形得出答案．【详解】解：∵a 是方程224x x =+的一个根，∴224a a -=，∴22422(2)248a a a a -=-=⨯=．故答案为8．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．37．1【分析】把x ＝2代入方程得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：把x ＝2+代入方程得2(24(20m -++=，解得m ＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．38．-2014【分析】由题意得：222015,a a -=拆项，运用因式分解方法变形求解.【详解】由题意得：222015,a a -=则：a 3-3a 2-2013a+1=22a(2)20131a a a a ---+()22=20152013121201512014a a a a a --+=--+=-+=-.故答案为-2014.【点睛】考核知识点：因式分解的运用.拆项分组是关键.39．x 1＝3，x 2＝﹣3．【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵290x -=∴2x =9，∴x =±3，即x 1＝3，x 2＝﹣3，故答案为x 1＝3，x 2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.40．0【解析】【分析】设方程的另一个解是n ，根据根与系数的关系可得出关于n 的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解．【详解】设方程的另一个解是n ，根据题意得：﹣3+n=﹣3，解得：n=0，故答案为0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，熟记一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a是解题的关键． 41．﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0；根据方程的解的定义得到m 2-1=0，由此可以求得m 的值．【详解】解：把x ＝0代入（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0得m 2﹣1＝0，解得m=±1， 而m ﹣1≠0，所以m ＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不为零．42．15．【详解】解：29180x x -+=，得x 1=3，x 2=6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15．故答案是：1543．x=-4,x=-1【解析】【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，解得x=-4或x=-1．故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．故答案为：x1=-4，x2=-1．【点睛】本题考查方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．44．2【解析】试题分析：∵关于x的方程230-+=的一个根是1，∴1﹣3×1+m=0，解得，m=2，x x m故答案为2．考点：一元二次方程的解．45．2028【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得．【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2028，故答案为：2028．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a ． 46．2020.【分析】把x=m 代入方程计算即可求解．【详解】解：把x ＝m 代入方程得：m 2﹣m ﹣2019＝0，即m 2﹣m ＝2019，则原式＝2019+1＝2020，故答案为2020.【点睛】本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 47．1【分析】利用一元二次方程解的定义得到3a 2-a=2，再把2526a a +-变形为()2523a a --，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵a 是方程2320x x --=的根，∴3a 2-a-2=0，∴3a 2-a=2，∴2526a a +-=()2523a a --=5-2×2=1． 故答案为：1．【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．48．5试题解析：∵a 是一元二次方程x 2-5x+m=0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+5x-m=0的一个根，∴a 2-5a+m=0①，a 2-5a-m=0②，①+②，得2（a 2-5a ）=0，∵a ＞0，∴a=5．考点：一元二次方程的解．49．1【分析】把x=1代入x 2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=-1，将其整体代入所求的代数式进行求值即可．【详解】∵x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，∴12+a+b=0，∴a+b=﹣1.∴a 2+b 2+2ab=（a+b ）2=（﹣1）2=1.50．1【分析】把方程的根代入原方程得到220k k +-=，解得k 的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．【详解】∵方程22(2)620k x x k k ++++-=是一元二次方程，∴k+2≠0，即k ≠-2；又0是该方程的一个根，∴220k k +-=，解得，11k =，22k =-，由于k ≠-2，所以，k=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．。
一元二次方程必考大题
一元二次方程必考大题一、解答题1．列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？2．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）.求这个茶园的长和宽.3．改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？4．如图，有一块矩形硬纸板，长，宽.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？5．巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．6．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A 品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：使用次数012345（含5次以上）累计车费00.50.9a b 1.5同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：使用次数012345人数51510302515（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．7．根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示。
第21章一元二次方程考点练习(有答案)
根是﹣3，1.小明看错了一次项系数 P，得到方程的两个根是 5，﹣4，则原来的方程是（ ） A .x2+2x﹣3＝0 B .x2+2x﹣20＝0 C .x2﹣2x﹣20＝0 D .x2﹣2x﹣3＝0
19.（2021 枣庄）若等腰三角形的一边长是 4，另两边的长是关于 x 的方程 x2﹣6x+n＝0 的两
25.已知关于 x 的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中 a，b，c，分别为△ABC 三
边长. （1）如果 x=－1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
的最大值是（ ）
A .1 B . 2 C . 3 D .2
13.（2020 潍坊）关于 x 的一元二次方程 x2 (k 3)x 1 k 0 根的情况，下列说法正确
的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根
B. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
3
14.（2021 枣庄、泰安）已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0 有两个不相 等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）
个根，则 k 的值为（ ）
A. 3
B. 4 C. 3 或 4
D. 7
5.(2020 张家界) 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 x2-6x+8=0 的两根，则该
等腰三角形的底边长为（
）
A .2 B .4 C .8
D .2 或 4
6.(2021 雅安) 若直角三角形的两边长分别是方程 x2-7x+12=0 的两根，则该直角三角形的
2019-2020学年人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 达标测试卷(含答案)
第二十一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列方程是关于x的一元二次方程的是()A．ax2＋2＝x(x＋1) B．x2＋1x＝3C．x2＋2x＝y2－1 D．3(x＋1)2＝2(x＋1)2．如果2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，那么常数k的值为()A．1 B．2 C．－1 D．－23．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是()A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝54．方程x2－42x＋9＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．无实根D．以上三种情况都有可能5．等腰三角形的两边长为方程x2－7x＋10＝0的两根，则它的周长为() A．12 B．12或9 C．9 D．76．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行(或列)，则列方程得() A．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B．(8－x)(10－x)＝8×10＋40C．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40(第7题) 7．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x －3＝0的根，则▱ABCD的周长为()A．4＋2 2 B．12＋6 2C．2＋2 2 D．2＋2或12＋6 28．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx＋b的大致图象可能是()9．在直角坐标系xOy中，已知点P(m，n)，m，n满足(m2＋1＋n2)(m2＋3＋n2)＝8，则OP的长为()A. 5 B．1 C．5 D.5或110．如图，某小区规划在一个长为40 m，宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使每块草坪(阴影部分)的面积都为144 m2，则路的宽为()(第10题) A．3 m B．4 mC．2 m D．5 m二、填空题(每题3分，共30分)11．方程(x－3)2＋5＝6x化成一般形式是__________________，其中一次项系数是________．12．三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长为________________．13．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则(a＋b)2 019的值为________．14．若关于x的一元二次方程2x2－5x＋k＝0无实数根，则k的最小整数值为________．15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x21－x22＝10，则a＝________．16．对于任意实数a，b，定义f(a，b)＝a2＋5a－b，如f(2，3)＝22＋5×2－3，若f(x，2)＝4，则实数x的值是________．17．下面是某同学在一次测试中解答的填空题：①若x2＝a2，则x＝a；②方程2x(x－2)＝x－2的解为x＝12；③已知x1，x2是方程2x2＋3x－4＝0的两根，则x1＋x2＝32，x1x2＝－2.其中错误的答案序号是__________．18．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是______三角形．19．若x2－3x＋1＝0，则x2x4＋x2＋1的值为________．20．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15 m，一面利用墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24 m．当围成的花圃面积为40 m2时，平行于墙的边BC的长为________m.(第20题) 三、解答题(21、26题每题12分，22、23题每题8分，其余每题10分，共60分) 21．用适当的方法解下列方程：(1)x(x－4)＋5(x－4)＝0；(2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；(3)x2－2x－2＝0; (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.22.已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？请说明理由．23．已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0的一个根为x＝3.(1)求a的值及方程的另一个根；(2)如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．24．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两实根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1·x2，求k的值．25．为了贯彻党中央、国务院关于倡导开展全民阅读的重要部署，落实《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程的意见》．某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)，该阅览室在2015年图书借阅总量是7 500本，2017年图书借阅总量是10 800本．(1)求该社区从2015年至2017年图书借阅总量的年平均增长率；(2)已知2017年该社区居民借阅图书人数有1 350人，预计2018年达到1 440人．如果2017年至2018年图书借阅总量的增长率不低于2015年至2017年的年平均增长率，那么2018年的人均借阅量比2017年增长a%，求a的值至少是多少？26．如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．问：(1)P，Q两点出发多长时间后，四边形PBCQ的面积是33 cm2?(2)P，Q两点出发多长时间后，点P与点Q之间的距离是10 cm?(第26题)答案一、1.D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.D7．A 8.B 9.B 10.C 二、11.x 2－12x ＋14＝0；－1212．6或10或1213．－1 点拨：将x ＝1代入方程x 2＋ax ＋b ＝0，得1＋a ＋b ＝0，∴a ＋b ＝－1，∴(a ＋b )2 019＝－1.14．415.214 点拨：由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝a .由x 21－x 22＝10得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10，∴x 1－x 2＝2，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝25－4a ＝4，∴a ＝214.16．－6或1 17.①②③ 18.直角19.18 点拨：由已知x 2－3x ＋1＝0得x 2＝3x －1，则x 2x 4＋x 2＋1＝x 2（3x －1）2＋x 2＋1＝x 210x 2－6x ＋2＝3x －110（3x －1）－6x ＋2＝3x －124x －8＝3x －18（3x －1）＝18.20．4三、21.解：(1)原方程可化为(x －4)(x ＋5)＝0，∴x －4＝0或x ＋5＝0， 解得x ＝4或x ＝－5. (2)原方程可化为(2x ＋1＋2)2＝0，即(2x ＋3)2＝0， 解得x 1＝x 2＝－32. (3)∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴Δ＝4－4×1×(－2)＝12＞0， ∴x ＝2±122＝2±232＝1±3. ∴x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3. (4)原方程化为一般形式为y 2－2y ＝0.因式分解，得y(y－2)＝0.∴y1＝2，y2＝0.22．(1)证明：在关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)解：设方程的两根分别为m，n，则mn＝t－2.∵方程的两个根互为倒数，∴mn＝t－2＝1，解得t＝3.∴当t＝3时，方程的两个根互为倒数．23．解：(1)将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0中，得9(a－1)－12－1＋2a＝0，解得a＝2.将a＝2代入原方程中得x2－4x＋3＝0，因式分解得(x－1)(x－3)＝0，∴x1＝1，x2＝3.∴方程的另一个根是x＝1.(2)∵三角形的三边长都是这个方程的根．∴①当三边长都为1时，周长为3；②当三边长都为3时，周长为9；③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，∴不能构成三角形．故三角形的周长为3或9或7.24．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0，解得k＞3 4.(2)∵k＞34，∴x1＋x2＝－(2k＋1)＜0.又∵x1·x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1.∵|x1|＋|x2|＝x1·x2，∴2k＋1＝k2＋1，解得k1＝0，k2＝2.又∵k ＞34，∴k ＝2.25．解：(1)设该社区从2015年至2017年图书借阅总量的年平均增长率为x ，根据题意，得7 500(1＋x )2＝10 800， 即(1＋x )2＝1.44，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．因此该社区从2015年至2017年图书借阅总量的年平均增长率为20%. (2)10 800×(1＋0.2)＝12 960(本)，10 800÷1 350＝8(本)，12 960÷1 440＝9(本)． (9－8)÷8×100%＝12.5%. 故a 的值至少是12.5.26．解：(1)设P ，Q 两点出发x s 后，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2，则由题意得(16－3x ＋2x )×6×12＝33，解得x ＝5.即P ，Q 两点出发5 s 后，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2.(2)设P ，Q 两点出发t s 后，点P 与点Q 之间的距离是10 cm ，过点Q 作QH ⊥AB 于点H .在Rt △PQH 中，有(16－5t)2＋62＝102，解得t 1＝1.6，t 2＝4.8.即P ，Q 两点出发1.6 s 或4.8 s 后，点P 与点Q 之间的距离是10 cm.。
