几何有关中点的专题复习

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中考数学专题训练专题一几何题型中点M型试题

卜人入州八九几市潮王学校专题一中点M型根本条件：①∠PMQ＝∠B＝∠C；②M是BC的中点根本结论：①△EMF∽△EBM∽△MCF.②EM平分∠BEF，FM平分∠EFC.③EM2＝EB·EF，FM2＝FC·EF.常见特例：特例一：条件：①等边△ABC；②∠MPN＝60°，③P是BC的中点。

特例二：条件：①等腰直角△ABC，AC＝BC，∠C＝90°；②∠EDF＝45°；③点D是AB的中点。

特例三：条件：①AB ＝AC；②∠BAC＝120°，∠EDF＝30°，③D是BC的中点。

特例四：条件：①矩形ABCD；②∠GEF＝90°，③E是AB的中点。

特例五：条件：①直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°；②E是AD的中点；③∠BEC＝90°。

稳固练习：1.：梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E为AB的中点，假设AD＝2，BC＝4，∠CED＝90°，那么CD长为。

2.如图，在正方形ABCD中，点E、F在边BC、CD上，假设AE＝2，EF＝1，AF＝5，那么正方形的边长为。

3.：等边△ABC中，AB＝8，点D为AB的中点，点M为BC上一动点，以DM为一边，在点B异侧作等边△DMN。

DN交AC于点F，当∠DAN＝90°时，那么FN的长为。

4.如图，以矩形OABC的邻边OA、OC分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，F为线段OA上的一点，将△COF沿直线CF翻折，点O落在AB的中点E处，且OC＝6.（1）求直线EF的解析式；（2）将直线EF绕点F逆时针旋转90°，得到直线m，直线m交y轴于点D，求点D的坐标。

1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC边的中点，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F.(1)当00＜α＜900，〔如图1〕，求证：AE＋2BF＝AB；(2)当900＜α＜1800，〔如图2〕，那么AE、BF、AB之间的数量关系；(3)在〔1〕的条件下，过点D作DG∥AB，交AC于G，且DF＝GE＝3时〔如图3〕，求BF的值。

中考数学复习几何模型专题讲解4---中点模型(解析版)

中考数学复习几何模型专题讲解专题4 4 中点模型中点模型名师点睛中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。

A B C D E A B C DEFE D C B A典题探究例题1. 如图，在△ABC 的两边AB 、AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N ．求证：MQ ＝QN ．【解答】证明：连接BG 和CE 交于O ，∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC，在△BAG和△EAC中，，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE．∵BE、BC、CG的中点M、Q、N，∴MQ＝CE，QN＝BG，∵BG＝CE，∴QN＝MQ．变式练习>>>>变式练习1. 如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．【解答】证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P，∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形，∴MD∥AC，且MD＝AC＝BC＝BF；。

七年级数学线段中点专题

七年级数学线段中点专题的知识点总结
1.线段的中点定义：如果点M把线段AB分成相等的两部分，即AM=MB，那么点M 叫做线段AB的中点。

2.线段中点的性质：如果点M是线段AB的中点，那么有AM=MB。

3.线段中点定理：如果线段AB的中点是M，那么有AM=MB=21AB。

4.线段中点的计算：如果知道线段AB的长度和点M的位置，可以使用中点定理计算出AM=MB=21AB。

5.线段中点的作法：可以通过以下步骤作出线段的中点：
（1）在已知线段上取一个点，使得该点到线段的一个端点的距离等于线段长度的一半；（2）连接该点到线段的另一个端点；
（3）作该直线的垂线，交线段于一点，该点即为所求的中点。

6.线段中点的应用：线段中点在几何学中有广泛的应用，如三角形、四边形、圆等图形的对称性、垂直平分线的性质等。

以上知识点总结仅供参考，如需更详细、系统的总结，建议查阅七年级数学教材或相关教辅资料。

中考专题复习几何“中点问题”七大模型

几何“中点问题”七大模型
模型一多个中点出现或平行＋中点（中点在平行线上）时，常考虑或构造三角形中位线
模型二直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”
模型三等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
模型四遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质
模型五中线等分三角形面积
模型六圆中弦（或弧）的中点，考虑垂径定理及圆周角定理
模型七遇到三角形一边上的中点（中线或与中点有关的线段），考虑倍长中线法构造全等三角形。

图形的中点问题

2012中考数学专题复习5图形的中点问题一.知识要点：线段的中点是几何图形中的一个特殊点，与中点有关的问题很多，添加适当的辅助线、恰当地利用中点是处理中点问题的关键。

涉及中点问题的几何问题，一般常用下列定理或方法：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(2)三角形中位线定理；(3)等腰三角形三线合一的性质；(4)倍长中线，构造全等三角形（或平行四边形）；(5)平行四边形的性质与判定.二.例题精选1、若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三形底边的中点，则常过中点作中线，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质或“等腰三角形三线合一”的性质。

例1. 如图，已知△ABC中，∠B =90°，AB=BC,D在AB上,E在BC上，BD=CE , M是AC的中点，求证：△DEM是等腰直角三角形.提示：连结BM,证明ΔBDM≌ΔCEM,得DM=ME，∠DMB=∠EMC,则∠DME=,得ΔMDM为等腰直角三角形2、三角形中遇到两边的中点，常应用“三角形的中位线定理”,若有一点是三角形一边的中点或梯形一腰的中点，则常过中点作中位线。

例2.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别交MN的延长线于E、F．求证：∠DEN＝∠F．提示：连结AC，作AC中点G，连结MG，NG。

则MG=NG，MG∥BC，NG∥AD。

∴∠MGN＝∠F ,∠GNM=∠DEN,∠MGN=∠GNM. ∴∠DEN＝∠F．3、若有三角形的中线或过中点的线段，则通常加倍延长中线或过中点的线段，以构造两个三角形全等。

例3. 已知：如图2，AD为△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF提示：延长AD至G，使DG=AD，连结BG，则ΔBDG≌ΔCDA，∴AC=BG=BF4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想或构造“X字型”全等三角形.例4. 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为．提示：延长AD、FM交于点H，则AH=EF=3，DH=1=DF，∴FH=MF=5、有关面积的问题中遇到中点，常用“等底等高的两个三角形面积相等”的性质。

