山东省青岛市西海岸新区(黄岛区)2019-2020学年高三4月模拟考试数学试题 Word版含答案
山东省青岛市2019-2020学年高考数学五模试卷含解析
山东省青岛市2019-2020学年高考数学五模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．54【答案】C【解析】【分析】 由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.2．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)2【答案】A【解析】【分析】 首先根据()f x 为R 上的减函数，列出不等式组，求得112a ≤<，所以当a 最小时，12a =，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.【详解】由于()f x 为R 上的减函数，则有()1001714a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪≤-+⎩，可得112a ≤<， 所以当a 最小时，12a =， 函数()4y f x kx =--恰有两个零点等价于方程()4f x kx =+有两个实根，等价于函数()y f x =与4y kx =+的图像有两个交点．画出函数()f x 的简图如下，而函数4y kx =+恒过定点()0,4，数形结合可得k 的取值范围为102k -<<． 故选：A.【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.3．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：d P﹣BC，因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.4．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B【解析】【分析】 分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.5．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象的对称轴得出b 范围，y 轴截距，求出a 的范围，判断()g x 在区间端点函数值正负，即可求出结论.【详解】∵2()f x x bx a =-+，结合函数的图象可知， 二次函数的对称轴为2b x =，0(0)1<=<f a ， 1122<=<b x ，∵()2'=-f x x b ， 所以()ln ()ln 2'=+=+-g x a x f x a x x b 在(0,)+∞上单调递增. 又因为11ln 10,(1)ln12022⎛⎫=+-<=+-> ⎪⎝⎭g a b g a b ， 所以函数()g x 的零点所在的区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选:B.【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.6．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ）A ．40B ．60C ．80D ．100 【答案】D【解析】【分析】由正态分布的性质，根据题意，得到(110)(60)P X P X ≥=≤，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()285,N σ， 则正态分布曲线的对称轴为85x =，根据正态分布曲线的对称性，求得(110)(60)0.50.30.2P X P X ≥=≤=-=，所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为5000.2100⨯=人，故选:D .【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.7．记集合(){}22,16A x y x y =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( )A ．14πB ．1πC ．12πD ．24ππ- 【答案】C【解析】【分析】据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求M 落在区域2Ω内的概率，只要求A 、B 所表示区域的面积，然后代入概率公式21P Ω=Ω区域的面积区域的面积，计算即可得答案． 【详解】根据题意可得集合22{(,)|16}A x y x y =+…所表示的区域即为如图所表示：的圆及内部的平面区域，面积为16π，集合{(,)|40B x y x y =+-…，0x …，0}y …表示的平面区域即为图中的Rt AOB ∆，14482AOB S ∆=⨯⨯=， 根据几何概率的计算公式可得81162P ππ==， 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．8．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+【答案】A【解析】【分析】根据换底公式可得ln 3ln10b =，再化简,,a b a b ab +-，比较ln 3,ln101,ln101-+的大小，即得答案. 【详解】 10ln 3lg3log 3ln10b ===Q ，()()ln 3ln101ln 3ln101ln 3ln 3ln 3,ln 3ln10ln10ln10ln10a b a b +-∴+=+=-=-=， ln 3ln 3ln10ab ⨯=. ln 30,ln100>>Q ，显然a b a b +>-.()310,ln 3ln10e e <∴<Q ,即ln 31ln10,ln 3ln101+<∴<-，()ln 3ln101ln 3ln 3ln10ln10-⨯∴<，即ab a b <-. 综上，a b a b ab +>->.故选：A .【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.9．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%【答案】D【解析】【分析】 根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确；对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确；对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，；对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误故选：D.【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.10．已知,a r b r 是平面内互不相等的两个非零向量,且1,a a b =-r r r 与b r 的夹角为150o ,则b r 的取值范围是（ ）A ．B ．[1,3]C ．D ．[3,2]【答案】C【解析】 试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==u u u r u u u r r r 则AC DB a b ==-u u u r u u u r r r ，因为a b -r r 与b r 的夹角为150o ，即150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒，设DBA θ∠=，则0150θ<<︒，在三角形ABD 中，由正弦定理得sin 30sin b a θ=︒r r ，所以sin 2sin sin 30a b θθ=⨯=︒r r ，所以02b <≤r ，故选C ．考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．11．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，位于第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113B ．4C ．133D ．5【答案】B【解析】【分析】 还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可.【详解】如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体12121242222422222423232=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷及解析
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,若B A ⊆,则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论,分别求出a 的范围,即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,B A ⊆, 若B 为空集,则方程1ax =无解,解得0a =； 若B 不为空集,则0a ≠；由1ax =解得1x a=,所以11a =-或12a =,解得1a =-或12a =,综上,由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选D2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位）,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D分析：变形1iz i =-+,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+, 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-,1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-,位于第四象限,故选D.3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数,图象关于y 轴对称,排除D ；根据()0,1x ∈时,()0f x <,排除,A C ,从而得到正确选项. 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠,且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数,关于y 轴对称,排除D ；当()0,1x ∈时,220x x -+>,ln 0x <,可知()0f x <,排除,A C . 本题正确选项：B4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少,可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
2020届山东省青岛市高三4月统一质量检测(一模)数学试题(解析版)
2020届山东省青岛市高三4月统一质量检测（一模）数学试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数12iz i-=，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i - B ．1C ．iD ．1-【答案】B【解析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出． 【详解】 解：12(12)2i i i z i i i i---===---g ，则z 的共轭复数2z i =-+的虚部为1． 故选：B ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合2{|log 2}A x R x =∈<，集合{}|12B x R x =∈-<，则A B =I （ ） A ．(0,3) B ．(1,3)- C ．(0,4) D ．(,3)-∞【答案】A【解析】先求出集合A ，集合B ，由此能求出A B I ． 【详解】解：Q 集合2{|log 2}{|04}A x R x x x =∈<=<<， 集合{||1|2}{|13}B x R x x x =∈-<=-<<， {|03}(0,3)A B x x ∴=<<=I ．故选：A ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 3．已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ（单位：元）服从正态分布2(2000,100)N ，则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为（ ）附：随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P u μσξσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=．A ．0.9759B ．0.84C ．0.8185D ．0.4772【答案】C【解析】由已知可得2000μ=，100σ=，然后结合σ与2σ原则求解． 【详解】解：ξQ 服从正态分布(2000N ，2100)， 2000μ∴=，100σ=，则[]1(19002200)()(22)()2P P P P ξμσξμσμσξμσμσξμσ<<=-<<++-<<+--<<+10.6826(0.95440.6826)0.81852=+-=．故选：C ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的运用、σ与2σ原则的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．设0.22a =，sin 2b =，2log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】A【解析】把它们和0，1比较，可得出结果． 【详解】解：0.221a =>，0sin21b <=<，2log 0.20c =<， 则a b c >>， 故选：A ． 【点睛】本题考查指数，对数比较大小，属于基础题．5．