人教版九年级上册第21章《一元二次方程》达标测试卷 附答案
4．解：把 x＝﹣3 代入方程 x2+ax+a＝0 得 9﹣3a+a＝0， 解得 a＝4.5． 故选：B．
5．解：设全市 5G 用户数年平均增长率为 x，则 2020 年底全市 5G 用户数为 2（1+x）万户， 2021 年底全市 5G 用户数为 2（1+x）2 万户， 依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72， 整理，得：x2+3x﹣1.36＝0， 解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）． 故选：C．
项式 x2+2ax﹣3a2 中先加上一项 a2，使它与 x2+2ax 成为一个完全平方式，再减去 a2，整
个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2
＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∵（a※x）※x＝ ，
∴（ax+x）x+x＝ ，
整理得（a+1）x2+x﹣ ＝0，
根据题意得 a+1≠0 且△＝12﹣4（a+1）×（﹣ ）＝0，
∴a＝﹣ ．
故答案为﹣ ．
三．解答题（共 7 小题，满分 66 分） 19．解：（1）x2+4x＝﹣3
1．关于 x 的方程 x +x﹣3＝0 是一元二次方程，则（ ）
一元二次方程 练习及答案
一．解方程：1、4x2﹣3x﹣2＝0（用公式法解）2、x2+2x﹣224＝0（用配方法解）3、2y2+4y＝y+24、x2﹣2x+2＝0．解：（1）∵a＝4，b＝﹣3，c＝﹣2，∴△＝9+32＝41＞0，∴x1＝，x2＝；（2）（x+1）2＝225，∴x+1＝±15 ∴x1＝14，x2＝﹣16；（3）2y2+3y﹣2＝0，∴（2y﹣1）（y+2）＝0，∴2y﹣1＝0，y+2＝0，∴y1＝，y2＝﹣2；（4）a＝1，b＝﹣2，c＝2，∴△＝20﹣8＝12＞0，∴x＝＝±，∴x1＝+，x2＝﹣；二．选择题1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c＝0B．x2﹣＝1C．2x+3y﹣5＝0D．x2﹣1＝0故选：D．2．若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＝0B．k≥﹣且k≠0C．k≥﹣D．k＞﹣故选：C．3．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+b＝0的两个实数根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，则a、b的值分别是（）A．﹣3，1B．3，1C．﹣，﹣1D．﹣，1解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+b＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2a，x1x2＝b，又∵x1+x2＝3，x1x2＝1，∴a＝﹣，b＝1．故选：D．4．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（）A．8B．9C．8或9D．12故选：B．5．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（）A．2018B．2019C．2020D．20216．关于x的一元二次方程ax2+bx＝2（a，b是常数，且a≠0）（）A．若a＞0，则方程可能有两个相等的实数根B．若a＞0，则方程可能没有实数根C．若a＜0，则方程可能有两个相等的实数根D．若a＜0，则方程没有实数根故选：C．7．已知x1，x2是关于x的元二次方程x2﹣（5m﹣6）x+m2＝0的两个不相等的实根，且满足x1+x2＝m2，则m的值是（）A．2B．3C．2或3D．﹣2或﹣3解：∵x1，x2是关于x的元二次方程x2﹣（5m﹣6）x+m2＝0的两个不相等的实根，∴x1+x2＝5m﹣6，△＝[﹣（5m﹣6）]2﹣4m2＞0，解得m＜或m＞2，∵x1+x2＝m2，∴5m﹣6＝m2，解得m＝2（舍）或m＝3，故选：B．8．已知实数m、n满足x2﹣7x+2＝0，则+的值（）A．B．C．或2D．或2解：当m＝n时，+＝1+1＝2；当m≠n时，∵实数m、n满足x2﹣7x+2＝0，∴m+n＝7，mn＝2，∴+＝＝＝＝．故选：D．9．如果ax2＝（3x﹣）2+m，那么a，m的值分别为（）A．3，0B．9，C．9，D．，9故选：B．10．设x1为一元二次方程x2﹣2x＝较小的根，则（）A．0＜x1＜1B．﹣1＜x1＜0C．﹣2＜x1＜﹣1D．﹣5＜x1＜﹣4解：x2﹣2x＝，8x2﹣16x﹣5＝0，x＝＝，∵x1为一元二次方程x2﹣2x＝较小的根，∴x1＝＝1﹣，∵5＜＜6，∴﹣1＜x1＜0．11．以x＝为根对的一元二次方程可能是（）A．x2﹣3x﹣c＝0B．x2+3x﹣c＝0C．x2﹣3x+c＝0D．x2+3x+c＝0解：A．x2﹣3x﹣c＝0的根为x＝，符合题意；B．x2+3x﹣c＝0的根为x＝，不符合题意；C．x2﹣3x+c＝0的根为x＝，不符合题意；D．x2+3x+c＝0的根为x＝，不符合题意；故选：A．12．已知P＝2m﹣3，Q＝m2﹣1（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P≤Q C．P＜Q D．不能确定故选：C．13．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个解：m2x2﹣8mx+12＝0，△＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝，∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，∴＞0，＞0，∴m＝1或2或3或6，则满足条件的m的值的个数是4个，故选：B．14．若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m﹣1和2m+4，则的值为（）A．4B．3C．2D．1解：由题意可知：ax2＝b有两个根，由直接开方法可知：m﹣1与2m+4互为相反数，∴m﹣1+2m+4＝0，∴m＝﹣1，∴m﹣1＝﹣2，2m+4＝2，∴x2＝＝4，故选：A．15．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x﹣2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0故选：A．16．若方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0与方程2x2﹣（4a+1）x+2a﹣1＝0中至多有一个方程有实数根，则a的取值范围是（ ）A ．a ＞B ．a ＜﹣C ．﹣≤a ≤D ．a ＜﹣或a ＞解：在方程2x 2﹣（4a +1）+2a ﹣1＝0有实数根中，△＝[﹣（4a +1）]2﹣4×2×（2a ﹣1）＝（4a ﹣1）2+8，∵（4a ﹣1）2≥0，∴（4a ﹣1）2+8＞0，∴△＞0，∴无论a 为何值，方程2x 2﹣（4a +1）x +2a ﹣1＝0总有两个不相等的实数根．又∵方程x 2+（2a ﹣1）x +a 2＝0与方程2x 2﹣（4a +1）x +2a ﹣1＝0中至多有一个方程有实数根， ∴方程x 2+（2a ﹣1）x +a 2＝0没有实数根，∴△＝（2a ﹣1）2﹣4a 2＜0，∴a ＞． 故选：A ．17．若方程（x ﹣m ）（x ﹣a ）＝0（m ≠0）的根是x 1＝x 2＝m ，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＝m 且a 是该方程的根B ．a ＝0且a 是该方程的根C ．a ＝m 但a 不是该方程的根D ．a ＝0但a 不是该方程的根 故选：A ．18．已知m ，n 是关于x 的方程x 2+（2b +3）x +b 2＝0的两个实数根，且满足+1＝n1，则b 的值为（ ） A ．3 B ．3或﹣1 C ．2 D ．0或2 解：∵m ，n 是关于x 的方程x 2+（2b +3）x +b 2＝0的两个实数根，∴m +n ＝﹣（2b +3），mn ＝b 2，∵+1＝，∴+＝﹣1，∴＝﹣1，∴＝﹣1，解得：b ＝3或﹣1，当b ＝3时，方程为x 2+9x +9＝0，此方程有解；当b ＝﹣1时，方程为x 2+x +1＝0，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，此时方程无解，所以b ＝3，故选：A ．19．已知m 是方程x 2﹣2019x +1＝0的一个根，则代数式m 2﹣2018m ++2的值是（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021解：∵m 是方程x 2﹣2019x +1＝0的一个根，∴m 2﹣2019m +1＝0，∴m 2＝2019m ﹣1，∴m 2﹣2018m ++2＝2019m ﹣2018m ﹣1++2＝m ++1＝+1＝+1＝2020．故选：C ．20．某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．50（1+x ）2＝182B ．50+50（1+x ）+50（1+x ）2＝182C．50（1+x）+50（1+x）2＝182D．50+50（1+x）＝182 故选：A．21．2018年一季度，华为某地销售公司营收入比2017年同期增长22%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%，设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程（）A．2x＝22%+30%B．（1+x）2＝1+22%+30%C．1+2x＝（1+22%）（1+30%）D．（1+x）2＝（1+22%）（1+30%）故选：D．22．化肥厂1月份某种化肥的产量为20万吨，通过技术革新，产量逐月上升，第一季度共生产这种化肥95万吨，求2、3月份平均每月增产的百分率是多少？若设2、3月份平均每月增产的百分率为x，根据题意列方程为（）A．20（1+x）＝95B．20（1+x）2＝95C．20（1+x）+20（1+x）2＝95D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝95故选：D．23．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为x元时宾馆当天的利润为10890元，则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）＝10890B．x（50﹣）﹣50×20＝10890C．（x﹣20）（50﹣）＝10890D．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝10890故选：C．24．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i2＝﹣1（即x2＝﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019的值为（）A．0B．﹣1C．i D．1解：i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019＝（i+i2+i3+i4）+…+i2012（i+i2+i3+i4）+…+i4×504+1+i4×504+2+i4×504+3＝（i ﹣1﹣i+1）+…+i2012（i﹣1+i+1）+i﹣1﹣i＝﹣1．故选：B．25．若关于x的方程（a+1）x2+（2a﹣3）x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2解：∵关于x的方程（a+1）x2+（2a﹣3）x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，∴a+1≠0且△＝（2a﹣3）2﹣4（a+1）×（a﹣2）＞0，解得a＜且a≠﹣1．把关于x的方程去分母得ax﹣1﹣x＝3，解得x＝，∵x≠﹣1，∴≠﹣1，解得a≠﹣3，∵x＝为整数，∴a﹣1＝±1，±2，±4，∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，而a＜且a≠﹣1且a≠﹣3，∴a的值为0，2，∴满足条件的所有整数a的和是2．故选：D．三．解答题1．已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．解：（1）∵一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即16﹣4k＞0，∴k＜4；（2）当k＝3时，解x2﹣4x+3＝0，得x1＝3，x2＝1，当x＝3时，m＝﹣; 当x＝1时，m＝0，∴m的值为﹣或0．2．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9＝0有实根．（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2﹣的值．解：（1）根据题意△＝64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，解得a≤且a≠6，所以a的最大整数值为7；（2）①当a＝7时，原方程变形为x2﹣8x+9＝0，△＝64﹣4×9＝28，∴x＝，∴x1＝4+，x2＝4﹣；②∵x2﹣8x+9＝0，∴x2﹣8x＝﹣9，所以原式＝2x2﹣＝2x2﹣16x+＝2（x2﹣8x）+＝2×（﹣9）+＝﹣．3．已知关于x的方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x的方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0的两个不等实数根均为正整数，且m为整数，求m 的值．解：（1）①当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1，此一元一次方程有实根，②当m≠0时，方程为一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0，∵a＝m，b＝﹣（3m+2），c＝2m+2，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（3m+2）]2﹣4m×（2m+2）＝m2+4m+4＝（m+2）2，∵（m+2）2≥0，∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）根据（1）可得：x1＝＝＝2+，x2＝＝1，∵x为整数，m为整数，∴m＝1，﹣1，2，﹣2，∴x1＝4，0，3，1，∵x1≠x2，且x为正整数，∴m＝1或m＝2．4．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）求证：x1＜0，x2＜0；（3）若x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝6，求k的值．【解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＜．（2）证明：∵k＜，∴x1+x2＝2k﹣3＜﹣，x1x2＝k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0；（3）解：∵x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝6，∴x1x2+（x1+x2）＝6，即k2+1+2k﹣3＝6，∴（k+4）（k﹣2）＝0，解得：k1＝﹣4，k2＝2（不合题意，舍去），∴k的值为﹣4．5．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1﹣x2＝2，求k的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．∴△＝（﹣4）2﹣4（2k﹣1）＞0，解得：k＜．（2）∵x1、x2是方程x2﹣4x+2k﹣1＝0的解，∴x1+x2＝4，x1x2＝2k﹣1．∵x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝22，∴42﹣4（2k﹣1）＝22，即16﹣8k＝0，解得：k＝2．又∵k＜，∴k的值为2．6．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．解：（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0，∴；（2）由一元二次方程的求根公式得：x1＝，x2＝，∵，∴，∴x1＞0，又∵x1•x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0，∴x2＞0，当时，有，即﹣＝＝，∴4k﹣11＝3，∴，∴存在实数，使得．。
2019-2020中考数学真题培优专题《一元二次方程》(含答案解析)