【中考几何模型压轴题】专题19《中点模型》

中考几何压轴题（几何模型30讲）最新讲义专题19《中点模型》破解策略1．倍长中线在△ABC中．M为BC边的中点．M E CBAE MCABD图1 图2（1）如图1，连结AM并延长至点F，使得ME＝AM．连结CE．则△ABM≌△ECM．（2）如图2，点D在AB边上，连结DM并延长至点E．使得MF＝DM．连结CE，则△BDM ≌△CEM，遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法．2．构造中位线在△ABC中．D为AB边的中点，AB D EC C FABD图1 图2（1）如图1，取AC边的中点E，连结DE．则DE∥BC，且DF＝12B C．（2）如图2．延长BC至点F．使得CF＝B C．连结CD，AF．则DC∥AF，且DC＝12 AE．三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来．通常需要再找一个中点来构造中位线，或者倍长某线段构造中位线，3．等腰三角形“三线合一”如图，在△ABC中，若AB＝A C．通常取底边BC的中点D．则AD⊥BC，且AD平分∠BA C．事实上，在△ABC中：①AB＝AC；②AD平分∠BAC；③BD＝CD，④AD⊥B C．对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”．AB DC4.直角三角形斜边中线如图，在△ABC看，∠ABC＝900，取AC的中点D，连结BD，则有BD＝AD＝CD＝12 AC．反过来，在△ABC中，点D在AC边上，若BD＝AD＝CD＝12AC，则有∠ABC＝900例题讲解例1 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F 作CD的垂线，两垂线交于点G，连结AG、BG、CG且∠AGD＝∠BGC，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值解由题意可得△AGB和△DGC为共顶点等顶角的两个等腰三角形，所以△AGD≌△BGC，△AGD∽△EGF．方法一：如图1，连结CE并延长到H，使EH＝EC，连EH、AH，则AH∥BC，AH＝BC，而AD＝BC，AD⊥BC所以AD＝AH，AD⊥AH，连结DH，则△ADH为等腰直角三角形，又因为E、F分别为CH、CD的中点，所以=212AD ADEFDH=方法二：如图2，连结BD并取中点H，连结EH，FH．则EH＝12AD，且EH∥AD，FH＝12BC，而AD＝BC，AD⊥BC，所以△EHF为等腰直角三角形，所以2=2AD EHEF EF=例2如图，在△ABC中，BC＝22，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于E，F、G分别是BC、DE的中点，若ED＝10，求FG的长．解：连结EF、DF，由题意可得EF、DF分别为RT△BEC，RT△BDC斜边的中线，所以DF＝EF ＝12BC＝11，而G为DE的中点，所以DG＝EG＝5，FG⊥DE，所以RT△FGD中，FG22DF DG-＝6例3 已知：在RT△ACB和RT△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝900，若P是BF的中点，连结PC、PE（1）如图1，若点E、F分别落在边AB、AC上，请直接写出此时PC与PE的数量关系．（2）如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．解（1）易得PC＝PE＝12BF，即PC与PE相等．（2）结论成立．理由如下：如图4，延长CP交EF的延长线于点D，则BC∥FD，易证△BPC≌△FPD，所以PC＝PD，而∠CED＝900，所以PE＝12CD＝PC（3）结论仍成立，理由如下：如图5，过点F作FD∥BC，交CP的延长线于点D，易得PD＝PC，FD＝BC所以AE EF EF AC BC FD==而∠AFE＝∠PBC＝∠PFD，所以∠EAC＝1800－2∠AFE＝∠EFD，如图，连结CE，ED，则△EAC∽△EFD，所以∠AEC＝∠FED，∠CED＝∠AEF＝900，所以PE＝12CD＝PC例4已知：△ABC是等腰三角形，∠BAC＝900，DE⊥CE，DE＝CE＝12AC，连结AE，M是AE的中点（1）如图1，若D在△ABC的内部，连结BD，N是BD的中点，连结MN，NE，求证：MN⊥AE （2）如图2，将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝300，连结BD，N是BD的中点，连结MN，求MN AC解：（1）如图3，延长EN至点F，使得NF＝NE，连结FB，易证△DEN≌△BFN，从而可得BF∥DE，BF＝DE，延长FB，CE交于点G，则∠G＝900，从而A、B、G、C四点共圆所以∠ABF＝∠ACE，连结AF，所以△ABF≌△ACE（SAS），所以AF＝AE，AF⊥AE，而MN∥AF所以MN＝12AE，MN⊥AE（2）如图4，同（1）可得，MN＝12AE，MN⊥AE，由题意可得AC＝2CE，作EH⊥AC于H，则∠ECH＝600，所以CH＝12EC＝14AC，EH＝3AC，从而AE＝227AH EH AC+=，所以7MNAC=进阶训练1．如图，△ABD和△ACE都是直角三角形，其中∠ABD ＝∠ACE＝90°，且点C在AB上，连结DE，M为DE的中点，连结BM，CM，求证：BM＝CM．MCDEAB【答案】略【提示】延长CM，DB交于点F，则∠CBF＝90°，△CME≌△FMD，从而BM＝12CF＝CM．MCDEB2．我们把两条中线互相垂直的三角形称为”中垂三角形”．如图1，AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．（1）猜想a 2，b2，c2三者之间的关系，并加以证明；（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E，F，G分别是AD，BC，CD上的中点．BE⊥EG，AD＝5AB＝3．求AF的长．图1A图2A【答案】（1） a 2＋b 2＝5c 2，证明略；（2） AF ＝4．【提示】（1）如图，连结EF ，由中位线定理可得PE PB ＝PF PA ＝EF BA ＝12．在Rt △APB ，Rt △APE 和Rt △BPF 中，利用勾股定理即可得到a 2＋b 2＝5c 2；（2）如图，取AB 的中点H ，连结FH ，AC ，由中位线定理可得FH ∥AC ∥EG ，从而FH ⊥BE ，易证△APE ≌△FPB ，所以AP ＝FP ，所以△ABF 是“中垂三角形”从而利用（1）中结论求得AF 的长．DEBA3．巳知：△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ADE ＝90°，F 为BE 的中点．连结DF ，CF ．图3图2图1EE（1）如图，当点D 在AB 上，点E 在AC 上时，请直接写出此时线段DF ，CF 的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2．在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转45°．请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3．在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转角α，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，井证明你的判断．【答案】（1）DF ＝CF ，DF ⊥CF ；（2）成立；（3）成立．【提示】（2）延长DF 交BC 于点G ，则△DEF ≌△GBF ，从而得DF ＝GF ，CD ＝CG ，即得证．E（3）延长CF 至点G ，使得FG ＝CF ，连结EG ，则GE ＝CB ＝CA ，GE ⊥AC ，可得∠CAD ＝∠GE D ．连结DG ，CD ，从而△ADC ≌△EDG （SAS ）．即得证．E4．巳知：P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为E ，F ，O 为AC 的中点，如图1．将直线BP 绕点B 逆时针旋转，当∠OFE ＝ 30°时，如图2所示，请你猜想线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，并给予证明．图1图2【答案】图1中OE ＝CF －AE ；图2中OE ＝CF ＋AE ．【提示】如图1，延长EO 交FC 于点G ，易证OE ＝OG ，AE ＝CG ，从而Rt △GFE 中，OF ＝OG ＝OE ．而∠OFE ＝30°，所以OE ＝CF －AE ．图1如图2，同理可得OE＝CF＋AE．图2。

2024中考数学核心几何模型重点突破专题01 线段的中点模型(含解析)

2024中考数学核心几何模型重点突破专题01线段的中点模型模型分析【理论基础】如图，已知点M 是线段AB 的中点⇒AB BM AM 21==【模型变式1】双中点求和型如图已知点M 是线段AB 上任意一点，点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MD CM CD +=AB MB AM CD 212121=+=∴AB CD 21=∴【模型变式2】双中点求差型如图点M 是线段AB 延长线上任意一点，点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MDCM CD -=)(212121MB AM MB AM CD -=-=∴AB CD 21=∴【模型总结】两中点之间的线段，等于原线段的一半。

