《复变函数》第3章
复变函数第3章
§3.1 复变函数积分的概念
主要内容
一 积分的定义 二 可积的条件及计算法 三 积分的性质
要求： 要求：
理解复变函数积分的概念， 理解复变函数积分的概念，掌握计算方法及性质
§3.1 复变函数积分的概念
一 积分的概念
1 有向曲线： 有向曲线： 为平面上给定的一条光滑( 设 C为平面上给定的一条光滑 ( 按段光滑 ) 曲线 . 如果选 为平面上给定的一条光滑 按段光滑) 曲线. 的两个可能方向中的一个作为正方向， 定C的两个可能方向中的一个作为正方向，那么我们就把 的两个可能方向中的一个作为正方向 C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线 理解为带有方向的曲线， 理解为带有方向的曲线 称为有向曲线
k =1
n
+ i ∑ [v (ξ k ,η k )∆x k + u(ξ k ,η k )∆y k ]
k =1
n
§3.1 复变函数积分的概念
二 积分存在的条件及计算法
1 积分存在的条件 是连续函数C是光滑曲线 若f(z)是连续函数 是光滑曲线,则积分∫ f (z)dz一定存在 是连续函数 是光滑曲线, C 【证】∑ f (ζ k ) ⋅∆z k = ∑ [u(ξ k ,η k )∆x k − v (ξ k ,η k )∆y k ]
udx − vdy + i ∫ vdx + udy
C
C
udx + ivdx + iudy − vdy
§3.1 复变函数积分的概念
二 积分存在的条件及计算法
2 积分计算法 设连续函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)，光滑曲线 的方程为 设连续函数 ，光滑曲线C的方程为
z = z(t) = x(t) + i y(t), α ≤ t ≤ β
复变函数第3章
z 1 2 所以
z 1 2 2 2 f ( z) 2, z 1 2 由估值不等式有
z 1 C z 1 dz 8 .
3.1.3 复变函数的积分的计算问题
定理3.1 设C为光滑曲线， 若 f z ux, y ivx, y
沿曲线C连续,则 f ( z )沿C可积,且
1 1 f ( z) ＝ 1. Re z 1＋3t
而L之长为3，故
dz L Re z 3.
例4
计算积分
其中积分路径为
C
z dz
2
(1) 连接0到1+i的直线段 (2) 连接0到1的直线段及连接1到1+i的直 线段所成的折线. 解 方程为 (1) 连接0到1+i的直线段的参数
z (1 i)t (0 t 1).
y
B
那么B到A就是曲线L的负向,
记为 L .
o
A
x
关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线L的正向是 P 指当曲线上的点P顺此方向 前进时, 邻近P点的曲线的 o 内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.
0 0 1 1
1
1
1 tdt i dt i. 0 0 2
(此例说明:积分路径不同, 积分结果可能不 同)
作业:P45.T1;T3.
1. 柯西积分定理 2. 复合闭路定理 3. 解析函数的原函数
由定理3.1,复积分可转化为实二元函数 的第二型曲线积分.那么,复积分在什么情况 下与路径无关? 1 2 比较 f ( z ) z , f ( z ) Re z , f ( z ) za 可能与被积函数的解析性及解析区域有关
复变函数第三章习题答案
第三章柯西定理柯西积分掌握内容：1.柯西积分定理：若函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()Cf z dz =⎰0 。
2.柯西积分定理的推广：若函数()f z 在围线C 之内的,,...n z z z 12点不解析，则()()()...()nCC C C f z dz f z dz f z dz f z dz =+++⎰⎰⎰⎰12，其中,,...nC C C 12是分别以,,...n z z z 12为圆点，以充分小的ε为半径的圆。
3.若在围线C 之内存在不解析点，复变函数沿围线积分怎么求呢？——运用柯西积分公式。
柯西积分公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()Cf z dz if z z z π=-⎰002 4.柯西积分公式的高阶求导公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()()()!n n Cf z i dz f z z z n π+=-⎰0102习题：1.计算积分⎰++-idz ix y x 102)(积分路径是直线段。
解：令iy x z +=，则idy dx dz += 积分路径如图所示：在积分路径上：x y =，所以313121212131211032223211211211210102102102i x ix y i x ix x dxix x i iydy xdx dx ix x dy ix x i iydy ydx dx ix x idy dx ix y x dz ix y x ii+-=-+--+=++--+=++--+=++-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++)()()()()())(()(2.计算积分⎰-iidz z 。
积分路径分别是：（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。
解：（1）令z x i y =+，则z dz xd idy ==+，在积分路径上，0x =，所以11iiz dz iydy iydy i--=-+=⎰⎰⎰（2）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//222i i iz dz ie d i πθπθ--==⎰⎰（3）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//2322ii iz dz ie d i πθπθ-==⎰⎰5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。
复变函数 第三章 复变函数的积分
{ u [ x ( t ), y ( t )] i [ v [ x ( t ), y ( t )]]}( x ' ( t ) iy ' ( t )) dt
i v x t,y () t) xt ' () u (()() x ty t) yt ' () } d t {(()
f[ z ( t)] z '( t) dt fz ( ) d z f [ z ( t ) ] zt ' ( ) d t
C
（ 3 . 6 ）
用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的 参数方程着手,称为参数方程法.