2019-2020中考真题培优专题《一元二次方程》（含答案解析)一、单选题1．（2019·贵州中考真题）一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．72．（2019·内蒙古中考真题）若12x x ，是一元二次方程230x x +-=的两个实数根，则3221417-+x x 的值为（ ）A ．﹣2B ．6C ．﹣4D ．43．（2019·湖北中考真题）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a 、c ，则关于x 的一元二次方程240ax x c ++=有实数解的概率为（ ）A ．14 B ．13 C ．12 D ．234．（2019·内蒙古中考真题）已知等腰三角形的三边长分别为4a b 、、，且a 、b 是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，则m 的值是（ ）A ．34B ．30C ．30或34D ．30或365．（2019·湖北中考真题）若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定6．（2019·黑龙江中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．（2019·新疆中考真题）若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（） A ．54k ≤ B ．54k ＞ C ．514k k ≠＜且D ．514k k ≤≠且 8．（2019·河南中考真题）一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根9．（2019·广东中考真题）关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（ ）A ．0或2B ．-2或2C ．-2D ．210．（2019·山东中考真题）已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是( )A ．2023B ．2021C ．2020D ．201911．（2019·山东中考真题）关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（ ）A ．2m =-B ．3m =C ．3m =或2m =-D ．3m =-或2m =12．（2019·山东中考真题）若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ）A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠13．（2018·宁夏中考真题）若x 2-4x+c=0的一个根，则c 的值是（ ）A ．1B ．C ．D ．14．（2018·内蒙古中考真题）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3二、填空题15．（2019·四川中考真题）若关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根，则点(1, 3 )P a a +--在第____象限．16．（2019·宁夏中考真题）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，据此易得2x =．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程24120x x --=的正确构图是_____．（只填序号）17．（2019·湖北中考真题）已知 ， 是关于 的方程 的两个不相等实数根，且满足 ，则 的值为__________．18．（2018·四川中考真题）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-1=0的两实数根， 则12112121x x +++的值是__． 19．（2015·四川中考真题）已知实数m ，n 满足 ， ，且 ，则 = ．20．（2018·四川中考真题）已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________．21．（2014·内蒙古中考真题）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n=___________．三、解答题22．（2019·湖南中考真题）关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．23．（2019·湖北中考真题）已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根.（1）求m 的取值范围. （2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且124x x -=，求m 的值.24．（2019·湖北中考真题）已知于x 的元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求a 的取值范围；（2）若22121230x x x x +-…，且a 为整数，求a 的值．25．（2018·四川中考真题）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．26．（2019·重庆中考真题）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少3%10a；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少1%4a．这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少5%18a，求a的值．参考答案1．D【解析】【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x 12=3x 1-1，则x 12+3x 2+x 1x 2-2=3（x 1+x 2）+x 1x 2-3，接着利用根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1x 2=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵x 1为一元二次方程x 2﹣3x+1＝0的根，∴x 12﹣3x 1+1＝0，∴x 12＝3x 1﹣1，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3x 1﹣1+3x 2+x 1x 2﹣2＝3（x 1+x 2）+x 1x 2﹣3，根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 2．A【解析】【分析】利用根与系数的关系可得出x 1+x 2=-1、x 1•x 2=-3，211x x 3+＝，将代数式2132x 4x 17+﹣进行转化后，再代入数据即可得出结论．【详解】解：12x x ，是一元二次方程2x x 30+﹣＝的两个实数根，12x x 1∴+＝﹣，12x x 3＝﹣，211x x 3+＝，3221x 4x 17∴+﹣32211418--+＝x x()()2222111418=-++-+x x x x ()211114418=---⨯-+x x21184418=---+x x()2118418=--++x x10432=-⨯=-故选：A ．【点睛】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则1212,b c x x x x a a+=-=. 3．C【解析】【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.【详解】由题意，△=42-4ac≥0，∴ac≤4，画树状图如下：a 、c 的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，所以a 、c 的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为61=122， 故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.4．A【解析】【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b 时；结合韦达定理即可求解；【详解】解：当4a =时，8b <，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，412b ∴+=，8b ∴=不符合；当4b =时，8a <，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，1222a b ∴==，6a b ∴==，236m ∴+=，34m ∴=；故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．5．A【解析】【分析】利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解.【详解】 解：一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，0k ∴>，0b ≤，240k b ∴∆=->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 6．C【解析】【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】设这种植物每个支干长出x 个小分支，依题意，得：2143x x ++=，解得： 17x =-（舍去），26x =．故选：C ．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程7．D【解析】【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+x +1＝0有两个实数根，∴210=1-41)10k k -⎧⎨∆⨯-⨯≥⎩≠（ ， 解得：k ≤54且k ≠ ． 故选：D ．【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键8．A【解析】【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况．【详解】解：原方程可化为：2240x x --=，1a \=，2b =-，4c =-，2(2)41(4)200∴∆=--⨯⨯-=>，∴方程由两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．9．D【解析】【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得，()21212124423x x x x x x +-+=-－， 利用韦达定理，()2142(2)3k k ----+=-，解得，k ＝±2，由题意可知△＞0， 可得k ＝2符合题意.【详解】解：由韦达定理，得： 12x x +＝k －1，122x x k +＝－,由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-，得：()21212423x x x x --+=-，即()21212124423x x x x x x +-+=-－，所以，()2142(2)3k k ----+=-,化简，得：24k =，解得：k ＝±2， 因为关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根，所以，△＝()214(2)k k ---+＝227k k +-〉0，k ＝－2不符合，所以，k ＝2故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.10．A【解析】【分析】根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=（a+b ）2-2ab+2016即可求解.【详解】a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，-3ab =，∴222201932019a b a b -+=-++()2220161620162023a b ab =+-+=++=；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键． 11．A【解析】【分析】设1x ，2x 是2220x mx m m +++=的两个实数根，由根与系数的关系得122x x m +=-，212x x m m ⋅=+，再由()2221212122x x x x x x +=+-⋅代入即可. 【详解】设1x ，2x 是2220x mx m m +++=的两个实数根，∴40m ∆=-≥，∴0m ≤，∴122x x m +=-，212x x m m ⋅=+，∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅2224222212m m m m m =--=-=， ∴3m =或2m =-，∴2m =-，故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．12．D【解析】【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨=----⎩…， 解得：32k ≥且k≠ ． 故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．13．A【解析】【分析】把2x 2﹣4x +c =0就得到关于c 的方程，就可以解得c 的值．【详解】把2x 2﹣4x +c =0，得（22﹣4（2+c =0，解得：c =1．故选A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．14．B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，∴△=()224120m =⨯⨯-≥，解得：3m ≤， 又∵m 为正整数，∴m=1或2或3，（1）当m=1时，原方程为x 2+2x-1=0，此时方程的两根均不为整数，故m=1不符合要求；（2）当m=2时，原方程为x 2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求；（3）当m=3时，原方程为x 2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求；∴ m=2或m=3符合题意，∴m 的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5.故选B.【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程()200ax bx c a ++=≠中，若方程有两个实数根，则△=240b ac -≥”是解答本题的关键.15．四．【解析】【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，由a 的取值范围可得出a+1＞0，-a-3＜0，进而可得出点P 在第四象限，此题得解．【详解】∵关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根，∴201(1)4-04a a ≠⎧⎪⎨⎛⎫∆=--⨯⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得：1a >-且0a ≠．∴10a +>，30a --<，∴点(1,3)P a a +--在第四象限．故答案为：四．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．16．②．【解析】【分析】仿造案例，构造面积是2(4)x x +-的大正方形，由它的面积为24124⨯+，可求出6x =，此题得解．【详解】解：24120x x --=即()412x x -=，∴构造如图②中大正方形的面积是2(4)x x +-，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24124⨯+，据此易得6x =．故答案为：②．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．17．1 .【解析】【分析】根据根与系数的关系结合 ，可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，根据方程的系数结合根的判别式 ，可得出关于 的一元二次不等式，把k 的值代入，进而即可确定 值，此题得解．【详解】是关于 的方程 的两个实数根，.，即 ，整理，得： ，解得： ．关于 的方程 的两个不相等实数根，当k= 时，△=- <0，故k= 不符合题意；当k=1时，△=4>0；．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合 - - ，求出 值是解题的关键． 18．6【解析】【分析】已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两实数根，根据方程解的定义及根与系数的关系可得x 12﹣2 x 1﹣1=0，x 22﹣2 x 2﹣1=0，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1，即x 12=2 x 1+1， x 22=2 x 2+1，代入所给的代数式，再利用完全平方公式变形，整体代入求值即可.【详解】∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两实数根，∴x 12﹣2 x 1﹣1=0， x 22﹣2 x 2﹣1=0，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1，即x 12=2 x 1+1， x 22=2 x 2+1， ∴12112121x x +++=()22212121222222212121221142 6.1x x x x x x x x x x x x +-+++==== 故答案为6.【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，会熟练运用整体思想是解决本题的关键.19． ．【解析】试题分析：由 时，得到m ，n 是方程 的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．试题解析：∵ 时，则m ，n 是方程3x 2﹣6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴ ， ．∴原式= = =，故答案为： ． 考点：根与系数的关系．20．1【解析】分析：利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．详解：设x+1=t ，方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根分别是x 3，x 4，∴at 2+bt+1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2，∴t 1+t 2=3，∴x 3+x 4+2=3故答案为：1点睛：本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．21．8【解析】试题分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n ﹣5，直接求出m 、n 即可解题． ∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根， ∴mn=﹣5，m+n=﹣2， ∵m 2+2m ﹣5=0 ∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=8考点：(1)、根与系数的关系；(2)、一元二次方程的解．22．（1）94k ≤；（2）m 的值为32． 【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠． 【详解】解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥， 解得94k ≤； （2）k 的最大整数为2，方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，∵一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根， ∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32m =； 当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =，而10m -≠，∴m 的值为32． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．23．（1）2m ≤.（2）1m =.【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围； （2）由根与系数的关系可得出x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，结合|x 1-x 2|=4可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤ ；（2）∵方程x 2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，∴（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x 1-x 2|=4，找出关于m 的一元一次方程．