典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cm B ．3cm C ．7cm 或3cm D ．5cm【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或32．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC =B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD 的长为（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm4．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，E 是AC 的中点，F 是BD 的中点，若EF ＝8，CD ＝4，则AB 的长为（）A ．10B ．12C ．16D ．18二、填空题5．如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝8cm ，则CD ＝___cm ．6．在直线上取A ，B ，C 三点，使得AB ＝9cm ，BC ＝4cm ，如果O 是线段AC 的中点，则线段OA 的长为_____．7．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN ＝7cm ，BC ＝3cm ，则AD 的长为_____cm ．8．如图，C ，D 两点将线段AB 分为三部分，AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，且AC ＝6．M 是线段AB 的中点，N 是线段DB 的中点．则线段MN 的长为____________．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C ，D 是线段AB 上的两个点，点M 、N 分别为AC 、BD 的中点(1)若AB =16cm ，CD =6cm ，求AC +BD 的长和M ，N 的距离；(2)如果AB =m ，CD =n ，用含m ，n 的式子表示MN 的长10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．参考答案与详细解析典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cmB ．3cmC ．7cm 或3cmD ．5cm【答案】D【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．【解析】解：根据题意画图如下：∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =+=+==；∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =-=-==．故选：D ．【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【答案】4【分析】根据中点的性质可得BC 的长，根据线段的和差可得AB 的长，根据中点的性质可得BM 的长，再根据线段的和差可得MN 的长．【解析】由N 是CB 的中点，NB =5，得：BC =2NB =10．由线段的和差，得：AB =AC +BC =8+10=18．∵M 是AB 的中点，∴1118922MB AB ==⨯=，由线段的和差，得：MN =MB -NB =9-5=4，故答案为：4.【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？【答案】（1）10；（2）12a ；（3）12a ；（4）线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.【分析】（1）先求解,AC 再利用中点的含义求解,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（2）先利用含a 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含a 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（3）先利用含,a b 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含,a b 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.【解析】解：（1）20,8AB BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1128,14,4,22AB BC AC MC AC NC BC ∴+======14410.MN MC NC ∴=-=-=（2）,8AB a BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1118,4,4,222AB BC AC a MC AC a NC BC ∴+==+==+==1144.22MN MC NC a a ∴=-=+-=（3）,AB a BC b ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，11111,,,22222AB BC AC a b MC AC a b NC BC b ∴+==+==+==1111.2222MN MC NC a b b a ∴=-=+-=（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3【答案】C【分析】先分C 在AB 上和C 在AB 的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．【解析】解：如图：当C 在AB 上时，AC =AB -BC =2,∴AD =12AC =1如图：当C 在AB 的延长线上时，AC =AB +BC =6,∴AD =12AC =3故选C ．2．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC=B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =【答案】B【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A 、C 、D 都可以确定点C 是线段AB 中点．【解析】解：A 、AC =BC ，则点C 是线段AB 中点；B 、AC +BC =AB ，则C 可以是线段AB 上任意一点；C 、AB =2AC ，则点C 是线段AB 中点；D 、BC =12AB ，则点C 是线段AB 中点．故选：B ．3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】B【分析】利用线段和的定义和线段中点的意义计算即可．【解析】∵AB=AC+BC，且AB=10，BC=4，∴AC=6，∵D是线段AC的中点，∴AD=DC=12AC=3，∴BD=BC+CD=4+3=7，故选B．4．如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF＝8，CD＝4，则AB的长为（）A．10B．12C．16D．18【答案】B【分析】由已知条件可知，EC+FD=EF-CD=8-4=4，又因为E是AC的中点，F是BD的中点，则AE+FB=EC+FD，故AB=AE+FB+EF可求．【解析】解：由题意得，EC+FD=EF-CD=8-4=4，∵E是AC的中点，F是BD的中点，∴AE=EC，BF=DF∴AE+FB=EC+FD=4，∴AB=AE+FB+EF=4+8=12．故选：B．二、填空题5．如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝8cm，则CD＝___cm．【答案】2【分析】由点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，可得14CD AB，即可求得答案．【解析】解：∵点D是线段AB的中点，∴12AD AB=，∵C是线段AD的中点，∴12CD AD=，∴1182cm44CD AB==⨯=，故答案为：2．6．在直线上取A，B，C三点，使得AB＝9cm，BC＝4cm，如果O是线段AC的中点，则线段OA的长为_____．【答案】2.5cm或6.5cm【分析】分两种情况：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，线求出AC，根据线段中点的定义求出OA．【解析】解：分两种情况：①当点C在线段AB上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB-BC=9-4=5cm，∵O是线段AC的中点，∴1 2.52OA AC cm==；②当点C在线段AB的延长线上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB+BC=9+4=13cm，∵O是线段AC的中点，∴1 6.52OA AC cm==；故答案为：2.5cm或6.5cm．7．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝7cm，BC＝3cm，则AD的长为_____cm．【答案】11【分析】由已知条件可知，MN＝MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD＝2（MB+CN），故AD＝AB+CD+BC可求．【解析】解：∵MN＝MB+BC+CN，MN＝7cm，BC＝3cm，∴MB+CN＝7﹣3＝4cm，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴AB＝2MB，CD＝2CN，∴AD＝AB+BC+CD＝2（MB+CN）+BC＝2×4+3＝11cm．故答案为：11．8．如图，C，D两点将线段AB分为三部分，AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6．M是线段AB的中点，N是线段DB的中点．则线段MN的长为____________．【答案】7【分析】先根据已知条件求出CD，DB的长，再根据中点的定义求出BM，BN的长，进而可求出MN的长．【解析】解：∵AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6，∴CD=6÷3×4=8，∴DB=6÷3×5=10，∴AB=6+8+10=24，∵M是线段AB的中点，∴MB=12AB=12×24=12，∵N是线段BD的中点，∴NB=12DB=12×10=5，∵MN=MB-NB，∴MN=12-5=7．故答案为：7．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C，D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点(1)若AB=16cm，CD=6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；(2)如果AB=m，CD=n，用含m，n的式子表示MN的长【答案】(1)10cm ；11cm ；(2)2m n +．【分析】（1）根据AC +BD =AB -CD 列式进行计算即可求解，根据中点定义求出AM +BN 的长度，再根据MN =AB -（AM +BN ）代入数据进行计算即可求解；（2）根据（1）的求解，把AB 、CD 的长度换成m 、n 即可【解析】(1)∵AB =16cm ，CD =6cm ，∴AC +BD =AB -CD =10cm ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=16-5=11（cm ）；(2)∵AB =m ，CD =n ，∴AC +BD =AB -CD =m -n ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=m -12（m -n ）=2m n +．10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．【答案】(1)见解析(2)线段MN 的长度为10．【分析】（1）根据题意画出图形；（2）由图，根据线段中点的意义，根据线段的和与差进一步解决问题．【解析】(1)解：补全图形如图所示：；(2)解：由题意知可知AD =AB =BC ，且AB =10，∴AD =AB =BC =10，即CD =30，∵点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点，∴DM =12CD =15，DN =12AD =5，∴MN =DM -DN =10，∴线段MN 的长度为10．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．【答案】（1）2；（2）16．【分析】（1）由20AC =，点D 为线段AC 的中点，求得AD=DC=10，由8AB =，可求BD=AD-AB=2；（2）由1134BD AB CD ==，推出34AB BD CD BD ==，，由AE BE =，可用BD 表示3=2AE BE BD =，表示EC=132BD =13，求出2BD =，再求AE=3=可求，AC=AE+EC=16．【解析】（1）∵20AC =，点D 为线段AC 的中点，∴AD=DC=11201022AC =⨯=，∵8AB =，∴BD=AD-AB=10-8=2；（2）∵1134BD AB CD ==，∴34AB BD CD BD ==，，∵AE BE =，∴13=22AE BE AB BD ==，∵EC=313422BE BD DC BD BD BD BD ++=++==13，∴2BD =，∴AE=33=2322BD ⨯=，∴AC=AE+EC=3+13=16．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．【答案】（1）20,10；（2）14t =或6t =；（3）AD 的长为：1609或160.【分析】（1）由30AC BC +=，10AC BC -=，再两式相加，即可得到AC ，再求解BC 即可；（2）以A 为原点画数轴，再利用数轴及数轴上线段的中点知识分别表示,,,,,A C B P D E 对应的数，由CD =25DE ，利用数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程，解方程可得答案；（3）以A 为原点画数轴，分三种情况讨论，当D 在A 的左侧，当D 在线段AB 上，当D 在B 的右侧，利用数轴与数轴上线段的中点知识，结合数轴上两点之间的距离分别表示,,AD BD CE ，再利用1,2AD BD CE -=建立方程，解方程即可得到答案．【解析】解：（1）AB =30，30AC BC ∴+=①又AC -BC =10②，①+②得：240,AC =20AC ∴=，10.BC ∴=（2）如图，以A 为原点画数轴，则,,,,A P C B 对应的数分别为：0,,20,30t ，点D 为线段PB 的中点，D ∴对应的数为：()1130+15,22t t =+点E 为线段PC 的中点，E ∴对应的数为：()1120+10,22t t =+1115205,22CD t t ∴=+-=-11111510151052222DE t t t ⎛⎫=+-+=+--= ⎪⎝⎭，CD =25DE ，1255,25t ∴-=152,2t ∴-=1522t ∴-=或152,2t -=-解得：14t =或6t =．由20t <，经检验：14t =或6t =都符合题意．（3）如图，以A 为原点画数轴，设D 对应的数为m ，当D 在A 的左侧时，AD BD -＜0，12AD BD CE ∴-≠，舍去，当D 在AB 上时，线段AD 的中点为E ，E ∴对应的数为：()110,22m m +=此时E 在AC 上，,30,AD m BD m ∴==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭123010,4m m ∴-=-940,4m ∴=160,9m ∴=1609AD ∴=，当D 在B 的右侧时，如图，同理：,30,AD m BD m ==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ∴--=-12060,2m ∴-=120602m ∴-=或12060,2m -=-解得：80m =-（舍去），160,m =160AD ∴=，综上：AD 的长为：1609或160.13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．【答案】（1）52；（2）172【分析】（1）根据图示知AM ＝12AC ，AC ＝AB ﹣BC ；（2）根据已知条件求得CN ＝6，然后根据图示知MN ＝MC +NC ．【解析】解：（1）线段AB ＝20，BC ＝15，∴AC ＝AB ﹣BC ＝20﹣15＝5．又∵点M 是AC 的中点．∴AM ＝12AC ＝12×5＝52，即线段AM 的长度是52．（2）∵BC ＝15，CN ：NB ＝2：3，∴CN ＝25BC ＝25×15＝6．又∵点M 是AC 的中点，AC ＝5，∴MC ＝12AC ＝52，∴MN ＝MC +NC ＝172，即MN 的长度是172．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．【答案】()17cm ；()22aMN =，证明解解析；()32bMN =，证明见解析；()4见解析【分析】()1根据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN CM CN =+即可求出MN 的长度即可；()2当C 为线段AB 上一点，且M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则存在12MN a =；()3点在AB 的延长线上时，根据M 、N 分别为AC 、BC 的中点，即可求出MN 的长度；()4根据前面的结果解答即可．【解析】解：()1,M N 分别是,AC BC 的中点，8,6AC cm CB cm ==11,22MC AC CN BC ∴==()12MN MC CN AC BC =+=+Q ()18672MN cm \=+=()22aMN =,M N 分别是,AC BC 的中点11,22MC AC CN BC ∴==又MN MC CN =+Q ()122a MN AC BC ∴=+=()32bMN =∵AC BC b -=，∴C 在点B 的右边，如图示：,M N 分别是,AC BC 的中点，AC BC b -=11,22MC AC NC BC ∴==又NM MC NC =-()122b MN AC BC ∴=-=()4只要满足点C 在线段AB 所在直线上，点M N ，分别是AC BC ，的中点．那么MN 就等于AB 的一半。

初中几何中点专题解析

∵∠BGD＝∠FGE＝45°＝∠C，∠GBD＝∠CBE
∴△BDG∽△BEC，∴
BG BD
＝
BC BE
∴ BG ＝ 2 2x
2x ，∴BG＝ 5x
4
5
5
x，∴GE＝
5 5
x
∵∠FGE＝∠C＝45°，∠GFE＝∠CFD
∴△GEF∽△CDF，得
EF DF
＝
GE CD
＝
10 10
B
A
F GE
D
C
21.如图，△ABC 是等边三角形，D、F 分别是 AB、AC 上的点（D 不与 AB 的中点重合，F 不与 AC 的中点重合），且 AD＝CF，AE⊥DF，垂足为 H，交边 BC 于 E，连接 DE、EF，若四边形 ADEF 的面积为 2 3，则 DF 的长为_____________．
∴4
2＋(
x＋3)2＝82Fra bibliotekx2，x＝
13 2
∴BC＝2x＋3＝16，AB＝20
A
G
E D
C
F
B
10.如图，正方形 ABCD 中，P 是 BC 的中点，把△PAB 沿着 PA 翻折得到△PAE，过 C 作 CF⊥DE 于 F，若 CF＝1，则 DF＝____________．
A
D
E
F
B
P
C
解：连接 EC，作 AH⊥DE 于 H
A
P
B DM
C
4.已知：△ABC 中，分别以 AB、AC 为斜边作等腰直角三角形 ABM 和 CAN，P 是 BC 的中点。求证：PM＝ PN
A M
N
B PC （1—4 略）
5.如图，在△ABC 中，∠C＝45°，D 是 AB 中点，点 E、F 分别在边 BC、AC 上，∠EDF＝90°，连接 EF．若 BE＝1，EF＝5，则 AF＝____________．

