函数与方程知识点及题型归纳总结

函数与方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、函数的零点对于函数()x f y =，我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程()0=x f 有实数根⇔函数()x f y =的图像与x 轴有公共点⇔函数()x f y =有零点.三、零点存在性定理如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f，那么函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()c c f ,0=也就是方程()0=x f 的根.四、二分法对于区间[]b a ,上连续不断且()()0<⋅b f a f 的函数()x f ，通过不断地把函数()x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程()0=x f 的近似解就是求函数()x f 零点的近似值.五、用二分法求函数()x f 零点近似值的步骤（1）确定区间[]b a ,，验证()()0<⋅b f a f ，给定精度ε.（2）求区间()b a ,的中点1x .（3）计算()1x f .若(),01=x f 则1x 就是函数()x f 的零点；若()()01<⋅x f a f ，则令1x b =（此时零点()10,x a x ∈）.若()()01<⋅x f b f ，则令1x a =（此时零点()b x x ,10∈）（4）判断是否达到精确度ε，即若ε<-b a ，则函数零点的近似值为a （或b ）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.题型归纳及思路提示题型1 求函数的零点或零点所在区间思路提示 求函数()x f 零点的方法：（1）代数法，即求方程()0=x f 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数()x f y =的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.例2.74 求下列函数的零点：（1）();2223+--=x x x x f （2）().4xx x f -=分析：令函数()0=x f ，因式分解或通分求方程()0=x f 的根，得()x f 的零点.解析：（1）有,02223=+--x x x 得()()0222=---x x x ，所以()()0122=--x x所以.1,2±==x x 故函数()x f 的零点是21,1,-。

（2）有,04=-x x 得042=-x x ，所以()(),022=+-x x x 所以()()022=+-x x ，即22=-=x x 或，故函数()x f 的零点是22-或.变式1 函数()x x f x32+=的零点所在的一个区间是 （ ） A 、()1.2-- B 、()0,1- C 、()1,0 D 、()2,1变式2 设0x 是方程4ln =+x x 的解，则0x 属于区间 （ ）A 、()1,0B 、()2,1C 、()3,2D 、()4,3变式3 设函数3x y =与221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 图像的交点为()00,y x ，则0x 所在的区间是 （ ）A 、()1,0B 、()2,1C 、()3,2D 、()4,3变式4 若,c b a <<则函数()()()()()()()a x c x c x b x b x a x x f --+--+--=的两个零点分别位于区间 （ ）A 、()b a ,和()c b ,内B 、()a ,∞-和()b a ,内C 、()c b ,和()+∞,c 内D 、()a ,∞-和()+∞,c 内题型2 利用函数的零点确定参数的取值范围思路提示：本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.例2.75 已知函数()d cx bx ax x f +++=23的图像如图2—29所示，则 （ ） A 、()0,∞-∈b B 、()1,0∈b C 、()2,1∈b D 、()+∞∈,2b分析 找出()0=x f 的零点，利用()x f 的零点及性质建立参数关系，得出参数范围.解析 由图2—29可得()00=f ，故0=d ，且()x f 有3个零点，故可设()()(),232123ax ax ax x x ax x f +-=--=比较已知()x f 的解析式，得,3a b -=当2>x 时，(),0>x f 因此,0>a 故.0<b 故选A .变式1 若函数()()10≠>--=a a a x a x f x且有两个零点，则实数a 的取值范围是 。

