分式定义
17.1.1．分式的概念
一、素质教育目标
（一）知识储备点
理解并掌握分式、有理式的概念，正确识别分式是否有意义，能掌握分式的值是否等于零的方法．
（二）能力培养点
通过分数类比，概括出分式的概念，培养学生观察、猜想、类比的能力，通过有理式概念的归纳，培养学生归纳、分析问题的能力，通过整式与分式的区别，培养学生分类问题的能力．
（三）情感体验点
分式、有理式的概念，渗透数学概念的简洁美与对称美，学生在学习过程中自主探索，在类比中得出新的知识，让学生在自主探索中得到成功的喜悦，形成良好的学习氛围，得到数学能力的最大满足．通过类比方法的教学，培养学生对事物之间是普遍联系又是变化发展的辩证观点的再认识．
二、教学设想
1．重点：使学生理解并掌握分式、有理式的概念．
2．难点：正确识别分式是否有意义，通过类比分数的意义，?加强对分式意义的理解．3．疑点：分式的值在什么情况下等于零．
4．课型与基本教学思路：新授课．本节课通过具体例题，?由分数的表示类比分式的表示法，得出分式的概念，归纳出有理数的概念，并能识别分式是否有意义及分式的值是否等于零．
三、媒体平台
教具、学具准备：自制投影胶片．
四、课时安排
1课时
五、教学步骤
（一）教学流程
1．情境导入
（投影显示）问题：
（1）面积为2m2的长方形，一边长3m，则它的另一边长为多少？
（2）面积为Sm2的长方形，一边长am，则它的另一边长为多少？
（3）一箱苹果售价为P元，总量m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是多少？
2．课前热身
（复习提问）
（1）把下列两个数相除的形式表示成分数的形式：3÷4；4÷3；8÷7；-8÷3；3÷（-8）（2）分数中的分子、分母与除式中的被除数、除数是什么关系？
（3）为什么分数的分母不能为零？
3．合作探究
（1）整体感知：A．让学生通过问题讨论并回答：①面积为2m2的长方形，一边长3m，则它的另一边长为m；②面积为Sm2的长方形，一边长am，则它的另一边长为m；
③一箱苹果售价为P元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是元．学生发现两个整式相除，不能整除时结果可用分数表示．B．教师总结：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．其中A叫做分式的分子，B?叫做分式的分母．整式和分式统称有理数，即
有理式
（2）四边互动
互动1
师：教师在讲述分式的概念之后，就小学时零不能做除法，提示学生注意分式中应注意哪一个问题，学生互相讨论，回答．
生甲：在分式中，分母的值不能是零，因为零不能做分母．
生乙：如果分母的值是零，则分式就没有意义了．
分式概念及意义知识讲解
分式的意义和性质 一、分式的概念 1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做 分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。 2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不 一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有 意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。 （2）分式：，当B≠0时，分式有意义。 （3）分式：，当时，分式的值为零。 （4）分式：，当时，分式的值为1。 （5）分式：，当时，即或时，为正数。 （6）分式：，当时，即或时，为负数。 （7）分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的基本性质： 1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。 2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式） 3、学习基本性质应注意几点： （1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零； （2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子； （3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。 4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。 5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子： ，。 四、约分： 1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。 2、约分的理论依据是分式的基本性质。 3、约分的方法： （1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。 例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3） （4）
分式的定义学案