专题几何中与中点有关的那些事

专题几何中与中点有关的那些事一、知识点综述中点是几何中的一个重要概念，体现了对称、和谐之美，是中考的核心考察对象之一，在命题中占着重要的一席之地.主要有：①三角形的中线（三角形的中线将三角形面积一分为二）；三角形重心将三角形中线分成1:2两份.②等腰三角形三线合一（等腰三角形底边的中线、高、顶角平分线共线）；③线段垂直平分线（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）；④斜中定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）；⑤三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；⑥平行四边形对角线性质（平行四边形对角线互相平分）；⑦四边形的中点四边形（形状与对角线关系有关）.二、基本图形图形条件结论CD中△ACB的中线S1=S2△ABC是直角三角形，D、E、F分别是各边的中点四边形DFCE是矩形EF=CD图形条件结论D是△ABC边AB的中点，连接CD，CD=AD=BD∠ACB=90°平行四边形ABCD对角线交于点OO是AC和BD的中点DE∥BC，DE=12BCD、E分别是AB、AC的中点D、E分别是AB、AC的中点DE∥BC，DE=12BCE、F、G、H是各边中点AC⊥BD四边形EFGH是矩形AC=BD四边形EFGH是菱形AC⊥BD且AC=BD四边形EFGH是正方形延长AB至F，使AF=AB△ABC≌△AFD四边形BC FD是平行四边形三、典型例题分析下面我们就一些典型例题讲述这类题目的做题思路及方法.例题1. 如图-1，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=70°，则∠DGF的度数为．图-1例题2. 如图-2，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接CD、BE相交于点O.求证：OC=2OD，OB=2OE.图-2例题3. 如图-3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，猜一猜MN与BD 的位置关系，并证明你的结论.图-3例题4. 如图-4,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB边上的中线,点G是CE的中点,DG⊥CE,点G为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=75°，求∠BCE的度数．图-4例题5. 若任意四边形ABCD 各边中点分别是E 、F 、G 、H ，若对角线AC 、BD 的长都为30 cm ，则四边形EFGH的周长是例题6. 如图-6,已知在四边形ABCD 中,AD =BC ,E 、F 分别是DC 、AB 边的中点,FE 的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF =∠BGF ．图-6例题7. 如图-7，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AB =33，AD =3，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，点E ，F 分别为MN ，DN 的中点，连接EF ，则EF 长度的最大值为．图-7例题8. 如图-8所示，已知△ABC 中，D 是BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E 点，若AB ＝12，AC ＝16，求ED ．CBADE图-8例题9. 如图-9，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以A C 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠CAB ＝45°. （1）求∠ECD 的度数；（2）求证：DE平分∠FDC.图-9例题10. 如图-10所示，在△ABC中，点D在边AC的中点上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，（1）求证：EF＝12 AB．（2）当∠C＝60°时，BC、AB与AC满足怎么样的关系？图-10例题答案例题1. 如图-1，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=70°，则∠DGF的度数为．图-1【答案】55°.【解析】延长AD、EF相交于点H，如图所示∵F是CD的中点，∴CF=DF，由菱形性质知：AD∥BC，∴∠H=∠CEF，可证得：△CEF≌△DHF，∴EF=FH，∵EG⊥AD，∴GF=FH，∴∠DGF=∠H，∵四边形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=70°，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=CF，在△CEF中，∠CEF=（180°﹣70°）÷2=55°，∴∠DGF=∠H=∠CEF=55°．故答案为：55°．例题2. 如图-2，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接CD、BE相交于点O. 求证：OC=2OD，OB=2OE.图-2【答案】见解析.【解析】此题有多种证明方法，这里以其中三种加以证明.证明方法①：连接DE，如图.∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE：BC=1:2，∴OD:OC=OE: OB=DE: BC=1:2,即：OC=2OD，OB=2OE.证明方法②：连接DE，取OB、OC的中点F、G，连接FG，如图所示.∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE =12 BC，同理可证：FG∥BC，FG =12 BC，所以△DOE≌△GOF，∴OD=OG，OE=OF，即：OC=2OD，OB=2OE.证明方法③：连接OA，如图.由上面证明可知：DE∥BC所以S2+S5=S4+S5,所以S2=S4，而S1=S2，S3=S4，所以S1=S2=S3=S4，所以S△AOC=2S△AOD，所以OC=2OD，同理，OB=2OE.例题3. 如图-3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，猜一猜MN与BD 的位置关系，并证明你的结论.图-3【答案】见解析.【解析】解：MN⊥BD，理由如下：连接BM，DM，如图所示.因为∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，所以BM是Rt△ABC斜边上的中线，所以BM=12AC，同理DM=12AC.所以BM=DM.又因为N是BD的中点，所以MN⊥BD（三线合一）.例题4. 如图-4,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB边上的中线,点G是CE的中点,DG⊥CE,点G 为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=75°，求∠BCE的度数．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE=BE=12 AB，∴DC=BE；（2）∵DE=DC，∴∠DEC =∠BCE ，∴∠EDB =∠DEC +∠BCE =2∠BCE ， ∵DE =BE ， ∴∠B =∠EDB ， ∴∠B =2∠BCE ， ∴∠AEC =3∠BCE =75°，则∠BCE =25°．例题5. 若任意四边形ABCD 各边中点分别是E 、F 、G 、H ，若对角线AC 、BD 的长都为30 cm ，则四边形EFGH 的周长是【答案】60cm .【解析】根据基本图形，可知：四边形EFGH 的形状为菱形，依据中位线定理，可得：EF =0.5×30=15cm ，所以四边形EFGH 的周长为：4×EF =60cm . 故答案为：60cm .题6. 如图-6,已知在四边形ABCD 中,AD =BC ,E 、F 分别是DC 、AB 边的中点,FE 的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF =∠BGF ．图-6【答案】见解析.【解析】证明：连接AC ，取AC 的中点M ，连接ME 、MF . 如图.H DCAB E M G∵M是AC的中点，E是DC的中点，∴ME是△ACD的中位线，∴AD =2ME, PE∥AH，∴∠MEF＝∠AHF，同理可证：BC =2MF, ∠MFE＝∠BGF，∵AD＝BC，∴ME＝MF，∴∠MFE＝∠MEF，∴∠AHF＝∠BGF.例题7. 如图-7，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=33，AD=3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为．图-7【答案】3.【解析】解：∵E，F分别为MN，DN的中点，∴EF是△NDM的中位线，∴EF=12 DM，即DM取最大值时，EF的长度最大，很明显，当M与B重合时，DM最大，根据勾股定理，得DM最大值为：DB=6.∴EF的最大值为3. 故答案为：3.例题8. 如图-8所示，已知△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝12，AC＝16，求ED．C B AD E图-8【答案】2.【解析】解：延长BE 交AC 于点F , 如图. C BD EF因为AE ⊥BE ，所以∠A EB =∠AEF =90°，因为AE 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠FAE ，又AE =AE ，所以△ABE ≌△AFE ,所以BE =EF ，即E 是BF 的中点，因为D 是BC 的中点，所以DE 是△BCF 的中位线，因为AB ＝12，AC ＝16，所以CF =4，DE = 12CF =2.故答案为：2.例题9. 如图-9，在△ABC 中，AB ＝A C ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠CAB ＝45°.（1）求∠ECD 的度数；（2）求证：DE 平分∠FDC .图-9 【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠CAB＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°．∵Rt△ADC中，∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，AD＝DC，∴∠ECD＝∠ACB+∠ACD＝112.5°；(2)证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE＝12AB，FE∥AB，∴∠EFC＝∠BAC＝45°，∠FEC＝∠B＝67.5°．∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，AD＝DC，∴FD＝12AC，DF⊥AC，∠FDC＝45°，∵AB＝AC，∴FE＝FD，∴∠FDE＝∠FED＝12（180°﹣∠EFD）＝12（180°﹣135°）＝22.5°，∴∠FDE＝12∠FDC，∴DE平分∠FDC.例题10. 如图-10所示，在△ABC中，点D在边AC的中点上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，（1）求证：EF＝12 AB．（2）当∠C＝60°时，BC、AB与AC满足怎么样的关系？图-10 【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接BE，∵在△BCD中，DB＝BC，E是CD的中点，∴BE⊥CD，∵F是AB的中点，∴在Rt△ABE中，EF是斜边AB上的中线，∴EF＝12 AB；（2）结论：BC2+AB2＝AC2理由：∵BC＝BD，∠C＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴CD＝BD，∵CD＝AD，∴DB＝DC＝DA，∴∠CBA＝90°∴BC2+AB2＝AC2。