已知函数39,0(),0x x x f x xe x ⎧-≥=⎨<⎩（ 2.718e =为自然对数的底数），若()f x 的零点为α，极值点为β，则αβ+=（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】令()0f x =可求得其零点，即α的值，再利用导数可求得其极值点，即β的值，从而可得答案． 【详解】解：39,0(),0x x x f x xe x ⎧-=⎨<⎩Q …，Q 当0x …时，()0f x =，即390x -=，解得2x =；当0x <时，()0x f x xe =<恒成立，()f x ∴的零点为2α=．又当0x …时，()39x f x =-为增函数，故在[0，)+∞上无极值点； 当0x <时，()xf x xe =，()(1)x f x x e '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>，1x ∴=-时，()f x 取到极小值，即()f x 的极值点1β=-，211αβ∴+=-=．故选：C ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．6．已知四棱锥P ABCD -的所有棱长均相等，点E ，F 分别在线段PA ，PC 上，且//EF 底面ABCD ，则异面直线EF 与PB 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解析】连接AC ，BD ，设AC BD O =I ，由线面平行的性质定理推得//EF AC ，运用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PBD ，再由线面垂直的性质定理和平行线的性质，即可得到所求角． 【详解】解：连接AC ，BD ，设AC BD O =I ，则EF ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面ABCD AC =， 由//EF 底面ABCD ，可得//EF AC ， 由四边形ABCD 为菱形，可得AC BD ⊥，由O 为AC 的中点，PA PC =，可得PO AC ⊥， 又BD OP O =I ，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ， 可得AC ⊥平面PBD ， 又PB ⊂平面PBD ， 则AC PB ⊥，又//EF AC ，可得EF PB ⊥，即异面直线EF 与PB 所成角的大小为90︒． 故选：D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查线面平行的性质定理和线面垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．7．在同一直角坐标系下，已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>2，双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π单位后得到曲线D ，点A ，B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上，则线段AB 长度的最小值为（ ） A ．2 B 3C 2D ．1【答案】D【解析】显然双曲线是等轴双曲线，结合焦点到渐近线的距离求出系数a ，b ．再画出曲线D 的图象和双曲线的图象，观察图象可得解． 【详解】2，所以该双曲线是等轴双曲线，可设C 方程为22221(0)y x a a a-=>所以2c a =，故焦点为(0,2)a ，渐近线y x =±，取2)a 到0x y -=的距离为2222211a =+，解得2ab ==．所以双曲线方程为22144-=y x ．函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D 的方程为：sin[2()]sin(2)cos2362y x x x πππ=-+=-=-．同一坐标系做出曲线C 、D 的图象：由图可知，当B 点为cos2x y =-与y 轴的交点(0,1)-，A 点为双曲线的下顶点(0,2)-时，||AB 最小为1．故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线方程的求法和三角函数的图象变换．同时考查了利用数形结合解决问题的能力．属于中档题．8．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ） A ．112125B ．80125C ．113125D ．124125【答案】A【解析】利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率． 【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率： 3223441112()()()555125P C =+=．故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．二、多选题9．已知向量(1,1)a b +=r r，(3,1)a b -=-r r ，(1,1)c =r ，设,a b r r 的夹角为θ，则（ ）A ．||||a b =r rB ．a c ⊥r rC ．//b c r rD ．135θ=︒【答案】BD【解析】根据题意，求出,a b r r的坐标，据此分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，(1,1)a b +=r r，(3,1)a b -=-r r ，则(1,1)a =-r ，(2,0)b =r ，依次分析选项：对于A ，a r ||=||2b =r ，则||||a b =r r不成立，A 错误；对于B ，(1,1)a =-r ，(1,1)c =r ，则0a c =r rg ，即a c ⊥r r ，B 正确； 对于C ，(2,0)b =r ，(1,1)c =r ，//b c r r不成立，C 错误；对于D ，(1,1)a =-r ，(2,0)b =r ，则2a b =-r r g ，a r ||=||2b =r ，则cosθ=，则135θ=︒，D 正确； 故选：BD ． 【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．10．已知函数22()sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ） A ．2()2f x -≤≤B ．()f x 在区间(0,)π上只有1个零点C ．()f x 的最小正周期为πD ．3x π=为()f x 图象的一条对称轴【答案】ACD【解析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：已知函数22()sin cos cos 2cos22sin(2)6f x x x x x x x x π=+-=-=-，x ∈R ，则A 、2()2f x -剟正确， B 、当26x k ππ-=，k Z ∈，即212k x ππ=+，k Z ∈，()f x 在区间(0,)π上只有2个零点，则()f x 在区间(0,)π上只有1个零点错误，C 、()f x 的最小正周期为π，正确D 、当3x π=时，函数()2sin(2)6f x x π=-，x ∈R ，2sin 22336f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以3x π=为()f x 图象的一条对称轴，正确．故选：ACD ． 【点睛】本题考查二倍角公式和三角函数的性质，属于中档题．11．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <【答案】BCD【解析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得n a ，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，则12nn a +=，即21n n a =-，又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形，其中22AB =，112A B =，1112AA BB CC ===，则下述正确的是（ ）．A 3B ．11AA CC ⊥C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π【答案】AD【解析】根据棱台的性质，补全为四棱锥，根据题中所给的性质，进行判断． 【详解】 解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥， 由于22AB =112A B =11SA B 与SAB ∆相似比为1:2；则124SA AA ==，2AO =，则23SO =则13OO =3A 对； 因为4SA SC AC ===，则1AA 与1CC 夹角为60︒，不垂直，B 错；该四棱台的表面积为221484412672S S S S =++=++⨯=+侧上底下底，C 错；由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在1OO 上，在平面11B BOO 上中，由于13OO =，111B O =，则12OB OB ==，即点O 到点B 与点1B 的距离相等，则2r OB ==，该四棱台外接球的表面积为16π，D 对，故选：AD ．【点睛】本题考查立体几何中垂直，表面积，外接球的问题，属于难题．三、填空题13．若(0,)x ∈+∞，14x x a -+≥恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】(],4-∞【解析】直接根据基本不等式求解最值即可求得结论． 【详解】解：因为(0,)x ∀∈+∞，11144244x x x x x x -+=+=g …，当且仅当14x x =，即12x =时取等号，又(0,)x ∈+∞，14x x a -+≥恒成立；4a ∴„；故答案为：(],4-∞． 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题． 14．已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()01f =，则()2f =__________．【答案】1-【解析】根据题意，分析可得函数()f x 的图象关于点(1,0)对称，据此可得()()20f f =-，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数(1)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(1,0)对称， 则有()(2)f x f x =--，又由(0)1f =，则()()201f f =-=-； 故答案为：1-． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意分析()f x 的对称性，属于基础题．15．已知a ∈N ，二项式61a x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中含有2x 项的系数不大于240，记a 的取值集合为A ，则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有__________个． 【答案】18【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，根据题意求得r 的值，可得A ，再利用排列组合的知识求出结果． 【详解】 解：二项式61()a x x++展开式的通项公式为6216(1)rr r r T C a x -+=+g g ， 令622r -=，求得2r =，可得展开式中含有2x 项的系数为2226(1)15(1)C a a +=+g ．再根据含有2x 项的系数不大于240，可得215(1)240a +…，求得4141a ---剟． 再根据a N ∈，可得0a =，1，2，3，即{0A =，1，2，3 }，则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共123333218A A =⨯⨯=g ， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，排列组合的应用，属于中档题．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为__________；（2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =__________．【答案】3125【解析】（1）设出公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程求解即可； （2）设出方程，分别表示出圆心到直线的距离121d k +，221d k =+，321d k=+，结合弦长公式求得k ，m 即可【详解】解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为(4,0)-，(4,0)，设公切线方程为(0)y kx m k =+≠且k 存在，则22421421k mk k m k -+=++=+，解得33k =±，0m =，故公切线方程为3y x =，则Q 到直线l 的距离33d =， 故l 截圆Q 的弦长223323()32=-=； （2）设方程为(0)y kx m k =+≠且k 存在，则三个圆心到该直线的距离分别为： 121d k +221d k +，321d k +，则22221234(4)4(4)4(9)d d d d =-=-=-， 即有2222((11k k =++，①22224(9()11k k -=-++，②解①得0m =，代入②得2421k =， 则2416144214(4)425121d ⨯=-=+，即125d =，故答案为：3；125． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，公切线方程，方程思想，数形结合思想，属于中档题．四、解答题17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．已知112a b =，26S =，312S =，243T =，*n ∈N ． （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数k ，使得6k S k <且139k T >？