机器人学导论第5章1
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t f C1 2C2t f 3C t f 2 0
3
从上例可以看出，若我们已知开始和终止时刻 的角度以及角速度，那么就可以求得 ci ，进而求 得关节的运动方程。
尽管每一个关节都是分别计算的，但是在实际 控制中，所有关节自始至终都是同步运动； 如果机器人初始和末端速度不为零，可以通过 给定数据得到未知数值；
解：
t C0 C1t C2t 2 C t 3
t C1 2C2t 3C t 2
3 3
(t ) 2C2 6C3t 其中 ti 0 tf 3 可以求得
i 75 f 105
i 0 f 0
(t ) 75 10t 2 2.222t 3 (t ) 20t 6.666t 2
5.2 关节空间描述与直角空间描述
1 关节空间描述 如果给定机器人运动的起点和终点，就可以利用逆 运动学方程计算出每个关节的矢量角度值；然后机 器人控制器驱动关节电机运动使机器人到达相应的 位置。这种以关节角度的函数来描述机器人轨迹的 方法称为关节空间法。 特点：在机器人运动的过程中，中间状态是不可知 的，但计算量较小，不会出现奇异点 。
(t ) 5 9.6t 6.96t 2 0.928t 3
关节位置、速度和加速度图形
三、抛物线过渡的线性运动轨迹
如果机器人关节以恒定速度运动，那么轨迹方程就相当于 一次多项式，其速度是常数，加速度为0，这说明在起点和终 点，加速度为无穷大，只有这样才可以瞬间达到匀速状态。但 很显然这是不可能的，因此在起点和终点处，可以用抛物线来 进行过渡。如图所示
如果要求机器末端人依次通过两个以上的点， 则每一段求解出的边界速度和位置均可作为下一段 的初始条件，其余相同；
位置、速度连续，但是加速度不连续。
例5.1：已知一个关节在5秒之内从初始角30度运动 到终端角75度，使用三次多项式计算在第1，2，3， 4秒时关节的角度。（我们假设在开始和终止的瞬 间关节的速度是0)
0
f
三 轨迹规划的分类
§5.4 关节空间的轨迹规划
一、 三次多项式的轨迹规划 我们假设机器人某一关节的运动方程是三次的
t c0 c1t c2t 2 c t 3
3
这里初始和末端条件是 ：
(ti ) i (t f ) f
(ti ) 0 (t f ) 0
(t ) 20 13.332t
进而可以画出以下曲线
max
4( f i ) (t f ti ) 2
为保证 机器人 的加速 度不超 过其自 身能力， 应考虑 加速度 的限制。
根据此式可计算出达到目标所需 要的时间
二、 五次多项式轨迹规划 同例5.1，若采用五次多项式，若再已知初始 加速度和末端减速度均为5 度/秒2 ，其他条件不变， 试画出三条相应曲线。（边界条件变为6个）
例题：若已知某关节以速度 1 =10度/秒在5秒内从 初始角i 30运动到目的角 f 70 。求解所需的过渡 时间并绘制位置、速度和加速度曲线。
解：代入相应公式可得到
i f t f tb 1s 由 i到 A ,由 A到 B ,由 B到 f 的方程如下所示 30 5t 2 10t 10
由此得到位置，速度和加速度的多项式方程如下：
t 30 5.4t 0.72t
2
3
(1) 34.68 (2) 45.84 (3) 59.16 (4) 70.32
t 10.8t 2.16t 2 t 10.8 4.32t
max f i f
t f c2 t f t 2 其中c2
1 2
tb
2 (t f t ) (t ) f 2tb (t ) (t t ) f tb (t ) tb
(t 0) i c0 c0 i (t 0) 0 c1 c1 0 c (t ) c2 2 1 2 (t ) i 2 c2t (t ) c2t (t ) c 2
解：由题意可得到
(ti ) c0 30
(ti ) c1 0 (t f ) c1 2c2 (5) 3c3 (52 ) 0
o 2 3 o