例3.1 计算 z d z ,C : 从原点到点 3 4 i 的直线 . C y x3 t, 0t 1 , 解 直线方程为 A y 4 t ,
C C
u ( x , y ) d x v ( x , y ) d y iv ( x , y ) d x u ( x , y ) d y
C C
C
f ( z )d z
结 论 1 ： 当是 fz () 连 续 函 数 , C 是 光 滑 曲 线 时 ， () d z 一 定 存 在 。 fz 结 论 2 ： () d z 可 以 通 过 两 个 二 元 实 函 数 的 fz
k k
证明 令 z x iy x x x y y y k k k k k k 1 k k k 1
n
k n k k k k k k
n
u (k, x v(k, y k) k k) k
k 1 k 1 n n
k 1 n
《复变函数》第三章 复变函数的积分
y
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C zn1
1 A
2
z1
z2
k zk zk 1
o
x
4
n
n
作和式 Sn f ( k ) (zk zk1 ) f ( k ) zk ,
k 1
k 1
这里 zk zk zk1, sk zk1zk的长度,
记 m1kaxn{sk }, 当n 无限增加且 0 时,
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯
情况二 : 若 C 包围 点,
由上节例4可知, c (z )ndz 0.
31
四、小结与思考
通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定 理:
并注意定理成立的条件.
32
思考题
应用柯西–古萨定理应注意什么?
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思考题答案
(1) 注意定理的条件“单连通域”.
反例: f (z) 1 在圆环域 1 z 3内;
线的限制, 必须记作 f (z)dz.
C
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第二节 柯西－古萨基本定理
一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关. 观察上节例4, 被积函数当 n 0时为 1 ,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1
由此希望将基本定理推广到多连域中.
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二、复合闭路定理
1. 闭路变形原理 设函数 f (z) 在多连通域内解析,
C 及 C1 为 D内的任意两条简 单闭曲线(正向为逆时针方向), A A
数学物理方法复变函数第三章幂级数
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
复变函数第3章
第三章 复变函数的积分1.复积分的定义：1()d lim (),nkk k Cf z z f z λξ→==∆∑⎰2.复变函数积分的性质性质3.1（方向性）若函数f (z )沿曲线C 可积，则()d ()d .CC f z z f z z -=-⎰⎰ (3.1)性质3.2（线性性）若函数f (z )和g (z )沿曲线C 可积，则(()())d ()d ()d ,CCCf zg z z f z z g z z αβαβ+=+⎰⎰⎰ (3.2)其中αβ,为任意常数.性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f (z )沿曲线C 可积，曲线C 由曲线段12,,,n C C C ,依次首尾相接而成，则12()d ()d ()d ()d .nCC C C f z z f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰⎰ (3.3)性质3.4（积分不等式）若函数f (z )沿曲线C 可积，且对z C ∀∈,满足()f z M ≤, 曲线C 的长度为L ,则()d ()d ,CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰3.复变函数积分的基本计算方法定理3.1 若函数f (z )=u (x,y )+iv (x,y )沿曲线C 连续，则f (z )沿C 可积，且()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x v y =-++⎰⎰⎰ (3.5)计算公式：设C 为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为()()()(),z z t x t iy t a t b ==+≤≤则：()d (())()d .baCf z z f z t z t t '=⎰⎰4. 柯西－古萨定理定理3.2（柯西-古萨定理） 若函数f (z )是单连通域D 内的解析函数，则f (z )沿D 内任一条闭曲线C 的积分为零，即()d 0.Cf z z =⎰5. 复合闭路定理：定理 3.5 若f (z )在复闭路012n C C C C C ---=++++ 及其所围成的多连通区域内解析，则12()d ()d ()d ()d nC C C C f z z f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰⎰ , (3.10)也就是()d 0Cf z z =⎰ .6. 原函数与不定积分（1）上限函数：固定下限z 0，让上限z 1在区域D 内变动，并令z 1=z ,则确定了一个关于上限z 的单值函数()()d .zz F z f ξξ=⎰ (3.8)并称F (z )为定义在区域D 内的积分上限函数或变上限函数. （2）定理3.3 若函数f (z )在单连通域D 内解析，则函数F (z )必在D 内解析，且有F '(z )=f (z ). （3）原函数：定义3.2 若在区域D 内，()z ϕ的导数等于f (z )，则称()z ϕ为f (z )在D 内的原函数.