含导函数的抽象函数的构造专题

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导数中的构造函数(最全精编)

1、利用 f (x ) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x ),f (x )；这类形式是对u ⋅ v , u型数导数计算的推广及应用，我们对u ⋅ v , u的导函数观察可得知， u ⋅ v 型导函数中体现的是“ + ”法， u型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“ + ”法形式时，优先考虑构造u ⋅ v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造 u，我们根据得出的“优先”原则，看一看例 1，例 2.【例 1】 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，当 x < 0 时， f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，且f (-4) = 0 ，则不等式 xf (x ) > 0 的解集为【解析】构造 F (x ) = xf (x ) ，则 F ' (x ) = f (x ) + xf ' (x ) ，当 x < 0 时，f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，可以推出 x < 0 ， F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在(-∞,0) 上单调递减.∵ f (x ) 为偶函数， x 为奇函数，所以 F (x ) 为奇函数， ∴ F (x ) 在 (0,+∞) 上也单调递减. 根据 f (-4) = 0 可得F (-4) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (x ) > 0 的解集为(-∞,-4) ⋃ (0,4) .❀❀❀思路点拨：出现“ + ”形式，优先构造 F (x ) = xf (x ) ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

构造可导函数解抽象函数

大方向教育个性化辅导教案教师：徐琨学生：张杰学科：数学时间：课题（课型）教学目标或考点分析：导数运算中构造函数解决抽象函数问题教学重难点：教学方法：知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练【模型总结】关系式为“加”型（1）'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+（2）'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+（3）'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nxf x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论）关系式为“减”型（1）'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x xf x f x e f x e f x f x e e e --== （2）'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[]'f x xf x f x x x-= （3）'()()0xf x nf x -≥ 构造121()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== （注意对x 的符号进行讨论）典型例题：例 1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集变式：设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集.例 2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，若有穷数列*()()()f n n N g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于3132，则n 等于 . 变式：已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，若若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，求关于x 的不等式log 1a x >的解集.例 3.已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x +>，若111(),2(2),ln (ln 2)222a fb fc f ==--=，则关于,,a b c 的大小关系是例 4.已知函数()f x 为定义在R 上的可导奇函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，且f （3）=e ，则()f x /e^x<1的解集为变式：设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)f e=.求(1)f 的值.例5.设函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且22()'()f x xf x x +>，变式：已知()f x 的导函数为'()f x ，当0x >时，2()'()f x xf x >，且(1)1f =，若存在x R +∈，使2()f x x =，求x 的值.巩固练习:1.定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'f x 满足()'1f x >，且()23f =，则关于x 的不等式()1f x x <+的解集为 ▲ ．2.已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为/()f x ，满足/()()f x f x <，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ▲3.设)(x f '和)(x g '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''≤在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性相反.若函数31()23f x x ax =-与2()2g x x bx =+在开区间(,)a b 上单调性相反（0a >），则b a -的最大值为 ▲4.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，对任意的R x ∈有2)()(x x f x f =+-，且在()+∞,0 上，.)(x x f >'，若,22)()2(a a f a f -≥--则实数a 的取值范围为 ▲ ；学生对本次课的评定：○特别满意 ○满意 ○一般 ○差学生签字：教师评定：1、学生上次作业评价： ○好 ○较好 ○一般 ○差2、学生本次上课情况评价：○好 ○较好 ○一般 ○差教师签字：教导主任签字：大方向教育教务处。

专题(9)构造法解决抽象函数问题教师版

高三第二轮专题复习专题（9）——构造法解决抽象函数问题在导数及其应用的客观题中，有一个热点考查点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数()f x 及其导数满足的条件，需要就此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造的函数的单调性，应用单调性解决问题的题目。

一、典例探究类型1、只含()f x 型例1、定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，且对任意x R ∈都有1()2f x '<，则不等式221()2x f x +>的解集为（）.A.(1,2)B.(0,1)C.(1,)+∞D.(1,1)-答案：D.说明：利用[()]()f x kx b f x k ''++=+，构造函数()()g x f x kx b =++，利用导数，判断函数()g x 的单调性，在利用单调性比较函数值的大小，解抽象函数的不等式.类型2、含()()f x f x λ'±（λ为常数）型例2、定义在R 上的函数()f x 满足()2()0f x f x '+>恒成立，且1(2)f e=，则不等式2()0x x e f x e ->的解集为_______________.答案：(2,)+∞.x λ变式：已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意x R ∈，均有()()f x f x '>，则有（）.A.20152015(2015)(0),(2015)(0)e f f f e f -<>B. 20152015(2015)(0),(2015)(0)e f f f e f -<<C. 20152015(2015)(0),(2015)(0)e f f f e f ->>D. 20152015(2015)(0),(2015)(0)e f f f e f -><答案：D.说明：由于0xe >所以[()][()()]x x ef x f x f x e ''=+，其符号由()()f x f x '+的符号确定； ()()()[]x xf x f x f x e e '-'=，其符号由()()f x f x '-的符号确定.含有()()f x f x '±类的问题可以考虑构造以上两个函数.类型3、含()()xf x nf x '±型例3、设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，且(2)0f -=.当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）.A.(,2)(0,2)-∞- B.(2,0)(2,)-+∞ C.(,2)(2,0)-∞-- D.(0,2)(2,)+∞说明：由于2()()()[()]()(),[]f x xf x f x xf x f x xf x x x'-'''=+=，在含有()()xf x f x '±类的问题中，可以考虑构造以上函数. 变式：设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x x f x x '+>.下面的不等式在R 上恒成立的是（）.A.()0f x >B. ()0f x <C. ()f x x >D. ()f x x <答案：A.说明：对于()()0(0)xf x nf x x '->≠型，构造函数()()n f x F x x =，则1()()()n xf x nf x F x x +'-'=，需要注意对1n x +的符号进行讨论.特别地，当1n =时，()()0xf x f x '->，构造()()f x F x x =，那么2()()()0xf x f x F x x '-'=>. 类型4、含()()tan f x f x x '±型例4、已知函数()f x 的导函数为()f x '，当(0,)2x π∈时，()sin2()(1cos2)f x x f x x '<+成立，下列不等式一定成立的是（）.()()43ππ<()()43ππ>()()46ππ<()()46ππ>说明：由于当(0,)2x π∈时，[sin ()]cos ()sin ()x f x x f x x f x ''=+，其符号与()()tan f x f x x '+相同，2()()sin ()cos []sin sin f x f x x f x x x x'-'=，其符号与()tan ()f x x f x '-相同.在含有()()tan f x f x x '±的问题中，可以考虑构造函数()()()sin ,()cos ,,sin cos f x f x f x x f x x x x . 类型5、利用单调性构造函数例5、已知函数21()ln ,()2f x xg x x ==，若120x x >>，试问：(,1)m m Z m ∈≤取何值时，总有 121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立.答案：1m =.二、课后巩固1、已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(1)0f -=.当0x >时，2(1)()2()0x f x xf x '+-<，则不等式()0f x >的解集为_____________.2、已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为_____________.答案：(0,)+∞.3、已知偶函数()f x 是定义在{|0}x R x ∈≠上的可导函数，其导函数为()f x '.当0x <时，()()f x f x x '>恒成立.设1m >，记4(1)4,2(2(1)()11mf m m a b c m f m m +===+++，则,,a b c 的大小关系为（）. A.a b c << B.a b c >> C.b a c << D.b a c >>答案：A.。

2025高考数学二轮复习导数应用中的函数构造技巧

函数形式出现的是“-”法形式时,优先考虑构造 y=型函数.
(2)利用f(x)与ex(enx)构造
() ()

常用的构造形式有 e f(x),e f(x), e , e ,这类形式一方面是对 y=uv,y=型函
x
nx
数形式的考查,另外一方面也是对(ex)'=ex,(enx)'=nenx 的考查.所以对于
f'(x)cos x-f(x)sin x>0,所以 F'(x)>0,即函数
由于
f
π
6
f
π
6
π
0<6
<
π
4
π
π
cos6<f 4
<
3
π
3
3
<
π
3
<
π
,所以
2
π
π
cos4<f 3
π
F(x)在区间(0,2)
π
4
<F
π
cos3,因此可得
π
6
,故选 AD.
F
π
6
<F
f
π
x∈(0,2)时,
π
3
<
内单调递增.
,即
锐角三角形,则( D )
A.f(sin A)sin2B>f(sin B)sin2A
B.f(sin A)sin2B<f(sin B)sin2A
C.f(cos A)sin2B>f(sin B)cos2A
D.f(cos A)sin2B<f(sin B)cos2A
解析因为
() '
2

高中数学专题03含导函数的抽象函数的构造

培优点三含导函数的抽象函数的构造1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =-例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（） A ．()1,1- B ．()1-+∞， C ．()1-∞-， D ．()-∞+∞，【答案】B2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造()()f x h x x=例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立，()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】D3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造()()e xf x h x =例3：已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（） A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f > B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f < C ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f > D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f < 【答案】D4．()f x 与sin x ，cos x 构造例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则（）A ．()024f π⎛⎫> ⎪⎝⎭ B ．()03f fπ⎛⎫<2- ⎪⎝⎭ C 234f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．234f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D一、选择题对点增分集训1．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（） A ．()()af b bf a 或 D ．}{1x x |>【答案】D3．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数，且()()()10f x x f x '+->，则（） A ．()10f = B ．()0f x < C ．()0f x > D ．()()10x f x -<【答案】C4．设函数()f x '是函数()()R f x x ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()()4f x f x ''=-，()40f =，()21f =则使得()2e 0x f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．()2-+∞，B ．()0+∞，C ．()1+∞，D ．()4+∞，【答案】B5．已知函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()sin cos f x x f x x >'（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A ．ππ336f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 3ππ242f⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ππ3223f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 5π3π264f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()2018f x +为奇函数，则不等式()2018e 0x f x +<的解集为（）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1e ,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数()2f x +是偶函数，且当2x >时满足()()()2xf x f x f x ''>+，则（） A ．()()214f f ⎪⎝⎭ C ．()5042f f⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()()13f f < 【答案】A8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若1133a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()33b f =--，11lnln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <⎡⎤⎣⎦'，则（） A ．()()10f f C ．()()33e 0f f >D ．()()44e 0f f <【答案】C10．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，()00f =若对任意R x ∈，都有()()'1f x f x >+，则使得()e 1f x x +<成立的x 的取值范围为（）A ．(),1∞-B ．(),0∞-C ．()1,+∞-D ．0,+∞（）【答案】D11．已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，满足()0f x >且()()'0f x f x +<（()'f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（） A ．()()()1f a a f b >+B ．()()()1f b a f a >-C ．()()af a bf b >D ．()()af b bf a >【答案】C12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，不等式()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C13．设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)ef =．则(1)f 的值为________．【答案】1e14．已知,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭π，()1y f x =-为奇函数，()()'tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x>的解集为_________．【答案】0,2⎛⎫⎪⎝⎭π15．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足()27f =，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为__________．【答案】()20,e16．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞U 上的奇函数，且()10f =．若0x <时，()()'0xf x f x ->，则不等式()0f x >的解集为__________．【答案】()(),10,1-∞-U。

导数中的构造函数(最全精编)

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（一）利用)(x f 进行抽象函数构造4(-f 【解析】可以推出【例2】设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0)1(=f ，当0<x 时，有0)()('>-x f x xf 恒成立，则不等式0)(>x f 的解集为________________微信公众号有更多精彩分享，欢迎您关注！【例3】已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数为)('x f ，且满足0)1(=-f ，当0>x 时，)()(2'x xf x f >，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是___________微信公众号有更多精彩分享，欢迎您关注！【例且(f('xF微信公众号有更多精彩分享，欢迎您关注！（2）利用)(x f 与x e 构造；)(x f 与x e 构造，一方面是对v u v u ,⋅函数形式的考察，另外一方面是对x x e e =)(的考察.所以对于)()('x f x f ±类型，我们可以等同x x f x xf )(),(的类型处理，“+”法优先考虑构造x e x f x F ⋅=)()(，“-”法优先考虑构造x e x f x F )()(=.【解析】构造我们根据得出的结论去解决例6题.微信公众号有更多精彩分享，欢迎您关注！【例6】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,0)(2)('=>-f x f x f ，则不等式x e x f 2)(>的解集为___________【解析】构造则不等式(1)[x -【解析】构造微信公众号有更多精彩分享，欢迎您关注！（3）利用)(x f 与x x cos ,sin 构造.x x cos ,sin 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.【解析】构造【变式提升】定义在)2,0(π上的函数，函数)('x f 是它的导函数，且恒有微信公众号有更多精彩分享，欢迎您关注！x x f x f tan )()('<成立，则（）A、)3(24(3ππf f >B、1sin 6(2)1(πf f <C、)4()6(2ππf f >D、)3()6(3ππf f <【解析】构造【变式提升】【例10】等比数列}{n a 中，21=a ，48=a ，函数))...()(()(821a x a x a x x x f ---=，则=)0('f （）A 、62B 、92C 、122D 、152微信公众号有更多精彩分享，欢迎您关注！('x fa c -1【变式提升】的最小值为______________x x f 2sin )('<，且R x ∈∀，有x x f x f 2sin 2)()(=+-，则以下大小关系一定正确的是（）A、)34()65(ππf f <B、)()4(ππf f <C、34(65(ππ-<-f f D、)(4(ππ->-f f微信公众号有更多精彩分享，欢迎您关注！构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力，是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。

专题26 构造函数法解决导数问题(解析版)