(t f ) c0 c1 (5) c2 (5 ) c3 (5 ) 75
c0 30 c1 0 c 2 5 .4 c3 0.72
我们可以进一步画出关节的位置，速度和加速度曲线
可以看出，本例中需要的初始加速度为10.8度/秒2 运动末端的角加速度为-10.8度/秒2。 例题：
在例5.1的基础上继续运动，要求在其后的3秒内关节 105。画出该运动的位置，速度和加速度曲线。 角到达
思路点拨：可将第一运动段末端的关节位置和速度 作为下一运动段的初始条件。
2 直角坐标空间描述 将轨迹分成若干段，使机器人的运动经过这些中间 点，在每一点都求解机器人的关节变量，直到到达 终点，如下图所示：
直角空间描述
特点：路径可控且可预知，直观、容易看到机器人 末端轨迹；但计算量大，容易出现奇异点，如下图 所示：
轨迹穿过ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ机器人自 身
关节值突变
§5.3 轨迹规划的基本原理
进而由上式可以解得过渡时间：
i f t f tb
显然，t b 不能大于总时间 t f 的一半，否则在整个过程中 将没有直线运动段而只有抛物线加速和抛物线减速段。 2( ) / t 由上式可以计算出对应的最大速度 。应该 ta 说明，如果运动段的初始时间不是0而是 ，则可采用 平移时间轴的办法使初始时间为0。终点的抛物线段是 对称的，只是其加速度为负。因此可表示为：
t c1 2c2t 3c t 2
3
对 t c0 c1t c2t 2 c 3 t 3求一阶导数得到：
将初始和末端条件代入 得到： ti C0 i ti C1 0
3
t f C0 C1t f C2t f 2 C t f 3 f
(t ) c0 c1t c2t 2 c3t 3 c4t 4 c5t 5
(t ) c1 2c2t 3c3t 2 4c4t 3 5c5t 4 (t ) 2c2 6c3t 12c4t 2 20c5t 3
根据这些方程，可以通过位置、速度和加速度 边界条件计算出五次多项式的系数。
§第5章 轨迹规划（4学时）
学习目的： 1 理解轨迹规划原理 2 学会用轨迹规划处理实际问题 学习内容： 1 轨迹规划原理 2 关节空间的轨迹规划 3 直角坐标空间的轨迹规划 4 连续轨迹纪录
§5.1 路径与轨迹
定义： 如果规定一个机器人从A点经过B点运动到C点而不 强调时间的概念，那么这一过程中的位形序列就构 成了一条路径。如果我们强调到达其中任意一点的 时间，那么这就是一条轨迹。我们可以看出轨迹和 路径的区别就在于轨迹依赖速度和加速度。
1 2 3 4 5
(t ) 2c2 6c3t 12c4t 2 20c5t 3
中，得出： c1 0 c0 30 c4 0.58 c3 1.6 进而得到如下运动方程 ：
c2 2.5 c5 0.0464
(t ) 30 2.5t 2 1.6t 3 0.58t 4 0.0464t 5 (t ) 5t 4.8t 2 2.32t 3 0.232t 4
1 2 假设ti和 tf时刻对应的起点和终点 (t ) c0 c1t 2 c2t 位置为 i 和 f ，抛物线与直线 (t ) c1 c2t 部分的过渡段在时间tb和tf-tb处是 (t ) c2 对称的，因此可得：
显然，这个抛物线运动段的加速度是一常数，并在公共点A 和B上产生连续的速度。将边界条件代入抛物线段的方程， 得到：
一 关节空间的轨迹规划 1. 计算起点和终点的关节变量，各关节都以最大角 速度运动 特点：轨迹不规则，末端走过的距离不均匀，且各 关节不是同时到达。
A
B
2. 在1的基础上对关节速率做归一化处理，使各关 节同时到达终点。 特点：各关节同时到达终点，轨迹各部分比较均 衡，但所得路径仍然是不规则的。
A
B
二 直角坐标空间轨迹规划 1. 首先画出路径，接着将路径n等分(为了获得较好 的沿循精度，n越大越好) ，分别计算到达各点所需 的关节变量。 特点：关节角非均匀变化，末端沿已知路径行走。
