正数和负数

特别提醒：在表示具有相反意义的量时，如果某个量经两次或多次 变化后又回到了最初状态，就可以用“0”来表示总变化量；或者说这个 量的最终变化量是“零”．
对于初一的学生来说，零的内涵极其丰富，因此需要特别关注，在 以后讨论有理数的相反数、绝对值、有理数的运算时，需要提醒学生重 视零的一些性质，并关注零在这些概念或运算中所“扮演的角色”．
再如，若游泳池的水位比正常水位高5cm，则可以将这时游泳池的 水位记作＋5cm；若游泳池的水位比正常的水位低3cm，则可以将这时 游泳池的水位记作－3cm；若游泳池的水位正好处于正常水位的位置， 则将其水位记作0cm．
例2 周一证券交易市场开盘时，某支股票的开盘价为18.18元，收盘 时下跌了2.11元；周二到周五开盘时的价格与前一天收盘价相比的涨跌 情况及当天的收盘价与开盘价的涨跌情况如下表： 单位：元
际问题，以丰富学生的生活阅历．同时也充分说明数学本身就是生活的
一部分，要尽可能地调动学生的积极性，把我们所学的数学用到实际生
活中去．
例4
春季某河流的河水因春雨先上涨了15cm，随后又下降了
15cm．请你用合适的方法来表示这条河流河水的变化情况．
思路分析：从上面的叙述可见河水的水位是先上涨了，随后又下降
四、思考问题
培养良好的阅读习惯和提高阅读能力，是数学教学过程中需要引起 重视的一个重要方面．教学中，我们发现学生绝对不会做的题目很少， 但由于没有把问题看懂而造成的不会做的题目却相对较多．一旦老师帮 助学生把问题弄明白是怎么一回事之后，学生往往都会说“这题其实不 难”，“我也会做，只是没有认真读题罢了”．
于是“收入5000元”可以记作“5000元”，也可以记作“＋5000元”，同 时“支出5000元”就可以记作“－5000元”了．这样具有相反意义的两个数 量就有了不同的表达方式．
利用正数与负数可以准确地表达或记录诸如上升与下降、收入与支 出、海平面以上与海平面以下、零上与零下等一些“具有相反意义的 量”．再如，某个机器零件的实际尺寸比设计尺寸大0.5 mm就可以表示 成“0.5mm”，或“＋0.5mm”；如果“另一个机器零件的实际尺寸比设计尺 寸小0.5 mm”，那么就可以表示成“－0.5 mm”了．在一次足球比赛中， 如果甲队赢了乙队2个球，那么可以把甲队的净胜球数记作“＋2”，把乙 队的净胜球数记作“－2”．
借助实际例子能够让学生较好地理解为什么要引入负数，认识到负 数是为了有效表达与实际生活相关的一些数量而引入的一种新数，而不
是人为地“硬造”出来的一种“新数”．
三、巩固练习Leabharlann Baidu
例1 博然的父母6月共收入4800元，可以将这笔收入记作＋4800 元；由于天气炎热，博然家用其中的1600元钱买了一台空调，又该怎样 记录这笔支出呢？
1.32=14.93元；周四的该股票的收盘价为14.93+0.78－0.67=15.04元；周 五该股票的收盘价为15.04＋2.12－0.65=16.51元．
例3 甲、乙、丙三支球队以主客场的形式进行双循环比赛，每两队 之间都比赛两场，下表是这三支球队的比赛成绩，其中左栏表示主队， 上行表示客队，比分中前后两数分别是主客队的进球数，例如3∶2表示 主队进3球客队进2球．
甲
乙
丙
甲
——
3∶2
2∶2
乙
2∶3
——
3∶1
丙
3∶1
0∶1
——
试计算甲、乙、丙三个队各自的总净胜球数．
思路分析：由表中数据可知：甲队主场以3∶2赢乙队，甲队有1个 净胜球；甲队客场又以3∶2赢乙队，又增加了1个净胜球．甲队与乙队 的两场比赛中甲队净胜球的总数为2．
甲队与丙队的两场球，甲主场以2∶2与丙队握手言和，甲队净胜球 数为0；甲客场以1∶3负给了丙队，这场球甲队的净胜球数为－2．甲队 与丙队的两场比赛中甲队净胜球数为－2．
思路分析：“收入”与“支出”是一对“具有相反意义的量”，可以用正 数或负数来表示．一般来说，把“收入4800元” 记作＋4800元，而把与之 具有相反意义的量“支出1600元”记作－1600元．
特别提醒：通常具有“增加、上升、零上、海平面以上、盈余、上 涨、超出”等意义的数量，都用正数来表示；而与之相对的、具有“减 少、下降、零下、海平面以下、亏损、下跌、不足”等意义的数量则用 负数来表示．