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2n a n =；113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）存在4k =满足题意．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，在等差数列{}n a 中，由已知求解公差d ，进一步求得首项，可得等差数列的通项公式；由112a b =求得1b ，结合已知求得2b ，可得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求； （2）由（1）知，1()(1)2k k k a a S k k +==+，由6k S k <解得k 范围，再由131132239k k T -=->⨯，解得k 范围，即可判断出结论． 【详解】解：（1）设数列{}n a 的为d ，在数列{}n a 中，3236S S a -== 又因为2123321236S a a a d a d d =+=-+-=-=，所以2d = 从而1322a a d =-=，所以2(1)22n a n n =+-⨯= 由112a b =得：111b T == 因为22141133b T T =-=-=，设数列{}n b 的公比为q 所以2113b q b ==，所以1111133n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）知：()1(1)2k k k a a S k k +==+所以(1)6k S k k k =+<，整理得250k k -<，解得05k <<又因为111131313112322313k k kk T -⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⨯⎝⎭- 所以131132239k k T -=->⨯，即11139k -<，解得3k > 所以4k = 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，22222()(1tan )b b c a A =+--．（1）求角C ；（2）若c =D 为BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度． 条件①：ABC V 的面积4S =且B A >；条件②：cos B =． 【答案】（1）34C π=；（2）选择条件②，AD = 【解析】（1）22222()(1tan )b b c a A =+--．利用余弦定理可得；222cos (1tan )b bc A A =-g ．化为(cos sin )b c A A =-，再利用正弦定理、和差公式即可得出．（2）选择条件②，cos 5B =，可得sin 5B =．利用诱导公式可得sin sin()A BC =+，由正弦定理可得：sin sin c Aa C=．在ABD ∆中，由余弦定理可得AD ． 【详解】解：（1）在ABC V 中，由余弦定理知：2222cos b c a bc A +-=， 所以222cos (1tan )b bc A A =-，所以(cos sin )b c A A =- 又由正弦定理知：sin sin b Bc C=，得sin sin (cos sin )B C A A =- 所以sin()sin (cos sin )A C C A A +=-即：sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C C A C A +=-所以sin cos sin sin A C C A =-因为sin 0A ≠，所以cos sin C C =-，所以tan 1=-C 又因为0C π<<，所以34C π=（2）选择条件②：25cos 5B =因为25cos B =，所以5sin B = 因为10sin sin()sin cos sin cos A B C B C C B =+=+=由正弦定理知：sin sin c aC A=，所以sin 22sin c A a C == 在ABD △中，由余弦定理知：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅ 解得：26AD =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．在如图所示的四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，BCE V 为边长为2的等边三角形，AB AE =，点F ，O 分别为AB ，BE 的中点，OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线．（1）证明：平面ABE ⊥平面BCE ；（2）记OCDE 的重心为G ，求直线AG 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2105 【解析】（1）O 为BE 的中点，利用等边三角形的性质可得OC BE ⊥，根据OF 是异面直线AB 与OC 的公垂线，可得OC OF ⊥．可得OC ⊥平面ABE ．进而得出：平面ABE ⊥平面BCE ．（2）根据F ，O 为中点，可得//OF AE ，又OF 是异面直线AB 与OC 的公垂线，可得OF AB ⊥，AE AB ⊥可得：OA ⊥平面BCE ．建立如图所示的空间直角坐标系．设平面ABCD 的一个法向量为(),,n x y z =r ，可得0n BA n BC ==r u u u r r u u u r g g ，由C ，E ，D的坐标可得CED ∆的重心G ．设直线AG 与平面ABCD 所成角为θ，则sin |cos AG θ=<u u u r ，|||||||n AG n n AG >=r u u u r r g r u u u r g ． 【详解】解：（1）证明：因为O 为BE 的中点，所以在等边BCE V 中，OC BE ⊥ 又因为OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线，所以OC OF ⊥又因为OF BE O ⋂=，OF BE ⊂、平面ABE ，所以OC ⊥平面ABE 因为OC ⊂平面BCE ，所以平面ABE ⊥平面BCE（2）因为F 、O 为中点，所以//OF AE ，又因为OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线， 所以OF AB ⊥，AE AB ⊥，所以ABE △为等腰直角三角形 连接AO ，2AB AE ==，1OA =因为OA BE ⊥，OA ⊂平面ABE ，平面ABE ⊥平面BCE 且平面ABE I 平面BCE BE =所以OA ⊥平面BCE因此，以O 为原点，分别以OE 、OC 、OA 所在的直线为x 、y 、z 轴建系如图所示：则(0,0,1)A ，(1,0,0)B -，3,0)C ，(1,0,0)E 因为四边形ABCD 为平行四边形，设()000,,D x y z因为BC AD =u u u r u u u r，所以()000(13,0),,1x y z =-所以3,1)D设面ABCD 的一个法向量为(,,)n x y z =r(1,0,1)BA =u u u r ，3,0)BC =u u u r由00030x z n BA n BC x ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩u u u v v u u u v v 令1y =-，则3x =3z =(3,1,3)n =-r因为C ，(1,0,0)E，D ，所以CDE △的重心为G的坐标为21,333⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,333AG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u ur设直线AG 与平面ABCD 所成角为θ，则sin |cos ,|||||AGAG AG n n n θ⋅=<>===⋅u u u ru u ur r u r r u r u 【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形与等腰直角三角形的性质、法向量的应用、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱｡（1）已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表：求成交额y （百亿元）与时间变量x （记2015年为1x =，2016年为2x =，……依次类推）的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）；（2）在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台．上分别参加A 、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A 、两店订单“秒杀”成功的概率分别为p 、q ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X ．（i ）求X 的分布列及()E X ；（ii ）已知每个订单由*2,()k k k ≥∈N 件商品W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ，假设27sin 4k p k k ππ=-，sin4k q kπ=，求()E Y 取最大值时正整数k 的值．附：回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211())ˆ()nni iiii i nniii i x ynx yx x yy bxnx x x ====-⋅--==--∑∑∑∑，ˆa y bx=-． 【答案】（1）ˆ 4.5 3.7y x =+；30.7百亿元；（2）（i ）分布列详见解析，()E X p q =+；（ii ）3．【解析】（1）计算x 、y ，求出系数b$和a ，写出线性回归方程，利用方程计算6x =时$y 的值即可；（2）()i 由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；()ii 根据题意求出()E Y 的解析式，利用换元法和求导法计算()E Y 取最大值时正整数k的值． 【详解】解：（1）由已知可得：1234535x ++++==，91217212717.25y ++++==5119212317421527303i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑522222211234555ii x==++++=∑所以515222153035317.245ˆ 4.55553105i ii ii x yx ybxx ==-⋅-⨯⨯====-⨯-∑∑所以ˆ17.2 4.53 3.7a y bx=-=-⨯= 所以ˆˆ 4.5 3.7ybx a x =+=+ 当6x =时， 4.56 3.730.7y =⨯+=（百亿元）所以估计2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7（百亿元） （2）（ⅰ）由题知，X 的可能取值为：0，1，2(0)(1)(1)P X p q ==-- (1)(1)(1)P X p q q p ==-+-(2)P X pq ==所以X 的分布列为：()0(1)(1)(2)2E X p q p q pq pq p q =⨯--++-+=+（ⅱ）因为Y kX =所以27sin sin ()()()2sin 44k k E Y kE X k p q k kk k k k πππππ⎛⎫ ⎪==+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭令110,2t k ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，设()2sin f t t t ππ=-，则()()E Y f t = 因为1()2cos 2cos 2f t t t πππππ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭，且0,2t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以，当10,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f t '>，所以()f t 在区间10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当11,32t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f t '<，所以()f t 在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 所以，当13t =即3k =时，1()33f t f π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（百亿元） 所以()E Y 取最大值时k 的值为3 【点睛】本题主要考查了概率与随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，属于中档题．21．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，2F 点又恰为抛物线2:4D y x =的焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与D 相交于A ，B 两点，记点A ，B 到直线1x =-的距离分别为1d ，2d ，12||AB d d =+．直线l 与C 相交于E ，F 两点，记OAB V ，OEF V 的面积分别为1S ，2S ．（ⅰ）证明：1EFF △的周长为定值；（ⅱ）求21S S 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）（i ）详见解析；（ii【解析】（1）由已知求得2(1,0)F ，可得1c =，又以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点，知b c =，从而求得a 与b 的值，则答案可求； （2）()i 由题意，1x =-为抛物线D 的准线，由抛物线的定义知，1222||||||AB d d AF BF =+=+，结合22||||||AB AF BF +…，可知等号当且仅当A ，B ，2F 三点共线时成立．