分式的定义 主备人：王军 审核人： 姓名 班级 学习目标： 1．了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系。 2．掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系。 重点：了解分式的形式B A （A 、 B 是整式），并理解分式概念中的一个特点：分母中含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不得为零. 难点：分式的一个特点：分母含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不能为零. 预习导学：1．阅读课本第65—67页。 2．完成下列练习，看看他们的答案和我们以前学过的整式有什么不同？ （1）正n 边形的每个内角为多少度？ （2）一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为m kg ，箱子的质量为n kg ，则每千克苹果的售价是多少中一种图书的原价是每册a 元，现降价x 元销售，当这种图书的元？ （3）有两块棉田，有一块x 公顷，收棉花m 千克，第二块y 公顷，收棉花n 千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （4）文林书店库存一批图书，其库存全部售出时，其销售额为b 元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？ 答案：（1） （2） （3） （4） 不同之处： 合作探求：1．分式的定义： (1)定义： (2)你认为定义中应注意什么问题？ (3)练习：课本67页知识技能第1题。 2．分式有意义的条件： (1)分式B A 有意义的条件是：______________； (2)课本67页随堂练习第1题。 3．分式值为零的条件： (1)分式B A 的值为零的条件是：______________； (2)当x 取何值时，下列分式的值为零？ ①x x 231-+ ②112--x x ③3 3--x x
分式的概念及性质应用
分式的概念及性质 定义 示例剖析 分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 A B 叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且0B ≠． 例如211 a ax +， 分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等 于零即0B ≠． 使1x 有意义的条件是0x ≠ 分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零． 即当0A =且0B ≠时，0A B =． 使1 1x x -+值为0的x 值为1 知识互联网 模块一 分式的基本概念 知识导航
【例1】 ⑴下列式子：2 124233a x y a x x x a b x +---π，，，， ，1 x x y +其中是分式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ⑵当x 时，分式 2x x +有意义；当x 时，分式21 1 x +有意义； ⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？ ① 213x x -+ ②6(6)(1)x x x --+ ③ 216(4)(1)x x x -+- ④ 288 x x + ⑤ 2225(5)x x -- 【例2】 ⑴当x 时，分式 233x x --的值为1；如果分式1 21x x -+的值为1-，则x 的值是_____. ⑵当x 时，分式48x -的值为正数；当x 时，分式48x x --的值为负数；当 x 时，分式6 1x +的值为正整数. ⑶当3x =-时，分式x b x a --无意义，当5x =时，分式x b x a --的值为0，则a b +=_____. 能力提升 夯实基础 模块二 分式的基本性质
分式定义
17.1.1．分式的概念 一、素质教育目标 （一）知识储备点 理解并掌握分式、有理式的概念，正确识别分式是否有意义，能掌握分式的值是否等于零的方法． （二）能力培养点 通过分数类比，概括出分式的概念，培养学生观察、猜想、类比的能力，通过有理式概念的归纳，培养学生归纳、分析问题的能力，通过整式与分式的区别，培养学生分类问题的能力． （三）情感体验点 分式、有理式的概念，渗透数学概念的简洁美与对称美，学生在学习过程中自主探索，在类比中得出新的知识，让学生在自主探索中得到成功的喜悦，形成良好的学习氛围，得到数学能力的最大满足．通过类比方法的教学，培养学生对事物之间是普遍联系又是变化发展的辩证观点的再认识． 二、教学设想 1．重点：使学生理解并掌握分式、有理式的概念． 2．难点：正确识别分式是否有意义，通过类比分数的意义，?加强对分式意义的理解．3．疑点：分式的值在什么情况下等于零． 4．课型与基本教学思路：新授课．本节课通过具体例题，?由分数的表示类比分式的表示法，得出分式的概念，归纳出有理数的概念，并能识别分式是否有意义及分式的值是否等于零． 三、媒体平台 教具、学具准备：自制投影胶片． 四、课时安排 1课时 五、教学步骤 （一）教学流程 1．情境导入 （投影显示）问题： （1）面积为2m2的长方形，一边长3m，则它的另一边长为多少？ （2）面积为Sm2的长方形，一边长am，则它的另一边长为多少？ （3）一箱苹果售价为P元，总量m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是多少？ 2．课前热身 （复习提问） （1）把下列两个数相除的形式表示成分数的形式：3÷4；4÷3；8÷7；-8÷3；3÷（-8）（2）分数中的分子、分母与除式中的被除数、除数是什么关系？ （3）为什么分数的分母不能为零？ 3．合作探究 （1）整体感知：A．让学生通过问题讨论并回答：①面积为2m2的长方形，一边长3m，则它的另一边长为m；②面积为Sm2的长方形，一边长am，则它的另一边长为m； ③一箱苹果售价为P元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是元．学生发现两个整式相除，不能整除时结果可用分数表示．B．教师总结：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．其中A叫做分式的分子，B?叫做分式的分母．整式和分式统称有理数，即