（4）不定积分：全体原函数可以表示为()()z F z C ϕ=+,其中C 为任意常数.称为f (z )的不定积分（5）定理3.4 若函数f (z )在单连通域D 内处处解析，()z ϕ为f (z )的一个原函数， 则11010()d ()()()z zz z f z z z z z ϕϕϕ=-=⎰, (3.9)其中z 0、z 1为D 内的点. 7.柯西积分公式定理3.6 若f (z )是区域D 内的解析函数，C 为D 内的简单闭曲线，C 所围内部全含于D 内，z 为C 内部任一点，则1()()d 2πC f f z i zξξξ=-⎰ , (3.11) 其中积分沿曲线C 的正向.8.高阶导数公式定理3.7 定义在区域D 的解析函数f (z )有各阶导数，且有()1!()()d (1,2,),2π()n n C n f f z n i z ξξξ+==-⎰ (3.13) 其中C 为区域D 内围绕z 的任何一条简单闭曲线，积分沿曲线C 的正向.9.调和函数（1）定义3.3 在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程22220x y ϕϕ∂∂+=∂∂ 的二元实函数(,)x y ϕ称为在D 内的调和函数.调和函数是流体力学、电磁学和传热学中经常遇到的一类重要函数.（2）定理3.10 任何在区域D 内解析的函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )，它的实部u (x ,y )和虚部v (x ,y )都是D 内的调和函数.（3）使u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内构成解析函数的调和函数v (x ,y )称为u (x ,y )的共轭调和函数.或者说，在区域D 内满足柯西-黎曼方程u x =v y ,v x =-u y 的两个调和函数u 和v 中，v 称为u 的共轭调和函数.解析函数f (z )=u +iv 的虚部v 为实部u 的共轭调和函数，u 与v 的关系不能颠倒，任意两个调和函数u 与v 所构成的函数u+iv 不一定是解析函数.已知单连通域D 内的解析函数f (z )的实部或虚部求f (z )的方法书上已经详细介绍了三种方法，这里不再赘述求积分2e d 1zCz z +⎰ ，其中C 为： |z |=2.。
复变函数ppt第三章
移向得
∫C0 f ( z)dz = ∫C1 f ( z)dz + ∫C2 f ( z)dz + L+ ∫Cn f ( z)dz
完
27
例3 设C为一简单闭光滑曲线, a∈C.计算积分 ∫ C
page47
dz . z−a
参考解答 a
C
r
a
C
Cr
(1)
(2)
完
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dz 例4 计算积分 ∫ C 2 . 积分按逆时针方向,沿曲线 逆 z −z C进行,C是包含单位圆周|z|=1的任意一条光
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定理3 定理3 设w=f(z) 在单连通区域D内解析,则由
F(z) = ∫ f (ξ )dξ
z0
z
z ∈ D (Th3-1)
定义的函数F(z)在D内解析,且
F ′( z ) = f ( z )
参考证明
完
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牛顿－莱布尼兹公式
定理4 定理4 设w=f(z) 在单连通区域 单连通区域D内解析, Φ ( z )是f(z) 单连通区域 的任一原函数,那么
都含在C0内部,这n+1条曲线围成了一个多连通区域 多连通区域 D,D的边界 ∂D 称为复闭路 复闭路. 复闭路 左手法则定正向: 左手法则定正向 沿着D的边界走, 区域D的点总在 左手边.
C0
C3
C2 C1
∴当C0取逆时针, C1 , C2 ,L , Cn都取顺时针.
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∂D = C 0 + C1 + C 2 +
第三章 复变函数的积分 复变函数
引言 复变函数积分的概念 柯西—古萨定理 柯西 古萨定理 柯西积分公式、 柯西积分公式、 解析函数的高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
复变函数第三章学习方法导学
第三章 复变函数的积分复变函数的积分（以下简称为复积分）是研究解析函数的重要工具之一．用这种工具我们可以证明解析函数的许多重要性质．例如，解析函数导数的连续性，解析函数的无穷可微性等，表面看起来只与微分学有关的命题，都可用复积分这一工具得到比较好地解决．另外，对解析函数，我们完全可以通过函数的连续性，再结合函数的适当积分特征（积分与路径无关）来加以刻画，从而使对解析函数研究摆脱以往过份依赖实、虚部二元实函数，受数学分析知识的限制这种尴尬的境地，为解析函数的研究开辟了新的途径和新的思路（实际上，解析函数的许多进一步研究，正是在有了积分定义法之后，才得以进一步深入）．一．学习的基本要求1．能正确地理解复变函数积分的定义，掌握复积分与实、虚部二元实函数所产生的两个第二型曲线积分的关系，从而理解为什么复积分虽具有形式上的一元性，但实质上是与多元函数的第二型线积分联系在一起的，具有第二型线积分的特点． 复积分与实积分的具体关系如下：函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+定义在平面有向光滑或逐段光滑曲线C 上，则()Cf z dz ⎰存在⇔(,)(,)Cu x y dx v x y dy -⎰和(,)(,)Cv x y dx u x y dy +⎰都存在．此时还有()(,)(,)(,)(,)CCCf z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy =-+⋅+⎰⎰⎰．2．熟练掌握复积分的若干基本性质以及基本性质的应用（比如：利用积分的估值性，估计复积分的模，证明一些与积分有关的极限问题等）．参数方程法3．熟练掌握复积分计算的两种基本方法——参数方程法 ，并牛顿－莱布尼兹公式能用这两种方法熟练计算复积分．