中考数学易错题精选-平行四边形练习题及答案

PH 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质知，
，
，
，则由
得到
；
（2）由
，可得
，又由
，即可求得 的长，然后在
中，利用勾股定理即可求得 的长，再过点 作
于 ，由角平分线的性
质，可得 【详解】
，易证得四边形
是矩形，继而可求得答案.
（1） 四边形
为矩形，
，
，
又
，
；
2
2
△ AEF≌ △ BEC，得∠ AFE=∠ BCE=60°.又∠ D=60°，得∠ AFE
=∠ D=60 度.所以 FC∥ BD，又因为∠ BAD=∠ ABC=60°，所以 AD∥ BC，即 FD//BC，则四边形
BCFD 是平行四边形.
（2）在 Rt△ ABC 中，求出 BC，AC 即可解决问题；
（2）解：在 Rt△ ABC 中，∵ ∠ BAC=30°，AB=6，∴ BC=AF=3，AC= 3 3 ，∴ S 平行四边形
BCFD=3× 3
3=9
3
，S△
ACF=
1 2
×3× 3
3 = 9 3 ，S = 平行四边形 ADBC 27 3 ．
2
2
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直
由（1）知∠ APB=∠ BPH， 又∵ ∠ A=∠ BQP=90°，BP=BP， 在△ ABP 和△ QBP 中，
APB BPH {A BQP 90 ， BP BP
∴ △ ABP≌ △ QBP（AAS）， ∴ AP=QP，AB=BQ， 又∵ AB=BC， ∴ BC=BQ． 又∠ C=∠ BQH=90°，BH=BH， 在△ BCH 和△ BQH 中，
1 AC，计算可得结论． 2
【详解】 证明：（1）如图 1，过 E 作 EH⊥CF 于 H，
∵ AD⊥BC， ∴ EH∥ AD， ∴ ∠ CEH＝∠ CAD，∠ HEF＝∠ G， ∵ CE＝EF， ∴ ∠ CEH＝∠ HEF， ∴ ∠ CAD＝∠ G， ∴ AE＝EG； （2）如图 2，连接 GC，
CE EF GCE F ， CG BF
∴ △ BEF≌ △ GEC（SAS）， ∴ BE＝EG； （3）如图 3，连接 DM，取 AC 的中点 N，连接 DN，
由（1）得 AE＝EG， ∴ ∠ GAE＝∠ AGE， 在 Rt△ ACD 中，N 为 AC 的中点，
∴ DN＝ 1 AC＝AN，∠ DAN＝∠ ADN， 2
∵ PE=BE， ∴ ∠ EBP=∠ EPB． 又∵ ∠ EPH=∠ EBC=90°， ∴ ∠ EPH-∠ EPB=∠ EBC-∠ EBP． 即∠ PBC=∠ BPH． 又∵ AD∥ BC， ∴ ∠ APB=∠ PBC． ∴ ∠ APB=∠ BPH． （2）证明：如图 2，过 B 作 BQ⊥PH，垂足为 Q．
（1）求证：四边形 BCFD 为平行四边形；（2）若 AB=6，求平行四边形 ADBC 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）S 平行四边形 ADBC= 27 3 ． 2
【解析】 【分析】
（1）在 Rt△ ABC 中，E 为 AB 的中点，则 CE= 1 AB，BE= 1 AB，得到∠ BCE=∠ EBC=60°.由
2．如图，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合），将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H， 折痕为 EF，连接 BP、BH．
（1）求证：∠ APB=∠ BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，求证：△ PDH 的周长是定值； （3）当 BE+CF 的长取最小值时，求 AP 的长． 【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2． 【解析】 试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠ PBC=∠ BPH，进而利用平行线的性质得出 ∠ APB=∠ PBC 即可得出答案； （2）首先证明△ ABP≌ △ QBP，进而得出△ BCH≌ △ BQH，即可得出 PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8； （3）过 F 作 FM⊥AB，垂足为 M，则 FM=BC=AB，证明△ EFM≌ △ BPA，设 AP=x，利用折 叠的性质和勾股定理的知识用 x 表示出 BE 和 CF，结合二次函数的性质求出最值． 试题解析：（1）解：如图 1，
【详解】
解：（1）证明：在△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ CAB=30°，∴ ∠ ABC=60°，在等边△ ABD 中， ∠ BAD=60°，∴ ∠ BAD=∠ ABC=60°，∵ E 为 AB 的中点，∴ AE=BE，又∵ ∠ AEF=∠ BEC，
∴ △ AEF≌ △ BEC，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，E 为 AB 的中点，∴ CE= 1 AB，BE= 1 AB，
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） 5 2
【解析】 【分析】 （1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：∠ CAD＝∠ G，可得 AE＝EG； （2）作辅助线，证明△ BEF≌ △ GEC（SAS），可得结论； （3）如图 3，作辅助线，构建平行线，证明四边形 DMEN 是平行四边形，得 EM＝DN＝
BC BQ {C BQH 90 ， BH BH
∴ △ BCH≌ △ BQH（SAS），
∴ CH=QH． ∴ △ PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8． ∴ △ PDH 的周长是定值． （3）解：如图 3，过 F 作 FM⊥AB，垂足为 M，则 FM=BC=AB．
2
2
∴ CE=AE，∴ ∠ EAC=∠ ECA=30°，∴ ∠ BCE=∠ EBC=60°，又∵ △ AEF≌ △ BEC，
∴ ∠ AFE=∠ BCE=60°，又∵ ∠ D=60°，∴ ∠ AFE=∠ D=60°，∴ FC∥ BD，又
∵ ∠ BAD=∠ ABC=60°，∴ AD∥ BC，即 FD∥ BC，∴ 四边形 BCFD 是平行四边形；
（2）
，
，
，
，
在
中，
，
过点 作
于，
，
，
，
，
，
，
、 、 共线，
，
四边形
是矩形，
，
. 【点睛】 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾 股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作
法，注意数形结合思想的应用.
