高一数学二次函数题型复习总结
(完整版)二次函数知识点总结和题型总结
二次函数知识点总结和题型总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2
y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函 数，叫做二次函数。
这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
2. 二次函数
2
y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 例题：
例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 。
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2
y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式
y=ax 2
+bx+c 则最值为4ac-b 24a
）
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限。
高一数学二次函数知识点归纳
高一数学二次函数知识点归纳高一数学二次函数是一种常见的函数类型，掌握二次函数的知识对我们学习数学以及实际生活中的问题解决都具有重要作用。
下面是对高一数学二次函数知识点的归纳和三个例子。
（一）基本概念高一数学二次函数的一般式为 y = ax² + bx + c（其中a ≠ 0），其中 a，b，c是实数，x，y是变量。
a 是函数的二次项系数，控制着图像的开口方向和大小，当 a>0 时，开口朝上；a<0 时，开口朝下。
b 是一次项系数，控制着图像的横向位置；c 是常数项系数，控制着图像的纵向位置。
二次函数的图像是一个抛物线。
（二）二次函数的性质①对称性：二次函数图像关于 x=-b/2a 对称，称为抛物线的对称轴；②零点：也就是函数值为0的点。
求二次函数的零点需要先将其转化为一元二次方程，使用求根公式即可求解；③最值：也就是函数的极值点，当二次函数的抛物线朝上时，函数的最小值为 y=a*(-(b²-4ac)/4a)+c；当抛物线朝下时，函数的最大值为 y=a*(-(b²-4ac)/4a)+c。
（三）例子1. 求二次函数 y = x² + 3x + 2 的对称轴、开口方向和最小值。
解：对称轴为x=-b/2a = -3/2，因此抛物线沿着这条直线对称。
a=1>0，因此开口朝上。
最小值为 y=a*(-(b²-4ac)/4a)+c = -1/4。
2. 求二次函数y = −2 x² + 8 x − 3 的零点和最大值。
解：将函数转化为一元二次方程：-2x²+8x-3 = 0；使用求根公式求解，得到 x1=1.5，x2=1.7；a=-2<0，因此抛物线朝下，最大值为 y=a*(-(b²-4ac)/4a)+c = 2.2。
3. 已知二次函数 y=3x²+6x-1，求其图像通过的点。
解：将 x 带入函数式得到 y=3x²+6x-1；当 x=0 时，y=-1；因此，通过的点为 (0,-1)。
高一数学重点题型及答案
高一数学重点题型及答案
一、二次函数及其应用
1、设函数f(x)=k(x-1)(x+2)（k>0），求f(x)在x=2.5处的最大值
答案：k(2.5-1)(2.5+2)=15k
2、设变量x、y满足约束条件y>｜x｜，求目标函数z=2x+3y的最大值
答案：由约束条件y>｜x｜得出x、y的解空间为y>0且x<0或者y<0
且x>0，当y>0且x<0时，z有最大值2x+3y=2(-1)+3y，由此得出最小
值z=3。
3、定义在R上的函数f(x)=ax^2+bx+c，满足f(-2)=f(-5)=2，f(2)=8，求a,b,c的值
答案：由f(-2)=f(-5)=2，计算得出b=2；由f(2)=8，计算得出a+b+c=8；由f(-2)=2，计算得出a-2b+c=2，故a=4，b=2，c=2.
二、空间几何
1、变换π：y=2x+1，给出其仿射变换的变换矩阵
答案：变换π：y=2x+1，其中a=2，b=1，则仿射变换的变换矩阵为[a b
0;0 1 0;0 0 1]=[2 1 0;0 1 0;0 0 1]。
2、已知空间中直线l：x=-2y+3，给出其直线方程
答案：已知空间中直线l：x=-2y+3，其直线方程形式为：x+2y-3=0，也可表示为：x-2y+3=0。
3、已知圆C：（x-1）^2+(y-2)^2=4，求圆C的圆心和半径
答案：设圆C：（x-1）^2+(y-2)^2=4，则该圆的圆心为（1,2），半径为2。
2020-2021人教版高一数学《二次函数与一元二次不等式》知识梳理与例题详解
第二章 一元二次不等式、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.掌握判断一元二次方程实数根的存在性与实数根的个数的方法2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【知识网络详解】知识点一：一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，一般形式：02>++c bx ax 或)0(02≠<++a c bx ax 知识点二：一元二次不等式与二次函数的图像0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根 21,x x 有两相等实根a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x x x << ∅ ∅ 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或 R R 的解集)0(02>≤++a c bx ax {}21x x x x ≤≤ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-a b 2 ∅【考向详析】题型一：解一元二次不等式例1.解下列不等式：(1) x 2－3x ＋5>0； (2)－6x 2－x ＋2≥0； (3)－4x 2≥1－4x (4)2x 2－4x ＋7<0.【练习】1.解下列不等式：（1）02132-2≤-+x x ； （2）()422≤-x题型二：含参的一元二次不等式的解法例1.解下列不等式：（1）02322<+-a ax x ； （2）0232≤+-a ax ax ； （3）01)1(2≥++-x a ax【练习】1.解下列不等式（1）()a x a x +--12>0； （2）()0222≤++-x a ax题型三：三个“二次”之间的关系例1.已知不等式02≤++b ax x 的解集为{}32≤≤x x ，则=+b a 。
高一数学复习考点知识与题型讲解12---二次函数在闭区间上的最值问题
高一数学复习考点知识与题型讲解第12讲二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设，求在上的最大值与最小值．分析：将配方，得顶点为、对称轴为；当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在上的最值：(1)当时，的最小值是的最大值是中的较大者．(2)当时，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是．(3)当时，由在上是减函数，则的最大值是，最小值是．当时，可类比得结论．【题型一】定轴动区间已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．(1)求的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．【解析】(1)是二次函数，且的解集是，可设－．(待定系数法，二次函数设为交点式)在区间－上的最大值是．由已知得，，－．(2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为(讨论对称轴与闭区间的相对位置)①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧)此时的最小值；②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时的最小值；③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)此时，－综上所述，得的表达式为：．【点拨】①利用待定系数法求函数解析式；②对于二次函数,对称轴是确定的，而函数的定义域不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论.【题型二】动轴定区间求在区间上的最大值和最小值．【解析】的对称轴为．①当时，如图①可知，在上递增，，．②当时，在上递减，在上递增，而，(此时最大值为和中较大者)当时，，如图，当时，，如图③，③当时，由图④可知，在上递减，，．综上所述，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，．【点拨】①题目中的函数的对称轴是不确定的，定义域是确定的，在求最小值时与“定轴动区间”的思考一样分对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况(即)进行讨论.②在求最大值时，当，还需要判断和时谁离对称轴更远些，才能确定、哪个是最大值，则还有分类;【题型三】逆向题型已知函数在区间上最大值为，求实数的值．【解析】若，(注意函数不一定是二次函数)则而在上的最大值,(2)若则的对称轴为，则的最大值必定是、、这三数之一，若，解得，此时而为最大值与为最大值矛盾，故此情况不成立．若，解得，此时而距右端点较远，最大值符合条件，.若，解得，当时，，则最大值不可能是；当时，此时最大值为，；综上所述或【点拨】本题没有按照分对称轴在定义域的“左、中、右”分离讨论，否则计算量会很大，还要考虑开口方向呢.思路是最大值必定是、、这三数之一，那逐一讨论求出值后再检验就行.巩固练习1 (★★) 已知函数．当时，求函数在区间上的值域；当时，求函数在区间上的最大值；求在上的最大值与最小值．【答案】(1) (2) ；(3)时, 最小值为，最大值为；时，最小值为，最大值为．时，最大值为，最小值为．【解析】(1)当时，，函数在－－上单调递减，在－上单调递增，－，，，，函数在区间上的值域是；(2)当时，，，函数在区间上的最大值；，函数在区间上的最大值；函数在区间上的最大值；(3)函数的对称轴为，①当，即时，函数在－上是增函数，当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．②当，即时，当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．③当－，即－时，－a时，函数取得最小值为－；当－时，函数取得最大值为－．④当－，即－时，函数在－上是减函数，故当－时，函数取得最大值为－；当时，函数取得最小值为．2(★★) 已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)若在为单调函数，求的值；(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．【答案】(1)最大值是，最小值(2)或(3)或【解析】(1)时，；在－上的最大值是，最小值是－；(2)在为单调函数；区间－在f(x)对称轴－的一边，即－－，或－；或－；－(3)－，中必有一个最大值；若－－－；－－，符合－最大；若，；，符合最大；或．3(★★) 已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围.【答案】【解析】若时，在上是减函数，即则条件成立，令(Ⅰ)当时，即则函数在上是增函数，=即，解得或,(Ⅱ)当即若解得与矛盾;(2)若时即解得与矛盾;综上述：．4(★★★)已知函数在区间上的最小值是,最大值是，求的值.【答案】【解析】解法1：讨论对称轴中与的位置关系。
二次函数知识点与题型总结
(完整版)二次函数知识点与题型总结二次函数知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴就组成了平面直角坐标系。
注意：x轴和y轴上的点不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用a,b表示其顺序是横坐标在前纵坐标在后中间有“”分开横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对当 a b时a,b和b,a 是两个不同点的坐标。
知识点二、函数及其相关概念、变量与常量在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量数值保持不变的量叫做常量。
一般地在某一变化过程中有两个变量x与y如果对于x的每一个值y都有唯一确定的值与它对应那么就说x是自变量y是x的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点1）解析法两个变量间的函数关系有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示这种表示法叫做解析法。
2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系这种表示法叫做列表法。
(3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值2）描点：以表中每对对应值为坐标在坐标平面内描出相应的点3）连线：按照自变量由小到大的顺序把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点三、概念总结及基本性质1、二次函数的概念：一般地形如y ax2 bx c（abc是常数a 0）的函数叫做二次函数。
二次函数的定义域是全体实数．2.、二次函数y ax2 bx c的结构特征：⑴等号左边是函数右边是关于自变量⑵abc是常数a是二次项系数x的二次式 x的最高次数是b是一次项系数c是常数项．2．3、二次函数的基本形式（平移规律：左加右减上加下减）(1）y ax2的性质：a的绝对值越大抛物线的开口越小。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时y随x的增大而增大；x0时y随a向上00y轴x的增大而减小；x0时y有最小值0．x0时y随x的增大而减小；x0时y随向下00y轴x的增大而增大；x0时y有最大值0．(2）yax2c的性质：上加下减。
高中数学二次函数知识点
高中数学二次函数知识点一、基本概念二次函数是指关于自变量的二次多项式函数，通常表达为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是定值且a≠0。
二、图像及特征二次函数的图像为一个开口朝上或朝下的平滑曲线，对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，开口朝上；当a<0时，开口朝下。
当a>0时，曲线在对称轴上方存在最小值；当a<0时，曲线在对称轴下方存在最大值。
三、函数变形及性质1. 平移：将二次函数y=ax²+bx+c沿x 轴平移h个单位，得到y=a(x-h)²+b(x-h)+c2. 垂直伸缩：将二次函数y=ax²+bx+c的图像沿y轴纵向伸缩k倍，得到y=kax²+kbx+c3. 水平伸缩：将二次函数y=ax²+bx+c的图像沿x轴横向伸缩k倍，得到y=a(x/k)²+b(x/k)+c4. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a5. 零点：二次函数的零点为y=0的解，即ax²+bx+c=0的解，其判别式为△=b²-4ac。
当△>0时，有两个不同的实数零点；当△=0时，有一个实数零点；当△<0时，无实数零点。
6. 解析式：y=ax²+bx+c的解析式为y=a(x+h)²+k四、常见类型1. 线性函数：当a=0、b≠0时，二次函数化为y=bx+c，其图像为一直线。
2. 完全平方型：当△=0时，二次函数化为y=a(x+h)²+k，其图像为一个顶点在对称轴处的抛物线。
3. 拉伸型：当a>0、|a|<1时，二次函数的图像沿y轴纵向收缩；当a>1时，二次函数的图像沿y轴纵向伸展。
4. 正比例型：当a>0、b=0时，二次函数化为y=ax²，其图像为对称于原点的抛物线。
5. 负比例型：当a<0、b=0时，二次函数化为y=ax²，其图像为对称于y轴的抛物线。
高一数学复习考点题型专题讲解9 二次函数与一元二次方程、不等式