可得直线l 过定点2F ，根据椭圆定义即可证明11||||||EF EF FF ++为定值；()ii 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，求出||AB 与||EF可得21||||4S EF S AB ==；若直线l 的斜率存在，可设直线方程为(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(E x ，3)y ，4(F x ，4)y ，方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得||AB ，||EF，可得2212||1()1||2S EF S AB k ===∈+，由此可求21S S 的最大值． 【详解】解：（1）因为2F 为抛物线2:4D y x =的焦点，故2(1,0)F所以1c =又因为以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点知：b c =所以a =1b =所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=（2）（ⅰ）由题知，因为1x =-为抛物线D 的准线由抛物线的定义知：1222||AB d d AF BF =+=+又因为22||AB AF BF ≤+，等号当仅当A ，B ，2F 三点共线时成立 所以直线l 过定点2F 根据椭圆定义得：112112||4EF EF FF EF EF FF FF a ++=+++==（ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x = 因为||4AB =，||EF =21||||S EF S AB == 若直线l 的斜率存在，则可设直线:(1)(0)l y k x k =-≠，设()11,A x y ，()22,B x y由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得，()2222240k x k x k -++= 所以212224k x x k ++=，212244||2k AB x x k +=++=设()33,E x y ，()44,F x y ，由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，()2222124220k x k x k +-+-= 则2342412k x x k +=+，23422212k x x k-=+所以)23421||12k EF x k+=-==+则2212||10,1||242S EF S AB k ⎛⎫⎪⎛===⨯∈ ⎪ ⎝⎭⎪+⎝⎭综上知：21SS 的最大值等于4【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22．已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点(1,1)处的切线方程为1y =．（1）当()0,2x ∈时，证明：0()2 f x <<；（2）设函数()()g x xf x =，当(0,1)x ∈时，证明：0()1g x <<； （3）若数列{}n a 满足：1()n n a f a +=，101a <<，*n ∈N ．证明：1ln 0nii a=<∑．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．【解析】（1）由已知结合导数的几何意义可求a ，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求()f x 的范围；（2）先对()g x 求导，结合导数及（1）的结论可求函数()g x 的范围，即可证； （3）结合（1）（2）的结论，结合对数的运算性质可证． 【详解】解：（1）由题知：()(ln 1)2f x a x x '=+-，(1)20f a '=-= 所以2a =，2()2ln 2f x x x x =-+所以()2(ln 1)f x x x '=+-，令()ln 1h x x x =+-，则11()1x h x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 在区间(0,1)上单调递增； 当(1,2)x ∈时，()0h x '<，()h x 在区间(1,2)上单调递减； 所以()(1)0h x h ≤=，即()0f x '≤ 所以()f x 在区间(0,2)上单调递减，所以2()(2)4ln 22ln16ln 0f x f e >=-=-> 又因为()ln 10h x x x =+-≤，所以ln 1x x ≤-，所以2222()2ln 22(1)222(1)12f x x x x x x x x x x =-+≤--+=-+=-+< 综上知：当(0,2)x ∈时，0()2f x <<（2）由题意，因为2()()()4ln 322g x f x xf x x x x x ''=+=-++所以()()()222()22ln 2222()22g x x x x x x f x x x '=-++-+-=+-+- 由（1）知：()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()(1)1f x f >=， 又因为当(0,1)x ∈时，222(2,1)x x -+-∈--所以()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=由（1）可知：()0f x >，又(0,1)x ∈，∴()()0g x xf x => 综上可知：0()1g x << （3）由（1）（2）知：若(0,1)x ∈，1(1)()2f f x =<<，若(1,2)x ∈，0(2)()(1)1f f x f <<<= 因为1(0,1)a ∈，∴()21(1,2)a f a =∈，()32(0,1)a f a =∈，()43(1,2)a f a =∈ 所以21(0,1)k a -∈，2(1,2)k a ∈，*k ∈N 当2n k =时，()()()()()()12312342213211n k k k a a a a a a a a a a g a g a g a ++⨯⨯⨯⨯==<………当21n k =-时，()()()()()()12312342322211323211n k k k k k a a a a a a a a a a a g a g a g a a -----⨯⨯⨯⨯==<………所以1231n a a a a ⨯⨯⨯⨯<…，从而()121ln ln 0nin i aa a a ==⨯⨯⨯<∑…【点睛】本题综合考查了导数及函数的性质在证明不等式中的应用，考查了考试的逻辑推理与运算的能力，属于难题．。
2019-2020学年山东省高三第二学期4月摸底数学(A卷)试卷 解析版
2019-2020学年第二学期4月摸底数学（A卷）试卷一、选择题（共8小题）1．已知集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（）A．B．C．D．2．若iz＝1+i（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．4．《九章算术●衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是（）A．甲付的税钱最多B．乙、丙两人付的税钱超过甲C．乙应出的税钱约为32D．丙付的税钱最少5．若，则cos（30°﹣2α）＝（）A．B．C．D．6．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．若a，b，c满足2a＝3，b＝log25，3c＝2．则（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a8．已知双曲线＝1（a，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，圆x2+y2＝b2与双曲线在第一象限内的交点为M，若|MF1|＝3|MF2|，则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．二、多项选择题（共4小题）9．如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比95.80%﹣0.48% 3.82%0.86%则下列判断中正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低10．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．f（x）不是周期函数B．f（x）奇函数C．f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）在x＝处取得最大值11．设A，B是抛物线y＝x2上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是（）A．若OA⊥OB，则|OA||OB|≥2B．若OA⊥OB，直线AB过定点（1，0）C．若OA⊥OB，O到直线AB的距离不大于1D．若直线AB过抛物线的焦点F，且，则|BF|＝112．如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）A．存在某个位置，使得CN⊥ABB．翻折过程中，CN的长是定值C．若AB＝BM，则AM⊥B1DD．若AB＝BM＝1，当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积是4π三、填空题13．已知两个单位向量，的夹角为30°，＝m+（1﹣m），•＝0，则m＝．14．已知曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为．15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为．16．已知函数f（x）＝，①若a＝1，则不等式f（x）≤2的解集为；②若存在实数b，使函数g（x）＝f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．四、解答题：共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．给定数列{A n}，若对任意m，n∈N*且m≠n，A m+A n是{A n}中的项，则称{A n}为“H数列”．设数列{a n}的前n项和为S n．（1）请写出一个数列{a n}的通项公式，此时数列{a n}是“H数列”；（2）设{a n}既是等差数列又是“H数列”，且a1＝6，a2∈N*，a2＞6，求公差d的所有可能值；18．已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且b ＝．（1）求角A的值；（2）若a ＝，设角B＝θ，△ABC周长为y，求y＝f（θ）的最大值．19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，（1）求证：BC⊥AB1；（2）若cos∠BB1A ＝，求二面角B﹣B1C﹣A的余弦值．20．移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到2×2列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付4050不使用移动支付40合计100（1）将上2×2列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X，求X的分布列及期望．P（K20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k）k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：k2＝（其中n＝a+b+c+d）21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线x+y﹣2＝0相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点，已知Q点坐标为（，0），求•的值．22．已知函数f（x）＝bx2﹣2ax+2lnx．（1）若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y＝2x+4，试求实数a，b的值；（2）当b＝1时，若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，a≥，若不等式f（x1）≥mx2恒成立，试求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（）A．B．C．D．【分析】由B⊆A，求出集合A的子集，这样就可以求出实数a值集合．解：∵B⊆A，A＝{﹣1，2}的子集有ϕ，{﹣1}，{2}，{﹣1，2}，当B＝ϕ时，显然有a＝0；当B＝{﹣1}时，﹣a＝1⇒a＝﹣1；当B＝{2}时，2a＝1⇒a＝；当B＝{﹣2，1}，不存在a，符合题意，∴实数a值集合为{﹣1，0，}，故选：D．2．若iz＝1+i（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】结合复数的运算求出z的共轭复数，从而求出答案．解：∵iz＝1+i，∴z＝＝＝1﹣i，故＝1+i，其对应的点是（1，1），在第一象限，故选：A．3．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性和零点个数，以及利用极限思想进行求解即可．解：f（﹣x）＝（2﹣x+2x）ln|﹣x|＝（2x+2﹣x）ln|x|＝f（x），则f（x）是偶函数，排除D，由f（x）＝0得ln|x|＝0得|x|＝1，即x＝1或x＝﹣1，即f（x）有两个零点，排除C，当x→+∞，f（x）→+∞，排除A，故选：B．4．《九章算术●衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是（）A．甲付的税钱最多B．乙、丙两人付的税钱超过甲C．乙应出的税钱约为32D．丙付的税钱最少【分析】本题根据题意对甲、乙、丙三个人根据自己所有的钱数按比例进行交税，根据比例的性质特点即可得到正确选项．解：由题意，按比例，甲钱最多，付的税钱最多；丙钱最少，付的税钱最少；可知A，D正确．乙、丙两人共持钱350+180＝530＜560，故乙、丙两人付的税钱不超过甲，可知B错误．乙应出的税钱为．可知C正确．故选：B．5．