《复变函数》第3章

§1 复变函数积分的概念
一、定义 1. 有向曲线: C : z z (t ) x(t ) iy(t ) 选定正方向: 起点 终点 C + 简单闭曲线正方向: P 沿正向前进, 曲线 内部在左方. 2. 复变函数的积分:(P70定义)
f ( z )dz
c
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( n ) k 1
复 变 函 数（第四版）
第三章 复变函数的积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 复变函数积分的概念 柯西－古萨(Cauchy-Goursat)基本定理 基本定理的推广－复合闭路定理 原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系
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条件放宽, C 为解析域 D 的边界. f (z)在D C D上连续 , 则 c f ( z )dz 0 例: 对任意 C .
c z
2
dz 0
c e dz 0 c sin z dz 0
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dz ire d i 2 dz ire c 0 n1 i ( n1) d n 1 ( z z0 ) r e i 2 i 0 n in d n r r e
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i

2 0
e in d
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( 接上页例 )
i [v( k ,k )xk u( k ,k )yk ] .
k 1
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n
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c f ( z )dz cudx vdy i cvdx udy c(u iv)(dx idy)
复变函数积分
1 1 于是 dz ds cz i c c zi 1 1 在C上, z i | 3t ( 4t 1) i |
1
2
4 25 t 25 25
5 9 3
而
c ds 5,
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1 5 25 c z i dz 3 c ds 3
原式 0 [ x (1 y ) i ] d( x i y ) 0 [ x (1 x )] dx i 0 [(1 x ) x ] dx
1 1
1
2 i
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2, (0≤x≤1) y = x 解: 2) 取弧段方程为: dy = 2xdx 2 i z x (1 y )i x (1 x ) i
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k 1
k
( 见P79图3.6 )
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证明:
AEBBE AA f ( z )dz 0 AAF BBFA f ( z )dz 0
相加
（闭路变形原理）
c c
1
0
即

c
C
( P78图3.5 )
例: 由§1的例2知, 当C为以z0中心的正向圆周时, dz 由闭路变形原理 c z z 2 i 0 结论: 对于包含z0的任何一条正向简单闭曲线Γ, dz 2 i 有 z z0 《复变函数》 2014-10-20 第19页

t dt
1 7 2 (3 4i ) 12i 2 2
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又:
c zdz c ( x iy)(dx i dy ) c xdx ydy i c ydx xdy
右边两个线积分都与路径C无关，

