机器人学导论第六章
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机器人学导论
第6章 操作臂动力学
第六章 操作臂动力学
6.1概述 到目前为止，我们只研究了操作臂的运动
学。我们已研究了静态位置、静态力和速 度；但是从未考虑引起运动所需的力。在 本章中，将考虑操作臂的运动学方程—— 由驱动器施加的力矩或施加在操作臂上的 外力是操作臂运动。 与操作臂动力学有关的两个问题有待解决。
可以看出惯性张量是坐标系位姿的函数。众所 周知的平行移轴定理就是在参考坐标系平移是 惯性张量如何变化的计算方法。平行移轴定理 描述了一个以刚体质心为原点的坐标系平移到 另一个坐标系是惯性张量的变换关系。
假设{C}是以刚体质心为原点的坐标系，{A}为任 意平移后的坐标系，则平行移轴定理可表示为
式中 PCxcyczcT表示刚体质心在坐标系{A}中的位
在这种情况下，式（6-10）简化为：
角加速度
假设坐标系{B}以角速度AB 相对于坐标系 {A}转动，同时坐标系{C}以角速度BC 相对 于坐标系{B}转动。为求AC ，在坐标系{A} 中进行矢量相加：
对上式求导，得
将式（6-6）代入上式右侧最后一项中，得 上式用于计算操作臂连杆的角加速度。
6.3 质量分布
在单自由度系统中，常常要考虑刚体的质 量。对于定轴转动的情况，经常用到惯量 矩这个概念。在一个刚体绕任意轴作旋转 运动时，我们需要一种能够表征刚体质量 分布的方法。在这里我们引入惯性张量， 它可以被看作是对一个物体惯量的广义度 量。
现在我们定义一组参量，给出刚体质量在参考坐标系 中分布的信息。图6-1表示一个刚体，坐标系建立在刚 体上。惯性张量可以在任何坐标系中定义，但一般固 连在刚体上的坐标系中定义。
坐标系中的惯性张量可用 3×3矩阵表示如下
式（6-16）
图6-1描述物体质量分布的惯性张量
Байду номын сангаас
矩阵中各元素为
式中刚体由单元体dv组成，
单元密度ρ。每个单元的
位置由矢量
AP确x定yTz，
如图所示
Ixx,Iyy和Izz称为惯量矩。其余三个交叉项称为惯
量积。对于一个刚体来说，这六个相互独立的 参量取决于坐标系的位姿。当任意选择坐标系 的方位时，可能会使刚体的惯量积为0.此时参考 系的轴被称为主轴，而相应的惯量矩被称为主 惯量矩。
然而，我们经常需要对方程的结构进行研 究。这是需要给出封闭形式的动力学方程， 应用牛顿-欧拉方程递推算法对 ,进和行 符号推导即可得到这些方程。
计及重力的动力学算法
令 0v0 G就可以很简单地将作用在连杆上的重力因 素包括到动力学方程中去，其中G与重力矢量大小 相等，方向相反。
6.6 迭代形式与封闭形式的动力学方程
已知关节位置、速度、加速度，应用方程 （6-45）~（6-53）就可以计算所需的关节 力矩。这些公式主要应用于两个方面：进 行数值计算或作为一种分析算法用于符号 方程的推导。
第一个问题，已知一个轨迹点 ，和
期望求出期望的关节力矩矢量τ。这个运动 学公式对操作臂控制问题（第10章）很有 用。第二个问题是计算施加在一组关节力
矩的情况下关节如何运动。也就是已知一 个关节矢量τ，计算出操作臂运动的
，和 。这对操作臂的仿真很有用。
6.2 刚体的加速度
在任一瞬时对刚体的线速度和加速度进行 求导，可分别得到线加速度和角加速度。 即
对式（6-5）求导，可得到 B Q 的加速度在坐标系 {A}中的表达式：
对上式第一项和最后一项应用是（6-6），则（67）右边成为：
整理得
最后，为了将结论推广到两个坐标系原点不重合 的一般情况，我们附加一个表示坐标系{B}原点线 加速度的项，最终得到一般表达式：
值得指出的是当 B Q 为常量时，即
作用在连杆上的力和力矩
对单个连杆的力平衡，包括惯 性力
最后得到
应用这些方程对连杆依次求解，从连杆n向内迭代 一直到机器人基座。 在静力学中，可通过计算一个连杆 施加于相邻连 杆的力矩在Z方向的分量来求得关节力矩。
移动关节
牛顿-欧拉迭代动力学算法