若，则cos（30°﹣2α）＝（）A．B．C．D．【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．解：∵，则cos（30°﹣2α）＝﹣cos（150°+2α）＝﹣[1﹣2sin2（75°+2α）]＝﹣，故选：D．6．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．解：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合①②③④得：读了该篇文章的学生是乙，故选：B．7．若a，b，c满足2a＝3，b＝log25，3c＝2．则（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解：2a＝3，可得a∈（1，2），b＝log25＞2，由3c＝2．可得c∈（0，1）．∴c＜a＜b．故选：A．8．已知双曲线＝1（a，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，圆x2+y2＝b2与双曲线在第一象限内的交点为M，若|MF1|＝3|MF2|，则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．【分析】由双曲线的定义可得|MF2|＝a，设M（m，n），m＞0，由双曲线的定义可得|MF2|＝（m﹣）＝a，求得m，再由M满足双曲线的方程可得M的坐标，再由|OM|＝b，结合双曲线的a，b，c的关系，运用离心率公式可得所求值．解：由双曲线的定义可得|MF1|﹣|MF2|＝2a，若|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|＝a，设M（m，n），m＞0，由双曲线的定义可得|MF2|＝（m﹣）＝a，可得m＝，又﹣＝1，即n2＝b2（﹣1），由|OM|＝b，可得：m2+n2＝+＝b2，由b2＝c2﹣a2，化为c2＝3a2，则e＝＝．故选：D．二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比95.80%﹣0.48% 3.82%0.86%则下列判断中正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【分析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．解：根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．故选：ACD．10．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．f（x）不是周期函数B．f（x）奇函数C．f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）在x＝处取得最大值【分析】画出函数f（x）＝的图象，根据f（x）的图象可判断选项的正误．解：函数f（x）＝的图象如图所示：根据f（x）的图象可知AC正确，B不正确；当x＝时，f（x）＝0不是最大值，故D错误．故选：AC．11．设A，B是抛物线y＝x2上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是（）A．若OA⊥OB，则|OA||OB|≥2B．若OA⊥OB，直线AB过定点（1，0）C．若OA⊥OB，O到直线AB的距离不大于1D．若直线AB过抛物线的焦点F，且，则|BF|＝1【分析】若OA⊥OB，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y＝kx+m，联立方程，消去y得：x2﹣kx﹣m＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），解：对于选项A：A（x1，x12），B（x2，x22），∵OA⊥OB，∴，∴x1x2+（x1x2）2＝0，∴x1x2（1+x1x2）＝0，∴x，∴|OA||OB|＝＝，当且仅当x1＝±1时等号成立，故选项A 正确；对于选项B：若OA⊥OB，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y＝kx+m，联立方程，消去y得：x2﹣kx﹣m＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2＝k，x1x2＝﹣m，∴，∵OA⊥OB，∴，∴x1x2+y1y2＝0，∴﹣m+m2＝0，∴m＝0或1，易知直线AB不过原点，∴m＝1，∴直线AB的方程为：y＝kx+1，恒过定点（0，1），故选项B错误，∴原点O到直线AB的距离d＝，∵k2≥0，∴k2+1≥1，∴d≤1，故选项C正确；对于选项D：直线AB过抛物线的焦点F（0，），设直线AB的方程为：y＝kx+，联立方程，消去y得：，设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设点A在y轴右侧，∴x1+x2＝k，x1x2＝﹣，∴|AF|＝y＝，∴，∴x，∴，∴y，∴|BF|＝＝1，故选项D正确，故选：ACD．12．如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）A．存在某个位置，使得CN⊥ABB．翻折过程中，CN的长是定值C．若AB＝BM，则AM⊥B1DD．若AB＝BM＝1，当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积是4π【分析】对于A：取AD中点E，连接EC交MD与F，则NE∥AB1，NF∥MB1，由CN ⊥AB1，得EN⊥NF，若EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能；对于B：∠NEC＝∠MAB1（定值），NE＝（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得NC是定值；对于C：取AM中点O，连接B1O，DO，由题意得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD＝MD，由题意不成立；对于D：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，由题意得AD中点H就是三棱锥B1﹣AMD的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π．解：对于A：如图1，取AD中点E，连接EC交MD与F，则NE∥AB1，NF∥MB1，如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，故A错误．对于B：如图1，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NE＝（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得MC2＝NE2+EC2﹣2NE•EC•cos∠NEC，∴NC是定值，故B正确．对于C：如图2，取AM中点O，连接B1O，DO，由题意得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD＝MD，由题意不成立，可得C错误．对于D：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，由题意得AD中点H就是三棱锥B1﹣AMD的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π，故D正确．故选：BD．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知两个单位向量，的夹角为30°，＝m+（1﹣m），•＝0，则m＝4+2．【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得•＝•[m+（1﹣m）]＝m•+（1﹣m）2＝0，又由，是单位向量且其夹角为30°，则有+（1﹣m）＝0，解可得m的值，即可得答案．解：根据题意，＝m+（1﹣m），且•＝0，则•＝•[m+（1﹣m）]＝m•+（1﹣m）2＝0，又由，是单位向量且其夹角为30°，则有+（1﹣m）＝0，解可得m＝4+2；故答案为：4+214．已知曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为2．【分析】利用双曲线的简单性质，推出比值，然后求解即可．解：曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，可得，所以b2＝3a2，可得c＝2a，所以该双曲线的离心率为：e＝2．故答案为：2．15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为8π．【分析】由题意画出图形，求出圆柱外接球的直径，得到外接球的半径，则外接球的表面积可求．解：如图，圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则正方形的边长为2，∴正方形的对角线即圆柱外接球的直径为，半径为．∴该圆柱的外接球的表面积为．故答案为：8π．16．已知函数f（x）＝，①若a＝1，则不等式f（x）≤2的解集为（﹣∞，]；②若存在实数b，使函数g（x）＝f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是（﹣∞，2）∪（4，+∞）．【分析】第一空：将a＝1代入可得f（x）解析式，进而可解得f（x）≤2的解析；第二空：分类讨论a的情况即可．解：①当a＝1时，f（x）＝，则令f（x）≤2，即有2x≤2或x2≤2，解得x≤1或1＜x≤，故f（x）≤2的解集为（﹣∞，]；②由函数g（x）＝f（x）﹣b只有一个零点时，2x＝x2时，x＝2或x＝4，当a＝2时，f（x）＝，此时g（x）＝f（x）﹣b只有一个零点；当a＜2时，g（x）有2个零点；同理当a＝4时，f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣b只有一个零点；当a＞4时，有2个零点，故可得a的取值范围是（﹣∞，2）∪（4，+∞），故答案为：（﹣∞，]；（﹣∞，2）∪（4，+∞）．四、解答题：共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．给定数列{A n}，若对任意m，n∈N*且m≠n，A m+A n是{A n}中的项，则称{A n}为“H数列”．设数列{a n}的前n项和为S n．（1）请写出一个数列{a n}的通项公式a n＝2n，此时数列{a n}是“H数列”；（2）设{a n}既是等差数列又是“H数列”，且a1＝6，a2∈N*，a2＞6，求公差d的所有可能值；【分析】（1）根据“H数列”定义即可得；（2）根据已知a2＞a1且a2∈N*，得出公差d的范围，再根据“H数列”定义，由a1+a2是该数列的其中一项求解即可．解：（1）．a n＝2n．（2）由题，等差数列{a n}中，且a1＝6，a2∈N*，a2＞6，可得：d＞0且d∈N*．又因为数列{a n}又是“H数列”，所以a1+a2是{a n}中的项，设a1+a2＝a k，即：2a1+d＝a1+（k﹣1）d，整理得：，k＝3时，d＝6成立；k＝4时，d＝3成立；k＝5时，d＝2成立；k＝6时，d＝不成立；k＝7时，d＝不成立；k＝8时，d＝1成立．综上所述，公差d所有可能的值为：1，2，3，6．18．已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且b＝．（1）求角A的值；（2）若a＝，设角B＝θ，△ABC周长为y，求y＝f（θ）的最大值．【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解A；（2）由已知结合正弦定理及和差角公式及辅助角公式，结合正弦函数的性质即可求解．解：（1）由已知b＝可得b sin B﹣b sin C＝a sin A﹣c sin C，结合正弦定理可得b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝，又A∈（0，π），∴A＝．（2）由a＝，A＝．及正弦定理得＝2，∴b＝2sinθ，c＝2sin C＝2sin（），故y＝a+b+c＝，＝＝由0，得，∴当，即时，y max＝．19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，（1）求证：BC⊥AB1；（2）若cos∠BB1A＝，求二面角B﹣B1C﹣A的余弦值．【分析】（1）取BC的中点O，连接AO，B₁O，先证明线面垂直，再利用线面垂直的性质定理得出结论；（2）根据题意，以OA，OB，OB1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BB1C和平面B1CA的法向量，利用夹角公式求出即可．解：（1）取BC的中点O，连接AO，B₁O，由于△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，所以有AO⊥BC，B₁O⊥BC，且AO∩B₁O＝O，所以BC⊥平面B₁AO，由AB₁⊂B₁AO，所以BC⊥AB₁；（2）设AB＝a，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，所以BB1＝AB＝BC＝AC＝B1C＝a，又cos∠BB1A＝，由余弦定理可得，在△AB1C中，有，以OA，OB，OB1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A（），B（0，，0），，）设平面ABB₁的一个法向量为，由，得，令x＝1，则，又平面BCB1的一个法向量为，由cos＜＞＝，所以二面角B﹣B1C﹣A的余弦值为．20．移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到2×2列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付4050不使用移动支付40合计100（1）将上2×2列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X，求X的分布列及期望．