人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结
人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程章末总结优质
第二章
圆锥曲线与方程
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4．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆 锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定 义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数 与方程、分类讨论等数学思想方法，直线与圆锥曲线的位置关
2 典例探究学案
第二章
圆锥曲线与方程
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自主预习学案
第二章
圆锥曲线与方程
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1．坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数 的方法研究几何问题．
第二章
圆锥曲线与方程
系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意
数形结合；(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数 的关系；(3)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的 关系，设而不求，简化运算，
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圆锥曲线与方程
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5．求轨迹方程的方法常用的有：直接法、定义法、代入 法，要注意题目中的限制条件，特别是隐含条件的发掘，直线 与圆锥曲线的位置关系问题，通常用判别式法；要注意有关弦 长问题中韦达定理的应用，需特别注意的是，直线平行于抛物
准线x＝－1的距离d＝|2－(－1)|＝3，故C正确．
第二章
圆锥曲线与方程
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2．(2014· 福州月考)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2＝ 20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为 3x± 4y＝0，则该双曲线 的标准方程为( y2 x 2 A．16－ 9 ＝1 y2 x2 C． 9 －16＝1
高二数学选修2-1第二章圆锥曲线_知识点+习题+答案讲述
第二章圆锥曲线与方程1、平面内与两个定点F1， F 2的距离之和等于常数（大于F1 F 2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位焦点在 y 轴上焦点在 x 轴上置图形标准方程x2 y2 1 a b 0 y2 x2 1 a b 0a2 b2 a2 b2范围 a x a 且 b y b b x b 且 a y a极点 1a,0 、 2 a,0 1 0, a 、 2 0,a0, b 、 2 0,b b,0 、 2 b,01 1轴长短轴的长2b 长轴的长2a焦点F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,c焦距F1 F2 2c c2 a2 b2对称性对于 x 轴、y轴、原点对称离心率准线方程c 1b 2e 2 0 e 1a aa2 a2 x yc c3、设是椭圆上任一点，点到 F1对应准线的距离为d1，点到 F2对应准线的距离为d2，则F1 F2 e．d1 d24、平面内与两个定点F1， F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1 F 2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．5、双曲线的几何性质：焦点的位置图形标准方程范围极点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程渐近线方程焦点在 x 轴上焦点在y轴上x2 y21 a 0, b 0y2 x21 a 0, b 0 a2 b2 a2 b2x a 或 x a ， y R y a 或 y a ， x R1 a,0、2 a,01 0,a 、 2 0,a虚轴的长2b 实轴的长2aF1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,cF1 F2 2c c2 a2 b2对于 x 轴、y轴对称，对于原点中心对称ec b211a2eaxa2ya2c cy b x y a xa b6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．7、设是双曲线上任一点，点到 F1对应准线的距离为d1，点到 F2 对应准线的距离为 d2，则F1 F2 e．d1 d28、平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p ．