分式定义及意义(优.选)

分式概念及意义知识讲解

分式的意义和性质一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。

这就是分式的概念。

研究分式就从这里展开。

2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。

分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。

一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。

3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。

（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。

（3）分式：，当时，分式的值为零。

（4）分式：，当时，分式的值为1。

（5）分式：，当时，即或时，为正数。

（6）分式：，当时，即或时，为负数。

（7）分式：，当时或时，为非负数。

三、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。

不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。

2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。

4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。

5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。

四、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。

就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。

2、约分的理论依据是分式的基本性质。

3、约分的方法：（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。

例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。

分式的定义

分式的定义分式是由两个整式构成的比值，它通常写成$\frac{A(x)}{B(x)}$的形式，其中$A(x)$和$B(x)$是两个整式，$B(x)$不等于0。

分子$A(x)$是分式的分子，分母$B(x)$是分式的分母。

分数可以表示为带分数或小数，但分式只能表示为分式形式。

分子和分母都是整式的分式称为代数分式，而分子或分母中含有实数或变量的分式称为含有实数或变量的分式。

分数是初中数学中最简单和最重要的概念之一。

分式的含义是把一个整体分成若干份，并取其中的一份或几份，或者将分子分数与分母分数的比较简单的方法。

分式的定义把两个多项式的表达式用除法来表示，分母是被除数的表达式，分子是除数的表达式。

分式中的分式在代数上的意义是相同的。

例如，$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{6}$表示相同的数值，它们都代表同一个比值。

分式中不能出现分母为0的情况，因为任何数除以0都无法得到一个有意义的结果。

如果分母为0，那么分式就没有定义。

一个分式是简单分式，当分母和分子都为一次多项式时。

一个分式是复杂分式，当分子或分母中至少有一个高于一次的多项式时。

如果一个分子中的每一个项都是分母的因数，则该分式被称为真分式。

如果一个分式的分子是一个多项式，这个多项式可以被分解成独立的因子，每个因子都不是分母的因子，那么这个分式被称为带余式。

分式的基本运算要比整式复杂得多，因为要注意分母不能为零。

对于分式的四则运算来说，最重要的原则是分母化通，即把每个分式的分母化为相同的多项式，这样就能进行加减乘除了。

例如，如果要计算$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$，那么需要把分母化为相同的多项式，最终结果才能以分式的形式表示。