分式定义与意义
10.1 分式定义及意义 一、复习引入： 1、什么是单项式？多项式？举例说明。 2、根据条件列出代数式 ①半径为 r 的圆的面积 。 ②长方形的宽为 am ，长比宽多 5m ，求该长方形的面积； 。 ③面积为 10 cm 2 的长方形花坛， 如果原计划长为 b cm ，后决定延长 3cm ，那么它的宽用代数 式表示为 。 ④底为（ a-2） cm ，面积为 s cm 2 的三角形的高为 。 思考：观察所列代数式①②与③④有何区别？ 。 二、引导思维、自学感知 1、观察③④，试总结分式定义： 一般地，用 A 、B 表示 ，A ÷B （ B ≠0）可以表示为 的 形式。如果 B 中含有 ，那么我们把式子 （ ）叫分式。 （另一种定义：分母中含有 的代数式叫分式） 例 1 下列各式是分式吗？如果不是，请说明理由。 ⑴ 3x x 2 （ x ≠ -2） ⑵ x 2 3 例 2 当 x 取什么值时，下列各式有意义？ 3x x 1 x 3 ⑴ ⑵ ⑶ x 1 2x 3 (x 2)( x 1) 小结：分式有意义的条件： 2、巩固练习（一） ： 1、下列各式哪些是分式？哪些是整式？ 1 a 5 x 2 y 2 x m n ⑹ 1 2 1 ⑴ ⑵ ⑶ y ⑷ ⑸ b b 2a 3 x 2 3 2、x 取什么值时，下列分式有意义？ x 2 ⑴ x 3 2x 3 2x 3 ⑷ 9 2x 1 ⑵ ⑶ 2 2 5x 6 3x 5 1 x x 2、例题分析 例 1、当 x 是什么数时，分式 2x 1 的值等于零？ 例 2、若分式 x 1 的值为零，求 x 的值。 3x 2 x 1 例 3、当 x 取什么值时，分式 x 2 9 值为零？ x 3 小结：分式的值为零的条件： 。
人教版同步教参数学八年级-分式：分式的基本概念和性质
分式 第 1 节 分式的基本概念和性质 【知识梳理】 1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是B A 的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．5．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 6．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．7．最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
分式概念练习题
1、下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？ －3x ＋52，1＋x 3，21++x x ,m m 3-,53b a +,x 234-,4 n m -,123+x －132-y , x x 22,π 1(x ＋y), 整式｛ …｝ 分式｛ …｝ 2、当分子等于0时，分式的值为0 （ ） 3、分式1 12+x 一定有意义 （ ） 4、当x 时，分式21++x x 无意义；当x 时，分式2 31-+x x 无意义；当x 时，分式3 54-+x x 有意义；当x 时，分式x ＋12-x －2 3+x 有意义； 5、要使式子33-+x x ÷4 2-+x x 有意义，x 的取值应为 。 6、当x 时，分式33 +-x x 的值为0。 7、使分式1 122+-a a 有意义的a 的取值是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠±1 C 、a ≠－1 D 、a 为任意实数 8、当x = －3时，下列分式中有意义的是（ ） A 、33-+x x B 、33+-x x C 、)2)(3()2)(3(--++x x x x D 、) 2)(3()2)(3(-++-x x x x 9、分式5 12++x x 的值为负，则x 应满足 （ ） A 、x ＜－5 B 、x ＜5 C 、x ＜0 D 、x ≤0 10、当x 取什么值时，下列分式无意义？ （1）123+x （2）2 1-x
11、当x 取什么值时，分式 )2)(3(2+-+x x x 无意义？ 12、当x 取什么值时，分式 )2)(1(5+-+x x x 有意义？ 13、当x 取什么值时，分式 )3)(2(2+-+x x x 值为0？ 14、当x 取什么值时，分式 25x x -值为正？ 15、若1 3+a 表示一个整数，则整数a 可以取哪些值？ 16、观察下面一列有规律的数： 31，82，153，244，35 5，486，…… 根据规律可知第n 个数应是 （n 为正整数）
分式定义及意义