中考数学复习几何问题专题02 中点四大模型

专题02 中点四大模型模型1：倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）．如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．模型实例如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．②图B课堂巩固提升1．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2，求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2)．24A模型2：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”．模型实例例题1 如图，在△AB C 中，AB ＝A C ＝5，B C ＝6，M 为B C 的中点，MN ⊥A C 于点N ，求MN 长度．NMC BA课堂巩固提升1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ；（2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图CEFCC模型3：已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理： DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模型实例例题2 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDBA巩固提升1.（1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，连接DE ，求证：DE ∥BC ，DE =（AB +BC +AC ）；（2）如图2，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？（3）如图3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.12ED CBA图1G FEDCBA图2FED CBA图32.问题一：如图①，在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF ，分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.问题二：如图②，在△ABC 中，AC >AB ，D 点在AC 上，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC =60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.图1NMO FE DC BAE图2G ABCDF模型4：已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例例题3 如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .DCBA12M FEDCBA巩固提升1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MEDCBA3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 .问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MFE DC B A图2A BCDE FM图3ABCDEF M课后练习1．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是中线，AE 是角平分线，点F 是AE 上任意一点（不与A ，E 重合），连接BF 、CF ．给出以下结论：①AB EB AC EC =；②1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠；③11()()22AB AC AD AB AC -<<+；④AB CF AC BF +>+．其中一定正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD 是△ABC 的中线，则AD 的取值范围是（）A ．3<AD<13B ．1.5<AD<6.5C ．2.5<AD<7.5D ．10<AD<163．在△ABC 中，AC ＝6，中线AD ＝5，则边AB 的取值范围是（）A ．1＜AB ＜11 B ．4＜AB ＜13C ．4＜AB ＜16D ．11＜AB ＜164．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒5．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x 的取值范围是_____．6．如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别为边CD ，AD 的中点，CF 与EA 、EB 分别交于点M 、N ．已知8AB =，12BC =，则MN 的长为______________．7．在中，是边上的中线，若，则长的取值范围是_________． 8．在平行四边形中，为边的中点，且交射线于点，若，则的长度为________9．已知：在中，AC=BC ，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE=CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），求证：．ABC ∆AD BC 7,5AB AC ==AD ABCD E CD EAF DAE AF ∠=∠，BC F 133AF CF ==，BFABC BCE CAM ≌10．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．（1）试说明：①AE=CF；②CG=GD；（2）若AE=6，CH=10，求边AC的长．。

专题——中点的妙用(初三数学)

方法专题:中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。

善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。

看到中点该想到什么1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（）A ．65B ．95C ．125 D ．165二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”2、如图，在Ｒｔ⊿ABC 中，∠A=90°,AC=AB,M 、N 分别在AC 、AB 上。

且AN=为斜边BC 的中点.试判断△OMN 的形状，并说明理由.3、如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A D CB A →→→→滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A. 2B. 4－πBC 第8题图QFMC.πD.1π-三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F.你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，求DE 的长6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中图2-1FEDMNCB A位线定理）如图所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F 点7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 相交于点O ，60ACD ∠=︒，点S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点.求证：△SPQ 是等边三角形。