●熟记复积分的参数方程计算公式：记积分路径C 的参数方程为()z z t =，0t t T ≤≤，其中00()z z t =，()Z z T =()f z 在积分路径C 上连续，则()d [()]()d T Ct f z z f z t z t t '=⋅⎰⎰其中右边定积分上、下限要根据曲线C 的方向确定．另外能正确写出连接两点1z 和2z 的直线段12z z 的参数方程 121()z z z z t =+-，01t ≤≤．圆周0z z ρ-=的参数方程0i z z e θρ=+，02θπ≤≤或πθπ-≤≤．●熟记复积分的牛顿－莱布尼兹公式：设函数()f z 在区域D 内连续，0z ，Z D ∈，C 是区域D 内从0z 到Z 的任意积分路径，若()f z 在区域D 内存在原函数()F z （即()()F z f z =，z D ∈），则 00()d ()d ()()()Z Zz z Cf z z f z z F z F Z F z ∆===-⎰⎰．这里注意的是：当()F z 为某多值函数的单值解析分支函数时，()F Z 的值一般不能随便取，要根据0()F z 的值以及z 沿C 从0z 连续变到Z 来确定．4．掌握并熟悉几个典型积分：① 若C 是平面上的一条围线，a C ∉，则112,10()0nCa C n a C n a C n Z i dz z a π=≠∈⎧⎪=⎨-⎪⎩⎰当在的内部，且当在的内部，且当在的外部，，， ．② 若C 是平面上以a 为心，R 为半径的一段圆弧，其参数方程为：i z a R e θ=+⋅， （1202θθθπ≤≤≤≤），方向是θ从1θ到2θ（即θ增加的方向或逆时针方向），则2121(1)(1)111(),11(),()(1)i n i n nCn n n i dz e e z a n R θθθθ---=≠⋅-⎧⎪=⎨⋅--⎪-⎩⎰当当 ． 特别，当C 为整个圆周z a R -=时，此时02θπ≤≤，112,10,()n Cn n i dz z a π=≠⎧=⎨-⎩⎰当当 ． ③0d Cz Z z =-⎰，2201d ()2C z z Z z =-⎰，其中C 为从0z 到Z 的任意简单曲线．特别当0z 与Z 重合（0Z z =），即C 为简单闭曲线时，d 0Cz =⎰，d 0Cz z =⎰．④ 要学会善于利用积分曲线的方程，对被积函数进行简化，例如当积分曲线为圆周2z R =时，可利用22R z z z ==⋅对被积函数进行简化等．5．了解并熟悉柯西（积分）定理的各种形式，理解各种形式的条件和结论的含义，理解为什么积分与路径无关能成为解析函数的积分特征，并能熟练掌握运用各种形式的柯西（积分）定理计算复积分的方法（理解柯西定理在计算积分中所起的作用）．初步掌握利用复积分来解决某些定积分问题的方法，理会这种方法的基本思路（即先选择适当的复积分，通过复积分的方法计算出积分的值，然后再利用参数方程法将复积分转化为实积分，通过比较实部和虚部，达到解决实积分的目的）．初步掌握利用柯西定理来解决解析函数的原函数的存在性问题．且是该解析函数在单连通区域内的原函数．（课本上的定理3.2及其变形的形式定理3.2＂）原函数（此时，我们称这样的原函数为解析函数的局部原函数），即多连通区域内的解析函数一定存在局部的原函数．附：定理3.2＂ 若函数()f z 在单连通区域D 内连续，且积分与路径无关，0z D ∈为取定的一点，则区域D 定义的变上限函数0()()d Z z F z f ξξ=⎰在D 解析，且为()f z 在D 内的原函数，即()()F z f z '=，z D ∈．6．能正确地理解柯西（积分）公式的含义，掌握其证明的方法及其如下统一形式：设D 为有界区域，C 为其边界，若()f z 在D 解析，在闭区域D D C =+上连续（即()f z 可以连续到C 上），则(),1()d 20,C f z zD f i z z D D Cξξπξ∈⎧⎪=⎨-∉=+⎪⎩⎰其中1()d 2C f i zξξπξ-⎰也称为柯西型积分． 并能熟练地应用柯西（积分）公式或其统一形式来计算复积分或某些其它的值（如()f z 在某一点的导数值等）．7．熟练掌握解析函数的高阶导数公式，并能熟练地运用高阶导数公式来计算复积分或证明某些定积分问题（如：220(21)!!cos d 2(2)!!n n n πθθπ-=⋅⎰等）．8．掌握解析函数的无穷可微性、复积分的柯西不等式、关于整函数的刘维尔定理及其刘维尔定理的简单应用（如：证明某些整函数为常函数，证明代数学基本定理等）．9．掌握莫勒拉定理以及解析函数的积分定义法．10．归纳复积分()Cf z dz ⎰的常用计算方法：当C 是非封闭简单曲线时，主要有下面的方法：① 利用C 的参数方程，将复积分()Cf z dz ⎰化为关于参数的定积分；② 补充适当积分路径与原积分路径合成封闭曲线，再用柯西定理或柯西公式以及参数方程法．此时要求补充的积分路径尽可能简单，以便在补充的积分路径上的复积分计算起来比较容易；③ 利用复积分的牛顿—莱布尼兹公式．当C 是简单闭曲线时，主要有下面的方法： ① 利用C 的参数方程，将复积分()Cf z dz ⎰化为关于参数的定积分；② 利用柯西定理或柯西（积分）公式或高阶导数的积分公式． ③ 利用课本第3章习题三的第16或17题．11．单连通区域内积分与路径无关的两种说法：设D 是单连通区域，函数()f z 定义在D 上，则下面的两种说法是等价的①对于D 内任意两点0z ，1z ，以及D 内任意一条以0z 为起点，1z 为终点的简单曲线C ，总有()Cf z dz ⎰的值只与0z 和1z 有关，而与D 内从0z 到1z 的简单曲线C 无关（即积分与路径无关）．②对于D 内任意的简单闭曲线C ，总有()0Cf z dz =⎰．二．问题研究－柯西型积分的几个问题设C 是复平面上的一条有向简单曲线，函数()f z 在C 上连续，通常我们把下面的积分1()()2C f F z d i zζζπζ=-⎰，z C ∉（即z C D ∆∈-=） 称为柯西（Cauchy ）型积分．1．柯西型积分在点集D 上的解析性显然，当C 是非封闭简单曲线时，D C =-是一个多连通区域；当C 是简单闭曲线时，D C =-是由一个单连通区域（即C 的内部）和一个多连通区域（即C 的外部）构成．问题１： 设C 是复平面上的一条有向简单曲线，函数()f z 在C 上连续，则1()()2C f F z d i zζζπζ=-⎰在C D ∆-=的每一个区域内解析，并且()1!