24．（1）a<2；（2）－1，0，1【解析】【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围；（2）由根与系数的关系，用a 表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围，再求其值即可．【详解】（1）关于x 的一元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根12,x x ，0∴∆>，即2(6)4(25)0a --+>，解得2a <；（2）由根与系数的关系知：12126,25x x x x a +==+，12,x x 满足221212x x x x 30+-…，()21212330x x x x ∴+-…，363(25)30a ∴-+…，3,2a ∴-… a 为整数，a ∴的值为1,0,1-．【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．25．（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3.【解析】【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况；（2）根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】（1）由题意可知：△=（2m ﹣2）2﹣4（m 2﹣2m ）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x 1+x 2=2m ﹣2，x 1x 2=m 2﹣2m ，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=10，∴（2m ﹣2）2﹣2（m 2﹣2m ）=10，∴m 2﹣2m ﹣3=0，∴m=﹣1或m=3【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型． 26．（1）该菜市场共有25个4平方米的摊位．（2）a 的值为50．【解析】【分析】（1）设该菜市场共有x 个4平方米的摊位，则有2x 个2.5平方米的摊位，根据菜市场毎月可收取管理费4500元，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）由（1）可得出：5月份参加活动一的2.5平方米摊位及4平方米摊位的个数，再由参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少518%a ，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）设该菜市场共有x 个4平方米的摊位，则有2x 个2.5平方米的摊位，依题意，得：20420 2.524500x x ⨯+⨯⨯=，解得：25x =．答：该菜市场共有25个4平方米的摊位．（2）由（1）可知：5月份参加活动一的2.5平方米摊位的个数为25240%20⨯⨯=（个），5月份参加活动一的4平方米摊位的个数为2520%5⨯=（个）． 依题意，得：320(12%)20 2.5%10a a +⨯⨯⨯()1516%204%4a a ++⨯⨯⨯[20(12%)20a =+⨯⨯2.5+5(16%)a +5204]%18a ⨯⨯⨯， 整理，得：2500a a -=，解得：10a =（舍去），250a =． 答：a 的值为50．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
沪科版2019-2020学年八年级数学第二学期 第17章 一元二次方程 单元测试题及答案
沪科版八年级数学下册第17章一元二次方程单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. 2x−y=3B. x2+1x=2 C. x2+1=x2−1 D. x(x−1)=02.已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5，则m的值可能为（）A. 1B. 2C. 4D. 53.用配方法解一元二次方程x2-8x+3=0，此方程可化为（）A. (x−4)2=13B. (x+4)2=13C. (x−4)2=19D. (x+4)2=194.方程x(x+3)＝0的根是（）A. x=0B. x=−3C. x1=0，x2=3D. x1=0，x2=−35.关于x的一元二次方程是2x2+kx-1=0，则下列结论一定成立的是（）A. 一定有两个不相等的实数根B. 可能有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 以上都有可能6.若α，β是一元二次方程x2-x-2018=0的两个实数根，则α2-3α-2β+3的值为（）A. 2020B. 2019C. 2018D. 20177.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m2，道路的宽为xm，则可列方程为（）A. 32×20−2x2=570B. 32×20−3x2=570C. (32−x)(20−2x)=570D. (32−2x)(20−x)=5708.已知x1、x2是一元二次方程x2-4x+1＝0的两个根，1x1+1x2则等于（）A. 4B. −1C. 1D. −49.某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（）A. 2(1+x)2=2.88B. 2x2=2.88C. 2(1+x%)2=2.88D. 2(1+x)+2(1+x)2=2.8810.某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为抢占市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（）元．A. 3B. 5C. 2D. 2.5二、填空题（本大题共4小题，共20分）11.已知关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______．12.将一元二次方程x2+2x-1=0化成（x+a）2=b的形式，其中a，b是常数，则a=______，b=______．13.设a，b是方程x2+x-2017＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为_______________．14.如图是一个邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2，则AB的长度是_____m(可利用的围墙长度超过6m)．三、计算题（本大题共2小题，共16分）15.解方程：（1）3x（x-1）=2（x-1）（2）x2-6x+6=016.已知关于x的一元二次方程x2-（k+1）x+2k-2=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）；（3）如果此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，求k的值．四、解答题（本大题共7小题，共74分）17.（本题8分）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为594m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．18.（本题8分）某商店如果将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，通过一段时间的摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，每降价0.5元，其销售量就增加10件．（1）如果每天的利润要达到700元，售价应定为每件多少元？（2）将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大利润是多少？19.（本题10分）关于x的方程mx2-x-m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个整数根．（1）请你判断，这三个结论中正确的有______（填序号）（2）证明（1）中你认为正确的结论．20.（本题10分）某地区为进一步发展基础教育，自2016年以来加大了教育经费的投入，2016年该地区投入教育经费5000万元，2018年投入教育经费7200万元．（1）求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率；（2）若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请预算2019年该地区投入教育经费为______万元．21.（本题12分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx +12=0．（1）当b=a+1时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时方程的根．22.（本题12分）在每年五月第二个星期日的母亲节和每年六月第三个星期日的父亲节这两天，很多青少年会精心准备小礼物和贺卡送给父母，以感谢父母的养育之恩．某商家看准商机，在今年四月底储备了母亲节贺卡A、B和父亲节贺卡C、D共2500张．（1）按照往年的经验，该商家今年母亲节贺卡的储备量至少应定为父亲节贺卡的1.5倍，求该商家今年四月底至多储备了多少张父亲节贺卡．（2）截至今年6月30日，母亲节贺卡A、B的销售总金额和父亲节贺卡C、D的销售总金额相同．已知母亲节贺卡A的销售单价为20元，共售出150张，贺卡B的销售单价为2元，共售出1000张；父亲节贺卡C的销售单价比贺卡A少m%，但是销售量与贺卡A相同，贺卡D的销售单价比贺卡B多4m%，销售量比贺卡B少m%，求m的值．23.（本题14分）阅读下列材料：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝（x＋2）2＋1，∵（x＋2）2≥0，∴（x＋2）2＋1≥1，∴x2＋4x＋5≥1.试利用“配方法”解决下列问题：(1)填空：x2-4x＋5 ＝(x______)2＋______；(2)已知，x2-4x＋y2＋2y＋5＝0，求x＋y的值；(3)比较代数式x2―1与2x―3的大小．答案和解析1.D2.B 3A4.D5.A6.B7.【答案】D【解析】解：设道路的宽为xm，则剩余的六块空地可合成长（32-2x）m、宽（20-x）m的矩形，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570．故选：D．设道路的宽为xm，则剩余的六块空地可合成长（32-2x）m、宽（20-x）m的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．利用根与系数的关系找出两根之间的关系即可解答.【解答】解：∵，是一元二次方程的两根，由韦达定理得：x1·x2=，x1+x2=-，∵a=1，b=-4，c=1∴.故选A.9.【答案】A【解析】解：设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2=2.88．故选：A．设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据该市2018年旅游收入及2020年旅游预计收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设应降价x元，根据每降价1元，每星期可多卖出20件，利润为6120元列出方程，求出x的值即可．【解答】解：设应降价x元，由题意得（300+20x）（60-40-x）=6120，解得x1=2，x2=3，∵要抢占市场份额，∴每件商品应降价3元．故选A．11.【答案】m＜1且m≠0【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，∴，解得：m＜1且m≠0．故答案为：m＜1且m≠0．根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．12.【答案】1 2【解析】解：方程x2+2x-1=0，变形得：x2+2x=1，配方得：x2+2x+1=2，即（x+1）2=2，则a=1，b=2．故答案为：1，2．方程常数项移到右边，两边加上1，变形得到结果，即可确定出a与b的值．此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13.【答案】2016【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a=2017，则a2+2a+b可化为a+b+2017，然后根据根与系数的关系得到a+b=-1，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是方程x2+x-2017=0的根，∴a2+a-2017=0，即a2+a=2017，∴a2+2a+b=a+b+2017，∵a，b是方程x2+x-2017=0的两个不等的实数根，∴a+b=-1，∴a2+2a+b=a+b+2017=-1+2017=2016．故答案为2016．14.【答案】1【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．设垂直围墙的栅栏AB的长为x，那么平行墙的栅栏BC长为（6-2x），（6-2x）和x就是花圃的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．【解答】解：设AB长为x m，则BC长为（6-2x）m．依题意，得x（6-2x）=4．整理，得x2-3x+2=0．解方程，得x1=1，x2=2．所以当x=1时，6-2x=4；当x=2时，6-2x=2（舍去）．∴AB的长为1米．故答案为1．15.【答案】解：（1）方程移项分解得：（x-1）（3x-2）=0，可得x-1=0或3x-2=0，解得：x1=1，x2=23；（2）方程移项得：x2-6x=-6，配方得：x2-6x+9=3，即（x-3）2=3，开方得：x-3=±√3，解得：x1=3+√3，x2=3-√3．【解析】（1）方程移项分解法，利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可．此题考查了解一元二次方程-因式分解法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．16.【答案】解：（1）依题意，得△=[-（k+1）]2-4×1×（2k-2）=k2+2k+1-8k+8=k2-6k+9=（k-3）2≥0，∴此方程总有两个实数根．（2）将方程左边因式分解得（x-2）[x-（k-1）]=0，则x-2=0或x-（k-1）=0，解得x1=2，x2=k-1；（3）∵此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，∴k-1=2．∴k=3．【解析】（1）由△=[-（k+1）]2-4×1×（2k-2）=（k-3）2≥0可得答案；（2）利用因式分解法可得（x-2）[x-（k-1）]=0，再进一步求解可得；（3）根据等边三角形的三边相等得出关于k的方程，解之可得．此题考查了配方法解一元二次方程与一元二次方程判别式的知识．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的个数与判别式的关系及因式分解法解一元二次方程及等边三角形的性质．17.【答案】解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30-3x）m，宽为（24-2x）m，由已知得：（30-3x）•（24-2x）=594，解得：x1=1，x2=21，当x=21时，30-3x=-33，24-2x=-18，不符合题意舍去，即x=1．答：人行通道的宽度为1米．【解析】设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30-3x）m，宽为（24-2x）m，根据矩形绿地的面积为594m2，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，经检验后得出x=21不符合题意，此题得解．本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．18.【答案】解：（1）设每件商品提高x元，则每件利润为（10+x-8）=（x+2）元，每天销售量为（200-20x）件，依题意，得：（x+2）（200-20x）=700．整理得：x2-8x+15=0．解得：x1=3，x2=5．∴把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元；若设每件商品降价x元，则（2-x）（200+20x）=700．整理得：x2+8x+15=0，解得：x1=-3，x2=-5，∴把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元．（2）设利润为y：则y=（x-8）[200-20（x-10）]=-20x2+560x-3200=-20（x-14）2+720，则当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．答：把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元，将售价定位每件14元时，能使每天可获的利润最大，最大利润是720元．【解析】（1）如果设每件商品提高x元，可先用x表示出单件的利润以及每天的销售量，然后根据总利润=单价利润×销售量列出关于x的方程，进而求出未知数的值．（2）首先设应将售价提为x元时，才能使得所赚的利润最大为y元，根据题意可得：y=（x-8）[200-20（x-10）]，然后化简配方，即可得y=-20（x-14）2+720，即可求得答案．此题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．19.【答案】①③【解析】解：（1）这三个结论中正确的有①③，故答案为：①③；（2）证明①：∵当m=0时，方程为-x+1=0，得x=1，∴方程只有一个实数解；证明②：∵当m≠0时，方程为一元二次方程∴△=1-4m（-m+1）=1+4m2-4m=（2m-1）2≥0，∴，又∵当m=0时，方程解为x=1∴无论m取何值，方程都有一个整数根x=1，即②错误，③正确．根据根的判别式逐个判断即可．本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能灵活运用根的判别式进行求解是解此题的关键．20.【答案】8640【解析】（1）解：设该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为x．根据题意，得5000（1+x）2=7200．解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）．∴x=0.2=20%．答：该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为20%．（2）7200（1+20%）=8640（万元）故答案是：8640．（1）设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2016年及2018年该县投入的教育经费钱数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2019年该县投入教育经费钱数=2018年该县投入教育经费钱数×（1+20%），即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.【答案】解：（1）△=b2-4a×12=b2-2a，∵b=a+1，∴△=（a+1）2-2a=a2+2a+1-2a=a2+1＞0，∴原方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴b2-2a=0，即b2=2a，取a=2，b=2，则方程为2x2+2x+12=0，∴x1=x2=-12．【解析】（1）由方程的系数结合根的判别式、b=a+1，可得出△=a2+1＞0，进而可找出方程ax2+bx+=0有两个不相等实数根；（2）由根的判别式△=b2-2a=0，可得出：若b=2，a=2，则原方程为2x2+2x+=0，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等实数根”；（2）取b=2、a=2解方程．22.【答案】解：（1）设储备父亲节贺卡x张，依题知 2500-x≥1.5x，∴x≤1000，答：该商家四月底至多储备1000张父亲节贺卡．（2）由题意得：20×150+2×1000=20（1-m%）×150+2（1+4m%）×1000（1-m%）令t=m%，则8t2-3t=0，∴t1=0（舍），t2=0.375，∴m=37.5答：m的值为：37.5．【解析】（1）设储备父亲节贺卡x张，母亲节贺卡的储备量至少应定为父亲节贺卡的1.5倍，得出不等式解答即可．（2）根据题意列出等式：20×150+2×1000=20（1-m%）×150+2（1+4m%）×1000（1-m%），算出结果．本题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．23.【答案】解：（1）-2；1；（2）x2-4x+y2+2y+5=0，（x-2）2+（y+1）2=0，则x-2=0，y+1=0，解得x=2，y=-1，则x+y=2-1=1；（3）x2-1-（2x-3）=x2-2x+2=（x-1）2+1，∵（x-1）2≥0，∴（x-1）2+1＞0，∴x2-1＞2x-3．【解析】【分析】考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．（1）根据配方法的方法配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；（3）将两式相减，再配方即可作出判断．【解答】解：（1）x2-4x+5=（x-2）2+1；故答案为-2，1．（2）见答案；（3）见答案．。