关于中点的知识点

中点是几何学中一个基本概念，它在许多数学和几何问题中都有重要的应用。

在本文中，我们将探讨中点的定义、性质和一些常见的应用。

一、中点的定义中点是指一条线段的两个端点之间的中间位置点。

在一条线段AB上，记中点为M，则AM=MB。

简而言之，中点就是将一条线段分成两个相等部分的点。

二、中点的性质 1. 中点分割线段中点将一条线段分割成两个相等的部分。

这意味着，如果AM=MB，则M是线段AB的中点；反之亦然，如果M是线段AB的中点，则AM=MB。

2.中点和线段长度的关系线段的长度等于两个端点之间的距离。

如果线段AB的长度为d，则AM=MB=d/2。

也就是说，线段长度的一半就是线段中点到任一端点的距离。

3.中点构成的线段平行于原线段如果线段AB的中点为M，构造线段MC，使得MC与AB重合，那么MC与AB平行。

这是因为中点将线段分成两个相等的部分，所以MC和AB有相同的长度和方向，因此它们平行。

三、中点的应用 1. 平行线的构造中点的概念常用于线段平行线的构造中。

给定线段AB和一点C，在点C处通过线段AB的中点M，可作出平行于线段AB的线段MC。

2.三角形的性质中点在研究三角形的性质时也起到关键作用。

例如，在等腰三角形中，中点是底边的中点；在等边三角形中，中点是边的中点。

3.证明几何定理中点的概念在证明几何定理时也经常被使用。

例如，证明平行线与三角形内一条边的中点连线构成平行线。

四、中点的推广除了线段，中点的概念还可以推广到其他几何图形中。

例如，三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点构成的线段的中点。

总结：中点是几何学中一个基本的概念，它具有许多重要的性质和应用。

通过了解中点的定义、性质和应用，我们能够更好地理解和应用几何学中的一些基本概念和定理。

无论是在解决几何问题还是在证明几何定理时，中点都扮演着重要的角色。

因此，对中点的认识和理解是进行几何学学习的基石之一。

中考复习：与中点有关的几何模型与结论(铁三角结构,倍长中线法,常用重要结论)讲义

与中点有关的几何模型与结论(铁三角结构+倍长中线法+常用重要结论)一、基本图形先谈谈与中点有关的基本定理与基本图形，如图1所示：1.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；2.等腰三角形底边上的中线、底边上的高线以及顶角的平分线重合，简称“三线合一”；3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；5.平行四边形的对角线互相平分；由这些基本定理及其相关逆定理衍生出的基本图形，是我们处理中点问题的常见策略，如倍长中线等方法.结合面积问题，还会有“三角形的中线平分其面积”等结论.二、例题呈现例.如图2，四边形ABCD为矩形，E为边BC的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.(1)求证：CF与⊙O相切；(2)若AD=2，F为AE的中点，求AB的长.三、解法探究首先解决第(1)小问：思路一：如图3，要证CF与⊙O相切，必定要连接半径OF，只要证出OF⊥CF即可.由题易知OD⊥CD，连接OC，若能证明△OCD≌△OCF便可解决问题.要证△OCD≌△OCF，已经有OD=OF，OC=OC，还缺一个条件，如何寻找呢？注意到在矩形ABCD中，点O、E分别为AD、BC的中点，易证四边形AOCE为平行四边形，从而有OC∥AE.故∠COF=∠OFA=∠OAF=∠COD，即∠COF=∠COD.因此△OCD≌△OCF（SAS），问题得解.思路一构造平行四边形，通过导角，寻找到了所需的最后一组有关角的条件.除此之外，还可以考虑证明CD=CF，再利用“SSS”得到全等.下面提供“倍长中线”的思路来证明CD=CF.思路二：如图4，延长AE交DC的延长线于点G，由E为边BC的中点，易证△ABE≌△GCE （ASA），从而有AB=GC=DC；由直径AD联想到连接DF，则∠AFD=∠DFG=90°；识别到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”基本型，可得FC=DC；至此，除了全等法之外，还可以简化过程如下：由OF=OD得∠OFD=∠ODF，再由FC=DC 得∠CFD=∠CDF，从而有∠OFC=∠ODC=90°，则OF⊥CF，故CF与⊙O相切，问题得解.思路三：如图5，连接OF、DF、OE、OC、DE，设OC与DE交于点M，再连接FM.易证四边形ODCE 为矩形，且∠AFD=∠DFE=90°，则FM=1/2DE=1/2OC=OM=CM.由FM =OM=CM，可推出∠OFC=90°，则OF⊥CF，故CF与⊙O相切，问题得解.此解法看似复杂，但构图充满美感，不自觉间形成了一个极其有趣的“★”结构，让人不禁感叹几何构造之神奇！而解法来源于学生，又不禁让教者惊叹于学生无限的创造力!若用共圆的眼光来看，此解法将更有趣.如图6，易知O、D、C、E、F五点共圆，再借助圆中相关知识，此图中还会有非常多的等角.四、解后反思“学而不思则罔，思而不学则殆”，解题后反思是是一种意识，一种习惯，更是一种能力.几何的学习重在基本图形的识别与构造，学会联想，将残缺的图形补成已学过或已解决的基本图形，这就是所谓常见辅助线的构造.反思解题过程，重在反思基本图形.1.“铁三角结构”思路一中可抽离一个基本图形：如图6，由OA=OF及OC∥AF可推出∠1=∠2，即“等腰三角形＋平行角平分线”.事实上，对于条件①：OA=OF；条件②：OC∥AF；条件③：∠1=∠2，其中任意两个成立，第三个一定成立，两两组合，共三个真命题.笔者称其为“铁三角结构”，它经常会出现在中考题里，应予以广泛的关注.2.“倍长中线法”思路二中，由中点E联想到倍长AE至点G，如图7，构造出一组“平行8字型”全等，此法即为“倍长中线法”，是解决与中点相关问题的重要方法，需引起高度重视.此外，倍长中线之后，思路二还结合了一个重要的定理，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，如图8所示.这条中线了不得，它将直角三角形分割成了两个等腰三角形，实现了两种特殊三角形之间的相互转化.值得一提的是，该定理还有一些重要的逆定理，比如“若FC=CD=CG，则∠DFG=90°”，再比如“若∠DFG=90°且FC=CD，则CD=CG”，也经常会在中考题里出现.3.几个有趣的结论(1)如图9，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，DF⊥AE，则CF=CD.简析：该结论就是从例题图中抽离出来的，其中圆被隐去了.其证明，从例题来看，至少有两种证法：一是取AD的中点，采取全等法；二是延长AE，采取倍长中线法.此外，还可以建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用解析法，经过一番“惨无人道”的计算，验证出CF=CD成立.这既是解析法的优势，也是其劣势之所在.它不需要联想到几何构造的“天马行空”，仅仅只要实施暴力计算的“脚踏实地”.几何法是证明，而解析法就是验算.通过证明不难发现，矩形条件实属多余，只需要四边形ABCD为平行四边形，其余条件不变，如图10所示，依然有CF=CD成立.(2)如图11，在正方形ABCD中，E、M分别为边BC、AB的中点，则CF=CD.简析：易证Rt△ADM≌Rt△BAE（SAS），导角可得DM⊥AE，转化为结论(1)，下略.图11中，两个中点可导出：DM⊥AE，DM=AE，CF=CD.这是一个极其有趣的结构，可称为正方形中“十字架”模型，借助相似，该模型也可以推广到矩形中，是一个经典的几何图形，常出现在考题中.(3)如图12，在正方形ABCD中，F为边AB的中点，CF与以AB为直径的半圆交于点G，连接AG并延长交BC于点E，则E必为边BC的一个黄金分割点.简析：如图13，由直径AB联想到连接BG，则BG⊥AE；联想到正方形中“十字架”模型，延长BG交边CD于点M，则易得Rt△ABE≌Rt△BCM（AAS）；又由边AB的中点F知，GF=AF=BF，导角易得∠1=∠3=∠4=∠2，∠5=∠8=∠7=∠6；由∠1=∠2知△CGE∽CBG，从而易得CG2=CE×CB；又由∠5=∠6，易得CG=CM=BE，因此有BE2=CE×CB，即点E必为边BC的一个黄金分割点，问题得解.五、练习反馈1.已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．如图14所示，求证：OH＝1/2AD且OH⊥AD；2.将△COD绕点O旋转到图15，图16所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．简析：(1)如图17，易证Rt△AOD≌Rt△BOC（SAS），则AD=BC，∠1=∠2；又由H为BC的中点，易得OH=1/2BC=BH，从而∠1=∠3；故OH＝1/2AD，再由∠2=∠3导角可得OH⊥AD；对于第(2)小问，下面给出几种方法，供大家参考：方法一：如图18，延长BO至点B′，使OB′=BO，连接B′C.由点H为BC中点，得OH∥B′C且OH=1/2B′C.又易证△AOD≌△B′OC（SAS），则有AD=B′C，于是有OH＝1/2AD.另外，由△AOD≌△B′OC还可得∠OAD=∠OB′C，导角易得B′C⊥AD，从而有OH⊥AD，问题得解.方法一通过倍长BO的手段，将目标线段OH变为中位线，从而转化为B′C，只要证明B′C与AD的关系即可.既然可以倍长BO，同理可以倍长CO，如图19所示，“它们是一伙的”，不再赘述.方法二：如图20，延长AO至点E，使OE=AO，连接DE，再取DE的中点F，连接OF，则OF∥AD且OF=1/2AD.又易证△BOC≌△EOD（SAS），其中△EOD可看成由△BOC绕着点O 按逆时针方向旋转90°而来.由点H为BC中点，易知点H与点F是对应点，再结合旋转的性质，可得OF=OH且OF⊥OH，从而有OH=1/2AD且OH⊥AD，问题得解.方法二通过倍长AO的手段，再取一个中点，将目标线段AD转化为中位线OF，只要证明OF与OH的关系即可.既然可以倍长AO，同理可以倍长DO，如图21所示，“它们也是一伙的”，不再赘述.上面两种方法都用到了一个重要的基本图形，如图22及图23所示，可直观地称其为“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”.在该模型中，易得△BOD≌△AOC（SAS），这个全等往往是解题的关键之所在，还可以用旋转的眼光来看待，从而易得AC=BD且AC⊥BD.方法三：如图24，延长中线OH至点E，使HE=OH，连接BE，则有△COH≌△BEH（SAS），从而易知BE=CO=DO，且易得BE∥CO，故∠EBO+∠COB=180°.又因为∠AOD+∠COB=（∠AOB+∠DOB）+∠COB=∠AOB +(∠DOB +∠COB）=∠AOB+∠DOC=180°，所以有∠EBO=∠AOD.于是有△EBO≌△DOA（SAS），则OE=AD且∠EOB=∠DAO.再导角可得OE⊥AD，因此有OH=1/2AD且OH⊥AD，问题得解.该解法巧施“倍长中线”策略，通过全等，结合导角等方法解决问题.如图25，倍长中线OH至点E，再连接CE，也可解决问题.中点常常可以与等腰三角形、直角三角形等结合，还可以与另一个中点构成中位线模型，或者采取倍长中线等方法，这些都是处理中点问题的常见策略.在解决与中点有关的问题中，大家可以联想这些基本图形，构造相应辅助线，勇于尝试，敢于探索.。

几何期末复习1__中点角分线

几何期末复习1__中点角分线班级__________ 姓名__________ 学号___________ 分数________1．如图，在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分线角∠CAD 与CD 相交于点E ，EF ∥BC 与AB 相交于点F ．求证：AF ＝AC ．2．如图，已知：AC ＝2AB ，D 是AC 的中点，E 是AD 的中点，点F 在BE 的延长线上，且BE ＝EF ．求证：∠F ＝∠C ，BC ＝2EF ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D ，DE ⊥AB 于点E ，点F 在AC 上，联结CE ，且EC 平分∠FED ．求证：EF ∥BC ．CBADEFFEDACBFED CBA4．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与AC 中垂线点M ．ME ⊥BC ，MD ⊥BA ，垂足分别是E 、D ．求证：AD ＝EC ．5．如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，经过点D 的直线与AC 相交于点F ，交AC 的平行线BG 于点G ，DE ⊥GF 与AB 相交于点E ，联结EF 、EG ．（1）求证：BG ＝CF ；（2）EG ＝EF ．6．已知：如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于点F. 求证：B CAF ∠=∠.N EB CD MAE GDBCA FFE D C B A7．如图，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，BA ＝BC ，AE ⊥BC ，点F 为AC 的中点．（1）求证：∠AFB ＝90°；（2）求证：△ADC ≌△AEC ；（3）连接DE ，试判断DE 与BF 的位置关系，并证明．8．已知，如图在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 、AB 、AC 于D 、G 、E 、F ．求∠DAG 的度数．9．已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，过D 点的直线分别交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ，且BE=CF 。

专题1.2平分---中点问题的常见模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)

等腰中,造三线,两个条件快补全. 三线合一+中位线
【分析】本题中,点E已经是AB的中点,由CD平分∠ACB,
AD⊥CD,想到可以构造等腰三角形,利用三线合一,使点D
成为另一个中点,从而让ED变成“看得见”的中位线.
解：延长AD交BC于F.
∵CD平分∠ACB,AD⊥CD
∴∠ACD=∠FCD,∠ADC=∠FDC=90º,
8
的中点,若BD=16,则EF的长为____．
9.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD,AE分别是其角平分线和中线,点C作
1
CG⊥AD于点F,交AB于点G,连接EF,则线段EF的长为____.
C
A
D
N
B
M
F
E
C
A
D
A
G
B
B
F
E D
C
强化训练
中点问题的常见模型
提升能力
11.如图,在△ABC中,若∠B=2∠C,AD⊥BC,E为BC边中点,求证：AB=2DE.
∵AB=AC,AD=AC. ∴AB=AD. ∴∠ADB=∠ABD=20º.
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=50º.
D
A
1 2
N
4
3
M
C
针对训练
垂直平分线模型
知识点二
2.如图,已知AB=24,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,AD=10,BC=20.若点E是CD
13
的中点,则AE的长是_____.
∴BF=CF=EF=0.5EC
∴∠ABF=∠CEB.
G F
M
B
E
A
∵∠DCE=∠CEB, ∴∠ABF=∠DCF.