()()2()n n C n f F z d i z ζζπζ+=-⎰（z D C ∈=-），{0,1,2,}n ∈规定：若函数()f z 在∞的某去心邻域内解析，且lim ()z f z →∞存在，则称()f z 在∞解析，此时()lim ()z f f z ∆→∞∞=．问题２： 若C 是简单闭曲线，则在上面的问题１中，lim ()z F z →∞有何特点，()F z 能否在∞解析？问题３： 若C 是简单闭曲线，()f z 在C 上连续，且()f z 在C 内部还解析，则问题１与柯西公式有何联系？2．柯西型积分的边值问题－奇异积分设a C ∈，若01()lim2r C r f d i aζζπζ→-⎰存在，其中{}r C C C a r ζζ=-⋂-<则定义01()()lim2r C r f F a d i aζζπζ∆→=-⎰称为柯西型积分()F z 在z a =处的值．其中()f ζ在C 上连续． 问题４： （１）讨论01()lim2r C r f d i aζζπζ→-⎰的存在性；（２）讨论01()lim2r C r f d i a ζζπζ→-⎰与01()lim 2r L r f d i aζζπζ→-⎰的关系， 其中r L 是与曲线{}C a r ζζ⋂-<具有相同起点和终点的适当圆弧：a r ζ-=．（３）若C 是简单闭曲线，()f z 在C 上连续，且()f z 在C 内部还解析，a C ∈，计算1()?2C f d i aζζπζ=-⎰，并由此写出全平面上统一的柯西公式．。
复变函数-第3章
切矢不为零
并且在[a,b]上, x′(t ), y′(t ) 存在连续且不同时为零, 则称 γ 为 光滑曲线; 若 z (a) = z (b), z ′(a) = z ′(b), 则称 γ 为光滑闭曲线.
光滑弧
光滑闭曲线
(3) 若 f (z ) 和 g (z ) 沿 γ 可积, 则
∫γ [ f ( z ) ± g ( z )]dz = ∫γ f ( z )dz ± ∫γ g ( z )dz.
定理 3.1.3
连续
可积
有界
设 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在逐段光滑曲线 Γ 上连续, 则
其中, l (Γ) = ∫ ds, ds =| dz |= (dx) 2 + (dy ) 2 . 特别,
∫
Γ
f ( z )dz ≤ max | f ( z ) | ⋅l (Γ).
z∈Γ
证明: (1) 设
z k = xk + iyk , Δxk = xk − xk −1 , Δyk = yk − yk −1 , ck = ξ k + iη k ,
0
∫
r3
′ z dz = ∫ z3 (t ) z3 (t )dt = ∫ [−t (1 − i )]2 [−1 − i ]dt
2 0 2 −2 −2
0
= −(1 + i )(1 − i )
2
∫
0
−2
t 2 dt = −(1 + i )(1 − i ) 2 8 . 3
r3
∫
Γ
z 2 dz = ∫ z 2 dz + ∫ z 2 dz + ∫ z 2 dz = 1 (16 + 32i ). 3
复变函数答案 钟玉泉 第三章习题全解
即 Φ′(x) = 0, Φ( x) = C ,故
f (z) = e x (x cos y − y sin y) + i( xex sin y + e x y cos y + C)
又因 f (0) = 0, 故 f (0) = iC = 0 ⇒ C = 0 ,所以
f (z) = ex ( x cos y − y sin y) + i(xex sin y + e x y cos y)
′(
x)
= 0.
所以ϕ( x) = C ,故
x
y
f (z) = − x2 + y2 + C + i x2 + y2
又因为 f (2) = 0 ,所以 C = 1 ,故 2
x1
y
f (z) = − x2 + y2 + 2 + i x2 + y2
17.证明：设 f (z ) = u + iv ⇒ 4 f ′( z) 2 = 4(ux2 + vy2 )
∫ 2z 2 − z +1dz = 2πi(2z 2 − z +1) = 4πi
z ≤2 z −1
z =1
(2)可令 f (z) = 2z 2 − z +1,则由导数的积分表达式得
∫ 2z 2 − z +1dz = 2πif ′(z) = 6πi
z =2 (z − 1) 2
z =1
sin π zdz
∫ v = (xex cos y − e x y sin y + e x coy)dy
∫ = xex sin y + e x sin y − e x y sin ydy
复变函数与积分变换 第3章复变函数的积分
i −z i −z = − ( z − 1)e − ∫ e dz 0 0
= − (z − 1)e
[
−z
+e
−z
] 0 = −ie
1
−i
= −i[cos(− 1) + i sin (− 1)]
= − sin 1 − i cos 1
=∫ 1 dz + 2 ∫ z =4 z + 1 1 dz z =4 z − 3
= 2πi.1 + 2πi.2 = 6πi.
柯西积分公式不但提供了计算某些复变函 数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析 函数的一个积分表达式,是研究解析函数的 有力工具. (见3.3.2解析函数的高阶导数). 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周 上的平均值 .
3.2.2 复连通区域的柯西定理——复合闭路定理 复合闭路定理 设有围线 C0 , C1 , C2 ,L, Cn ，其 中 C1 , C2 ,L, Cn 的每一条均在其余各条的外部 ，而它们又全部在C0 的内部；设 G 为由 C0 的内 部与 C1 , C2 ,L, Cn 的外部相交部分组成的复连 通区域，若 f ( z ) 在 G 内解析且在 G上连续，则
0
n
f
(n )
∫ (z − z )
c
n +1
dz (n = 1, 2 , L )
其中 C 为 f (z )在函数的解析区域 D 内围绕 z 0 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部 完全含于 D .