因此，可以将分母通分为$bd$，然后得到等效的分式$\frac{ad+bc}{bd}$。

总之，分式是代数学中一个非常重要的概念，它被广泛应用于各种数学方面，包括高等数学，物理和工程学。

了解分式的基本概念和运算方法是理解更高级数学理论的关键。

分式和分式方程的概念和意义

分式和分式方程的概念和意义如何理解分式和分式方程？1. 什么是分式？分式是数学中的一个重要概念，它表示为a/b的形式，其中a和b都是整数且b不等于0。

分式也可以表示为小数形式，比如2/3可以表示为0.6667。

2. 分式的意义是什么？分式可以表示部分的概念，比如一块蛋糕被分成4份，每份就可以用1/4来表示。

分式的意义在于它可以准确地表示一个整体被分成若干份时每一份所占的比例。

3. 分式方程又是什么？分式方程就是含有未知数的分式表达式，并且这个未知数不是分式中的参数。

比如(x+1)/3 = 2，这个方程中的未知数是x，方程中含有分式。

4. 分式和分式方程的解的意义？解分式方程可以得到未知数的值，可以帮助我们解决实际生活中的问题，比如工程施工中需要确定某种材料的用量，涉及到分式方程的计算。

5. 个人观点和理解对于分式和分式方程的概念，我认为它们是数学中非常重要且实用的概念。

在现实生活中，我们经常会遇到一些比例和分配的问题，比如商业中的利润分成，生活中食物的配比等等，这些都可以用分式和分式方程来表示和求解。

学好分式和分式方程对于提高解决实际问题的能力是非常有帮助的。

回顾总结通过本次写作，我对分式和分式方程的概念有了更加深入和全面的理解。

我会在以后的学习和工作中更加灵活地运用这些概念，提高数学解决实际问题的能力。

本文总结了分式和分式方程的概念和意义，并对其进行了全面深入的讨论。

希望本文能帮助您更好地理解和应用分式和分式方程。

续写：6. 分式方程的应用分式方程在实际生活中有很多应用。

比如在商业中，我们经常需要解决利润分成的问题，这就可以通过分式方程来表示和求解。

另外，在化学实验中，需要按照一定的比例混合不同的溶液，这也可以用分式方程来描述。

在工程施工中，需要确定材料的用量，也可以通过分式方程来进行计算。

学好分式方程可以帮助我们更好地解决实际生活和工作中的问题。

7. 分式方程的解法解分式方程的方法主要有通分法、分离变量法等。

分式知识点总结

分式知识点总结1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3.分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

〔分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.〕〔分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。

首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。

〕4.分式的根本性质：分式的分子与分母同乘〔或除以〕一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为〔〕，其中A、B、C是整式注意：〔1〕“C是一个不等于0的整式〞是分式根本性质的一个制约条件；〔2〕应用分式的根本性质时，要深刻理解“同〞的含义，防止犯只乘分子〔或分母〕的错误；〔3〕假设分式的分子或分母是多项式，运用分式的根本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C；〔4〕分式的根本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

5.分式的通分：和分数类似，利用分式的根本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。

几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。

求最简公分母时应注意以下几点：〔1〕“各分母所有因式的最高次幂〞是指凡出现的字母〔或含字母的式子〕为底数的幂选取指数最大的；〔2〕如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；〔3〕如果分母是多项式，一般应先分解因式。

6.分式的约分：和分数一样，根据分式的根本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

分式的意义和性质

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------分式的意义和性质分式的意义和性质一、分式的概念 1、用 A、 B 表示两个整式， AB 可以表示成的形式，其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母，如果除式 B 中含有字母，式子就叫做分式。

这就是分式的概念。

研究分式就从这里展开。

2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。

分式的分子 A 可取任意数值，但分母 B 不能为零，因为用零做除数没有意义。

一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。

3、（1）分式：，当 B=0 时，分式无意义。

（2）分式：，当 B0 时，分式有意义。

（3）分式：，当时，分式的值为零。

（4）分式：，当时，分式的值为 1。

（5）分式：1 / 10，当时，即或时，为正数。

（6）分式：，当时，即或时，为负数。

（7）分式：，当时或时，为非负数。

二、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。

不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。

2、这个性质可用式子表示为：（M 为不等于零的整式） 3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。

4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。

5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。

三、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。

就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。

分式讲义

分式一、基本知识1、分式定义：形如BA的式子叫分式，其中A 、B 是整式，且B 中含有字母。

（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。

（2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。

（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。

方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。

（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。

（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。

（7）有理式：整式和分式统称有理式。

2、分式的基本性质：（1）)0(的整式是≠⋅⋅=M M B M A B A ；（2）)0(的整式是≠÷÷=M MB M A B A （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算：（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。

（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。

（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。

（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。

二、例题讲析 1、（2011黑龙江黑河，18，3分）分式方程=--11x x)2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为（）A 0和3B 1C 1和－2D 3 【答案】D2、（2011年铜仁地区，4，4分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（）A.60512601015-=+x x B.60512601015+=-x x C.60512601015-=-x x D.5121015-=+x x .【答案】A3、（2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 . 【答案】11-a 4. （2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x 元，由题意得， 80000x+500=60000x ．解得x =1500．经检验x =1500是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为1500元．（2）设购进甲型号手机m 台，由题意得， 17600≤1000m +800（20-m ）≤18400， 8≤m ≤12．因为m 只能取整数，所以m 取8、9、10、11、12，共有5种进货方案．（3）方法一：设总获利W 元，则W =（1500-1000）m +（1400-800-a ）（20-m ）， W =（a -100）m +12000-20a ．所以当a =100时，（2）中所有的方案获利相同．方法二：由（2）知，当m =8时，有20-m =12．此时获利y 1=（1500-1000）×8+（1400-800-a ）×12=4000+（600-a ）×12 当m=9时，有20-m=11此时获利y 2=（1500-1000）×9+（1400-800-a ）×11=4500+（600-a ）×11 由于获利相同，则有y 1= y 2．即4000+（600-a ）×12=4500+（600-a ）×11，解之得a =100 ．所以当a =100时，（2）中所有方案获利相同． 5. （2011贵州黔南，21，10分）为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：单位清淤费用（元/m 3）清淤处理费（元）甲公司18 5000 乙公司20 0 （1）若剑江河首批需要清除的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由。