c zdz
1 2 1 2
5. 积分估值式：设曲线 C的长度为L， f ( z )在C上满足 | f ( z ) | M .
则 | c f ( z )dz | c | f ( z ) | ds ML
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例4. 设C为以原点到3 4i 的直线段, 试求积分 1 c z i dz 绝对值的一个上界. 解: C 的方程为 z (3 4 i ) t 0 t 1
而若积分与路径无关, 则有 因此, 有
柯西－古萨基本定理:
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c f ( z )dz 0 .
( 转下页↓)
第15页
柯西－古萨基本定理:
f (z) 在单连通域B内处处解析 c f ( z )dz 0 , C为B中的任一条封闭曲线. ( 又称柯西积分定理 ) 等价命题: 如果函数 f (z) 在单连通域B内处处 解析, 则积分 c f ( z )dz 与路径无关. 逆命题(莫瑞拉(Morcra)定理):设D是复平面上的单连 通域, 函数f (z)在D上连续, 若在D内任一条闭曲 线C上都有 c f ( z )dz 0, 则函数f (z)在D内解析.
2 [ x ( 1 x ) i ] d( x i y ) 原式 0 1
0 [ x (1 x ) i ] d x i 0 [ x (1 x )i ]2 x d x
2 2
1
1
0 [ x (1 x )2 x ] d x i 0 [(1 x 2 ) x 2 x ] d x
n0 2 i 2 1 2 n i i i n 0 e n [e e ]0 n nr 0 r i n
即
n0
1 2 i ( z z ) n1 dz 0 |z z 0 | r 0
n0 n0
—————————————— 公式 特点: 与积分圆周的中心和半径无关.
的值, 不论C是怎样的连接原点到
1 2 3+4i 的曲线, 都等于 (3 4i ) . 2
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dz , 例2:(P73) 计算 c n 1 其中C为以zo为中心, ( z z0 ) r 为半径的正向圆周, n为整数.
解: C 的方程: i z z0 re , 0 2
(转下页↓)
第11页
《复变函数》(第四版)
( 接上页例 )
∴ 原式 0 i (e e
2
2
i
i 2
) (ie )d
i
0 (e
2 e 3i
2
3 i 2
e 2 )d
2 2 e i 0
i
i
3 i 2
Hale Waihona Puke 2 2 3 i 2i i i e 2i e ( 2i ) 3 3
z2
§3 基本定理的推广－复合闭路定理
定理推广到多连通域的情况. Th: 设 C 为多连通域 D 内的一条简单闭曲线, C1, C2, …, Cn 是在C内部的简单闭曲线,它们 互不包含也互不相交, 并且以 C1, C2, …, Cn 为边界的区域全含于D. 如果 f (z)在Γ内解析, 在Γ及Γ内连续，那末 . n i) c f ( z )dz c f ( z )dz , 其中C及Ck均取正方向. i i) f ( z )dz 0 , 其中 C C1 C2 Cn
f (z) = u (x )
一元实变函数 b 定积分: u( x)dx a
f (
k 1
n
k
)zk [u( k , k ) iv( k , k )](xk iyk )
n
[u ( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
k 1
k 1 n
2 2 i 2i i 2i 3 3
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8 i 3
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(与实函定积分类似) 三、性质 1. c f ( z )dz c f ( z )dz
2.
c k f ( z)dz k c f ( z)dz ( k为常数 ) 3. c [ f ( z ) g ( z )] dz c f ( z )dz c g ( z ) dz 4. c c f ( z ) dz c f ( z ) dz c f ( z ) dz
0
lim f ( k )z k
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n
如果C为闭曲线, 沿此闭曲线的积分记作: c f ( z )dz 复变函数积分
C: a≤x≤b
二、计算 1.当C为光滑曲线,f(z)沿C连续时,积分c f ( z )dz存在 2.若 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) zk= xk + iyk , 则
例1:计算 c zdz.其中C为从原点到 3+4i 的直线段. 解: C : x 3t , y 4t , 或: z 3t i 4t (3 4i)t.
dz (3 4i )dt.
2 1 0
0 t 1

c zdz 0 (3 4i )
1
2
t dt (3 4i )
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§2 柯西－古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
c f ( z )dz c udx vdy i c vdx udy
由曲线积分与路径无关的条件. u v v u , . y x y x 恰为 f ( z ) u iv 解析的 C R条件.
2
1
1
2 2 i 3
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补例2: 计算积分:
i
c | z 1 | dz,
C 为 | z | 1 .
dz iei d
解: C : z e , 0 2 z 1 (cos 1) i sin
2 i 2 i 4 i
奇点0, 1
(或者以 z = 0 和 z =1 为圆心, 作两个互不相交, 半径很小的圆, 然后用复合闭路定理… … )
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2z 1 dz 的值为多少? 其中Γ为正 问: 积分 2 z z
向圆周 | z | =3 与负向圆周 | z | =2 所组成.
易记
两个二元实变函数 曲线积分(对坐标)
3. 若C的方程: 则
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z z (t ) x(t ) iy(t ) t

α、β分别对应起点A , 终点B.
c f ( z )d z f [ z(t )]z (t )d t
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| z 1 | (cos 1) 2 sin 2 2(1 cos ) 2 | sin | 2 sin ( 0 ) 2 2 2
e e 2 2i
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i 2
i 2
i ( e 2
i
i e 2 )
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补例1: 计算积分 c (i z )dz, C 为 1) 自点 0 到 1+i 的直线段. 2) 自点 0 到 1+i 的抛物线 y = x2的弧段. 解: 1) 取直线段方程为: y = x ( 0≤x≤1 ) 则 i z x (1 y ) i x (1 x) i
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2z 1 例: 计算 2 d z 的值 , Γ 为包含圆周 z z | z | =1在内的任何简单闭曲线. 1 1 2z 1 2z 1 dz dz dz 解: 2 z 1 z z ( z 1) z z 1 1 dz dz z 1 z