《一元二次方程》专项练习和中考真题(含答案解析及点睛)
《一元二次方程》专项练习1．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．1-【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义，再将0x =代入原式，即可得到答案.【解析】解：∵关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，∴210a -=，10a -≠，则a 的值为：1a =-．故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 2．用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是( ) A ．y 2﹣2y +1=0B ．y 2+2y +1=0C ．y 2+y +2=0D ．y 2+y ﹣2=0 【答案】A 【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设21x x+=y ，则原方程化为y+1y =2，再转化为整式方程y 2-2y+1=0即可求解． 【解析】把21x x+=y 代入原方程得：y +1y =2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1=0．故选：A ． 【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3．如果关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．94k …B ．94k -…且0k ≠C ．94k …且0k ≠D ．94k -… 【答案】C【分析】根据关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．【解析】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤94且k≠0，故选：C ． 【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且0x >，则4323x x x -+的值为（ ）A ．1B ．3C ．1+D ．3【答案】C【分析】先求得2=+1x x ，代入4323x x x -+即可得出答案．【解析】∵210x x --=，∴2=+1x x ，x == ∴4323x x x -+=()()21213x+-x x++x =2221223x +x+-x -x+x =231-x +x+=()131-x++x+=2x ，∵x =，且0x >，∴x =，∴原式=2，故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．5．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【解析】解：设参加此次比赛的球队数为x 队，根据题意得：12x （x ﹣1）＝36， 化简，得x 2﹣x ﹣72＝0，解得x 1＝9，x 2＝﹣8（舍去），答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题． 6．国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ．则可列方程为( )A ．()5000127500x +=B ．()5000217500x ⨯+=C ．()2500017500x +=D ．()()2500050001500017500x x ++++=【答案】C【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．【解析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，∵2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元即2019年我国快递业务收入为7500亿元，∴可列方程：()2 500017500x +=，故选C ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程．7．如图是一张长12cm ，宽10cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积224cm 是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______cm ．【答案】2【分析】根据题意设出未知数,列出三组等【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为解得a =10－2x ,b =6－x ,代入ab =24中得:整理得:2x 2－11x +18=0．解得x =2或x 【点睛】本题考查一元二次方程的应用8．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个A ．2023B ．2021 【答案】A【分析】根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1解.【解析】a ，b 是方程230x x +-=的两∴222201932019a b a b -+=-++【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数9．一个三角形的两边长分别为2和5，【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x 2-8周长可求．【解析】解：∵x 2-8x +12=0，∴()x -∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式10．若关于x 的一元二次方程22x x ﹣A ．1m ＜ B ．1m £三组等式解出即可．边长为x,由题意得:2()1221024x b a x ab +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,(10－2x )(6－x )=24,=9(舍去)．故答案为2．,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程的两个实数根，则22019a b -+的值是( )C ．2020D ．2019，ab =-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，ab9()2220161620162023a b ab =+-+=++=；与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行，第三边长是方程28120x x -+=的根，则该三角形x +12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的()260x -=，∴x 1=2，x 2=6，三边长是方程x 2-8x +12=0的根，当x =2时，2+2＜5形的周长为：2+5+6=13．故答案为：13．的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性0m +＝有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）C ．1m ＞D ．m 1≥出方程．019=（a+b ）2-2ab+2016即可求-3b =， 3；故选A ． 子进行化简代入是解题的关键．三角形的周长为_______． 三边的长，则该三角形的 ，不符合题意，相关性质及定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据方程的系数结合根的判别式0≥V ，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．【解析】Q 关于x 的一元二次方程220x x m +﹣＝有实数根，2240m ∴=≥-V （-），解得： 1m ≤．故选B ． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0≥V 时，方程有实数根”是解题的关键．11．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数与实数b 的取值有关【答案】A【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．【解析】解：∵△＝b 2﹣4×（﹣1）＝b 2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．12．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（ ） A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或4 【答案】A【分析】通过根与系数之间的关系得到22m αβ+=-+，2m m αβ=-，由()2222αβαβαβ+=+-可求出m 的值，通过方程有实数根可得到[]()222(1)40m m m --≥-，从而得到m 的取值范围，确定m 的值． 【解析】解：∵方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，∴()21221m m αβ-+=-=-+，221m m m m αβ-==-， ∵()2222αβαβαβ+=+-，2212αβ+=∴()()2222212m m m -+-=-， 整理得，2340m m --=，解得，11m =-，24m =，若使222(1)0x m x m m +-+-=有实数根，则[]()222(1)40m m m --≥-， 解得，1m £，所以1m =-，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．13．关于x 的一元二次方程22(2)620k x x k k ++++-=有一个根是0，则k 的值是_______．【答案】1【分析】把方程的根代入原方程得到220k k +-=，解得k 的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．【解析】∵方程22(2)620k x x k k ++++-=是一元二次方程，∴k+2≠0，即k ≠-2；又0是该方程的一个根，∴220k k +-=，解得，11k =，22k =-，由于k ≠-2，所以，k=1．答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．14．已知1x ，2x 是一元二次方程240x x --=的两实根，则12(4)(4)x x ++的值是_____．【答案】16【分析】由根与系数的关系可得121x x =+， 124x x =-，然后把所求式子利用多项式乘法法则展开后代入进行计算即可.【解析】1x Q ，2x 是一元二次方程240x x --=的两实根，121x x ∴+=， 124x x =-，12(4)(4)x x ∴++12124416x x x x =+++12124()16x x x x =+++44116=-+⨯+4416=-++16=， 故答案为：16．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键. 15．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____．【答案】-2017【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．【解析】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，2019ab =-，∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．故答案为：-2017．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a”是解题的关键． 16．已知12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，则2211224x x x x ++的值是_________．【答案】2【分析】由已知结合根与系数的关系可得：12x x +=4，12x x ⋅= -7，2211224x x x x ++=()212122x x x x ++，代入可得答案.【解析】解：∵12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，∴12x x +=4，12x x ⋅= -7，∴2211224x x x x ++=()212122x x x x ++=()2427+⨯-=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，难度不大，属于基础题17．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A．12x（x+1）＝110 B．12x（x﹣1【答案】D【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足【解析】解：设有x个队参赛，则x（x 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为___【答案】x＝2或x＝﹣或x＝﹣1【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣于x的方程求解可得．【解析】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用19．若菱形ABCD的一条对角线长为8，A．16 B．24【答案】B【分析】解方程得出x＝4或x＝6，分两种6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形ABC【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次键．）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比﹣1）＝110．故选：D．的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．_____．．x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形C．16或24 D．48分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成的周长．BCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，+4＝8，不能构成三角形；ABCD的周长＝4AB＝24．故选：B．元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌110共要比赛110场，可列出方程．的关键．：）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．x2+nx﹣1＝0，1]＝0，据此得到两个关1）＝0，或x＝﹣1．方法．该菱形ABCD的周长为（ ）能构成三角形；②当AB＝AD＝熟练掌握并灵活运用是解题的关21．已知关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根，则1c a+的值等于_______． 【答案】2. 【分析】根据“关于x 的一元二次方程ax 2+2x+2﹣c ＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a 和c 的等式，整理后即可得到的答案．【解析】解：根据题意得：△＝4﹣4a （2﹣c ）＝0，整理得：4ac ﹣8a ＝﹣4，4a （c ﹣2）＝﹣4，∵方程ax 2+2x+2﹣c ＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a 得：12c a -=-，则12c a+=，故答案为2． 【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．22．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为____________．【答案】x(x+12)=864【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．【解析】因为宽为x ，且宽比长少12，所以长为x+12，故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，故答案：x(x+12)=864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可．23． 1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b =（ ）A ．2-B ．3-C ．4D ．6-【答案】A【分析】先把x=1代入方程220x ax b ++=得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值【解析】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2.故选A. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键24．已知1x ，2x 是方程2320x x --=的两根，则2212x x +的值为（ ）A ．5B ．10C ．11D ．