10.1 分式定义及意义 一、复习引入： 1、什么是单项式多项式举例说明。 2、根据条件列出代数式 ①半径为r 的圆的面积 。 ②长方形的宽为am ，长比宽多5m ，求该长方形的面积； 。 ③面积为102cm 的长方形花坛，如果原计划长为b cm ，后决定延长3cm ，那么它的宽用代数式表示为 。 ④底为（a-2）cm ，面积为s 2cm 的三角形的高为 。 思考：观察所列代数式①②与③④有何区别 。 二、引导思维、自学感知 1、观察③④，试总结分式定义：一般地，用A 、B 表示 ，A ÷B （B ≠0）可以表示为 的形式。如果B 中含有 ，那么我们把式子 （ ）叫分式。 （另一种定义：分母中含有 的代数式叫分式） 例1 下列各式是分式吗如果不是，请说明理由。 ⑴23+x x （x ≠ -2） ⑵3 2+x 例2 当x 取什么值时，下列各式有意义 ⑴ 13-x x ⑵3 21+-x x ⑶)1)(2(3+-+x x x 小结：分式有意义的条件： 2、巩固练习（一）： 1、下列各式哪些是分式哪些是整式 ⑴b 1 ⑵325+-a a ⑶y x y x --22 ⑷π x ⑸2n m + ⑹1312-b 2、x 取什么值时，下列分式有意义
⑴123++x x ⑵5332+-x x ⑶2132x x -- ⑷65922+--x x x 2、例题分析 例1、当x 是什么数时，分式2 312+-x x 的值等于零 例2、若分式11+-x x 的值为零，求x 的值。 例3、当x 取什么值时，分式3 92--x x 值为零 小结：分式的值为零的条件： 。 巩固练习：（二） 1、当x 取什么值时，下列分式值为零 ⑴x 352- ⑵392--x x ⑶2652-+-x x x ⑷622-+-x x x 三、拓展提高： 1、若分式 x 352-值小于零，求x 的取什么值范围。 2、若132+-x x ＞0成立，求x 的取值范围。 3、当x 为何值时分式 2)1(1-+x x 的值为正数 4、当a 为何值时，2)1(4+a 的值为1 四、课堂小结： 通过本节课你有什么收获 五、课堂检测 1、下列各式44b -，57+a ，14+a ，b a +2，6 -πx 是分式的有（ ）
分式的基本概念及性质
分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ (0 m≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 一、分式的基本概念 【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 t ，(2) 3 x x+， 221 1 x x x -+ - ， 24 x x + ， 5 2 a ，2m， 2 1 321 x x x + -- ， 3 π x - ， 32 3 a a a + 【例2】代数式 2222 113 1 321223 x x x a b a b ab m n xy x x y +-- +++ + ，，，，，，，中分式有（） A.1个 B.1个 C.1个 D.1个 分式的基本概念及性质
分式(1)(分式概念、基本性质)
分式（1）（分式概念、基本性质） 一、基础知识梳理： 1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 做分式。A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0. 2.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变. 3.分式的约分 (1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质． (3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． 4.最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 二、针对性练习： （一）、填空题： 1.对于分式 1 22 x x -+（1）当________时，分式的值为0 ； （2）当________时，分式的值为1；（3）当________时，分式无意义； （4）当________时，分式有意义. 2．填充分子，使等式成立； ()2 22(2)a a a -= ++； ()22233x x x -=-+- 3．填充分母，使等式成立：() 22 23434254x x x x -+-=- -- ； ()2 1a a a c ++=（a ≠0）. 4．化简：233812a b c a bc =_______；6425633224a b c a b c = ；22 4488a b a b -=- ；
第一节 分式的基本概念与性质-学而思培优
第一节分式的基本概念与性质 一、课标导航 二、核心纲要 1.分式概念 一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母(B≠O)，那么式子B A 叫做分式， 注：在理解分式的概念时，注意以下四点 (1)分式的分母中必须含有字母； (2)分式的分母的值不为O ； (3)分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开； (4)判断分式时需要看最初形式． 2．有理式 整式与分式统称为有理式． 3．分式有意义的条件 两个整式相除，除数不能为O ，故分式有意义的条件是分母不为O ； 当分母为0时，分式无意义． 4．分式的值 (1)分式的值为零：必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 即00=?=A B A 且.0=/ B (2)分式的值为1：满足分式的分子与分母相等，且分式的分母不能为零， 即.01=/=?=B A B A (3)分式的值为-1：满足分式的分子与分母互为相反数，且分式的分母不能为零. 即 .01=/-=?=B A B A (4)分式的值为正：满足分式的分子与分母同号， 即???>>?>000B A B A 或???? <<00B A (5)分式的值为负：满足分式的分子与分母异号． 即 ???<>?<000B A B A 或????><00B A 5.分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，