专题26 构造函数法解决导数问题一、多选题 1．函数()ln 1xx kf x e x+=--在()0,∞+上有唯一零点0x ，则（） A ．001x x e=B ．0112x <<C ．1k =D ．1k >【答案】ABC 【分析】由()0f x =，可得出()ln xxk xe xe=-，令()xu x xe =，0x >，利用导数得出函数()u x 在()0,∞+上为增函数，再令()ln g t t t =-，其中0t >，利用导数分析函数()g t 在()0,∞+上的单调性，可求得1k =，可判断ACD 选项的正误，再结合函数()u x 的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】由()0f x =，可得()ln 0xxe x x k -+-=，即()ln xxk xe xe=-，令()xu x xe =，其中0x >，则()()10xu x x e '=+>，所以，函数()xu x xe =在区间()0,∞+上单调递增，则()()00u x u >=，令()ln g t t t =-，其中0t >，()111t g t t t'-=-=. 当01t <<时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减；当1t >时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增. 所以，()()min 11g t g ==.若函数()f x 在()0,∞+上有唯一零点0x ，则1k =. 所以，()0001x u x x e==，由于函数()u x 在()0,∞+上单调递增，1122u ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()11u e =>，即()()0112u u x u ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0112x ∴<<，所以，ABC 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一.2．已知函数()y f x =在R 上可导且()01f =，其导函数()f x '满足[](1)()()0x f x f x '+->，对于函数()()x f x g x e=，下列结论正确的是（） A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数 B ．1x =-是函数()g x 的极小值点 C ．函数()g x 必有2个零点 D ．2()(2)e e f e e f >【答案】BD 【分析】对函数()g x 求导，求出单调区间和极值，可判断选项A ，B ；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C ；利用()g x 在()1,-+∞上为增函数，比较()2g 与()g e 的大小关系，判断出选项D ．【详解】函数()()x f x g x e =，则()()()xf x f xg x e '-'=，当1x >-时，()()0f x f x '->，故()g x 在()1,-+∞上为增函数，A 错误；当1x <-时，()()0f x f x '-<，故()g x 在(),1-∞-单调递减，故1x =-是函数g (x )的极小值点，B 正确；若()10g -<，则()y g x =有两个零点，若()10g -=，则()y g x =有一个零点，若()10g ->，则()y g x =没有零点，故C 错误；()g x 在()1,-+∞上为增函数，则()()2g g e <，即()()22ef f e e e<，化简得2()(2)ee f e e f >，D 正确；故选：BD 【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．3．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B C ．2e D【答案】BCD 【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可．【详解】解：令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即012x ，()x g x e a =-；1()2x， 0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '=-， ∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g ee ⎛-=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，只需使102g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得ea，a ∴的取值范围为2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题．4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+D ．(2)1(1)42f f +<【答案】BD 【分析】先设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，对函数求导，根据题中条件，分别判断设()g x 和()h x 的单调性，进而可得出结果. 【详解】设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x '-'=. 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()12g g >，()()12h h <，即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<.【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.5．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫=⎪⎝⎭，则（） A ．1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在1=x e处取得极大值 C ．()011f << D ．()f x 在()0,∞+单调递增【答案】ACD 【分析】根据题意可设()21ln 2f x x x bx =+，根据11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭求b ，再求()f x '判断单调性求极值即可. 【详解】∵函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=即满足()()2'ln xf x f x xx x-=∵()()()2'f x xf x f x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭∵()ln f x xx x '⎛⎫=⎪⎝⎭∵可设()21ln 2f x x b x =+（b 为常数） ∵()21ln 2f x x x bx =+ ∵211111ln 2b f e e e e e ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，解得12b = ∵()211ln 22f x x x x =+ ∵()112f =，满足()011f <<∵()()22111ln ln =ln 10222f x x x x '=+++≥，且仅有1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵B 错误，A 、D 正确故选：ACD 【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.6．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-. 【答案】ABD 【分析】令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，得到A 正确；设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，根据隔离直线定义可得不等式组22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立；分别在0k =和k 0<两种情况下讨论b 满足的条件，进而求得,k b 的范围，得到B 正确，C 错误；根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为y kx e =-；分别讨论0k =、k 0<和0k >时，是否满足()()e 0f x kx x ≥->恒成立，从而确定k =再令()()e G x h x =--，利用导数可证得()0G x ≥恒成立，由此可确定隔离直线，则D 正确.对于A ，()()()21m x f x g x x x=-=-，()212m x x x '∴=+，()3321221m x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x ''>，()m x '∴单调递增， ()2233220m x m ⎛'∴>=+=-+= ⎝，()m x ∴在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，A 正确；对于,B C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx b x⎧≥+⎪⎨≤+⎪⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立.由210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立得：0k ≤. ∵若0k =，则有0b =符合题意；∵若k 0<则有20x kx b --≥对任意(),0x ∈-∞恒成立，2y x kx b =--的对称轴为02kx =<，2140k b ∆+∴=≤，0b ∴≤；又21y kx bx =+-的对称轴为02b x k=-≤，2240b k ∴∆=+≤；即2244k b b k⎧≤-⎨≤-⎩，421664k b k ∴≤≤-，40k ∴-≤<；同理可得：421664b k b ≤≤-，40b ∴-≤<；综上所述：40k -≤≤，40b -≤≤，B 正确，C 错误；对于D ，函数()f x 和()h x的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(y e k x -=，即y kx e =-，则()()e 0f x kx x ≥->恒成立，若0k =，则()2e 00x x -≥>不恒成立.若k 0<，令()()20u x x kx e x =-+>，对称轴为02kx =< ()2u x x kx e ∴=-+在(上单调递增，又0ue e =-=，故k 0<时，()()e 0f x kx x ≥->不恒成立.若0k >，()u x 对称轴为02kx =>，若()0u x ≥恒成立，则()(22340k e k ∆=-=-≤，解得：k =.此时直线方程为：y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()()2ln G x e h x e e x =--=--，则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()min 0G x G==，()()0G x e h x ∴=--≥，即()h x e ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线y e =-，D 正确.故选：ABD . 【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题. 7．已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则( )A．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【分析】根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对其求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 为减函数，结合选项分析可得答案．【详解】解：根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其导数2()cos sin ()()f x x x f x g x cos x '+'=，又由(0,)2x π∈，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<，则有()0g x '<，即函数()g x 为减函数，又由63ππ<，则有()()63g g ππ>，即()()63cos cos 63f f ππππ>，分析可得()()63f ππ；又由64ππ<，则有()()64g g ππ>，即()()64cos cos 64f f ππππ>()()64ππ>．故选：CD ．【点睛】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数()()cos f x g x x=，并借助导数分析其单调性，属于中档题．二、单选题8．已知数列{}n a 满足11a =，()1ln 1n n a a +=+.若11n n a a λ++≥恒成立，则实数λ的最大值是（）(选项中e 为自然对数的底数，大约为2.71828)A ．21e -B ．2e 1- CD ．e【答案】D 【分析】先由已知判断出1n n a a +≤，再根据11n n a a λ++≥得到11ln(11)n n a a λ++≤++，构造函数()ln tf t t=，利用单调性求出最小值大于0，从而得到答案. 【详解】由()1ln 1n n a a +=+得()111ln 1n n n n a a a a +++-=-+，设()ln(1),1f x x x x =-+>-，()1xf x x '=+，()f x 在(1,0)-单调递减，在(0,+∞）单调递增，故min ()(0)0f x f ==，则10n n a a +->，所以1n n a a +≤， 1n a ≥，由11n n a a λ++≥得111ln(1)n n a a λ++++≥易得11ln(11)n n a a λ++≤++，记110n t a ++=>，所以111ln(1ln )n n a t a t ++=++，记()ln t f t t=，()2ln 1()ln t f t t -'=，当ln 10t ->即()0f t '>得t e >时()f t 单调递增，当ln 10t -<即()0f t '<得0t e <<时()f t 单调递减，所以min ()()f t f e e ==，得e λ≤，故选：D. 【点睛】本题考查了数列和导数的综合应用，考查学生的推理能力，计算能力，构造函数解题是关键.9．已知函数[](),1,2,xae f x x x=∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 【答案】A 【分析】根据条件变形可知()()F x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，转化()0F x '≤恒成立，即可求解. 【详解】不妨设()()121212,1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减，所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，()()2110,x ae x F x x--≤'=当1x =时，,a R ∈当(]1,2x ∈时，()()21xx a g x e x ≤=-，而()()()222201x x x x g x e x -'-+=<-，所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2min 42g x g e==，所以24,a e ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题中[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，可转化为函数()()F x f x x =-递减是解题的关键，突破此点后，利用导数()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，分离参数就可求解.10．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（） A ．(]0,1 B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞【答案】D 【分析】根据条件()()12122f x f x x x ->-可变形为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，构造函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-，利用其为增函数即可求解. 【详解】根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数，所以()()'200,0ag x x x a x=+-≥>>恒成立，分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1，故1a ≥. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题由条件()()12122f x f x x x ->-恒成立，转化为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-恒成立是解题的关键，再根据此式知函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题.11．已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且0x >时()()20xf x f x '+>，又()10f -=，则()0f x <的解集为（） A ．()(),11,-∞-+∞ B ．()()1,00,1-C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】D 【分析】根据题意，构造新函数()()2g x x f x =⋅，0x >，通过导数研究函数单调性得出()g x 在()0,∞+上单调递增，再根据函数的奇偶性的定义得出()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，最后由()10f -=，得出()10g -=，所以()10g =，从而可求出()0g x <的解集，即()0f x <的解集. 【详解】解：由题可知，当0x >时()()20xf x f x '+>，令()()2g x x f x =⋅，0x >，则()()()()()2220g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+>⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，则()()f x f x -=-，所以()()()()()22g x x f x x f x g x -=-⋅-=-⋅=-，得()g x 也是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，所以()g x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，又()10f -=，则()()()21110g f -=-⋅-=，所以()10g =，所以可知()0g x <时，解得：1x <-或01x <<，则()0f x <，即()()20g x f x x=<，即()0g x <，所以()0g x <的解集为：()(),10,1-∞-⋃，即()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选∵D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的导数的应用，考查利用函数的单调性解不等式和函数的奇偶性的应用，通过构造新函数()()2g x x f x =⋅，0x >是解题的关键.12．已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A ()()34f ππ--D ．()()63f ππ<【答案】D 【解析】试题分析：令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以()3()63f f ππ<,故应选D.考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.13．已知奇函数() f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0xf x f x '+>，若()()11,,1a f b ef e c f ee ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．a b c <，所以()g x 单调递增，因为11e e>>，所以()()11g e g g e ⎛⎫>> ⎪⎝⎭即()()111ef e f f e e ⎛⎫>>⎪⎝⎭，又() f x 为奇函数，所以()()ef e ef e --=，所以b c a >>. 故选：C. 【点睛】解决本题的关键是构造合理的新函数，利用导数确定函数的单调性即可得解.14．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（） A ．()0+∞， B ．()2019+∞， C ．()0-∞，D ．()()02019-∞+∞，，【答案】C 【分析】根据条件构造函数()()2xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦，分析()g x 的单调性并计算()g 0的值，将()22019x xe f x e >+转化为()2019g x >，由此求解出不等式的解集. 【详解】设()()2xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦，所以()()()2xg x e f x f x ''=+-⎡⎤⎣⎦，因为()()'2f x f x +<，所以()()()20xg x e f x f x ''=+-<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在R 上单调递减，且()()()01022019g f =⨯-=，又因为()22019xxe f x e >+等价于()2019g x >，所以解集为(),0-∞，故选：C. 【点睛】本题考查根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的抽象函数，难度较难.常见的构造方法：（1）若出现()()f x f x '+形式，可考虑构造()()xg x e f x =；（2）若出现()()f x f x '-，可考虑构造()()x f x g x e=；（3）若出现()()f x xf x +'，可考虑构造()()g x xf x =；（4）若出现()()f x xf x '-，可考虑构造()()f x g x x=. 15．若曲线21:C y x =与曲线2:(0)x e C y a a=>存在公切线，则实数a 的取值范围（）A ．(0,1)B ．21,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,24e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到22m n =-，则144nn e a-=有解．再利用导数进一步求得a 的取值范围．【详解】2yx 在点2(,)m m 的切线斜率为2m ，(0)xe y a a=>在点1(,)n n e a 的切线斜率为1n e a ，如果两个曲线存在公共切线，那么：12nm e a=．又由斜率公式得到，212nm e a m m n-=-，由此得到22m n =-，则144nn e a-=有解，由44y x =-，1xy e a=的图象有公共点即可．当直线44y x =-与曲线1xy e a=相切时，设切点为(,)s t ，则 14s e a =，且144s t s e a=-=，可得4,2t s == 即有切点(2,4)，24e a =，故a 的取值范围是：24ea ．故选:D . 【点睛】本题利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题．16．丹麦数学家琴生(Jensen )是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”.已知()2ln x f x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，则实数p 的取值范围是（）A ．1,22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,e -+∞C ．41,28e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),e +∞【答案】C 【分析】求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可．【详解】()2ln x f x e x x px =--， ()ln 12x f x e x px '∴=---，()12x f x e p x''∴=--，()2ln x f x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，()120x f x e p x ''∴=--<在()1,4上恒成立，即12xp e x >-在()1,4上恒成立，令()1xg x e x=-，()1,4x ∈，()210x g x e x '∴=+>， ()1x g x e x∴=-在()1,4上单调递增，()()4144g x g e ∴<=-，4124p e ∴≥-，即41,28e p ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C . 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．17．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数.若()()1f x f x '-<，且()01f =，则不等式()12xf x e +≥的解集为（）A ．(],0-∞B ．[)1,-+∞C ．[)0,+∞D ．(],1-∞-【答案】A 【分析】本题为含导函数的抽象函数的构造问题，由()()1f x f x '-<联想到构造()()1xf x F x e+=，对其求导，从而判断出该函数的单调性.又由()01f =得出()02F =，不等式()12xf x e +≥等价于()12xf x e+≥，将其转化为()()0F x F ≥，利用单调性就可得出不等式的解集. 【详解】设()()1x f x F x e +=，则()()()1xf x f x F x e'--'=. ∵()()1f x f x '-<，∵()0F x '<，即函数()F x 在定义域R 上单调递减.∵()01f =，∵()02F =， ∵不等式()12xf x e +≥等价于()12xf x e+≥，即()()0F x F ≥，解得0x ≤. 故不等式的解集为(],0-∞. 故选A. 【点睛】本题考查了含导函数的抽象函数的构造问题，常见的构造法如下：（1）关系式为“加”型，常构造为乘法∵()()0f x f x '+≥，构造()()x F x e f x =，()()()[]xF x e f x f x ''=+，∵()()0xf x f x '+≥，构造()()F x xf x =，()()()F x xf x f x ''=+， ∵()()0xf x nf x '+≥，构造()()nF x x f x =，()()()1[]n F x xxf x nf x -''=+；（2）关系式为“减”型，常构造为除法 ∵()()0f x f x '-≥，构造()()x f x F x e =，()()()x f x f x F x e '-'=， ∵()()0xf x f x '-≥，构造()()f x F x x =，()()()2xf x f x F x x '-'=， ∵()()0xf x nf x '-≥，构造()()n f x F x x =，()()()1n xf x nf x F x x+'-'=. 18．函数()y f x =，x ∈R ，()12021f =，对任意的x ∈R ，都有()2'30f x x ->成立，则不等式()32020f x x <+的解集为（）A ．(),1-∞-B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】D 【分析】结合已知条件分析，需要构造函数()()3h x f x x =-,通过条件可得到''2()()30h x f x x =->,()h x 在R 上为增函数，利用单调性比较，即可得出答案．【详解】设()()3h x f x x =-，则()()''230h x fx x =->，∵()h x 在R 上为增函数，3(1)(1)12020h f =-=，而33()2020()(1)f x x f x x h <+⇔-<，即()()1h x h <，∵1x <.故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用之解抽象不等式，构造函数是解决本题的关键，运用导函数提出所构造函数的单调性，属于较难题.19．已知函数()(1)f x lnx a x =-+，若不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为（） A ．(-∞，0] B ．(-∞，1] C ．[0，)+∞ D ．[1，)+∞【答案】C 【分析】由已知条件可得2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，结合一次函数的单调性，可得1b lnx x ≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，求得导数和单调性，可得()h x 的最大值，进而得到b 的范围．【详解】解：不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，即2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，因为2()0x x -+<，所以()g a 在[0，)+∞上递减，所以()(0)1max g a g lnx x ==+-，所以问题转化为1b lnx x ≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，则'1()1h x x=-，由'()0h x >，可得01x <<；'()0h x <，可得1x >．所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减．所以()max h x h =（1）0=，所以0b ≥．故选：C ．【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意构造法的运用，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∵x ∵R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（） A ．{x |x ≠±1} B ．(－1，0)∵(0，1) C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∵(1，＋∞)【答案】D 【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围．【详解】解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，故选：D ．【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．21．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭的解集是（） A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【分析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项. 【详解】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数，由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续. ∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∵()()sin 0F x f x x ''=+>，故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∵()F x 在R 上单调递增， ∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭， ∵()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2F x F x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∵2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ．【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.22．设()'f x 是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有[]()()()0x f x f x f x '-+>，且(1)2020f e =，则不等式()20200xxf x e -≥的解集为（） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞C ．(0，2020]D ．(1，2020]【答案】A 【分析】构造函数()()xxf x g x e=，利用导数可得()g x 为单调递增函数，将原不等式化为()(1)g x g ≥，根据单调性可解得结果. 【详解】构造()()xxf x g x e =，则[]()2()()()()x xxxf x f x e xf x e g x e '+-'=[]()()()xxf x f x xf x e '+-=[]()()()xx f x f x f x e '-+=0>，所以()g x 为单调递增函数，又(1)(1)2020f g e ==，所以不等式()20200x xf x e -≥等价于()2020x xf x e≥等价于()(1)g x g ≥，所以1≥x ，故原不等式的解集为[1,)+∞，故选：A ．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数得到函数的单调性，考查了利用单调性解不等式，考查了转化化归思想，属于中档题.23．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（） A ．()()10f ef >，()()202020200f ef ，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <- D ．()()10f ef >，()()202020200f ef >【答案】C 【分析】构造新函数()()x f x g x e=，求导后易证得()g x 在R 上单调递减，从而有(1)(0)g g <，(2020)(0)g g <，(1)(1)g g <-，故而得解．【详解】设()()x f x g x e=，则()()()xf x f xg x e''-=， ()()f x f x '<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，∴(1)(0)g g <，即0(1)(0)f f e e<，即(1)e (0)f f <，故选项A 不正确；(2020)(0)g g <，即20200(2020)(0)f f e e<，即2020(2020)(0)f e f <，故选项D 不正确；(1)(1)g g <-，即1(1)(1)f f e e--<，即2(1)(1)f e f <-．故选项B 不正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．24．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x R ∀∈均有()()()'f x xf x xf x +>成立，且()22=f e ，则不等式()2xxf x e >的解集是（）A．(),e -∞ B ．(),e +∞ C ．(),2-∞D ．2,【答案】D 【分析】先构造函数()()xxf x g x e=，再利用导数研究函数单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】原不等式等价于()2x xf x e >，令()()xxf x g x e=，则()()()()0xf x xf x xf xg x e'+-'=>恒成立，()g x ∴在R 上是增函数，又()22f e =，()22g ∴=，∴原不等式为()()2g x g >，解得2x >，故选D . 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.25．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+的解集为（）A ．{}2018x x <-B ．{}20202018x x -<<- C ．{}2018x x >- D ．{}20200x x -<<【答案】B 【分析】构造新函数()()2g x x f x =，求导后可证明()g x 在()0,∞+上单调递增，而不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+可等价于()()20202+<g x g ，故2020020202x x +>⎧⎨+<⎩，解之即可.【详解】令()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦， ∵定义域为()0,∞+，且()()20xf x f x '+>，()0g x '∴>，()g x 在()0,∞+上单调递增，不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+等价于()()20202+<g x g ，2020020202x x +>⎧∴⎨+<⎩，解得20202018-<<-x 故选：B 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.26．已知函数f (x )的定义域为R ，f (-1)=3，对任意x ∵R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x +6的解集为（） A ．(-1，+∞) B ．(-1，1)C ．(-∞，-1)D ．(-∞，+∞)【答案】A 【分析】首先设函数()()36g x f x x =--，再利用导数判断函数的单调性，利用单调性和函数的零点解不等式. 【详解】设函数()()36g x f x x =--，()()3g x f x ''=-，()3f x '>，()0g x '∴>，∴函数()g x 是单调递增函数，且()()()113160g f -=--⨯--=，1x ∴>-，()36f x x ∴>+的解集是()1,-+∞.故选：A 【点睛】本题考查导数与函数的单调性，解抽象不等式，重点考查构造函数，推理能力，属于基础题型. 27．奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ4（，） B ．ππππ44（，）（，）-⋃ C ．ππ0044-⋃（，）（，）D ．ππ0π44-⋃（，）（，）【答案】D 【解析】令()()sin f x F x x =，则2()sin ()cos ()0sin f x x f x x F x x-''=<，函数()()sin f x F x x =是定义域当(0,)π内的单调递减函数，由于关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()()4sin sin 4f f x x ππ<，即()()4F x F π<，则4x ππ>>；而当0x π-<<时，0x π<-<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫<⎪⎝⎭可化为()()4sin sin 4f f x x ππ<，即()()4sin()sin 4f f x x ππ-<-，也即()()4F x F π-<可得4x π>-，即04x π-<<．所以原不等式的解集(,0)(,)44πππ-，应选答案D ．点睛：解答本题的关键在于如何将不等式进行等价转化，这不仅需要有一定的知识作支撑，同时还要具有较高思维能力和观察能力．求解时，先通过观察构造函数()()sin f x F x x=，再对其进行求导，运用题设确定其单调递减，然后将原不等式进行等价转化，从而使得问题巧妙获解．28．若对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，122112x x x e x e a x x -<-恒成立，则a 的最小值为（） A ．23e-B ．22e-C ．21e-D ．1e- 【答案】A 【分析】将不等式122112x x x e x e a x x -<-转化为121122x x e a e a x x x x +>+，构造函数()x e af x x x=+，只需使()f x 在[)2,0-上递减，则()()210x e x a f x x--'=≤在[)2,0-恒成立，只需()1xe x a -≤恒成立，然后求解a 的取值范围. 【详解】因为12x x <，所以120x x -<，则122112x x x e x e a x x -<-可化为()122112x x x e x e a x x ->-，整理得122211x x x e ax x e ax +>+，因为120x x >，所以121122x x e a e a x x x x +>+，令()x e af x x x=+，则函数()f x 在[)2,0-上递减，则()()210x e x af x x--'=≤在[)2,0-上恒成立，所以()1xex a -≤在[)2,0-上恒成立，令()()1xg x e x =-，则()()10x x x g x e x e xe '=-+=<在[)2,0-上恒成立，则()()1xg x ex =-在[)2,0-上递减，所以()()232g x g e ≤-=-，故只需满足：23a e ≥-. 故选：A. 【点睛】本题考查导数与不等式问题，考查构造函数，根据函数的单调性求参数的取值范围，难度较大. 解答时，针对原式进行等价变形是关键.29．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数记为()f x '，当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，若()20f =，则不等式()01f x x >-的解集为（） A ．()()2,01,2-B ．()()2,00,1-⋃C ．()()1,2,2⋃-∞-D ．()()2,02,-+∞【答案】A 【分析】构造函数()()f x h x x=，则根据题目条件可知()0h x '<在()0,∞+上成立，则()h x 在()0,∞+上单调递减，又可证得()()f x h x x=为偶函数，所以()h x 在(),0-∞递增. 根据()20f =可得，当20x -<<或2x >时，()0f x <；当2x <-或02x <<时，()0f x >，利用不等式()01f x x >-等价于()100x f x ->⎧⎨>⎩或()100x f x -<⎧⎨<⎩求解. 【详解】设()()f x h x x =，则()()2()xf x f x h x x'-'=， ∵当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，即()()0xf x f x '-<，∵()0h x '<，即()h x 在()0,∞+上单调递减. 又函数()f x 是奇函数，∵()()()()()f x f x f x h x h x x x x---====--， ∵函数()h x 为偶函数，()h x 在(),0-∞上单调递增. ∵()20f =，∵()()()22202f h h -===. ∵当20x -<<或2x >时，()0f x <；当2x <-或02x <<时，()0f x >.不等式()01f x x >-等价于()100x f x ->⎧⎨>⎩或()100x f x -<⎧⎨<⎩， ∵12x <<或20x -<<. ∵不等式的解集为()()2,01,2-.故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查根据函数的奇偶性与单调性的综合求解不等式问题，难度一般,解答时，构造新函数是解题的关键.30．已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（）A ．(),0-∞B ．(),1-∞-C ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围. 【详解】()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->，则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <，由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，∵ 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞. 由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，∵联立∵∵得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--，令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用三次函数的零点个数求代数式的取值范围，将代数式转化为函数是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于难题.31．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（） A ．(3)2(2)2ef f e +<+ B ．(3)2(2)2ef f e +>+ C ．(3)2(2)2f e ef +<+ D ．(3)2(2)2f e ef +>+【答案】A 【分析】设()()2xxF x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '+<可得()F x 在R 上单调递减，根据(2)(3)F F >可得结果. 【详解】设()()2x xF x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x xF x e f x e f x e ef x f x '''=+-=+-，因为()()2f x f x '+<，所以()()()20F x e f x f x ''⎡⎤=+-<⎣⎦，所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2233(2)2(3)2e f e e f e ->-，故(3)2(2)2ef f e +<+．故选：A. 【点睛】本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 32．已知函数()3x f x e ax =+-，其中a R ∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()21x f x ()()1212x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,2]-∞。