13【答案】D 【分析】先利用完全平方公式，得到2212x x +21212)2x x x x =+-（，再利用一元二次方程根与系数关系：12b x x a+=-，12c x x a=即可求解．【解析】解：2212x x +()221212)232213x x x x =+-=-⨯-=（故选：D ． 【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用和一元二次方程根与系数关系，灵活运用完全平方公式和一元二次方程根与系数关系是解题关键．25．若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于_____．【答案】2028【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x 12-4x 1=2020，x 1+x 2=4，代入原式=x 12-4x 1+2x 1+2x 2=x 12-4x 1+2（x 1+x 2）计算可得．【解析】解：∵x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝4，x 12﹣4x 1﹣2020＝0，即x 12﹣4x 1＝2020，则原式＝x 12﹣4x 1+2x 1+2x 2＝x 12﹣4x 1+2（x 1+x 2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028，故答案为：2028．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a． 26．解方程：x 2﹣5x +6＝0【答案】x 1＝2，x 2＝3【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.【解析】利用因式分解法求解可得．解：∵x 2﹣5x +6＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝2，x 2＝3．【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.27．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）k =【分析】（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2，结合12112k x x +=-，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论．【解析】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴2(2)4(2)0k ∆=--+…解得1k ≤-；（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ∵12112k x x +=-，∴1212222x x k x x k +==-+即(2)(2)2k k +-=，解得k =．又由（1）知：1k ≤-，∴k =【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112k x x +=-，找出关于k 的方程． 28．已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根.（1）求m 的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且124x x -=，求m 的值.【答案】（1）2m ≤.（2）1m =.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，结合|x 1-x 2|=4可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x 2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，∴（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x 1-x 2|=4，找出关于m 的一元一次方程．29．已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】（1）134m ≤；（2）1. 【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可；（2）将m=2代入原方程可得：x 2+3x+1=0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．【解析】（1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥解得134m ≤ （2）当m=2时，方程为x 2+3x+1=0，∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1=0，x 22+3x 2+1=0，∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）=（x 12+2x 1+x 1-x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）=（-1-x 1）（-1+x 2+2）=（-1-x 1）（x 2+1）=-x 2-x 1x 2-1-x 1=-x 2-x 1-2=3-2=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a”是解题的关键． 30． 2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x 元，每个月的销量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？【答案】（1）y ＝220﹣2x ；（2）当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当x ＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．【分析】（1）根据月销量等于涨价前的月销量，减去涨价（x-60）与涨价1元每月少售出的件数2的乘积，化简可得；（2）月销售量乘以每件的利润等于利润2250，解方程即可；（3）根据题意列出二次函数解析式，由顶点式，可知何时取得最大值及最大值是多少．【解析】（1）由题意得，月销售量y ＝100﹣2（x ﹣60）＝220﹣2x （60≤x ≤110，且x 为正整数）答：y 与x 之间的函数关系式为y ＝220﹣2x ．（2）由题意得：（220﹣2x ）（x ﹣40）＝2250化简得：x 2﹣150x +5525＝0解得x 1＝65，x 2＝85答：当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元．（3）设每个月获得利润w 元，由（2）知w ＝（220﹣2x ）（x ﹣40）＝﹣2x 2+300x ﹣8800∴w ＝﹣2（x ﹣75）2+2450 ∴当x ＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题关键在于理解题意得到等量关系列出方程. 31．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x （元），日销量为y （件），日销售利润为w （元）．（1）求y 与x 的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润w （元）与销售单价x （元）的函数关系式，当x 为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）10280y x =-+；（2）10元；（3）x 为12时，日销售利润最大，最大利润960元【分析】（1）根据题意得到函数解析式；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（3）根据题意得到()()()26128010171210w x x x =--+=--+，根据二次函数的性质即可得到结论．【解析】解：（1）根据题意得，()20010810280y x x =--=-+，故y 与x 的函数关系式为10280y x =-+；（2）根据题意得，()()610280720x x --+=，解得：110x =，224x =（不合题意舍去），答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；（3）根据题意得，()()()261028010171210w x x x =--+=--+， 100-<Q ，∴当17x <时，w 随x 的增大而增大，当12x =时，960w =最大，答：当x 为12时，日销售利润最大，最大利润960元．【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．32．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？【答案】销售单价为180元时，公司每天可获利32000元【分析】根据题意设降价后的销售单价为x 元，由题意得到1003005200[32000]x x -+-（）（）＝，则可得到答案. 【解析】解：设降价后的销售单价为x 元，则降价后每天可售出3005200[]x +-（）个， 依题意，得：1003005200[32000]x x -+-（）（）＝， 整理，得：2360324000x x +﹣＝，解得：12180x x ＝＝．180200＜，符合题意． 答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的实际应用.《一元二次方程》中考真题1．已知2是关于x 的一元二次方程240x x m -+=的一个实数根，则实数m 的值是（ ） A ．0 B ．1C ．−3D ．−1【答案】B【分析】把x ＝2+代入方程就得到一个关于m 的方程，就可以求出m 的值．【解析】解：根据题意得2(24(20m -⨯++=，解得1m =；故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2．定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．只有一个实数根 【答案】A【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【解析】解：根据定义得：2110,x x x =--=☆1,1,1,a b c ==-=-Q ()()22414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=＞0, ∴ 原方程有两个不相等的实数根，故选.A【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，依题意，得：2143x x ++=， 解得： 17x =-（舍去），26x =．故选C ．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程4．关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 【答案】A【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【解析】△=(k-3)2-4(1-k)=k 2-6k+9-4+4k=k 2-2k+5=(k-1)2+4，∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2 B ．m≤2 C ．m ＜2且m≠1 D ．m≤2且m≠1【答案】D【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【解析】解：因为关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有实数根，所以b 2－4ac ＝22－4(m －1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m －1)x 2＋2x ＋1＝0是一元二次方程，所以m －1≠0．综合知，m 的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键．6．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．180（1﹣x ）2=461B ．180（1+x 【答案】B【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的180万只，4月份的利润将达到461万只【解析】解：从2月份到4月份，该厂家口故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应7．关于x 的一元二次方程22x mx +A ．2m =- B ．3m = 【答案】A【分析】设1x ，2x 是2220x mx m ++再由()2221212122x x x x x x +=+-⋅代入即可【解析】设1x ，2x 是222x mx m ++∴40m ∆=-≥，∴0m ≤，∴1x +∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅4=∴3m =或2m =-，∴2m =-，故选【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的8．已知关于x 的一元二次方程x 2+5x ﹣A ．﹣7 B ．7【答案】A【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解析】解：设另一个根为x ，则x +2【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系9．设1x ，2x 是方程2234x x +-=的两）2=461 C ．368（1﹣x ）2=442 D ．368（1+x 增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增万只”，即可得出方程．厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方实际应用，理解题意是解题关键．20m m ++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值C ．3m =或2m =- D ．3m =-或m =m +=的两个实数根，由根与系数的关系得12x x +=入即可. 0m +=的两个实数根，22x m =-，212x x m m ⋅=+，222222212m m m m m --=-=，A ．系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式m ＝0的一个根是2，则另一个根是（ ） C ．3D ．﹣3出答案．＝﹣5，解得x ＝﹣7．故选：A ．根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的0的两个实数根，则1211+x x 的值为______． ）2=442 设这个增长率为x ，根据“2月份可得方程：180（1+x ）2=461，的值为（ ） 22m -，212x x m m ⋅=+，方公式是解题的关键． 系数的关系是解题关键．【答案】34【分析】由韦达定理可分别求出1x +【解析】解：由方程2234x x +-=12121231132·24x x x x x x -++===-．故答案为【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的10．如图，在一块长15m 、宽10m 的矩形空面积为126m 2，则修建的路宽应为_____【答案】1【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形式列方程求解即可．【解析】解：设道路的宽为x m ，根据题意解得：x 1＝1，x 2＝24（不合题意，舍去【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应本题的关键．11．已知关于x 的一元二次方程2x 【答案】1【分析】利用因式分解法求出x 1,x 2，再根【解析】解22430(0)x mx m m -+=解得x 1=3m,x 2=m ，∴3m-m=2解得m=1【点睛】此题主要考查解一元二次方程，12．一元二次方程()()32x x --=的根【答案】123,2==x x【分析】利用因式分解法把方程化为x-【解析】解：30x -=或20x -=，所以2x 与12x x g 的值，再化简要求的式子，代入即可得解0可知1232x x +=-，124·22x x -==- 案为：34 系数的关系，利用韦达定理可简便运算．矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，___米． 到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方据题意得：（10﹣x ）（15﹣x ）＝126， ），则道路的宽应为1米；故答案为：1．程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地2430(0)mx m m -+=>的一个根比另一个根大2，再根据根的关系即可求解．> （x-3m ）（x-m ）=0 ∴x-3m=0或x-m=0 =1故答案为：1． ，解题的关键是熟知因式分解法的运用． 0的根是_____． -3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可． 所以123,2==x x ．故答案为123,2==x x ．可得解． ，剩余分栽种花草，要使绿化个长方形，根据长方形的面积公矩形地面的最上边和最左边是做，则m 的值为_____．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．13．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程28120x x -+=的解，则这个三角形的周长是________． 【答案】17【分析】先利用因式分解法求解得出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案． 【解析】解：解方程28120x x -+=得x 1=2，x 2=6，当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去； 当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.故答案为：17．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为_____． 【答案】x （x ﹣12）＝864．【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解析】解：∵长为x 步，宽比长少12步，∴宽为（x ﹣12）步．依题意，得：x （x ﹣12）＝864．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．用配方法求一元二次方程()()23616x x +-＝的实数根．【答案】1x 2x ． 【分析】首先把方程化为一般形式为2x 2-9x-34=0，然后变形为29x x 172﹣＝，然后利用配方法解方程． 【解析】原方程化为一般形式为22x 9x 340﹣﹣＝，29x x 172﹣＝，298181x x 1721616-++，29353x 416-（＝，9x 4-±＝，所以12x ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．16．已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根12,x x ． （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值．。