10、焦半径公式：若点若点若点若点x0 , y0x0 , y0x0 , y0x0 , y0在抛物线在抛物线在抛物线在抛物线y 2 2px p 0 上，焦点为 F ，则 F x0 p ；2y 2 2 px p 0 上，焦点为 F ，则 F x0 p ；2x2 2py p 0 上，焦点为 F ，则 F y0 p ；2x2 2 py p 0 上，焦点为 F ，则 F y0 p ．211、抛物线的几何性质：标准方程图形极点对称轴焦点准线方程y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 2 2 py p 0p0p 0p00,0x 轴y 轴Fp, 0 Fp, 0 F 0,pF 0, p2 2 2 2 xp p pyp 2x y22 2离心率 e 1范围x 0 x 0 y 0 y 0圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点 M 的坐标知足方程 13x 2y 2 | 12x5 y 12 | ，则动点 M 的轨迹是（ ）A. 抛物线B. 双曲线C.椭圆D.以上都不对2．设 P 是双曲线x 2 y 2 上一点，双曲线的一条渐近线方程为a 2193x 2y 0, F 1 、 F 2 分别是双曲线的左、右焦点，若 |PF 1 | 5，则 |PF 2 |（ ）A. 1或 5B. 1 或 9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为 F 1、、 F 2，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若△ 12 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）.P F PFA.2 B.2 1C.2 2D.2 1224．过点 (2,-1) 引直线与抛物线 y x 2 只有一个公共点 , 这样的直线共有 ( ) 条 A. 1B.2C.3D.45．已知点 A( 2,0) 、 B(3,0) ，动点 P( x, y)知足 PA PBy 2 ，则点 P 的轨迹是( )A．圆 B ．椭圆C．双曲线D．抛物线6．假如椭圆x2 y 2 1的弦被点(4，2)均分，则这条弦所在的直线方36 9程是（） A x 2 y 0 B x 2 y 4 0 C 2x 3 y 12 0 D x 2 y 8 07、不论为什么值，方程x2 2 sin y 2 1所表示的曲线必不是（）A. 双曲线B. 抛物线C. 椭圆D. 以上都不对8．方程mx ny2 0 与 mx2 ny2 1 ( m n 0) 的曲线在同一坐标系中的示企图应是（）A B C D二、填空题：9．对于椭圆x2 y 2 1和双曲线x2 y2 1有以下命题：16 9 7 9①椭圆的焦点恰巧是双曲线的极点; ②双曲线的焦点恰巧是椭圆的极点;③双曲线与椭圆共焦点;④椭圆与双曲线有两个极点同样 .此中正确命题的序号是.10．若直线11、抛物线(1 a)x y 1 0 与圆x2 y 2 2 x 0 相切，则 a 的值为y x 2上的点到直线4x 3y 8 0 的距离的最小值是12、抛物线 C: y 2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标 。
人教版A版高中数学选修2-1：小结
基础训练
x2
(7)已知椭圆
y2
1上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，
25 9
35
则点 P 到椭圆右准线的距离为 4
x2 y2
(8)以椭圆 1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线
25 16
100
的抛物线与椭圆的右准线交于 A、B 两点，则 AB= 3
小结：要熟练掌握圆锥曲线的基础知识，以解决基 本问题。
基础训练
x2 y2
(1)一个焦点为 0, 7 , 短轴长为 6 的椭圆的标准方程为 9 __1_6___1_ (2)已知方程 x 2 y 2 1表示椭圆，则 k 的
3k 2k
取值范围为 _3_ k 2 (3)若双曲线的实半轴长为 2,焦距为 6,那么双曲线
e 3
的离心率为 ___2
2a 3 2b
则此：时所a92 求 b的42 椭1，圆解方此程方为程x组2 ， y得2
a 2 b 2
1
45 5
45 5
(2)当焦点在y轴上时，同理得，椭圆方程为
x2 y2 5 85
1
小结：本题用待定系数法求椭圆的标准方程， 9
但在无法判断焦点所在的坐标轴时，要分情况讨论
基础训练
(4)经过点 Ax（2 -3y，2 1），且对称轴是坐标轴的等轴双曲线 方程是 8 8 1
（5）抛物线 y 1 x 2 的焦点坐标是 (0,-1) 4
(6)已知 M 为抛物线 y 2 4x 上一动点， F 为抛物线的
焦点，定点 P3 , 1，则 MP MF 的最小值为 4
【例1】 过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、 l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段 AB的中点M的轨迹方程． 解 法一 设点M的坐标为(x，y)． ∵M为线段AB的中点， ∴A的坐标为(2x，0)，B坐标为(0，2y)． ∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2，4)，
最新人教版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》本章综述
第二章圆锥曲线与方程
本章综述
本章的内容是：曲线与方程，椭圆，双曲线，抛物线.重点是圆锥曲线标准方程及其性质的研究.难点是已知曲线求方程.