第8讲抽象函数7种导函数构造(解析版)

第8讲抽象函数7种导函数构造【知识点梳理】类型一导数和差，构造和差型函数：()[()]f x c f x cx ''+=+；()()[()()]f x g x f x g x '''+=+；()()[()()]f x g x f x g x '''-=-；和与积联系，构造乘积型函数；差与商联系，构造分式型函数： ()()()()[()()]f x g x f x g x f x g x '''+=；2()()()()()[]()()f xg x f x g x f x g x g x ''-'=．类型二幂函数及其抽象构造定理1 ()()0[()]0xf x f x xf x ''+>⇔>；()()()0[]0f x xf x f x x''->⇔> 证明：因为()()[()]xf x f x xf x ''+=；2()()()[]xf x f x f x x x'-'=，所以()()0xf x f x '+>，则函数()y xf x =单调递增；()()0xf x f x '->，则()f x y x=单调递增．定理2 当0x >时，()()0[()]0n xf x nf x x f x ''+>⇔>；()()()0[]0n f x xf x nf x x''->⇔> 证明因为1()()[()]nn nx f x nxf x x f x -''+=；12()()()[]n n n nx f x nx f x f x x x -'-'=，所以()()0xf x nf x '+>，则函数()n y x f x =单调递增；()()0xf x nf x '->，则()nf x y x =单调递减．类型三指数函数与抽象构造定理3 ()()0[()]0x f x f x e f x ''+>⇔>；()()0[()]0x f x f x e f x ''+<⇔<()()()0[]0x f x f x f x e ''->⇔>；()()()0[]0xf x f x f x e''-<⇔< 证明：因为[]()()+()x xf x e e f x f x ''=⎡⎤⎣⎦，()()()[]xx f x f x ef x e '-'=，所以()()0f x f x '+>，则()x y f x e =单调递增；反之()x y f x e =单调递减；()()0f x f x '->，则()xf x y e =单调递增；反之()x f x y e=单调递减．定理4 ()()[(())]0x f x f x a e f x a ''+>⇔->；(())()()[]0xf x a f x f x a e+''->⇔>．证明：因为[(())]()()x xe f x a f x f x a e '-'+-=；2(())()()[]x xf x a f x f x a e e +''--=，所以()()f x f x a '+>，则(())x y e f x a =-单调递增；()()f x f x a '+<，(())x y e f x a =-单调递减；若()()f x f x a '->，则()xf x a y e +=单调递增，若()()f x f x a '-<，则()xf x a y e +=单调递减．定理5 正弦同号，余弦反号定理()sin ()cos 0[()sin ]0f x x f x x f x x ''+>⇔>，当()22x ππ∈-，，()tan ()0[()sin ]0f x x f x f x x ''+>⇔>； ()()sin ()cos 0[]0sin f x f x x f x x x ''->⇔>，当()22x ππ∈-，，()()tan ()0[]0sin f x f x x f x x''->⇔>；cos ()()sin 0[()cos ]0xf x f x x f x x ''->⇔>，当(,)22x ππ∈-，()()tan 0[()cos ]0f x f x x f x x ''->⇔>；()()cos ()sin 0[]0cos f x f x x f x x x ''+>⇔>，当()22x ππ∈-，，()()()tan 0[]0cos f x f x f x x x''+>⇔>．遇正切时化切为弦，请自己证明相关结论．【典例例题】题型一：具体函数抽象化解不等式【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知()2cos ,R f x x x x =+∈，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．()20,,03⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数()y f x =为偶函数，利用导数知函数()y f x =在区间[)0,∞+上为增函数，由偶函数的性质将不等式()()1120f t f t ---≥变形为()()112f t f t -≥-，利用单调性得出112t t -≥-，从而可解出实数t 的取值范围. 【详解】解：函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x =+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t -≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B. 【题型专练】1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数()ln e xxf x x =-，设()3log 2a f =，()0.2log 0.5b f =，()ln 4c f =，则a ，b ，c 的大小为（） A ．c a b >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】【分析】利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a ，b ，c 的大小即可. 【详解】解：因为()ln ex x f x x =-，则,()0x ∈+∞，所以()2211e 11e e e ()4e 2x x x x x xf x x x x x x x +--+-'==-=- 又,()0x ∈+∞时，21111,()24e 4xx >--≥-，所以()0f x '>恒成立所以()ln e xxf x x =-在,()0x ∈+∞上单调递增；又30log 21<<，0.215351log 0.5log log 2log 22==<，ln 41> 所以30.2ln 4log 2log 0.5>>，则c a b >>. 故选：A.2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设()2sin f x x x =+，若()()20221120210f x f x ++-≥，则x 的取值范围是___________. 【答案】2x ≥- 【解析】【分析】奇偶性定义判断()f x 奇偶性，利用导数研究()f x 的单调性，再应用奇偶、单调性求x 的范围. 【详解】由()2sin (2sin )()f x x x x x f x -=--=-+=-且R x ∈，易知：()f x 为奇函数，所以(20221)(20211)f x f x +≥-，又()2cos 0f x x =+>'，故()f x 在R x ∈上递增，所以2022120211x x +≥-，可得2x ≥-. 故答案为：2x ≥-题型二：构造幂函数型解不等式【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()202220221f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（） A ．（0，2022） B ．（2022，+∞）C ．（2023，+∞）D ．（2022，2023）【答案】D 【解析】【分析】构造函数()g x ，使得()()2()0xf x f x g x x'-=<，然后根据函数()g x 的单调性解不等式即可. 【详解】由题设()()2()()()0xf x f x f x g x g x x x '-'=⇒=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，又()()()()()2022120222022120221f m f f m m f m -->-⇒>-，即(2022)(1)202212023g m g m m ->⇒-<⇒<，又函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以202202022m m ->⇒>，综上可得：20222023m <<.故选：D.【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数()()0f x x ≠的导函数是()f x '，且()20f -=，当0x >时，()()20xf x f x '-<，则不等式()0f x <的解集为______．【答案】()()2,02,-+∞【解析】【分析】设()()2f xg x x =，利用导数求得()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，进而得到函数()g x 为奇函数，且()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，结合函数()g x 的单调性，即可求解. 【详解】设()()2f x g x x =，可得()()()32xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时，()()20xf x f x '-<，可得()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，又因为函数()f x 为奇函数，且()20f -=，可得()20f =，则满足()()()()22()f x f x g x g x x x --==-=--，所以函数()g x 也为奇函数，所以()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，且()()220g g -==，当0x >时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <，可得2x >；当0x <时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <-，可得20x -<<；所以不等式()0f x <的解集为()()2,02,-+∞.故答案为：()()2,02,-+∞.【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（）A ．()0,∞+B ．(]0,1C ．(],1-∞D ．()[),01,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()g x xf x x =-，由题意可知()g x 在R 上单调递增，再对x 分情况讨论，利用函数()g x 的单调性即可求出不等式的解集. 【详解】由2(1)(1)(1)x f x f x x +->-+，（1）当1x <时，可得2(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x f x x f x x x -+->--+-，即222(1)(1)(1)(1)x f x x f x x x -->--+-，即222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ---->----，构造函数()(),()()()10g x xf x x g x f x xf x ''=-=+->，所以函数()g x 单调递增，则211x x ->-，此时01x <<，即01x <<满足；（2）当1x >时，可得222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ----<----，由函数()g x 递增，则211x x -<-，此时0x <或1x >，即1x >满足；（3）当1x =时，2(0)(0)1f f >+，即(0)1f >满足()()1f x x f x '+⋅>. 综上，,()0x ∈+∞. 故选：A.【例4】已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()'f x ，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（）． A ．{|31}x x -<<- B ．1{|1}3x x -<<-C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >-故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 【例5】函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+的解集为A ．{}|2017x x >-B ．{}|2017x x <-C ．{}|20200x x -<<D ．{}|20202017x x -<<-【答案】D【解析】设函数()()()2,0g x x f x x =>，根据导数的运算和题设条件，求得函数()g x 在()0,∞+上为增函数，把不等式转化为22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，利用单调性，即可求解. 【详解】由题意，设函数()()()20g x x f x x =>，则()()()()()222()2g x x f x x f x x f x xf x ''''=⋅+⋅=+，因为()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，且满足()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数，又由(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+，即22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，所以020203x <+<，解得20202017x -<<-，即不等式的解集为{}|20202017x x -<<-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数()()()20g x x f x x =>是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.【题型专练】1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当0x >时，()()20xf x f x '+<.则（） A ．()()2e 24ef f > B ．()()931f f >C ．()()2e 39ef f -<D ．()()2e 39ef f ->【答案】D 【解析】【分析】由题构造函数()()2g x x f x =，利用导函数可得函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，且为偶函数，再利用函数的单调性即得. 【详解】设()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦，又当0x >时，()()20xf x f x '+<，∴()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，则函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，∴()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==，即g (x )为偶函数，所以()()e 2g g <，即()()2e 24e f f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()e 3g g >，即()()2e 39ef f >因为()f x 为偶函数，所以()()33f f -=，所以()()2e 39ef f ->，故C 错误，D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()2g x x f x =，结合条件可判断函数的单调性及奇偶性，即得.2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>且()122f =，则不等式()1f x x>的解集是______．【答案】()()2,02,-+∞【解析】【分析】根据已知条件构造函数()()g x xf x =并得出函数()g x 为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数()g x 的单调性进而可以即可求解. 【详解】设()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+ 因为()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以()g x 是()(),00,∞-+∞上的偶函数，当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，所以()g x 在(),0-∞上单调递减．因为()122f =，所以()()1222212g f ==⨯=，所以()()221g g -==．对于不等式()1f x x>，当0x >时，()1xf x >，即()()2g x g >，解得2x >；当0x <时，()1xf x <，即()()2g x g <-，解得20x -<<，所以不等式()1f x x>的解集是()()2,02,-+∞．故答案为：()()2,02,-+∞【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，根据函数的性质即可求解不等式的解集.3.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>则不等式()()()220192019420x f x f ++--<的解集为（）A ．()20192017--，B ．20211()209--， C ．()20192018--， D ．(2020,2019)--【答案】B 【解析】【分析】令()()2F x x f x =，确定()F x 在(,0)-∞上是减函数，不等式等价为()()201920F x F +--<，根据单调性解得答案. 【详解】由()()()22',0f x xf x x x +><，得()()232'xf x x f x x +<，即()23'0x f x x ⎡⎤⎣⎦<<，令()()2F x x f x =，则当0x <时，得()F'0x <，即()F x 在(,0)-∞上是减函数，()()()2201920192019f F x x x +∴+=+，()()242F f -=-，即不等式等价为()()201920F x F +--<，()F x 在(),0-∞是减函数，∴由()()20192F x F +<-得20192x +>-，即2021x >-，又20190x +<，解得2019x <-，故 20212019x -<<-. 故选:：B .【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数()()2F x x f x =，确定其单调性是解题的关键.4.已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，且0x >时，()()20f x f x x'+<，又()10f =，则()0f x >的解集为（）A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-D ．()()1,01,-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】令2()()g x x f x =，则()[()2()]g x x xf x f x ''=+，由题设易知0x >上()2()0xf x f x '+<，且()g x 在()(),00,-∞+∞上是奇函数，即()g x 在0x >、0x <都单调递减，同时可知(1)(1)0=-=g g ，利用单调性求()0>g x 的解集，即为()0f x >的解集. 【详解】令2()()g x x f x =，则2()()2()[()2()]g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+，由0x >时，()()20f x f x x'+<知：()2()0xf x f x '+<， ∴在0x >上，()0g x '<，()g x 单调递减，又()(),00,-∞+∞上()f x 为奇函数，∴22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，故()g x 也是奇函数， ∴()g x 在0x <上单调递减，又()10f =，即有(1)(1)0=-=g g ， ∴()0f x >的解集，即()0>g x 的解集为(,1)(0,1)-∞-. 故选：C5.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（） A ．()(),10,1-∞-⋃ B ．()()1,01,-⋃+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞【答案】B 【解析】【分析】设()()f x F x x=，求其导数结合条件得出()F x 单调性，再结合()F x 的奇偶性，得出()F x 的函数值的符号情况，从而得出答案. 【详解】设()()f x F x x =，则()()()2xf x f x F x x '-'=， ∵ 当0x >时，()()0xf x f x '-<，当0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减. 由于()f x 是奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0=<f x F x x；当10x -<<或01x <<时，()()0f x F x x=>. 所以当10x -<<或1x >时，()0f x <. 故选：B.题型三：构造指数函数型解不等式【例1】（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()(),41f x f x f '>=，则不等式()224e xf x ->的解集为___________.【答案】()2,2- 【解析】【分析】令()()xf xg x =e，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于()()24g x g >，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：令()()x f x g x =e ，R x ∈，则()()()exf x f xg x '-'=，因为()()f x f x '>，即()()0f x f x '-<，所以()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，又()41f =，所以()()4444e ef g -==，所以不等式()224ex f x->，即()242eex f x ->，即()()24g xg >，即24x <，解得22x -<<，所以原不等式的解集为()2,2-. 故答案为：()2,2-【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】设函数()()2e xf xg x -=，根据题意可判断()g x 在R 上单调递减，再求出()01202eg =，不等式()12020e 2x f x --<整理得()22020eexf x -<，所以()()1g x g <，利用()g x 单调性解抽象不等式即可. 【详解】设函数()()2e xf xg x -=，所以()()()()()2e 2e2eex xxxf x f x f x f xg x '⎡⎤⨯--⨯'-+⎣⎦'==，因为()()2f x f x >'+，所以()()20f x f x '-+<，即()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()12022f =，所以()()122020e1e f g -==，因为()12020e 2x f x --<，整理得()22020e ex f x -<，所以()()1g x g <，因为()g x 在R 上单调递减，所以1x >. 故选：C. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '<且()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，若(9)(8)1f f +=，则不等式()exf x <的解集为（） A ．()3,-+∞ B ．()1,+∞C ．(0,)+∞D ．()6,+∞【答案】C 【解析】先证明出()f x 为周期为8的周期函数，把(9)(8)1f f +=转化为(0)1f =.记()()xf xg x =e ，利用导数判断出()g x 在R 上单调递减，把原不等式转化为()()0g x g <，即可求解. 【详解】因为()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，所以()()33f x f x +=-+，(1)(1)0f x f x ++-+=.所以()()6f x f x =-+，()(2)0f x f x +-+=，所以(6)(2)0f x f x -++-+=. 令2t x =-+，则(4)()0f t f t ++=.令上式中t 取t -4，则()(4)0f t f t +-=，所以(4)(4)f t f t +=-. 令t 取t +4，则()(8)f t f t =+，所以()(8)f x f x =+. 所以()f x 为周期为8的周期函数.因为(1)f x +为奇函数，所以(1)(1)0f x f x ++-+=，令0x =，得：(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，所以(9)(8)1f f +=，即为(1)(0)1f f +=，所以(0)1f =.记()()x f x g x =e ，所以()()()e xf x f xg x '-'=. 因为()()f x f x '<，所以()0g x '<，所以()()xf xg x =e 在R 上单调递减. 不等式()xf x e <可化为()1exf x <，即为()()0g x g <. 所以0x >. 故选：C 【点睛】解不等式的常见类型：(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式； (3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性.【例4】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知可导函数f （x ）的导函数为()'f x ，f （0）=2022，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f x '<，则不等式()2022e x f x <的解集为（）A ．()0,∞+B ．22022,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．22022,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),0∞-【答案】D 【解析】根据题意，构造函数()()xf xg x =e ，求导可知()g x 在x ∈R 上单调递增，利用单调性求解即可. 【详解】令()(),e xf xg x =对任意的x ∈R ，都有()()()()(),0e xf x f x f x f xg x -<∴=''>'，()g x ∴在x ∈R 上单调递增，又()()()()()02022,02022,2022e 0xf g f x g x g =∴=∴<⇔<，0,x ∴<∴不等式()2022e x f x <的解集(),0∞-，故选：D.【例5】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞ 【解析】【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时, ()g x 单调递增，得到当x >2时()0g x >，从而()0f x >；当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ，则当0x >时，[]2()e 2()()0xg x f x f x ''=+>，所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0，所以()()42e 20g f ==，所以当x >2时()0g x >，从而()0f x >.当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞. 故答案为: ()(2,02,)-⋃+∞.【题型专练】1.（2022·陕西榆林·三模（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（）A ．12(2)f +<eeB ．1(2)f +<eeC ．12(2)f +>eeD ．1(2)f +>ee【答案】D 【解析】【分析】构造()()e e x xg x f x =-利用导数研究其单调性，即可得()()21g g >，进而可得答案.【详解】令()()e e x xg x f x =-，则()()()e 10x g x f x f x ⎡⎤=+->⎣⎦''，则()g x 是增函数，故()()21g g >，即22e (2)e e (1)e e f f >--=，可得()1e2ef +>. 故选：D2.（2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()e 0x f x f x '-+<（e 为自然对数的底数），其中()'f x 为()f x 的导函数，若3(3)3e f =，则()e x f x x >的解集为（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(3),-∞D ．(3,)+∞【答案】D 【解析】【分析】构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式()e x f x x >转化为整式不等式即可解决. 【详解】设()()e x f x g x x =-，则3(3)(3)30ef g =-=，所以()e x f x x >等价于()0(3)g x g >=，由()()e 0x f x f x '-+<，可得()()e 0x f x f x '->> 则()()()10exf x f xg x '-'=->，所以()g x 在R 上单调递增，所以由()(3)g x g >，得3x >．故选：D3.（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x '-<，且()02021f =，则不等式()12022e xf x +>的解集为（） A ．(),0∞- B ．()0,∞+ C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【解析】【分析】构造函数()()1exf x F x +=，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式. 【详解】构造函数()()1e x f x F x +=，则()()()()()2e 1e 1e e x x x xf x f x f x f x F x '⋅-+⋅⎡⎤'--⎣⎦'==，因为()()1f x f x '-<，所以()0F x '<恒成立，故()()1e xf x F x +=单调递减，()12022e xf x +>变形为()12022e x f x +>，又()02021f =，所以()()00102022e f F +==，所以()()0F x F >，解得：0x <，故答案为：(),0∞-. 故选：A4.若()f x 在R 上可导且()00f =，其导函数()f x '满足()()0f x f x '+<，则()0f x <的解集是_________________ 【答案】()0,∞+ 【解析】【分析】由题意构造函数()()e xg x f x =，利用导数判断出()g x 单调递减，利用单调性解不等式.【详解】设()()e xg x f x =，则()()()()()()e e e x x x g x f x f x f x f x '''=+=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<在R 上恒成立，所以()g x 单调递减，又()00f =得()00g =，由()0f x <等价于()0g x <，所以0x >，即()0f x <的解集是()0,∞+. 故答案为：()0,∞+5.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()31xf x e >+(e 为自然对数的底数)的解集为（） A ．(0,)+∞ B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞ C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．(3,)+∞【答案】A 【解析】把不等式()31x f x e>+化为()3x x e f x e >+，构造函数令()()3x x F x e f x e =--，利用导数求得函数()F x 的单调性，结合单调性，即可求解. 【详解】由题意，不等式()31x f x e>+，即()3x x e f x e >+，令()()3x x F x e f x e =--，可得()()()()()[1]x x x xF x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-，因为()()1f x f x '+>且0x e >，可知()0F x '>，所以()F x 在R 上单调递增，又因为()()()00003040F e f e f =--=-=，所以()0F x >的解集为(0,)+∞. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.题型四：构造对数函数型解不等式【例1】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））定义在（0，+∞）的函数f（x ）满足()10xf x '-<，()10f =，则不等式()e 0xf x -<的解集为（）A ．（－∞，0）B ．（－∞，1）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】【分析】根据题干条件构造函数()()ln F x f x x =-，0x >，得到其单调递减，从而求解不等式. 【详解】设()()ln F x f x x =-，0x > 则()()()110xf x F x f x x x-=-=''<'，所以()()ln F x f x x =-在()0,∞+上单调递减，因为()10f =，所以()()11ln10F f =-=，且()()ee xxF f x =-，所以由()e 0xf x -<得：()()e 1x F F <结合单调性可得：e 1x >，解得：0x >，故选：C【例2】已知函数()f x 的定义域为R ，图象关于原点对称，其导函数为()f x '，若当0x >时()()ln 0x x f x f x +⋅'<，则不等式()()44x f x f x ⋅>的解集为______．【答案】()(),10,1-∞-⋃ 【解析】【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可. 【详解】当0x >时，()()()()()ln 0ln 0ln 0f x f x x x f x x f x x f x x'''+⋅<⇔+⋅<⇔⋅<⎡⎤⎣⎦，故函数()()ln g x x f x =⋅在()0,∞+上单调递减，易知()10g =，故当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x <；而()()()44440x xf x f x f x ⎡⎤⋅>⇔⋅->⎣⎦，而()()44xh x f x ⎡⎤=⋅-⎣⎦为奇函数，则当0x >时，当()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为01x <<，故当x ∈R 时，()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为1x <-或01x <<，故不等式()()44xf x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃．故答案为：()(),10,1-∞-⋃【例3】已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0,f ≠且满足:()()ln 0,f x f x x x⋅+<'则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（） A ．(1,)+∞ B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(),1-∞D ．()(,01),-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据给定含导数的不等式构造函数()()ln g x f x x =，由此探求出()f x 在(0,)+∞上恒负，在(,0)-∞上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令()()ln g x f x x =，0x >，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0g =，因此，由()0>g x 得01x <<，而ln 0x <，则()0f x <，由()0g x <得1x >，而ln 0x >，则()0f x <，又(1)0f <，于是得在(0,)+∞上，()0f x <，而()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，则在(,0)-∞上，()0f x >，由(1)()0x f x -⋅<得：10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩，即10x x >⎧⎨>⎩或10x x <⎧⎨<⎩，解得0x <或1x >，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞. 故选：D 【题型专练】1.（2022·陕西汉中·高二期末（文））定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，则不等式()e 0x f x +>的解集为___________. 【答案】(ln2,)+∞ 【解析】【分析】令()()ln (0)g x f x x x =+>，根据题意得到函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，把不等式()e 0xf x +>，可得()()e 2x g g >，结合函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，令()()ln (0)g x f x x x =+>，可得()()10g x f x x''=+> 所以函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，且()()22ln 20g f =+=，又由不等式()e 0x f x +>，可得()()e 2xg g >，所以e 2x >，解得ln 2x >，即不等式()e 0xf x +>的解集为(ln2,)+∞.故答案为：(ln2,)+∞.2.（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()114f x f x ++-=，且当1x >时()0f x '≥，则不等式()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦的解集为（） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()22,e【答案】A 【解析】【分析】由条件得出()f x 关于()1,2成中心对称，进一步得出函数的单调性，然后再根据题意可得()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，从而可得出答案. 【详解】由()()114f x f x ++-=得()f x 关于()1,2成中心对称．令0x =，可得()12f =当1x >时()0f x '≥，则()f x 在[)1,∞+上单调递增.由()f x 关于()1,2成中心对称且()12f =，故()f x 在R 上单调递增由()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦，则()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得21x x >⎧⎨>⎩，或121x x <<⎧⎨<⎩，故2x >故选：A3.（多选）已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，其导函数是()f x ' ，且满足()()1ln 0x f x f x x'⋅+⋅>，则下列说法正确的是（）A ．10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．()e 0f >D ．()e 0f <【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，构造()()ln g x f x x =⋅，由题意，得到()g x 单调递增，进而利用()g x 的单调性，得到1(1)()eg g >，再整理即可求解【详解】设()()ln g x f x x =⋅，可得()()1'()ln 0g x x f x f x x'=⋅+⋅>，()g x 单调递增，又因为(e)(e)ln e (e)g f f =⋅=，1111()()ln ()e e e e g f f =⋅=-，(1)(1)ln10g f =⋅=，且1e 1e>>，1(e)(1)()e g g g ∴>>，得(e)0f >，110()()e eg f >=-，整理得1()0e f >，AC 正确；故选：AC题型五：构造三角函数型解不等式【例1】已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()'f x ，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意，设()()cos f x g x x =，利用导数求得()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数，再把不等式()cos 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭，转化为()()4g x g π<，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，设()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=，当02x π<<时，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又因为()f x 在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是偶函数，可得()()()()cos()cos f x f x g x g x x x --===-，所以()g x 是偶函数，由()cos 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得()()cos 4f x x π<，即()()4cos cos 4ππ<f f x x ，即()()4g x g π< 又由()g x 为偶函数，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4x π>，解得24x ππ-<<-或42x ππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.【例2】已知函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数是()'f x .有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,63ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】令()()cos f x F x x=，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，再把不等式化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<，令()()cos f x F x x=，则()()()2'cos sin '0cos f x x f x xF x x+=< 函数()()cos f x F x x=是定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，由于cos 0x >，关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()6F x F π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以22x ππ-<<且6x π>，解得26x ππ>>，()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】方法点睛：构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数()f x 和()f x '满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）()()()()f x g x f x g x ''±型；（2）()()xf x nf x '+型；（3）()()(f x f x λλ±为常数)型.【题型专练】1.已知可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】构造函数()sin xf x ，并依据函数()sin xf x 的单调性去求解不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则()()cos sin 0xf x f x x '+>则函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数则()sin xf x 是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，且在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由πππ222ππ22x x ⎧-<+<⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩，可得π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭可化为()()ππsin sin 22x f x x f x ⎛⎫⎛⎫+⋅+>-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则有ππ022x x >+>->，解之得π04x -<<故选：D2.已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，则不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()sin g x f x x =，则经变形后得[]'()()'()tan cos g x f x f x x x =+⋅，进而得到()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单增，结合()f x 单调性证出()g x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，再去“f ”，即可求解【详解】令()()sin g x f x x =，[]'()()cos '()sin ()'()tan cos g x f x x f x x f x f x x x =+=+⋅，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，'()0g x ∴>，即函数()g x 单调递增．又(0)0g =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴时，()()sin 0g x f x x =>，()f x 是定义在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的奇函数，()g x ∴是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数．不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭，即sin sin ()22x f x xf x ππ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，||2x x π∴+>，4x π∴>-①，又222x πππ-<+<，故0x π-<<②，由①②得不等式的解集是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C 【点睛】本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如()()()()0f a g a f b g b ±>的式子，先构造函数()()()h x f x g x =⋅，再设法证明()h x 的奇偶性与增减性，进而去“f ”解不等式 3.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-，其导函数是()f x '，当0πx <<时，有。