苏科版初中八年级数学下册期末分式有意义及值为0的条件知识点含答案

苏科版初中八年级数学下册期末分式有意义及值为0的条件知识点含答案1、分式的定义一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么代数式叫做分式，其中是分式的分子，是分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零．2、分式有意义、无意义的条件（1）当分母时，分式无意义；（2）当分母时，分式有意义．注意：①分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0； ②分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子的值是否为0无关.3、分式的值（1）分式值为：分子为且分母不为，即；（2）分式值为正：分子分母同号，即或；（3）分式值为负：分子分母异号，即或．注意：①分式的值为0必须同时满足两个条件：分子的值为0；分母的值不为0.具体运用时，常常忽视分母不为0这一隐含条件而导致出错；②必须在分式有意义的前提下，才能谈分式的值时多少，也就是说，必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值是否等于0.典例1（2019春•江阴市期末）若分式有意义，则应满足的条件是 A ．B ．C ．D ．【解答】解：若分式有意义，则，A B B A B A B 0B =A B0B ≠A B 00000A B =⎧⎨≠⎩00A B >⎧⎨>⎩00A B <⎧⎨<⎩00A B >⎧⎨<⎩00A B <⎧⎨>⎩2x x -x ()2x ≠2x =2x >0x ≠2x x -20x -≠解得：，故选：．典例2（2019春•玄武区期末）若分式的值为零，则．【解答】解：分式的值为零，且，解得：．故答案为：1．典例3（2019春•鼓楼区期末）若分式的值为0，则的值为．【解答】解：若分式的值为0，则且．开方得，．当时，分母为0，不合题意，舍去．故的值为．故答案为．2x ≠A 2x x x-x =2x x x-20x x ∴-=0x ≠1x =242x x --x 242x x --240x -=20x -≠12x =22x =-2x =x 2-2-。