与中点有关的常见几何题型 - 无辅助线

北师大版数学
与中点有关的常见几何题型
左权宏远学校刘兰风
题组练习一
1.△ABC中， AB=AC=13 ，BC=10 , D是BC的中点,则AD=_____. F是AC的中点,DF=_____.
2.△ABC中，BC=10， BD⊥AC 于D,CE ⊥AB于 E, F是 BC的中点,EF=_____,DF=_____.
P
A E
O
M Q
B
图4
F
1、2题的解决运用了什么定理、性质？
运用的定理、性质：
1.等腰三角形的“三线合一”性质。 2. 三角形的中位线定理。 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
题组练习一
3.如图，四边形ABCD是平行四边形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
则AM、MC、AD之间的数量关系为 AM=AD+CM。
ห้องสมุดไป่ตู้
如图： △ ABC中，M是BC的中点，AD平分
∠BAC,BD ⊥ AD于D，若AB=12,AC=16,
求证：⑴DM∥AC
⑵MD=___
A
D
E
B
M
C
拓展提高
如图，在Rt△POQ中，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B ，问PA2+BQ2=AB2成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；
A
D
E
B
MC
G
本题的解题思路是在有中点和平行条件下，
经常是利用中点构造全等, 从而实现线段的
转化、中点的转化。

专题7几何图形—7.11之中点结构-2021年鲁教版(五四制)九年级数学专题复习训练

中点结构【知识点睛】中点是初中数学几何问题中的常见特征．在实际解决问题时，应用与中点有关的定理，也可以看作是中点与其他几何特征进行的组合搭配．1.与中点有关的定理① ① ①等腰+中点直角+中点多个中点__________ ________________ 考虑__________2.与中点有关的构造（1）将中点看作是对称中心，构造中心对称图形平行夹中点见中点，要倍长________________ 考虑________________（2）将中点看作线段间的比值关系，考虑相似或者面积转化；3.其他背景下的中点（1）坐标系中见到中点，考虑中点坐标公式；如图，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）圆背景下的中点，考虑圆中的相关定理；如：①圆中四组量关系定理；②垂径定理；③圆周角定理等；倍长中线（1）【条件】：在矩形ABCD中，BD=BE，DF=EF；【结论】：AF⊥CF；模型思路：存在平行线AD平行BE；平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF；（2）【条件】在平行四边形ABCD中，BC=2AB，AM=DM，CE⊥AB；【结论】∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB①CD，有中点AM=DM，延长EM，构造①AME①①DMF，连接CM构造等腰①EMC，等腰①MCF。

（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）【经典例题1】已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B 重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【解析】（1）AE①BF，QE=QF，理由是：如图1，①Q为AB中点，①AQ=BQ，①BF①CP，AE①CP，①BF①AE，①BFQ=①AEQ，在①BFQ和①AEQ中①①BFQ①①AEQ（AAS），①QE=QF，故答案为：AE①BF，QE=QF．（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，①AE①BF，①①QAD=①FBQ，在①FBQ和①DAQ中①①FBQ①①DAQ（A SA），①QF=QD，①AE①CP，①EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，①QE=QF=QD，即QE=QF．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，①AE①BF，①①1=①D，在①AQE和①BQD中，①①AQE①①BQD（AAS），①QE=QD，①BF①CP，①FQ是斜边DE上的中线，①QE=QF．练习1-1已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．【解析】（1）BH⊥HE，BH＝HE；理由如下：延长EH交AB于M，如图1所示：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB∥CD∥EF，AB＝BC，CE＝FE，∠ABC＝90°，∴∠AMH＝∠FEH，∵H是AF的中点，∴AH＝FH，∴△AMH≌△FEH（AAS），∴AM＝FE＝CE，MH＝EH，∴BM＝BE，∵∠ABC＝90°，ME＝HE；∴BH⊥HE，BH＝12（2）结论仍然成立．BH⊥HE，BH＝HE．理由如下：延长EH交BA的延长线于点M，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ABE＝∠BEF＝90°，AB＝BC，AB∥CD∥EF，CE＝FE，∴∠HAM＝∠HFE，∴△AHM≌△FHE（ASA），∴HM＝HE，AM＝EF＝CE，∴BM＝BE，∵∠ABE＝90°，EM＝EH；∴BH⊥EH，BH＝12（3）延长EH到M，使得MH＝EH，连接AH、BH，如图3所示：同（2）得：△AMH≌△FEH（SAS），∴AM＝FE＝CE，∠MAH＝∠EFH，∴AM∥BF，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM+∠CBE＝90°，∵∠BCE+∠CBE＝90°∴∠BAM＝∠BCE，∴△ABM≌△CBE（SAS），∴BM＝BE，∠ABM＝∠CBE，∴∠MBE＝∠ABC＝90°，EM＝MH＝EH，∵MH＝EH，∴BH⊥EH，BH＝12在Rt△CBE中，BE＝2−CE2＝12，∵BH＝EH，BH⊥EH，BE＝6√2．∴BH＝√22练习1-2（1）如图1，在线段AB上取一点C（BC＞AC），分别以AC、BC为边在同一侧作等边①ACD与等边①BCE，连结AE、BD，则ACE经过怎样的变换（平移、轴对称、旋转）能得到①DCB？请写出具体的变换过程；（不必写理由）【A】（2）如图2，在线段AB上取一点C（BC＞AC），如果以AC、BC为边在同一侧作正方形ACDG与正方形CBEF，连结EG，取EG的中点M，设DM的延长线交EF于N，并且DG=NE；请探究DM与FM的关系，并加以证明；【B】（3）在图2的基础上，将正方形CBEF绕点C顺时针旋转（如图3），使得A、C、E在同一条直线上，请你继续探究线段MD、MF的关系，并加以证明．【解析】（1）将①ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到①DCB；理由如下：①①ACD和①BCE是等边三角形，①AC＝CD，CE＝CA，①ACD＝①BCE＝60°，①①ACE＝①DCB，在①ACE和①DCB中，，①①ACE①①DCB（SAS），①将①ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到①DCB；（2）如图，相等且垂直．理由如下：①EF①GD，①①NEM＝①DGM，在①MGD和①MEN中，，①①MGD①①MEN（SAS），①DM＝NM，在Rt①DNF中，FM＝DN＝DM，①NE＝GD，GD＝CD，①NE＝CD，①FN＝FD，即FM①DM，①DM与FM相等且垂直．（3）MD与MF相等且垂直．理由如下：延长DM交CE于N，连接DF、FN，如图所示：根据（2）可以得到①MGD①①MNE，①DM＝NM，NE＝DG，①①DCF＝①FEN＝45°，DC＝DG＝NE，FC＝FE，①在①DCF和①NEF中，，①①DCF①①NEF（SAS），①DF＝FN，①DFC＝①NFE，①①DFN＝90°，即①FDN为等腰直角三角形，①DM＝NM，即FM为斜边DN的中线，①FM＝DM＝NM＝DN，且FM①DN，则FM＝DM，FM①DM．练习1-3如图，已知①BAD和①BCE均为等腰直角三角形，①BAD=①BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A ，B ，C 三点在同一直线上时（如图1），求证：M 为AN 的中点；（2）将图1中的①BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时（如图2），求证：①ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中①BCE 绕点B 旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．【解析】（1）证明：如图1，①EN①AD ，①①MAD=①MNE ，①ADM=①NEM ．①点M 为DE 的中点，①DM=EM ．在①ADM 和①NEM 中，①MAD MNE ADM NEM DM EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．①①ADM①①NEM ．①AM=MN ．①M 为AN 的中点．（2）证明：如图2，①①BAD 和①BCE 均为等腰直角三角形， ①AB=AD ，CB=CE ，①CBE=①CEB=45°． ①AD①NE ，①①DAE+①NEA=180°．①①DAE=90°，①①NEA=90°．①①NEC=135°．①A ，B ，E 三点在同一直线上， ①①ABC=180°-①CBE=135°．①①ABC=①NEC ．①①ADM①①NEM （已证），①AD=NE ．①AD=AB ，①AB=NE ．在①ABC 和①NEC 中，AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABC①①NEC ．①AC=NC ，①ACB=①NCE ．①①ACN=①BCE=90°．①①ACN 为等腰直角三角形．（3）①ACN 仍为等腰直角三角形．证明：如图3，延长AB 交NE 于点F ，①AD①NE ，M 为中点，①易得①ADM①①NEM ，①AD=NE ．①AD=AB ，①AB=NE ．①AD①NE ，①AF①NE ，在四边形BCEF 中，①①ACN=①BFE=90°①①FBC+①FEC=360°-180°=180°①①FBC+①ABC=180°①①ABC=①FEC在①ABC 和①NEC 中，AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABC①①NEC ．①AC=NC ，①ACB=①NCE ．①①ACN=①BCE=90°．①①ACN 为等腰直角三角形．练习1-4图1，在①ABC中，①ACB=90①，点D、点E分别在AC、AB边上，连结DE、DB，使得①DEA=90①，若点O是线段BD的中点，连结OC、OE，则易得OC=OE；操作：现将①ADE绕A点逆时针旋转得到①AFG(点D. 点E分别与点F. 点G对应)，连结FB，若点O是线段FB的中点，连结OC、OG，探究线段OC、OG 之间的数量关系；(1)如图2，当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，当点G在线段CA上时，线段OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图4，在①ADE的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系是否发生了变化?请直接写出结论，不用说明理由.【解析】（1）当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG成立理由：如图2，延长GF，CO相较于点D，①①ACB=①FGA=90°，①GD①BC，①①BCO=①D ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①①BOC①①FOD ，①OC=OD ，在Rt①CDG 中，OG=21CD=OC ，（2）当点G 在线段CA 上时，线段OC=OG 是成立，理由：如图3，延长GF ，CO 相较于点D ，①①ACB=①FGA=90°，①GD①BC ，①①BCO=①D ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①OC=OD ，在Rt①CDG 中，OG=21CD=OC ，（3）在①ADE 的旋转过程中，线段OC 、OG 之间的数量关系不发生了变化，理由：如图4，连接CG ，延长GF 交BC 于M ，过点F 作FD①BC ，连接DG ，①①BCO=①FDO ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①①BOC①①FOD ，①OC=OD ，BC=DF由题意知，①AFG①①ABC ，①AF/AB=FG/BC ，①AF/AB=FG/DF ，①①ACB=①AGF=90°，①点A ，C ，M ，G 四点共圆，①①CAG=①BMG ，①FD①BC ，①①GFD=①BMG ，①①CAG=①GFD ，①AF/AB=FG/DF ，①①GAC①①GFD ，①①CGD=①ACF=90°，①OC=OD ， ①OG=21CD=OC ．点评此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解本题的关键是判断出①BOC①①FOD ，难点是（3）中判断出①CGD=90°．练习1-5已知：点P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ．点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是__________；（2）当点P 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P 在线段OA 的延长线上运动，当∠OEF=30°时，试探究线段CF 、AE 、OE 之间的关系．【解析】（1）①AE①PB ，CF①BP ，①①AEO=①CFO=90°，在①AEO 和①CFO 中，①AEO=①CFO①AOE=①COFAO=OC ，①①AOE①①COF ，①OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE-AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，①AE①BP，CF①BP，①AE①CF，①①EAO=①GCO，在①EOA和①GOC中，①EAO=①GCOAO=OC①AOE=①COG，①①EOA①①GOC，①EO=GO，AE=CG，在Rt①EFG中，①EO=OG，①OE=OF=GO，①①OFE=30°，①①OFG=90°-30°=60°，①①OFG是等边三角形，①OF=GF，①OE=OF，①OE=FG，①CF=FG+CG，①CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，①AE①BP，CF①BP，①AE①CF，①①AEO=①G，在①AOE和①COG中，①AEO=①G①AOE=①GOCAO=OC，①①AOE①①COG，①OE=OG，AE=CG，在Rt①EFG中，①OE=OG，①OE=OF=OG，①①OFE=30°，①①OFG=90°-30°=60°，①①OFG是等边三角形，①OF=FG，①OE=OF，①OE=FG，①CF=FG-CG，①CF=OE-AE．练习1-6如图1，在Rt①ABC中，①BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（1）（2）【探究证明】把①ADE 绕点A 逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把①ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出线段AP 长度的最大值和最小值．图1 图2【答案】（1）AP ＝BE ，P A ①BE ；（2）（3）见解析．【解析】（1）设P A 交BE 于点O ．①AD ＝AE ，AC ＝AB ，①DAC ＝①EAB ，①①DAC ①①EAB ，①BE ＝CD ，①ACD ＝①ABE ，①①DAC ＝90°，DP ＝PC ，①P A ＝CD ＝PC ＝PD ， ①P A ＝BE ，①C ＝①P AE ， ①①CAP +①BAO ＝90°，①①ABO +①BAO ＝90°，①①AOB ＝90°，①P A ①BE ，（2）结论成立．121212理由：延长AP 至M ，使PM ＝P A ，连接MC ，延长P A 交BE 于O ．①P A ＝PM ，PD ＝PC ，①APD ＝①CPM ，①①APD ①①MPC ，①AD ＝CM ，①ADP ＝①MCP ，①AD ①CM ，①①DAC +①ACM ＝180°，①①BAC ＝①EAD ＝90°，①①EAB ＝①ACM ，①AB ＝AC ，AE ＝CM ，①①EAB ①①MCA ，①BE ＝BM ，①CAM ＝①ABE ，①P A ＝AM ，P A ＝BE ， ①①CAM +①BAO ＝90°，①①ABE +①BAO ＝90°，①①AOB ＝90°，①P A ①BE ．（3）①AC ＝10，CM ＝4，①10﹣4≤AM ≤10+4，①6≤AM ≤14，①AM ＝2AP ，①3≤P A ≤7．①P A 的最大值为7，最小值为3．1212练习1如图，在矩形ABCD 中，①BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F .（1）若AB =2，AD =3，求EF 的长；（2）若G 是EF 的中点，连接BG 和DG ，求证：DG =BG .【解析】（1）EC=CF=1 EF=2（2）连接CG ，易证△CGD ≌△CGB ，∴DG=BG练习小题1.如图所示，在①ABC 中，AD 是①BAC 的平分线，M 是BC 的中点，ME①AD 且交AC 的延长线于E ，CE=21CD ，求证：①ACB=2①B ．【解析】延长EM 交AB 于F ，过B 作BG①EF 交AD 的延长线于K ，交AE 的延长线于G ，设AK ，EF 交于H ，连接DG ，①AD 是①BAC 的平分线，①①BAH=①EAH ，①ME①AD ，①①AHF=①AHE ，在①AFH 与①AEH 中，①FAH=①EAH AH=AH ①AHF=①AHE ，①①AFH①①AEH ，①FH=EH ，①AH 垂直平分EF ，①AK 垂直平分BG ，①AB=AG ，①EF①BG ，BM=CM ， ①CE=21CG ， ①CE=21CD ，①CD=CG ，①①CDG=①CGD ，①①ACB=①CDG+①CGD=2①CGD ，在①ABD 与①AGD 中，AB=AG ①BAD=①GAD AD=AD ，①①ABD①①AGD ，①①ABC=①AGD ，①①ACB=2①B ．点评本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，90ABD CBE ∠=∠=︒，BA BD =，BC BE =，延长CB 交DE 于F .求证：EF DF =.【解析】3.已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AG HG =.求证：BH AC =.【解析】4.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC ＞2AD ．【解析】证明：延长AD 到M ，使AD=DM ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC ，∵AD=DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM=AC ，在△ABM 中，AB+BM>AM ，即AB+AC>2AD ．5.如图所示，BCD ∆和BCE ∆中，90BDC BEC ∠=∠=︒，O 为BC 的中点，BD ，CE 交于A ，120BAC ∠=︒，求证：DE OE =.【解析】法一：连接OD.∵∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点∴B ，C ，D ，E 四点共圆，且圆心为O∴OD=OE ，∠COD=2∠CBD ，∠BOE=2∠BCE∵∠BAC=120°∴∠CBD+∠BCE=60°∠COD+∠BOE=120°∴∠DOE=60°∴△DOE 是等边三角形∴DE=OE法二：如图，连接OD ，∵∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点，∴OD=OE=OB=OC ，∴∠CBA=∠BDO ，∠BCA=∠CEO ，由三角形的外角性质得，∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA ，∠COD=∠CBA+∠BDO=2∠CBA ，∵∠BAC=120°，∴∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°，∴∠DOE=60°，∴△DOE 是等边三角形，∴DE=OE ．6.如图所示，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：2BAC BAD ∠=∠.【解析】延长FE ，截取EH=EG ，连接CH①E 是BC 中点，那么BE=CE①BEG=①CEH①①BEG①①CEH(SAS)①①BGE=①H ，那么①BGE=①FGA=①HBG=CH①CF=BG①CH=CF①①F=①H=①FGA①EF①AD①①F=①CAD ，①BAD=①FGA①①CAD=①BAD那么AD 平分①BAC7.如图，在四边形ABCD 中，①ABC =90°，AC =AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．若∠BAD =60°，AC 平分∠BAD ，AC =2，则BN 的长为____________．【解析】28.如图，在□ABCD 中，AD =2AB ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，连接CF ，NMDC B A则下列结论：△BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．其中一定正确的是_________．【解析】①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠BCD=2∠DCF ，故①正确； ②延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM ，∴△AEF ≌△DMF （ASA ）， AB C DE F∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，∴∠ECF=∠CEF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC>BE，∴S△BEC<2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故答案为：①②④．9.如图，在①ABC中，点D是BC的中点，若AB=5，AC=13，AD=6，则BC的长为____________．【解析】延长AD 到E ，使DE=AD=6，连接BE ，CE ．①CD=BD ，①四边形ABEC 是平行四边形，①AB①CE ，EB=CA=13；①52+122=132，①①CEA=90°，①①EAB=90°，=．10.如图，在①ABC 中，①ACB =60°，AC =1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分①ABC 的周长，则DE 的长是___________．【解析】23 ECB A11.如图，在四边形ABCD 中，AD ①BC ，①D =90°，AD =4，BC =3，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ．作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（）A． B ．4 C ．3 D【解析】10F EDC B A O。