导数中的函数构造问题

2021年新高考数学总复习第三章《导数及其应用》导数中的函数构造问题一、利用f (x )进行抽象函数构造(一)利用f (x )与x 构造1．常用构造形式有xf (x )，f (x )x，这类形式是对u ·v ，u v 型函数导数计算的推广及应用．我们对u ·v ，u v 的导函数观察可得知，u ·v 型导函数中体现的是“＋”法，u v 型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u ·v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造u v .例1 设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．思路点拨出现“＋”形式，优先构造F (x )＝xf (x )，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－4)∪(0,4)解析构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，所以F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递减．根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．例2 设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x <0时，有xf ′(x )－f (x )>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为________．思路点拨出现“－”形式，优先构造F (x )＝f (x )x，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2，当x <0时，xf ′(x )－f (x )>0，可以推出当x <0时，F ′(x )>0，F (x )在(－∞，0)上单调递增．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，所以F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增．根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．xf (x )，f (x )x是比较简单常见的f (x )与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式．F (x )＝x n f (x )，F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；F (x )＝f (x )x n ， F ′(x )＝f ′(x )·x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1；结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )x n . 我们根据得出的结论去解决例3.例3 已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x >0时，2f (x )>xf ′(x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．思路点拨满足“xf ′(x )－nf (x )”形式，优先构造F (x )＝f (x )x n ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－1,0)∪(0,1)解析构造F (x )＝f (x )x 2，则F ′(x )＝f ′(x )·x －2f (x )x 3，当x >0时，xf ′(x )－2f (x )<0，可以推出当x >0时，F ′(x )<0，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 2为偶函数，所以F (x )为偶函数，∴F (x )在(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x )>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(二)利用f (x )与e x 构造1．f (x )与e x 构造，一方面是对u ·v ，u v 函数形式的考察，另外一方面是对(e x )′＝e x 的考察．所以对于f (x )±f ′(x )类型，我们可以等同xf (x )，f (x )x的类型处理，“＋”法优先考虑构造F (x )＝f (x )·e x ，“－”法优先考虑构造F (x )＝f (x )e x . 例4 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)D ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)思路点拨满足“f ′(x )－f (x )<0”形式，优先构造F (x )＝f (x )e x ，然后利用函数的单调性和数。

导数中的函数构造问题

导数中的函数构造问题[解题技法]函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现．一、利用f (x )进行抽象函数构造(一)利用f (x )与x 构造1．常用构造形式有xf (x )，f (x )x，这类形式是对u ·v ，u v 型函数导数计算的推广及应用．我们对u ·v ，u v 的导函数观察可得知，u ·v 型导函数中体现的是“＋”法，u v 型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u ·v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造u v .例1 设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．思路点拨出现“＋”法形式，优先构造F (x )＝xf (x )，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－4)∪(0,4)解析构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递减．根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．例2 设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x <0时，有xf ′(x )－f (x )>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为________．思路点拨出现“－”法形式，优先构造F (x )＝f (x )x，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2，当x <0时，xf ′(x )－f (x )>0，可以推出当x <0时，F ′(x )>0，F (x )在(－∞，0)上单调递增．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增．根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．xf (x )，f (x )x是比较简单常见的f (x )与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式．F (x )＝x n f (x )，F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；F (x )＝f (x )x n ，F ′(x )＝f ′(x )·x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1；结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )x n . 我们根据得出的结论去解决例3.例3 已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x >0时，2f (x )>xf ′(x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．思路点拨满足“xf ′(x )－nf (x )”形式，优先构造F (x )＝f (x )x n ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．解析构造F (x )＝f (x )x 2，则F ′(x )＝f ′(x )·x －2f (x )x 3，当x >0时，xf ′(x )－2f (x )<0，可以推出当x >0时，F ′(x )<0，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 2为偶函数，∴F (x )为偶函数，∴F (x )在(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f (x )>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(二)利用f (x )与e x 构造1．f (x )与e x 构造，一方面是对u ·v ，u v 函数形式的考察，另外一方面是对(e x )′＝e x 的考察．所以对于f (x )±f ′(x )类型，我们可以等同xf (x )，f (x )x的类型处理，“＋”法优先考虑构造F (x )＝f (x )·e x ，“－”法优先考虑构造F (x )＝f (x )e x . 例4 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)D f (2)<e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)思路点拨满足“f ′(x )－f (x )<0”形式，优先构造 F (x )＝f (x )e x，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．2．同样e x f (x )，f (x )e x 是比较简单常见的f (x )与e x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？F (x )＝e nx f (x )，F ′(x )＝n ·e nx f (x )＋e nx f ′(x )＝e nx [f ′(x )＋nf (x )]；F (x )＝f (x )e nx ，F ′(x )＝f ′(x )e nx －n e nx f (x )e 2nx ＝f ′(x )－nf (x )e nx；结论：(1)出现f ′(x )＋nf (x )形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )e nx . 我们根据得出的结论去解决例5，例6.例5 若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )>0，f (0)＝1，则不等式f (x )>e 2x 的解集为________．思路点拨满足“f ′(x )－2f (x )>0”形式，优先构造F (x )＝f (x )e2x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．答案 {x |x >0}解析构造F (x )＝f (x )e 2x 形式，则F ′(x )＝e 2x f ′(x )－2e 2x f (x )e 4x ＝f ′(x )－2f (x )e 2x，函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )>0，则F ′(x )>0，F (x )在R 上单调递增．又∵f (0)＝1，则F (0)＝1，f (x )>e 2x ⇔f (x )e2x >1⇔F (x )>F (0)，根据单调性得x >0. 例6 已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若f (x )满足：(x －1)[f ′(x )－f (x )]>0，f (2－x )＝f (x )·e 2－2x ，则下列判断一定正确的是( )A ．f (1)<f (0)B ．f (2)>e 2f (0)C f (3)>e 3f (0)D ．f (4)<e 4f (0)思路点拨满足“f ′(x )－f (x )”形式，优先构造F (x )＝f (x )e x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．解析构造F (x )＝f (x )e x 形式，则F ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x，导函数f ′(x )满足(x －1)[f ′(x )－f (x )]>0，则x ≥1时F ′(x )≥0，F (x )在[1，＋∞)上单调递增．当x <1时F ′(x )<0，F (x )在(－∞，1]上单调递减．又由f (2－x )＝f (x )e 2－2x ⇔F (2－x )＝F (x )⇒F (x )关于x ＝1对称，根据单调性和图象，可知选C.(三)利用f (x )与sin x ，cos x 构造sin x ，cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ； F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x. 根据得出的关系式，我们来看一下例7.例7 已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式不成立的是( ) A 2f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4 B.2f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4 C ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π4 D ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π3 思路点拨满足“f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0”形式，优先构造F (x )＝f (x )cos x，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．解析构造F (x )＝f (x )cos x 形式，则F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x，导函数f ′(x )满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0，则F ′(x )>0，F (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增．把选项转化后可知选A. 二、具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．例8 已知α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β>0，则下列结论正确的是( ) A ．α>β B α2>β2 C ．α<β D ．α＋β>0思路点拨构造函数f (x )＝x sin x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．解析构造 f (x )＝x sin x 形式，则f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时导函数f ′(x )≥0，f (x )单调递增；x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时导函数f ′(x )<0，f (x )单调递减．又∵f (x )为偶函数，根据单调性和图象可知选B. 例9 已知实数a ，b ，c 满足a －2e a b ＝1－c d －1＝1，其中e 是自然对数的底数，那么(a －c )2＋(b －d )2的最小值为( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．18思路点拨把(a －c )2＋(b －d )2看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可．解析由a －2e a b ＝1⇒b ＝a －2e a 进而⇒f (x )＝x －2e x ；又由1－c d －1＝1⇒d ＝2－c ⇒g (x )＝2－x ；由f ′(x )＝1－2e x ＝－1，得x ＝0，所以切点坐标为(0，－2)，所以(a －c )2＋(b －d )2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－2－2|1＋12＝8.。

专题13 导数运算法则在抽象函数中的应用(学生版) -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数