P（K20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k）k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：k2＝（其中n＝a+b+c+d）【分析】（1）根据题干中2×2列联表，补充完整表格，再用即可k2的公式计算结果即可；（2）根据分层抽样，可知10个人中，35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，所以X的可能取值为1，2，3，再利用超几何分布，分别求出每个X对应的概率即可得到分布列和数学期望．解：（1）根据所给数据得到如下2×2列联表：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付401050不使用移动支付104050合计5050100根据公式可得＞2.706，所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄有关．（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，则X的可能为1，2，3，，，，其分布列为X123P．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线x+y﹣2＝0相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点，已知Q点坐标为（，0），求•的值．【分析】（1）利用离心率和直线与圆相切的性质即可求出a，b的值，从而求出椭圆的标准方程；（2）对直线l的斜率分情况讨论，当直线l的斜率不存在时，A，B，从而求出•的值，当直线l的斜率为0时，A，B，从而求出•的值，当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝ty+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得•的值．解：（1）由离心率为，可得，∴c＝，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为x2+y2＝a2，因与直线x+y﹣2＝0相切，则有，即a＝，c＝1，∴b＝1，故而椭圆方程为：；（2）①当直线l的斜率不存在时，A，B，∴•＝，②当直线l的斜率为0时，A，B，则•＝，③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去x得：（t2+2）y2+2ty﹣1＝0，∴△＝4t2+4（t2+2）＞0，，，又∵x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，∴•＝＝＝＝＝﹣，综上所述：•＝﹣．22．已知函数f（x）＝bx2﹣2ax+2lnx．（1）若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y＝2x+4，试求实数a，b的值；（2）当b＝1时，若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，a≥，若不等式f（x1）≥mx2恒成立，试求实数m的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，结合已知切线方程即可求解；（2）结合极值存在条件可转化为x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两个正根，结合方程的根与系数关系可得x1+x2＝a，x1•x2＝1，然后分离参数后，结合导数与函数性质即可求解．解：（1）由题可知f（1）＝b﹣2a＝6，，∴f′（1）＝2b﹣2a+2＝2，联立可得a＝b＝﹣6．（2）当b＝1时，f（x）＝x2﹣2ax+2lnx，＝，∵f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，∴x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两个正根，x1+x2＝a，x1•x2＝1，不等式式f（x1）≥mx2恒成立，即m恒成立，∴＝＝＝+2x1lnx1＝，由x1+x2＝a，x1•x2＝1得，∴，令h（x）＝﹣x3﹣2x+2xlnx，（0＜x），h′（x）＝﹣3x2+2lnx＜0，∴h（x）在（0，]上是减函数，∴h（x），故m．。
山东省青岛市高三4月统一质量检测数学(理)试题(解析版).docx
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{|02},{|||1}A y y B x x =≤<=>，则R ()A C B =I （ ）A ．{|01}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|10}x x -<≤D ．{|12}x x <<2.已知1ii 12ib a -=++（,R a b ∈），其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A ．4- B ．4 C ．10- D ．103.数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a =（ ） A ．5 B ．1- C ．0 D ．1 【答案】D 【解析】4.函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则()4f π的值为 （ ）5.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r．若点M 在圆C 上，则实数k =（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．12222(,)11OM A kk k O OB -++=+=u u u u r u u u r u u u r .6.如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是（ ）7.设2 0(4sin cos ),n x x dx π=+⎰则二项式1()n x x-的展开式中x 的系数为（ ）A ．4B ．10C ．5D ．6试题分析：220 0(4sin cos )(4cos sin )|5n x x dx x x ππ=+=-+=⎰，8.已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>， 则1a b-的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞- B ．1(,0)3- C ．(3,)+∞ D ．1(0,)39.已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，5BD =，2AC =，BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.6πB. 6πC. 5πD. 8π10.已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =，则关于x 的方程||()10x f x -=在1010[,]33-上根的个数是（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.抛物线214y x =的焦点坐标为 .12.已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到),(y x 的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为$60y bx=+$，其中b $的值没有写上．当x 不小于5-时，预测y 最大为 .13.已知||2, ||4a b ==r r ，以, a b r r为邻边的平行四边形的面积为43，则a r 和b r 的夹角为 .考点：平面向量的数量积、夹角、模，平行四边形的面积.14.在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 .x1813 10 1-y2434386415.对于下列命题：①函数()12f x ax a =+-在区间(0,1)内有零点的充分不必要条件是1223a <<；②已知,,,E F G H 是空间四点，命题甲：,,,E F G H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“2a <”是“对任意的实数x ，|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件；④“01m <<”是“方程22(1)1mx m y +-=表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是 .三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ．（Ⅰ）求函数(3)1y f x =-+的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知ABC ∆中的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若锐角A 满足()326A f π-=，且7a =，133sin sin 14B C +=，求ABC ∆的面积．sin 23cos 22sin(2)3x x x π=+=+………………………………………………………2分17.（本小题满分12分）某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了18名学生作为志愿者，参加相关的活动事宜．学生来源人数如下表：学院 外语学院生命科学学院化工学院艺术学院人数4 6 3 5（Ⅰ）若从这18名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一学院的概率；（Ⅱ）现要从这18名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题．设其中来自外语学院的人数为ξ，令21ηξ=+，求随机变量η的分布列及数学期望()E η.考点：古典概型，互斥事件、独立事件概率的计算，随机变量的分布列及数学期望.18.（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点．（Ⅰ）求证：//BE 平面ACF ；（Ⅱ）求二面角C BF E --的平面角的余弦值.由ABCD 为正方形可得：(2,22,2)DB DA DC =+=u u u r u u u r u u u r，(2,22,2)B ∴19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，11()2n n n a a +⋅=，记2n T 为{}n a 的前2n 项的和，221n n n b a a -=+，N n *∈．（Ⅰ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并求出n b ；（Ⅱ）求2n T .20.（本小题满分13分）已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由； （Ⅲ）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值.22841716m S m +=+ ，应用“换元”思想，令21m t +=，得到2284848497(1)16797t t S t t t t===-+++， ∴圆心P 的轨迹为以12, F F 为焦点的椭圆，其中28, 26a c ==，∴2222256(1)||1716112(1)||2716m MN m m OQ m ++==++21.（本小题满分14分）已知函数32()(R)f x x x x =-+∈，()g x 满足()(R,>0)a g x a x x '=∈，且()g e a =，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）已知1()()x h x e f x -=，求()h x 在(1,(1))h 处的切线方程；（Ⅱ）若存在[1,]x e ∈，使得()g x ≥2(2)x a x -++成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩，O 为坐标原点，若对于()y F x =在1x ≤-时的图象上的任一点P ，在曲线()y F x =(R)x ∈上总存在一点Q ，使得0OP OQ ⋅<u u u r u u u r ，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．由于0OP OQ ⋅<u u u r u u u r ，得到(1)ln()1a t t --<．Q PQ 的中点在y 轴上，Q ∴的坐标为(,())t F t --，。
2020年青岛黄岛区高三下学期高考模拟数学试卷
A.
B. 平面
平面
C. 二面角
的余弦值为
D. 点 在平面
上的投影是
的外心
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设 是定义在 上的奇函数，且满足
，则
．
14. 已知
的展开式中 的系数为 ，则
．
15. 双曲线 支分别交于 ， 两点，若
的左焦点为 ，过点 . 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数
到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数
下列结论正确的是（ ）．
A. 是 的一个周期
B. 在
上有 个零点
C. 的最大值为
D. 在
上是增函数
，我们听 ，则
11. 在平面直角坐标系 中，如图放置的边长为 的正方形
， ．若从 ， ， ， ， ， 这 个数字中任意取出 个数字构成一个三位数 ，则
的结果恰好是剩下 个数字构成的一个三位数的概率为（ ）．
A.
B.
C.
D.
8. 如图所示的三棱柱 积最大时，三棱柱
，其中
，若
外接球的体积为（ ）．
，当四棱锥
体
A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
沿 轴滚动（无滑动滚动），点
恰好经过坐标原点．设顶点
的轨迹方程是
，则对函数
的判断正确的是
y
x
O
3
A. 函数
是奇函数
B. 对任意的
，都有
）
C. 函数
的值域为
D. 函数
在区间 上单调递增
12. 如图，正方形
山东省青岛市西海岸新区(黄岛区)2019-2020学年高三3月模拟考试数学试题(含解析)
(1)求椭圆 E的方程；
(2) 证明： SBOM SBCN 为定值．
22.已知函数
쳌
ᖸ쳌
,其中 O<a<e.