4．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ CAB=30°，以线段 AB 为边向外作等边△ ABD，点 E 是线段 AB 的中点，连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F．
∵ AC＝BC，AD⊥BC， ∴ BD＝CD， ∴ AG 是 BC 的垂直平分线， ∴ GC＝GB， ∴ ∠ GBF＝∠ BCG， ∵ BG＝BF， ∴ GC＝BE， ∵ CE＝EF， ∴ ∠ CEF＝180°﹣2∠ F， ∵ BG＝BF， ∴ ∠ GBF＝180°﹣2∠ F， ∴ ∠ GBF＝∠ CEF， ∴ ∠ CEF＝∠ BCG， ∵ ∠ BCE＝∠ CEF+∠ F，∠ BCE＝∠ BCG+∠ GCE， ∴ ∠ GCE＝∠ F， 在△ BEF 和△ GCE 中，
1 如图1，求证：四边形 ADCF 是矩形； 2 如图 2 ，当 AB AC 时，取 AB 的中点 G ，连接 DG 、 EG ，在不添加任何辅助线
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知，在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，动点 M 从点 A 出发沿边 AD 向点 D 运动．
（1）如图 1，当 b=2a，点 M 运动到边 AD 的中点时，请证明∠ BMC=90°； （2）如图 2，当 b＞2a 时，点 M 在运动的过程中，是否存在∠ BMC=90°，若存在，请给与 证明；若不存在，请说明理由； （3）如图 3，当 b＜2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）存在，理由见解析; （3）不成立．理由如下见解析. 【解析】 试题分析：（1）由 b=2a，点 M 是 AD 的中点，可得 AB=AM=MD=DC=a，又由四边形 ABCD 是矩形，即可求得∠ AMB=∠ DMC=45°，则可求得∠ BMC=90°； （2）由∠ BMC=90°，易证得△ ABM∽ △ DMC，设 AM=x，根据相似三角形的对应边成比 例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由 b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△ ＞0，即可确定方程有 两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意； （3）由（2），当 b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程 x2﹣bx+a2=0 的根的情况，即可求得答 案． 试题解析：（1）∵ b=2a，点 M 是 AD 的中点， ∴ AB=AM=MD=DC=a， 又∵ 在矩形 ABCD 中，∠ A=∠ D=90°， ∴ ∠ AMB=∠ DMC=45°， ∴ ∠ BMC=90°． （2）存在， 理由：若∠ BMC=90°， 则∠ AMB+∠ DMC=90°， 又∵ ∠ AMB+∠ ABM=90°， ∴ ∠ ABM=∠ DMC， 又∵ ∠ A=∠ D=90°， ∴ △ ABM∽ △ DMC， ∴ AM AB ，
角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考
题型.
5．如图 1，在△ ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于 D，分别延长 AC 至 E，BC 至 F，且 CE＝EF，
延长 FE 交 AD 的延长线于 G． （1）求证：AE＝EG； （2）如图 2，分别连接 BG，BE，若 BG＝BF，求证：BE＝EG； （3）如图 3，取 GF 的中点 M，若 AB＝5，求 EM 的长．
在 Rt△ APE 中，（4-BE）2+x2=BE2．
解得 BE=2+ x2 ， 8
∴ CF=BE-EM=2+ x2 -x， 8
∴ BE+CF= x2 -x+4= 1 （x-2）2+3．
4
4
当 x=2 时，BE+CF 取最小值，
∴ AP=2．
考点：几何变换综合题．
3．如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到到 B′的位置，AB′与 CD 交于点 E. （1）求证：△ AED≌ △ CEB′ （2）若 AB = 8，DE = 3，点 P 为线段 AC 上任意一点，PG⊥AE 于 G，PH⊥BC 于 H.求 PG +
CD DM
设 AM=x，则 x a ， a bx
整理得：x2﹣bx+a2=0， ∵ b＞2a，a＞0，b＞0， ∴ △ =b2﹣4a2＞0， ∴ 方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意， ∴ 当 b＞2a 时，存在∠ BMC=90°， （3）不成立． 理由：若∠ BMC=90°， 由（2）可知 x2﹣bx+a2=0， ∵ b＜2a，a＞0，b＞0， ∴ △ =b2﹣4a2＜0， ∴ 方程没有实数根， ∴ 当 b＜2a 时，不存在∠ BMC=90°，即（2）中的结论不成立． 考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质
又∵ EF 为折痕， ∴ EF⊥BP．
∴ ∠ EFM+∠ MEF=∠ ABP+∠ BEF=90°，
∴ ∠ EFM=∠ ABP．
又∵ ∠ A=∠ EMF=90°， 在△ EFM 和△ BPA 中，
EFM ABP
{EMF A ，
FM AB
∴ △ EFM≌ △ BPA（AAS）． ∴ EM=AP．
设 AP=x
【点睛】 本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性 质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助 线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．
6．在 ABC 中， AD BC 于点 D ，点 E 为 AC 边的中点，过点 A 作 AF / / BC ，交 DE 的延长线于点 F ，连接 CF ．
∴ ∠ ADN＝∠ AGE， ∴ DN∥ GF， 在 Rt△ GDF 中，M 是 FG 的中点，
∴ DM＝ 1 FG＝GM，∠ GDM＝∠ AGE， 2
∴ ∠ GDM＝∠ DAN， ∴ DM∥ AE， ∴ 四边形 DMEN 是平行四边形，
∴ EM＝DN＝ 1 AC， 2
∵ AC＝AB＝5，
∴ EM＝ 5wenku.baidu.com． 2