即：).0(,=/÷÷==m m b m a b a bm am b a 注：①在运用分式的基本性质时，前提条件是m≠0； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的整式； 6．约分 (1)概念：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． (2)步骤： ①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去； ②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去． (3)公因式的确定：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母中的相同字母，指数取次数低的，即为它们的公因式． 7.最简分式 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．约分时，一般将一个分式化为最简分式． 8．通分 (1)概念：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分． (2)步骤 ①求出所有分式分母的最简公分母； ②将所有分式的分母变为最简公分母．同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子． (3)最简公分母的确定：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积． 本节重点讲解：四个定义，一个性质，一种求值，一个条件． 三、全能突破 基 础 演 练 1．在x x x y x y y x x --+2,4,,3,0,3π中，是整式的有 ；是分式的有 2．当x 时，分式 53+x 有意义；当x 的值为 时，分式53+x 的值为1． 3．如果分式x x x 55||2+-的值为O ，那么x 的值是( )． 0.A 5.B 5.-C 5.±D 4． (1)分式 2)1(2?+-x x 的值为正数的条件是( )． 2. 10.1 分 式 导 学 案 学习目标：1、了解分式产生的背景和分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。 2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。 3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系 的一类代数式。 重点： 分式的概念和分式有意义的条件。 难点： 分式的特点和分式有意义的条件。 一、课前预习： 1、 什么是整式？ 2、 下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？ a 21；2x+y ；2y x - ；a 1 ；x y x 2- ；3a ；5 . 3、 自主探究：通过探究发现，a s 、s V 、v +20100、v -2060与分数一样，都是 的形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 。 4、 归纳：分式的意义： 。上面所看到的a 1 、x y x 2-、a s 、s V 、v +20100、v -2060都是 。 我们小学里学过的分数有意义的条件是 。 那么分式有意义的条件是 。 二、课堂展示： 例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）、5x-7 ；（2）、3x 2-1 ；（3）123+-a b ；（4）、7 )(p n m +；（5）、—5 ； （6）、1222-+-x y xy x 、（7）、72；（8）、c b +54。 分是有： 整式有： 例2、x 为何值时，下列分式有意义？ （1）、1 -x x ； （2）、15622++-x x x （3）、242+-a a ； 例3、x 为何值时，下列分式的值为0？ （1）、1 1+-x x ；（2）、392+-x x ；（3）、112+-a a （4）11--x x 三、随堂练习： P 5的“练习” 四、课堂检测： 1、下列各式中，（1）y x y x -+（2）1 32+x （3）x x 13-（4）π22y xy x ++（5）14.3--πb a （6）0.整式是 ，分式是 。（只填序号） 2、当x= 时，分式2 +x x 没有意义。3、当x= 时，分式112+-x x 的值为0 。 4、当x= 时，分式22x x +的值为正，当x= 时，分式1 132+-a a 的值非负。 