由关节运动计算关节力矩的完整算法由两 部分组成。第一部分是对每个连杆应用牛 顿-欧拉方程，从连杆1到连杆n向外迭代计 算连杆的速度和加速度。第二部分是从连 杆n到连杆1向内迭代计算连杆间的相互作 用力和力矩即关节驱动力矩。对于转动关 节来说，这个算法归纳如下：
计算速度和加速度的向外迭代法
为了计算作用在连杆上的惯性力，需要计算操作 臂每个连杆在某一时刻的角速度、线加速度和角 加速度。首先对连杆1进行计算，由第五章知识
由式（6-15）可得连杆之间角加速度变换的方程：
当第i+1个关节是移动关节是，上式可简化为
应用是（6-12）可以得到每个连杆坐标系原点的 线加速度：
上的力矩N引起刚体的转动为
式中 c I 是刚体在坐标系{C}中的惯性张量。刚体 的质心在坐标系{C}的原点上。
图
6-4
6.5 牛顿—欧拉迭代动力学方程
现在讨论对应于操作臂给定运动轨迹的力 矩计算问题。假设已知关节的位置、速度 和加速度，结合机器人运动学和质量分布 方面的知识，可以计算出驱动关节运动所 需的力矩。
当第i+1个关节是移动关节是，上式可简化为
同理，应用式（6-12）可以得到每个连杆质心的 线加速度：
假定坐标系Ci 固连于连杆i上，坐标系原点位于连 杆质心，且各坐标轴方位与原连杆坐标系{i}的方 位相同。由于式（6-36）与关节的运动无关，因 此无论是旋转关节还是移动关节，式子对于第i个 连杆都是有效的。
置。其余的惯量矩和惯量积都可以通过式（6-25） 交换x,y和z的顺序计算而得。平行移轴定理有可 以表示成为矢量——矩阵形式
6.4 牛顿方程和欧拉方程
牛顿方程
图6-3作用于刚体质心的
力F引起刚体加速度 vc
欧拉方程
图分别6-4为所示、 为 一。个此旋时转由刚欧体拉，方其程角可速得度作和用角在加刚速体度
同速度一样，当微分的参考坐标系为世界 坐标系{U}时，可用下列符号表示刚体的速 度，即：
线加速度
式(5-12)即
描述了坐
标系{A}下的速度矢量 B Q ，当坐标系{A}的
原点与坐标系{B}的原点重合时，速度矢量
B Q 可表示为
左边描述的是矢量A Q 随时间变化的情况。 由于两个坐标系的原点重合，因此可以把 式（6-5）改写成如下形式：
第6章 操作臂动力学
第六章 操作臂动力学
6.1概述 到目前为止，我们只研究了操作臂的运动
学。我们已研究了静态位置、静态力和速 度；但是从未考虑引起运动所需的力。在 本章中，将考虑操作臂的运动学方程—— 由驱动器施加的力矩或施加在操作臂上的 外力是操作臂运动。 与操作臂动力学有关的两个问题有待解决。
可以看出惯性张量是坐标系位姿的函数。众所 周知的平行移轴定理就是在参考坐标系平移是 惯性张量如何变化的计算方法。平行移轴定理 描述了一个以刚体质心为原点的坐标系平移到 另一个坐标系是惯性张量的变换关系。
假设{C}是以刚体质心为原点的坐标系，{A}为任 意平移后的坐标系，则平行移轴定理可表示为
式中 PCxcyczcT表示刚体质心在坐标系{A}中的位
在这种情况下，式（6-10）简化为：
角加速度
假设坐标系{B}以角速度AB 相对于坐标系 {A}转动，同时坐标系{C}以角速度BC 相对 于坐标系{B}转动。为求AC ，在坐标系{A} 中进行矢量相加：
对上式求导，得
将式（6-6）代入上式右侧最后一项中，得 上式用于计算操作臂连杆的角加速度。
6.3 质量分布
在单自由度系统中，常常要考虑刚体的质 量。对于定轴转动的情况，经常用到惯量 矩这个概念。在一个刚体绕任意轴作旋转 运动时，我们需要一种能够表征刚体质量 分布的方法。在这里我们引入惯性张量， 它可以被看作是对一个物体惯量的广义度 量。
现在我们定义一组参量，给出刚体质量在参考坐标系 中分布的信息。图6-1表示一个刚体，坐标系建立在刚 体上。惯性张量可以在任何坐标系中定义，但一般固 连在刚体上的坐标系中定义。
坐标系中的惯性张量可用 3×3矩阵表示如下
式（6-16）
图6-1描述物体质量分布的惯性张量
Байду номын сангаас
矩阵中各元素为
式中刚体由单元体dv组成，
单元密度ρ。每个单元的
位置由矢量
AP确x定yTz，
如图所示
Ixx,Iyy和Izz称为惯量矩。其余三个交叉项称为惯