专题13 导数运算法则在抽象函数中的应用导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质求解.(一) 抽象函数的奇偶性及应用若()()f x f x -=两边求导得()()f x f x ¢¢--=，即()()f x f x ¢¢-=-，即若可导函数()f x 是偶函数，则()f x ¢是奇函数，同理可得：若可导函数()f x 是奇函数，则()f x ¢是偶函数.【例1】（2024届上海市奉贤区高三二模）已知定义域为R 的函数()y f x =，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为R 的导函数()y f x =¢.(1)求函数()e e x xf x -=+在点()()0,0f 的切线方程；(2)已知()cos sin f x a x b x =+，当a 与b 满足什么条件时，存在非零实数k ，对任意的实数x 使得()()f x kf x -=-¢恒成立？(3)若函数()y f x =是奇函数，且满足()()23f x f x +-=.试判断()()22f x f x +=¢-¢对任意的实数x 是否恒成立，请说明理由.【解析】（1）由题可知，()e e x x f x -¢=-，所以切线的斜率为(0)0f ¢=，且(0)2f =，所以函数在点()()0,0f 的切线方程为()200y x -=-，即2y =；（2）由题可知()sin cos f x a x b x ¢=-+，又因为定义域上对任意的实数x 满足()()f x kf x ¢-=-，所以cos sin sin cos a x b x ak x bk x -=-，即b aka bk -=ìí=-î，当R k Î且0k ¹时，0a b ==，当1k =时，0a b +=，当1k =-时，0a b -=；（3）因为函数()y f x =在定义域R 上是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()f x x f x ¢¢¢-×-=-，所以()()f x f x ¢¢-=，所以()y f x ¢=是偶函数，因为()()23f x f x +-=，所以()()()()223f x f x x ¢¢¢¢+-×-=，即()()20f x f x ¢¢--=，即()()2f x f x ¢¢=-，因为()()f x f x ¢¢-=，所以()()2f x f x ¢¢-=-，即()()2f x f x ¢¢=+，所以()y f x ¢=是周期为2的函数，所以()()()22f x f x f x ¢¢¢=+=-，所以()()()()22f x f x f x f x ¢¢¢¢-=-==+. (二)和差型抽象函数的应用解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构造的函数的单调性求解．如给出式子()f x k ¢-,可构造函数()()y f x kx b =-+，给出式子()f x kx ¢-,可构造函数()212y f x x b =-+ ，一般地，若给出()()f x g x ¢¢±通常构造函数()()y f x g x c =±+.【例2】已知()()y f x x =ÎR 的导函数()f x ¢满足()3f x ¢>且(1)3f =，求不等式()3f x x >的解集．【解析】令()()3F x f x x =-，则()()30F x f x ¢¢=->，∴()F x 在R 上为单调递增．又∵(1)3f =，∴(1)(1)30F f =-=，则()3f x x >可转化为()0(1)F x F >=，根据()F x 单调性可知不等式()3f x x >的解集为(1,)+∞．(三)积型抽象函数的应用若给出形如()()()()f x g x f x g x ¢¢+的式子通常构造函数()()y f x g x c =+ ，如给出()()xf x nf x ¢+可构造函数()ny x f x =，如给出()()f x nf x ¢+，可构造函数()e nx y f x =，如给出()()tan f x f x x ¢+，可构造函数()sin y f x x =.【例3】（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷）若函数()f x 在[],a b 上满足()()()0g x f x f x ¢=³且不恒为0，则称函数()f x 为区间[],a b 上的绝对增函数，()g x 称为函数()f x 的特征函数，称任意的实数(),c a b Î为绝对增点（()f x ¢为函数()f x 的导函数）．(1)若1为函数()()e xf x a x =-的绝对增点，求a 的取值范围；(2)绝对增函数()f x 的特征函数()g x 的唯一零点为0x ．（ⅰ）证明：0x 是()f x ¢的极值点；（ⅱ）证明：()g x 不是绝对增函数．【解析】（1）因为函数()()e x f x a x =-，所以()()1e xf x a x =--¢，则()()()()21e xf x f x x a x a =--+¢．由()()0f x f x ¢³得()()10x a x a --+³，解得1x a £-或x a ³，所以()f x 为区间(],1a -∞-及区间[),a +∞上的绝对增函数．又1为函数()f x 的绝对增点，所以11a <-或1a >，解得2a >或1a <，所以a 的取值范围为()(),12,-∞+∞U ．（2）（ⅰ）设()f x 为区间[],a b 上的绝对增函数，由题意知()00g x =，当0x x ¹时，()()00,,g x x a b >Î．①若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上单调递增，则在区间()00Δ,x x x -上，()()0,0f x f x >¢<，则()0g x <，与()0g x >矛盾．若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上单调递减，则在区间()00Δ,x x x -上，()()0,0f x f x ¢<>，则()0g x <，与()0g x >矛盾．若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上不单调，则存在()'000Δ,x x x x Î-，且()00f x ¢¢=，此时()00g x ¢=与()g x 有唯一零点0x 矛盾．所以()00f x ¹．②若()00f x ¹，不妨设()00f x >，则()00f x ¢=，且存在1Δ0x >，使得当()0101Δ,Δx x x x x Î-+时，()0f x >，且当()()010001Δ,,Δx x x x x x x Î-+U 时，()0f x ¢>，即1Δ0x $>，使()f x ¢在()010Δ,x x x -上单调递减，在()001,Δx x x +上单调递增．所以0x 为()f x ¢的极值点．同理，当()00f x <时也成立．（ⅱ）若()g x 为绝对增函数，则()()0g x g x ×¢³在[],a b 上恒成立，又()0g x ³恒成立，所以()0g x ¢³恒成立．令()()e x x g x j =×，所以()0x j ³，且()()()()e 0xx g x g x j ¢¢=×+³，所以()x j 在(),a b 上单调递增．又()00x j =，所以当()0,x a x Î时，()0x j <，则()0g x <，与()0g x ³矛盾，所以假设不成立，所以()g x 不是绝对增函数．【例4】定义在π(0,2上的函数()f x ，其导函数是()f x ¢，且恒有()()tan f x f x x <¢×成立，比较π6æöç÷èø与π3f æöç÷èø的大小.【解析】因为π(0,)2x Î，所以sin 0x >，cos 0x >．由()()tan f x f x x <¢，得()cos ()sin f x x f x x <¢．即()sin ()cos 0f x x f x x ¢->．令()()sin f x g x x =，π(0,2x Î，则2()sin ()cos ()0f x x f x xg x sin x ¢-¢=>．所以函数()()sin f x g x x =在π(0,2xÎ上为增函数，则π()(6g g <π3，即ππ()()63ππsin sin63f f <，所以π()612f <ππ(()63f <．(四)商型抽象函数的应用若给出形如()()()()f x g x f x g x ¢¢-的式子通常构造函数()()f x y cg x =+ ，如给出()()xf x nf x ¢-可构造函数()n f x y x =，给出()()f x nf x ¢-，可构造函数()nx f x y e =，给出()()tan f x f x x ¢-，可构造函数()sin f xy x=.【例5】（2024届湖北省襄阳市第五中学高三第二次适应性测试）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f (x )，g (x )满足:①图象在[],a b 上是一条连续不断的曲线；②在(),a b 内可导;③对(),x a b "Î，()0g x ¢¹，则(),a b x $Î，使得()()()()()()f b f a fg b g a g x x --¢¢=.特别的，取()g x x =，则有：(),a b x $Î，使得()()()f b f a f b ax -¢=-，此情形称之为拉格朗日中值定理.(1)设函数()f x 满足()00f =，其导函数()f x ¢在()0,+∞上单调递增，证明：函数()f x y x=在()0,∞+上为增函数.(2)若(),0,e a b "Î且a b >，不等式ln ln 0a b b a m b a a b æö-+-£ç÷èø恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由题()()()00f x f x f xx -=-，由柯西中值定理知：对0x ">，()0,x x $Î，使得()()()()001f x f f f x x x -==¢¢-，()()f x f xx =¢，又()f x ¢在()0,∞+上单调递增，则()()f x f x ¢>¢，则()()f x f x x¢>，即()()0xf x f x ->¢，故()f x y x=在()0,∞+上为增函数；（2）22ln ln ln ln 0a b b a a a b b m m b a a b a b -æö-+-£Û£ç÷-èø，取()ln f x x x =，()2g x x =，因为a b >，所以由柯西中值定理，(),b a x $Î，使得()()()()()()22ln ln 1ln 2f a f b f a a b b g a g b a b g x xx x--+===-¢-¢，由题则有：1ln 2m xx+£，设()()1ln 0e 2x G x x x+=<<，()2ln 2xG x x -¢=，当01x <<时，()0G x ¢>，当1e x <<时，()0G x ¢<，所以()G x 在()0,1上单调递增，在()1,e 上单调递减，所以()()max 112G x G ==，故12m ³，所以实数m 的取值范围是1,2éö+∞÷êëø.【例6】已知函数()f x 在()0,1恒有()()2xf x f x ¢>，其中()f x ¢为函数()f x 的导数，若a ，b 为锐角三角形两个内角，比较22cos (sin ),sin (cos )f f b a a b 的大小.【解析】设()()2()01f x g x x x =<<，则()()()()()243220x f x x f x x f x f x g x x x ¢¢×-××-×¢==>所以函数()g x 在()0,1上单调递增.a ，b 为锐角三角形两个内角,则π2a b +>所以ππ022b a <-<<，由正弦函数sin y x =在π0,2æöç÷èø上单调递增.则π0cos sin sin 12b b a æö<=-<<ç÷èø所以()()cos sin g g b a <，即()()22cos sin cos sin f f b a b a<所以()()22sin cos cos sin f f a b b a ×<×.(五)根据()()()f x f x g x ±-=构造函数若给出形如()()()f x f x g x ¢±=的式子通常构造偶函数或奇函数.【例7】设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ,x R "Î,有3()()f x f x x --=,在(0,)+∞上有22'()30f x x ->,若2(2)()364f m f m m m --³-+-,求实数m 的取值范围.【解析】因为()()3f x f x x --=,所以33()()()22x x f x f x --=-- 令3()()()()2x g x f x g x g x =-\=- 即函数()g x 为偶函数,因为()0,∞+上有()22'30f x x ->,所以23()()02x g x f x ¢¢=-> 即函数()g x 在(0,)+∞单调递增；又因为()()22364f m f m m m --³-+-所以33(2)(2)()(2)()22m m g m g m f m f m ---=---+2(2)()3640f m f m m m =--+-+³即(2)()g m g m -³,所以2m m -³,解得1m £ ,故选B.(六)信息迁移题中的抽象函数求解此类问题关键是如何利用题中的信息.【例8】已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()1f x ¢£对任意x ÎR 恒成立，则称函数()f x 为“线性控制函数”.(1)判断函数()sin f x x =和()e xg x =是否为“线性控制函数”，并说明理由；(2)若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 在R 上严格增，设A B ､为函数()f x 图像上互异的两点，设直线AB 的斜率为k ，判断命题“01k <£”的真假，并说明理由；(3)若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 是以(0)T T >为周期的周期函数，证明：对任意12,x x 都有()()12f x f x T -£.【解析】（1）()cos 1f x x =£¢，故()sin f x x =是“线性控制函数”；()1e 1g ¢=>，故()e x g x =不是“线性控制函数”.（2）命题为真，理由如下：设()()()()1122,,,A x f x B x f x ，其中12x x <由于()f x 在R 上严格增，故()()12f x f x <，因此()()1212f x f x k x x -=>-由于()f x 为“线性控制函数”，故()1f x ¢£，即()10f x ¢-£令()()F x f x x =-，故()()10F x f x ¢¢=-£，因此()F x 在R 上为减函数()()()()()()()()112212121212121101f x x f x x f x f x F x F x k k x x x x x x ------=-==£Þ£---，综上所述，01k <£，即命题“01k <£”为真命题.（3）根据（2）中证明知，对任意a b <都有()()1f a f b k a b-=£-由于()f x 为“线性控制函数”，故()1f x ¢³-，即()10f x ¢+³令()()G x f x x =+，故()()10G x f x ¢=+³¢，因此()F x 在R 上为增函数()()()()()()()()()()101f a a f b b f a f b G a G b f a f b a b a b a b a b+-+---+==³Þ³-----因此对任意a b <都有()()[]1,1f a f b a b-Î--，即()()1f a f b a b -£-当12x x =时，则()()120f x f x T -=£恒成立当12x x ¹时，若21x x T -£，则()()()()1212121f x f x f x f x x x T--³³-，故()()12f x f x T-£若21x x T ->时，则存在[)311,x x x T Î+使得()()32f x f x =故1()()()()131313f x f x f x f x x x T--³>-，因此()()()()1213f x f x f x f x T-=-<综上所述，对任意12,x x 都有()()12f x f x T -£.（事实上，对任意12,x x 都有()()122Tf x f x -£，此处不再赘述）【例9】定义：若曲线C 1和曲线C 2有公共点P ，且在P 处的切线相同，则称C 1与C 2在点P 处相切．(1)设()()221,8f x x g x x x m =-=-+．若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点P 处相切，求m 的值；(2)设()3h x x =，若圆M ：()()2220x y b r r +-=>与曲线()y h x =在点Q （Q 在第一象限）处相切，求b 的最小值；(3)若函数()y f x =是定义在R 上的连续可导函数，导函数为()y f x ¢=，且满足()()f x f x ¢³和()f x <都恒成立.是否存在点P ，使得曲线()sin y f x x =和曲线y =1在点P 处相切？证明你的结论．【解析】（1）设点11(,)P x y ，由22()1,()8f x xg x x x m =-=-+，求导得()2,()28f x x g x x ¢¢=-=-，于是11228x x -=-，解得12x =，由11()()f x g x =，得2212282m -=-´+，解得9m =，所以m 的值为9.（2）设切点3222(,),0Q x x x >，由()3h x x =求导得2()3h x x ¢=，则切线的斜率为222()3h x x ¢=，又圆M ：222()x y b r +-=的圆心(0,)M b ，直线MQ 的斜率为322x bx -，则由3222213x x x b -×=-，得32213b x x =+，令31(),03x x x x j =+>，求导得221()33x x xj ¢=-，当0x <<()0x j ¢<，当x >()0x j ¢>，即函数()j x 在上递减，在)+∞上递增，因此当x =()x j ，所以当2x min b =（3）假设存在0(,1)P x 满足题意，则有00()sin 1f x x =，对函数()sin y f x x =求导得：()sin ()cos y f x x f x x ¢¢=+，于是0000()sin ()cos 0f x x f x x ¢+=，即0000()sin ()cos f x x f x x ¢=-，平方得222222000000[()]sin [()]cos [()](1sin )f x x f x x f x x ¢==-，即有2222200000[()]sin [()]sin [()]f x x f x x f x ¢+=，因此2200201[()]1[()][()]fx f x f x ¢×+=，整理得224000[()][()][()]f x f x f x ¢+=，而恒有()()f x f x ¢³成立，则有2200[()][()]f x f x ¢³，从而4200[()]2[()]f x f x ³，显然0()0f x ¹，于是20[()]2f x ³，即0|()|f x ³与()f x <所以假设不成立，即不存在点P 满足条件.【例1】（2024年全国统一考试数学押题卷）函数与函数之间存在位置关系.已知函数()f x 与()g x 的图象在它们的公共定义域D 内有且仅有一个交点()()00,x f x ，对于1x D "Î且()10,x x Î-∞，2x D Î且()20,x x Î+∞，若都有()()()()11220f x g x f x g x éùéù-×-<ëûëû，则称()f x 与()g x 关于点()()00,x f x 互穿；若都有()()()()11220f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû，则称()f x 与()g x 关于点()()00,x f x 互回.已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，导函数分别为()f x ¢与()g x ¢，()f x 与()g x 的图象在R 上有且仅有一个交点()(),m f m ，()f x ¢与()g x ¢的图象在R 上有且仅有一个交点()(),m f m ¢.(1)若()e xf x =，()1g x x =+，试判断函数()f x 与()g x 的位置关系.(2)若()f x ¢与()g x ¢关于点()(),m f m ¢互回，证明：()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.(3)研究表明：若()f x ¢与()g x ¢关于点()(),m f m ¢互穿，则()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互回且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.根据以上信息，证明：23e 126!ixx x x x i ³++++×××+（i为奇数）.【解析】（1）设()()()()e 1e 1x xH x f x g x x x =-=-+=--，则()e 1xH x ¢=-，当0x <时，()0H x ¢<，当0x >时，()0H x ¢>，()H x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()00e 10H x H ³=-=，即()()f x g x ³，当且仅当0x =时取等号.又()f x 与()g x 的图象在R 上有且仅有一个交点()0,1，\函数()f x 与()g x 关于点()0,1互回.（2）设1x m <，2x m >，则()()()()11220f x g x f x g x ¢¢¢¢éùéù-×->ëûëû，（互回的定义的应用）设()()()h x f x g x =-，则()()()h x f x g x ¢¢¢=-，故()()120h x h x ¢¢>.