2019-2020年度新人教版九年级数学上册：用一元二次方程解决几何图形问题同步练习及答案-精品试题
第3课时用一元二次方程解决几何图形问题要点感知面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与_____的内在联系，根据_____公式列出一元二次方程.预习练习1-1 (襄阳中考)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形.设长方形的长为x cm，则可列方程为( )A.x(20+x)=64B.x(20-x)=64C.x(40+x)=64D.x(40-x)=641-2 (兰州中考)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为_____.知识点1 一般图形的问题1.(白银中考)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )A.x(5+x)=6B.x(5-x)=6C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=62.有一个面积为16 cm2的梯形，它的一条底边长为3 cm，另一条底边长比它的高线长1 cm，若设这条底边长为x cm，依据题意，列出方程整理后得( )A.x2+2x-35=0B.x2+2x-70=0C.x2-2x-35=0D.x2-2x+70=03.(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是_____m.4.一个直角三角形的两条直角边相差5 cm,面积是7 cm2,这两条直角边长分别为_____5.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.知识点2 边框与甬道问题6.如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽.如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( )A.(20-x)(32-x)=540B.(20-x)(32-x)=100C.(20+x)(32-x)=540D.(20-x)(32+x)=5407.如图所示,某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB垂直,另一条与AB平行,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144平方米,求甬路的宽度.8.如图，某单位准备在图书馆直角墙角处搭建一个面积为450平方米的矩形堆物场，其中两边可以利用图书馆的墙角，并利用已有总长60米的铁围栏，并且中间要用铁围栏分隔为两块，求AB的长度.设AB的长为x米，则可列方程为_____.9.如图所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪，已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147 m2，则休闲广场的边长是_____m.10.在高度为2.8 m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户.现用9.5 m长的铝合金条制成如图所示的窗框.问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3 m2(铝合金条的宽度忽略不计)？11.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2？12.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120 m，下底长180 m，高80 m，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道宽度相等，设甬道的宽为x m.(1)用含x的式子表示甬道的面积；(2)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 m.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数为5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么甬道宽度为多少米时，所建花坛费用为239万元？挑战自我13.已知如图所示，在△ABC中，∠B=90°.AB=5 cm,BC=7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2?说明理由.参考答案要点感知已知量，面积(体积)预习练习1-1 B1-2 (22-x)(17-x)=300.1.B2.A3.12.4.2 cm、7 cm.5.设AB=x m，则BC=(50-2x)m.根据题意,得x(50-2x)=300.解得x1=10，x2=15.当x=10，BC=50-2×10=30＞25，故x1=10不合题意,舍去.∴x=15.答：可以围成AB为15 m，BC为20 m的矩形.6.A7.设甬路的宽度为x 米.依题意,得(40-2x)(26-x)=144×6.解得x 1=2,x 2=44(不合题意,舍去).答:甬路的宽度为2米.8.x(60-2x)=450. 9.710.设窗户的高为x m ，则窗户的宽为35.025.9--x =3-32x(m)，则根据题意列方程为：x(3-32x)=3， 解得x 1=1.5，x 2=3(不合题意，舍去). 所以窗户的高为1.5 m ，宽为3-32×1.5=2 m. 11.设矩形温室的宽为x m ，则长为2x m.根据题意，得(x-2)·(2x-4)=288.解得x 1=-10(不合题意，舍去)，x 2=14.所以x=14，2x=2×14=28.答：当矩形温室的长为28 m ，宽为14 m 时，蔬菜种植区域的面积是288 m 2.12.(1)-2x 2+310x.(2)根据题意，得0.02×［2120180+×80-(-2x 2+310x)]+5.7x=239. 整理，得2x 2-25x+50=0,即(x-10)(2x-5)=0.解得x 1=10,x 2=25. ∵x=10>6(舍去).∴x=25. 答：此时甬道的宽度为25 m. 挑战自我13.(1)设x 秒后，△PBQ 的面积等于4 cm 2.根据题意得x(5-x)=4.解得x 1=1，x 2=4. ∵当x=4时，2x=8>7，不合题意，舍去.∴x=1.(2)设x 秒后，PQ=5，则(5-x)2+(2x)2=25.解得x 1=0(舍去)，x 2=2.∴x=2.(3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2. 根据题意，得x(5-x)=7.此方程无解. 所以不能.。
一元二次方程计算题及答案
一元二次方程计算题及答案一、基础概念一元二次方程是数学中常见的一种方程类型，一般形式如下：ax2+bx+c=0其中a、b、c是常数，x是未知数。
在解决一元二次方程时，我们通常使用求根公式：$$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$通过这个公式，我们可以求得一元二次方程的根。
二、计算题及答案1. 计算题 1求解方程：3x2+4x−2=0答案：根据公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，代入a=3,b=4,c=−2：$$x = \\frac{-4 \\pm \\sqrt{4^2 - 4\\cdot3\\cdot(-2)}}{2\\cdot3}$$$$x = \\frac{-4 \\pm \\sqrt{16 + 24}}{6}$$$$x = \\frac{-4 \\pm \\sqrt{40}}{6}$$$$x = \\frac{-4 \\pm 2\\sqrt{10}}{6}$$所以方程3x2+4x−2=0的根为：$$x = \\frac{-4 + 2\\sqrt{10}}{6}$$或$$x = \\frac{-4 - 2\\sqrt{10}}{6}$$2. 计算题 2求解方程：2x2−5x+2=0答案：根据公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，代入a=2,b=−5,c= 2：$$x = \\frac{5 \\pm \\sqrt{(-5)^2 - 4\\cdot2\\cdot2}}{2\\cdot2}$$$$x = \\frac{5 \\pm \\sqrt{25 - 16}}{4}$$$$x = \\frac{5 \\pm \\sqrt{9}}{4}$$$$x = \\frac{5 \\pm 3}{4}$$所以方程2x2−5x+2=0的根为：$$x = \\frac{5 + 3}{4} = \\frac{8}{4} = 2$$或$$x = \\frac{5 - 3}{4} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}$$三、总结通过以上两道题目的解答，我们了解了如何使用求根公式求解一元二次方程的根。
人教版(五四制)2019-2020九年级数学上册28.2二次函数与一元二次方程培优练习题3(含答案)
人教版（五四制）2019-2020九年级数学上册28.2二次函数与一元二次方程培优练习题3（含答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将二次函数y ＝x 2－1的图象M 沿x 轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N ．若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点，则M 与N 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为（ ）A ．17B ．25C ．16D ．322．定义[a ，b ，c]为函数y=ax 2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为[m ﹣1，1+m ，﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）；②当m ＞1时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3；③当m ＜0时，函数在x ＞时，y 随x 的增大而减小；④不论m 取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+的图象如图所示，则满足2ax bx c mx n ++>+的取值范围是 A ．30x -<< B ．3x <-或0x > C ．3x <-或1x > D ．03x <<4．抛物线2y x 6x 9=-+与坐标轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．如图，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，点()0,1D ，点P是抛物线上的动点，若PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则tan CDP ∠的值为（ ）．A B 11C D ．11 6．二次函数与x 轴的交点坐标是（ ）A ．（3，0）（-1，0）B ．（-3，0）（1，0）C ．（0，3）（0，-1）D ．（0，-3）（0，1）7．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y =x 2+5x +6，则原抛物线的解析式是（ ）A ．y =﹣（x ﹣52）2﹣114 B ．y =﹣（x +52）2﹣114 C ．y =﹣（x ﹣52）2﹣14 D ．y =﹣（x +52）2+148．已知经过原点的抛物线与轴的另一个交点为，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与轴交于，与原抛物线交于点，设的面积为，则用表示=__________ 9．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是 ． 10．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的最大值为___11．河北省赵县的赵州桥的拱桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO 为4m 时，这时水面宽度AB 为_____.12．二次函数y=x 2－2x －3与x 轴交点交于A 、B 两点，交 y 轴于点C ，则△OAC 的面积为____13．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x轴的一个交点坐标为(－1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①24ac b <；② 方程20ax bx c ++=的两个根是121,3x x =-=；③30a c +>；④当0y >时， x 的取值范围是13x -≤<；⑤ 当0x <时， y 随x 增大而增大；其中结论正确有____.14．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB 为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3，求这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长.15．关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为__________.16．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．17．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系式；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E的坐标．18．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．(1)求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）(2)点Q（8，m）在抛物线y＝x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB 的最小值；(3)CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．19．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD=m，△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．20．（本题满分8分）已知抛物线．（其中m是常数）（1）求证：不论m取何值，该抛物线与轴一定有两个不同的交点；（2）不论m取何值，抛物线都经过一个定点，则这个定点的坐标为．21．抛物线y=x2+bx+2顶点A在x轴正半轴，交y轴于点C，点B是OA中点．（1）如图1，求直线BC的解析式；（2）如图2，将抛物线y=x2+bx+2向下平移k个单位（k＞0），平移后的抛物线与直线BC交于点M、N，若S△MON=6S△BON，求k的值；（3）如图3,将抛物线y=x2+bx+2再进行适当平移,使平移后的抛物线的顶点D的坐标为（3，﹣1），抛物线的对称轴上有一点E，点E到x轴的距离为2（点E在x轴的上方），以点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求P点的坐标，并求出PQ的最小值．参考答案1．B【解析】分析：本题考察二次函数的平移和翻折，还考察了两条抛物线的交点的求法，根据题意解出即可.解析：经过翻折和平移后，得到的抛物线为()229y x =--+ ，解()221{29y x y x =-=--+ 得，121231{,{80x x y y ==-== ，∴图象M 与图象N 的交点坐标为（3，8），（-1，0），所以M 与N 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25.故选B. 2．D 【解析】试题分析：①抛物线的顶点坐标为（，），当m=3时，特征数为[2,4-6]，可求得顶点坐标为（-1，-8），所以①正确。
一元二次方程与化简求值专题练习(解析版)
一元二次方程与化简求值专题练习一、选择题1、m是方程x2-2x-3=0的一个根，则代数式m-12m2+4=（）．A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3答案：C解答：把m代入方程x2-2x-3=0，得到m2-2m-3=0，∴m2-2m=3，∴代数式m-12m2+4=-12（m2-2m）+4=2.5；选C．2、已知a是方程x2+x-1=0的根，a3-a2-3a+1的值是（）．A. 0B. 1C. -1D. -2答案：C解答：由题意a2+a-1=0，∴a2=-a+1，∴原式=a（-a+1）-a2-3a+1=-2（a2+a）+1=-1．3、已知a2-5=2a，代数式（a-2）2+2（a+1）的值为（）．A. -11B. -1C. 1D. 11答案：D解答：原式=a2-4a+4+2a+2=a2-2a+6．∵a2-5=2a，∴a2-2a=5，∴原式=11．4、已知23x x-x2=2+x，则代数式2x2+2x的值是（）A. 2B. -6C. 2或-6D. -2或6答案：A解答：设x2+x=a，（a≥-14），则原方程可化为3a-a-2=0，去分母得，-a2-2a+3=0，解得a=1或a=-3（舍去）∴2x2+2x=2a=2．5、若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx +5=0（a ≠0）的解是x =1，则2013-a -b 的值是（ ）．A. 2018B. 2008C. 2014D. 2012答案：A解答：∵x =1是一元二次方程ax 2+bx +5=0的一个根， ∴a ·12+b ·1+5=0， ∴a +b =-5，∴2013-a -b =2013-（a +b ）=2013-（-5）=2018． 选A ．6、已知a 2-5a +2=0，则分式424a a +的值为（ ）．A. 21B.121 C. 7D.521答案：A解答：∵a 2-5a +2=0， ∴a -5+2a=0， 故a +2a =5， ∴（a +2a）2=25，∴a 2++4=25， ∴442244a a a a ++=a 2+24a=21． 二、填空题7、已知a 、b 是一元二次方程x 2-x -1=0的两个根，则代数式3a 2+2b 2-3a -2b 的值等于______． 答案：5 解答：根据题意 得a 2-a =1，b 2-b =1， ∴3a 2+2b 2-3a -2b =3a 2-3a +2b 2-2b =3（a 2-a ）+2（b 2-b ） =3+2=5．8、设m 是方程x 2-3x +1=0的一个实数根，则4221m m m ++=______． 答案：8解答：由题得m 2-3m +1=0，∴m +1m=3， ∴原式=m 2+21m +1=（m +1m）2-2+1=8．9、已知a 是方程x 2-1315x +1=0的某个根，则a 2-1314a +213151a +=______． 答案：1314解答：a 是方程x 2-1315x +1=0的根， 有a 2-1314a =a -1，有a 2+1=1315a ， 又a ≠0，∴a -1315+1a =0， ∴原式=a -1+1a=1314．故答案为：1314． 10、计算：（1）已知a 是方程x 2+x -1=0的根，则a 3-a 2-3a +1的值为______． （2）已知a 是方程x 2-2x +1=0的根，则a 3+31a 的值为______． 