（1）求函数 f(x)的单调区冋；
（2）讨论函数 f(x)零点的个数；
（3）若 f(x)存在两个不同的零点 x1,x2,求证：x1x2<e2.
高三数学模拟试题答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选
份血液样本分别取样混合在一起检验.
若检验结果为阴性，这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次 就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对 这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次.假设在接受检验 的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是 阳性结果的概率为 p(0<p<1). (1)假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求 恰好经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
21.
已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率
e
满足 2e2
3
2e 2 0 ，右顶点
为 A，上顶点为 B，点 C(0，－2)，过点 C 作一条与 y 轴不重合的直线 l，直线 l 交椭圆 E 于 P，Q 两点，直线 BP，BQ 分别交 x 轴于点 M，N；当直线 l 经过点
A 时，l 的斜率为 2 ．
D.直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若二项式 (3x 1 )n 展开式中各项系数和为 64 ，则 n
2020年山东省青岛市西海岸新区高考数学模拟试卷(4月份)
2020年山东省青岛市西海岸新区高考数学模拟试卷（ 8小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的思是“有一个人走 378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的半，走了 6天后到达目的地.”请问第一天走了且| AF | | BF |，则出巳的值为（|BF |C .7. （ 5分）考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857 3 428571， 所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律： 142 857999，571428 999， 若从1, 4，2，8, 5，7这6个数字中任意取出 3个数字构成一个三位数 x ，则999 x 的结果恰好是剩下 3个数字构成的一个三位数的概率为 （1. （5分）已知集合 2{x|f(x) log 2(x 2x)}，集合 N x{x|3 1}，则 M | N ()2. 4. A . (2,) （5分）已知复数 (5 (5 4i 分）已知向量(0,2)C . [2 ,(3,)3i ，则复数z 的虚部是（ 2iC . 2b 均为非零向量，（a 2b ） a , 分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题: |a| |b|，则 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数, a , b 的夹角为（“三百七十八里关，初行健请公仔细算相还. ”其意4月份）、单项选择题：本题共 A . 192 里B . 68 里C . 48里D . 220里5 . ( 5分)在 ABC 中，内角A ,a si n BcosC csi nBcosAb ，且 a b ,2所对的边分别是a ， b ， c ，若C .6. ( 5 分）过抛物线y 2 2px （p 0）的焦点F 作倾斜角为142857,因为 142857 2 285714 ,3第1页（共21页）C .& （5分）如图所示的三棱柱 ABC AB I G ，其中AC BC ，若AA AB 2，当四棱锥B AACG 体积最大时，三棱柱 ABC ABC 1外接球的体积为（）B .住 34小题，每小题5分，共20分•在每小题给出的选项中，有多项符“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”•某企业2019年12个月的收入与支出数 据的折线图如下:收入A .该企业2019年1月至6月的总利润低于 2019年7月至12月的总利润B .该企业2019年第一季度的利润约是 60万元C .该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D .该企业2019年11月份的月利润最大10二、多项选择题：本题共 合题目要求•全部选对的得5分，部分选对的得 3分，有选错的得0分.9. （ 5分）习总书记讲到:月份333第2页（共21页）10. ( 5分)声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数•纯音的数学模型是函数y Asin t，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音•若一个复合音的数学模型1是函数f(x) sinx sin2x，则下列结论正确的是()c 1-Z\ 21| Z ；\::-------------- 1 ----------- 1——■A .函数y f (x)是奇函数B .对任意的x R，都有f (x 4) f (x 4)C .函数y f (x)的值域为［0,2 2］D .函数y f (x)在区间［6 , 8］上单调递增12. (5分)如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点将ADE , CDF , BEF分别沿DE、DF、EF折起，使A、B、C重合于点P .则下列结论正确的是()A. PD EFB .平面PDE 平面PDF1C .二面角P EF D的余弦值为一3D .点P在平面DEF上的投影是DEF的外心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. (5分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x 2) f (x)，贝U f ( 2) ____A . 2是f (x)的一个周期B. f (x)在［0 , 2 ］上有3个零点f (x)的最大值为3,34D. f(x)在［0,—］上是增函数211. (5分)在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x, y)的轨迹y f (x)，则对函数314. __________________________________________________________ (5分)已知(2x 1)(xa)6的展开式中x 5的系数为24,则a _________________________________第3页(共21页)。
山东省青岛市西海岸新区高三4月模拟数学试题答案详解(16页)
山东省青岛市西海岸新区高三4月模拟数学试题数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}）（）（2x -x22log x f |==x M ，集合}13{x>=x N ，则M N I =( )A ． (2,+∞)B ．)2,0(C ．[)∞+，2 D ．(3,+∞) 2. 已知复数i iiz 311+-+=，则复数z 的虚部是（ ） A. 4i B. 2i C. 2 D. 43．已知向量a r 、b r 均为非零向量，()2a b a -⊥r r r ，a b =r r ，则a r 、b r的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 4．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A ．24里B ．48里C ．96里D ．192里5．在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若b A B c C B a 23cos sin cos sin =+，且a>b,则=∠B ( ) A ．3π B ．6πC ．23π D ．56π6．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为ο60的直线l 交抛物线于A,B 两点，且BF AF >,则=BFAF ( )A. 2 B ．3 C ．34 D ．23 7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为1428572285714⨯=，1428573428571⨯=，…所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律：142857999+=，571428999+=，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，则999x -的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（ ）A.45B.35C.25D.3108．如图所示的三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当四棱锥11B A ACC -体积最大时，三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（ ）A ．163π B ．3C ．3D ．43π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
2019-2020年高三4月模拟数学(理)试题 含答案
12.定义域为R的函数满足，当时，则当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（）
A.B.C.D.
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13.若函数在点处的切线为，则直线与轴的交点坐标为_________.
14.已知（为自然对数的底数），函数，则__________.
A.120种B.216种C.720种D.540种
4.已知向量若，则的最小值为（）
A．2B．4C．D．
5.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
6.已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）
A．32B．4C．8 D．2
7.已知数列满足，，，若数列满足，则（）
15.若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的系数为______.
16.对于函数和，下列说法正确的是.
（1）函数的图像关于直线对称；
（2）的图像关于直线对称；
（3）两函数的图像一共有10个交点；
（4）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于30；
（5）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于24.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知函数 ，其图象过点
（1）求的值；
（2）将函数图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间.
