导数专题(二)(题+答案)

x2＋1 2
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1) －1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
－3
－1
所以当 x＝－1 时，函数有极小值，且 f(x)极小值＝－3； 当 x＝1 时，函数有极大值，且 f(x)极大值＝－1. 22.已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线 y＝f(x)在点 P(1，f(1))处的切线方程为 y＝3x
1＋2a＋b＝0.
解得 a＝1，b＝－3.
(2)由(1)得 f(x)＝1x3＋x2－3x. 3
f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．
由 f′(x)>0，得 x>1 或 x<－3；由 f′(x)<0，得－3<x<1.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)． 19.已知函数 f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x，讨论 f(x)的单调性．
18.已知函数 f(x)＝1x3＋ax2＋bx，且 f′(－1)＝－4，f′(1)＝0. 3
(1)求 a 和 b 的值；
(2)试确定函数 f(x)的单调区间．
解：(1)∵f(x)＝1x3＋ax2＋bx， 3
∴f′(x)＝x2＋2ax＋b，
f′ －1 ＝－4， 1－2a＋b＝－4，
由
得
f′ 1 ＝0，
3
当 x 变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
2
2
x
－3 (－3，－2)
－2
－2，
3
3
2
，1
1
3
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
极大值
极小值
4
2
95 ∴f(x)的极大值为 f(－2)＝13，极小值为 f 3 ＝ ，
27
又 f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为 13. 23.设函数 f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知 x＝－2 和 x＝1 为 f(x)的极值点．
x
54 解析：f′(x)＝2x＋ .令 f′(x)＝0，知 x＝－3.
x2
当 x<－3 时，f′(x)<0；
当－3<x<0 时，f′(x)>0.
所以当 x＝－3 时，f(x)取得极小值，也是最小值，
所以 f(x)min＝27. 答案：27 16.函数 f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为________． 解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)． 令 f′(x)＝0，得 x＝1(e－x＞0)，
x
A．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数
C．f(x)在(0，＋∞)上是减函数
D．f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数
1 解析：选 C 因为 f′(x)＝－ －1<0，所以 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，选 C.
x2
3．若函数 y＝x3＋x2＋mx＋1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是( )
因为 x＝－2 和 x＝1 是 f(x)的极值点，
所以 f′(－2)＝f′(1)＝0，
－6a＋2b＝0， 即
3＋3a＋2b＝0，
1
a＝－ ，
解方程组得
3
b＝－1.
1 (2)因为 a＝－ ，b＝－1，
3
所以 f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝－2，x2＝0，x3＝1. 因为当 x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0；
D．是减函数
1 2x2－1
解析：选 A f′(x)＝2－ ＝
，
x2
x2
2 令 f′(x)＝0，得 x＝－ .
2
2
2
2
当 x<－ 时，f′(x)>0，当－ <x<0 时，f′(x)<0，∴x＝－ 是函数 f(x)的极大值
2
2
2
点，也是最大值点． 13.函数 y＝2x3－3x2－12x＋5 在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )
1
4
∴f(1)＝ ＞0，f(0)＝0，f(4)＝ ＞0，
e
e4
所以 f(x)的最小值为 0.
答案：0 17.若函数 f(x)＝x3－3x－a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为 m，n，则 m－n＝
________.
解析：∵f′(x)＝3x2－3，
∴当 x＞1 或 x＜－1 时，f′(x)＞0；
A．a＝1，b＝1
B．a＝1，b∈R
C．a＝－3，b＝3 解析：选 D f′(x)＝3x2＋a.
D．a＝－3，b∈R
∵f(x)在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
∴f′(1)＝3＋a＝0，∴a＝－3，b∈R.
3 6．函数 f(x)＝cos x＋ x 的单调递增区间是________．
＋1.
(1)求 a，b 的值；
(2)求 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
解：(1)依题意可知点 P(1，f(1))为切点，代入切线方程 y＝3x＋1 可得，f(1)＝3×1
＋1＝4，
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即 a＋b＝－2，
又由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5 得，
又 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
3
3
3
3
3
x＝ 时，f(x)取得极小值．从而 f(x)的极小值点为 x＝ ，无极大值点，选 B.
3
3
10.已知函数 y＝f(x)，其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则 y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在 x＝0 处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在 x＝2 处取极大值
1 ，＋∞
A. 3
1
－∞，
B.
3
1 ，＋∞
C. 3
1
－∞，
D.
3
解析：选 C ∵y′＝3x2＋2x＋m，由条件知 y′≥0 在 R 上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，
1 ∴m≥ .