高一数学复习考点题型专题讲解 第9讲 二次函数与一元二次方程不等式一、单选题1．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥ 【答案】A【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集. 【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A2．已知关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}14a a -≤≤B ．{}14a a -<< C ．{4a a ≥或}1a ≤-D ．{}41a a -≤≤ 【答案】A【分析】由题意知22430x x a a -+-≤在R 上有解，等价于0∆≥，解不等式即可求实数a 的取值范围.【解析】因为关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解， 即22430x x a a -+-≤在R 上有解，只需2243y x x a a =-+-的图象与x 轴有公共点， 所以()()224430a a ∆=--⨯-≥，即2340a a --≤，所以()()410a a -+≤， 解得：14a -≤≤，所以实数a 的取值范围是{}14a a -≤≤， 故选：A.3．设x ∈R ，则“(1)(2)0x x -+≥”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【解析】(1)(2)0x x -+≥，则2x -≤或1≥x ，不满足21x -<，如2x =-，不充分，21x -<时，13x <<，满足(1)(2)0x x -+≥，必要性满足．应为必要不充分条件． 故选：B ．4．不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{2|a a <-或2}a ≥B ．{}22a a -<<C ．{}22a a -<≤D ．{}2a a <【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解集，讨论2a =、2a <结合判别式求a 的范围.【解析】因为不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，所以不等式()()222240a x a x -+--<的解集为R ．当20a -=，即2a =时，40-<，符合题意．当20a -<，即2a <时，()()2224420a a ⎡⎤∆=-+⨯⨯-<⎣⎦，解得22a -<<． 综上，实数a 的取值范围是{}22a a -<≤． 故选：C5．关于x 的不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0)∞-，B ．30,(4)⎛⎫∞+∞⎪- ⎝⎭， C ．(]0-∞，D ．(]40,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭， 【答案】C【分析】由题知210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立，进而分0m =和0m ≠两种情况讨论求解即可.【解析】解：因为不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立， 所以210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立， 所以，当0m =时，10-<对R x ∈恒成立． 当0m ≠时，由题意，得2Δ410m m mm <⎧⎨=--<⎩，即20340m m m <⎧⎨->⎩，解得0m <， 综上，m 的取值范围为(]0-∞，． 故选：C6．若存在x 使得21y x mx =-+-有正值，则m 的取值范围是（ ） A ．2m <-或2m >B ．22m -<<C ．2m ≠±D ．13m << 【答案】A【分析】根据二次函数的图象，结合判别式，即可求解. 【解析】21y x mx =-+-是开口向下的抛物线，若存在x 使0y >，则()()24110m ∆=-⨯-⨯->，解得：2m >或2m <-.故选：A7．已知22280x ax a --≤（0a >）的解集为A ，且{}11x x A -<<⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．14a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭C ．1142aa ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1142a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】A【分析】根据题意，先求出集合A ，再根据包含关系，即可求解.【解析】由()()2228240x ax a x a x a --=+-≤且0a >，得2280ax a x -≤-（0a >）的解集{}24A x a x a =-≤≤．因为{}11x x A -<<⊆，所以2141a a -≤-⎧⎨≥⎩，解得12a ≥．故选：A ．8．若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y +恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A1C 1D【答案】D【分析】分离变量将问题转化为a ≥0,0x y >>恒成立，进而求出(0)t t >及1(1)t m m +=>，然后通过基本不等式求得答案. 【解析】由题意可得，a ≥0,0x y >>1x=+(0)t t >2111t t x+=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12≤==，当且仅当21m m ==时取得“=”.所以a ≥a故选：D.9．已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为() A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+ C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3) 【答案】C【分析】把不等式看作是关于a 的一元一次不等式，然后构造函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，由不等式在[1-，1]上恒成立，得到(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，求解关于a 的不等式组得x 得取值范围．【解析】解：令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．x \的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．10．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（ ）A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或4 【答案】A【分析】()2222βαααββ=+-⋅+，利用韦达定理可得答案.【解析】关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根，()()222141440∴∆=--⨯⨯-=-+⎡⎤⎣⎦m m m m …， 解得：1m …，关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，2(1)m αβ∴+=--，2m m αβ⋅=-，()()()22222221212αβαβαβ∴+=+-⋅=----=⎡⎤⎣⎦m m m ，即2340m m --=，解得：1m =-或4(m =舍去). 故选：A.11．已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(5,4)(4,)--+∞B ．(5,)-+∞ C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞ 【答案】C【分析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-，根据二次方程根的分布可得式子()Δ022220m f >⎧⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩，计算即可.【解析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >⎧⎧--⨯->><-⎧⎪⎪-⎪⎪>⇒<-⇒<-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-⨯+->>-⎩>⎩⎪⎩或 则54m -<<-，即(5,4)m ∈-- 故选：C12．已知不等式220x bx c -++>的解集是{}|13x x -<<，若对于任意{}|10x x x ∈-≤≤，不等式224x bx c t -+++≤恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．{}|2t t ≤B ．{}|2t t ≤-C ．{}|4t t ≤-D ．{}|4t t ≤ 【答案】B【分析】先根据220x bx c -++>的解集是{}|13x x -<<可得b ，c 的值，然后不等式224x bx c t -+++≤恒成立，分离参数转化最值问题即可求解.【解析】由题意得1-和3是关于x 的方程220x bx c -++=的两个实数根，则201830b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得46b c =⎧⎨=⎩，则222246x bx c x x -++=-++，由224x bx c t -+++≤得2242t x x ≤--，当10x -≤≤时，()2min2422xx --=-，故2t ≤-.故选：B.二、多选题13．下列结论错误的是（ ）A ．若方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2+bx +c >0的解集为RB ．不等式ax 2+bx +c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ=b 2-4ac ≤0C ．若关于x 的不等式ax 2+x -1≤0的解集为R ，则a ≤-14D ．不等式1x>1的解集为x <1 【答案】ABD【分析】根据不等式性质对选项一一判断即可． 【解析】A 选项中，只有a >0时才成立； B 选项当a =b =0，c ≤0时也成立；C 选项x 的不等式ax 2+x -1≤0的解集为R ，则0,140a a <∆=+≤，得a ≤-14，正确； D 选项1x>1的解集为01x <<． 故选：ABD14．关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为{}12x x x x <<，且2115x x -=，则=a （ ）A ．52-B ．154-C ．52D ．152【答案】AC【分析】由题意知1x ，2x 是方程22280x ax a --=的两根，利用韦达定理可求得12x x +，12x x ，再根据()()222112124x x x x x x -=+-即可得出答案.【解析】解：由题意知1x ，2x 是方程22280x ax a --=的两根，所以122x x a +=，2128x x a =-， 则()()22222211212443236x x x x x x a a a -=+-=+=. 又2115x x -=，所以236225a =，所以52a =±. 故选：AC.15．已知关于x 的一元二次方程(3a 2+4)x 2-18ax +15=0有两个实根x 1，x 2，则下列结论正确的有（ ）A．a ≥a ≤．121165a x x += C．12x x -=．12212155ax x x ax x x -=-- 【答案】ABD【分析】利用判别式和韦达定理可判断各选项中的等式或不等式是否成立，从而可得正确的选项.【解析】因为()223418150a x ax +-+=有两个不等式的实根，所以()2232460340a a ∆=-⨯+>，故253a ≥，所以a ≥a ≤故A 正确.由韦达定理可得1212221815,3434a x x x x a a +==++，所以12121211186155x x a a x x x x ++===，故B 正确.12x x -==，故C 错误. 因为121165a x x +=，所以1212556x x ax x +=，故112122555x ax x ax x x -=-， 若10x =，则()22340180150a a +-⨯+=即150=，矛盾，故10x ≠.若1210ax x x -=，则210ax -=，故21x a =，即223418150a a +-+=， 故22343a a +=，矛盾.所以12212155ax x x ax x x -=--，故D 成立.故选：ABD.【点睛】本题考查一元二次方程的有解问题，此类问题一般利用判别式和韦达定理来处理，本题属于中档题.16．已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下列选项中结论正确的是（ ） A ．224a b -≤ B ．214a b+≥C ．若不等式20x ax b +-<的解集为{}12x x x x <<，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为{}12x x x x <<，且124x x -=，则1c = 【答案】AB【分析】由题意，方程20(0)x ax b a ++=>有且只有一个根，所以240a b ∆=-=，即240a b =>，再利用基本不等式和不等式的性质，即可求解.【解析】解：由题意，方程20(0)x ax b a ++=>有且只有一个根，所以240a b ∆=-=，即240a b =>，对A ：224a b -≤等价于2440b b -+≥，显然2(2)0b -≥，所以A 选项正确；对B ：21144a b b b +=+≥，故B 选项正确；对C ：因为不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，所以120x x b =-<，所以C 选项错误； 对D ：因为不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=， 则方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，所以124x x =====-， 所以4c =，故D 选项错误. 故选：AB.17．已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是( )A ．当1a b <<时，不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为∅B ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{|}xc xd ≤≤的形式 C ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么43b = D ．不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么4b a -= 【答案】AD【分析】A ：分析函数23()344f x x x =-+的最值与a ，b 进行比较即可；B ：在同一直角坐标系中，作出函数23344y x x =-+的图象以及直线y a =和直线y b =，由图象分析，即可判断选项BCD ：利用23()(2)14f x x =-+的图象与对应不等式的关系解答即可； 【解析】解：设23()344f x x x =-+，x ∈R ，则23()(2)14f x x =-+；对于A ：∵()1f x …，∴当1a b <<时，不等式23344a x xb -+剟的解集为∅，所以A 正确；对于B ：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象及直线y ＝a 和y ＝b ，如图所示：由图知，当a ＝2时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为{}{}A C D B xx x x x x x x ≤≤⋃≤≤∣∣的形式，故B 错误；对于CD ：由()f x 的图象知，若不等式的解集为连续不间断的区间，则1a …，且1b >；若解集为[a ，]b ，则f (a )f =(b )b =，且2b …， 因为23()(2)14f x x =-+，所以f (b )23(2)14b b =-+=，解得4b =或43b =，因为2b …，所以4b =，所以0a =，所以4b a -=， 所以C 错误、D 正确． 故选：AD18．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元n ()*n N ∈次复系数多项式方程()0f x =至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程4320ax bx cx dx e ++++=(0)a ≠，在复数集C 内的根为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列结论正确的是（ ）A ．1234bx x x x a+++=-B ．123124134234c x x x x x x x x x x x x a+++=- C ．1234e x x x x a=D ．121314232434d x x x x x x x x x x x x a+++++= 【答案】AC【分析】由2341243()()()()a x x ax bx cx dx e x x x x x x ---++-++=，并展开右式即可判断各选项的正误.【解析】由题设知：2341243()()()()a x x ax bx cx dx e x x x x x x ---++-++=，∴2212432123434[()][()]a x x x x ax bx cx dx x x x x x e x x x -+++++=+-++， ∴432ax bx cx dx e ++++=43212341213231424341231241342341234[()()()]a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++++++++-++++，∴1234b x x x x a +++=-，121323142434c x x x x x x x x x x x x a +++++=，123124134234d x x x x x x x x x x x x a+++=-，1234ex x x x a=. 故选：AC三、填空题19．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是__________．【答案】{m |m ≥9或m ≤1}【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可. 【解析】由方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解， ∴Δ＝(m －3)2－4m ≥0， 即m 2－10m ＋9≥0， ∴(m －9)(m －1)≥0， ∴m ≥9或m ≤1.故答案为：{m |m ≥9或m ≤1}20．若“对于一切实数x ，()2110x a x +-+>”是“对于一切实数x ，2204mmx ax ++>”的充分条件，则实数m 的取值范围是______． 【答案】{}6m m ≥【分析】根据题意，结合不等式恒成立，分别表示出a 的范围，在结合充分条件的集合方法，即可处理.【解析】∵()2110x a x +-+>对x ∈R 恒成立，∴()2Δ140a =--<，解得13a -<<．又2204mmx ax ++>对x ∈R 恒成立，当0m ≤时不可能恒成立， ∴220Δ40m a m >⎧⎨=-<⎩，解得22m ma -<<． ∵“对于一切实数x ，()2110x a x +-+>”是“对于一切实数x ，2204mmx ax ++>”的充分条件，∴12320mmm ⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得6m ≥．故答案为：{}6m m ≥.21．若存在实数[]1,2x ∈满足22x a x >-，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(),8-∞【分析】先分离参数将不等式化为()22max a x x <+，再结合二次函数求最值即可.【解析】解：由题意可得，存在实数[]1,2x ∈时，22a x x <+令()22f x x x =+， []1,2x ∈即()max a f x <()22f x x x =+，对称轴为：212x =-=- 所以()22f x x x =+在[]1,2x ∈单调递增故()()222228max f x f ==+⨯=即8a <所以实数a 的取值范围为：(),8-∞ 故答案为：(),8-∞22．命题甲：集合{}2210,R M x kx kx x =-+=∈为空集；命题乙：关于x 的不等式()2140x k x +-+>的解集为R ．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数k 的取值范围是______． 【答案】()[)3,01,5-【分析】按照命题甲为真，命题乙为真，得到对应的k 的取值范围，然后由命题甲、乙中有且只有一个是真命题，分为甲真乙假和甲假乙真两种情况进行讨论，得到答案.