①若()()12,h x h x ¢¢均大于零，因为()()()0h m f m g m ¢¢¢=-=，（提示：()f x ¢与()g x ¢的图象交于点()(),m f m ¢.所以()0h x ¢³，所以()h x 单调递增，又()()()0h m f m g m =-=，（提示：()f x 与()g x 的图象交于点()(),m f m ）所以()10h x <，()20h x >，所以()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x ×=-×-<éùéùëûëû，()()120h x h x ¢×>，所以()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.②若()()12,h x h x ¢¢均小于零，因为()()()0h m f m g m ¢¢¢=-=，所以()0h x ¢£，所以()h x 单调递减，又()()()0h m f m g m =-=，所以()10h x >，()20h x <，所以()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x ×=-×-<éùéùëûëû，()()120h x h x ¢×>，所以()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.综上，()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.（3）设()e xi f x =，()23126!ii x x x g x x i =+++++L （N *i Î）则()()'1e xi i f x f x -==（2i ³），()()()231'11261!i i i x x x g x x g x i --=+++++=-L （2i ³）（关键：寻找()'i f x 与()1i f x -，()'i g x 与()1i g x -，2i ³之间的关系）易知()1e xf x =，()11g x x =+，由（1）可知()1f x 与()1g x 关于点()0,1互回.因为()()00e 10i i f g ===，所以*N i "Î，()i f x 与()i g x 的图象交于点()0,1.由（2）得()2f x 与()2g x 关于点()0,1互穿，（提示：()()21f x f x ¢=，()()21g x g x ¢=）由（3）得()3f x 与()3g x 关于点()0,1互回，易得当i 为奇数时，()i f x 与()i g x 关于点()0,1互回，所以()1,0x "Î-∞，()20,x Î+∞，有()()()()11220i i i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû（i 为奇数）.（提示：互回的定义的应用）由题意得()()()()2212120i i i i f x g x f x g x --éùéù-×->ëûëû对任意正整数i 恒成立，（提示：由本问信息可得）所以()()()()121222220i i i i f x g x f x g x ----éùéù-×->ëûëû()()()()222232320i i i i f x g x f x g x ----éùéù-×->ëûëû，L ，()()()()222212120f xg x f x g x éùéù-×->ëûëû累乘得()()()()()()222121212120i i i i f x g x f x g x f x g x --éùéùéù-×-->ëûëûëûL 所以()()()()2212120i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû易知()()12120f x g x ->，（点拨：()()11f x g x ³，当且仅当0x =时等号成立，又()20,x Î+∞，所以()()1212f x g x >.所以()()220i i f x g x ->.因为()()()()11220i i i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû，（i 为奇数），所以()()110i i f x g x ->（i 为奇数），因为()()00i i f g =，所以()()i i f x g x ³（i 为奇数），即23e 126!ixx x x x i ³++++¼+（i 为奇数），得证.【例2】（2024届上海市普陀区桃浦中学高三上学期期末）对于一个在区间I 上连续的可导函数()y f x =，在I 上任取两点()11(,)x f x ，()22(,)x f x ，如果对于任意的1x 与2x 的算术平均值的函数值大于等于对于任意的1x 与2x 的函数值的算术平均值，则称该函数在I 上具有“M 性质”.如果对于任意的1x 与2x 的几何平均值的函数值大于等于对于任意的1x 与2x 的函数值的几何平均值，则称()y f x =在I 上具有“L 性质”.(1)如果函数log a y x =在定义域内具有“M 性质”，求a 的取值范围.(2)对于函数ln y ax x =-，若该函数的一个驻点是1=x e ，求a ，并且证明该函数在2,x e éùÎ+∞ëû上具有“L 性质”.(3)设存在,m n I Î，使得()()f m f n =.①证明:取(,)m n x Î，则有()()()()f m f n f m n x ¢-=-②若[,]I a b =，设命题p :函数()y f x =具有“M 性质”，命題:()q f x ¢为严格减函数，试证明p 是q 的必要条件.(可用结论:若函数()f x 在区间I 上可导，且在区间I 上连续，若有(,)a b I Í，且()()f a f b =，则()f x 在区间I 上存在驻点)【解析】（1）由函数()log a f x x =在(0,)+∞上具有“M 性质”，可得对任意()1212121,(0,),log log log log 22aa a a x x x x x x +Î+∞³+=又12x x +³1a >；（2）令1()ln ,()g x ax x g x a x ¢=-=-由10e g æö¢=ç÷èø，得ea =则()e ln g x x x =-，在10,e æöç÷èø上严格减:在1,e æö+∞ç÷èø上严格增.要证()g x 在)2e ,é+∞ë上具有“L 性质”.需证g³即证()()212gg x g x éù³×ëû，而(222212 e ln gx x éù==-ëû()()()()()2121122121221e ln e ln e e ln l n ln ln g x g x x x x x x x x x x x x x ×=--=-++×则()()2212121lnln 4x x x x =-()121221ln ln n e l ln x x x x x x +-³，需证()()()212121221121ln ln e ln ln ln ln 4x x x x x x x x x x +-++³，由()212121ln ln ln ln 4x x x x+³，()()122112e ln ln x x x xx x +-12ln ln x x éù=××ëû2e==故只需证0³，下面给出证明：设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x -¢=，即在(e,)+∞上()0,()h x h x<¢递减，所以0hh éù-£ëû，即0³.综上，()()()212121221121ln ln e ln ln ln ln 4x x x x x x x x p x x +-++成立，故g³，得证.（3）①令()(()())()()g x f m f n x f x m n =---，()()()()()g x f m f n f x m n ¢¢=---，由可用结论，令x x =为该函数的驻点，则0()()()()()g f m f n f m n x x ¢¢==---，即取(,)m n x Î，则有()()()()f m f n f m n x ¢-=-，得证.②取12,(,)x x a b Î，设12,(0,1),{1,2}k x x u k <ÎÎ，记01220012,x x x h x x x x =+=-=-，则1020,x x h x x h =-=+，由①中的结论，则有:()()()0001f x h f x hf x u h ¢+-=+（1）()()()0002f x h f x hf x u h ¢--=-（2）由(1)-(2)，得()()()()()00001022f x h f x h f x h f x u h f x u h ¢¢éù-++-=+--ëû对()f x ¢在区间[]0201,x u h x u h -+使用①中的结论，则：()()()2120102()f u u h h f x u h f x u h x ¢¢¢¢éù+=+--ëû，其中，()0201,x u h x u h x Î-+.由于()f x ¢是严格减函数，则()0f x ¢¢£，即()()()0002f x h f x h f x ++-³，即()()121222f x f x x x f ++æö³ç÷èø.所以p 是q 的必要条件.【例3】已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，导函数为()f x ¢，若()()1f x f x x <¢+恒成立，求证：()()3210f f -<.【解析】设函数()()()01f xg x x x =³+，因为()()1f x f x x <¢+，0x ³，所以()()()10x f x f x ¢+-<，则()'g x ()()()()2101x f x f x x -=+¢+<，所以()g x 在[)0,∞+上单调递减，从而()()13g g >,即()()1324f f >，所以()()3210f f -<.【例4】已知函数()f x 满足()()1'xf x f x e +=，且()01f =，判断函数()()()2132g x f x f x =-éùëû零点的个数.【解析】()()()()1''1x x x f x f x e f x e f x e +=Û+=()'1x e f x éùÛ=ëû，∴()xe f x x c =+，()xx c f x e +=，∵()01f =代入，得1c =，∴()1xx f x e +=.()()()()213002g x f x f x f x =-=Þ=éùëû或()16f x =，()1001xx f x x e +=Þ=Þ=-；()()1116166x x x f x e x e +=Þ=Þ=+，如图所示，函数x y e =与函数()61y x =+的图像交点个数为2个，所以()16f x =的解得个数为2个；综上，零点个数为3个.【例5】已知定义在R 上的函数()f x 的导数为()f x ¢,且满足()()2sin f x f x x +-=,当0x ³时()sin cos f x x x x ¢>-- ,求不等式()π22f x f x æö--ç÷èøsin 2cos x x <+的解集.【解析】设()()sin g x f x x =-,则()()sin g x f x x -=-+,所以()()g x g x --=()()f x f x --2sin 0x -=,所以()g x 是偶函数,设()()sin 0h x x x x =-³,则()1cos 0h x x ¢=-³,所以()()0h x h ¢³,即sin 0x x -³,所以0x ³时()sin cos cos f x x x x x ¢>--³- , 所以0x ³时()()cos 0g x f x x ¢¢=+>,()g x 在[)0,+∞上是增函数,所以()π22f x f x æö--ç÷èøsin 2cos x x<+()2sin 2f x xÛ-ππsin 22f x x æöæö<---ç÷ç÷èøèø()π22g x g x æöÛ<-ç÷èø()π22g x g x æöÛ<-ç÷èøπ22x x Û<-Û()22π22x x æö<-ç÷èøππ3022x x æöæöÛ+-<ç÷ç÷èøèøππ26x Û-<<,故选C.【例6】已知定义域为R 的函数()y f x =，其导函数为()y f x ¢¢=，满足对任意的x ÎR 都有()1f x ¢<.(1)若()sin 4xf x ax =+，求实数a 的取值范围；(2)若存在0M >，对任意x ÎR ，成立()f x M £，试判断函数()y f x x =-的零点个数，并说明理由；(3)若存在a 、()b a b <，使得()()f a f b =，证明：对任意的实数1x 、[]2,x a b Î，都有()()122b af x f x --<.【解析】（1）若()sin 4x f x ax =+，则cos ()4xf x a ¢=+，由题意，对任意的x ÎR 都有()1f x ¢<，则1cos 4x a +<，即1cos 14xa <+<-，所以cos cos 1441x xa <---<，由于1cos 4x -的最小值为34，cos 14x --的最大值为34-，所以3344a -<<，即实数a 的取值范围为33,44æö-ç÷èø；（2）依题意，()10y f x ¢¢=-<，所以，()y f x x =-在R 上为减函数，所以至多一个零点；()f x M £Þ()M f x M -<<，，当1x M =--时，()()110y f x x f M M =-=--++>，当1x M =+时，()()110y f x x f M M =-=+--<，所以()y f x x =-存在零点，综上存在1个零点；（3）因为()1f x ¢<，由导数的定义得()()12121f x f x x x -<-，即()()1212f x f x x x -<-，不妨设12a x x b £££若122b ax x --£，则()()12122b a f x f x x x --<-£若122b a x x -->，则()()()()()()1212f x f x f x f b f a f x -=-+-()()()()12f x f b f a f x <-+-12b x x a<-+-()22b a b ab a --<--=.1.若定义域为D 的函数()y f x =使得()y f x ¢=是定义域为D 的严格增函数，则称()f x 是一个“T 函数”．(1)分别判断()13=x f x ，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由；(2)已知常数0a >，若定义在()0,∞+上的函数()y g x =是T 函数，证明：()()()()132g a g a g a g a +-<+-+；(3)已知T 函数()y F x =的定义域为R ，不等式()0F x <的解集为(),0∞-．证明：()F x 在R 上严格增．2．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”；(2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x ¢，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ÎR ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．3．（2024届江苏省盐城市滨海县高三下学期高考适应性考试）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数(,,)(,)(,)L x y f x y g x y l l =+，其中l 为拉格朗日系数．分别对(,,)L x y l 中的,,x y λ部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：(,,)(,)(,)0(,,)(,)(,)0(,,)(,)0x x x y y y L x y f x y g x y L x y f x y g x y L x y g x y ll l l l l =+=ìï=+=íï==î，解此方程组，得出解(,)x y ，就是二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点．,x y 的值代入到(,)f x y 中即为极值．补充说明：【例】求函数22(,)f x y x xy y =++关于变量x 的导数．即：将变量y 当做常数，即：(,)2x f x y x y =+，下标加上x ，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的,,x y L L L l 表示分别对,,x y λ进行求导．(1)求函数222(,)2f x y x y xy xy =++关于变量y 的导数并求当1x =处的导数值．(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数,x y 满足22(,)410g x y x y xy =++-=，求(,)2f x y x y =+的最大值．(3)①若,,x y z 为实数，且1x y z ++=，证明：22213x y z ++³．②设0a b c >>>，求221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值．4．（2024届浙江省宁波市宁波九校高三上学期期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为()()()()()01v x y u x u x u x =>¹，，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数x y x =，()()()()ln ln ln e e e ln 1x x x x x x x y x x ¢¢¢¢éù====+êúëû.(1)已知()10x xf x xx -=>，，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若0m >且1m ¹，0x >.研究()112xxm g x æö+=ç÷èø的单调性；(3)已知a b s t ，，，均大于0，且a b ¹，讨论2t s s a b æö+ç÷èø和2st t a b æö+ç÷èø大小关系.5．（湖北省八市高三下学期3月联考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处的()*n n ÎN 阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =++++¢¢×××+¢+×××．注：()f x ¢¢表示()f x 的2阶导数，即为()f x ¢的导数，()()()3n f x n ³表示()f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.(1)根据该公式估算1sin 2的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：246cos 12!4!6!x x x x =-+-+×××．当0x ³时，试比较cos x 与212x-的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；(3)设*n ÎN ，证明：()111142tannk n n n k n k=>-+++å.6. 函数()f x 满足22()(e )(2)ex f x f x -+=（e 为自然数的底数），且当1x £时，都有()()0f x f x ¢+>（()f x ¢为()f x 的导数），比较20202022(2022)(2020),e ef f 的大小 .7.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x ¢，且2()()0f x xf x ¢+>．求证： ()0f x ³.8.已知函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ，()23f x +是偶函数，记()()g x f x ¢=，()2g x +也是偶函数，求()2023f ¢的值.9. 定义在()0,∞+上的函数()y f x =有不等式()()()23f x xf x f x ¢<<恒成立，其中()y f x ¢=为函数()y f x =的导函数，求证：()()2481f f <<.10．已知()f x ¢为定义域R 上函数()f x 的导函数，且()()20f x f x ¢¢+-=，1x ³， ()()()120x f x f x -+>¢且()31f =，求不等式()()241f x x >-的解集11.定义在区间(0,)+∞上函数()f x 使不等式2()'()3()f x xf x f x <<恒成立，（'()f x 为()f x 的导数），求(2)(1)f f 的取值范围.12.设()y f x =是定义在R 上的奇函数.若()(0)f x y x x=>是严格减函数，则称()y f x =为“D 函数”.(1)分别判断y x x =-和sin y x =是否为D 函数，并说明理由；(2)若1112xy a =-+是D 函数，求正数a 的取值范围；(3)已知奇函数()y F x =及其导函数()y F x ¢=定义域均为R .判断“()y F x ¢=在()0,∞+上严格减”是“()y F x =为D 函数”的什么条件，并说明理由.13.设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的导数()f x ¢满足0()1f x ¢<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由；（2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n Î，使得等式()0()()()f n f m n m f x ¢-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R Î，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．14.设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()()2f x f x ¢+>，()02024f =，求不等式2022()2e xf x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集。