根据已知条件选择适当的坐标系，借助数和形的对应关系建立曲线方程，把形的问题转化为数的研究，再把数的研究转化为形来讨论，这是解析几何的基本思想和方法.用解析法研究圆锥曲线是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯，也是学习其他科学技术的基础，而学习圆锥曲线，需要综合运用过去学过的数学知识，因此，学习这一章，起着承前启后的作用．圆锥曲线是解析几何的重点内容.要深入理解曲线与方程的有关概念与相互关系，重点抓住两个基本问题：一是根据曲线方程研究曲线的基本性质；二是根据曲线的几何特征求曲线的方程.学习本章常用的方法有直接法、代入法、几何法、定义法、交轨法、参数法等. 圆锥曲线方程的应用和开放题在教材的例题和习题中有多处涉及，在各地的高中会考和高考模拟试卷中也有逐年增加的趋势，这类试题一般都紧扣课本内容，贴近生活，具有跨学科的特点.在高考中圆锥曲线占总分的15%左右，分值一直保持稳定.选择题、填空题重视基础知识和基本方法，而且具有一定的灵活性与综合性；解答题注重基本方法、数学思想的理解掌握和灵活运用，通常又不单独考查，多数情况是与函数、向量、数列结合起来，综合性强，难度较大，常被安排在试题最后.。
高中数学选修2-1圆锥曲线基本知识点与典型题举例(后附答案)汇总
高中数学选修2--1圆锥曲线基本知识点与典型题举例一、椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l叫做椭圆的准线,常数e叫做椭圆的离心率.121212迹方程是( )(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例 2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3. 若F (c ，0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a±) 2()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不存在例4 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +22y b=1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )(A)2 (B)32 (D)3例5. P 点在椭圆1204522=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 .例6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; . (2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____.(4)离心率为23，经过点(2，0); .例7. 12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．二、双曲线1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定值2a (0<2a <|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e (e >1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线,常数e 叫做双曲线的离心率例8 .命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》本章概览
第二章 圆锥曲线与方程本章概览 内容提要本章主要学习三种圆锥曲线及方程，它们分别是椭圆、双曲线和抛物线，需掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质具体内容如下： 一、椭圆 1.椭圆定义平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 2.椭圆的方程（1）焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：2222b y a x +=1（a ＞b ＞0）.（2）焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：2222bx a y +=1（a ＞b ＞0）.（3）一般表示：Ax 2+By 2=1（A ＞0，B ＞0且A≠B ）.椭圆的简单几何性质（a 222）1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F 1F 2|叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程若焦点F 1（-c ，0）、F 2（c ，0），则双曲线的标准方程为2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0，c 2=a 2+b 2）若焦点F 1（0，-c ）、F 2（0，c ），则双曲线方程为2222bx a y -=1（a ＞0，b ＞0），c 2=a 2+b 2）222）1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F 不在定直线l 上.四、圆锥曲线的统一性1.它们都是平面截圆锥得到的截口曲线.2.它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，此值的取值范围不同形成了不同的曲线.3.它们的方程都是关于x，y的二次方程.学法指导圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型,有很多非常好的几何性质,这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用,所以学习这部分内容对于提高自身的素质是非常重要的.高中阶段对圆锥曲线的学习,主要是结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想.同时,在本模块中,在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.圆锥曲线本身有一些很深奥的性质(如光学性质、行星运行轨道的性质等),其中有一些是圆锥曲线最基本的性质.。
选修2-1圆锥曲线全章节
问题1：解析几何与坐标法. 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标
法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学 科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法研究几何 问题的一门数学学科.
问题2：平面解析几何研究的两个基本问题. （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以 省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明. 另外，也可以根据情况 省略步骤（2），直接列出曲线方程.
例2.已知一条直线l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2. 一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
x+2y－7=0. ①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐
标都是方程①的解；
（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即 x1+2y1－7=0, x1=7－2y1.
点M1到A，B的距离分别是
所以 | M1A || M1B | 即点M在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知,方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
例3.已知曲线C的方程为 x 4 y2，说明曲线C是什 么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解：由 x 4 y2 ，得x2＋y2＝4，又x≥0， 所以方程 x 4 y2 表示的曲线是以原点为圆心，2为半径 的右半圆,从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆， 其面积 S 1 4 2
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
1.理解曲线与方程的概念、意义.（重点、难点） 2.了解数与形结合的基本思想.（难点）
人教A版高中数学选修21PPT课件：圆锥曲线小结复习
2 MN AD BC ,
B M
MN
p 2
y0
1 4
y0 1
,
AD
BC
2( 4
y0 )
AF
O
x
D
NC
AD AF , BC BF
1
AF
BF
2( 4
y0 )
ABF中, AF BF AB 2
(| AF | | BF |)min 2
即y0min
3 4
例8:若抛物线y x2上存在两点关于直线y m(x 3) 对称,求m的取值范围.