【解析】命题甲：集合{}2210,R M x kx kx x =-+=∈为空集，即方程2210kx kx -+=没有实数解，当0k =时，方程变为10=，故无解，符合题意 当0k ≠时，2440k k ∆=-<，即01k <<， 综上命题甲为真，则01k ≤<.命题乙：关于x 的不等式()2140x k x +-+>的解集为R则()21160k ∆=--<，解得35k -<<， 所以命题乙为真，则35k -<<，因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题， 所以当甲真乙假时，得013,k 5k k ≤<⎧⎨≤-≥⎩或，此时k ∈∅，当甲假乙真时，得0135k k k <≥⎧⎨-<<⎩或，即()[)3,01,5k ∈-综上所述，k 的取值范围为()[)3,01,5-.【点睛】本题考查复合命题的真假，二次函数的性质和分类讨论的思想，属于中档题. 23．研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，解关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0”，有如下解法：由ax 2－bx ＋c ＞0⇒a －b 1x ⎛⎫⎪⎝⎭＋c 21()x ＞0.令y ＝1x，则y ∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.类比上述解法，已知关于x 的不等式k x a +＋x b x c ++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x 的不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为________．【答案】111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据题意，将1x -替换x 可得所求的方程，并且可知1x-∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出x 的解集.【解析】关于x 的不等式kx a +＋x b x c++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)， 用－1x 替换x ，不等式可以化为1k a x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋11b x cx ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝1kx ax -＋11bx cx --＜0，因为－1x∈(－2，－1)∪(2，3)，所以12＜x ＜1或－12＜x ＜－13， 即不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为： 11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题.24．已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【答案】【分析】由220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，可得0a >，且0∆≤；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆≥，进而可得ab 的值为1，将22a b a b+-可化为()222a b a b a b a b+=-+--，利用基本不等式可得结果. 【解析】因为220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得440ab ∆=-≥，所以1ab ≤， 所以1ab =，因为a b >，即0a b ->，所以()()22222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥--- 当且仅当2a b a b-=-，即a b - 所以22a b a b+-的最小值为故答案为：四、解答题25．利用函数与不等式的关系，若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2，求不等式20cx bx a -+>的解集．【答案】11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得1和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则可得3,2b a c a =-=，代入不等式即可求出.【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2， 所以1和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则1212b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，所以3,2b a c a =-=，不等式20cx bx a -+>化为2230ax ax a ++>， 即22310x x ++<，解得112x -<<-，所以不等式的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.26．已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-．(1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】(1)(0,4) (2)()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞【分析】（1）不等式整理成标准的一元二次不等式，由判别式∆<0可得参数范围； （2）不等式换成以m 为主元，为一次不等式，这样只要0m =和4m =时不等式都成立即可得x 的范围． （1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立 则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<， 即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)． （2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．27．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2．(1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0． 【答案】(1)a ＝﹣1，b ＝2 (2)见解析【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可； （2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可. (1)由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根，所以132(1)3b aa a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；(2)当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0， 即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， 当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-； 当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.28．已知不等式234ax x b -+>的解集为()(),12,-∞⋃+∞ (1)求a ，b 的值；(2)解不等式()2220ax ac x c -++<.【答案】(1)1a =，6b = (2)答案见解析【分析】（1）依题意可得1x =或2x =是方程2340ax x b -+-=的根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得原不等式可化为()(2)0x c x --<，再对参数c 分类讨论，即可得解； (1)解：因为不等式234ax x b -+>的解集为{|1x x <或}2x >， 所以1x =或2x =是方程2340ax x b -+-=的根，根据韦达定理312412ab a⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⨯⎪⎩，解得1a =，6b = (2)解：由（1）可知不等式化为()2220x c x c -++<，即()(2)0x c x --<当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<， 当2c =时，不等式的解集为∅， 当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<29．(1)若关于x 的不等式2210kx kx +-<的解集为312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数k 的值； (2)若当12x ≤≤时，关于x 的方程2210kx kx +-<有解，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)13k =(2)1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系即可求解； （2）原问题等价于2max12k x x ⎛⎫<⎪+⎝⎭，[]1,2x ∈，然后利用二次函数的性质即可求解.(1)解：因为2210kx kx +-<的解集是312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以32-，1是关于x 的方程2210kx kx +-=的两个根， 所以221110k k ⨯+⨯-=，解得13k =； (2)解：因为当12x ≤≤时，关于x 的方程2210kx kx +-<有解， 所以当12x ≤≤时，212k x x <+有解，即2max12k x x ⎛⎫< ⎪+⎝⎭因为二次函数22y x x =+在[]1,2上单调递增，所以()22min 22113x x +=⨯+=，所以2max 1132x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭， 所以13k <，所以实数k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．30．（1）若对于一切实数x ，210mx mx --<恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若对于13x ≤≤，215mx mx m --<-+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}40m m -<≤；（2）67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据题意，分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解；（2）将215mx mx m --<-+恒成立，转化为261m x x <-+对13x ≤≤恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【解析】（1）当0m =时，不等式10-<恒成立；当0m ≠时，要使得对于一切实数x ，210mx mx --<恒成立，则满足240m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得40m -<<， 综上可得，实数m 的取值范围为{}40m m -<≤．（2）由不等式215mx mx m --<-+，可得()2160m x x -+-<，因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以261m x x <-+对13x ≤≤恒成立，令()21,[1,3]g x x x x =-+∈，可得()22131()24g x x x x =-+=-+，当3x =时，可得()max 7g x =，所以26617x x ≥-+，所以67m <，所以实数m 的取值范围为67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．31．在x ∃∈R ①，2220x x a ++-=，②存在集合{24}A x x =<<，非空集合{}3B x a x a =<<，使得A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：求解实数a ，使得命题{}:12p x x x ∀∈≤≤，20x a -≥，命题q ：______都是真命题． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案不唯一，具体见解析【分析】若选条件①由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立，求出a 的范围，通过命题q 为真，求出a 的范围，然后列出不等式组求解即可．若选条件②由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立，求出a 的范围，通过命题q 为真，求出a 的范围，然后列出不等式组求解即可．【解析】若选条件①，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为12{|}x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤，所以1a ≤．由命题q 为真，则方程2220x x a ++-=有解． 所以()4420a ∆=--≥，所以1a ≥．又因为,p q 都为真命题，所以11a a ≤⎧⎨≥⎩，所以1a =．所以实数a 的值为1．若选条件②，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为{}12x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤．所以1a ≤．由命题q 为真，可得4a ≥或32a ≤，因为非空集合{|3}B x a x a =<<，所以必有0a >， 所以203a <≤或4a ≥，又因为,p q 都为真命题，所以12043a a a ≤⎧⎪⎨<≤≥⎪⎩或，解得203a <≤． 所以实数a 的取值范围是2|03a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭．32．已知关于x 的不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集为M ．(1)若()2,5M =，求不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集；(2)若M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(][),25,-∞⋃+∞(2)()3,1,2a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据()2,5M =是不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集，得到25x <<，再根据两个不等式的关系求解；（2）将不等式()22237320x a x a a +-++-<转化为()()21230x a x a --+-< ，再根据M 中的一个元素是0，将x =0代入求解.(1)解：因为()2,5M =是不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集，所以25x <<，不等式()22237320x a x a a -----+≤，即为()22237320x a x a a +-++-≥，所以2x ≤或5x ≥，所以不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集是(][),25,-∞⋃+∞；(2)不等式()22237320x a x a a +-++-<转化为： ()()21230x a x a --+-< ，因为M 中的一个元素是0， 所以()()1230a a +->， 解得1a <-或 32a >， 所以实数a 的取值范围是 ()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.33．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a （0a >）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（x +∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m ，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)75人 (2)存在，7【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由条件可得2125x m ≥+，100325xm x ≤++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. (1)依题意可得调整后研发人员人数为100x -，年人均投入为()14%x a +万元， 则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦，(0a >) 解得075x ≤≤，又4575x ≤≤，x +∈N ，所以调整后的技术人员的人数最多75人； (2)假设存在实数m 满足条件.由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得2125x m ≥+. 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325xm x ≤++， 故有2100132525x x m x +≤≤++，因为10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时等号成立，所以7m ≤，又因为4575x ≤≤，x +∈N ，所以当75x =时，2+125x取得最大值7，所以7m ≥， 77m ∴≤≤，即存在这样的m 满足条件，其范围为{}7.34．已知关于x 的不等式()2211x m x ->-.(1)若对任意实数x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[]2,2m ∈-，不等式恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】(1)不存在(2)⎝⎭【分析】（1）根据一元二次不等式的性质可得0m <且∆<0，解不等式即可； （2）更换主元，将m 看成自变量，转化成一次不等式恒成立问题，得到答案. (1)原不等式等价于2210mx x m -+-<，若对于任意实数x 恒成立，当且仅当0m <且()4410m m ∆=--<，即2010m m m <⎧⎨-+<⎩，此不等式组的解集为∅， 所以不存在实数m ，使不等式对任意实数x 恒成立. (2)设()()2121y x m x =---，当[]2,2m ∈-时，()()2121y x m x =---可看作关于m 的一次函数，其图象是线段，所以若对于[]2,2m ∈-，0y <恒成立，则当2m =或2m =-时，0y <恒成立，即2222102230x x x x ⎧--<⎨--+<⎩①②，由①x <<，由②，得x 或x >x <<所以实数x 的取值范围是⎝⎭. 35．（1）若关于x 的不等式23x ax a ->-的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）设0x y >>，且2xy =，若不等式220x ax y ay -++≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()6,2-；（2）(],4-∞.【分析】（1）根据题意得到()2430a a ∆=+-<，解得答案.（2）化简得到22x y a x y +≤-，根据题意得到()224x y x y x y x y+=-+--，利用均值不等式得到答案.【解析】（1）由题意知关于x 的不等式230x ax a --+>的解集为R ，所以()2430a a ∆=+-<，即24120a a +-<，所以62a -<<，即实数a 的取值范围是()6,2-．（2）由题意知不等式220x ax y ay -++≥恒成立，即 ()22x y a x y +≥-恒成立．因为0x y >>，22x y a x y +≤-，因为()()222244x y xy x yx y x y x y x y-++==-+≥---当且仅当4x y x y -=-，即1x =1y =- 所以实数a 的取值范围是(],4-∞．()f x a ≥ 有解，则max ()f x a ≥。