2. 在1的基础上，考虑各关节的加速减速时间，为 防止在加速期间轨迹落后于设想的轨迹，在划分分 界点时，如果是直线轨迹，就按照方程划分。曲线 轨迹就相对复杂一些。
(3) 在B点前后各加过渡点D,E，使得B点落在DE上。
1) 对于点位作业机器人，需要描述它的起始状态和 目标状态。如果用 表示工具坐标系的起始值， T 表示目标值，就是表示这两个值的相对关系。 T 这种运动称为点到点运动(PTP) 2) 对于弧焊、研磨、抛光等曲面作业，不仅要规定 起始点和终止点，还要规定中间整个运动过程。对 于一段连续运动过程，理论上无法精确实现，实际 上是选取一定数量(满足轨迹插补精度)的点作为中 间点，从而近似实现沿给定的路径运动。 这种运动称为连续路径运动或轮廓运动(CP) 3) 障碍约束轨迹规划
从而给出抛物线段的方程为：
显然，对于直线段，速度将保持为常值，它可以根据 驱动器的物理性能来加以选择。将零出速度、线性段 以及零末端速度代入 (t ) 1 c t 和 (t) 中， ct 常值速度 2 可以得到A、B点以及终点的关节位置和速度如下：
2 i 2
2
1 2 A c2 t b
3. 多点的情况 （1）从A向B先加速，再匀速，接近B时再减速， 从B到C再重复。为避免这一过程中不必要的停 止动作，可将B点两边的动作进行平滑过渡。机 器人先抵达B点，然后沿着平滑过渡的路径重新 加速，最终抵达并停止在C点。
（2）考虑到由于采用了平滑过渡曲线，机器人经 过的可能不是原来的B点，可事先设定一个不同 的B’’点，使曲线正好经过B点。
i 30o f 75
i 0度 / 秒 f 0度 / 秒
i 5度 / 秒2 f 5度 / 秒2
将初始和末端条件代入 (t ) c0 c1t c2t 2 c3t 3 c4t 4 c5t 5 (t ) c 2c t 3c t 2 4c t 3 5c t 4
A i c2 t b 2 B A t f tb tb A t f 2tb
B A f B A i f 0
由上式可以求解过渡时间：
c2 2 tb f i tb t f 2tb t 2 b f i c2tb t f 2tb
3
从上例可以看出，若我们已知开始和终止时刻 的角度以及角速度，那么就可以求得 ci ，进而求 得关节的运动方程。
尽管每一个关节都是分别计算的，但是在实际 控制中，所有关节自始至终都是同步运动； 如果机器人初始和末端速度不为零，可以通过 给定数据得到未知数值；
解：
t C0 C1t C2t 2 C t 3
t C1 2C2t 3C t 2
3 3
(t ) 2C2 6C3t 其中 ti 0 tf 3 可以求得
i 75 f 105
i 0 f 0
(t ) 75 10t 2 2.222t 3 (t ) 20t 6.666t 2
5.2 关节空间描述与直角空间描述
1 关节空间描述 如果给定机器人运动的起点和终点，就可以利用逆 运动学方程计算出每个关节的矢量角度值；然后机 器人控制器驱动关节电机运动使机器人到达相应的 位置。这种以关节角度的函数来描述机器人轨迹的 方法称为关节空间法。 特点：在机器人运动的过程中，中间状态是不可知 的，但计算量较小，不会出现奇异点 。
(t ) 5 9.6t 6.96t 2 0.928t 3
关节位置、速度和加速度图形
三、抛物线过渡的线性运动轨迹
如果机器人关节以恒定速度运动，那么轨迹方程就相当于 一次多项式，其速度是常数，加速度为0，这说明在起点和终 点，加速度为无穷大，只有这样才可以瞬间达到匀速状态。但 很显然这是不可能的，因此在起点和终点处，可以用抛物线来 进行过渡。如图所示
如果要求机器末端人依次通过两个以上的点， 则每一段求解出的边界速度和位置均可作为下一段 的初始条件，其余相同；
位置、速度连续，但是加速度不连续。
例5.1：已知一个关节在5秒之内从初始角30度运动 到终端角75度，使用三次多项式计算在第1，2，3， 4秒时关节的角度。（我们假设在开始和终止的瞬 间关节的速度是0)
0
f
三 轨迹规划的分类
§5.4 关节空间的轨迹规划