例3：已知双曲线x2 y2 1, 2
(1)求以A(2,1)为中点的弦的直线方程；
（2）过B(1,1)是否存在直线l，使B为弦的中点。
解：（1）设交点坐标为 (x1, y1), (x2, y2 )
x12
x2
2
y12 2 y22 2
1 相减得 : y1 y2 2(x1 x2 )
x1 x2 y1 y2
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
是常数 e，
l
d . .M F
l d .M .
F
l d.M .
F
0 e 1
e 1
e 1
定点是焦点，定直线叫 做准线，常数 e是离心率 .
椭圆的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
双曲线的标准方程：
x2 a2
y2 b2
例4。在抛物线y2=4x上求一点P，使得点P到直 线y=x+3的距离最短。
y54源自32P1
人教版 高中数学【选修 2-1】第三章圆锥曲线的概念及性质
人教版高中数学精品资料重点列表： 重点 名称 重要指数 重点1 椭圆 ★★★★ 重点2 双曲线 ★★★ 重点3 抛物线★★★★椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合1212P={M||MF |+|MF |=2a |FF |=2c.} ①若a c >，则集合P 为椭圆； ②若a c =，则集合P 为线段； ③若a c <，则集合P 为空集．椭圆的标准方程：焦点在x 轴时，2222=1(a>b>0)x y a b +；焦点在y 轴时，2222=1(a>b>0)y x a b + 椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴，2222+=1(a>b>0)x y a b；（2）焦点在y 轴，2222y +=1(a>b>0)x a b.满足条件：22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞ 条件22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．双曲线的标准方程重点1：椭圆的定义及性质【要点解读】1．熟悉椭圆定义、标准方程，在熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程中所使用的数学思想方法．2．在运用椭圆的定义时，要注意“|F1F2|＜2a”这个条件，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在．3．椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，具体是哪种形式，由m 与n 的大小而定．4．求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出a ，b 的两个方程，求参数a ，b 的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a ，b 的值．5．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中．6．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定．7．直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．【考向1】利用定义求椭圆的方程【例题】如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程．解：由题意得||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||AF 2＋||BF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝4a ＝8，得a ＝2.又e ＝c a ＝12，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.【评析】椭圆的定义是高考的常考点，应掌握椭圆的定义以及参数a ，b ，c ，e 的几何意义和相互关系． 【考向2】椭圆定义的应用【例题】如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．求该椭圆的离心率和标准方程．解：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．易知||OB 1＝||OB 2＝12||OF 1＝c2，||AB 1＝||AB 2，又∵△AB 1B 2为直角三角形，∴∠B 1AB 2＝90°.∴||OA ＝||OB 1，即b ＝c 2，有b 2＝a 2－c 2＝c 24，得e 2＝45，e ＝255.∵S △AB 1B 2＝12||B 1B 2·||AO ＝12bc ＝12·c 2·c ＝c 24＝4，∴c 2＝16，b 2＝4，a 2＝20.∴椭圆方程为x 220＋y 24＝1. 【考向3】椭圆的离心率【例题】设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c －c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1.∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选D.【评析】(1)对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化．在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因．(2)对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易．(3)整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化．正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在．重点2：双曲线的定义及性质【要点解读】1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．4．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． 5．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．【考向1】双曲线的定义【例题】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点(－5，2)，焦点为(6，0)； (2)实半轴长为23，且与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点． 解：(1)∵焦点坐标为(6，0)，焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵双曲线过点(－5，2)， ∴25a 2－4b 2＝1，得a 2＝25b 2b 2＋4. 联立⎩⎨⎧a 2＝25b 2b 2＋4，a 2＋b 2＝c 2＝6，解得a 2＝5，b 2＝1，故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)由双曲线x 216－y 24＝1得其焦点坐标为F 1(-25，0)和F 2(25，0)，由题意知，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．易知a ＝23，c ＝25，∴b 2＝c 2－a 2＝8.∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1. 