二次函数知识点总结——题型分类总结
二次函数知识点总结——题型分类总结一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 .①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
[4、若函数y=(m －2)x m－2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。
6、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
二、二次函数的对称轴、顶点、最值}记忆：如果解析式为顶点式：y=a(x －h)2+k ，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为一般式：y=ax 2+bx+c ，则对称轴为： ，最值为： ； 如果解析式为交点式：y=(x-x 1)(x-x 2), 则对称轴为： ，最值为： 。
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 （4y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。
第二章：一元二次函数、方程与不等式重点题型复习-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)
第二章：一元二次函数、方程与不等式重点题型复习题型一 不等式的性质应用【例1】若,,R a b c ∈，则下列命题为假命题的是（ ） A a b a b > B ．若a b >，则ac bc > C ．若0b a >>，则11ab> D ．若22ac bc >，则a b > 【答案】B【解析】对A a b 0a b >≥，故选项A 正确；对B ：因为a b >，R c ∈，所以当0c >时，ac bc >； 当0c =时，ac bc =；当0c <时，ac bc <，故选项B 错误；对C ：因为0b a >>，所以由不等式的性质可得110ab>>，故选项C 正确； 对D ：因为22ac bc >，所以20c >，所以a b >，故选项D 正确. 故选：B.【变式1-1】已知120b a<<，则下列不等式正确的是（ ） A ．11a b ab <+ B ．21a b ab >+ C ．2ab a b>+ D ．22ab b < 【答案】A【解析】方法一：因为120ba<<，可知0,0a b <<，所以20a b <<，所以0ab >，0a b +<，所以11a b ab <+，21a b ab <+，0ab a b<+， 所以A 正确，B ，C 错误．因为20a b <<，所以22ab b >，所以D 错误，故选：A方法二；因为120b a<<，设10a =-，2b =-，所以20ab =，12a b +=-，228b =，所以11a b ab <+，21a b ab <+,2ab a b<+,22ab b >, 所以A 正确，B ，C ，D 错误,故选：A【变式1-2】（多选）若0a b >>，则下列正确的是（ ）A．55a ab b+<+ B ．2a b +> C ．11a b b a+>+ D >【答案】ABC【解析】选项A ，因为0a b >>，所以()()55055b a b b a a a a -+-=<++，55b b a a +∴<+，故A 正确； 选项B ，由均值不等式，当0,0a b >>，2a b+≥，由于0a b >>， 故等号不成立，即2a b+>B 正确； 选项C ，由于0a b >>，故110ba >>，故11a b b a+>+，故C 正确； 选项D ，取4,1a b ===D 错误 故选：ABC【变式1-3】（多选）若0a b <<，且1a b +=，则在22,,2,a a b ab b +四个数中正确的是（ ） A ．222a b ab +> B ． 12a < C ．12b < D ．22b a b >+【答案】ABD【解析】由于0a b <<，则222a b ab +>，又1a b +=，所以1012a b <<<<，又()()2222122120a b b a b ab b ab b a ab a b +-=+--=--=-=-<，即22b a b >+.故选：ABD题型二 利用不等式求代数式的取值范围【例2】已知23,21<<-<<-a b ，则2-a b 的取值范围为（ ） A ．(0,2) B ．(2,5) C ．(5,8) D ．(6,7) 【答案】C【解析】23,21<<-<<-a b ，故426a <<，12b <-<，得528<-<a b 故选：C【变式2-1】若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（ ）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞ 【答案】A【解析】设2()(52)x y m x y n x y +=+++，则5221m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得13m n ==，故112()(52)33x y x y x y +=+++，又因1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，所以()()1112,523333x y x y +≥+≥，所以21x y +≥.故选：A.【变式2-2】已知15a b ≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围.【答案】[20]1-，【解析】设()()32a b m a b n a b -=++-，则有：32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得：1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()()153222a b a b a b -=++-.因为15a b ≤+≤，所以()115222a b ≤+≤， 因为13a b -≤-≤，所以()5515222a b -≤-≤， 所以()()1521022a b a b -≤++-≤， 即23210a b -≤-≤， 所以32a b -的取值范围为.【变式2-3】已知1260a <<，1536b <<，求2a b -，2ab的取值范围． 【答案】2a b -的取值范围是()60,30-，2a b 的取值范围是2,83⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】因为1536b <<，所以72230b -<-<-．又1260a <<，所以127226030a b -<-<-， 即60230a b -<-<．因为1260a <<，所以242120a <<， 因为1536b <<，所以1113615b <<， 所以2421203615a b <<，即2283a b<<． 所以2a b -的取值范围是()60,30-，2a b 的取值范围是2,83⎛⎫ ⎪⎝⎭．题型三 解一元二次不等式【例3】已知集合{}210210A x x x =-+≤，{}7524B x x =-≤-≤，则A ∩B =（ ）A ．132xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{}67x x ≤≤C ．{}27x x -≤≤D ．{}36x x ≤≤ 【答案】D【解析】因为{|37}A x x =≤≤，1|62x x B ⎧⎫=≤⎨⎩≤⎬⎭，所以{|36}A B x x ⋂=≤≤.故选：D【变式3-1】不等式23180x x -++<的解集为（ ）A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <- D ．{}63x x -<< 【答案】A【解析】23180x x -++<可化为23180x x -->，即()()630x x -+>，即6x >或3x <-． 所以不等式的解集为{6x x >或3}x <-.故选：A【变式3-2】解下列不等式： （1）262318x x x -≤-<； （2）1232x x +≥-； （3）2320x x -+>. 【答案】（1）{32x x -<≤-或}36x ≤<；（2）213xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）{2x x <-或11x -<<或}2x > 【解析】（1）原不等式等价于22623318x x x x x ⎧-≤-⎨-<⎩，即22603180x x x x ⎧--≥⎨--<⎩，即()()()()320630x x x x ⎧-+≥⎪⎨-+<⎪⎩，所以2336x x x ≤-≥⎧⎨-<<⎩或，所以32x -<≤-或36x <≤，所以原不等式的解集{32x x -<≤-或}36x ≤<； （2）由1232x x +≥-，可得155203232x x x x +-+-=≥--， 所以()()55320320x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得213x <≤，所以原不等式的解集为213xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭； （3）原不等式等价于23200x x x ⎧-+>⎨≥⎩或23200x x x ⎧-+>⎨<⎩，分别解这两个不等式组，得01x ≤<或2x >或10x -<<或2x <-， 故原不等式的解集为{2x x <-或11x -<<或}2x >.【变式3-3】解下列关于x 的不等式：（a 为实数） （1）220x x a ++<；（2）102ax x ->-.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=，Δ44a =-，当1a ≥时，Δ440a =-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-±-， 所以220x x a ++<的解为：1111a x a ---<<-+-， 综上所述，1a ≥时，原不等式无解，当1a <时，原不等式的解集为{1111}xa x a ---<<-+-∣； （2）原不等式等价于()()120ax x -->，当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，原不等式可化为()()120ax x -+-<，因为12a<，所以解集为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当102a <<时，12a >，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 当12a =时，原不等式等价于()11202x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以2(2)0x ->，解集为{}2xx ≠∣； 当12a >时，12a<，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；综上所述，当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，解集为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当102a <≤时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当12a >时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.题型四 三个“二次”之间的关系【例4】已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c -+<的解集为{}23x x -<<，则不等式20bx ax c -+<的解集是（ ）A ．()2,3-B ．()(),23,-∞-+∞C ．()3,2-D ．()(),32,-∞-+∞U 【答案】A【解析】不等式20ax bx c -+<的解集是()2,3-，所以方程20ax bx c -+=的解是2-和3，且0a >，则()()2323b a c a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得b a =，6c a =-，所以不等式20bx ax c -+<化为260ax ax a --<， 即260x x --<，解得23x -<<，所以，所求不等式的解集是()2,3-．故选：A ．【变式4-1】不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式0ax cbx c+≤-的解集为______． 【答案】()[),48,-∞+∞【解析】因为20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则0a <，且对应方程的根为-2和4， 所以242b a-=-+=，248c a=-⨯=-，且0a <，不等式0ax c bx c +≤-可化为8028ax aax a-≤-+， 则8028x x -≤-+，即804x x-≤-，解得4x <或8x ≥． 故答案为()[),48,-∞+∞．【变式4-2】已知不等式20ax bx c ++>的解集是{|}x x αβ<<，0α>，则不等式20cx bx a ++>的解集是____________. 【答案】11βα⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集是{|}0x x αβα<<>（），可知：α，β是一元二次方程20ax bx c ++=的实数根，且0a <；由根与系数的关系可得：ba αβ+=-，c aαβ⋅= ， 所以不等式20cx bx a ++>化为210c bx x a a++<， 即：()210x x αβαβ-++<；化为()()110x x αβ--<；又,0<>αβα，110αβ∴>>；∴不等式20cx bx a ++<的解集为：{x |11x βα<<}，故答案为：11βα⎛⎫⎪⎝⎭，【变式4-3】已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥ 【答案】A【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<.故选：A【变式4-4】已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.【答案】(][),13,-∞-⋃+∞【解析】根据二次函数2y x bx c =++的图象可知，1,2-为方程20x bx c ++=的两根，故12,12b c -+=--⨯=，即1,2b c =-=-，则230bx cx -+≤即2230x x -++≤，也即2230x x --≥，()()310x x -+≥，解得3x ≥或1x ≤-.故不等式解集为(][),13,-∞-⋃+∞. 故答案为：(][),13,-∞-⋃+∞.题型五 一元二次不等式恒成立与有解问题【例5】“关于x 的不等式220x ax a -+>对x ∀∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．01a << B ．02a << C ．102a << D ．1a > 【答案】B【解析】由“关于x 的不等式220x ax a -+>对R x ∀∈恒成立”，可得()2240a a --<，解得：01a <<.故选：B ．【变式5-1】已知对任意[]1,3m ∈，215mx mx m --<-+恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1515∞∞⎛⎫-+-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1515-+⎝⎭ 【答案】D【解析】对任意[]1,3m ∈，不等式215mx mx m --<-+恒成立，即对任意[]1,3m ∈，()216m x x -+<恒成立，所以对任意[]1,3m ∈，261x x m-+<恒成立， 所以对任意[]1,3m ∈，2min612x x m ⎛⎫-+<= ⎪⎝⎭，所以212x x -+<1515x -+<< 故实数x 的取值范围是1515-+⎝⎭．故选：D ．【变式5-2】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，1] B ．[0，1) C ．(,1]-∞ D ．(,1)-∞ 【答案】D【解析】当0a =时，不等式为210x +<，有实数解，满足题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下， 所以不等式2210ax x ++<有实数解，满足题意；当0a >时，要使不等式有实数解，则需满足440∆=->a ，解得01a <<， 综上，a 的取值范围是(,1)-∞.