18.（本小题满分12分）xx年10月莫言获得诺贝尔文学奖后，其家乡山东高密政府准备投资6.7亿元打造旅游带，包括莫言旧居周围的莫言文化体验区，红高粱文化休闲区，爱国主义教育基地等；为此某文化旅游公司向社会公开征集旅游带建设方案，在收到的方案中甲、乙、丙三个方案引起了专家评委的注意，现已知甲、乙、丙三个方案能被选中的概率分别为，且假设各自能否被选中是无关的.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
青岛西海岸新区高中4月模拟试题数 学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}）（）（2x -x22log x f |==x M ，集合}13{x>=x N ，则M N I =( )A ． (2,+∞)B ．)2,0(C ．[)∞+，2 D ．(3,+∞) 2. 已知复数i iiz 311+-+=，则复数z 的虚部是（ ） A. 4i B. 2i C. 2 D. 43．已知向量a r 、b r 均为非零向量，()2a b a -⊥r r r ，a b =r r ，则a r 、b r的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 4．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A ．24里B ．48里C ．96里D ．192里5．在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若b A B c C B a 23cos sin cos sin =+，且a>b,则=∠B ( ) A ．3π B ．6πC ．23π D ．56π6．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为ο60的直线l 交抛物线于A,B 两点，且BF AF >,则=BFAF ( )A. 2 B ．3 C ．34 D ．23 7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为1428572285714⨯=，1428573428571⨯=，…所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律：142857999+=，571428999+=，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，则999x -的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（ ）A.45B.35C.25D.3108．如图所示的三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当四棱锥11B A ACC -体积最大时，三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（ ）A ．163π B ．23C ．823D ．43π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献,无怨无悔,让我感到千千万万普通人最伟大,同时让我感到幸福都是奋斗出来的”.某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润=收入-支出,根据该折线图,下列说法正确的是（ ）A. 该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B. 该企业2019年第一季度的利润约是60万元C. 该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D. 该企业2019年11月份的月利润最大 10.声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+,则下列结论正确的是（ ） A. 2π是()f x 的一个周期B. ()f x 在[]0,2π上有3个零点C. ()f x 的最大值为334D. ()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 11.在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是( )A. 函数()y f x =是奇函数B. 对任意的x ∈R ，都有()()44f x f x +=-C. 函数()y f x =的值域为0,22⎡⎤⎣⎦D. 函数()y f x =在区间[]6,8上单调递增12．如图,正方形ABCD 中,E F 、分别是AB BC 、的中点将,,ADE CDF BEF ∆V V 分别沿DE DF EF 、、折起,使、、A B C 重合于点P .则下列结论正确的是（ ）A ．PD EF ⊥B ．平面PDE PDF ⊥平面C ．二面角P EFD --的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是DEF ∆的外心 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，则()2f -=_______14．已知6(21)()x x a -+的展开式中5x 的系数为24，则a =__________．15．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 2的直线与y 轴及双曲线的右支分别交于,A B 两点，若1F A AB =u u u r u u u r，则双曲线的离心率为 ．16．已知函数2()cos2x f x x π=，数列{}n a 中，()*()(1)n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前100项之和100S =____．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在各项均不相等的等差数列{}n a 中，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和122n n S +=-．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设22log n an n c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18.在①222b a c =+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.19.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。
近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。
为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B 两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额(元)支付方式(0,1000] (1000,2000] 大于2000仅使用A 18人9人3人仅使用B 10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两个支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元。
根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。
20.已知△ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足CEEA＝12，D为AB的三等分点（靠近点A），(如图(1))，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B的平面角为90°，连接A1B，A1C(如图(2))．(1)求证：A1D⊥平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．21.如图：在平面直角坐标系中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，点)23,3(M 在椭圆C 上，),00y x R （是椭圆C 上的一点，从原点O 向圆712)()(:2020=-+-y y x x R 作两条切线，分别交椭圆于P,Q.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线OP,OQ 的斜率存在，并记为21,k k ，求21k k ⋅的值；(3) 试问22OQ OP +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由。
22. 已知函数R a xxa x f ∈+-=,ln 1)( (1) 求)(x f 的极值；(2) 若0ln <-kx x 对任意的0>x 均成立，求K 的取值范围；(3) 已知0,021>>x x 且e x x <+21，求证：2121x x x x >+青岛西海岸新区高中4月模拟试题数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.D3. B4.D5. A6. B7.C8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9. AC 10.ABC 11. BCD 12.ABC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 0 14. 1或45-15.+10200四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解:（1）设数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，514a a d =+，∵1a ，2a ，5a 成等比数列， 2215a a a ∴=，即()()21114a d a a d +=+，整理得212d a d =，解得0d =（舍去）或122d a ==，()1121n a a n d n ∴=+-=-. ………….........…………3分当1n =时，12b =，当2n ≥时，()112222n n n n n b S S +-=-=---1222222n n n n n +=-=⨯-=．验证：当1n =时，12b =满足上式，∴数列{}n b 的通项公式为2nn b =． ………….........…………6分（2）由（1）得，2122log 2n an n n c b n -==++， ………….........…………7分 ∴()()()3521(21)22232n n T n -=++++++++L()35212222(123)n n -=+++++++++L L ………….........…………8分2(14)(1)142n n n -+=+- 2122232n n n+-+=+. ………….........…………12分 18.解：（1）若选择①222b a c +=+,由余弦定理222cos 222a cb B ac ac +-===,………….........4分 因为(0,)B π∈,所以4B π=;………….........………5分由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin sin 2b A a B π===…………........7分因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,………….........8分所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭………10分所以11sin 22ABC S ab C ∆===.………….........12分 （2）若选择②cos sin a B b A =,则sin cos sin sin A B B A =,………….........3分 因为sin 0A ≠,所以sin cos B B =,………….........4分因为(0,)B π∈,所以4B π=;………….........5分由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin sin 2b A a B π===………….........7分因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,………….........8分所以5sin sin sin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,.........10分所以113sin 2244ABC S ab C ∆+===.…………........12分 （3）若选择③sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,………….....3分 因为(0,)B π∈,所以5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, 所以42B ππ+=,所以4B π=;………….........5分由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin sin b A a B π===………….........7分因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,………….........8分 所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,…….......10分所以11sin 22ABC S ab C ∆===.………….........12分 19. 解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人.………….........2分 所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=.………….........4分 （Ⅱ）X 的所有可能值为0，1，2.记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”. 由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====. 所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，………….........5分(1)()P X P CD CD ==U ()()()()P C P D P C P D =+=0.4×（1−0.6）+（1−0.4）×0.6 =0.52，………….........6分(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====.………….........7分所以X 的分布列为故X 的数学期望E （X ）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.………….........9分（Ⅲ）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==.………….........10分 答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.………….........12分 答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.………….........12分20.(1)证明 由图(1)可得：AE ＝2，AD ＝1，A ＝60°.从而DE ＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝ 3 …………………………2分 故得AD 2＋DE 2＝AE 2，∴AD ⊥DE ，BD ⊥DE . ∴A 1D ⊥DE ，BD ⊥DE ，∴∠A 1DB 为二面角A 1－DE －B 的平面角， ………………………4分 又二面角A 1－DE －B 为直二面角，∴∠A 1DB ＝90°，即A 1D ⊥DB ， ∵DE ∩DB ＝D 且DE ，DB ⊂平面BCED ，∴A 1D ⊥平面BCED . …………………6分 (2)存在．由(1)知ED ⊥DB ，A 1D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、DA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz ，如图，过P 作PH ∥DE 交BD 于点H ，设PB ＝2a (0≤2a ≤3)，则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a ，易知A 1(0，0，1)，P (2－a ，3a ，0)，E (0，3，0)，所以PA 1→＝(a －2，－3a ，1)． 因为ED ⊥平面A 1BD ，所以平面A 1BD 的一个法向量为DE →＝(0，3，0)．………8分 因为直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60°，所以sin 60°＝|PA 1→·DE →||PA 1→||DE →|＝3a4a 2－4a ＋5×3＝32，解得a ＝54. ∴PB ＝2a ＝52，满足0≤2a ≤3，符合题意．………………………11分所以在线段BC 上存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60°，此时PB ＝52. ---12分21.解：（1）因为离心率为21，所以4122222=-=a b a a c ，所以2243a b =，…………..1分 椭圆方程可化为1432222=+a y a x ，代入点)23,3(M 得42=a …………......2分 所以椭圆方程为13422=+y x ………….........3分 （2）因为直线x k y OP 1=：和x k y OQ 2=：都与圆R 相切，所以784121001=+-k y x k ，784122002=+-k y x k ，........4分所以21,k k 是方程07122)712(2000202=-+--y y kx x k 的两根........5分所以712712202021--=⋅x y k k -------------------------6分 因为点),00y x R （在椭圆上所以2020433x y -=---------------7分 所以43-712)712(43-7127122020202021=--=--=⋅x x x y k k ----------------8分 （3）①当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设),(11y x P ，),(22y x Q联立⎩⎨⎧=+=124322y x kx y 得21214312k x +=，2121214312k k y +=-------------9分 所以2121212143)1(12k k y x ++=+，同理2222222243)1(12k k y x ++=+ 因为43-21=⋅k k所以2121222222224396143)1(12k k k k y x ++=++=+------------10分 所以743)43(721212222212122=++=+++=+k k y x y x OQ OP ------------11分 ②当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时，显然有722=+OQ OP综上，722=+OQ OP -----------12分22.解：（1）2ln )(x xa x f -='-----1分 0)(>'x f 得a e x <<0，0)(<'x f 得a e x >-----3分所以)(x f 在()a e ,0单调递增，在()∞+，ae 单调递减所以)(x f 有极大值aa e e f -=)(，无极小值-----4分（2）0ln <-kx x 即x x k ln >即max ln ）（xxk >-----5分由（1）知，1=a 时，)(ln )(x g xxx f ==所以此时)(x g 最大值为ee g 1)(=-----------6分 所以ek 1>--------------7分 （3）因为0,021>>x x 且e x x <+21 所以),0(,21e x x ∈因为)(x g 在),0(e 单调递增所以)()(211x x g x g +<-------------------8分即212111)ln(ln x x x x x x ++<，所以212111)ln(ln x x x x x x ++<-------------------9分 同理)()(212x x g x g +<，所以212122)ln(ln x x x x x x ++<所以)ln()ln()ln(ln ln 21212122121121x x x x x x x x x x x x x x +=+++++<+-------------------10分即)ln()ln(2121x x x x +<-------------------11分 所以2121x x x x +<------------------12分。