3
4．如图为函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，那么函数 y＝f(x)的图象可能为( )
解析：选 A 由导函数 y＝f′(x)的图象，可知当－1<x<3 时，f′(x)<0，所以 y＝f(x)
在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减．
9.函数 f(x)＝3x2－ln x 的极值点为( ) 2
A．0,1，－1
3 B.
3
3 C．－
3
3
3
D. ，－
3
3
1 3x2－1
解析：选 B 由已知，得 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－ ＝
，令 f′
xx
3 x＝－
3 舍去
3
3
(x)＝0，得 x＝
3
.当 x> 时，f′(x)>0；当 0<x< 时，f′(x)<0.所以当
答案：(－∞，0) 8.已知函数 y＝x－ln(1＋x2)，则函数 y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是( )
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
解析：选 D
∵y′＝1－
1
·(1＋x2)′＝1－ 2x ＝
x－1
2
≥0，∴函数 y＝x－ln(1
1＋x2
1＋x2 1＋x2
＋x2)无极值.
解析：选 C 由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，即 x∈(0,2)
∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此 f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋
∞)上为减函数，所以 x＝0 取得极大值，x＝2 取得极小值，x＝4 取得极大值，因此选 C. 11.若函数 f(x)＝2x3－3x2＋a 的极大值为 6，则 a 的值是( )
1 0， 所以 f(x)在 a 上单调递增，
1
，＋∞
在a
上单调递减．
20.设函数 f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知 x＝－2 和 x＝1 为 f(x)的极值点．
(1)求 a 和 b 的值；
(2)讨论 f(x)的单调性． 解：(1)f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx ＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1－2ax＋(2－a)＝－ 2x＋1
ax－1 .
x
x
①若 a≤0，则 f′(x)>0，
所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②若 a>0，
1 则由 f′(x)＝0 得 x＝ ，
a
1 0， 且当 x∈ a 时，f′(x)>0，
1
，＋∞
当 x∈ a
时，f′(x)<0，
当－1＜x＜1 时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n. 又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m， ∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
A．0
B．1
C．5 解析：选 D ∵f(x)＝2x3－3x2＋a， ∴f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，
D．6
令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝1，
经判断易知极大值为 f(0)＝a＝6，
12.设函数 f(x)＝2x＋1－1(x<0)，则 f(x)( ) x
A．有最大值
B．有最小值
C．是增函数
在(－1,3)上单调递减；当 x>3 或 x<－1 时，f′(x)>0，所以 y＝f(x)在(－∞，－1)和(3，
＋∞)上单调递增．综上，函数 y＝f(x)的图象的大致形状如 A 中图所示，所以选 A.
5．函数 f(x)＝x3＋ax＋b 在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则( )
导数专题（二） 1．函数 f(x)＝xln x 的单调递增区间是( )
A．(0,1)
B．(1，＋∞)
1 0， C. e
1 ，＋∞
D. e
1
1
，＋∞
解析：选 D 由 f′(x)＝ln x＋1>0，可得 x> ，∴函数的单调递增区间为 e
.
e
1 2．已知函数 f(x)＝ －x，则 f(x)在(0，＋∞)上的单调性为( )
解方程组得
3
b＝－1.
1 (2)因为 a＝－ ，b＝－1，
3
所以 f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝－2，x2＝0，x3＝1. 因为当 x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0；
当 x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以 f(x)在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增；
当 x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以 f(x)在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增；
在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减．
2x 21.求函数 f(x)＝ －2 的极值．
x2＋1
解：函数 f(x)的定义域为 R.
2 x2＋1 －4x2 2 x－1 x＋1
f′(x)＝
＝－
.
x2＋1 2
2
解析：因为 f′(x)＝－sin x＋3＞0，所以 f(x)在 R 上为增函数． 2
答案：(－∞，＋∞)
7．若函数 y＝1ax3－1ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则 a∈________. 32
解析：y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，
∵当 x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.
A．12，－8
B．1，－8
C．12，－15 解析：选 A y′＝6x2－6x－12，
D．5，－16
由 y′＝0⇒x＝－1 或 x＝2(舍去)．
x＝－2 时，y＝1；x＝－1 时，
y＝12；x＝1 时，y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选 A. ln x
14.函数 y＝ 的最大值为( ) x
而由切线 y＝3x＋1 的斜率可知 f′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即 2a＋b＝0，
a＋b＝－2，
a＝2，
由
解得
2a＋b＝0.
b＝－4，
∴a＝2，b＝－4. (2)由(1)知 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
2 令 f′(x)＝0，得 x＝ 或 x＝－2.
(1)求 a 和 b 的值；
(2)讨论 f(x)的单调性． 解：(1)f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx ＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
因为 x＝－2 和 x＝1 是 f(x)的极值点，
所以 f′(－2)＝f′(1)＝0，
－6a＋2b＝0， 即
3＋3a＋2b＝0，
1
a＝－ ，
A．e－1 C．e2
B．Baidu Nhomakorabea D．10
ln x ′x－ln x 1－ln x
解析：选 A 令 y′＝
＝
＝0⇒x＝e.当 x＞e 时，y′＜0；当
x2
x2
0＜x＜e 时，y′＞0，所以 y 极大值＝f(e)＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以 ymax＝e－1. 15.函数 f(x)＝x2－54(x<0)的最小值是________．