故选：D.【变式5-3】已知命题p ：“[1,5]x ∃∈，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．4a <- C ．4a > D ．4a >- 【答案】A【解析】由题意不等式250x ax -->在[1,5]上有解，所以150a -->或25550a -->，解得4a <-或4a <，所以4a <．故选：A ．题型六 利用基本不等式求最值【例6】已知0a >，0b >，则()28a b a b⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为___________.（人教B 版）【答案】18 【解析】0a >，0b >，()2828101021088128b a b a b a b a a b a b =++≥+⨯⎛⎫∴+⎝⎭++= ⎪当且仅当28b aa b =，即2b a =时，等号成立，()28a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴的最小值为18，故答案为：18.【变式6-1】已知正实数a 、b 满足11m a b+=，若11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4，则实数m 的取值范围是（ ）A ．{}2B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．()0,∞+ 【答案】B【解析】因为,a b 为正实数，11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=12ab ab++1224≥⋅=ab ab， 当1ab ab =，即1ab =时等号成立，此时有1b a=，又因为11m a b +=，所以1a m a+=，由基本不等式可知12a a +≥（1a =时等号成立）， 所以2m ≥.故选：B.【变式6-2】已知正实数a ，b 满足12a b +=，则12ab a+的最小值是（ ） A ．52 B ．3 C ．92D．1 【答案】A【解析】因为12a b +=，所以12>0a b =-，所以02b << ，所以()122221+212112b b b b b a a b b b ⎛⎫-+=- ⎪-+-⎝⎭=， 令21b t -=，则+12t b =，且13t -<< ，所以+1111522+2++222122t t t t t ab a =≥=+=，当且仅当122t t =，即12t =，32,43b a ==时，取等号， 所以12ab a+的最小值是52.故选：A.【变式6-3】已知正实数x ，y 满足211x y +=，则436xy x y --的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．12 【答案】C【解析】解：由0x >，0y >且211x y +=，可得2xy x y =+，所以43648362xy x y x y x y x y --=+--=+()2142448yxx y x y x y ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y xx y =，即4x =，2y =时取等号．故选：C【变式6-4】下列命题中不正确的为（ ）①.若正实数a ，b 满足2a b +=，则222a b +的最小值为83②.已知0a >，0b >，21a b +=，则a b +的最大值为2 ③.存在实数a ，b 满足2a b +=，使得33a b +的最小值是6 ④.若2x y +=，则11211x y +++的最小值为56A ．④B ．②④C ．③④D ．①② 【答案】A【解析】①正实数a ，b 满足2a b +=，故2b a =-，所以()22222228222344333a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，当23a =时，222283332a a b ⎛⎫=-+ +⎪⎝⎭取得最小值为83，故①正确；②因为0a >，0b >，所以()22221212a ba b ab ab a b +=++=+≤++=，当且仅当a b =时，等号成立，故(0,2a b ⎤+∈⎦， 所以a b +的最大值为2，②正确； ③因为30,30a b >>，所以233233236a ba b a b ++≥⋅=⨯=，当且仅当33a b =，即1a b ==时，等号成立，故存在实数a ，b 满足2a b +=，使得33a b +的最小值是6，③正确； ④当1x =-，3y =时，满足2x y +=，此时111351211446x y +=-+=-<++， 故11211x y +++的最小值不是56；④错误故选：A题型七 基本不等式恒成立问题【例7】已知0,0x y >>且141x y +=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<< 【答案】D【解析】∵0,0x y >>，且141x y +=，∴144()()559y x x y x y x y x y +=++=++≥=， 当且仅当3,6x y ==时取等号，∴min ()9x y +=，由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，解得：91m -<<，故选：D.【变式7-1】已知实数x 、y 满足2241x y xy +-=，且不等式20x y c ++>恒成立，则c 的取值范围是（ ）A ．()+∞B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．()+∞D ．(-∞ 【答案】B【解析】2241x y xy +-=，225(2)151(2)8x y xy x y ∴+=+≤++，当且仅当2x y =时“=”成立，()2823x y ∴+≤2x y ≤+≤又不等式20x y c ++>恒成立，0c ∴>，c ∴>c ∴的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎝⎭．故选：B ．【变式7-2】若对任意正数x ，不等式22214a x x+≤+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)0,∞+ B ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】依题意得，当0x >时，2222144x a x x x+=++… 恒成立，又因为44x x+…，当且仅当2x =时取等号，所以，24x x+的最大值为12，所以1212a +…，解得a 的取值范围为1[,)4-+∞．故选：B【变式7-3】对任意12x ≤≤及13y ≤≤，不等式2220x axy y -+≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A．92a ≤ B ．a ≥ C ．113a ≤ D ．a ≤【答案】D【解析】依题意，对任意12x ≤≤及13y ≤≤，不等式2220x axy y -+≥恒成立等价于对任意12x ≤≤及13y ≤≤，2222x y x ya xy y x +≤=+恒成立. 设yt x =，则22x y t y x t +=+.因为12x ≤≤，13y ≤≤， 所以1112x ≤≤，则132y x ≤≤，即132t ≤≤，则2t t+≥当且仅当2t t=，即t = ∴a ≤故选：D.【变式7-4】若关于x 的不等式4142x a x +≥-对任意2x >恒成立，则正实数a 的取值集合为（ ） A ．（－1，4] B ．（0，4） C ．（0，4] D ．（1，4] 【答案】C【解析】由题意可得4(2)1842x a x a-+--…对任意2x >恒成立，由0,2a x >>，可得4(2)122x a x -+-…当且仅当4(2)12x a x -=-即2x =则84a -…04a <….故选：C.【变式7-5】已知a >b >c ，若14m a b b c a c+≥---恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 【答案】D【解析】由a b c >>，知0a b ->，0b c ->，0a c ->，由14m a b b c a c +---…，得14()()m a c a b b c -+--…， 又a c ab bc -=-+-，1414()()[()()]()a c a b b c a b b c a b b c ∴-+=-+-+----4()559a b b c b c a b --=+++--…， 当且仅当4()a b b cb c a b--=--， 即2()b c a b -=-时，14()()a c a b b c -+--取得最小值9，9m ∴…，m ∴的最大值为9．故选：D ．。
高一数学二次函数求最值
8
6
6
6
4
4
x=1
4
x=1 k+2
5
10
2
x=1
2
2
k
5
15
k+2
5
k
10
10
k+2
15
5
x=1 k
10 15
k
15
5
10 5
k+2
2
2
2
2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8
8
10
10
4
当k+2≤1即k ≤-1时
2
x=1 k+2
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
5 10 15
k
2
f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
k+2
5
2
8
k
10
2
即k2-2k-3 ≤ k2+2k-3 即0≤ k<1时
f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
10 15
4
6
4
2
x=1 k k+2
5
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10 15
2
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
y
-1
O
1
x
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
高一数学二次函数知识点归纳
高一数学二次函数知识点归纳高一数学二次函数知识点归纳知识点，在教育实践中，对某一个知识的泛称，多用于口语化，特指教科书上或考试的知识。
下面是店铺为大家收集的高一数学二次函数知识点归纳，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-bb^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
二次函数知识点总结和题型总结
二次函数知识点总结和题型总结y=ax^2+bx+c，则最值为-(b^2-4ac)/(4a)）二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的基本形式为y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c均为常数，且a不等于0.二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向和顶点坐标与a的符号有关。
当a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a；当a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a。
而最值则可以根据解析式直接求出。
除了基本形式外，二次函数还有其他形式，如y=a(x-h)^2+k和y=ax^2+c。
它们的图像形态、顶点坐标、对称轴和最值也有相应的规律。
对于二次函数的题目，需要根据题目中给出的条件确定函数的具体形式，然后再利用对称轴、顶点、最值等性质解决问题。
练时要多做一些不同形式的二次函数题目，熟练掌握各种形式的性质和解题方法。
同时，也要注意二次函数的概念、基本形式和常见变形的记忆，以便在解题时能够迅速确定函数的形式。
1.若二次函数y=ax^2+bx+c的最值为k，则a>0且最值点为(-b/2a,k)。
2.已知抛物线经过坐标原点，即y=0时，x=0，则代入抛物线方程可得m=0.3.抛物线y=x^2+3x的顶点坐标为(-3/2,-9/4)，位于第二象限。
4.代入点(2,0)可得a=3/2，顶点坐标为(2/3,-1/4)，距离原点的距离为14/3.5.若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax^2+bx+c开口向上，对称轴是y轴。
6.二次函数y=mx^2+(m-1)x+m-1的最小值为1/4，代入可得m=3/2.7.平移步骤：确定抛物线的顶点坐标，然后根据平移规律进行平移。
8.抛物线y=x^2+4x+9的对称轴为x=-2，开口向上，顶点坐标为(-2,1)。
9.抛物线y=2x^2-12x+25的开口向上，顶点坐标为(3,1)。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解7--- 一元二次函数、方程与不等式
高一数学复习考点知识与题型专题讲解一元二次方程、函数与不等式知识网络重难点突破知识点一等式的性质与不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc . (5)加法法则：a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d . (6)乘法法则：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd . (7)乘方法则：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n ＞0(n ∈N ，n ≥2)．例1．（1）（2018·全国高一专题练习）若0a b <<，则下列不等式错误的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．a b >D ．22a b >（2）（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知0a b >>，那么下列不等式中成立的是（） A ．a b ->-B ．a m b m +<+C ．22a b >D ．11a b> （3）．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ）A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >【变式训练1-1】、（2020·浙江高一课时练习）设2,73,62a b c ==-=-，则,,a b c 的大小关系为（ ）． A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【变式训练1-2】、（多选题）（2020·山东新泰泰安一中高二期中）如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（ ）A ．11a b< B ．22ac bc < C ．11a b b a+<+ D ．22a ab b >>知识点二基本不等式1、基本不等式(或)均值不等式ab ba ≥+22、基本不等式的变形与拓展 (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+；(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）．(3)若00a ,b >>,则ab ba ≥+2； (4)若00a ,b >>,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）；(5)若00a ,b >>,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）． (6)若0x >,则12x x +≥（当且仅当1x =时取“=”）；若0x <,则12x x+≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠,则12x x+≥,即12x x +≥或12x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）．(7)若0>ab ,则2≥+ab b a （当且仅当b a =时取“=”）；若0ab ≠,则2a b b a +≥,即2a bb a +≥或2a bb a+≤-（当且仅当b a =时取“=”）． (8)一个重要的不等式链：2221122a b a b ab a b++≤≤≤+． 例2.（1）（2020·贵州省高二学业考试）已知0,0x y >>，若3xy =，则x y +的最小值为（）A ．3B ．2C ．23D ．1（2）函数()x f x 的最大值为（ ） A ．25B ．12C 2D ．1【变式训练1-1】．（1）（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（ ） A ．4B ．5C ．8D ．6（2）设0,0.a b >>11333a b a b+是与的等比中项，则的最小值为（ ）A 8B 4C 1 D14（3）．（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．14【变式训练2-2】（1）．（2020·浙江省高一期中）已知正数a ，b 满足a +b =1，则1b a b+的最小值等于__________，此时a =____________.（2）．（2019·全国高一课时练习）正实数,x y ，满足112x y+=，则2x y +的( )A ．最小值为322B ．最大值为322+ C ．最小值为322+ D ．最大值为322+（3）．（2019·全国高一课时练习）函数233(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为 （ ）A.3B.2C.1?D.1-知识点三二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2.三个“二次”的关系设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac 判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y ＞0或y ＜0的步骤求方程y ＝0的解有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有 实数根函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a＞0)的图象不等式解集y ＞0 {x |x ＜x 1_或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aR y ＜0{x |x 1＜x ＜x 2} ∅∅3.不等式 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <0 a ＝0 b ＝0，c >0b ＝0，c <0a ≠0⎩⎨⎧ a >0Δ<0⎩⎨⎧a <0Δ<0设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c若ax 2＋bx ＋c ≤k 恒成立⇔y max ≤k例3. 解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0.【变式训练3-1】．（2020·河南省高三其他（理））关于x 的不等式()()30x a x -->成立的一个充分不必要条件是11x -<<，则a 的取值范围是（） A ．1a ≤-B ．0a <C ．2a ≥D ．1a ≥例4．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为)2,21(-，则下列结论正确的是( ) A ．a >0 B ．b >0 C ．c >0D ．a ＋b ＋c >0【变式训练4-1】．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.。