微专题6-含导数的抽象函数的构造(教案)

微专题6-含导数的抽象函数的构造一、构造和差函数对于()()0f x a a '≥≠，可构造()()F x f x ax =-，则()F x 单调递增．例1、已知()()y f x x =∈R 的导函数()f x '满足()3f x '>且(1)3f =，则不等式()3f x x >的解集是．【答案】(1,)+∞【解析】令()()3F x f x x =-，则()()30F x f x ''=->，∴()F x 在R 上为单调递增．又∵(1)3f =，∴(1)(1)30Ff =-=，则()3f x x >可转化为()0(1)F x F >=，根据()F x 单调性可知不等式()3f x x >的解集为(1,)+∞．二、构造积函数对于()()()()0f x g x g x f x ''+≥，可构造()()()F x f x g x =，则()F x 单调递增．(特例：对于'()()0f x f x +≥，可构造()()x F x e f x =，则()F x 单调递增．）例2、设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2019)(2019)4(2)0x f x f ++-->的解集为（）A．(2020,0)-B．(2021,0)-C．(,2020)-∞D．(,2021)-∞-【答案】D【解析】令2()()g x x f x =，2()()2()(()2())g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+，∵当0x <时，22()()0f x xf x x '+>>，∴[()2()]0x xf x f x '+<，∴2()()g x x f x =在(,0)-∞上是减函数，∴2(2019)(2019)4(2)0x f x f ++-->可化为22(2019)(2019)4(2)(2)(2)x f x f f ++>-=--，∴201920x +<-<，故2021x <-．故选D．三、构造商函数对于'()()()'()0f x g x f x g x -≥，可构造()()()f x F xg x =，则()F x 单调递增．（特例：对于'()()0f x f x -≥，可构造()()x f x F x e=，则()F x 单调递增．）例3、设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x e f x f x -<-的解集为．【答案】(1,)+∞【解析】设()()xf x F x e =，则()()()x f x f x f x e '-'=，∵()()f x f x '>，∴()0F x '>，即函数()F x 在定义域上单调递增．∵1()(21)x ef x f x -<-，∴21()(21)x x f x f x e e--<，即()(21)F x F x <-，∴21x x <-，即1x >．∴不等式1()(21)x ef x f x -<-的解集为(1,)+∞．课堂自主练习1、已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()()0f x f x '+<，(0)1f =，则不等式()1x e f x <的解集为．【答案】(0,)+∞【解析】令()()x g x e f x =，因为()()0f x f x '+<，所以()()()0x x e f x e f x ''+<，故()(())0x g x e f x ''=<，故()g x 在R 上单调递减，又(0)1f =，∴0(0)(0)1g e f ==．∴不等式()1xef x <可转化为()(0)g x g <，根据()g x 单调性可得x >，即()1x e f x <的解集为(0,)+∞．2、已知定义在[1,4]的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()2()0xf x f x '+>，且3223f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式232()0f x x ->的解集为．【答案】3,42⎛⎤⎥⎝⎦【解析】构造函数2()()F x x f x =，∴当[1,4]x ∈时，2'()2()()[2()()]0F x xf x x f x x f x xf x ''=+=+>，故函数()F x 在区间[1,4]上递增，且23333(()()2222F f =⋅=，∴原不等式232()0f x x ->可变为23()2x f x >，即3()(2F x F >，根据单调性有342x <≤，故原不等式的解集为3,42⎛⎤ ⎥⎝⎦．3、已知()()y f x x =∈R 的导函数为()f x '，若3()()2f x f x x --=且当0x ≥时2()3f x x '>，则不等式2()(1)331f x f x x x -->-+的解集是．【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令3()()F x f x x =-，则由3()()2f x f x x --=，可得()()F x F x -=，故()F x 为偶函数，又当0x ≥时，2()3f x x '>即'()0F x >，所以()F x 在[0,)+∞上为增函数．不等式2()(1)331f x f x x x -->-+可转化为()(1)F x F x >-，∴根据()F x 单调性和奇偶性可得1x x >-，解得12x >．4、已知f′(x)是定义在R 上的连续函数f(x)的导函数，满足f′(x)－2f(x)<0，且f(－1)＝0，则f(x)>0的解集为()A．(－∞，－1)B．(－1，1)C．(－∞，0)D．(－1，＋∞)解：令g(x)＝f（x）e2x ，则g′(x)＝f′（x）－2f（x）e2x<0在R 上恒成立，所以g(x)在R 上单调递减，又因为g(－1)＝0，f(x)>0⇔g(x)>0，所以x<－1.故选A.。

高考数学精准培优专练三含导函数的抽象函数的构造(文) 学生版

由（2）知， g(x) 在 (0, ln 2) 上单调递减，在 (ln 2,) 上单调递增，
又 g(x) 3 e 0 ， g(1) 0 ， 0 ln 2 1，∴ g(ln 2) 0 ，
所以，存在 x0 (0,1) ，使得 g(x) 0 ，所以，当 x (0, x0 ) (1,) 时， g(x) 0 ；当 x (x0 ,1) 时， g(x) 0 ，故 g(x) 在 (0, x0 ) 上单调递增，在 (x0 ,1) 上单调递减，在 (1,) 上单调递增，又 g(0) g(1) 0 ，∴ g(x) ex x2 (e 2)x 1 0 ，当且仅当 x 1时取等号，
（2）若 x [1, 3] ，求 f (x) 的最大值．
17．已知函数 f x ax3 bx2 cx d 在 R 上是奇函数，且在 x 1 处取得极小值 2 ．（1）求 f x 的解析式；（2）求过点 A0,16 且与曲线 y f (x) 相切的切线方程．
18．设函数 f (x) 1 x2 ax 2 ln x(a R) 在 x 1 时取得极值． 2
对点增分集训
一、选择题
1．设函数 f (x) 在定义域内可导， y f (x) 的图像如图所示，则导函数 y f (x) 的图像可能为（）
A．
B．
C．
D．
2．曲线 y x3 11 在点 P(1,12) 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是（）
A． 9
B．15
C． 9
D． 3
3．已知函数 f (x) 的导函数为 f x ，且满足 f x 2xf (1) ln x ，则 f (2) （）
3
3
14．曲线 y xex 2x 1在点 (0, 1) 处的切线方程为_______．

2.6.2 导数专题提升-抽象函数求导与求导逆运算(构造函数)

2.6.2导数专题提升2-抽象函数求导与求导逆运算（构造函数）类型一()0)(''>±x h x f 型，构造函数)()()(x h x f x g -= 特别的 ()k x f >'型，构造函数kx x f x g -=)()(例1 （1）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x R ∈，f （x ）＞2，则f(x)＞2x+4的解集为（）A(-1,1) B(-1，+∞） C(-∞,-1) D(-∞,+∞)（2）设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围为（）A ． [3,3]-B ． [3,)+∞C ． [2,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞〖变式1〗（1）函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足()1'>x f ，且3)2(=f ，则不等式1)(+<x x f 的解集为；（2）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（） A ．11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭类型二()()0'>+x f x xf 型，构造函数)()(x xf x g =例2（1）若奇函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足()()0'>+x f x xf ，0)3(=f ，则不等式0)(>x xf 的解集为；0)(>x f 的解集为。

导数中的构造函数(最全精编)

1、利用 f (x ) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x ),f (x ) ；这类形式是对u ⋅ v , u型数导数计算的推广及应用，我们对u ⋅ v , u的导函数观察可得知， u ⋅ v 型导函数中体现的是“ + ”法， u型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“ + ”法形式时，优先考虑构造u ⋅ v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造 u，我们根据得出的“优先”原则，看一看例 1，例 2.【例 1】 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，当 x < 0 时， f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，且 f (-4) = 0 ，则不等式 xf (x ) > 0 的解集为【解析】构造 F (x ) = xf (x ) ，则 F ' (x ) = f (x ) + xf ' (x ) ，当 x < 0 时，f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，可以推出 x < 0 ， F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在(-∞,0) 上单调递减.∵ f (x ) 为偶函数， x 为奇函数，所以 F (x ) 为奇函数， ∴ F (x ) 在 (0,+∞) 上也单调递减. 根据 f (-4) = 0 可得F (-4) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (x ) > 0 的解集为(-∞,-4) ⋃ (0,4) .❀❀❀思路点拨：出现“ + ”形式，优先构造 F (x ) = xf (x ) ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

专题6.1 导数中的构造函数-2121届高考数学压轴题讲义(选填题)(原卷版)

恒成立，则实数 a 的取值范围是______．
13．【山东省济南市山东师范大学附属中学 2019 届高三四模】定义在 R 上的奇函数的导函数满足
，且
，若
，则不等式
的解集为______．
14．【广东省佛山市第一中学 2019 届高三上学期期中】已知定义在 R 上的奇函数满足 f（1）=0，当 x
＞0 时，
恒成立，
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C．
D．
恒成立，则正
11．【2019 届高三第二次全国大联考】已知定义在上的可导函数
的导函数为
时， A．0
，则函数 B．1
的零点个数为 C．2
D．0 或 2
，若当
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二、填空题
12．【江苏省海安高级中学 2019 届高三上学期第二次月考】若关于 x 的不等式
对任意
的实数
及任意的实数
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A．
B．
C．当时，取得极大值
D．当时，
2．利用 f x 与 ex 构造
f x 与 ex 构造，一方面是对 u v ， u 函数形式的考察，另外一方面是对 ex ex 的考察．所以对于 v
f
x
f x 类型，我们可以等同 xf
x ，
f
x
的类型处理，
“ ”法优先考虑构造 F x
1．【山西省 2019 届高三百日冲刺】已知函数
则的取值范围为（）
A．
B．
C．
，若对任意的 D．
，
恒成立，
2．【海南省海口市 2019 届高三高考调研】已知函数的导函数满足
对
恒成立，则下列判断一定正确的是（）