分式的概念与运算知识点总结

分式的概念与运算知识点总结分式是数学中常见的一种表示方法，用于表示两个数之间的比例关系或部分关系。

本文将对分式的概念和运算相关的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和运用分式。

一、分式的基本概念1. 分式的定义：分式是由分子和分母组成的表达式，其中分母不能为零。

2. 分式的读法：分子通常读作“分子”，分母读作“分母”。

例如，"3/4 "读作“三分之四”。

3. 分式的意义：分式表示部分与整体的比例关系，可用于表示分数、比率、百分比等概念。

二、分式的基本形式1. 真分式：分子小于分母的分式，如：3/4。

2. 假分式：分子大于等于分母的分式，如：5/4。

3. 整式：分子恒为零的分式，如：0/6。

4. 真分数：分子绝对值小于分母的分式，如：|-2/5|。

5. 假分数：分子绝对值大于等于分母的分式，如：|7/2|。

三、分式的基本运算1. 分式的相等：若两个分式的分子、分母完全相同，则它们相等。

例如，1/2 = 2/4。

2. 分式的加减运算：将两个分式的分母取相同的公倍数，然后将分子相加或相减。

例如，1/3 + 1/4 = 7/12。

3. 分式的乘除运算：将两个分式的分子相乘，分母相除。

例如，2/3 × 4/5 = 8/15。

4. 分式的倒数：将分式的分子与分母互换位置得到的新分式称为原分式的倒数。

例如，倒数为3/4的分式为4/3。

5. 分式的化简：将分式的分子和分母约分，使它们没有公因数。

例如，8/12可以化简为2/3。

四、分式的应用1. 分式在比例问题中的应用：通过设置分式的比例关系来求解问题。

例如，已知一辆车以每小时60公里的速度行驶，求2小时行驶的距离。

2. 分式在百分数问题中的应用：将百分数转化为分式，进行运算。

例如，计算75%的数值为多少。

3. 分式在平均数问题中的应用：通过设置分式的平均数关系来求解问题。

例如，已知某次数学考试的平均分为80分，其中A同学的得分为90分，求B同学的得分。

分式的性质及意义

分式的性质及意义分式是数学中一种特殊的表达形式，由分子和分母组成，分子与分母都可以是数或者代数式。

1.分式的值是唯一的：分式所代表的数值是确定的，不会因为分式写法的不同而改变。

2.分式的分母不能为零：分母不能为零，因为除数不能为零。

3.分式的约分：分式可以通过约分化简为最简形式，即分子和分母没有相同的因子。

4.分式的乘法和除法：两个分式相乘时，可以将分子和分母分别相乘；两个分式相除时，可以将第一个分式的分子和第二个分式的分母相乘，并将第一个分式的分母和第二个分式的分子相乘。

5.分式的加法和减法：两个分式相加时，需要首先找到它们的公共分母，然后将分子相加，分母保持不变；两个分式相减时，需要首先找到它们的公共分母，然后将分子相减，分母保持不变。

分式的意义：1.分数的意义：分式可以用来表示一个整体被划分成若干等份中的一份。

分母表示整体被划分的份数，分子表示被划分的份数中的一份。

例如，1/2表示一个整体被划分为两份中的一份。

2.比值的意义：分数也可以表示两个数的比值。

分子表示比例中的前一个数，分母表示比例中的后一个数。

例如，2/3表示两个数的比值为2：33.量的意义：分数可以用来表示一定数量的其中一种东西。

分子表示具体的量值，分母表示这个量与单位的关系。

例如，1/4表示一个量的值为1，单位为4个。

4.分式的运算意义：分式的运算可以用来解决实际问题，如分数的相加减、相乘除等运算可以用来求解各种问题，如物品的比例增减、人员的比例关系等。

分式在日常生活中的应用非常广泛，如：1.厨房中的食谱：食谱中经常用到分数，如“1/2杯糖”、“3/4勺盐”等，用来表示食材的量。

2.比例关系：比值经常用到分数的形式，例如比例尺上的比例关系就是使用分数表示的。

3.金融中的利率：利息的计算中用到的年利率、月利率等都可以看作分数的形式。

4.化学中的配方：不同化学物质的配方中经常使用到分数，如“2:1”的配方比例表示两个物质的摩尔比。

分式定义及意义

10.1 分式定义及意义一、复习引入：1、什么是单项式？多项式？举例说明。

2、根据条件列出代数式①半径为r 的圆的面积。

②长方形的宽为am ，长比宽多5m ，求该长方形的面积；。

③面积为102cm 的长方形花坛，如果原计划长为b cm ，后决定延长3cm ，那么它的宽用代数式表示为。

④底为（a-2）cm ，面积为s 2cm 的三角形的高为。

思考：观察所列代数式①②与③④有何区别？。

二、引导思维、自学感知1、观察③④，试总结分式定义：一般地，用A 、B 表示，A ÷B （B ≠0）可以表示为的形式。

如果B 中含有，那么我们把式子（）叫分式。

（另一种定义：分母中含有的代数式叫分式）例1 下列各式是分式吗？如果不是，请说明理由。

⑴23+x x （x ≠ -2） ⑵32+x例2 当x 取什么值时，下列各式有意义？⑴13-x x ⑵321+-x x ⑶)1)(2(3+-+x x x小结：分式有意义的条件：2、巩固练习（一）：1、下列各式哪些是分式？哪些是整式？ ⑴b 1 ⑵325+-a a ⑶y x y x --22 ⑷πx ⑸2n m + ⑹1312-b 2、x 取什么值时，下列分式有意义？⑴123++x x ⑵5332+-x x ⑶2132x x -- ⑷65922+--x x x2、例题分析例1、当x 是什么数时，分式2312+-x x 的值等于零？例2、若分式11+-x x 的值为零，求x 的值。