量积。对于一个刚体来说，这六个相互独立的 参量取决于坐标系的位姿。当任意选择坐标系 的方位时，可能会使刚体的惯量积为0.此时参考 系的轴被称为主轴，而相应的惯量矩被称为主 惯量矩。
然而，我们经常需要对方程的结构进行研 究。这是需要给出封闭形式的动力学方程， 应用牛顿-欧拉方程递推算法对 ,进和行 符号推导即可得到这些方程。
计及重力的动力学算法
令 0v0 G就可以很简单地将作用在连杆上的重力因 素包括到动力学方程中去，其中G与重力矢量大小 相等，方向相反。
6.6 迭代形式与封闭形式的动力学方程
已知关节位置、速度、加速度，应用方程 （6-45）~（6-53）就可以计算所需的关节 力矩。这些公式主要应用于两个方面：进 行数值计算或作为一种分析算法用于符号 方程的推导。
第一个问题，已知一个轨迹点 ，和
期望求出期望的关节力矩矢量τ。这个运动 学公式对操作臂控制问题（第10章）很有 用。第二个问题是计算施加在一组关节力
矩的情况下关节如何运动。也就是已知一 个关节矢量τ，计算出操作臂运动的
，和 。这对操作臂的仿真很有用。
6.2 刚体的加速度
在任一瞬时对刚体的线速度和加速度进行 求导，可分别得到线加速度和角加速度。 即
对式（6-5）求导，可得到 B Q 的加速度在坐标系 {A}中的表达式：
对上式第一项和最后一项应用是（6-6），则（67）右边成为：
整理得
最后，为了将结论推广到两个坐标系原点不重合 的一般情况，我们附加一个表示坐标系{B}原点线 加速度的项，最终得到一般表达式：
值得指出的是当 B Q 为常量时，即
作用在连杆上的力和力矩
对单个连杆的力平衡，包括惯 性力
最后得到
应用这些方程对连杆依次求解，从连杆n向内迭代 一直到机器人基座。 在静力学中，可通过计算一个连杆 施加于相邻连 杆的力矩在Z方向的分量来求得关节力矩。
移动关节
牛顿-欧拉迭代动力学算法
由关节运动计算关节力矩的完整算法由两 部分组成。第一部分是对每个连杆应用牛 顿-欧拉方程，从连杆1到连杆n向外迭代计 算连杆的速度和加速度。第二部分是从连 杆n到连杆1向内迭代计算连杆间的相互作 用力和力矩即关节驱动力矩。对于转动关 节来说，这个算法归纳如下：
计算速度和加速度的向外迭代法
为了计算作用在连杆上的惯性力，需要计算操作 臂每个连杆在某一时刻的角速度、线加速度和角 加速度。首先对连杆1进行计算，由第五章知识
由式（6-15）可得连杆之间角加速度变换的方程：
当第i+1个关节是移动关节是，上式可简化为
应用是（6-12）可以得到每个连杆坐标系原点的 线加速度：
上的力矩N引起刚体的转动为
式中 c I 是刚体在坐标系{C}中的惯性张量。刚体 的质心在坐标系{C}的原点上。
图
6-4
6.5 牛顿—欧拉迭代动力学方程
现在讨论对应于操作臂给定运动轨迹的力 矩计算问题。假设已知关节的位置、速度 和加速度，结合机器人运动学和质量分布 方面的知识，可以计算出驱动关节运动所 需的力矩。
当第i+1个关节是移动关节是，上式可简化为
同理，应用式（6-12）可以得到每个连杆质心的 线加速度：
假定坐标系Ci 固连于连杆i上，坐标系原点位于连 杆质心，且各坐标轴方位与原连杆坐标系{i}的方 位相同。由于式（6-36）与关节的运动无关，因 此无论是旋转关节还是移动关节，式子对于第i个 连杆都是有效的。
置。其余的惯量矩和惯量积都可以通过式（6-25） 交换x,y和z的顺序计算而得。平行移轴定理有可 以表示成为矢量——矩阵形式
6.4 牛顿方程和欧拉方程
牛顿方程
图6-3作用于刚体质心的
力F引起刚体加速度 vc
欧拉方程
图分别6-4为所示、 为 一。个此旋时转由刚欧体拉，方其程角可速得度作和用角在加刚速体度
同速度一样，当微分的参考坐标系为世界 坐标系{U}时，可用下列符号表示刚体的速 度，即：
线加速度
式(5-12)即
描述了坐
标系{A}下的速度矢量 B Q ，当坐标系{A}的
原点与坐标系{B}的原点重合时，速度矢量
B Q 可表示为
左边描述的是矢量A Q 随时间变化的情况。 由于两个坐标系的原点重合，因此可以把 式（6-5）改写成如下形式：