5、甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇;若同而行则b 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的（ ）倍. Ａ.b b a + Ｂ.b a b + Ｃ.a b a b -+ Ｄ.a b a b +- 6、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式．如果一次乒乓球比赛有x 名选手报名参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有 场 7、使分式6 3||2---x x x 没有意义的x 的取值是（ ）A.―3、B.―2、C. 3或―2、D. ±3 五、小结与反思： 内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义 的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单 的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题 分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式 1 x ，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a m b b m ÷=÷(0m ≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠； 知识点睛 中考要求 分式的基本概念及性质 ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 1. ⑴x 为何值时，分式 21 41 x x ++无意义？ ⑵x 为何值时，分式21 32x x -+有意义？ ⑶x 为何值时，分式21 1 x x -+有意义？ 2. 若分 24 1 ++x x 的值为零，则x 的值为________________________． 3. 若22032 x x x x +=++，求 21(1)x -的值. 4. 若分式216 0(3)(4) x x x -=-+，则x ； 5. （6级）若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ ⑴2222 x y x y +- ⑵3 323x y ⑶223x y xy - 6. （4级）约分： ⑴2322 15____20a b c b c -= ⑵22 4____16x x x -=- ⑶ 2 (2)____2x y y x -=- ⑷2 2 ____mx my x y +=- ⑸22 2 249____4129x y x xy y -=++ ⑹22412____710 x x x x --=++ ⑺222222 2____2a b c bc c a b ab --+=--+ ⑻ 11 23 4____18m m m m x y x y +-+-= 课后作业 授课班级：汽修9班 时间：2018年1月5日（星期5）早上第三节课 分式的概念 教学目标 1、知识与技能 1.能用分式表示现实情景中的数量，体会分式的模型思想，进一步发展符号感； 2.了解分式和有理式的概念； 3.理解分式有意义和分式的值为零的条件。 2、过程与方法 能通过回忆分数的基本结构，类比地总结分式的概念。 3、情感态度与价值观 通过探索问题、发现问题、解决问题提高学习数学的兴趣，获得轻松愉快成功的学习体验。 教学重点、难点 1.教学重点：分式的概念、用分式表示生活中的数量 2.教学难点：分式有意义及分式的值为零的条件 教学过程 一、创境引入 师：大家对分数并不陌生，请你说几个分数，我帮你记下来。 生：举例 师：板书写以下问题： （1）长方形的长为3,面积为2,则它的宽为多少？ （2）长方形的长为t，长增加1后面积达到10，则它的宽为多少？ （3）小明步行上学的速度为a m/s，放学回家的速度比上学时快 b 家校 m/s.间的距离为s米，回家需要多长时间? (4) 两块棉花地，第一块地面积为 a 公顷，产棉花m 千克，第二块地面积 为b 公顷，产棉花n 千克，两块地平均每公顷产多少棉花？ 学生独立思考，并说出列式依据。 试一试： (1) 一箱苹果，总售价a 元，箱子与苹果总重量为 m 千克，箱子质量为n 千克，每千克苹果的售价为多少元？ (2) 小明用身上的钱购买单价为a 元的笔记本，冈収子买了 b 本，现在笔记 本价格下降了 1元，如果用一样多的钱购买，现在能买几本？ 二、共同探究 师：大家从上面的分数和分式这两大类式子中发现有什么共同点？两大类之 间有什么不同点? 生：讨论回答 总结概念：用a 、b 表示两个整式，a * b 就可以表示成 含有字母，式子a 就叫做分式。其中，a 叫做分式的分子, b 整式和分式统称有理式。 分式的两大特征：1、分子分母都是整式 三、深入探究 师：两数相除，什么不能为零? 两式相除，什么不能为零? 生：除数、除式不能为零。 师：归纳为分母不能为零，这就是分式有意义的条件 师：板书写出例题1，分析并板书解题格式。 例3、求下列分式有意义的条件： a 的形式。如果 b 中 b 叫做分式的分母。 2 、分母中含有字母 师：板书写一些式子，学生判断哪些是整式，哪些是分式。 例1、在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 ，-(x 2)， t 3 2 例2、代数式—1 3 A.1个 2 x —2x+1 2x+4 x -1 x x 1 x 2 -1 a -b ? ? ? ? 