学而思四年级秋季班第八讲(幻方与数阵图)

e
d
同理可分析，中间数也不能填 9，具体过程
同学们自己试试吧。 中间数只能填 3 和 6。
f
0
c
接下来程老师把中间数填 3 的过程解析一遍，
填 6 的情况同学们就自己试试啦。
a
b
四年级秋季班（七级下） 8.7
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
程雪
中间数填 3，每个阴影三角形的和 k=（45-3）÷3=14，
3、出格了怎么办？——卷纸筒，上面出格就卷到下面，右面出格就卷到左面。
4、格子中已有数了怎么办？——右上没路了就往下拐弯嘛。
如，构造三阶具体操作：
1
1
1
1
3
2
2
3
4
2
一居上行正中央
16
3 57
4
2
上出框时往下填
16
35
4
2
右出框时往左填
排重便在下格填
816
（注意是原数 3 的下格）
816
3 57
3 57
五、数独 要点：找限制性多、可能性少的地方入手，必要的时候用枚举法试填。
例 4 在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个
数字都是 1,2,3,4。
1234
2
解析：先看对角线，a 处只能填 1，b 处就只能填 3。以此类推，c 填 3，d 填 4，e 填 4……
1 234 c e a d b
二、幻方的构造方法
1、杨辉口诀法（三阶）
具体操作如下：
——九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出
1
9
4
9
2
4
2
4
2
7
5
3
8
6
3
5
7
8
6
3
5
7
9
1
8
1
6
九子斜排
上下对易，左右相更
四维挺出
2、连续摆数法（罗伯法）
适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方。
要点：1、首数填在第一行的正中间
2、连续往右上方摆数
四年级秋季班（七级下） 8.3
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
程雪
492 3 5 7 对应的数填在对应的位置 816 先写出基本型
17 27 13 15 19 23 25 11 21
OK 啦
四、三阶幻方小窍门 1、中心数=幻和÷3 证明： a b c
def
ghi
对于这一个三阶的幻方，我们只看红色的四条线，每条线三个数的和都=幻和
在四边都构造楼梯
5
4
10
3
9
15
2
8
14
20
1
7
13
19
25
6
12
18
24
11
17
23
16
22
21
按顺序排好数
3 16 9 22 15 20 8 21 14 2 7 25 13 1 19 24 12 5 18 6 11 4 17 10 23
把幻方外的数字平移进幻方——上到下，下到上，左到右，右到左 移完后去掉楼梯就 OK 啦
例 3 在下图的 A、B、C、D 处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方 A 12 D B 15 20 16 C 11
四年级秋季班（七级下） 8.4
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
程雪
解析：已知中心数，先求幻和=15×3=45 那么就容易填啦！同学们自己算算吧。 A=19，B=10，C=18，D=14
四年级秋季班（七级下） 8.6
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
程雪
学案 2 把 1～7 这 7 个数分别填入图中的圆圈内，使得每个圆周和每条直线上的 3 个数的和 都相等。
7
1
4
6
5
3
2
解析：先不看圆周，那么本题就与上题一样了，那么中间数只能选择 1,4,7。 增加了圆周的限制条件，会怎样呢？只看圆周，除了最中间的数，其余六个数平均分成 2 个 圆，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 = 28，设每个圆之和为 k，则有 28-中间数=2k，那么中间数必须 是偶数。所以只能是 4。剩下的数平分成两个圆，应是 1,5,6 与 2,3,7。同学们可以先填入一 个圆周，再结合每条直线上的配组应是 1-7,2-6,3-5，那么得到答案如右上图。
四条红线的总和：4 个幻和。
四条红线的总和也是 9 个数再多加 3 遍中心数
那么就有
9 个数+3×中心数=4 个幻和
而 9 个数的总和也是幻方中三行的和，等于 3 个幻和
那么就有
3 个幻和+3×中心数=4 个幻和
3×中心数=1 个幻和
中心数=幻和÷3
反过来，幻和=中间数×3
c
2、角块等于对角两棱块之和的一半 c=（a+b）÷2
（1）只求 x
x
（2）如果中间格填入 100，请在（1）的基础上完成所有格的填数。
19
解析：想想窍门 2，95=（x+19）÷2，那么可算出 x=171
95
中间数是 100，可求出幻和是 300，其他的就好填了，同学们自己试试吧！
最后答案：
你填对了吗？
24 171 105
181 100 19
95 29 176
解析：计算法 线和：12×3=36 数和：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 = 28 线和-数和：36-28=8……重叠部分是 8 中间的那个重叠数被计算了 3 次（3 条线），多计算了 2 次！ 所以重叠数应该是 8 ÷ 2 = 4
多算的次数 中间数填 4，其余 6 个数两两组合，都应该等于 8，故 1、7 一组，2、6 一组,3、5 一组。
492 357
每个数加 3
7 12 5 6 8 10
816
11 4 9
先写出基本型
OK 啦
当然，本题并没有说用哪些数，所以答案很多，但是这种方法是不是更快呢？
拓展：请用 11.13.15.17.19.21.23.25.27 编制一个三阶幻方 解析：这是一个等差数列，将它与基本型中的 1-9 对应好
11 13 15 17 19 21 23 25 27 对应 1 2 3 4 5 6 7 8 9