变式2 （2011山东理16）已知函数()()10log ≠>-+=a a b x x x f a 且，当b a <<<324<时，函数()x f 的零点()*∈+∈N n n n x ,1,0，则=n .变式3 （2012天津理14）已知函数112--=x x y 的图像与函数2-=kx y 的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是 ．题型3 方程根的个数与函数零点的存在性问题思路提示方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.例2．76 判断方程032=-x x 的负实数根的个数，并说明理由.分析 找区间[]b a ,使得()()0<⋅b f a f ，然后判定()x f 在区间()b a ,上的单调性，从而得到负实数根的个数.解析 解法一：设(),32x x f x -=因为()(),010,0321>=<-=-f f 又因为函数()x f 的图像在[]0,1-上连续不断，根据零点存在性定理可知，函数()x f 在()0,1-内有零点.又因为在()0,∞-上，函数x y 3=递增，2x y =递减，所以()x f 在()0,∞-上单调递增，所以 ()x f 在()0,1-内只有一个零点.因此方程032=-x x 只有一个负实数根.解法二：如图2—30所示，在同一坐标系xOy 中，作出函数xy 3=与函数2x y =的图像，易知(),32x x f x -=只有一个负零点，即方程032=-x x 只有一个负实数根.评注 如果()x f y =在[]b a ,上的图像时连续不断的曲线，且0x 时函数()x f y =在()b a ,上的一个零点，不一定有()()0<⋅b f a f 如().22⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b a x x f 变式1 已知函数()()02≠++=a c bx ax x f ，且()x x f =没有实数根，证明：是否()()x x f f =是否有实数根？变式2 设(){}()[]{},,x x f f x N x x f x M ====证明：（1）N M ⊆；（2）()x f 为单调函数时，是否有?N M =变式3 对于定义域为[]1,0的函数()x f ，如果同时满足以下三条：○1对任意的[]1,0∈x 总有()0≥x f ；○2()11=f ；○3若,1,0,02121≤+≥≥x x x x 都有()()121x f x x f ≥++()2x f 成立，则函数()x f 为理想函数.（1）若函数()x f 为理想函数，求()x f 的值域；（2）判断函数()[]()1,012∈-=x x g x是否为理想函数，并给与证明； （3）若函数()x f 为理想函数，假定存在[],1,00∈x 使得()[]1,00∈x f ，且()()00x x f f =，求证：()00x x f =.变式4 （2012湖北理9）函数()2cos x x x f =在区间[]4,0上的零点个数为 （ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7变式5 若函数()()R x x f y ∈=满足()(),2x f x f =+且(]1,1-∈x 时，(),12x x f -= 函数 ()()()⎩⎨⎧=≠=010lg x x x x g ，则函数()()()x g x f x h -=在区间[]10,5-上的零点个数为 （ ） A 、13 B 、14 C 、15 D 、16变式6 （2012辽宁理11）设函数()()R x x f y ∈=满足()()()()x f x f x f x f -==-2,，且当[](),,1,03x x f x =∈又函数()(),cos x x x g π=则函数()()()x f x g x h -=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 上的零点个数为 （ ）A 、5B 、6C 、7D 、8例2.77 已知()⎩⎨⎧>≤+=)0(log )0(12x x x x x f ，则函数()[]1+=x f f y 的零点个数是 （ ） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1分析 对于复合函数的零点问题，利用换元法与图像法综合求解.解析 令(),f R x f t ∈=则().1+=t f y 由图2—30（a ）知，(),1-=t f 得212或-=t ，对应图2—30（b ）知，.2,21,41,34321=-==-=x x x x 因此函数()[]1+=x f f y 的零点个数是4，故选A. 评注 本题通过换元后，得到函数()t x f =与(),1+=t f y 同时做出()x f t =与()t f y =的图像.由()1-=t f 得t 的值（或范围），再由()x f t =确定x 的值（或范围），这时复合函数求零点个数问题的通法，望掌握.变式1 已知函数()()(),086)0(41,13223⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=+-=x x x x xx x g x x x f 则方程 ()[]()+∈=-R a a x f g 0的解的个数不可能为 （ ）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个变式2 关于x 的方程()011222=+---k x x ，给出下列4个命题：存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数根；存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实数根；存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实数根；存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实数根；其中假命题的个数是 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3变式3、若函数()c bx ax x x f +++=23有极值点,,21x x 且(),11x x f =则关于x 的方程 ()()0232=++b x af x f 的不同实根个数是 （ ）A 、3B 、4C 、5D 、6 变式4 已知b a ,是实数，1和1-是函数()bx ax x x f ++=23的两个极值点.(1)求a 和b 的值； （2）设函数()x g 的导函数()(),2+='x f x g 求()x g 的极值点；（3）设()()(),c x f f x h -=其中[]2,2-∈c ，求函数()x h y =的零点个数.例2.78 函数x y -=11的图像与函数)42(sin 2≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ）A 、2B 、4C 、6D 、8分析 本题考查利用数形结合思想求解函数图像交点个数问题及整体性质.解析在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，利用两个函数图像共同的对称中心()0,1，设8个交点的横坐标分别为821,,x x x Λ，结合函数图像，如图2—32所示，由对称性得,,2,27281Λ=+=+x x x x 故所有交点的横坐标之和等于8，故选D.评注 本题利用函数图像的中心对称性，整体求解横坐标之和，体现数学解题中整体思想的特点. 变式1 已知定义在R 上的奇函数()x f 满足()()x f x f -=-4，且在区间[]2,0上增函数，若方程()m x f =()0>m 在区间[]8,8-上有4个不同的实根4321,,,x x x x ，则=+++4321x x x x .最有效训练题1、函数()xx x f 1log 2-=的零点所在区间为 （ ） A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 C 、()2,1 D 、()3,22、设0x 是函数()x x f x 2log 31-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的零点，若00x a <<则有 （ ） A 、()0=a f B 、()0<a f C 、()0>a f D 、()a f 的符号不确定3、若函数()()0≠-=b b ax x f 有一个零点3，那么函数()ax bx x g 32+=的零点是 （ ）A 、0B 、1-C 、1,0-D 、1,04、已知函数()1--=ax xe x f x，则关于()x f 的零点叙述正确的是 （ ） A 、函数()x f 必有一个零点是正数 B 、当0=a 时，函数()x f 有两个零点C 、当0<a 时，函数()x f 有两个零点D 、当0>a 时，函数()x f 有两个零点5、对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大正数，例如[][].45.3,3-=-=π定义函数()[],x x x f -=则下列结论正确的是 （ ）A 、函数()x f 的最大值为1，B 、方程()()R k k x f ∈=有且仅有一个解C 、函数()x f 时周期函数D 、函数()x f 是增函数6、已知()()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=-0)0(x e e x x x f x x ，若函数()()1+-=x k x f y 有3个零点，则实数k 的取值范围是 （ ） A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21 B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 D 、()+∞,1 7、()()(),2320log 2⎩⎨⎧>-≤<=x x x x x f 若方程()1-=ax x f 有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围为的取值范围为 .8、设21,x x 是方程m x =-2ln (m 为实常数)的两个根，则=+21x x .9、已知函数()()(),20log 243212⎪⎩⎪⎨⎧<<≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x f x 若函数()()k x f x g -=有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是 .10、已知函数()(),20log 0,12⎩⎨⎧<<≤+=x x x ax x f 若函数()()1+=x f f y 有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是11、已知()(),11-+=x x x f 若关于x 的方程()m x x f +=有3个不同的实数解，求实数m 的取值范围.12、已知函数()().R a a a x x x f ∈--=（1）当2=a 时，求函数的单调区间；（2）讨论函数()x f y =的零点个数.。