高考数学一轮复习---二次函数知识点与题型
高考数学一轮复习---二次函数知识点与题型一、基础知识1．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象与性质二次函数系数的特征：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；(2)－b2a的值决定图象对称轴的位置；(3)c的取值决定图象与y轴的交点；(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数．(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)二、常用结论1．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．2．二次函数在闭区间上的最值设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]．(1)当－b2a≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)当m <－b 2a ≤m ＋n2时，最小值为)2(ab f -，最大值为f (n )； (3)当m ＋n 2<－b2a ≤n 时，最小值为)2(a b f -，最大值为f (m )； (4)当－b2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )．三、考点解析考点一 求二次函数的解析式求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. 例、已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 跟踪训练1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________. 考点二 二次函数的图象与性质 考法(一) 二次函数图象的识别例、若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )考法(二) 二次函数的单调性与最值问题例、(1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．(2)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________． [解题技法]1．二次函数最值问题的类型及解题思路 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的； ②对称轴动、区间固定； ③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题． 2．二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题例、(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．[解题技法]由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键：(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .跟踪训练1．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( ) A.54 B ．1或54 C ．－1或54 D ．－5或54课后作业1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( ) A ．2,4 B ．－2,4 C ．2，－4 D ．－2，－4 2．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0 5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6)6．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________． 7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-49,23，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．8．y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________． 9．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．提高训练1.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③2．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34 D ．1 3．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．4．求函数y ＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值．。
二次函数知识点总结最新8篇
二次函数知识点总结最新8篇高中二次函数知识点总结篇一1、按部就班，环环相扣数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。
所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题，一定要把每一个环节都学牢。
2、概念记清，基础夯实千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式，每新学一个定理或者定义的时候，都要在理解的基础上去深挖每一个字眼，有时候少说一两个字，都可能导致结果的不同。
要在刚开始学概念的时候就弄清楚，通过读一读、抄一抄加深印象，特别是容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患。
3、适当做题，巧做为主学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉中考的题型，训练要做到有的放矢。
有的同学埋头题海苦苦挣扎，辅导书做掉一大堆却鲜有提高，这就是陷入了做题的误区。
数学需要实践，需要大量做题，但要“埋下头去做题，抬起头来想题”，在做题中关注思路、方法、技巧，要“苦做”更要“巧做”。
考试中时间最宝贵，掌握了好的思路、方法、技巧，不仅解题速度快，而且也不容易犯错。
4、记录错题，避免再犯俗话说，“一朝被蛇咬，十年怕井绳”，可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。
因此，建议大家在平时的做题中就要及时记录错题，更重要的是还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方，这样就能避免不必要的失分。
毕竟，中考或者在平时考试当中是“分分必争”，一分也失不得。
这样复习时，这个错题本也就成了宝贵的复习资料。
5、集中兵力，攻下弱点每个人都有自己的“软肋”，如果试题中涉及到你的薄弱环节，一定会成为你的最痛。
因此一定要通过短时间的专题学习，集中优势兵力，打一场漂亮的歼灭战，避免变成“瘸腿”。
初中二次函数知识点总结篇二教学目标：(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
高中二次函数知识点总结
高中二次函数知识点总结定义：二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且a ≠ 0。
如果 a > 0，函数开口向上；如果 a < 0，函数开口向下。
顶点：二次函数的顶点坐标是 (-b/2a, c -b^2/4a)。
这也是函数的最值点，如果 a > 0，则是最小值点；如果 a < 0，则是最大值点。
对称轴：二次函数的对称轴是直线 x = -b/2a。
这意味着，如果 f(x) 是一个二次函数，那么 f(x) 和 f(-b/2a - x) 是相等的。
根（零点）：二次函数的根可以通过解方程 ax^2 + bx + c = 0 来找到。
这个方程的解就是函数的零点，即 f(x) = 0 的解。
二次函数可能有两个实数根（如果判别式 b^2 - 4ac > 0），一个实数根（如果 b^2 - 4ac = 0），或者没有实数根（如果 b^2 - 4ac < 0）。
判别式（Delta）：判别式Δ = b^2 - 4ac 用于判断二次方程的根的情况。
如果Δ > 0，方程有两个不同的实根；如果Δ = 0，方程有两个相同的实根；如果Δ < 0，方程没有实根。
二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，它可能向上或向下开口，取决于a 的值。
如果 a > 0，抛物线向上开口；如果 a < 0，抛物线向下开口。
二次函数的变换：通过调整 a、b 和c 的值，可以改变二次函数的图像。
例如，改变 a 的值可以改变抛物线的开口大小，改变 b 的值可以改变抛物线的对称轴，改变 c 的值可以改变抛物线的在 y 轴上的位置。
以上就是关于二次函数的一些重要知识点。
掌握这些知识点，可以帮助你更好地理解二次函数，以及如何在各种情境下使用它们。
高一数学复习考点题型专题讲解与练习8 二次函数与一元二次方程、不等式(1)(解析版)
高一数学复习考点题型专题讲解与练习 专题8 二次函数与一元二次方程、不等式（1）题型一解含有参数的一元二次不等式1．已知不等式ax 2﹣3x +2＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b } （1）求a 、b ；（2）解关于x 的不等式ax 2+（ac +b ）x +bc ＜0． 【答案】（1）2，（2）见解析【解析】（1）由题意知0a >且1，b 是方程2320ax x -+=的根，所以312b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，2b =.（2）不等式可化为2(2)20x c x c +++>，即()(2)0x c x ++>. 当2c -<-，即2>c 时，不等式的解集为{|2}x c x -<<-， 当2c -=-，即2c =时，不等式的解集为{|2}x x ≠-， 当2c ->-，即2c <时，不等式的解集为{|2}x x c -<<-. 2．已知函数22()56()f x x ax a a R =-+∈. （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若关于x 的不等式()2f x a ≥的解集为{|41}x x x ≥≤或，求实数a 的值. 【答案】（1）①当0a =时，不等式的解集为∅； ②当0a >时，由32a a >，则不等式的解集为(2,3)a a ；③当0a <时，由32a a <，则不等式的解集为(3,2)a a ； （2）1a =【解析】（1）不等式()0f x <，可化为：()()230x a x a --<. ①当0a =时，不等式的解集为∅；②当0a >时，由32a a >，则不等式的解集为()2,3a a ； ③当0a <时，由32a a <，则不等式的解集为()3,2a a ； （2）不等()2f x a ≥可化为：225620x ax a a -+-≥.由不等式()2f x a ≥的解集为{|41}x x x ≥≤或可知，1和4是方程225620x ax a a -+-=的两根. 故有25146214a a a =+⎧⎨-=⨯⎩，解得1a =.由1a =时方程为2540x x -+=的根为1或4，则实数a 的值为1. 3．已知2(1)10ax a x -++<，求不等式的解集. 【答案】见解析【解析】当0a =时，不等式化为10x -+<，则不等式的解集为{|1}x x >； 当0a ≠时，不等式可因式分解为()1()10a x x a--<当0a <时，不等式可化为()1()10x x a -->，则不等式的解集为{|1x x >或1}x a<； 当1a =时，不等式可化为()210x -<，则不等式的解集为φ；当1a >时，不等式可化为()1()10x x a--<，则不等式的解集为1{|1}x x a<<； 当01a <<时，不等式可化为()1()10x x a--<，则不等式的解集为1{|1}x x a<<； 题型二由一元二次不等式的解确定参数1．不等式20ax bx c -+>的解集为{}|21x x -<<，则函数2y ax bx c =++的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】 C【解析】∵不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<，∴21210b ac a a ⎧-+=⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，∴20b a c a a =-⎧⎪=-⎨⎪<⎩，2222(2)y ax bx c ax ax a a x x =++=--=--，图象开口向下，两个零点为2,1-．故选：C ．2．若不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的整数解只有－2，则k 的取值范围是________．【答案】32k -≤<【解析】不等式220x x -->的解集为()(),12,-∞-+∞，不等式()222550x k x k +++<可转化为：()()250x k x ++<，根据已知条件不等式组的整数解只有2-，不等式()222550x k x k +++<的解集为5|2x x k ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭， 再借助数轴可得k 的取值范围为23k -<-≤，解得32k -≤<，3．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集()1,1-，求a ，b 的值； （2）若()12f =，①0a >，0b >，求14ab+的最小值；②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）32a b =-⎧⎨=⎩；（2）①9；②322322a -<<+． 【解析】（1）由已知可得，()2230ax b x +-+=的两根是1-，1所以()21103111b a a-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩．（2）①()12321f a b a b =+-+=⇒+=()1414445259b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪⎝⎭， 当4b aa b=时等号成立， 因为1a b +=，0a >，0b >，解得13a =，23b =时等号成立，此时14ab+的最小值是9．②()()22231220ax b x ax b x +-+>⇒+-+>在R 上恒成立，∴()202800a b a >⎧⇒--<⎨∆<⎩， 又因为1a b +=代入上式可得()22180610a a a a +-<⇒-+< 解得：322322a -<<+．4．若关于x 的不等式（1－a ）x 2－4x ＋6<0的解集是{x| x<－3或x> 1}． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0．【答案】（1）3 （2）3|12x x x⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或 【解析】（1）由题意，知1－a<0且－3和1是方程（1－a ）x 2－4x ＋6＝0的两根，∴104{21631a a a-<=--=--，解得a ＝3．（2）由（1）得不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0即为2x 2－x －3>0，解得x<－1或x>32．∴所求不等式的解集为3|12x x x⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或． 5．关于x 的不等式220mx x m -+<，其中m 为大于0的常数． （1）若不等式的解集为∅，求实数m 的取值范围；（2）若不等式的解集为A ，且A 中恰好含有三个整数，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）m 1≥；（2）83175m ≤< 【解析】（1）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式2440m ∆=-≤， 结合0m >，解得m 1≥.（2）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式2440m ∆=->，解得11m -<<. 又0m >，所以01m <<.设2()2f x mx x m =-+，其对称轴为1x m=. 注意到(1)220f m =-<，(0)0f m =>，对称轴11x m=>，所以不等式220mx x m -+<解集A 中恰好有三个整数只能是1、2、3，此时A 中恰好含有三个整数等价于：(2)540(3)1060(4)1780f m f m f m =-<⎧⎪=-<⎨⎪=-≥⎩，解得83175m ≤<.题型三一元二次方程根的分布问题1．若实数,αβ为方程2260x mx m -++=的两根，则22(1)(1)a β-+-的最小值为（） A ．8 B ．14 C ．14- D ．494-【答案】A【解析】2(2)4(6)0m m ∆=--+，260m m ∴--，3m ∴或2m -.222222(1)(1)2()2()22()2(2)a m βαβαβαβαβαβ-+-=+-++=+--++=223492(6)2(2)24610444m m m m m ⎛⎫-+-+=--=-- ⎪⎝⎭.3m 或2m -，且3离对称轴更近，∴当3m =时，22(1)(1)a β-+-取得最小值8. 