例3、当x 取什么值时，分式392--x x 值为零？小结：分式的值为零的条件：。

巩固练习：（二）1、当x 取什么值时，下列分式值为零？ ⑴x352- ⑵392--x x ⑶2652-+-x x x ⑷622-+-x x x三、拓展提高：1、若分式x 352-值小于零，求x 的取什么值范围。

2、若132+-x x ＞0成立，求x 的取值范围。

3、当x 为何值时分式2)1(1-+x x 的值为正数？ 4、当a 为何值时，2)1(4+a 的值为1？四、课堂小结：通过本节课你有什么收获？五、课堂检测1、下列各式44b -，57+a ，14+a ，b a +2，6-πx 是分式的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、填空：（1）当x 时，分式124+-x x 值为零（2）当x 时，分式1324+-x x 有意义（3）当x 时，分式14+x 无意义（4）当x 时，代数式 1225-+x x 是分式 3、当x 取什么值时，下列分式值为零？ ⑴x x 5213+- ⑵732-+x x ⑶112+-x x※4、若分式x 15253-的值为负数，求x 的取什么值范围。

分式的定义和有意义的条件

分式的定义和有意义的条件一、分式的定义和有意义的条件1、分式的概念一般地，如果$A$，$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。

分式$\frac{A}{B}$中，$A$叫做分子，$B$叫做分母。

2、分式有意义的条件分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0。

即当$B≠0$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义。

3、分式的值为0的条件当分式的分子等于0，且分母不等于0时，分式的值为0，即当$A=0$，且$B≠0$时，分式$\frac{A}{B}=0$。

4、分式的基本性质（1）分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

即$\frac{A}{B}=\frac{A·C}{B·C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}$$(C≠0)$，其中$A$，$B$，$C$是整式。

（2）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（3）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数约去它们的最大公约数，如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。

（4）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。

（5）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

（6）通分法则：把两个或者几个分式通分，① 先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂与所有不同因式的积）。

② 再利用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式。

③ 若分母是多项式，则先分解因式，再通分。

（7）最简公分母：各分式分母的所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。

分式概念及意义

分式概念及意义分式的意义和性质一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。

这就是分式的概念。

研究分式就从这里展开。

2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。

分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。

一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。

3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。

（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。

（3）分式：，当时，分式的值为零。

（4）分式：，当时，分式的值为1。

（5）分式：，当时，即或时，为正数。

（6）分式：，当时，即或时，为负数。

（7）分式：，当时或时，为非负数。

三、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。

不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。

2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。

4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。

5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。

四、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。

就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。

2、约分的理论依据是分式的基本性质。

3、约分的方法：（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。

例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。

分式的意义及分式的基本性质

分式的意义及分式的基本性质从分数到分式知识领航：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式．对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零．分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当0≠B 时，分式B A 才有意义；当B=0时，分式BA无意义.由于只有在分式有意义的条件下，才能讨论分式的值的问题，因此，要分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零．分式的基本性质是：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示是：C B C A B A ⋅⋅= CB CA B A ÷÷=（0≠C ）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分．约分的依据是分式的基本性质．习题一：1、当x 取什么值时，下列分式有意义．（1）54+x x ，（2）422+x x.2、已知分式242+-x x ，当X 为何值时，分式无意义？当X 为何值时，分式有意义？当X 为何值时，分式的值为零？当X=-3时，分式的值是多少？3、式子①x 2 ②5y x + ③a -21 ④1-πx 中，是分式的有-----------------------------（） A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④4、分式13-+x ax 中，当a x -=时，下列结论正确的是---------------------------------------（） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若31≠a 时,分式的值为零5. 若分式1-x x无意义,则x 的值是------------------------------------------------------( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1±6.如果分式x 211-的值为负数,则的x 取值范围是------------------------------------------( ) A.21≤x B.21<x C.21≥x D.21>x7.若分式1122+-a a 有意义，则-------------------------------------------------------------（）。