（二）试算法 适用范围：除开重叠数，每条线还有 2 个数的辐射型数阵图 重叠数选择：最小、最大、正中间 例：把 1～7 这 7 个数分别填入图中的圆圈内，使得每条直线上的 3 个数的和都相等。
解析：除开中间的重叠数，每条线还有 2 个数。中间数一定只能选择 1,4,7。 中间数选 1 时，其余的小的找大的，配组为 2-7,3-6,4-5 中间数选 4 时，其余的小的找大的，配组为 1-7,2-6,3-5 中间数选 7 时，其余的小的找大的，配组为 1-6,2-5,3-4
4
2
492
注意：6 的右上方经过卷纸筒应该对应的是左下方“4”的位置，已经有数“4”了，7 就要在 原数 6 的下方写。
同学们自己试试 5 阶、7 阶：）
四年级秋季班（七级下） 8.1
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
程雪
3、楼梯法（适合奇数阶） 要点：1、构造楼梯
2、数字按顺序斜排 3、把幻方外的数字平移进幻方——上到下，下到上，左到右，右到左 如，构造五阶具体操作：
那么中间数必须是 3 的倍数，只能是 0,3,6,9。我们逐一试验。
当中间数填 0 时，每个阴影三角形的和 k=45÷3=15，
那么 a+b+0 = c+d+0 = e+f+0 = 15,
即 a+b=c+d=e+f=15，但 1-9 中，只有
6+9=7+8=15，找不出第 3 对等于 15 的， 所以中间数不能填 0。
b
a 证明：设中心数为 d，那么幻和为 3d
则第一行中间的数为 3d-d-a=2d-a
第三行最右的数为 3d-c-d=2d-c
c 2d-a ★ db
因为 所以
c+(2d-a)+ ★ = b+(2b-c)+ ★ c+(2d-a) = b+(2b-c) c-a = b-c 2c=a+b
a 2d-c
c=（a+b）÷2
2
最终填完为
1234 3412 4321 2143
四年级秋季班（七级下） 8.5
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
程雪
六、数阵图 关键点：找特殊——重叠部分 （一）计算法
线和 - 数和 = 重叠部分 … 重叠部分就是多算的部分
例：把 1～7 这 7 个数分别填入图中的圆圈内，使得每条直线上的 3 个数的和都等于 12。
6
7
1
3
5
4
9
2
8
四年级秋季班（七级下） 8.8
那么 a+b+3 = c+d+3 = e+f+3 = 14,
即 a+b=c+d=e+f=11，
剩下的数中，2+9 = 4+7 = 5+6 = 11， 同时，0+9+5 = 1+6+7 = 2+4+8 = 14
7
6
结合这两个条件，将 2,9,4,7,5,6 填进去，得到
后面的三个数就好填啦！自己试试吧。
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
程雪
第八讲 幻方与数阵图
一、幻方基本概念 1、幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的 3×3 的数 阵称作三阶幻方，4×4 的数阵称作四阶幻方，5×5 的称作五阶幻方…… 2、幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和
幻和=总和÷阶数
4
3
5
2
9
例 6 将 1-9 分别填入小三角形内（每个小三角形内只填一个数），要求靠近大三角形三条边 的每五个数相加和相等。想一想，怎样填才能使五个数的和尽可能大？
a
c
b
解析：1＋2＋……＋9= 45，把每条边的五个数之和设为 k，那么三条边之和等于 45×2-（a+b+c）, 即 90-（a+b+c）=3k。要使 k 最大，那么（a+b+c）应该最小，同时还要保证是 3 的倍数。取 a+b+c=1+2+3=6，于是 3k=90-6=84，k=28。 关键是怎么填呢？发现剩下的 6 个三角形是两个两个组合在一起的， 那么我们把它们合在一起看， 易知：A 比 C 大 1，B 比 A 大 1， 那么 C,A, B 构成一个公差是 1 的等差数列。剩下的数中 4+8=12,6+7=13,5+9=14，即满足条件。 当然，还可以 5+7=12,4+9=13，6+8=14，给出一种填法如下
16 2 3 13
5678
5678
5 11 10 8
9 10 11 12
9 10 11 12
9 7 6 12
13 14 15 16
4 14 15 1 大对角互换
4 14 15 1 小对角互换
小知识：幻方数量知多少？ 三阶幻方只有一种基本形式（经过旋转、反射，有 8 种变形） 四阶幻方有 880 种基本形式 五阶幻方有 275305224 种基本形式！
（提高）学案 1 在下图空格中填入 7 个自然数，使每行、每列、每一对角线三数之和为 90
23
57
40
解析：告诉了幻和，先求中间数=90÷3=30
23 30
告诉了相邻 2 个棱块，一定能求对角角块=（23+57）÷2=40，得到右图
57
接下来就容易了吧？同学们自己计算吧！
（尖子）学案 1 按要求完成幻方
例 5 能否将数 0,1,2……，9 分别填入下图的各个圆中，使得各阴影三角形的 3 个顶点上的 数之和相等？
解析：先找到突破口，同学们都容易想到最中间的那个圆。在这个题中，它有什么特殊的地
方呢？一是它连接的阴影三角形最多，还有一点，当你把这个圆去掉，发现只有三个独立的
阴影三角形了。设一个阴影三角形的和为 k，那么就有 0＋1＋2＋……＋9= 45，45-中间数=3k，
四年级秋季班（七级下） 8.2
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
程雪
4、四阶（对角线法）
总体来说，偶数阶的幻方构造比奇数阶要复杂。但因为四阶阶数不大，作为拓展，程老师也
给大家补充一下四阶的一种简单构造方法——对角线法。
要点：1、按顺序写数
2、对角互换（注意有大对角和小对角）
1234
16 2 3 13
三、幻方拓展 如：三阶幻方基本型（从 1-9）
492 357
每个数都加 1
5 10 3 468
816
927
幻方的基本型可以拓展为更多的幻方！ 那么我们记一个幻方，幻和增加了 3
例 2 请编出一个三阶幻方，使幻和为 24。 解析：基本型三阶幻方幻和是 15,
幻和增加了 24-15=9 每个数应增加 9÷3=3