故选：A.2．若关于x 的方程()22120x m x m +-+-=的一个实根小于1-，另一个实根大于1，则实数m 的取值范围是（） A ．{}22m m -<< B ．{}20m m -<< C ．{}21m m -<< D ．{}01m m <<【答案】D【解析】令()2212y x m x m =+-+-，作出函数大致的图象如图所示，.由图象知，当1x =-时；20y m m =-<，解得01m <<； 当1x =时，220y m m =+-<，解得21m -<<. 综上可得，01m <<，故选 D.3．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=,下列结论正确的是( ) A ．方程()230x m x m +-+=有实数根的充要条件是{1m m m ∈<，或}9m > B ．方程()230x m x m +-+=有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈< C ．方程()230x m x m +-+=有两正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤ D ．方程()230x m x m +-+=无实数根的必要条件是{}1m m m ∈> E.当3m =时,方程的两实数根之和为0 【答案】BCD【解析】在A 中,由()2340m m ∆=--≥得1m或9m ≥,故A 错误；在B 中,当0x =时,函数()23y x m x m =+-+的值为m ,由二次函数的图象知,方程有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈<,故B 正确；在C 中,由题意得()2340,30,0,m m m m ⎧∆=--≥⎪->⎨⎪>⎩解得01m <≤,故C 正确；在D 中,由()2340m m ∆=--<得19m <<,又{}{}191m m m m <<⊆>,故D 正确；在E 中,当3m =时,方程为230x +=,无实数根,故E 错误.故选：BCD .4．若方程2(23)420k x k x k -+++=的根满足下列条件，分别求出实数k 的取值范围. （1）方程两实根均大于1；（2）方程有一根比1大，一根比1小. 【答案】（1）112736k +<≤；（2）103k <<.【解析】设1x t =+，原方程可化为23310k t t k -+-=，（1）由题意，关于t 的方程的两根均为正数，得1212000t t t t ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即234(31)030310k k k k k⎧⎪--≥⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩，解得112736k +<≤，故当112736k +<≤时，原方程两实根均大于1； （2）因为关于t 的方程的两根为一正根和一负根，所以1200t t ∆>⎧⎨<⎩，即234(31)0310k k k k⎧-->⎪⎨-<⎪⎩，解得103k <<，故当103k <<时，原方程有一根比1大，一根比1小.5．已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根. （1）求实数m 的取值范围；（2）当m =2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】（1）134m ≤；（2）1.【解析】（1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+ ∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥ 解得134m ≤（2）当m =2时，方程为x 2+3x +1=0， ∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1， ∵方程的根为x 1，x 2， ∴x 12+3x 1+1=0，x 22+3x 2+1=0， ∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2） =（x 12+2x 1+x 1-x 1）（x 22+3x 2+x 2+2） =（-1-x 1）（-1+x 2+2） =（-1-x 1）（x 2+1） =-x 2-x 1x 2-1-x 1 =-x 2-x 1-2 =3-2 =1．题型四一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 1．若关于x 的不等式210x mx -+-有解，则实数m 的取值范围是 A ．{|2m m -或}2m B ．{}22m m - C ．{|2m m <-或}2m > D ．{}22m m -<<【答案】A【解析】因为关于x 的不等式210x mx -+-有解，所以240m ∆=-，解得2m 或2m -. 故选A ．2．已知函数2y x ax b =++（0a >）有且只有一个零点，则（） A ．224a b -≤ B ．214a b+≥C ．若不等式20x ax b +-<的解集为{}12x x x x <<（12x x <），则120x x >D ．若不等式2x ax b c 的解集为{}12x x x x <<（12x x <），且124x x -=，则4c = 【答案】ABD【解析】因为2y x ax b =++（0a >）有且只有一个零点， 故可得240a b ∆=-=，即240a b =>，对A ：224a b -≤等价于2440b b -+≥，显然()220b -≥，故A 正确； 对B ：21114244a b b b b b+=+≥⨯=，故B 正确； 对C ：因为不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ， 故可得120x x b =-<，故C 错误；对D ：因为不等式2x ax b c 的解集为()12,x x ，且124x x -=， 则方程20x ax b c ++-=的两根为1x ，2x ，故可得()()22121244424x x x x a b c c c +-=--===， 故可得4c =，故D 正确. 故选：ABD .3．已知函数()()22111y a x a x =-+++(1)若对任意x ，有0y >，求实数a 的取值范围； (2)若y 能取到不小于0的任意值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|1x a ≤-或53a ⎫>⎬⎭；（2）513a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 【解析】(1) 当210a -=时，得1a =±若1a =，210y x =+>不恒成立，不合题意；若1a =-，10y =>恒成立，符合题意当210a -≠时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--<⎪⎩，解得：1a <-或53a > 综上所述：a 的取值范围为{1a a ≤-或53a ⎫>⎬⎭(2) 当210a -=时，得1a =±若1a =，21y x R =+∈，符合题意；若1a =-，1y =，不合题意当210a -≠时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得：513a <≤ 综上所述：a 的取值范围为513a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭4．若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}34x x -<<，求关于x 的不等式2230bx ax c b +--<的解集.【答案】{}35x x -<<【解析】∵20ax bx c ++>的解集为{}34x x -<<，∴0a <且-3和4是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，∴3434b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩， ∴不等式2230bx ax c b +--<可化为22150ax ax a -++<，即22150x x --<， ∴35x -<<，∴所求不等式的解集为{}35x x -<<.5．已知三个不等式：①245x x -<-；②22132x x x +≥-+；③2210x mx +-<． （1）若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围；（2）若满足③的x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围．【答案】（1）173m ≤-（2）1713m -≤≤ 【解析】解不等式①245x x -<-即-5245x x x <-<-，解得()1,3x ∈-，解不等式②22132x x x +≥-+ ()()()4021x x x x -≤--，解得[)(]0,12,4x ∈（1）同时满足①、②的x 值，即不等式①、②的解集取交集， 得[)()0,12,3x ∈若③的解集为C ，则[)()0,12,3是C 的子集，设()221f x x mx =+-，则有()()0030f f ⎧<⎪⎨≤⎪⎩，即1029310m -<⎧⎨⨯+-≤⎩ 解得173m ≤-（2）满足③的x 值满足①时即()1,3C ⊆-()()10300134f f m ⎧-≥⎪≥⎪⎪⎨∆≥⎪⎪-<-<⎪⎩即22102931080134m m m m --≥⎧⎪⨯+-≥⎪⎪⎨+≥⎪⎪-<-<⎪⎩，解得1713m -≤≤ 因为()221f x x mx =+-，当0x =时，()010f =-<所以()0f x <的解集一定存在负数， 所以满足满足③的x 值不可能满足② 综上所述，满足要求的m 的范围为1713m -≤≤。
高一：二次函数常见题型及解题技巧.doc
高一：二次函数常见题型及解题技巧我们今天就总结一下常见的二次函数常见的体型以及解题技巧。
第一类：基础知识类这一类命题主要包含以下几类问题：函数定义、二次函数的特殊点（顶点、对称轴、最大/最小值）等。
其中对于函数的特殊点，主要核心在于把握住两个要点：函数式之间的转化，顶点式的特点。
解决此类问题，在不熟悉二次函数的情况下，最有操作性的方式就是将函数从各种形式转化为顶点式。
即转化为形如：y=a（x-b）²+c(其中a为不为零的常数）转化为这种形式之后，就可以以轻松解决这些问题了，顶点为（b,c）对称轴为X=b。
而此时函数的最大值/最小值要看系数a是正数还是负数了。
若a0，则此二次函数应该是开口向上，此时在顶点处取得最小值c。
若a0，此时顶点处取得最大值。
函数定义类往往很少单独出题，一般会利用函数的开口方向等信息，结合一次函数，函数交点等信息结合出题。
eg：已知二次函数y=mx²+(m－1)x+m-1有最小值为0，则m＝？第二类：二次函数的增减性及函数值比大小的问题讨论二次函数的增减性往往会利用到第一类对称轴的知识。
因为二次函数的极值点往往是区分函数增减的关键点：（1）对于开口向上的函数，极值点左边的部分为减函数，极值点右边的部分为增函数；（2）对于开口向下的函数，极值点左边的部分为增函数，极值点右边的部分为减函数；（3）如果是比较极值点两边的函数值大小的题目，我们要考虑两边的点与极值点在X轴上的距离：开口向上是，距离极值点越远的函数值越大；开口向下时，距离极值点跃进的函数值越大；.eg：已知二次函数y=-½x²+3x+5 的图象上有三点A(x1,y1),B(x2.,y2),C(x3,y3)且3x1x2x3，则y1,y2,y3的大小关系为？第三类：函数的平移这类问题常常是困扰很多学生的问题。
实际上是有口诀用于记忆的：向上平移加y值，想右平移减x值。
这类问题常见的通用解题方法其实依然是转化为顶点式y=a（x-b）²+c。
二次函数的图象和性质对称性高一数学总结练习含答案解析D
1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性1.偶函数:如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且①成立,则称F(x)为偶函数.2.奇函数:如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且②成立,则称F(x)为奇函数.3.二次函数图象的对称性函数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)a>0 a<0图象性质抛物线开口向上,并向上无限延伸抛物线开口向下,并向下无限延伸对称轴是③,顶点坐标是④对称轴是⑤,顶点坐标是⑥4.(1)当a>0时,f(x)=ax2+bx+c的图象、f(x)=0的根、f(x)>0(或<0)的解集可用下表表示: Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不等的实根x1,x2且x1<x2有两个相等的实根x1,x2且x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集⑦⑧⑨ax2+bx+c<0(a>0)的解集⑩(2)当a<0时,若Δ<0,则图象总在x轴下方,二次函数的函数值恒为负;若Δ=0,则图象和x轴相切于点(x0,0),这里x=-b2a正好是方程ax2+bx+c=0的“相等”实根,图象除这一点外都在x轴下方;若Δ>0,则图象和x轴交于两点(x1,0)和(x2,0),这里x1<x2,且x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个不等实根,当x∈(x1,x2)时,图象在x轴上方,当x在[x1,x2]之外时,图象在x轴下方.一、函数奇偶性的判断1.(2014课标Ⅰ,3,5分,★☆☆)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数思路点拨利用函数奇偶性的定义进行判断.2.(2014广东深圳宝安期末,★★☆)已知函数f(x)=x-1x.(1)研究此函数的奇偶性;(2)证明f(x)在(0,+∞)上为增函数.二、二次函数在给定区间上的最值及应用3.(2014河北邯郸模拟,★☆☆)若f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上有最大值2,则a的取值集合是.4.(2010广东文,20,14分,★★☆)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).(1)求f(-1), f(2.5)的值;(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性;(3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.思路点拨根据已知区间上函数的解析式f(x)=x(x-2)和关系式f(x)=kf(x+2)进行转化,然后分情况进行讨论.5.(2014江西赣州期末,★☆☆)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象的上方,求实数m的取值范围.三、二次函数图象的对称轴及应用6.(2013天津模拟,★★☆)设函数g(x)=x2-2(x∈R), f(x)={g(x)+x+4,x<g(x),g(x)-x,x≥g(x),则f(x)的值域是( )A.[-94,0]∪(1,+∞)B.[0,+∞)C.[-94,+∞)D.[-94,0]∪(2,+∞)思路点拨本题考查分段函数及二次函数在给定区间上的值域.利用二次函数的图象,明确单调性是通法.注意分段函数的值域应分开求后取并集.7.(2013河北模拟,★★☆)已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].(1)当a=-1时,求函数的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.思路点拨 (1)根据二次函数在区间[-5,5]上的图象分析判断其取得最大值和最小值时自变量x 的取值;(2)只要对称轴与x 轴的交点的横坐标不在区间(-5,5)内即可.一、选择题1.若函数f(x)是R 上的奇函数,则下列关系式恒成立的是( ) A.f(x)-f(-x)≥0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)≥02.下列函数:①f(x)=x 2-x;②f(x)=x 2-|x|;③f(x)=x 3-xx -1;④f(x)=5;⑤f(x)=|3x+2|-|3x-2|,其中具有奇偶性的为( )A.①③⑤B.②③④C.②④⑤D.③④⑤3.二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过(1,0)与(2,5)两点,则这个二次函数的图象( ) A.过点(0,1) B.顶点为(1,-4) C.对称轴为x=-1D.与x 轴无交点4.设b>0,二次函数y=ax 2+bx+a 2-1的图象为下列之一:则a 的值为( ) A.1 B.-1C.-1-√52D.-1+√52二、填空题5.已知f(x)在R 上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x 2,则f(7)= .6.已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,且定义域为[a-1,2a],则a= ,b= . 三、解答题7.已知f(x)是R 上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x 2+2x+2. (1)求f(x)的解析式;(2)画出f(x)的大致图象,并指出f(x)的单调区间.8.已知f(x)=x2+ax+3在[-1,1]上的最小值为-3,求a的值.一、选择题1.(2015浙江台州高一期末,★☆☆)已知函数f(x)=x2+bx+c,且f(2+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是( )A.f(-4)<f(0)<f(4)B.f(0)<f(-4)<f(4)C.f(0)<f(4)<f(-4)D.f(4)<f(0)<f(-4)2.(2014重庆西南大学附中期中,★☆☆)若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a等于( )A.-2B.-1C.1D.23.(2014重庆西南大学附中期中,★☆☆)定义在R上的函数f(x)为偶函数,且f(3+x)=f(5-x),当x∈[-4,0]时,f(x)=x+2,则f(7)=( )A.0B.1C.2D.34.(2013重庆杨守坪中学期中,★☆☆)已知f(x)=x2+ax是偶函数,则当x∈[-1,2]时,f(x)的值域是( )A.[1,4]B.[0,4]C.[-4,4]D.[0,2]二、填空题5.(2013重庆江津五中期中,★☆☆)已知函数f(x)=x2+(a-1)x+2的图象关于x=1对称,则f(1)= .三、解答题6.(2015山西大学附中月考,★★☆)已知函数f(x)=3x2-6x-5.