分式的意义及性质

分式的意义及性质分式是一种特殊的数学表达式，用于表示一个数与另一个数之间的比例关系。

分式通常由一个分子和一个分母组成，分子表示被除数，分母表示除数。

分子和分母可以是整数、变量或者是一个完整的代数表达式。

1.分式表示两个数的比例关系。

例如，分式1/2表示1和2之间的比例关系，即1比2小一半。

2.分式能够表示一个整体被等分为若干份，并表示其中的一部分。

例如，分式1/3表示一个整体等分为3份，而1表示其中的一份。

3.分式可以用于表示一个数相对于另一个数的百分比。

例如，分式2/5表示一些数相对于5的总数而言，占了其中的2份。

分式的性质：1.分式具有乘除结合律。

例如，(a/b)×(c/d)=(a×c)/(b×d)，(a/b)÷(c/d)=(a×d)/(b×c)。

2.分式可以化简为最简形式。

即将分子与分母进行约分，使它们没有共同的因子。

3.分式可以互化为带分数或者小数形式。

例如，分式2/3可以互化为带分数2/3=0.6666...或小数形式2/3≈0.674.分式可以进行加减运算。

对于相同分母的分式，可以直接将分子相加或相减，分母不变；对于不同分母的分式，可以通过通分后再进行运算。

5.分式可以进行乘除运算。

两个分式的乘积等于分子相乘，分母相乘；两个分式的除法等于分子相除，分母相除。

分式在数学中具有广泛的应用，尤其是在代数学和实数学中。

它们可以用于解方程、表示比例、表示百分比、计算平均数等。

分式的意义和性质的理解对于数学的学习和应用具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解数与数之间的关系，并运用到实际的问题中去。

分式知识点归纳与总结

分式知识点归纳与总结一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

例如：1/x 是分式，因为分母 x 中含有字母；而 2/5 不是分式，因为分母 5 是常数。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。

即对于分式 A/B，B≠0 时，分式有意义。

例如：对于分式 3/（x 1)，要使其有意义，则x 1≠0，即x≠1。

三、分式的值为零的条件分式的值为零需要同时满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。

即当 A ＝ 0 且B≠0 时，分式 A/B 的值为零。

例如：若分式（x 2)／（x ＋ 2)的值为零，则 x 2 ＝ 0 且 x ＋2≠0，解得 x ＝ 2。

四、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C≠0）例如：将分式 2x/（3y)的分子分母同时乘以 2，得到 4x/（6y)，分式的值不变。

五、约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

确定公因式的方法：（1）系数：取分子、分母系数的最大公约数；（2）字母：取分子、分母相同的字母因式；（3）相同字母的指数：取相同字母因式中指数最低的。

例如：对分式（4x²y)／（6xy²)进行约分，分子分母的系数 4 和 6的最大公约数是 2，相同字母 x 的最低指数是 1，y 的最低指数是 1，所以约分后为 2x/（3y)。

六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

最简公分母的确定方法：（1）系数：取各分母系数的最小公倍数；（2）字母：凡各分母中出现的字母（或含字母的式子）都要选取；（3）相同字母的指数：取相同字母（或含字母的式子）的最高次幂。

分式的定义分式有意义的条件分式的基本性质

分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。

其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。

其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。

这里，分母是指除式而言。

而不是只就分母中某一个字母来说的。

也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。

分式有意义的条件：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。

分式的区别概念：分式与分数的区别与联系：a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无限不循环小数也是无理式无理式和有理式统称代数式分式的基本性质是什么分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。

分式的意义和性质

分式的意义和性质分式（Fraction）是指由两个整数表示的有理数，其中，分子（numerator）表示分数的一个部分，分母（denominator）表示分数的另一个部分。