中考数学基本模型—中点模型,初三数学专题复习总结倍长中线练习题

中考数学基本模型——中点模型线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用线相交.即“延长中线交平行”此时，易证△BEF≌△CED模型三如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：时，只需将AE延长和DC的延长线相交，就一定会得到全等三角形，进而得到我们需要的结果.证明：如图，延长AE交DC的延长线于点F.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD，即AB//DF∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE又∵点E是BC中点∴BE=CE∴△ABE≌△FCE∴CF=AB=CD，AE=FE∴DF=2CD,又∵AD=2CD∴AD=DF,又因为点E是AF的中点∴DE⊥AF即∠AED=90°.反思：对于本题，还可以延长AE至点F使EF=AE，连接CF.通过证明△ABE ≌△FCE得到AB//CF,利用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得到D、C、F三点共线.再证明△DAF是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到结论.对于第二种方法，同学们可以自己尝试.例2、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．分析：由题可知，DE//BF，且点G是BE的中点，满足平行线间夹中点，所以可将DG延长与BF相交.证明：（1）AG=DG，且AG⊥DG.如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是正方形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF又∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90°∴△DAH是等腰直角三角形，又∵点G是DH的中点∴AG=DG且AG⊥DG.反思：若将正方形绕点C旋转任意角度，在旋转的过程中，上述结论还成立吗？试试看。