例3 计算 ∫
z = r >1
cos πz dz; 其中 5 c (z − 1)
C 为正向圆周:
解:由公式得
3.1.1 复积分的定义
复变函数第三章答案
I1 = ∫
C
� � 构成闭曲线（非简单） ，此时 C + 3, 2 可分解成两个简单闭曲线 2 MA2 和 3 AN 3 ，类似于上面的情
形，有
��� �
∫
∫
于是由复积分的曲线可加性
� 2 MA 2
� 3 AN 3
1 dz = 2π i ， z −1 1 dz = 2π i ， z −1
∫
��� � C + 3,2
C
综上所述，
I1 = ∫
（ 2）当 n ≠ 1 时，
C
1 。 dz = k ⋅ ( ±2π i ) + ln 2 （ k = 0,1, 2,⋯ ） z −1
1 1 在 ℂ \{1} 内存在单值的原函数 ⋅ ( z − 1)1− n ，所以，由复积分的 n ( z − 1) 1− n
牛顿—莱布尼茨公式，
I = ∫ Im zd z = ∫
C
1 0
( Im a + Im( b − a) ⋅ t )(b − a ) d t
1 ⎛ ⎞ 1 = ( b − a ) ⎜ Im a + Im(b − a ) ⎟ = (b − a ) Im ( a + b ) 。 2 ⎝ ⎠ 2
3. 计算下列积分：
I1 = ∫
∫
在 C + 1, 0 上，所以
���
1 1 1 1 1 dz = ∫ ���� ( − )dz = (2π i) = π ， 2 C + 1,0 1+ z 2i z −i z +i 2i 同理如果 C 仅围绕 i 按顺时针转一周，有 1 1 1 1 1 dz = ∫ ���� ( − )dz = ( −2π i) = −π ， ��� � 2 ∫C +1,0 1+ z 2i C +1,0 z − i z + i 2i
复变函数PPT第03章复变函数的积分
那么
∫
y
C
f ( z ) dz = ∫
T t0
f [ z ( t )] z′( t ) dt
C
z
Z = z (T )
z0 = z ( t 0 )
z = x+iy
o
x
积分的存在性及求法
证 f⎡ ⎣ z(t )⎤ ⎦ = u⎡ ⎣ x ( t ) , y ( t )⎤ ⎦ + i v⎡ ⎣ x(t ), y(t )⎤ ⎦ 所以
∑ ( u Δy
k =1 k
n
k
+ v k Δxk )
因为 u( x , y ) , v ( x , y ) 沿 C 连续 ,
所以
lim ∑ ( uk Δxk −vk Δyk ) = ∫ udx − vdy
δ→ 0 k =1 n C
n
lim ∑ ( uk Δyk +vk Δxk ) = ∫ vdx + udy
δ→ 0 k =1
ζk
z k −1
zk
Z
z n −1
o
x
积分的存在性及求法
∫ ∫
故
C
zdz = lim ∑ zk Δzk = lim ∑ zk ( zk − zk −1 )
δ→ 0 k =1 n δ→ 0 k =1
n
n
C
zdz = lim ∑ zk −1Δzk = lim ∑ zk −1 ( zk − zk −1 )
∫
C
f ( z )d z . 即 f ( z )dz = lim∑ f ( ζ k )Δzk
δ→0 k =1 n
∫
C
积分的存在性及求法 三、积分的存在性及求法
复变函数第3章
0
0
F ( z z ) F ( z ) 即 lim f ( z ) 也就是F'(z)=f(z) z 0 z
定义3.2 若在区域D内，(z)的导数等于f(z)， 则称(z)为f(z)在D内的原函数或不定积分. 变上限函数 F ( z ) f ( )d 为f(z)的一个原函数.
1 2 1
(2) C = C1 + C2 C1的参数方程为：z = t, t 从0到1; C2的参数方程为：z=1+it, t 从0到1.
C
z 2 dz z 2 dz z 2 dz
C1 1 C2
x t dt (1 it ) d(1 it ) 0 0 3
2 z 例3.1 分别沿下列路径计算积分 C dz 和来自CIm zdz :
(1) C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段； (2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段. 解：(1) C的参数方程为：z=(1+i)t, t从0到1.
C
z dz [(1 i )t ]2 d((1 i )t )
例 证明： |z 1|2
z 1 dz 8 . z 1
证：由积分不等式，有
| z 1| 2
z 1 z 1 dz ds | z 1| 2 z 1 z 1 | ( z 1) 2 | ds | z 1| 2 2 | z 1| 2 ds | z 1| 2 2 22 ds | z 1| 2 2 2
2 1 2 3 1
3 1
0
(1 t 2 i2t )idt
0
1
3 1 t 2 i 2 (1 i ) (t it 2 )i . 3 3 3 3 0
复变函数第3章
1
3 1 t 2 i 2 (1 i ) (t it 2 )i . 3 3 3 3 0
C
Im( z )dz Im( z )dz Im( z )dz
C1 1 C2
i 0dt td(1+ it ) i tdt . 0 0 0 2
| z 1| 2
ds 2 4 8 .