一、 三次多项式的轨迹规划 我们假设机器人某一关节的运动方程是三次的
t c0 c1t c2t 2 c t 3
3
这里初始和末端条件是 ：
(ti ) i (t f ) f
(ti ) 0 (t f ) 0
(t ) 20 13.332t
进而可以画出以下曲线
max
4( f i ) (t f ti ) 2
为保证 机器人 的加速 度不超 过其自 身能力， 应考虑 加速度 的限制。
根据此式可计算出达到目标所需 要的时间
二、 五次多项式轨迹规划 同例5.1，若采用五次多项式，若再已知初始 加速度和末端减速度均为5 度/秒2 ，其他条件不变， 试画出三条相应曲线。（边界条件变为6个）
例题：若已知某关节以速度 1 =10度/秒在5秒内从 初始角i 30运动到目的角 f 70 。求解所需的过渡 时间并绘制位置、速度和加速度曲线。
解：代入相应公式可得到
i f t f tb 1s 由 i到 A ,由 A到 B ,由 B到 f 的方程如下所示 30 5t 2 10t 10
由此得到位置，速度和加速度的多项式方程如下：
t 30 5.4t 0.72t
2
3
(1) 34.68 (2) 45.84 (3) 59.16 (4) 70.32
t 10.8t 2.16t 2 t 10.8 4.32t
max f i f
t f c2 t f t 2 其中c2
1 2
tb
2 (t f t ) (t ) f 2tb (t ) (t t ) f tb (t ) tb
(t 0) i c0 c0 i (t 0) 0 c1 c1 0 c (t ) c2 2 1 2 (t ) i 2 c2t (t ) c2t (t ) c 2
解：由题意可得到
(ti ) c0 30
(ti ) c1 0 (t f ) c1 2c2 (5) 3c3 (52 ) 0
o 2 3 o
(t f ) c0 c1 (5) c2 (5 ) c3 (5 ) 75
c0 30 c1 0 c 2 5 .4 c3 0.72
我们可以进一步画出关节的位置，速度和加速度曲线
可以看出，本例中需要的初始加速度为10.8度/秒2 运动末端的角加速度为-10.8度/秒2。 例题：
在例5.1的基础上继续运动，要求在其后的3秒内关节 105。画出该运动的位置，速度和加速度曲线。 角到达
思路点拨：可将第一运动段末端的关节位置和速度 作为下一运动段的初始条件。
2 直角坐标空间描述 将轨迹分成若干段，使机器人的运动经过这些中间 点，在每一点都求解机器人的关节变量，直到到达 终点，如下图所示：
直角空间描述
特点：路径可控且可预知，直观、容易看到机器人 末端轨迹；但计算量大，容易出现奇异点，如下图 所示：
轨迹穿过ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ机器人自 身
关节值突变
§5.3 轨迹规划的基本原理
进而由上式可以解得过渡时间：
i f t f tb
显然，t b 不能大于总时间 t f 的一半，否则在整个过程中 将没有直线运动段而只有抛物线加速和抛物线减速段。 2( ) / t 由上式可以计算出对应的最大速度 。应该 ta 说明，如果运动段的初始时间不是0而是 ，则可采用 平移时间轴的办法使初始时间为0。终点的抛物线段是 对称的，只是其加速度为负。因此可表示为：
t c1 2c2t 3c t 2
3
对 t c0 c1t c2t 2 c 3 t 3求一阶导数得到：
将初始和末端条件代入 得到： ti C0 i ti C1 0
3
t f C0 C1t f C2t f 2 C t f 3 f
(t ) c0 c1t c2t 2 c3t 3 c4t 4 c5t 5
(t ) c1 2c2t 3c3t 2 4c4t 3 5c5t 4 (t ) 2c2 6c3t 12c4t 2 20c5t 3
根据这些方程，可以通过位置、速度和加速度 边界条件计算出五次多项式的系数。
§第5章 轨迹规划（4学时）