【评析】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算．【考向2】双曲线的离心率【例题】(1)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 经过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A ，B 两点，若AF →＝4FB →，则C 的离心率为________．解：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右准线为l ，过A ，B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，作BD ⊥AM 于点D ，由直线AB 的斜率为3知直线AB 的倾斜角为60°，∴∠BAD ＝60°，|AD |＝12|AB |.又|AM |－|BN |＝|AD |＝1e (|AF →|－|FB →|)＝12|AB |＝12(|AF →|＋|FB →|)．又AF →＝4FB →， ∴1e ·3|FB →|＝52|FB →|，得e ＝65.故填65. (亦可联立直线与双曲线的方程求解，但计算较繁)【评析】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解．(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c 的运用，对于变式2(2)，还可利用双曲线的另一种定义(见人教A 版教材选修2－1P59例5)||PF 1＝e ⎝⎛⎭⎪⎫x P ＋a 2c ＝4a ，x P ＝3a 2c ≥a ，得1<e ≤3.(3)过焦点的弦被焦点所分成的线段成比例，一般可以寻找相似三角形，使用相似比【考向3】双曲线的渐近线【例题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ． y ＝±12xD ． y ＝±x【评析】本题考查双曲线的离心率，a ，b ，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的不同点，对双曲线的渐近线的概念要注意理解．2．双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”．3．定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在．4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．5．在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，即c 最大．6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容，对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．7．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线．重点3：抛物线的定义及性质【要点解读】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 【考向1】抛物线的定义及标准方程【例题】(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出抛物线的方程．②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，准线方程可统一为x ＝－a2.由题意可得⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋m ＝5，2am ＝9， 解得⎩⎨⎧a ＝1，m ＝92， 或⎩⎨⎧a ＝－1，m ＝－92， 或⎩⎨⎧a ＝9，m ＝12， 或⎩⎨⎧a ＝－9，m ＝－12.∴当m ＝92时，抛物线的方程为y 2＝2x ；当m ＝－92时，抛物线的方程为y 2＝－2x ；当m ＝12时，抛物线的方程为y 2＝18x ；当m ＝－12时，抛物线的方程为y 2＝－18x .(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2B ．3C ．115D ．3716解：易知直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小．因此最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即d min＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2.故选A.【评析】(1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式．注意利用代数的观点，把抛物线向右或向左的情形统一起来，提高解题效率；(2)把“数”、“方程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简洁．1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，可以优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．提倡作出合理的草图，图形合理，才能观察出图形的几何性质，并加以研究，为准确的代数化打下基础．难点列表：椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为2222e?b b c a=等．设椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处． 椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。
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21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装第二章圆锥曲线与方程本章知识结构：圆锥曲线的实际背景本章知识要点：标准方程简单的几何性质椭圆双曲线抛物线※※※※※※※※※※※※简单应用订2.1曲线与方程一、曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线.二、求曲线的方程1.解析几何：用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质.2.求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合PMp(M)；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)0；第1页共6页※※※※※※※※※※※※线※※※※※※※※※※盘点知识夯实基础逐步提高（4）化方程f(x,y)0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.简言之：①建系、取点②列式③代换④化简⑤证明.2.2椭圆一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2；当2aF1F2时，表示线段F1F2时，轨迹不存在.