13
§2 柯西积分定理（柯西-古萨定理）
1.柯西-古萨定理 （积分方法二） 定理3.3（柯西-古萨定理） 若函数 f(z)是单连通域D 内的解析函数，C是D内任一周线，则
C
f ( z )dz 0.
定理3.4（柯西-古萨定理推广） 若函数 f(z)是单连通 域D内的解析函数，C是D内任一闭曲线，则
F ( z) f ( )d ,
z0 z
称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上 限函数.
18
定理3.6 若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z) 必在D内解析，且有F '(z)=f(z). 证明：设 z, z +z D， z F ( z z ) F ( z ) 1 z z f ( z) f ( )d f ( )d f ( z ) z0 z z z0 1 z z 1 z z f ( )d f ( z )d 与路径无关 z z z z z z 1 f(z)连续，则任意 [ f ( ) f ( z )]d z z >0, 存在 >0,使 1 得当|-z|<时， | z | . | z | 有|f() –f(z)|<.
C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0.
数学物理方法-复变函数-第三章-幂级数
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
复变函数第三章(第五讲)
§3-2 Cauchy积分基本定理 积分基本定理 1. Cauchy积分基本定理 积分基本定理 2. 复合闭路定理
原函数、不定积分、 3. 原函数、不定积分、路径无关
1. Cauchy 积分基本定理
Cauchy 积分基本定理 积分基本定理(1825年) 年
在单连通区域D内解析 则对D内 内解析, 定理 3.2.1 设 f 在单连通区域 内解析 则对 内 任一条有向闭曲线C, 任一条有向闭曲线
且 ∫ f ( z )dz＝∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy。
证明
设λ = max{| ∆z j |},
0≤ j ≤ n
= lim ∑ u( ρ j ,σ j ) + iv( ρ j ,σ j ) (∆x j + i∆y j )
λ →0 j =1
n
[ = lim ∑ [u( ρ , σ
α
β
∴∫ f (z)dz = ∫ f [z(t )]z'(t )dt。
C
β
α
例 1 计算积分
∫z
Ck
2
dz , k = 1 , 2 ; 其中
(1) C1 是从原点到 1 + i 3 的有向直线段 的有向直线段； (2) C2 是从原点到 再到 1 + i 3 的有向折线段； 是从原点到1再到 的有向折线段； 曲线C 的参数表示： 解 (1) 曲线 1 的参数表示：
∫
C
f ( z)dz = ∫
C1 +C2
f ( z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f ( z)dz;
C1 C2
( 5 ) 积分不等式： 设 C的长度为 L, 函数 f ( z )在 C上 积分不等式： 满足 f ( z ) ≤ M , 则
第3章 复变函数的积分
解：
11 i （1）− + 3 3
；
1 π2 （2）− ( + 3 ln 2 ) + i π ln 2 ； 8 4 8
（3）0； （4）注意到积分与路径无关.
16 3 3 π a + 16π 2 a 2 + 2πa 3
3.5 柯西积分公式 定理(柯西积分公式 定理 柯西积分公式) 如果函数 f (z ) 在区域 柯西积分公式 D内处处解析， C为内D的任何一条正向简 单闭曲线,它的内部完全含于D , z0 为C内的 任一点,那末 公式(3.5.1)称为柯西积分公式.通过这个公式 就可以把一个函数在C内部任何一点的值,用 它在边界上的值来表示.
−z i 0
−i
= − sin 1 − i cos1
练习：计算积分 （1）
∫ (2 + iz )
1
iiຫໍສະໝຸດ 2dz；ln( z + 1) （2） ∫ dz ； 1 ( z + 1)
（3）
∫π
3πi
− i
e dz ；
2z
(2 z 2 + 8 z + 1)dz 的值，C是0到 （4）计算积分 ∫C
x 2πa 的摆线： = a (θ − sin θ ), y = a(1 − cos θ ) .
对 ξ k 的取法如何，当分点无限增多，而这些弧段长 度的最大值 λ 趋于零时，和式
S n = ∑ f (ξ k )( z k − z k −1 ) =∑ f (ξ k )∆z k
k =1 k =1 n n
的极限唯一存在，则称此极限为函数 f (z ) 沿曲线 C 从 A 到 B 的积分，记作 ∫C f ( z )dz ，
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§1 复变函数积分的概念
一、定义 1. 有向曲线: C : z z (t ) x(t ) iy(t ) 选定正方向: 起点 终点 C + 简单闭曲线正方向: P 沿正向前进, 曲线 内部在左方. 2. 复变函数的积分:(P70定义)
f ( z )dz
c
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( n ) k 1
复 变 函 数（第四版）
第三章 复变函数的积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 复变函数积分的概念 柯西－古萨(Cauchy-Goursat)基本定理 基本定理的推广－复合闭路定理 原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系
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条件放宽, C 为解析域 D 的边界. f (z)在D C D上连续 , 则 c f ( z )dz 0 例: 对任意 C .
c z
2
dz 0
c e dz 0 c sin z dz 0
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dz ire d i 2 dz ire c 0 n1 i ( n1) d n 1 ( z z0 ) r e i 2 i 0 n in d n r r e
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i
2 0
e in d
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( 接上页例 )
i [v( k ,k )xk u( k ,k )yk ] .