学习目的： 1 理解轨迹规划原理 2 学会用轨迹规划处理实际问题 学习内容： 1 轨迹规划原理 2 关节空间的轨迹规划 3 直角坐标空间的轨迹规划 4 连续轨迹纪录
§5.1 路径与轨迹
定义： 如果规定一个机器人从A点经过B点运动到C点而不 强调时间的概念，那么这一过程中的位形序列就构 成了一条路径。如果我们强调到达其中任意一点的 时间，那么这就是一条轨迹。我们可以看出轨迹和 路径的区别就在于轨迹依赖速度和加速度。
1 2 3 4 5
(t ) 2c2 6c3t 12c4t 2 20c5t 3
中，得出： c1 0 c0 30 c4 0.58 c3 1.6 进而得到如下运动方程 ：
c2 2.5 c5 0.0464
(t ) 30 2.5t 2 1.6t 3 0.58t 4 0.0464t 5 (t ) 5t 4.8t 2 2.32t 3 0.232t 4
1 2 假设ti和 tf时刻对应的起点和终点 (t ) c0 c1t 2 c2t 位置为 i 和 f ，抛物线与直线 (t ) c1 c2t 部分的过渡段在时间tb和tf-tb处是 (t ) c2 对称的，因此可得：
显然，这个抛物线运动段的加速度是一常数，并在公共点A 和B上产生连续的速度。将边界条件代入抛物线段的方程， 得到：
一 关节空间的轨迹规划 1. 计算起点和终点的关节变量，各关节都以最大角 速度运动 特点：轨迹不规则，末端走过的距离不均匀，且各 关节不是同时到达。
A
B
2. 在1的基础上对关节速率做归一化处理，使各关 节同时到达终点。 特点：各关节同时到达终点，轨迹各部分比较均 衡，但所得路径仍然是不规则的。
A
B
二 直角坐标空间轨迹规划 1. 首先画出路径，接着将路径n等分(为了获得较好 的沿循精度，n越大越好) ，分别计算到达各点所需 的关节变量。 特点：关节角非均匀变化，末端沿已知路径行走。
2. 在1的基础上，考虑各关节的加速减速时间，为 防止在加速期间轨迹落后于设想的轨迹，在划分分 界点时，如果是直线轨迹，就按照方程划分。曲线 轨迹就相对复杂一些。
(3) 在B点前后各加过渡点D,E，使得B点落在DE上。
1) 对于点位作业机器人，需要描述它的起始状态和 目标状态。如果用 表示工具坐标系的起始值， T 表示目标值，就是表示这两个值的相对关系。 T 这种运动称为点到点运动(PTP) 2) 对于弧焊、研磨、抛光等曲面作业，不仅要规定 起始点和终止点，还要规定中间整个运动过程。对 于一段连续运动过程，理论上无法精确实现，实际 上是选取一定数量(满足轨迹插补精度)的点作为中 间点，从而近似实现沿给定的路径运动。 这种运动称为连续路径运动或轮廓运动(CP) 3) 障碍约束轨迹规划
从而给出抛物线段的方程为：
显然，对于直线段，速度将保持为常值，它可以根据 驱动器的物理性能来加以选择。将零出速度、线性段 以及零末端速度代入 (t ) 1 c t 和 (t) 中， ct 常值速度 2 可以得到A、B点以及终点的关节位置和速度如下：
2 i 2
2
1 2 A c2 t b
3. 多点的情况 （1）从A向B先加速，再匀速，接近B时再减速， 从B到C再重复。为避免这一过程中不必要的停 止动作，可将B点两边的动作进行平滑过渡。机 器人先抵达B点，然后沿着平滑过渡的路径重新 加速，最终抵达并停止在C点。
（2）考虑到由于采用了平滑过渡曲线，机器人经 过的可能不是原来的B点，可事先设定一个不同 的B’’点，使曲线正好经过B点。
i 30o f 75
i 0度 / 秒 f 0度 / 秒
i 5度 / 秒2 f 5度 / 秒2
将初始和末端条件代入 (t ) c0 c1t c2t 2 c3t 3 c4t 4 c5t 5 (t ) c 2c t 3c t 2 4c t 3 5c t 4
A i c2 t b 2 B A t f tb tb A t f 2tb
B A f B A i f 0
由上式可以求解过渡时间：
c2 2 tb f i tb t f 2tb t 2 b f i c2tb t f 2tb