2x x 1 2 B.1个 C.1个 3 , 2 3 —x a +a 冗'3a 5a 2m = 2 3x -2x-1 ，吐'，m ■ n ，xy 中分式有（ ） 2 3 D.1个 分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- （2）使分式 53-+x x ÷79 -+x x 有意义的x 应满足 . （3）若分式3 21 +-x x 无意义，则x= . 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2 ||2 --x x （3） 6 5322 2----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或???<<00 B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； 变式】方程 中，x 为未知量，a,b 为已知数，且 ，则这个方程是( ) 分式方程的概念，解法 知识要点梳理 要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1 ．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2 ．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数 ( 不是一般的字母系数 ) ，分母中含有未知 数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于 的方程 都是分式方程，而关于 的方程 和 都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化 为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2 ．解分式方程的一般方法和步骤 (1) 去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2) 解这个整式方程。 (3) 验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母 等于零的根是原方程的增根。 注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方 程的分母为零。 3. 增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的 值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制 取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许 值之外的值，那么就会出现增根。 规律方法指导 1 ．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为 0，因此应如下检验：将 整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则， 这个解不是原分式方程的解． 经典例题透析： 类型一：分式方程的定义 举一反三：1、下列各式中，是分式方程的是( A ． C ． 和 B ． D ． 分式的基本性质（人教版）一、单选题(共11道，每道9分) 1.在中，是分式的有( )个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式的定义 2.要使分式有意义，则x的取值范围是( ) A.x≠-1 B.x≠3 C.x≠-1且x≠3 D.x≠-1或x≠3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式有意义的条件 3.若分式的值为0，则x的值是( ) A.1 B.0 C.-1 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式的值为零 4.当a=-1时，分式( ) A.没有意义 B.等于零 C.等于1 D.等于-1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式有意义是分式存在的前提 5.不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项系数都化为整数，那么所得的正确结果为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式的基本性质 6.若分式（a，b均为正数）中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( ) A.扩大为原来3倍 B.缩小为原来的 C.不变 D.缩小为原来的 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式的基本性质 7.将分式约分，其结果为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式的基本性质 8.当时，的值为( ) A.1 B.-5 C.1或-5 D.0 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式有意义是分式存在的前提 9.若使分式的值为0，则x=( ) A.9 B.±3 C.