二、椭圆的标准方程与几何性质：标准方程当椭圆焦点在x轴上时当椭圆焦点在y轴上时x2y221(ab0)2aby2x221(ab0)2ab图形范围对称轴对称中心axa，bybaya，bxbx轴、y轴坐标原点O(0,0)x轴、y轴坐标原点O(0,0)第2页共6页高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装长轴短轴顶点坐标焦点坐标离心率长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b(a,0)，(0,b)(c,0)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a(0,a)，(b,0)(0,c)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a※※※※※※※※※※※※注意：1.a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a2b2c2.e叫做椭圆的离心率，e的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.c且0e1，e可以刻画椭圆a2.点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则PFmaxac，PFminac.3.点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，F1PF2取最大值.4.椭圆的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线订※※※※※※※※※※※※线ca2l：x的距离的比是常数e(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的ac焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.x2y25.椭圆方程221(ab0)常用三角换元为xacos,ybsin.ab三、点与椭圆位置关系※※※※※※※※※※x2y2点P(x0,y0)与椭圆221(ab0)位置关系：abx02y02（1）点P(x0,y0)在椭圆内221（含焦点）ab（2）点P(x0,y0)在椭圆上x0y012222abx02y02（3）点P(x0,y0)在椭圆外221ab第3页共6页盘点知识夯实基础逐步提高四、直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系相交相切相离（2）弦长公式：设直线ykxb交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2)2x1x2，或|PP则|PP12|1k12|1公共点有两个公共点有且只有一个公共点无公共点判定方法000直线与椭圆方程首先应消去一个未知数得一元二次方程的根的判别式1y1y2(k0).k22.3双曲线一、双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1、F2为端点的两条射线；当2aF1F2时，表示分别以F1F2时，轨迹不存在.二、双曲线的标准方程与几何性质：标准方程当双曲线焦点在x轴上时当双曲线焦点在y轴上时x2y221(a0,b0)2aby2x221(a0,b0)2ab图形第4页共6页高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装范围对称轴对称中心实轴虚轴顶点坐标焦点坐标渐近线离心率xa，或xaya，或yax轴、y轴坐标原点O(0,0)实轴长2a，虚轴长2bx轴、y轴坐标原点O(0,0)实轴长2a，虚轴长2b※※※※※※※※※※※※(a,0)(c,0)，其中c2a2b2xyb0，即yxabace(其中e1)a(0,a)(0,c)，其中c2a2b2yxa0，即yxabbce(其中e1)a订注意：1.a、b、c、e的几何意义：a叫做半实轴长；b叫做半虚轴长；c叫做半焦距；a、※※※※※※※※※※※※线b、c之间满足c2a2b2.e叫做椭圆的离心率，e张口就越大.c且e1.e越大，双曲线的a2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e2.3.双曲线的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定ca2直线l：x的距离的比是常数e(e1)时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双ac曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.4.直线与双曲线位置关系同椭圆.特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.※※※※※※※※※※x2y25.共渐近线的双曲线可写成22(0)；abx2y221(b2a2).共焦点的双曲线可写成2ab第5页共6页盘点知识夯实基础逐步提高2.4抛物线一、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.注意：当定点F在定直线l上时，点的轨迹为过点F与直线l垂直的直线.二、抛物线的标准方程与简单几何性质：标准y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程图形焦点坐标准线方程范围对称性顶点离心率注意：1.p的几何意义：p表示焦点到准线的距离.2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.22.若点M(x0,y0)是抛物线y2px(p0)上任意一点，则MFx02p(,0)2px2x0(p,0)2px2x0p(0,)2py2p(0,)2py2y0y轴y0y轴x轴(0,0)e1x轴(0,0)e1(0,0)e1(0,0)e1p.23.若过焦点的直线交抛物线y2px(p0)于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦长ABx1x2p.第6页共6页扩展阅读：21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程椭圆一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2时，表示线段F1F2；当2aF1F2时，轨迹不存在.二、椭圆的标准方程与几何性质：当椭圆焦点在x轴上时当椭圆焦点在y轴上时2标准方程xy21(ab0y2x2a2b2)a2b21(ab0)图形范围axa，bybaya，bxb对称轴x轴、y轴x轴、y轴对称中心坐标原点O(0,0)坐标原点O(0,0)长轴、短轴长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b顶点坐标(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)焦点坐标(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2离心率eca(其中0e1)eca(其中0e1)1.a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a2b2c2.e叫做椭圆的离心率，eca且0e1，e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.2.点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则PFmaxac，PFminac.3.点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，F1PF2取最大值.当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线l：xa24.椭圆的第二定义：c的距离的比是常数eca(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.