(1)设g(x)=f(x)-2x2+mx,其中m∈R,求g(x)在[1,3]上的最小值;(2)若对于任意的a∈[1,2],关于x的不等式f(x)≤x2-(2a+6)x+a+b在区间[1,3]上恒成立,求实数b的取值范围.7.(2014湖北孝感期中,★★☆)设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,有f(1-x)=x2-3x+3.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)-5x+1在[m,m+1]上的最小值为-2,求实数m的取值范围.8.(2013北京清华附中测试,★★☆)判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)={x2+x(x<0), x2-x(x>0);(2)f(x)=2+2(3)f(x)=x2-|x-a|+2.9.(2013重庆南开中学期中,★★☆)已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+3(a∈R).(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)在区间[-1,3]上的最小值.10.(2013重庆西南大学附中期中,★★★)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b为常数且a≠0)满足条件:f(-x+5)=f(x-3),方程f(x)=x有两相等实根.求f(x)的解析式.知识清单①F(-x)=F(x) ②F(-x)=-F(x) ③x=-b2a ④(-b2a,4ac-b24a)⑤x=-b2a⑥(-b2a,4ac-b24a)⑦{x|x<x1,或x>x2} ⑧{x|x≠x1}⑨R⑩{x|x1<x<x2} ⌀⌀链接高考1.C 由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|·g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)·|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.2.解析(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且对定义域内任意x,有f(-x)=-x-1-x =-(x-1x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则x1-x2<0,x1x2>0,∴1+1x1x2>0,f(x1)-f(x2)=(x1-1x1)-(x2-1x2)=(x1-x2)+(1x2-1x1)=(x1-x2)·(1+1x1x2)<0,∴f(x1)<f(x2),由增函数定义可知,f(x)在(0,+∞)上为增函数.3.答案{-1,2}解析f(x)=-(x-a)2+a2-a+1.(1)当a<0时, f(x)max=f(0)=2,得a=-1.(2)当0≤a≤1时, f(x)max =f(a)=2,解得a=1±√52∉[0,1],故该方程在[0,1]上无解.(3)当a>1时, f(x)max=f(1)=2,得a=2.综上,a=-1或a=2.4.解析(1)由已知得f(-1)=kf(1)=-k, f(0.5)=kf(2.5),∴f(2.5)=1k f(0.5)=1k(0.5-2)×0.5=-34k.(2)∵对任意实数x, f(x)=kf(x+2),∴f(x-2)=kf(x),∴f(x)=1kf(x-2), 当-2≤x<0时,0≤x+2<2, f(x)=kf(x+2)=kx(x+2);当-3≤x<-2时,-1≤x+2<0,f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)·(x+4);当2<x≤3时,0<x-2≤1, f(x)=1k ·f(x-2)=1k(x-2)(x-4).故f(x)={k 2(x +2)(x +4), -3≤x <-2,kx (x +2),-2≤x <0,x (x -2),0≤x ≤2,1k(x -2)(x -4),2<x ≤3.∵k<0,∴由函数图象得f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数. (3)由函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,f(x)在x=-3或x=1处取得最小值 f(-3)=-k 2或f(1)=-1,在x=-1或x=3处取得最大值f(-1)=-k 或 f(3)=-1k .故有①k<-1时, f(x)在x=-3处取得最小值f(-3)=-k 2,在x=-1处取得最大值f(-1)=-k.②k=-1时, f(x)在x=-3与x=1处取得最小值f(-3)=f(1)=-1,在x=-1与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1. ③-1<k<0时, f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-1,在x=3处取得最大值f(3)=-1k . 5.解析 (1)设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0), 由f(0)=1可知c=1, 由f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x,可知{2a =2,a +b =0,∴{a =1,b =-1,∴f(x)=x 2-x+1.(2)由题意可得f(x)>2x+m 在x∈[-1,1]上恒成立, 即x 2-x+1>2x+m 在x∈[-1,1]上恒成立, ∴m<(x 2-3x+1)min ,x∈[-1,1],而y=x 2-3x+1=(x -32)2-54在[-1,1]上递减,∴y min =-1, ∴m<-1.6.D ∵x<g(x),即x<x 2-2,(x-2)(x+1)>0,∴x∈(-∞,-1)∪(2,+∞), f(x)={x 2+x +2, x ∈(-∞,-1)⋃(2,+∞),x 2-x -2,x ∈[-1,2],={(x +12)2+74, x ∈(-∞,-1)⋃(2,+∞),(x -12)2-94,x ∈[-1,2].∴f(x)的值域为[-94,0]∪(2,+∞). 7.解析 (1)当a=-1时, f(x)=x 2-2x+2,图象的对称轴为x=1,故f(x)min =f(1)=1, 由f(x)的图象及性质得f(x)max =f(-5)=37, 所以f(x)max =37, f(x)min =1. (2)f(x)的图象的对称轴为x=-a, 当-a≤-5或-a≥5时, f(x)在[-5,5]上是单调函数, 所以a≥5或a≤-5.基础过关一、选择题1.C ∵f(x)是R 上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)·f(-x)=f(x)·[-f(x)]=-[f(x)]2≤0.2.C 对于①,f(-1)=2,f(1)=0,∴f(-1)≠f(1),且f(-1)≠-f(1),∴f(x)是非奇非偶函数;对于②,定义域为R,且f(-x)=x 2-|x|=f(x),是偶函数;对于③,定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,∴不具有奇偶性;④中函数是偶函数;对于⑤,定义域为R,且满足f(-x)=|-3x+2|-|-3x-2|=-(|3x+2|-|3x-2|)=-f(x),为奇函数,∴②④⑤具有奇偶性. 3.C 由已知得D 错误.∵y=x 2+bx+c 的图象经过(1,0)与(2,5), ∴{1+b +c =0,4+2b +c =5⇒{b =2,c =-3, ∴y=x 2+2x-3=(x+1)2-4,∴图象的对称轴为x=-1,顶点为(-1,-4).当x=0时,y=-3,即图象过点(0,-3)∴A,B 错误,C 正确. 4.B ∵b>0,∴x=-b2a ≠0,显然(1)(2)不是函数图象,从(3)(4)可知a 2-1=0,即a=±1.当a=1时,抛物线开口向上,x=-b2a <0,∴(4)不是函数图象.当a=-1时,抛物线开口向下,x=-b2a >0,故(3)为函数图象,且a=-1. 二、填空题 5.答案 -2解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(7)=f(3+4)=f(3)=f[4+(-1)]=f(-1). 又∵f(-x)=-f(x), ∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2, ∴f(7)=-2. 6.答案 13;0解析∵f(x)为偶函数,∴对定义域内的任意实数x都有f(-x)=f(x). ∴ax2-bx+3a+b=ax2+bx+3a+b恒成立.∴b=0.又f(x)的定义域为[a-1,2a],∴(a-1)+2a=0,∴a=13.三、解答题7.解析(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2,又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),且f(0)=0,∴f(x)=x2+2x-2,∴f(x)={x2+2x-2(x<0),0(x=0),-x2+2x+2(x>0).(2)先画出y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y=f(x)(x<0)的图象,其大致图象如图所示.由图可知,其增区间为[-1,0)和(0,1],减区间为(-∞,-1]和[1,+∞).8.解析当-a2>1,即a<-2时,f(x)min=f(1)=4+a=-3,∴a=-7.当-1≤-a2≤1,即-2≤a≤2时,f(x)min =f(-a2)=12-a24=-3,∴a=±2√6(舍去).当-a 2<-1,即a>2时,f(x)min =f(-1)=4-a=-3,∴a=7.综上可知,a=±7.三年模拟一、选择题1.C 由f(2+x)=f(-x)得f(x)的图象的对称轴为x=1,∴f(x)在(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.∵f(4)=f(-2),∴f(0)<f(4)=f(-2)<f(-4).2.C 令f(x)=(x+1)(x-a),由f(x)为偶函数知f(x)=f(-x),所以x 2+x-ax-a=x 2-x+ax-a,则a=1.3.B 由f(3+x)=f(5-x)得f(x)的图象关于直线x=4对称,所以f(7)=f(1).又因为f(x)为偶函数,所以f(7)=f(1)=f(-1)=-1+2=1.4.B 由f(x)=f(-x)得x 2+ax=(-x)2+a(-x),所以a=0,则f(x)=x 2,当x∈[-1,2]时,f(x)的值域为[0,4].二、填空题5.答案 1解析 由题意可知-a -12=1,则a=-1,所以f(x)=x 2-2x+2,则f(1)=1. 三、解答题6.解析 (1)g(x)=x 2+(m-6)x-5,①当-m -62<1,即m>4时,g(x)min =g(1)=m-10; ②当-m -62>3,即m<0时,g(x)min =g(3)=3m-14;③当1≤-m -62≤3,即0≤m≤4时,g(x)min =g (-m -62)=-m 2+12m -564.综上可得,g(x)min ={3m -14,m <0,-m 2+12m -564,0≤m ≤4,m -10,m >4.(2)由题意可知,只需b≥2x 2+2ax-a-5在x∈[1,3],a∈[1,2]上恒成立.设h(x)=2x 2+2ax-a-5,x∈[1,3],则只需b≥h(x)max ,x∈[1,3].∵1≤a≤2,∴-1≤-a 2<12,∴h(x)max =h(3)=5a+13,∴只需b≥5a+13在a∈[1,2]上恒成立,设φ(a)=5a+13,a∈[1,2],只需b≥φ(a)max ,∵φ(a)max =23,∴b≥23.7.解析 (1)令1-x=t,则x=1-t,由题意知f(t)=(1-t)2-3(1-t)+3=t 2+t+1. 所以f(x)=x 2+x+1.(2)g(x)=f(x)-5x+1=x 2-4x+2,g(x)的图象的对称轴为直线x=2.当m≥2时,g(x)在[m,m+1]上单调递增,所以g(x)min =g(m)=m 2-4m+2,则m 2-4m+2=-2,解得m=2,符合m≥2.当m<2≤m+1,即1≤m<2时,g(x)min =g(2)=22-4×2+2=-2.当m+1<2,即m<1时,g(x)在[m,m+1]上单调递减,所以g(x)min =g(m+1)=(m+1)2-4(m+1)+2,则(m+1)2-4(m+1)+2=-2,解得m=1,不符合m<1.综上所述,m 的取值范围是[1,2].8.解析 (1)显然函数定义域关于原点对称.当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2-(-x)=x 2+x=f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x 2-x=f(x).∴对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.(2)由{3-x 2≥0,x 2-3≥0,得x=-√3或x=√3, ∴函数f(x)的定义域为{-√3,√3}.又∵对任意的x∈{-√3,√3},f(x)=0,∴f(-x)=f(x)=-f(x).∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是R.当a=0时,f(x)=f(-x),∴f(x)是偶函数;当a≠0时,f(a)=a 2+2,f(-a)=a 2-2|a|+2,f(a)≠f(-a),且f(a)+f(-a)=2(a 2-|a|+2)=2(|a |-12)2+72≠0,∴f(x)是非奇非偶函数. 9.解析 (1)当a=1时,f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.当a≠1时,f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),f(x)为非奇非偶函数.(2)f(x)图象的对称轴为直线x=a-1.当a-1≤-1,即a≤0时,f(x)在[-1,3]上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+2.当-1<a-1≤3,即0<a≤4时,f(x)min=f(a-1)=-a2+2a+2.当a-1>3,即a>4时,f(x)在[-1,3]上单调递减,f(x)min=f(3)=18-6a.综上,f(x)在区间[-1,3]上的最小值f(x)min ={2a+2,a≤0,-a2+2a+2,0<a≤4, 18-6a,a>4.10.解析∵f(-x+5)=f(x-3),∴f(x)的图象的对称轴为x=5-32=1, 又∵f(x)=x有两相等实根,∴ax2+(b-1)x=0有两相等实根.∴{-b2a=1,Δ=(b-1)2=0,∴{a=-12,b=1,∴f(x)=-12x2+x.。
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高一数学二次函数题型
复习总结
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
基本初等函数
1、常函数：C C y ,=为任意常数。
图像：平行于x 轴直线。
2、一次函数：)0(≠+=a b ax y 。
图像：直线。
3、二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y 。
图像:抛物线。
4、幂函数：,a x y =自变量在底数。
图像：根据a 不同的取值，图像性质不同。
5、指数函数：,x a y =自变量在指数。
图像：1>a 递增，10<<a 递减，均过（0,1）点。
6、对数函数：x y a log =，),0(+∞∈x 。
图像：1>a 递增，10<<a 递减，均过（1,0）点。
7、正弦函数：x y sin =。
周期函数。
8、余弦函数：x y cos =。
周期函数。
9、正切函数：x y tan =。
周期函数。
其他函数均由以上函数通过加、减、乘、除、开方、乘方所得。
第一课：二次函数
)0(2≠++=a c bx ax y
值域问题的根本在图像，图像根本在单调性，单调性的根本在对称轴和开口方向。
题型一、求二次函数最值
1、无指定区间、对称轴固定
例1：（1）求6)(2+-=x x x f 的值域 （2）求a x x x f +-=2)(的值域
2、无指定区间、对称轴不固定
例2：（1） 求6)(2+-=ax x x f 的值域 （2）求)0(6)(2≠+-=a x ax x f 的值域
3、区间固定、对称轴固定
例3：（1）求[]1,1-6)(2在+-=x x x f 的值域 （2）求[]1,1-)0(6)(2在≠+-=a ax ax x f 的值域
4、区间固定、对阵轴动
例4：（1）求[]4,06)(2在+-=ax x x f 的最小值
（2）求[]4,06)(2在+-=ax x x f 的最大值
（3）升级：
5、对称轴固定、区间动
例5：[]1,,34)(2+∈++=t t x x x x f ，把该函数最小值记为)(t g 求（1）)(t g 的表达式 （2）)(t g 在[]3,3-∈t 的最值
练习：[]1,,34)(2+∈++=t t x x x x f ，求该函数最大值。
题型二、给定二次函数最值，求参数
例6：若函数a ax x x f -++-=12)(2在[]1,0∈x 时有最大值2，求a 的值。
练习：已知二次函数1)12()(2+-+=x a ax x f 在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-2,23上的最大值为3，求实数a 的值。
例7：若函数434
3)(2+-=x x x f 在区间[]m ,0上的值域为[]4,0，求m 范围。
练习：若函数5)(2++=ax x x f 对于任意x 都有)4()(x f x f --=，在区间[]0,m 上的值域为[]5,1，求m 范围。
例8：函数012>++ax ax 恒成立，求a 的范围。
方法一： 方法二：
例9：[]2,2-∈x 时，不等式a ax x ≥++32恒成立，求a 范围。
例10：[]1,1-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求a 范围. 方法一： 方法二：
例11：()()x x x a x ≤+++∞∈∃13,,02使成立，求a 的取值范围。
课 后 练 习
1、若函数22)(2+-=x x x f ，当[]1,+∈t t x 时的最小值为)(t g ，最大值为)(t h
（1）求)(t g （2）求)(t g 在[]2,3--∈t 时的最值 （3）求)(t h
2、已知函数12)(2++=ax ax x f 在区间[]2,3-上的最大值为4，求实数a 的值。
2、已知函数x x x f +-=2
)(2
在区间[]n m ,上的值域为[]n m 3,3，求m 、n 的值。
3、[]恒成立m x f x mx x x f ≥+∞-∈+-=)(,,1,22)(2，求m 范围。
5、[)恒成立02lg ,,2>⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++∞∈∀x a x x ，求a 范围。