答案：（1）-1 （2）2解答：（1）由题意：a 2+a -1=0，∴a 2=-a +1， ∴原式=a （-a +1）-a 2-3a +1=-2（a 2+a ）+1=-1． （2）由题意：a 2-2a +1=0，∴a +1a=2 ∴a 2+21a=（a +1a ）2-2=2∴a 3+31a =（a +1a ）（a 2-1+21a）=2．11、若（x 2+y 2）2-5（x 2+y 2）-6=0，则x 2+y 2=______． 答案：6解答：（x2+y2）2-5（x2+y2）-6=0（x2+y2+1）（x2+y2-6）=0，x2+y2=-1（舍去）x2+y2=6．12、已知a是方程x2-3x-2=0的根，则a3-2a2-5a+4=______．答案：6解答：∵a是x2-3x-2=0的根，∴a2-3a-2=0，a3-2a2-5a+4=a（a2-2a-5）+4=a（a2-3a+a-5）+4=a（-3+a）+4=a2-3a+4=2+4=6．13、已知a是x2-x-1=0的一个根，则a3-2a2+2019的值是______．答案：2018解答：∵a为x2-x-1=0的一根，∴a2-a-1=0，∴a2=1+a，∴a3-2a2+2019=a2·a-2a2+2019=（1+a）a-2（a+1）+2019=a+a2+2a-2+2019=a2-a+2019=1+2017=2018．故答案为：2018．14、已知x为实数，且23x x-（x2+x）=2，则x2+x的值为______．答案：1解答：设x2+x=y（y≥-14），则原方程变为3y-y=2，方程两边都乘y得：3-y2=2y，整理得：y2+2y-3=0，（y-1）（y+3）=0，∴y=1或y=-3（舍去）．三、解答题15、已知：x2-5x=6，请你求出代数式10x-2x2+5的值．答案：-7．解答：10x-2x2+5=2（5x-x2）+5．∵x2-5x=6，∴原式=2×（-6）+5=-7．16、已知x2-4x-1=0，求代数式（2x-3）2-（x+1）（x-1）的值．答案：13．解答：（2x-3）2-（x+1）（x-1）=4x2-12x+9-（x2-1）=4x2-12x+9-x2+1=3x2-12x+10．∵x2-4x-1=0，即x2-4x=1．∴原式=3（x2-4x）+10=3+10=13．17、已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根，求代数式（m2-m）（m-2m+1）的值．答案：4．解答：∵m是方程x2-x-2=0的一个实数根，∴m2-m-2=0，∴m2-m=2，m2-2=m，∴原式=（m2-m）（22mm+1）=2×（mm+1）=2×2=4．18、已知x 2+x -5=0，求代数式（x -1）2-x （x -3）+（x +2）（x -2）的值． 答案：2．解答：原式=x 2-2x +1-x 2+3x +x 2-4 =x 2+x -3． ∵x 2+x -5=0， ∴x 2+x =5． ∴原式=5-3=2．19、已知a 是一元二次方程x 2-2x -1=0的根，求a 3-5a +7的值． 答案：9．解答：∵a 是一元二次方程x 2-2x -1=0的根， ∴a 2-2a -1=0， ∴a 2=2a +1，∴a 3-5a +7=a （2a +1）-5a +7=2a 2-4a +7=2（a 2-2a ）+7=9． 20、解答题． （1）已知a 是方程x 2-3x +1=0的根，求2543282521a a a a a -+-+的值．（2）已知m 是一元二次方程x 2-2005x +1=0的根，求代数式m 2-2004m +220051m +的值． 答案：（1）-1． （2）2004．解答：（1）由a 2+1=3a 知，原式=()()232222321511a a a a a a +-+-+=2a 3-5a 2-233a a=2a 3-5a 2-a =2a （3a -1）-5a 2-a =a 2-3a =-1．（2）∵m 是一元二次方程x 2-2005x +1=0的根， ∴m 2-2005m +1=0， ∴m 2+1=2005m ，∴m 2-2004m +220051m + =m 2-2005m +m +20052005m=-1+m +1m=-1+21m m+=2004．21、（1）已知a 是一元二次方程x 2-2x -1=0的根，求下列各式的值：①a -1a ． ②a 2+21a．③a 2-3a +232a -+5． （2）已知a 是方程x 2-3x +1=0的根，求2543282521a a a a a-+-+的值．答案：（1）①2．②6．③5． （2）-1．解答：（1）①由a 2-2a -1=0知，a ≠0， 故a -2-1a=0， 即a -1a=2． ②a 2+21a=（a -1a ）2+2=6．③由于a 2=2a +1，代入所求得，原式=2a +1-3a +2132a +-+5=5． （2）由a 2+1=3a 知，原式=()()232222321511a a a a a a+-+-+=2a3-5a2-233aa=2a3-5a2-a=2a（3a-1）-5a2-a=a2-3a=-1．。
2019-2020届初三 中考复习 一元二次方程 简答题与计算题 专项练习
一元二次方程简答题与计算题专项练习一、简答题1、已知a，b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，求ab﹣a2+3a+b的值．2、已知关于x的方程x2+x+n=0（1）若方程有两个不相等的实数根，求n 的取值范围（2）若方程的两个实数根分别为﹣2，m，求m，n的值．3、一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0.（8分）(1)若方程有两实数根，求m的取值范围；(2)设方程两实根为x1，x2，且＝1，求m.4、试证明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．5、已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0．求：（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程；（2）当k为何值时，原方程是一元一次方程，并求出此时方程的解．6、若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值是多少？7、关于的方程是否一定是一元二次方程？请证明你的结论.8、已知关于x的一元二次方程（k－1）x2＋（2k－3）x＋k＋1＝0有两个不相等实数根x1和x2，. （1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.9、已知关于的一元二次方程有两个实数根和．（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值．（友情提示：若，是一元二次方程两根，则有，）10、已知x是一元二次方程的实数根，求代数式：的值．11、若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b＝4ab，例如，2※6＝4×2×6＝48。
（1）求3※5的值；（2）求x※x＋2※x－2※4＝0时，x的值；（3）不论x是什么数，总有a※x＝x，求a的值。
12、已知是方程的一个根，求的值.13、已知x是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，求△=b²-4ac与M=(2ax0+b)2的大小关系．14、已知关于x的方程（1）当a为何值时，方程是一元一次方程；（2）当a为何值时，方程是一元二次方程；（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值．15、已知a,b是一元二次方程x2－x－1=0的两个根,求代数式3a2+2b2－3a－2b的值．16、已知：关于x的方程.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.17、设a、b是方程的两实数根，求的值.18、用配方法证明：关于x的方程(m2－4m＋5)x2－3mx－1＝0，无论m取何值，此方程都是一元二次方程．19、已知关于x的方程．(1)当m为何值时，该方程是一元二次方程?(2)当m为何值时，该方程是一元一次方程?20、已知x=1是一元二次方程ax2+bx－40=0的一个解，且a≠b，求的值．21、若x=1是方程mx2＋3x＋n=0的根，求(m－n)2＋4mn的值。
2019-2020学年度初中数学八年级下册27.3 一元二次方程与实际问题人教五四学制版课后练习五十
2019-2020学年度初中数学八年级下册27.3 一元二次方程与实际问题人教五四学制版课后练习五十第1题【单选题】某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为700吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程( )A、500（1+2x）=700B、500（1+x^2）=700C、500（1+x）^2=700D、700（1+x^2）=500【答案】：【解析】：第2题【单选题】已知直角三角形的两条边长分别是方程x^2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是( )A、6或8B、10或2有误C、10或8D、2有误【答案】：【解析】：第3题【单选题】某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )A、560(1＋x)^2＝315B、560(1－x)^2＝315C、560(1－2x)^2＝315D、560(1－x^2)＝315【答案】：【解析】：第4题【单选题】某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是( )A、19%B、21%C、20%D、22%【答案】：【解析】：第5题【单选题】某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有36场比赛，则参加的队数为( )A、8支B、9支C、10支D、11支【答案】：【解析】：第6题【单选题】某方便面厂10月份生产方便面100吨，这样1至10月份生产量恰好完成全年的生产任务，为了满足市场需要，计划到年底再生产231吨方便面，这样就超额全年生产任务的21%，则11、12月的月平均增长率为( )A、10%B、31%C、13%D、11%【答案】：【解析】：第7题【单选题】某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，若每月比上月增长的百分率相同，则这两个月的营业额增长的百分率是( )A、10%B、15%C、18%D、20%【答案】：【解析】：第8题【单选题】在一次同学聚会上，同学之间每两人都握了一次手，聚会所有人共握手45次，则参加这次聚会的同学共有( )A、11人B、10人C、9人D、8人【答案】：【解析】：第9题【单选题】奉节特产专卖店销售2015年良种夏季脐橙，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种脐橙要想平均每天获利2240元，为减少库存，每千克脐橙应降价多少元？( )A、4元B、6元C、4元或6元D、5元【答案】：【解析】：第10题【填空题】某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程为______【答案】：【解析】：第11题【解答题】如图，用一根长为22cm的铁丝分段围成一个面积为10cm^2的“田”字形的长方形铁丝框．设宽为x，请列出关于x的方程并化成一般形式．【答案】：【解析】：第12题【解答题】（教材变式题）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm^2 ，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．【答案】：【解析】：第13题【解答题】某汽车生产企业产量和效益逐年增加．据统计，2009年某种品牌汽车的年产量为6．4万辆，到2011年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2009年开始五年内保持不变，求该品牌汽车年平均增长率和2012年的年产量．【答案】：【解析】：第14题【综合题】如图，要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长25米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的长为40米，若要围成的养鸡场的面积为180平方米，求养鸡场的宽各为多少米，设与墙平行的一边长为x米．填空：（用含x的代数式表示）另一边长为______米；列出方程，并求出问题的解．【答案】：【解析】：第15题【综合题】近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．【答案】：无【解析】：。
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2019-2020年一元二次方程练习题及答案
班级 姓名 学号
一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
每题3分,共24分)： 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0
23
2057
x +-=
2下列方程中,常数项为零的是( )
A.x 2+x=1
B.2x 2-x-12=12；
C.2(x 2-1)=3(x-1)
D.2(x 2+1)=x+2 3.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )
A. 2
3162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2
312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 2
31416x ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对
4.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）
A 、1
B 、1-
C 、1或1-
D 、
1
2
5.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角
形的周长为( )
A.11
B.17
C.17或19
D.19
6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A 、、3 C 、6 D 、9
7.使分式2561
x x x --+ 的值等于零的x 是( )
A.6
B.-1或6
C.-1
D.-6
8.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( )
A.k>-74
B.k ≥-74 且k ≠0
C.k ≥-74
D.k>7
4
且k ≠0
9.已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ） （A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2
（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积比两根和大2
10.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )
A.200(1+x)2=1000
B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000
D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题:(每小题4分,共20分)
11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.
12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________. 13.22____)(_____3-=+-x x x
14.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 15.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= ______, b=______. 16.一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于____. 17.已知
x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.
18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.
19.已知x x 12，是方程x x 2
210--=的两个根，则1112x x +
等于__________.
20.关于x 的二次方程20x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值可以是
m = ，n = . 三、用适当方法解方程：（每小题5分，共10分）
21.22(3)5x x -+=
22.230x ++=
四、列方程解应用题：（每小题7分，共21分）
23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.
24.如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），
把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m 2，道路应为多宽？
25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
26.解答题（本题9分）
已知关于x 的方程222(2)40x m x m +-++=两根的平方和比两根的积大21，求m 的值
《一元二次方程》复习测试题参考答案 一、选择题：
1、B
2、D
3、C
4、B
5、D
6、B
7、A
8、B
9、C 10、D 二、填空题：
11、提公因式 12、-23或1 13、94 ，3
2 14、b=a+c 15、1 ，-2
16、3 17、-6 ，3+2 18、x 2-7x+12=0或x 2+7x+12=0 19、-2
20、2 ，1（答案不唯一，只要符合题意即可） 三、用适当方法解方程：
21、解：9-6x+x 2+x 2=5 22、解：)2=0
x 2
(x-1)(x-2)=0 x 1=x 2 x 1=1 x 2=2 四、列方程解应用题：
23、解：设每年降低x ，则有 (1-x)2=1-36% (1-x)2=0.64 1-x=±0.8 x=1±0.8
x 1=0.2 x 2=1.8（舍去） 答：每年降低20%。
24、解：设道路宽为xm (32-2x)(20-x)=570 640-32x-40x+2x 2=570 x 2-36x+35=0 (x-1)(x-35)=0
x 1=1 x 2=35（舍去） 答：道路应宽1m
25、⑴解：设每件衬衫应降价x 元。
(40-x)(20+2x)=1200 800+80x-20x-2x 2-1200=0 x 2-30x+200=0 (x-10)(x-20)=0 x 1=10(舍去) x 2=20
⑵解：设每件衬衫降价x 元时，则所得赢利为 (40-x)(20+2x) =-2 x 2+60x+800
=-2(x 2-30x+225)+1250 =-2(x-15)2+1250
所以，每件衬衫降价15元时，商场赢利最多，为1250元。
26、解答题：
解：设此方程的两根分别为X 1,X 2，则 (X 12+X 22)- X 1X 2=21 (X 1+X 2)2-3 X 1X 2 =21 [-2(m-2)]2-3(m 2+4)=21 m 2-16m-17=0 m 1=-1 m 2=17
因为△≥0，所以m≤0，所以m＝-1。