分式通常写成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 是分子，$b$ 是分母。

分式的意义和性质在数学中有广泛的应用，如代数、几何、物理等领域。

一、分式的意义：1. 分式表示数的部分：分式能够表示数的部分或部分数量。

例如，$\frac{2}{3}$ 表示一个整体的三分之二，$\frac{7}{8}$ 表示一个整体的八分之七。

2. 分式表示比率：分式可以用来表示比率或比例。

例如，$\frac{5}{6}$ 表示五份中的六份，$\frac{3}{5}$ 表示三个中的五个。

3. 分式表示除法：分式可以看作是一个数除以另一个数的结果。

例如，$\frac{2}{5}$ 可以看作是2除以5的结果。

这种表示方法在计算中特别有用。

4. 分式表示小数：分式也可以表示小数。

例如，$\frac{1}{2}$ 表示小数0.5，$\frac{3}{4}$ 表示小数0.75二、分式的性质：1. 分式的大小比较：对于正的分式，分子越大，分数越大。

例如，$\frac{4}{5}$ 比 $\frac{2}{5}$ 大。

对于正的分式，分母越大，分数越小。

例如，$\frac{2}{3}$ 比 $\frac{2}{5}$ 小。

2. 分式的约分：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的数。

例如，$\frac{2}{4}$ 可以约分为 $\frac{1}{2}$。

约分可以简化计算，并且使得分式更加简洁。

5. 分式的倒数：分式的倒数是指将分子和分母互换位置所得到的新的分式。

例如，$\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$。

倒数的意义是将分数的分子与分母的位置对调，可以改变分数的大小关系。

总之，分式作为有理数的一种表示形式，具有很多重要的意义和性质。

分式的概念和运算

分式的概念和运算分式作为数学中的重要概念，在实际生活和学习中都有着广泛的应用。

它可以帮助我们更好地理解和处理各种比例关系和分配问题。

本文将从基本概念、分式的运算规则和应用几个方面，对分式进行详细的阐述。

一、基本概念1. 分式的定义分式是指以“分子/分母”的形式表示的数，其中分子与分母均为整数，分母不等于零。

分子表示被分割的数量，分母表示整体的数量。

2. 分子与分母的含义分子表示分割出的部分数量，分母表示整体的数量。

例如，若将一个馅饼平均分给3个人，则分子为1（表示每个人份的馅饼数量），分母为3（表示总共有3个人）。

3. 分数与分式的关系分数是分式的一种特殊形式，它是指分子比分母小的分式。

例如，1/2、2/3都是分数，也是分式。

可以说所有的分数都是分式，但不是所有的分式都是分数。

二、分式的运算规则1. 分式的乘法和除法分式的乘法：两个分式相乘时，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。

例如：2/3 × 3/4 = (2 × 3) / (3 × 4) = 6/12分式的除法：两个分式相除时，将被除数的分子与除数的分母相乘得到新的分子，将被除数的分母与除数的分子相乘得到新的分母。

例如：2/3 ÷ 3/4 = (2 × 4) / (3 × 3) = 8/92. 分式的加法和减法分式的加法：两个分式相加时，首先找到两个分式的公共分母，然后将各自的分子相加得到新的分子，分母保持不变。

例如：1/2 + 1/3 = (1×3 + 1×2) / 2×3 = 5/6分式的减法：两个分式相减时，首先找到两个分式的公共分母，然后将各自的分子相减得到新的分子，分母保持不变。

例如：1/2 - 1/3 = (1×3 - 1×2) / 2×3 = 1/6三、分式的应用1. 比例关系分式可以用来表示比例关系。

【初中数学】初中数学知识点：分式的定义

【初中数学】初中数学知识点：分式的定义分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。

其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。

这里，分母是指除式而言。

而不是只就分母中某一个字母来说的。

也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。

分式有意义的条件：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。

分式的区别概念：分式与分数的区别与联系：a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无限不循环小数也是无理式无理式和有理式统称代数式感谢您的阅读，祝您生活愉快。