2019届高三数学专题练习含导函数的抽象函数的构造

2019届高三数学专题练习含导函数的抽象函数的构造1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =-例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（） A ．()1,1-B ．()1-+∞，C ．()1-∞-，D ．()-∞+∞，2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造()()f x h x x=例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立，()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造()()e xf x h x =例3：已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（）A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f >B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f <C ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f >D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f <4．()f x 与sin x ，cos x 构造例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则（）A ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．()03f f π⎛⎫<2- ⎪⎝⎭C 34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一、选择题1．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（） A ．()()af b bf a 或 D ．}{1x x |>3．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数，且()()()10f x x f x '+->，则（） A ．()10f =B ．()0f x <C ．()0f x >D ．()()10x f x -<4．设函数()f x '是函数()()R f x x ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()()4f x f x ''=-，()40f =，()21f =则使得()2e 0x f x -<成立的x 的取值范围是（）A ．()2-+∞，B ．()0+∞，C ．()1+∞，D ．()4+∞，5．已知函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()sin cos f x x f x x >'（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 3ππ42f⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ223f⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D 5π3π64f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()2018f x +为奇函数，则不等式()2018e 0x f x +<的解集为（）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1e ,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数()2f x +是偶函数，且当2x >时满足()()()2xf x f x f x ''>+，则（）A ．()()214f f ⎪⎝⎭C ．()5042f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()()13f f <8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若1133a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()33b f =--，11lnln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c <⎡⎤⎣⎦'，则（） A ．()()10f f C ．()()33e 0f f >D ．()()44e 0f f <10．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，()00f =若对任意R x ∈，都有()()'1f x f x >+，则使得()e 1f x x +<成立的x 的取值范围为（）A ．(),1∞-B ．(),0∞-C ．()1,+∞-D ．0,+∞（）11．已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，满足()0f x >且()()'0f x f x +<（()'f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（）A ．()()()1f a a f b >+B ．()()()1f b a f a >-C ．()()af a bf b >D ．()()af b bf a >12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，不等式()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)e f =．则(1)f 的值为________．14．已知,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭π，()1y f x =-为奇函数，()()'tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x>的解集为_________．15．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足()27f =，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为__________．16．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，且()10f =．若0x <时，()()'0xf x f x ->，则不等式()0f x >的解集为__________．1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =-例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（） A ．()1,1-B ．()1-+∞，C ．()1-∞-，D ．()-∞+∞，【答案】B【解析】构造函数()()24G x f x x =--，所以()()2G x f x ''=-，由于对任意R x ∈，()2f x '>，所以()()20G x f x ''->=恒成立，所以()()24G x f x x =--是R 上的增函数，又由于()()()112140G f -=----⨯=，所以()()240G x f x x -->=，即()24f x x >+的解集为()1-+∞，．故选B ．2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造()()f x h x x=例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立，()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】D【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称，所以函数()y xf x =为奇函数．因为()()()xf x f x xf x ''=+⎡⎤⎣⎦，所以当(),0x ∈-∞时，()()()0xf x f x xf x ''=+<⎡⎤⎣⎦，函数()y xf x =单调递减，当()0,x ∈+∞时，函数()y xf x =单调递减．因为0.2122<<，0log 31π<<，3log 92=，所以0.230log 32log 9π<<<，所以b a c >>．故选D ．3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造()()e xf x h x =例3：已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（）A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f >B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f <C ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f >D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f < 【答案】D【解析】构造函数()()e xf xg x =，则()()()()()()()2e e e e x x xx f x f x f x f x g x ''-'-'==，因为R x ∀∈均有()()f x f x '>并且e 0x >，所以()0g x '<，故函数()()e xf xg x =在R 上单调递减，所以(2016)(0)g g ->，(2016)(0)g g <，即2016(2016)(0)ef f -->，2016(2016)(0)e f f <，也就是2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f <．4．()f x 与sin x ，cos x 构造例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则（）A ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．()03f f π⎛⎫<2- ⎪⎝⎭C 34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】提示：构造函数()()cos f x g x x=．一、选择题1．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（）A ．()()af b bf a ∴构造函数()()F x xf x =，则()()()0F x xf x f x ''=+>，从而()F x 在R 上为增函数。

高中数学《抽象函数的构造之非对称构造》【公式编辑器完美编辑版】

抽象函数的导函数构造一、非对称形式构造①平移模型：[]()()()0()()0x a f x f x x a f x ''++>⇔+>；()()()()00()f x x a f x f x x a '⎡⎤'+->⇔>⎢⎥+⎣⎦. ②倍数模型：()()0()0nxf x nf x e f x ''⎡⎤+>⇔>⎣⎦；()()()00nx f x f x nf x e '⎡⎤'->⇔>⎢⎥⎣⎦. ③奇偶模型：()()()()()()2g x f x f x g x F x f x +-=⇒=-为奇函数； ()()()()()()2g x f x f x g x F x f x --=⇒=-为偶函数（()g x 为奇函数）. 二、典型例题1.定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()()()f x f x xf x ''+<恒成立，1(2),(3),1)2a fb fc f ===，则,,a b c 的关系为_____________. 答案：c a b <<2.若定义在R 上的函数()f x 满足()2()0,(0)1f x f x f '->=，则不等式2()x f x e >的解集为_____________.答案：0x >3.已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x 都有2()()f x f x x -+=成立，且当(0,)x ∈+∞时，都有()f x x '>成立，若1(1)()2f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围是_____________. 答案：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4.已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x 都有()()2f x f x x -=-成立，切当(],0x ∈-∞时，都有()21f x x '<+成立，若(2)(1)3(1)f m f m m m <-++，则实数m 的取值范围是_____________. 答案：1(1,)3-。

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含导函数的抽象函数的构造1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =-例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（）A ．()1,1-B ．()1-+∞，C ．()1-∞-，D ．()-∞+∞，【答案】B【解析】构造函数()()24G x f x x =--，所以()()2G x f x ''=-，由于对任意R x ∈，()2f x '>，所以()()20G x f x ''->=恒成立，所以()()24G x f x x =--是R 上的增函数，又由于()()()112140G f -=----⨯=，所以()()240G x f x x -->=，即()24f x x >+的解集为()1-+∞，．故选B ．2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造()()f x h x x=例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立，()0.20.222a f =，()log3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】D【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称，所以函数()y xf x =为奇函数．因为()()()xf x f x xf x ''=+⎡⎤⎣⎦，所以当(),0x ∈-∞时，()()()0xf x f x xf x ''=+<⎡⎤⎣⎦，函数()y xf x =单调递减，当()0,x ∈+∞时，函数()y xf x =单调递减．因为0.2122<<，0log 31π<<，3log 92=，所以0.230log 32log 9π<<<，所以b ac >>．故选D ．3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造()()ex f x h x =例3：已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（） A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f >B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f <C ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f >D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f <【答案】D【解析】构造函数()()e xf xg x =，则()()()()()()()2e e e e x x xx f x f x f x f x g x ''-'-'==，因为R x ∀∈均有()()f x f x '>并且e 0x >，所以()0g x '<，故函数()()ex f xg x =在R 上单调递减，所以(2016)(0)g g ->，(2016)(0)g g <，即2016(2016)(0)e f f -->，2016(2016)(0)e f f <，也就是2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f <．4．()f x 与sin x ，cos x 构造例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则（） A ．()04f π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()03f f π⎛⎫<2- ⎪⎝⎭C34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】提示：构造函数()()cos f x g x x=．一、选择题1．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（）A ．()()af b bf a ∴构造函数()()F x xf x =，则()()()0F x xf x f x ''=+>，从而()F x 在R 上为增函数。

对点增分集训∵a b <，∴()()F a F b <，即()()af a bf b <，故选C ．2．已知函数()()R f x x ∈满足()11f =，且()12f x '<，则()122x f x <+的解集为（）A ．}{11x x |-<或D ．}{1x x |>【答案】D【解析】构造新函数1()()22x F x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则11(1)(1)11022F f ⎛⎫=-+=-= ⎪⎝⎭，1'()'()2F x f x =-，对任意R x ∈，有1'()'()02F x f x =-<，即函数()F x 在R 上单调递减，所以()0F x <的解集为(1,)+∞，即()122x f x <+的解集为(1,)+∞，故选D ．3．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数，且()()()10f x x f x '+->，则（）A ．()10f =B ．()0f x <C ．()0f x >D ．()()10x f x -<【答案】C【解析】由题得()()'[1]0x f x ->，设()()()1g x x f x =-，所以函数()g x 在R 上单调递增，因为()10g =，所以当1x <时，()0g x <；当1x >时，()0g x >．当1x <时，()0g x <，()()10x f x -<，所以()0f x >．当1x >时，()0g x >，()()10x f x ->，所以()0f x >．当1x =时，()()()11110f f +-'>，所以()10f >．综上所述，故答案为C ．4．设函数()f x '是函数()()R f x x ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()()4f x f x ''=-，()40f =，()21f =则使得()2e 0x f x -<成立的x 的取值范围是（）A ．()2-+∞，B ．()0+∞，C ．()1+∞，D ．()4+∞，【答案】B【解析】设()()ex f xF x =，则()()()''e0xf x f x F x -=<，即函数()F x 在R 上单调递减，因为()()''4f x f x =-，即导函数()'y f x =关于直线2x =对称，所以函数()y f x =是中心对称图形，且对称中心2,1（），由于()40f =，即函数()y f x =过点4,0（），其关于点2,1（）的对称点0,2（）也在函数()y f x =上，所以有02f =（），所以()()002e0f F ==，而不等式()2e 0f x x -<，即()e2xf x ＜，即()()0F x F <，所以0x >，故使得不等式()2e 0f x x -<成立的x 的取值范围是0+∞（，）．故选B ． 5．已知函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()sin cos f x x f x x >'（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 3ππ42f ⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ223f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D5π3π64f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】由已知，()f x 为奇函数，函数()y f x =对于任意的()0,x ∈π满足()()sin cos f x x f x x >'，得()()sin cos 0f x x f x x '->，即()0sin f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()sin f x y x=在()0,π上单调递增；又因为()sin f xy x=为偶函数，所以()sin f xy x=在(),0-π上单调递减．所以32sin sin32f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<ππππ223f⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝π⎭π．故选C ．6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()2018f x +为奇函数，则不等式()2018e 0x f x +<的解集为（） A ．(),0-∞ B ．()0,+∞C ．1e ,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1e,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】构造函数()()ex f x g x =，则()()()0ex f x f xg x -''=<，所以()g x 在R 上单独递减，因为()2018f x +为奇函数，所以()020180f +=，∴()02018f =-，()02018g =-．因此不等式()2018e 0x f x +<等价于()()0g x g <，即0x >，故选B ．7．已知函数()2f x +是偶函数，且当2x >时满足()()()2xf x f x f x ''>+，则（） A ．()()214f f ⎪⎝⎭C ．()5042f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()()13f f <【答案】A【解析】()2f x +是偶函数，则()f x 的对称轴为2x =，构造函数()()2f xg x x =-，则()g x 关于()2,0对称，当2x >时，由()()()2xf x f x f x ''>+，得()()()()()22''02x f x f x g x x --=>-，则()g x 在()2,+∞上单调递增，()g x 在(),2-∞上也单调递增，故()()()134123242f f f =->----，∴()()214f f <．本题选择A 选项． 8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若1133a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()33b f =--，11ln ln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c <，∴当0x >时，()()0x f x f x ⋅'+>．当0x <时，()()0x f x f x ⋅'+<，即()F x 在0,+∞（）单调递增，在(),0∞-单调递减．(111333F a f F ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()3333F b f F -==--=，()111ln ln ln ln 3333F c f F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵ln33<<，∴(()()ln33F F F <<．即a c b <<，故选C ． 9．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()()222e x f x f x --=（e 为自然对数的底数），且当1x ≠时，()()()10x f x f x -->⎡⎤⎣⎦'，则（） A ．()()10f f C ．()()33e 0f f >D ．()()44e 0f f <【答案】C【解析】令()()e x F x f x -=，∴()()()'e 'x F x f x f x -=-⎡⎤⎣⎦，∵()()()1'0x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，∴1x <时，10x -<，则()()'0f x f x -<， ∴()0F x '<，()F x 在(),1-∞上单调递减，∴()()()210F F F ->->，即()()()22e 1e 0f f f ->->，∵()()222e x f x f x --=，∴()()642e f f =-，()()431e f f =- ∴()()440e f f >，()()330e f f >，故选C ．10．（2020年）定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，()00f =若对任意R x ∈，都有()()'1f x f x >+，则使得()e 1f x x +<成立的x 的取值范围为（）A ．(),1∞-B ．(),0∞-C ．()1,+∞-D ．0,+∞（）【答案】D【解析】构造函数：()()1ex f x g x -=，()()001e01f g -==-，∵对任意R x ∈，都有()()'1f x f x >+，∴()()()()()()2e 1e 10e e x x x x f x f x f x f x g x '--⎡⎤'+-⎣⎦'==<， ∴函数()g x 在R 单调递减，由()e 1x f x +<化为：()()()110ex f x g x g -=<-=，∴0x >．∴使得()e 1x f x +<成立的x 的取值范围为0,+∞（）．故选D ． 11．已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，满足()0f x >且()()'0f x f x +<（()'f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（） A ．()()()1f a a f b >+B ．()()()1f b a f a >-C ．()()af a bf b >D ．()()af b bf a >【答案】C【解析】构造函数()()()e 0x F x f x x =>，，()()()e 0x F x f x f x ''=+<⎡⎤⎣⎦，所以()F x 是()0,+∞上的减函数．令01x <<，则1x x<，由已知()1F x F x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，可得()11e x x f x f x -⎛⎫> ⎪⎝⎭，下面证明12e1x xx ->，即证明12ln 0x x x-+>，令()12ln g x x x x=-+，则()()2210x g x x -'=-<，即()g x 在()0,1上递减，()()1g x g >，即12e1x xx ->，所以()11xf x f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，若01a b <<<，1ab =，则()()af a bf b >．故选C ．12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，不等式()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】定义在R 上的奇函数()f x 满足：()()()0033f f f ===-，且()()f x f x -=-，又0x >时，()()'f x xf x >-，即()()'0f x xf x +>， ∴()0xf x '>，函数()()h x xf x =在0x >时是增函数，又()()()h x xf x xf x -=--=，∴()()h x xf x =是偶函数； ∴0x <时，()h x 是减函数，结合函数的定义域为R ，且()()()0330f f f ==-=，可得函数()1y xf x =与2lg 1y x =-+的大致图象如图所示，∴由图象知，函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为3个．故选C ．二、填空题13．设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)e f =．则(1)f 的值为________．【答案】1e 【解析】由'()()f x f x ≥-得'()()0f x f x +≥，所以e '()e ()0x x f x f x +≥，即[e ()]'0x f x ≥，设函数()e ()x F x f x =，则此时有1(2)(0)1F F =≥=，故()e ()1x F x f x ==，1(1)ef =． 14．已知,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭π，()1y f x =-为奇函数，()()'tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为_________．【答案】0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭π 【解析】∵()1y f x =-为奇函数，∴()010f -=，即()01f =，令()()cos f x g x x =，,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭π，则()()()2'cos sin 0cos f x x f x x g x x+'=>，故()g x 在,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭π递增，()cos f x x >，得()()()10cos f x g x g x=>=，故0x >，故不等式的解集是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 15．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足()27f =，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为__________．【答案】()20,e【解析】设ln t x =，则不等式()ln 3ln 1f x x >+等价为()31f t t >+，设()()31g x f x x =--，则()()''3g x f x =-，∵()f x 的导函数()'3f x <，∴()()''30g x f x =-<，函数()()31g x f x x =--单调递减，∵()27f =，∴()()223210g f =-⨯-=，则此时()()()3102g t f t t g =-->=，解得2t <，即()31f t t >+的解为2t <，所以ln 2x <，解得20e x <<，即不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为()20,e ，故答案为()20,e ．16．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞U 上的奇函数，且()10f =．若0x <时，()()'0xf x f x ->，则不等式()0f x >的解集为__________．【答案】()(),10,1-∞-U【解析】设()()f x g x x =，则()()()2''xf x f x g x x-=，当0x <时，由已知得()'0g x >，()g x 为增函数，由()f x 为奇函数得()()110f f -=-=，即()10g -=，∴当1x <-时()()0f x g x x=<，()0f x >，当10x -<<时，()()0f x g x x=>，()0f x <，又()f x 是奇函数， ∴当01x <<时，()0f x >，1x >时，()0f x <．∴不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-U ．故答案为()(),10,1-∞-U ．。

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