-3 D.3 答案：D 一：分式的定义及分式有意义的条件复习：3223yx?yxyx?2：幂的运算：1 2、3、22?y9xy?4x?4因式分解： 1、提公因式法新课 1 2、表示两个相除，且除式中含有的代数式叫做分、公式法： 式。请写出三个分式。练习： 2、下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？75aa?a?= 化简； 1.22?4?4xa?2xx?31b3x?2yab,,,,,,,,.2）下列计算错误的是（ ?2xa?1?5aabx722????3a???a?a A.、因为除数不能为零，所以 分式中字母的取值不能3使分母为零，否则分式就没有意义了。当分母的值为22????4a???a?a B. 时，分式无意义；当分母的值不为时，分式有意义。1123????5a???a?a C. 无意义；4、当时， 分式有意义；当时，分式xxx?x11?33????6aa???a? D.无有意义；当时，分式当时，分式8??84x4x意义；5442 3.aa??2a?a?a计算：1x?x?1无当时，分式有意义；当时，分式1?2x?12x 意义；4）、下列计算正确的是（2x?有意义；当时，分式当时，分式??2???? ??23??2?x363n?mmnmm?? D.C.无意义；???? 42824m?3m32xx?1? B.A.m?m?m 2x?1x?????3332abb??a?x 1）、计算：（5?x?2b当无意义，则。时，分式 b?x2 5、当分式同时满足条件①②时，分式值为零。234449x?3（）（－））（a?2+a2a的值为零； 6、当时，分式2x? x2当时，分式的值为零。338244（））（－（－））（2b?3ab2a+2?3x 6 分解因式。1x?22423y?x8?y10xyx2 1、对于分式例53x?x? ①当取什么数时，分式有意义x取什么数时，分式的值为零？②当2??1?,?x1y?4x25?③当时，分式的值分别是多少？ 1 / 5 程之比为。ma元，箱子与苹果的总质量为、一箱苹果售价3n kgkg）。问每千），其中箱子的质量为（（、甲、乙两人从一条公路的某处出发，同向而2例当？多少元苹果的售价是克aa b ﹥千MM，乙每时行行。已知甲每时行，千5.n?0,m?10,a?15.2时，每千克苹果的售价b小时出发，那么甲追上乙需要多少。如果乙提前1是多少元？5b?,a?6时，求甲追上乙所需的时间。时间？当 qqpb）吨，每天用煤﹥（14、某厂的仓库里有煤,?5,b?5a有意义吗？它所思考：若取分式 p吨煤吨，若从现在开始，每天节省1吨煤，则b?a表示的实际情境是什么？可多用多少天？ 9.1分式（1）教学设计 一、教材分析 1.内容：分式的概念，分式有意义的条件。 2.内容解析：分式是描述实际问题中两个量之比的一类代数式。从运算角度看，分式表示两个整式相除的商，这与分数表示两个整数相除的商类似。正因为都是表示两个量相除的商，因此，分式与分数具有相似的基本性质和运算法则、相似的研究思路和方法。分式是分数的分子分母分别进行符号抽象的结果，分式是分数的一般化，分数是分式中字母取一些特殊值时具体的结果。 本课是分式一章的起始课，核心是分式的概念。作为起始课教学，需要引导学生类比分数的学习构建分式研究的整体思路和方法，在这一过程中能发展学生系统结构抽象的素养；类比分数表示整数运算结果的方法，研究整式的运算，产生分式，抽象分式概念,类比有理数的概念抽象有理式的概念，发展学生数学概念抽象的素养。因此，本课的重点是：类比分数抽象分式的概念，整体构建分式的研究思路和方法。 二、目标与目标解析 1.目标 （1）了解分式的概念和分式有意义的条件。 （2）能根据实际情境列出分式。 （3）能类比分数抽象分式的概念，提出分式研究的整体思路和方法。 2.目标解析 (1)目标（1）要求学生能判断一个代数式是否是分式，知道分式与分数、分式与整式的关系，能确定分式有意义的字母取值范围； （2）目标（2）要求学生能根据实际问题中的数量关系列出分式； （3）目标（3）要求类比分数得到分式的概念，提出分式研究的整体思路“定义——性质—运算”。 三、教学问题诊断分析 学生已经学习过整式及其运算，分数及其运算，这为分式的学习奠定了知识基础，提供了学习经验。学生从字面上理解分式的概念并不困难，难的是理解分式所反映的数量关系的本质，理解分数与分式、整式与分式之间的联系与区别。因此，设计合理的活动，让学生类比分数，经历分式概念的形成过程是帮助学生突破难点的关键，也是发展学生数学抽象素养的抓手。 四、教学整体思路 从整数四则运算的封闭性出发，引导学生回顾引入分数表示整数的商的做法；在此基础上，引导学生类比这一思路，考察整式四则运算的封闭性，用类似分数的方法表示两个整式相除的商，发现一类新的代数式，在这个过程中，插入字母表示数的抽象活动；接着类比分数提出研究这类新代数式的整体思路：用定义明确研究对象——探索性质——研究运算；然后，让学生列出实际问题中的分式，类比分数概括分式的本质属性——两个整式的商，分母含有字母；再给出分式的定义，用数系扩充的思想指导学生类比从整数到有理数的扩充过程得到有理式的概念;最后引导学生辨别分式与整式、分式与分数的联系与区别，确定分式有意义的条件。 五、教学过程设计 1.类比思考，发现分式 问题1任意给出两个整数，计算其和、差、积、商，计算的结果一定是整数吗？ 师生活动：教师引导学生总结：任意两个整数的和、差、积一定是整数，商则不一定是分式定义
分式的基本概念及性质.
分式概念教案
(完整版)分式知识点总结和题型归纳
分式方程的概念及解法
分式的基本性质(人教版)(含答案)
分式的定义及分式有意义的条件
分式的概念及其基本性质优秀教案