三、点与椭圆位置关系P(xx2y2x22点0y00,y0)与椭圆a2b21(ab0)位置关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆内a2b21（2）点P(xy22（3）点P(xx220y00,0)在椭圆上x0y0b210,y0)在椭圆外a2a2b21四、直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系公共点判定方法相交有两个公共点0直线与椭圆方程首相切有且只有一个公共点0先应消去一个未知数得一元二次方程相离无公共点0的根的判别式（2）弦长公式：设直线ykxb交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2)则|PP12|1k2x1x2，或|PP12|11k2y1y2(k0).双曲线一、双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2时，表示分别以F1、F2为端点的两条射线；当2aF1F2时，轨迹不存在.二、双曲线的标准方程与几何性质：当双曲线焦点在x轴上时当双曲线焦点在y轴上时2标准方程xy21(a0,y2a2b2b0)a2x2b21(a0,b0)图形范围xa，或xaya，或ya对称轴x轴、y轴x轴、y轴对称中心坐标原点O(0,0)坐标原点O(0,0)实轴、虚轴实轴长2a，虚轴长2b实轴长2a，虚轴长2b顶点坐标(a,0)(0,a)焦点坐标(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2渐近线xayb0，即ybyxaaxab0，即ybx离心率eca(其中e1)eca(其中e1)1.a、b、c、e的几何意义：a叫做半实轴长；b叫做半虚轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足c2a2b2.e叫做椭圆的离心率，eca且e1.e越大，双曲线的张口就越大.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线为yx离心率e2.a23.双曲线的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线l：xc的距离的比是常数eca(e1)时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.4.直线与双曲线位置关系同椭圆.特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.2.4抛物线一、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.注意：当定点F在定直线l上时，点的轨迹为过点F与直线l垂直的直线.二、抛物线的标准方程与简单几何性质：标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形焦点坐标(p2,0)(p2,0)(0,p2)(0,p2)准线方程xpppp2x2y2y2范围x0x0y0y0对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e1e11e1e1.p的几何意义：p表示焦点到准线的距离.2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.2.若点M(x2p0,y0)是抛物线y2px(p0)上任意一点，则MFx02.3.若过焦点的直线交抛物线y22px(p0于)A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦长ABx1x2p.友情提示：本文中关于《21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程：该篇文章建议您自主创作。
人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程小结优质
作业：
复习题
圆锥曲线小结
复习目标
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的 几何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲 线的几何性质 3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物 线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形，并了解圆锥曲线的初步应用。
课前热身
(１) 求长轴与短轴之和为20，焦距为4 5 的 椭圆的标准方程_________________
6 已知抛物线的方程为 ，直线 过定点P （－2,1），斜率为 ， 为值时，直线 与抛物 线 ：只有一个公共点；有两个公共点；没 有公共点？ 7 动点C和两个定点A（3，2）和B（-1，5）为顶点 的三角形的面积恒为2，求动点C的轨迹方程. 8 已知长为2a的线段AB，它的一个端点 A在 X 轴上 滑动，另一个端点B只在Y轴的正半轴上滑动，求线 段中点C的轨迹方程.
y
5 4
3
2
P
O
1
1
-1
O
-1
F
2
3
4
5
x
-2
-3
-4
-5
练习
1 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心 率、焦点和顶点坐标。 2
x2 y2 如果方程 1 表示双曲线,求m的取值范围. 2m m1
3 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点 P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标 准方程. 4 已知双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线 方程为 ,求此双曲线方程. 5 点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1, 求点M的轨迹方程.
人教新课标版数学高二选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》知识概述
数学·选修2－1(人教A版)
圆锥曲线与方程
本章知识概述
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在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．
学习内容
1．圆锥曲线．
(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；
(4)了解圆锥曲线的简单应用；
(5)理解数形结合的思想．
2．曲线与方程．
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
网络构建。
人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程总结复习优质
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的 几何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲 线的几何性质 3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物 线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形，并了解圆锥曲线的初步应用。
一、知识回顾
椭圆 标准方程 几何性质 第二定义
圆 锥
双曲线 几何性质 标准方程
点P 到 F1，F2 的距离的差的绝对值等于 10，求动点的轨迹方程
自主解答：∵双曲线的焦点在 x 轴上， x2 y2 ∴设它的标准方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)． ∵2a＝10，∴a＝5. 又 c＝13，∴b2＝132－52＝144. x2 y2 ∴双曲线的标准方程为25－144＝1.
