中考数学压轴题破解策略专题16《对角互补模型》

专题16《对角互补模型》

破解策略

1．全等型之“90°”

如图，∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB ，则 （1）CD ＝CE ； （2）OD ＋OE

OC ； （3）21

2

OCD OCE S S OC ∆∆+=

． 证明 方法一：如图，过点C 分别作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，垂足分别为M ，N ． 由角平分线的性质可得CM ＝CN ，∠MCN ＝90°． 所以∠MCD ＝∠NCE ， 从而△MCD ≌△NCE （ASA ），

故CD ＝CE ．

易证四边形MONC 为正方形． 所以OD ＋OE ＝OD ＋ON ＋NE ＝2ON

C ．

所以221

2

OCD OCE MONC S S S ON OC ∆∆+===

正方形． 方法二：如图，过C 作CF ⊥OC ，交OB 于点F ．

易证∠DOC ＝∠EFC ＝45°，CO ＝CF ，∠DCO ＝∠ECF ． 所以△DCO ≌△ECF （ASA ） 所以CD ＝CE ，OD ＝FE ， 可得OD ＋OE ＝OF

．

所以21

2

OCD OCE OCF S S S OC ∆∆∆+==

． 【拓展】如图，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则：

（1）CD ＝CE ； （2）OE －OD

OC ； （3）21

2

OCE OCD S S OC ∆∆-=

． 如图，证明同上． 2．全等型之“120”

如图，∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB ，则： （1）CD ＝CE ；

（2）OD ＋OE ＝OC ； （3

）2OCD OCE S S ∆∆+=

．

证明 方法一：如图，过点C 分别作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，垂足分别为M ，N ．

所以22OCD OCE ONC S S S ∆∆∆+==

易证△MCD ≌△NCE （ASA ），

所以CD ＝CE ，OD ＋OE ＝2ON ＝O C ．

方法二：如图，以CO 为一边作∠FCO ＝60°，交OB 于点F ，则△OCF 为等边三角形． 易证△DCO ≌△ECF （ASA ）． 所以CD ＝CE ，OD ＋OE ＝OF ＝OC ， ∴S △OCD ＋S △OCE ＝S △OCF ＝

4

3

OC 2 【拓展】如图，当∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点E 时，则： （1）CD ＝CE ；（2）OD －OE ＝OC ；（3）S △OCD －S △OCE ＝

4

3

OC 2 如图，证明同上．

3、全等型之“任意角”

如图，∠AOB ＝2α，∠DCE ＝180°－2α，OC 平分∠AOB ，则：

（1）CD ＝CE ；（2）OD ＋OE ＝2OC ·cos α；（3）S △ODC ＋S △OEC ＝OC 2

·sin αcos α 证明：方法一：如图，过点C 分别作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，垂足分别为M ，N

易证△MCD ≌△NCE （ASA ） ∴CD ＝CE ，OD ＋OE ＝2ON ＝2OC ·cos α

∴S △ODC ＋S △OEC ＝2S △ONC ＝OC 2

·sin αcos α

方法二：如图，以CO 为一边作∠FCO ＝180°－2α，交OB 于点F ．

易证△DCO ≌△ECF （ASA ）

∴CD ＝CE ，OD ＋OE ＝OF ＝2OC ·cos α

∴S △ODC ＋S △OEC ＝S △OCF ＝OC 2

·sin αcos α

【拓展】如图，当∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点E 时，则：

（1）CD ＝CE ；（2）OD －OE ＝2OC ·cos α；（3）S △ODC －S △OEC ＝OC 2

·sin αcos α 如图，证明同上

4、相似性之“90°”

如图，∠AOB ＝∠DCE ＝90°，∠COB ＝α，则CE ＝CD ·tan α 方法一：如图，过点C 分别作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，垂足分别为M 、N 易证△MCD ∽△NCE ，∴

αtan ===CM

CN

CD CE MD NE ，即CE ＝CD ·tan α 方法二：如图，过点C 作CF ⊥OC ，交OB 于点F ． 易证△DCO ∽△ECF ，∴

αtan ===CO

CF

CD CE OD FE ，即CE ＝CD ·tan α 方法三：如图，连接DE ． 易证D 、O 、E 、C 四点共圆

∴∠CDE ＝∠COE ＝α，故CE ＝CD ·tan α

【拓展】如图，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则CE ＝CD ·tan α 如图，证明同上．

例题讲解

例1、已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，在∠BAC 所对弧BC 上任取一点D ，连接AD ，BD ，C D ．

（1）如图1，若∠BAC ＝120°，那么BD ＋CD 与AD 之间的数量关系是什么？ （2）如图2，若∠BAC ＝α，那么BD ＋CD 与AD 之间的数量关系是什么？ 解：（1）BD ＋CD ＝3AD

如图3，过点A 分别向∠BDC 的两边作垂线，垂足分别为E 、F ． 由题意可得∠ADB ＝∠ADC ＝30° 易证△AEB ≌△AFC ∴BD ＋CD ＝2DE ＝3AD

⑵BD ＋CD ＝2AD sin

2

α． 如图4，作∠EAD ＝∠BAC ，交DB 的延长线于点E ．

则△EBA ≌△DCA ，所以BE ＝CD ，AE ＝A D ．

作AF ⊥DE 于点F ，则∠FAD ＝

2α．所以BD ＋CD ＝DE ＝2DF ＝2AD sin 2

α． 例2如图1，将一个直角三角板的直角顶点P 放在正方形ABCD 的对角线BD 上滑动，并使其一条直角边始终经过点A ，另一条直角边与BC 相交于点F ． ⑴求证：PA ＝PE ；

⑵如图2，将⑴中的正方形变为矩形，其余不变，且AD ＝10，CD ＝8，求AP ：PE 的值； ⑶如图3，在⑵的条件下，当P 滑动到BD 的延长线上时，AP ：PE 的值是否发生变化？

解：⑴如图4，过点P 分别作PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，垂足分别为M ，N ．

则PM ＝PN ，∠MPN ＝90°，由已知条件可得∠APE ＝90°，所以∠APM ＝∠EPN ，所以△APM ≌△EPN ． 故AP ＝PE ．

D

F

B

E

O

A 图4

图3

A

D

B

E

P F

C A

D

B

P

C

E 图2

A

D

P

B

E C 图1