正无理数 正整数 正有理数数数 非负有理数数 非负实数 实数 复数 正分数
零 虚数单位i，i2=1
负数 自然数(包括零)
整数 有理数 实数 复数 有理数列 负整数 倒数 x2=－1的根i 图1 图2
二、课题研究
在实际生活中，存在着诸如上升5m，下降5m；收入5000元，支出 5000元等各种具体的数量．这些数量不仅与5、5000等数量有关，而且 还含有上升与下降、收入与支出等实际的意义．显然上升5m与下降 5m，收入5000元与支出5000元的实际意义是不同的．
了，水位最终又回到了原来的位置．也就是说“最终水位的改变量是 零”，或者说“水位的总变化量是零”．
与最初的水位相比先上涨的15cm，可以记作“＋15cm”，而随后又 下降了15cm，可以记作“－15cm”，这样水位又回到了原来最初的位 置， “水位的总变化量是零”，即这个变化量为“（＋15cm ）＋（－ 15cm ）= 0cm”．
我们把所学过的大于零的数，都称为正数；而且还可以在正数的前 面添加一个“＋”号，比如在5的前面添加一个“＋”号就成了“＋5”，把 “＋5”称为一个正数，读作“正5”．
在正数的前面添加一个“－”号，比如在5的前面添加一个“－”号， 就成了“－5”，所有按这种形式构成的数统称为负数．“－5”读作“负 5”，“－5000”读作“负5000”．
总之，甲队与乙队两场比赛的净胜球数为2，与丙队的两场比赛净 胜球数为－2；这样甲队总净胜球数为零．
相信同学们根据上面的分析，自己也能说出“乙队总净胜球数为1， 丙队总净胜球数为－1”．老师可以让学生来试试说说看．
特别提醒：股票的涨跌、球赛的胜负都是当今日常生活中经常遇到
的实际问题，作为当代中学生应该主动去接触或了解一些与之相关的实
怎样才能在尽可能短的时间内让学生有效获取题目呈现给我们的信 息，做高效的阅读者？这是需要教师认真考虑的问题。教师对阅读习惯 的培养和阅读能力的提高应该投入充足时间，而且一定要持之以恒．
教科书是学生学习时最重要的学习材料，但是很多学生却把教科书 放到一边，到处去购买一些价值并不高的参考资料，不认真去挖掘教科 书蕴含的丰富营养．这些做法或倾向也是需要教师有意识地去调整的， 如果教师能从一开始就引导学生有意识地、自觉地养成阅读教科书的好 习惯，养成认真阅读数学问题的好习惯，那么学生理解能力的提高、学 习能力的提升都会受益非浅．
日期
周二
周三
周四
周五
开盘
＋0.16
+0.25
+0.78
+2.12
收盘
－0.23
－1.32
－0.67
－ 0.65
当日收盘 价
试在表中填写周二到周五该股票的收盘价． 思路分析：以周二为例，表中数据“＋0.16”所表示的实际意义是“周 二该股票的开盘价比周一的收盘价高出了0.16元”；而表中数据“－ 0.23”则表示“周二该股票收盘时的收盘价比当天的开盘价降低了0.23 元”． 因此，这五天该股票的开盘价与收盘价分别应该按如下的方式进行 计算： 周一该股票的收盘价是18.18－2.11=16.07元；周二该股票的收盘价 为16.07+0.16－0.23=16.00元；周三该股票的收盘价为16.00+0.25－
为了准确表达诸如此类的一些具有相反意义的量，仅用小学学过的 正整数、正分数、零，是不够的．如果把收入5000元记作5000元，那么 支出5000元显然是不可以也同样记作5000元的．收入与支出是“意义相 反”的两回事，是不能用同一个数来表达的．因此，为了准确表达支出 5000元，就有必要引入了一种新数—负数．
1.1 正数和负数
一、课题引入
为了让学生更好地理解正数与负数的概念，作为教师有必要了解数 系的发展．从数系的发展历程来看，微积分的基础是实数理论，实数的 基础是有理数，而有理数的基础则是自然数．自然数为数学结构提供了 坚实的基础．
对于“数的发展”（也即“数的扩充”），有着两种不同的认知体系． 一是数的自然扩充过程，如图1所示，即数系发展的自然的、历史的体 系，它反映了人类对数的认识的历史发展进程；另一是数的逻辑扩充过 程，如图2所示，即数系发展所经历的理论的、逻辑的体系，它是策墨 罗、冯·诺伊曼、皮亚诺、高斯等数学家构造的一种逻辑体系，其中综 合反映了现代数学中许多思想方法．