例三：一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内 切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
Y
P O1
X
O2
例三：一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内 切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y), 半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。 分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0 配方，得 （x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
P 的轨迹是椭圆，
a2 A（2，0）所以 c 2 ，定直线 x 8 所以 x 5 解得 c
解法二：因为定点
2
x2 y2 1 a 10 ，故所求的轨迹方程为 10 6
16 4、 如图， 设 M x, y 与定点 F 5, 0 的距离和它到直线 l ： x 5
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人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结一、知识点：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，12222=+b x a y （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+b y a x (0>>b a )(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距． （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，,0(),,0(2b B b B -两焦)0,(),0,(21c F c F -21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2.b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点．(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c =⇒2)(1abe -=<<e椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．（识记方法）到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率5．椭圆的准线方程 对于12222=+by a x ，左准线ca x l 21:-=；右准线ca x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线ca y l 21:-=；上准线ca y l 22:=6.椭圆的焦半径公式：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式:21()a PF e x a exc=+=+，22()a PF e x a exc=-=-其中e 是离心率 其中21,F F 分别是椭圆左右焦点． 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径.a椭圆2x+A.4bB.2(a-c)C.2(a+c)D.4a 4.椭圆的的内外部: （1）点0(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>.5.椭圆的切线方程:(1) 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点0(,)P x y 处的切线方程是001x x y y +=.8．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即aMF MF221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关9．双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-by a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b x a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c+=成立，且0,0,0>>>c b a其中a 与b的大小关系:可以为a b a b a ><=,,10．焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上11．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性 由标准方程12222=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心. （2）顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为a 2, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这（3）渐近线过双曲线12222=-by a x 的渐近线x a b y ±=（0=±bya x ） （4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，12．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e13．共渐近线的双曲线系 如果双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x)0(>>=a c ace 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 15．双曲线的准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线ca x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线ca y l 21:-=；相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线ca y l 22:=.a焦半径19 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线20．抛物线的准线方程： (1))0(22>=p px y , 焦点:)0,2(p ，准线l ：2x = (2))0(22>=p py x , 焦点:)2,0(p ，准线l ：2y = (3))0(22>-=p px y, 焦点:)0,2(p-，准线l ：2x =(4) )0(22>-=p py x, 焦点:)2,0(p-，准线l ：2y =相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p =不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为x （2）开口方向在X轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号21．抛物线的几何性质 （1）范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y )满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性 以－y 代y ，方程()022>=p px y不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．22抛物线的焦半径公式：（画图即可）抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x pp x PF-=-=抛物线)0(22>=p py x ，0022y p p y PF+=+= 抛物线)0(22>-=p py x，0022y pp y PF-=-=23．直线与抛物线： （1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy AxC ，消去y ，得到关于x 的二次方程2=++c bx ax（*）若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点）<∆，无公共点 （相离）（2）相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=，（3）焦点弦公式：抛物线)0(22>-=p px y ， (21x xp AB +-=抛物线)0(22>=p py x ， (21y y p AB ++=抛物线)0(22>-=p py x，(21y yp AB +-=（4）通径：通径：p d 2=通径是所有焦点弦（经过焦点的弦简称焦点弦）中最短的弦．（5）若已知过焦点的直线倾斜角θ（识记这条结论） 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212p y y k p y yθsin 24422221p p k p y y =+=-⇒ θθ221sin 2sin 1.1py y AB =-=结论θsin 2.22p S AOB=∆结论（6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和4)2(22222=++-p k x p p k x k221.3p y y -=⇒结论和421xx =（7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p（8）过抛物线pxy22=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，则pFQ PF 211=+． 24．抛物线)0(22>=p px y 的参数方程：⎩⎨⎧==222pt y pt x （t 为参数）25.提示.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法：设为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系：推导：。