k 1
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n
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c f ( z )dz cudx vdy i cvdx udy c(u iv)(dx idy)
复变函数积分
1 1 于是 dz ds cz i c c zi 1 1 在C上, z i | 3t ( 4t 1) i |
1
2
4 25 t 25 25
5 9 3
而
c ds 5,
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1 5 25 c z i dz 3 c ds 3
原式 0 [ x (1 y ) i ] d( x i y ) 0 [ x (1 x )] dx i 0 [(1 x ) x ] dx
1 1
1
2 i
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2, (0≤x≤1) y = x 解: 2) 取弧段方程为: dy = 2xdx 2 i z x (1 y )i x (1 x ) i
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k 1
k
( 见P79图3.6 )
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证明:
AEBBE AA f ( z )dz 0 AAF BBFA f ( z )dz 0
相加
（闭路变形原理）
c c
1
0
即
c
C
( P78图3.5 )
例: 由§1的例2知, 当C为以z0中心的正向圆周时, dz 由闭路变形原理 c z z 2 i 0 结论: 对于包含z0的任何一条正向简单闭曲线Γ, dz 2 i 有 z z0 《复变函数》 2014-10-20 第19页
t dt
1 7 2 (3 4i ) 12i 2 2
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又:
c zdz c ( x iy)(dx i dy ) c xdx ydy i c ydx xdy
右边两个线积分都与路径C无关，
c zdz
1 2 1 2
5. 积分估值式：设曲线 C的长度为L， f ( z )在C上满足 | f ( z ) | M .
则 | c f ( z )dz | c | f ( z ) | ds ML
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例4. 设C为以原点到3 4i 的直线段, 试求积分 1 c z i dz 绝对值的一个上界. 解: C 的方程为 z (3 4 i ) t 0 t 1
而若积分与路径无关, 则有 因此, 有
柯西－古萨基本定理:
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c f ( z )dz 0 .
( 转下页↓)
第15页
柯西－古萨基本定理:
f (z) 在单连通域B内处处解析 c f ( z )dz 0 , C为B中的任一条封闭曲线. ( 又称柯西积分定理 ) 等价命题: 如果函数 f (z) 在单连通域B内处处 解析, 则积分 c f ( z )dz 与路径无关. 逆命题(莫瑞拉(Morcra)定理):设D是复平面上的单连 通域, 函数f (z)在D上连续, 若在D内任一条闭曲 线C上都有 c f ( z )dz 0, 则函数f (z)在D内解析.
2 [ x ( 1 x ) i ] d( x i y ) 原式 0 1
0 [ x (1 x ) i ] d x i 0 [ x (1 x )i ]2 x d x
2 2
1
1
0 [ x (1 x )2 x ] d x i 0 [(1 x 2 ) x 2 x ] d x
n0 2 i 2 1 2 n i i i n 0 e n [e e ]0 n nr 0 r i n
即
n0
1 2 i ( z z ) n1 dz 0 |z z 0 | r 0
n0 n0
—————————————— 公式 特点: 与积分圆周的中心和半径无关.
的值, 不论C是怎样的连接原点到
1 2 3+4i 的曲线, 都等于 (3 4i ) . 2
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dz , 例2:(P73) 计算 c n 1 其中C为以zo为中心, ( z z0 ) r 为半径的正向圆周, n为整数.
解: C 的方程: i z z0 re , 0 2
(转下页↓)
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《复变函数》(第四版)
( 接上页例 )
∴ 原式 0 i (e e
2
2
i
i 2
) (ie )d
i
0 (e
2 e 3i
2
3 i 2
e 2 )d
2 2 e i 0
i
i
3 i 2
Hale Waihona Puke 2 2 3 i 2i i i e 2i e ( 2i ) 3 3
z2
§3 基本定理的推广－复合闭路定理
定理推广到多连通域的情况. Th: 设 C 为多连通域 D 内的一条简单闭曲线, C1, C2, …, Cn 是在C内部的简单闭曲线,它们 互不包含也互不相交, 并且以 C1, C2, …, Cn 为边界的区域全含于D. 如果 f (z)在Γ内解析, 在Γ及Γ内连续，那末 . n i) c f ( z )dz c f ( z )dz , 其中C及Ck均取正方向. i i) f ( z )dz 0 , 其中 C C1 C2 Cn
f (z) = u (x )
一元实变函数 b 定积分: u( x)dx a
f (
k 1
n
k
)zk [u( k , k ) iv( k , k )](xk iyk )
n
[u ( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
k 1
k 1 n
2 2 i 2i i 2i 3 3
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8 i 3
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(与实函定积分类似) 三、性质 1. c f ( z )dz c f ( z )dz
2.
c k f ( z)dz k c f ( z)dz ( k为常数 ) 3. c [ f ( z ) g ( z )] dz c f ( z )dz c g ( z ) dz 4. c c f ( z ) dz c f ( z ) dz c f ( z ) dz
0
lim f ( k )z k
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n
如果C为闭曲线, 沿此闭曲线的积分记作: c f ( z )dz 复变函数积分
C: a≤x≤b
二、计算 1.当C为光滑曲线,f(z)沿C连续时,积分c f ( z )dz存在 2.若 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) zk= xk + iyk , 则
例1:计算 c zdz.其中C为从原点到 3+4i 的直线段. 解: C : x 3t , y 4t , 或: z 3t i 4t (3 4i)t.
dz (3 4i )dt.
2 1 0
0 t 1
c zdz 0 (3 4i )
1
2
t dt (3 4i )
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§2 柯西－古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
c f ( z )dz c udx vdy i c vdx udy
由曲线积分与路径无关的条件. u v v u , . y x y x 恰为 f ( z ) u iv 解析的 C R条件.
2
1
1
2 2 i 3
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补例2: 计算积分: