新课标高二数学选修2-2导数单元测试题
高中数学选修22:第一章导数及其应用单元测试题.doc
数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a,b) ,导函数f′(x) 在( a,b) 内的图像如图所示,则函数 f ( x)在开区间( a,b)内有极小值点()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个1 12.在区间[ 2,2] 上,函数 f ( x)=x2+px+q 与g( x)=2x+x2在1同一点处取得相同的最小值,那么f(x)在[2,2]上的最大值是()C.8D.423.点P在曲线y=x3-x+3上移动,设点P处的切线的倾斜角为α,则α 的取值范围是( )ππ3A.[0 ,2 ] B.[0 ,2 ] ∪[ 4π,π)3 π 3C.[ 4π,π ) D.[ 2,4π]14.已知函数f ( x) =2x4-2x3+3m,x∈R,若f ( x) +9≥0恒成立,则实数 m的取值范围是()3 3A.m≥2 B.m>23 3C.m≤2 D.m<2x2 25.函数f ( x) =cos x-2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0+3 -f x 06.设f ( x) 在x=x0 处可导,且lim Δx=1,Δx→0则 f ′(x0)等于( )A.1 B.0C.3x+97.经过原点且与曲线y=x+5相切的切线方程为()A.x+y=0B.x+25y=0C.x+y= 0 或x+25y=0D.以上皆非8.函数f ( x) =x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0 时,f ( x) 是()A.增函数B.减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数13 29.若a>2,则方程3x -ax +1=0 在(0,2) 上恰好有 ()A.0 个根B.1 个根C.2 个根D.3 个根1 10.一点沿直线运动,如果由始点起经过t s 后距离为s=4t 4-53t 3+2t 2,那么速度为零的时刻是( )A.1 s 末B.0 sC.4 s 末D.0,1,4 s 末x2,x∈[0,1],2f(x) d x 等于 () 11.设f ( x) =则2-x,x∈ 1,2] ,0D.不存在sin x sin x1 sin x2 12.若函数 f(x) =x,且 0<x1<x2 <1,设 a=x1 ,b=x2 ,则 a,b 的大小关系是 ( )A.a>b B.a<bC.a=b D.a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上 )1 3 213.若 f(x) =3x -f ′(1)x +x+5,则 f ′(1) = ________.π π14.已知函数 f(x) 满足 f(x) =f( π-x) ,且当 x∈ -2,2 时,f(x) =x+sin x,设a=f(1) ,b=f(2) ,c=f(3) ,则a、b、c 的大小关系是 ________.15.已知函数f(x) 为一次函数,其图像经过点(2,4) ,且1f(x) d x=3,则函数f(x) 的解析式为________.16.(2010 ·江苏卷) 函数2y=x(x>0)的图像在点 2(a k,a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,其中k∈N*. 若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.三、解答题 ( 本大题共 6 小题,共 70 分,解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17.(10 分) 如图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,求k 的值.18.(12 分) 已知函数 f(x) =x4-4x3+ax2-1 在区间 [0,1] 上单调递增,在区间 [1,2) 上单调递减.(1)求 a 的值;(2)若点 A(x0,f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上,求证:点 A关于直线x=1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上.19.(12 分) 设 x=- 2 与 x=4 是函数 f(x) =x3+ax2+bx 的两个极值点.(1)求常数 a,b;(2)试判断 x=- 2,x= 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值,并说明理由.20.(12 分) 已知 f(x) =ax3-6ax2+b,x∈[ -1,2] 的最大值为 3,最小值为- 29,求 a,b 的值.21.(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) =ax3+x2+ bx( 其中常数a,b∈R) ,g( x) =f ( x) +f′(x) 是奇函数.(1)求 f ( x)的表达式;(2)讨论 g( x)的单调性,并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.1-x22.(12 分) 已知函数f ( x) =ln( ax+1) +1+x,x≥0,其中a>0.(1)若 f ( x)在 x=1处取得极值,求 a 的值;(2)求 f ( x)的单调区间;(3)若 f ( x)的最小值为1,求 a 的取值范围.参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1,x2,x3且 a<x1<x2<x3<b,则 f ( x) 在( a,x1) ,( x2,x3) 上递增,在 ( x1,x2) ,( x3,b) 上递减,因此,x1、x3是极大值点,只有x2是极小值点.2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)=2x4-2x3+3m,所以 f ′(x)=2x3-6x2.令 f ′(x)=0,得 x=0或 x=3,经检验知 x=3是函数的一个最27小值点,所以函数的最小值为 f (3)=3m-2.不等式 f ( x)+9≥0恒成27 3立,即 f ( x)≥-9恒成立,所以3m-2≥-9,解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)=cos2x-cos x-1,∴f′(x)=-2sin x·cos x+sin x=sin x·(1-2cos x).令 f ′(x)>0,结合选项,选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) =3x -ax +1,则2f ′(x )=x -2ax =x ( x -2a ) ,当 x ∈(0,2) 时, f ′(x )<0,f ( x ) 在(0,2) 上为减函数,又 f (0) f (2) =8 111 3-4a +1 = 3 -4a <0,f ( x ) =0 在(0,2) 上恰好有一个根,故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合,如图.2f(x) d x = 1x 2d x + 2(2 -x) d x0 11 3 11 22= 3x+ 2x -2x11 1= 3+(4 -2-2+2)5= 6,故选 C .12. 答案Af ′(x) =x cos x -sin x解析 x 2, 令 g(x) =x cos x -sin x ,则g ′(x) =- x sin x +cos x -cos x =- x sin x.∵0<x<1,∴ g ′(x)<0 ,即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数,得 g(x)<g(0) =0,故 f ′(x)<0 ,函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数,得 a>b ,故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) = x -2f ′(1)x + 1,令 x=1,得 f ′(1) =3.14. 答案 c<a<b解析f(2) = f( π-2) , f(3) = f( π- 3) ,因为 f ′(x) = 1+π ππcos x≥0,故f(x)在-2,2上是增函数,∵2 >π-2>1>π-3>0,∴f( π-2)>f(1)>f( π-3) ,即 c<a<b.2815.答案 f(x) =3x+3解析设函数 f(x) =ax+b(a ≠0) ,因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ,所以有 b=4-2a.∴1 f(x) d x= 1 (ax +4-2a) d x0 01 2 1 1=[ ax +(4 -2a)x] | 0=a+4-2a=1.2 22 8 2 8∴a=3. ∴b=3. ∴f(x) =3x+3.16. 答案21解析2 2∵y′=2x,∴过点( a k,a k)处的切线方程为y-a k=2a k( x1-a k),又该切线与 x 轴的交点为( a k+1,0),所以 a k+1=2a k,即数列{ a k}1是等比数列,首项a1=16,其公比q=2,∴ a3=4,a5=1,∴ a1+a3 +a5=21.17. 解析抛物线 y =x -x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1=0,x 2=1,所以,抛物线与 x 轴所围图形面积 S = 12) d x =x 2 x 3 11 (x -x 2 -3 0=2-1 13=6.y =x -x 2,又 由此可得抛物线 y =x -x 2 与 y =kx 两交点的横y =kx ,S- 2 x 3 -坐标 x 3= , 4= - ,所以 = 1-k (x - x 2 kx) d x =1 k x - 1k -0 x 1 k 2 02313=6(1 -k) .3又 S = ,所以 (1 -k) 3=1,∴ k =1- 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) =x4-4x3+ax2-1 在区间 [0,1] 单调递增,在区间 [1,2) 单调递减,∴x =1 时,取得极大值,∴ f ′(1) = 0.又 f ′(x) = 4x3-12x2+2ax ,∴4-12+2a = 0? a = 4.(2) 点 A(x0,f(x0)) 关于直线 x =1 的对称点 B 的坐标为 (2 -x0, f(x0)) ,f(2 -x0) =(2 -x0)4 -4(2 -x0)3 +4(2 -x0)2 -1= (2 -x0)2[(2 -x0) -2]2 -1= x 40-4x30+ ax20- 1=f(x0) ,∴A 关于直线 x =1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上.19.解析 f ′(x) =3x2+2ax+b.(1) 由极值点的必要条件可知:12-4a+b=0,f ′( - 2) =f ′(4) = 0,即48+8a+b=0,解得 a=- 3,b=- 24.或f ′(x) = 3x2+2ax+b=3(x +2)(x -4)=3x2-6x-24,也可得 a=- 3,b=- 24.(2) 由 f ′(x) = 3(x +2)(x -4) .当 x<- 2 时, f ′(x) > 0,当- 2<x<4 时, f ′(x) < 0. ∴x=- 2 是极大值点,而当x>4 时, f ′(x) > 0,∴x=4 是极小值点.20.解析 a≠0( 否则 f(x) =b 与题设矛盾 ) ,由f ′(x) = 3ax2-12ax=0 及 x∈[ - 1,2] ,得 x=0. (1) 当 a>0 时,列表:x ( -1,0) 0 (0,2)f ′(x) +0 -f(x) 增极大值 b 减由上表知, f(x) 在[ - 1,0] 上是增函数,f(x) 在[0,2] 上是减函数.则当 x=0 时, f(x) 有最大值,从而b=3.又f( -1) =- 7a+3,f(2) =- 16a+3,∵a>0,∴ f( -1) >f(2) .从而 f(2) =- 16a+3=- 29,得a=2.(2)当 a<0 时,用类似的方法可判断当 x=0 时 f(x) 有最小值.当x=2 时, f(x) 有最大值.从而 f(0) =b=- 29, f(2)=-16a-29=3,得a=- 2.综上, a= 2,b=3 或 a=- 2,b=- 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) = 3ax2+2x+b. 因此g( x) =f ( x) +f′(x)=ax3+(3 a+1) x2+( b+2) x+b.因为函数 g( x)是奇函数,所以g(-x)=- g( x),即对任意实数x,有 a(- x)3+(3 a+1)(-x)2+( b +2)( -x) +b=- [ ax3+(3 a+1) x2+( b+2) x+b] ,从而 3a+1=0,b=0,解得a=-1,b=0,因此f ( x) 的解析式为f ( x) =-x3+x2. 331(2)由(1) 知g( x) =-1x3+2x,所以g′(x) =-x2+2. 3令g′(x)=0,解得x1=-2,x2=2,则当x<-2或x> 2时,g′(x)<0,从而 g( x)在区间(-∞,-2],[ 2,+∞)上是减函数;当- 2<x< 2时,g′(x)>0 ,从而g( x) 在[ - 2, 2] 上是增函数.由前面讨论知, g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x=1,2,2 时取得,而g(1)5=3,g( 2) =4 23,g(2)4=3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) =4 2,最小值为3g(2)4=3.22. 分析解答本题,应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x),再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解,并注意在定义域范围内求解.a 2 ax2+a-2解析 (1) f′(x) =ax+1-1+x 2=ax+1 1+x 2,∵f ( x)在 x=1处取得极值,2∴f ′(1)=0,即 a·1+a-2=0,解得 a=1.(2) f′(x) =ax2+a-22,ax+1 1+x∵x≥0, a>0,∴ ax+1>0.①当 a≥2时,在区间[0,+∞)上, f ′(x)>0,∴f( x)的单调增区间为[0,+∞).②当 0<a<2 时,由 f ′(x)>0,解得 x> 2-a a.由 f ′(x)<0,解得 x< 2-a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2-a 2-a a ) ,单调增区间为 ( a,+∞ ) .(3) 当a≥2时,由 (2) ①知,f ( x) 的最小值为f (0) =1;当 0<a<2,由 (2) ②知,f ( x) 在x=2-aa 处取得最小值,且2-af ( a )< f (0) =1.综上可知,若 f ( x)的最小值为1,则 a 的取值范围是[2,+∞).。
数学选修2-2第一章导数及其应用
数学选修2-2第一章导数及其应用1.一质点的运动方程是253s t =-,则在一段时间[11]t +∆,内相应的平均速度为( ) A.3()6t ∆+ B.3()6t -∆+ C.3()6t ∆- D.3()6t -∆-2.下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.闭区间上的连续函数一定存在最值3.抛物线214y x =在点(21)Q ,处的切线方程( ) A.10x y -++= B.30x y +-= C.10x y -+= D.10x y +-=4.设21()(1)f x x =-,则(0)f '等于( ) A.2-B.1- C.1 D.25.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 (D )非充分非必要条件6.曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x ,则点P 0的坐标是( ) A .(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或(1,0) D.(-1,-4)7.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是( ) A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -168.已知201()212x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩,,,, ≤≤ ≤则20()f x dx =⎰( )A.56 B.76 C.43 D.53 9.设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如图所示,则()y f x =的图象最有可能的是( )10.设313y x ax c =-+在()-+,∞∞上单调递增,则( ) A.0a <且0c = B.0a >且c 是任意实数 C.0a <且c 是任意实数 D.0a <且0c ≠11.从边长为10cm 16cm ⨯的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( ) A.312cmB.372cmC.3144cmD.3160cm12.如图,由曲线32y x x =-与2y x =所围图形的面积为( ) A.512B.3712C.94 D.8313.若对于任意x ,有3()4(1)1f x x f '==-,,则此函数解析式为 . 14.函数32x x y -=的单调增区间为 ,单调减区间为__________________; 15.函数()323922y x x x x =---<<有极大值 ,极小值 ;16.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于 ;17、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数,则b 的取值范围是 18.设321()252f x x x x =--+,当]2,1[-∈x 时,()f x m <恒成立,则实数m 的取值范围为 ; 19.计算下列定积分。
(完整版)新课标高二数学选修2-2导数单元测试题
新课标选修2-2高二数学理导数测试题一.选择题 (1)函数f(x) x 3 3x 21是减函数的区间为()A. (2,) B. (,2) C . (,0) D . (0,2)(2) 曲线y x 3 3x 2 1在点(1,-1 )处的切线方程为( )A . y 3x 4 B. y 3x 2 C. y 4x 3 D. y 4x 5a(3) 函数y = a x 2+ 1的图象与直线y = x 相切,则a =()1 A. 1B1 C . 1D . 18• 4 2⑷函数f (x) x 3ax 2 3x9,已知f(x)在x 3时取得极值,贝U a =() A. 2 B.3 C . 4 D. 5(5)在y x 3 8x 的图象上,其切线的倾斜角v —的点中,坐标为整数的点的个数()4A. 3B. 2C. 1D. 0(6) 函数f (x) ax 3 x 1有极值的充要条件是()A . aB.a 0C . a 0D . a 0 (7)函数 f(x) 3x4x 3 ( x0,1 )的最大值是() A .— B -1C. 0 D . 12(8)函数 f (x) = x ( x — 1) ( x — 2)^( x — 100)在 x = 0 处的导数值为()A 0B 1002C 200D 100!2x+6y + 1=0且与曲线y = x 3 + 3x — 5相切的直线方程是312——X — 2x + 5,当x [ 1,2]时,f ( x ) < m 恒成立,则实数 m 的取 2值范围为3 2 2(3) .函数 y = f( x ) = x + ax + bx + a ,在 x = 1 时,有极值 10,贝 U a = ,b = .(4).已知函数f (x) 4x 3 bx 2 ax 5在x -, x 1处有极值,那么a — b-2(5)_____________________________________________________________________ .已4》^1占小X3X处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()B.-9C. 1D.-33二填空题 (1).垂直于直线 (2).设 f( x ) = x知函数f(x) x3 ax在R上有两个极值点,则实数a的取值范围是_________________________ •(6).已知函数f(x) x3 3ax2 3(a 2)x 1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是___________ ,(7) _________________________________________________________________ .若函数f(x) x3 x2 mx 1是R是的单调函数,则实数m的取值范围是_________________________ -(8) .设点P是曲线y x3 3x -上的任意一点,P点处切线倾斜角为,则角的取值范3围是.三•解答题1 .已知函数f (x) x3 bx2 ax d的图象过点P (0,2 ),且在点M( 1, f ( 1))处的切线方程为6x y 7 0. (I)求函数y f (x)的解析式;(U)求函数y f (x)的单调区间.2. 已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1处取得极值.(I)讨论f(1)和f ( 1)是函数f (x)的极大值还是极小值;(n)M点A(0, 16)作曲线y f(x)的切线,求此切线方程33. 已知函数f(x) ax3—(a 2)x2 6x 32(1)当a 2时,求函数f (x)极小值;(2)试讨论曲线y f (x)与x轴公共点的个数.4. 已知x 1是函数f(x) mx 3 3(m 1)x 1 2 nx 1的一个极值点,其中m,n R,m 0, (I )求m 与n 的关系式;(|| )求f (x)的单调区间;(III )当x 1,1时,函数y f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求m 的取值范围•3bx 8c 在x 1及x 2时取得极值.[0,3],都有f(x) c 2成立,求c 的取值范围.7 •设函数f (x) ax 3 bx c(a 0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x 6y 7 0垂直,导函数f'(x)的最小值为12 •1f(2)(I )求f (x)的解析式;(n )若在区间[0, m ] (m >0)上恒有f(x) < x 成立,求m 的取值范围.5.设函数 f(x) 2x 3 3ax 2 (I)求a 、b 的值;(U)若对于任意的x6 .已知f (x)ax 3 bx 2 cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间()上是减函数,又(I)求a , b , c的值;(U)求函数f (x)的单调递增区间,并求函数f (x)在[1,3]上的最大值和最小值.参考解答.BBDDD CDDA —.1、y=3x-5 2 、m>7 3 、4 - 11 4、18, 3 5、(,0)6、13,)7、(,1) (2, ) 8、 [o,2] q, )三 . 1 .解:(I )由f(x) 的 图 象经过P (0,2 ),知d=2所以f (x) x 3bx 2 cx2, f (x)3x 22b xc .由在M( 1, f( 1))处的切线方程是 6x y 7 0f (x) x 3 3x 2 3x 2在(,12)内是增函数,在(1 -.2,1 .2)内是减函数,在(1 . 2,)内是增函数.2. (1)解:f (x) 3ax 2 2bx 3,依题意,f (1) f ( 1) 0, 即卩3a 2b 3 0,.解得a 1, b 0.3a 2b 3 0.f(x) x 3 3x, f (x) 3x 2 3 3(x 1)(x 1).令 f (x) 0,得 x 1, x 1 . 若 x (,1) (1,),则 f (x) 0,故f (x)在(,1)上是增函数,f (x)在(1, )上是增函数.若x ( 1, 1),则f (x) 0,故f(x)在(1,1)上是减函数.所以,f ( 1)2是极大值;f (1)2是极小值.(U)解:曲线方程为y x 3 3x ,点A(0, 16)不在曲线上.设切点为M(x °, y °),则点M 的坐标满足y x ; 3x °.因 f (x °) 3(x : 1),故切线的方程为 y y ° 3(x ; 1)(x x °)注意到点 A (0,16)在切线上,有 16 (x ; 3x 0)3(xf 1)(0 x 。
(2021年整理)新课标高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)(十五)
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新课标选修2—2高二数学理导数测试题一.选择题(1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( D )A .),2(+∞B .)2,(-∞C .)0,(-∞D .(0,2) (2)曲线3231y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( )A .34y x =-B 。
32y x =-+C 。
43y x =-+D 。
45y x =-a(3) 函数y =a x 2+1的图象与直线y =x 相切,则a = ( )A . 18B .41 C .21 D .1(4) 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( )A .2B .3C .4D .5(5) 在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是 ( )A .3B .2C .1D .0(6)函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( )A .0a >B .0a ≥C .0a <D .0a ≤ (7)函数3()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 12B . —1C .0D .1(8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( )A 、0B 、1002C 、200D 、100!(9)曲线313y x x =+在点413⎛⎫ ⎪⎝⎭,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A.19B.29C.13 D.23二.填空题(1).垂直于直线2x+6y +1=0且与曲线y = x 3+3x -5相切的直线方程是 。
新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)
新课改高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(时间120分钟,分值150分)说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卡上)1.设xx y sin 12-=,则='y ( ).A .x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B .x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C .x x x x sin )1(sin 22-+-D .xx x x sin )1(sin 22---2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ).A .54 B .52 C .51 D .53 3.已知2)3(',2)3(-==f f ,则3)(32lim3--→x x f x x 的值为( ).A .4-B .0C .8D .不存在 4.曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为( ).A .126-=x yB .1612-=x yC .108+=x yD .322-=x y5.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1=x ,2=x 时取得极值,则21x x ⋅的值为( ) A .4 B .5 C .6 D .不确定 6.在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23,当)1,0(∈x 取得极大值,当)2,1(∈x 取得极小值,则12--a b 的取值范围是( ). A .)1,41( B .)1,21( C .)41,21(- D .)21,21(-27.函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为( ). A .]21,21[2πe B .)21,21(2πe C .],1[2πe D .),1(2πe8.积分=-⎰-aadx x a 22( ). A .241a π B .221a πC .2a πD .22a π9.由双曲线12222=-by a x ,直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为( )A .238ab π B .b a 238π C .b a 234π D .234ab π 10.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). A .18B .338C .316 D .1611.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,底面边长为( ). A.3V B.32V C.34V D .32V 12.某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣,纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成,其中 曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点,则这个 纸花瓣的面积为( ). A .2336π+ B .223312π+ C .26π+ D .22336π+第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每小题4分,共16分。
(典型题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(含答案解析)
一、选择题1.已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减,则实数a 的取值范围为( )A .()1,+∞B .[)3,+∞C .(],1-∞D .(],3-∞2.已知定义在()1,+∞上的函数()f x ,()f x '为其导函数,满足()()1ln 20f x f x x x x++=′,且()2f e e =-,若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[),e +∞B .()2,2e -C .(),2e -D .[),e -+∞3.若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0,则b 的取值范围是( ) A .(),8-∞- B .()8,-+∞ C .(),8-∞D .()8,+∞4.若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线,则a 的取值范围为( )A .2[,)8e +∞B .2(0,]8eC .2[4e ,)+∞D .2(0,]4e5.设()f x 在定义域内可导,其图象如图所示,则导函()'f x 的图象可能是( )A .B .C .D .6.若函数21()ln 2f x kx x x =-在区间(0,]e 上单调递增,则实数k 的取值范围是( ) A .2(,]e -∞B .(,1]-∞C .[1,)+∞D .2[,)e+∞7.在半径为r 的半圆内作一内接梯形,使其底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,其梯形的上底为A .r 2B 3C 3D .r8.已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调,则t 的取值范围是( ) A .(0,1)(2,3)⋃B .(0,2)C .(0,3)D .(0,1][2,3)⋃9.已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩,<>,若()()F x f x kx =-有3个零点,则k 的取值范围为( ) A .(21e -,0) B .(12e-,0) C .(0,12e) D .(0,21e) 10.已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++,则不等式(23)(1)0f x f +-<的解集为( ) A .(2,)-+∞B .(1,)-+∞C .(2,1)--D .(,1)-∞-11.若对于任意的120x x a <<<,都有211212ln ln 1x x x x x x ->-,则a 的最大值为( ) A .2eB .eC .1D .1212.设动直线x m =与函数2()f x x =,()ln g x x =的图像分别交于,M N ,则MN 的最小值为( ) A .11ln 222+ B .11ln 222- C .1ln2+ D .ln21-二、填空题13.已知函数()()21,0e ,0x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点,则实数m 的取值范围为______.14.函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上,26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x ',且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立,则不等式()22sinx f x >的解集为_____________.15.已知函数()211020x e x x x ef x lnx x x⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩,,>,若方程f (x )﹣m =0恰有两个实根,则实数m 的取值范围是_____.16.如图所示,ABCD 是边长为30cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A ,B ,C ,D 四个点重合于图中的点P ,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积3()V cm 最大,则EF 的长为________cm .17.函数()()21xf x x =-的最小值是______.18.已知函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩方程2()2()0()f x mf x m R -=∈有五个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是______.19.已知函数()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=-⎪⎝⎭有两个极值点,则实数a 的取值范围是_________. 20.若函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增,则实数a 的取值范围是________.三、解答题21.已知函数()212f x x =,()ln g x a x =.设()()()h x f x g x =+ (1)试讨论函数()h x 的单调性. (2)若对任意两个不等的正数12,x x ,都有()()12122h x h x x x ->-恒成立,求实数a 的取值范围;22.在某次水下科研考察活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间),每单位时间的用氧量为+1(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为 (米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升). (1)求y 关于v 的函数关系式;(2)若c≤v≤15(c>0),求当下潜速度v 取什么值时,总用氧量最少. 23.已知函数()2xf x eax b =-+(0a >,b R ∈,其中e 为自然对数的底数).(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ,当a b =时,求实数a 的取值范围.24.设函数21()2x f x x e =. (1)求f (x )的单调区间;(2)若当x ∈[-2,2]时,不等式f (x )>m 恒成立,求实数m 的取值范围.25.一件要在展览馆展出的文物类似于圆柱体,底面直径为0.8米,高1.2米,体积约为0.5立方米,为了保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩,保护罩底面边长不少于1.2米,高是底面边长的2倍,保护罩内充满保护文物的无色气体,气体每立方米500元,为防止文物发生意外,展览馆向保险公司进行了投保,保险费用和保护罩的占地面积成反比例,当占地面积为1平方米时,保险费用为48000元. (1)若保护罩的底面边长为2.5米,求气体费用和保险费用之和; (2)为使气体费用和保险费用之和最低,保护罩该如何设计? 26.已知函数2()2ln f x x mx x =-+ (m R ∈).(1)若()f x 在其定义域内单调递增,求实数m 的取值范围; (2)若45m <<,且()f x 有两个极值点12,x x ,其中12x x <,求12()()f x f x -的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解. 【详解】∵3()f x x ax =-,∴2'()3f x x a =-.又函数()f x 在()1,1-上单调递减,∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立,即23a x ≥在(1,1)-上恒成立.∵当(1,1)x ∈-时,3033x ≤<,∴3a ≥. 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞. 故选:B . 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性,以及不等式的恒成立问题,注意当'()0()f x x D <∈时,则函数()f x 在区间D 上单调递减;而当函数()f x 在区间D 上单调递减时,则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立.解题时要注意不等式是否含有等号,属于中档题.2.D解析:D 【分析】利用导数的运算法则,求出函数()f x 的解析式,然后参数分离,将不等式的恒成立问题转化为ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立,构造函数,利用导数研究函数的单调性,进而求出函数的最大值,从而得解. 【详解】()()1ln 20f x f x x xx++=′, ()2ln f x x x C ∴+=, ()2ln f e e e C ∴+=,()2f e e =-,∴22e e C -+=,解得0C =,()2ln 0f x x x ∴+=,()2ln x f x x∴=-()1x >,不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立,∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立,即ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立, 令()ln x g x x=-,则()()21ln ln x g x x -=′, 令()()21ln 0ln xg x x -==′,解得x e =,∴1x e <<时,()0g x '>,()g x 在()1,e 上单调递增;x e >时,()0g x '<,()g x 在(),e +∞上单调递减, ∴当x e =时,()g x 取得极大值,也是最大值,()()max ln eg x g e e e==-=-, a e ∴≥-,∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选:D. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题,具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题,求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键,属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想,常见的有:()f x a >恒成立⇔()min f x a >;()f x a <恒成立⇔()max f x a <;()f x a >有解⇔()max f x a >;()f x a <有解⇔()min f x a <;()f x a >无解⇔()max f x a ≤;()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 3.B解析:B 【分析】对函数()f x 求导,得到()f x ',然后根据题意得到()0f x '>恒成立,得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++,定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++, 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0, 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立, 所以28b x x>--, 设()28g x x x=--,则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=,得到12x =,舍去负根, 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,()g x 单调递增, 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时,()0g x '<,()g x 单调递减, 所以12x =时,()g x 取最大值,为()max182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以8b >-, 故选B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率,不等式恒成立,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,属于中档题.4.C解析:C 【分析】求出两个函数的导函数,由导函数相等列方程,再由方程有根转化为求最值,求得a 的范围. 【详解】 由2(0)y axa =>,得2y ax '=,由xy e =,得x y e '=,曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线, 则设公切线与曲线1C 切于点211(,)x ax ,与曲线2C 切于点22(,)xx e ,则22211212x x e ax ax e x x -==-,将212x e ax =代入2211212x e ax ax x x -=-,可得2122=+x x ,11212+∴=x e a x ,记12()2+=x e f x x,则122(2)()4xex f x x +-'=,当(0,2)x ∈时,()0f x '<,当(2,)x ∈+∞时,()0f x '>. ∴当2x =时,2()4mine f x =. a ∴的范围是2[,)4e +∞. 故选:C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了方程有根的条件,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.B解析:B 【详解】试题分析:函数的递减区间对应的()0f x '<,函数的递增区间对应()0f x '>,可知B 选项符合题意.考点:函数的单调性与导数的关系.6.C解析:C 【分析】求出函数导数,由题意知()0f x '≥即ln 1x k x+≥在(0,]e 上恒成立,利用导数求出函数ln 1()x g x x+=在(0,]e 上的最大值即可求得k 的范围. 【详解】()ln 1f x kx x '=--,由题意知()0f x '≥在(0,]e 上恒成立, 即ln 1x k x +≥在(0,]e 上恒成立,令ln 1()x g x x+=,则2ln ()x g x x -'=, 当(0,1)x ∈时,()0g x '>,()g x 单调递增;当(1,]x e ∈时,()0g x '<,()g x 单调递减,所以max ()(1)1g x g ==,故1k .故选C 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用,涉及已知函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数求函数的最值,属于基础题.7.D解析:D 【解析】设=COB θ∠,则上底为2cos r θ,高为sin r θ, 因此梯形面积为21(2cos 2)sin (1cos )sin 022S r r r r πθθθθθ=+=+∈,(,) 因为由22222=(sin cos cos )(1cos 2cos )0S r r θθθθθ'-++=-++=,得1cos 2θ=,根据实际意义得1cos 2θ=时,梯形面积取最大值,此时上底为2cos =r r θ,选D.点睛:利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用()0f x '=得可疑最值点;第二步:比较极值同端点值的大小.在应用题中若极值点唯一,则极值点为开区间的最值点.8.A解析:A 【详解】试题分析:此题考查导数的应用;2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x-+--=-+-'=-=-,所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时,原函数递减,当(1,3)x ∈原函数递增;因为在[],1t t +上不单调,所以在[],1t t +上即有减又有增,所以01{113t t <<<+<或13{31t t <<<+,01t ∴<<或23t <<,故选A.考点:函数的单调性与导数.9.C解析:C 【分析】由函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点,当0x >时,令()0F x =,可得y k =和()2ln x g x x=有两个交点;当0x <时,y k =和()1g x x =有一个交点,求得0k >,即可求解,得到答案. 【详解】 由题意,函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩,<>,要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点, 当0x >时,令()()0F x f x kx =-=, 可得2ln xk x =, 要使得()0F x =有两个实数解, 即y k =和()2ln xg x x=有两个交点, 又由()312ln xg x x-'=, 令12ln 0x -=,可得x =当x ∈时,()0g x '>,则()g x 单调递增;当)x ∈+∞时,()0g x '<,则()g x 单调递减,所以当x =()max 12g x e=, 若直线y k =和()2ln xg x x =有两个交点, 则1(0,)2k e∈,当0x <时,y k =和()21g x x =有一个交点, 则0k >,综上可得,实数k 的取值范围是1(0,)2e. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,以及利用导数研究函数的单调性与最值的综合应用,着重考查了转化思想以及推理与运算能力.属于中档题.10.C解析:C 【分析】根据条件先判断函数是偶函数,然后求函数的导数,判断函数在[0,)+∞上的单调性,结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可. 【详解】解:2211()sin()cos()sin cos ()22f x x x x x x x x x f x -=--+-+=++=,则()f x 是偶函数,()sin cos sin cos (1cos )f x x x x x x x x x x x '=+-+=+=+,当0x 时,()0f x ',即函数在[0,)+∞上为增函数,则不等式(23)(1)0f x f +-<得()()231f x f +<,即()()|23|1f x f +<, 则|23|1x +<,得1231x -<+<,得21x -<<-, 即不等式的解集为(2,1)--, 故选:C . 【点睛】本题主要考查不等式的求解,结合条件判断函数的奇偶性和单调性,利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键.属于中档题.11.C解析:C【分析】整理所给的不等式,构造新函数,结合导函数研究函数的单调性,即可求得结果.【详解】解:由已知可得,211212ln ln x x x x x x -<-,两边同时除以12x x , 则121221ln ln 11x x x x x x -<-,化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<, 而120x x <<,构造函数()ln 1x f x x+=,()2ln x f x x -'=, 令()0f x '>,则01x <<;令()0f x '<,则1x > ,所以函数()f x 在()0,1上为增函数,在()1,+∞上为减函数, 由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立, 即()f x 在()0,a 为增函数,则01a <≤,故a 的最大值为1.故选:C.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性,考查分析问题能力,属于中档题.12.A解析:A【分析】将两个函数作差,得到函数()()y f x g x =-,利用导数再求此函数的最小值,即可得到结论.【详解】设函数()()()2ln 0=-=->y f x g x x x x , ()212120-'∴=-=>x y x x x x, 令0y '<,0x,02∴<<x,函数在2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为单调减函数; 令0y '>,0x,∴>x,函数在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为单调增函数.2x ∴=时,函数取得极小值,也是最小值为111ln ln 22222-=+. 故所求MN 的最小值即为函数2ln y x x =-的最小值11ln 222+.故选:A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值,属于中档题.二、填空题13.【分析】转化为函数的图象与直线恰有2个交点作出函数的图象利用图象可得结果【详解】因为函数恰好有2个零点所以函数的图象与直线恰有2个交点当时当时所以函数在上为增函数函数的图象如图:由图可知故答案为:【 解析:34m > 【分析】 转化为函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点,作出函数的图象,利用图象可得结果.【详解】因为函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点,所以函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点,当0x ≤时,22133()1()244y f x x x x ==++=++≥, 当0x >时,()x y f x x e x =-=-,10x y e '=->,所以函数()x y f x x e x =-=-在(0,)+∞上为增函数,函数()y f x x =-的图象如图:由图可知,34m >. 故答案为:34m >【点睛】 方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.14.【分析】构造函数再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解:构造函数则当时在单调递增不等式即即故不等式的解集为故答案为:【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是根据题目的特点构造一个适当的函数利用它的单调 解析:,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()sin f x g x x =,再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】解:()()cos sin f x x f x x '<()()sin cos 0f x x x f x '∴->,构造函数()()sin f x g x x =, 则()()()2sin cos f x x f x x g x sin x'-'=, 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x '>, ()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增, ∴不等式()f x x >,即()6sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>== 即()6xg g π⎛>⎫ ⎪⎝⎭, 26x ππ∴<< 故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为:,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题.15.【分析】通过求导得出分段函数各段上的单调性从而画出图像若要方程f (x )﹣m=0恰有两个实根只需y=m 与y=f (x )恰有两个交点即可从而得出的取值范围【详解】(1)x≤0时f′(x )=ex ﹣x ﹣1易知解析:(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭, 【分析】通过求导,得出分段函数各段上的单调性,从而画出图像.若要方程f (x )﹣m =0恰有两个实根,只需y =m 与y =f (x )恰有两个交点即可,从而得出m 的取值范围.【详解】(1)x ≤0时,f ′(x )=e x ﹣x ﹣1,易知f ′(0)=0,而f ″(x )=e x ﹣1<0,所以f ′(x )在(﹣∞,0]上递减,故f ′(x )≥f ′(0)=0,故f (x )在(﹣∞,0]上递增, 且f (x )≤f (0)11e=+,当x →﹣∞时,f (x )→﹣∞. (2)x >0时,()21'lnx f x x-=,令f ′(x )>0,得0<x <e ;f ′(x )<0得x >e ; 故f (x )在(0,e )上递增,在(e ,+∞)递减, 故x >0时,()1()max f x f e e==;x →0时,f (x )→﹣∞;x →+∞时,f (x )→0. 由题意,若方程f (x )﹣m =0恰有两个实根,只需y =m 与y =f (x )恰有两个交点,同一坐标系画出它们的图象如下:如图所示,当直线y =m 在图示①,②位置时,与y =f (x )有两个交点,所以m 的范围是:(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭,. 故答案为:(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭,. 【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题,以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合,属于中档题.16.【分析】设cm 根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式利用导数研究体积的最大值即可【详解】设cm 则cm 包装盒的高为cm 因为cm 所以包装盒的底面边长为cm 所以包装盒的体积 解析:10【分析】设EF x =cm ,根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式,利用导数研究体积(x)V 的最大值即可.【详解】设EF x =cm ,则302x AE BF -== cm ,包装盒的高为22GE x = cm , 因为302x AE AH -== cm ,2A π∠=,所以包装盒的底面边长为2=(30)2HE x - cm , 所以包装盒的体积为232222()[(30)](60900)224V x x x x x x =-⋅=-+,030x <<, 则22()(3120900)4V x x x '=-+,令()0V x '=解得10x =, 当(0,10)x ∈时,()0V x '>,函数(x)V 单调递增;当(10,30)x ∈时,()0V x '<,函数(x)V 单调递减,所以3max 2()(10)(100060009000)10002()4V x V cm ==-+=,即当10EF cm =时包装盒容积3()V cm 取得最大值310002()cm .故答案为:10【点睛】本题考查柱体的体积,利用导数解决面积、体积最大值问题,属于中档题.17.【分析】对求导利用导数即可求得函数单调性和最小值【详解】因为故可得令解得;故当时单调递减;当时单调递增;当时单调递减且当趋近于1时趋近于正无穷;当趋近于正无穷时趋近于零函数图像如下所示:故的最小值为解析:14- 【分析】对()f x 求导,利用导数即可求得函数单调性和最小值,【详解】因为()()21xf xx=-,故可得()()311xf xx---'=,令()0f x'=,解得1x=-;故当(),1x∈-∞-时,()f x单调递减;当()1,1x∈-时,()f x单调递增;当()1,x∈+∞时,()f x单调递减.且()114f-=-,当x趋近于1时()f x趋近于正无穷;当x趋近于正无穷时,()f x趋近于零.函数图像如下所示:故()f x的最小值为14-.故答案为:14-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值,属综合基础题.18.【分析】作出函数的图象结合图象可求实数的取值范围【详解】当时当时函数为增函数;当时函数为减函数;极大值为且;作出函数的图象如图方程则或由图可知时有2个解所以有五个不相等的实数根只需要即;故答案为:【解析:1(0,)2【分析】作出函数21ln,0()log,0xxf x xx x+⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象,结合图象可求实数m的取值范围.【详解】当0x >时,2ln ()x f x x'=-,当01x <<时,()0f x '>,函数为增函数; 当1x >时,()0f x '<,函数为减函数;极大值为(1)1f =,且x →+∞,()0f x →; 作出函数21ln ,0()log ,0x x f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象,如图,方程2()2()0()f x mf x m R -=∈,则()0f x =或()2f x m =,由图可知()0f x =时,有2个解,所以2()2()0f x mf x -=有五个不相等的实数根,只需要021m <<,即102m <<; 故答案为:1(0,)2.【点睛】 本题主要考查导数的应用,利用研究方程根的问题,作出函数的简图是求解的关键,侧重考查数学抽象的核心素养.19.【分析】对函数进行求导得则方程在时有两个根利用导数研究函数的值域即可得答案;【详解】在时有两个根令令当时当时在单调递增在单调递减且当时当时与要有两个交点故答案为:【点睛】本题考查利用导数研究函数的值 解析:01a <<【分析】对函数进行求导得()1f x lnx ax '=+-,则方程ln 1x a x +=在0x >时有两个根,利用导数研究函数ln 1()x g x x+=的值域,即可得答案; 【详解】 ()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()1f x lnx ax '=+-. ∴ln 1x a x+=在0x >时有两个根,令ln 1()x g x x+=, 令()1g x lnx ax =+-,'221(ln 1)ln ()x x x x g x x x ⋅-+==- 当01x <<时,'()0g x >,当1x >时,'()0g x <, ∴()g x 在(0,1)单调递增,在(1,)+∞单调递减,且(1)1g =,当x →+∞时,()0g x →,当0x →时,()g x →-∞,y a =与()y g x =要有两个交点,∴01a <<故答案为:01a <<.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意参变分离法的运用.20.【分析】依题意可得在上恒成立参变分离得到在上恒成立令求出的最大值即可求出参数的取值范围;【详解】解:因为的定义域为且函数在上单调递增在上恒成立即在上恒成立令当时所以即故答案为:【点睛】本题考查利用导 解析:18a ≥ 【分析】依题意可得()210a f x x x'=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立,参变分离得到22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立,令()22g x x x =-,求出()g x 的最大值即可求出参数的取值范围;【详解】解:因为()21ln f x x x a x =-++的定义域为()0,x ∈+∞,且函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增,()210a f x x x'∴=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立, 即22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立,令()22112248g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ 当14x =时()max 18g x = 所以18a ≥即1,8a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故答案为:1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,不等式恒成立问题,属于中档题. 三、解答题21.(1)答案见解析;(2)[)1,+∞.【分析】(1)求导后,分别在0a ≥和0a <两种情况下讨论导函数的正负即可得到结果; (2)将恒成立的不等式转化为()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立,从而只需构造函数()()2t x h x x =-,证明()t x 在()0,∞+上单调递增即可,从而将问题进一步转化为()0t x '≥在()0,∞+上恒成立,进而利用分离变量的方法可求得结果.【详解】(1)()()21ln 02h x x a x x =+>,则()()20a x a h x x x x x+'=+=>, 当0a ≥时,()0h x '>恒成立,()h x ∴在()0,∞+上单调递增;当0a <时,若(x ∈,()0h x '<;若)x ∈+∞,()0h x '>; ()h x ∴在(上单调递减,在)+∞上单调递增. (2)设12x x >,则()()12122h x h x x x ->-等价于()()112222h x x h x x ->-, 即()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立. 令()()212ln 22t x h x x x a x x =-=+-,则只需()t x 在()0,∞+上单调递增, ()2a t x x x '=+-,∴只需()0t x '≥在()0,∞+上恒成立即可. 令()200a x x x+-≥>,则()220a x x x ≥-+>, 当1x =时,()2max 21x x-+=,1a ∴≥,即实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】 关键点点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.22.(1)见解析;(2)若c<3102,则当v =3102时,总用氧量最少;若c≥3102,则当v =c 时,总用氧量最少.【分析】(1)结合题意可得y 关于v 的函数关系式.(2)由(1)中的函数关系,求导后得到当0<v<3102时,函数单调递减;当v>3102时,函数单调递增.然后再根据c 的取值情况得到所求的速度. 【详解】(1)由题意,下潜用时 (单位时间),用氧量为×=+ (升),水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升),返回水面用时= (单位时间),用氧量为×1.5= (升), 因此总用氧量232409,(0)50v y v v=++>. (2)由(1)得232409,(0)50v y v v=++>, ∴y′=-=,令y′=0得v =32当0<v<3102y′<0,函数单调递减;当v>32y′>0,函数单调递增.①若c<32 ,则函数在(c ,32上单调递减,在(310215)上单调递增, ∴ 当v =32②若c≥32,则y 在[c ,15]上单调递增,∴ 当v =c 时,总用氧量最少.【点睛】(1)在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.(2)用导数求实际问题中的最大(小)值,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义可知该极值点就是最值点.23.(1)1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭(2)32a e > 【分析】(1)直接求出函数的导函数,令()0f x '>,解不等式即可;(2)由题意容易知道2102222a ln a a a f ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭,解出即可求得实数a 的取值范围; 【详解】解:(1)因为()2x f x e ax b =-+所以()()220x f x e a a '=->,令()0f x '>,得1ln 22a x >,∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)由(1)知,函数()f x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减,在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增, ∴x →-∞时,()f x →+∞;x →+∞,()f x →+∞,∵函数()f x 有两个零点12,x x ,∴1ln 022a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭,又a b =, ∴ln 21ln ln 02222a a a a f e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭, 即ln 0222a a a a -+< 所以3ln02a -< 所以32a e >【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题,考查导数中零点问题,考查转化思想及运算求解能力,属于中档题.24.(1)(,2)(0,)()f x -∞-+∞和为的增区间,(2,0)()f x -为的减区间.(2)m <0 .【详解】解:(1)21()(2)22xxx e f x xe x e x x '=+=+ 令(2)0,02,(,2)(0,)()2xe x x x xf x +>><-∴-∞-+∞或和为的增区间, (2)0,20,(2,0)()2xe x x xf x +<-<<∴-为的减区间. (2)x ∈[-2,2]时,不等式f (x )>m 恒成立等价于min ()f x >m, 令:21()(2)022xxx e f x xe x e x x =+'=+= ∴x=0和x=-2,由(1)知x=-2是极大值点,x=0为极小值点2222(2),(2)2,(0)0,()[0,2]f f e f f x e e-===∴∈, ∴m <0 25.(1)23055元;(2)保护罩为底面边长为2米,高为4米的正四棱柱【分析】(1)根据定义先求保险费用,再计算正四棱柱体积,进而求气体费用,最后求和得结果; (2)先列出气体费用和保险费用之和函数关系式,再利用导数求最值,即得结果.【详解】(1)保险费用为24800076802.5= 正四棱柱体积为22.5(2 2.5)⨯⨯所以气体费用为2500[2.5(2 2.5)0.5]15375⨯⨯⨯-=因此气体费用和保险费用之和为76801537523055+=(元);(2)设正四棱柱底面边长为a 米,则 1.2a ≥因此气体费用和保险费用之和23224800048000500[(2)0.5]1000250y a a a a a=+⨯⨯-=+- 因为2396000300002y a a a'=-+=∴= 当2a >时,0y '>,当1.22a ≤<时,0y '<, 因此当2a =时,y 取最小值,保护罩为底面边长为2米,高为4米的正四棱柱时,气体费用和保险费用之和最低.【点睛】本题考查利用导数求函数最值、列函数解析式,考查基本分析求解能力,属中档题. 26.(1)4m ≤;(2)1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭,.【分析】(1)由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为22m x x ≤+在(0,)+∞上恒成立,利用基本不等式求得22x x+的最小值即可得解; (2)由题意结合函数极值点的概念可得122m x x +=,121x x ⋅=,进而可得1112x <<,转化条件为21211211()()4ln f x f x x x x -=-+,令221()4ln g x x x x =-+(112x <<),利用导数求得函数()g x 的值域即可得解.【详解】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞,∵()f x 在(0,)+∞上单调递增, ∴2()20f x x m x '=-+≥在(0,)+∞上恒成立,即22m x x≤+在(0,)+∞上恒成立,又224x x +≥=,当且仅当1x =时等号成立, ∴4m ≤;(2)由题意2222()2x mx f x x m x x-+'=-+=, ∵()f x 有两个极值点12,x x ,∴12,x x 为方程2220x mx -+=的两个不相等的实数根, 由韦达定理得122m x x +=,121x x ⋅=, ∵120x x <<,∴1201x x <<<, 又121112()2()(4,5)m x x x x =+=+∈,解得1112x <<, ∴()()2212111222()()2ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+ ()()()()22121212122ln ln 2x x x x x x x x =-+--+-()()2221122ln ln x x x x =-+- 2112114ln x x x =-+, 设221()4ln g x x x x =-+(112x <<), 则4222333242(21)2(1)()20x x x g x x x x x x ---+--=-+='=<, ∴()g x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数, 又1111544ln 4ln 22424g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,(1)1100g =-+=, ∴150()4ln 24g x <<-, 即12()()f x f x -的取值范围为1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭,.【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了运算求解能力与逻辑推理能力,牢记函数单调性与导数的关系、合理转化条件是解题关键,属于中档题.。
高二数学选修2-2导数检测题(一)含答案
高二年级导数理科数学试题一、选择题:(每题5分,共60分)1. 若000(2)()lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆,则0()f x '等于( )A .2B .-2C . 12D .12-2.物体运动方程为4134S t =-,则2t =时瞬时速度为( )A .2B .4C . 6D .83.函数sin y x =的图象上一点(32π处的切线的斜率为( )A .1 BC .D .124.设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =( ) A .2e B .eC .ln 22D .ln 25.若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是( ) A .[1,)-+∞ B .(1,)-+∞ C .(,1]-∞- D .(,1)-∞-6.已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是( ) A .63<<-a B .3-<a 或6>a C .21<<-aD .1-<a 或2>a7.已知)(x f 是定义域R 上的增函数,且0)(<x f ,则函数)()(2x f x x g =的单调情况一定是( ) A .在)0,(-∞上递增 B .在)0,(-∞上递减 C .在R 上递增 D .在R 上递减 8.曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是( ) AB. C. D .09.如果函数)(x f y =的图象如图所示,那么导函数)(x f y '=的图象可能是 ( )10.方程0109623=-+-x x x 的实根个数是( ) A .3B .2C .1D .011.已知93,0,0=+≥≥y x y x ,则y x 2的最大值为()A .25B .18C .36D .42 12.设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A .在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 B .在区间1(,1),(1,)e e内均无零点C .在区间1(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点.D .在区间1(,1)e内无零点,在区间(1,)e 内有零点.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)13.设曲线11x y x +=-在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =_______ 14.已知x x f lg )(=,函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠,有如下结论:①0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<;②0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-;③;0)()(2121>--x x x f x f④.2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 上述结论中正确结论的序号是 . 15.计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________.16.设()f x 是定义在R 上的奇函数,且(2)0,0f x =>当时,有2()()0xf x f x x'-<恒成立,则不等式2()0x f x >的解集为 __________.三、解答题(本题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ,且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x .(1)求函数)(x f y =的解析式; (2)求函数)(x f y =的单调区间.18.已知函数3()3f x x x =-(1)求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值.(2)过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线,求此切线的方程.19.已知函数c bx x x x f ++-=2321)(. (1)若()f x 在R 上是增函数,求b 的取值范围;(2)若()f x 在1=x 处取得极值,且[]2,1-∈x 时,2)(c x f <恒成立,求c 的取值范围.20.(本小题共12分)给定函数x a ax x x f )1(3)(223-+-=和xa x x g 2)(+= (1)求证: )(x f 总有两个极值点;(2)若)(x f 和)(x g 有相同的极值点,求a 的值.21.(12分)把边长为a 的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x ,容积为()V x . (1)写出函数()V x 的解析式,并求出函数的定义域; (2)求当x 为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积.22.(14分)已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,其中,,0m n R m ∈<, (1)求m 与n 的关系式; (2)求()f x 的单调区间;(3)当[]1,1x ∈-时,函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求m 的取值范围.CDDBC BAA AC CD 13.2- 14.①③ 15.2316.(-∞,-2)∪(0,2)) 12.解析:由题得xx x x f 33131)`(-=-=,令0)`(>x f 得3>x ;令0)`(<x f 得30<<x ;0)`(=x f 得3=x ,故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数,在区间),3(+∞为增函数,在点3=x 处有极小值03ln 1<-;又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ,故选择D 。
(2021年整理)高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)
高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案))的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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12导数复习一.选择题(1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A .),2(+∞B .)2,(-∞C .)0,(-∞D .(0,2) (2)曲线3231y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( )A .34y x =-B 。
32y x =-+C 。
43y x =-+D 。
45y x =-a(3) 函数y =a x 2+1的图象与直线y =x 相切,则a =( )A . 18B .41C .21 D .1(4) 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( )A .2B .3C .4D .5(5) 在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是( )A .3B .2C .1D .0(6)函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( )A .0a >B .0a ≥C .0a <D .0a ≤(7)函数3()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 12B . -1C .0D .1(8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处A 、0B 、1002C 、200D 、100! (9)曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭,处的切线与坐标轴围成( )A.19 B.29C.13 D.23.10设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x fx >,若M范围是 ( )A.(—∞,1) B 。
2020年高中数学选修2-2导数及其应用单元检测卷(含答案解析)
10. 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价定为
p 元,销售量为 Q件,
2
则销售量 Q与零售价 p 有如下关系: Q=8300- 170p-p . 则最大毛利润为 ( 毛利润 =销售收入
-进货支出 )(
)
A. 30 元
B
. 60 元
C .28 000 元
D
. 23 000 元
23. 已知 f(x)=x 3+ ax2+bx+ c 在 x=1 与 x=-2 时都取得极值. (1) 求 a, b 的值; 11 (2) 若 x∈ [-3,2] 时都有 f(x)> c- 2恒成立,求 c 的取值范围.
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答案解析
1. 答案为: B;
三、解答题
2
17. 已知曲线 y=2x -7 在点 P 处的切线方程为 8x- y- 15=0,求切点 P 的坐标.
18. 求下列函数的导数. (1)y=(2 018-8x) 8; (2)y=
2x ;
sin x
(3)y=x
1+x 2; (4)y=cos x ·sin 3x.
19. 已知函数 f(x)=x 3+ (1-a)x 2-a(a + 2)x + b(a , b∈ R) . (1) 若函数 f(x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率为 -3 ,求 a, b 的值; (2) 若曲线 y=f(x) 存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围.
)
3π A. 4
π
π
π
B.
3
C.
4
D.
6
6. 已知函数 f(x)=x + ln x ,则 f ′(1) 的值为 ( )
新课标高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)
新课标选修2-2高二数学理导数测试题一.选择题(1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A .),2(+∞B .)2,(-∞C .)0,(-∞D .(0,2)(2)曲线3231y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( )A .34y x =-B 。
32y x =-+C 。
43y x =-+D 。
45y x =- a (3) 函数y =a x 2+1的图象与直线y =x 相切,则a =( )A .18 B .41 C .21D .1 (4) 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( )A .2B .3C .4D .5(5) 在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是( )A .3B .2C .1D .0(6)函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( )A .0a >B .0a ≥C .0a <D .0a ≤ (7)函数3()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( )A .12B . -1C .0D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( )A 、0B 、1002C 、200D 、100!(9)曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23二.填空题(1).垂直于直线2x+6y +1=0且与曲线y = x 3+3x -5相切的直线方程是 。
(2).设 f ( x ) = x 3-21x 2-2x +5,当]2,1[-∈x 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数m 的取值范围为 .(3).函数y = f ( x ) = x 3+ax 2+bx +a 2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b = 。
高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)(可编辑修改word版)
x 2 + 1 1 高二数学选修 2-2 导数及其应用测试题一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卡上)1 - x2 1. 设 y = sin x,则 y ' = ().- 2x sin x - (1 - x 2 ) cos xA .sin 2x - 2x sin x + (1 - x 2 )-2x sin x + (1 - x 2 ) cos xB .sin 2 x - 2x sin x - (1 - x 2 )C.D .sin xsin x2.设 f (x ) = ln ,则 f '(2) = ( ).4 2 13 A.B .C .D .55552x - 3 f (x ) 3.已知 f (3) = 2, f '(3) = -2 ,则limx →3x - 3的值为( ).A. - 4B. 0C . 8D .不存在4. 曲线 y = x 3 在点(2,8) 处的切线方程为( ).A . y = 6x - 12 C . y = 8x + 10B . y = 12x - 16 D . y = 2x - 325. 已知函数 f (x ) = ax 3 + bx 2+ cx + d 的图象与 x 轴有三个不同交点(0,0),(x ,0), (x ,0) ,且 f (x ) 在 x = 1, x = 2 时取得极值,则 x 1 ⋅ x 2 的值为( )A .4B .5C .6D .不确定6. 在 R 上的可导函数 f (x ) =1 x 3 + 1 ax 2+ 2bx + c ,当 x ∈ (0,1) 取得极大值,当 x ∈ (1,2) 3 2b - 2取得极小值,则的取值范围是( ).a - 1A. ( 1 4,1)B. ( 1 2,1)C. (- 1 , 1 )2 4D. (- 1 , 1 )2 27.函数 f (x ) = 1 e x(sin x + cos x ) 在区间 2 [0, ]的值域为( ).2A .[ 1, 2 1e 2 ]2B . ( 1 , 1 2 2e 2 )C .[1, e 2 ]D . (1, e 2)23 4V a42 n8.积分⎰-a a 2-x2dx=().A.1a24x 2 y 2B.1a22C.a2D.2a29.由双曲线-a 2b 2积为()= 1,直线y =b, y =-b 围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体A.8ab23B.8a2b3C.4a2b3D.4ab2310.由抛物线y 2= 2x 与直线y =x - 4 所围成的图形的面积是().38 16A.18 B.C.D .163 311.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,底面边长为().A.3V B.32V C.D.23V12.某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣,纸花瓣的边界由六段全等的正弦曲线弧y = sin x(0 ≤x ≤) 组成,其中曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点,则这个纸花瓣的面积为().A.6 + 3 32B.12 +3 3 22C.6+2D.6 +3 3 22第Ⅱ卷(非选择题,共90 分)二、填空题(每小题4 分,共16 分。
(完整版)高中数学选修2-2第一章导数测试题
f
-13
59 =- 27<0,f(1)
=- 1<0,故函数 f(x)的图象与 x 轴仅有一个交点,且交点横坐标在
-∞,-
1 3
内,故选
A.
11.C 当 1≤x≤2 时, f′(x)≥0,则 f(2)≥f(1);
而当 0≤x≤1 时, f′(x)≤0,则 f(1)≤f(0),
从而 f(0)+f(2)≥2f(1).
sinx
|π20=1,
0
π M<N,不满足条件 M>N,则 S=M=4.
n 15.n+1
解析: f′(x)=mxm-1+a=2x+1,得 m= 2, a=1.
则
f( x)= x2+x, f
1 n
=n
1 n+ 1
11 = n- n+1,
其和为
11-12
+
12-13
+
13-
1 4
+…+
11 n-n+ 1
20.解: (1)由条件得
a×102+15001× 10- bln1= 19.2
,
a×
202+
101 50 ×
20-
bln2=
35.7
解得 a=- 1100,b=1,
则
f(
x)=-
1x020+
101 50 x-
x ln10(x≥
10).
(2)由题意知
T(x)
=f
(x)-
x=-
1x020+5510x-
16.已知函数 f(x)=12mx2+lnx-2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为 ________.
三、解答题 (写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70 分)
高中数学人教新课标A版 选修2-2 第一章 导数及其计算
高中数学人教新课标A版选修2-2 第一章导数及其计算一、单选题(共12题;共24分)1.(2分)函数的图像在点处的切线方程为()A.B.C.D.2.(2分)若,则等于()A.-1B.2C.3D.63.(2分)已知物体位移S(单位:米)和时间t(单位:秒)满足:,则该物体在时刻的瞬时速度为()A.1米/秒B.2米/秒C.3米/秒D.4米/秒4.(2分)函数的图象如图所示,则阴影部分的面积是()A.B.C.D.5.(2分)已知函数,导函数为,那么等于()A.B.C.D.16.(2分)已知函数,为的导函数,则的值为()A.-1B.C.0D.7.(2分)函数的单调递增区间是()A.B.C.D.8.(2分)已知函数在上可导且满足,则下列一定成立的为()A.B.C.D.9.(2分)若点P是曲线上任一点,则点P到直线的最小距离是()A.B.3C.D.10.(2分)若函数在区间上单调递减,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.11.(2分)下列给出四个求导运算:①;②;③;④.其中运算结果正确的个数是()A.1B.2C.3D.412.(2分)设是在上的可导函数,且,,,则下列一定不成立的是()A.B.C.D.二、多选题(共4题;共12分)13.(3分)已知函数的导函数的图象如图所示,下列结论中正确的是()A.-1是函数的极小值点B.-3是函数的极小值点C.函数在区间上单调递增D.函数在处切线的斜率小于零14.(3分)已知函数,若,则下列选项正确的是()A.B.C.D.当时,15.(3分)已知,下列结论正确的是()A.在上单调递增B.C.的图象在点处的切线方程为D.若关于的不等式有正整数解,则16.(3分)已知函数,给出下面四个命题:①函数的最小值为;②函数有两个零点;③若方程有一解,则;④函数的单调减区间为.则其中错误命题的序号是()A.①B.②C.③D.④三、填空题(共4题;共4分)17.(1分)设函数.若,则a=.18.(1分)曲线的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.19.(1分)已知函数,若,,则实数m的取值范围是.20.(1分)已知函,,用max{m,n}表示m,n中的最大值,设.若在上恒成立,则实数a的取值范围为四、解答题(共6题;共50分)21.(5分)已知函数,若,求在处的切线方程.22.(10分)已知函数.(1)(5分)求在点处的切线;(2)(5分)求在区间上的最大值和最小值.23.(10分)已知函数,其中.(1)(5分)求,求在上的最大值和最小值;(2)(5分)若是函数的一个极值点,求实数的值.24.(5分)已知函数.(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程;(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为,求的最小值.25.(10分)已知函数f(x)=2lnx+1.(1)(5分)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)(5分)设a>0时,讨论函数g(x)= 的单调性.26.(10分)已知函数.(1)(5分)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)(5分)当x≥0时,f(x)≥ x3+1,求a的取值范围.答案解析部分1.【答案】B【解析】【解答】,,,,因此,所求切线的方程为,即.故答案为:B.【分析】求得函数的导数,计算出和的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可.2.【答案】D【解析】【解答】解:∵∴∴故答案为:D.【分析】先对函数求导,然后把代入,即可求得答案3.【答案】A【解析】【解答】由题意,当时,.故答案为:A.【分析】求出S关于t的导数,令即可得结果.4.【答案】C【解析】【解答】由图可得阴影部分的面积为,故答案为:C.【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积.5.【答案】C【解析】【解答】因为,则,所以.故答案为:C.【分析】先对函数求导,再将代入,即可得出结果.6.【答案】C【解析】【解答】由可得,,所以,.故答案为:C【分析】求幂函数和对数函数的导数,代入1即可得出结果.7.【答案】D【解析】【解答】由已知,当时,当时,所以增区间为.故答案为:D.【分析】求出导函数,由确定增区间.8.【答案】A【解析】【解答】构造函数,则,当时, .所以,函数在上单调递增,,,即,即,S故答案为:A.【分析】构造函数,利用导数判断函数在上的单调性,可得出与的大小关系,经过化简可得出正确选项.9.【答案】C【解析】【解答】要使点P到直线的最小距离,只需点为曲线与直线平行的切线切点,即点为斜率为的切线的切点,设,,解得或(舍去),点到直线的距离为,所以曲线上任一点到直线距离最小值为.故答案为:C.【分析】与直线平行且与曲线相切时,切点到直线的距离最小,利用导数求出切点坐标即可.10.【答案】A【解析】【解答】函数,.则,因为在区间上单调递减,则在区间上恒成立,即,所以在区间上恒成立,所以,解得,故答案为:A.【分析】先求得导函数,根据函数单调递减可知在区间上恒成立,即可由定义域及不等式求得a的取值范围.11.【答案】B【解析】【解答】解:①,故错误.②,故正确.③,故错误.④,故正确.故答案为:B.【分析】对于①②③④直接利用函数的导数的运法则求出结果,即可做出判定.12.【答案】A【解析】【解答】是在上的可导函数,且,设,,为单调递增函数或常数函数.又,,在区间上是常数函数,,.又,,.故答案为:A.【分析】设,可得设,故为单调递增函数或常数函数.由,,可得,故在区间上是常数函数,可求的值,可得的正误. 再根据,求出的取值范围,进而判断的正误,即得答案.13.【答案】B,C【解析】【解答】由图象得时,,时,,故在单调递减,在单调递增,故是函数的极小值点.对选项D:显然,故错误.故答案为:BC.【分析】根据导函数图象,求得函数单调性,结合极值点定义,即可容易判断选择.14.【答案】C,D【解析】【解答】对于A选项,函数,定义域为,.令,则;令,可得.所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.当时,,则,A选项错误;对于B选项,构造函数,定义域为,,当时,;当时, .所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为,当时,,B选项错误;对于C选项,,由于函数在上单调递增,当时,,即,所以,,C选项正确;对于D选项,由A选项知,函数在区间上单调递增,当时,,则,即,D选项正确.故答案为:CD.【分析】利用导数判断函数的单调性,可判断A选项;构造函数,利用导数判断函数的单调性,可判断B选项;由函数的单调性可判断C选项;利用函数在区间上的单调性可判断D选项.15.【答案】A,D【解析】【解答】,则,易知在上单调递增,在上单调递减,A符合题意;又,,所以,B不符合题意;对于C,,,故切线方程,C不正确;若有正整数解,则,所以,因为,所以,所以,所以,即,所以D符合题意;故答案为:AD.【分析】对函数求导,得到,利用导数的符号判断出函数的单调区间,可以判断A项正确;将化简,整理,得到大小,从而判断出B项不正确;利用导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得切线方程,可以判断出C项不正确;将不等式转化为,两边取对数,得到,结合式子的特征,得到D项正确,进而得到结果.16.【答案】B,C,D【解析】【解答】因为函数,所以当时,,当时,,所以当时,的最小值为,如图所示:当时,,当时,,所以函数有一个零点;若方程有一解,则或,函数的单调递减区间为,故错误命题的序号是②③④。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试(含答案解析)
一、选择题1.已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--,则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系( ) A .()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B .0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C .0.5321(0.5)(log )(log 9)2f f f ->>D .0.5231(log 9)(0.5)(log )2f f f ->>2.已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠,若任意1x ,2[1x ∈,)+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-,则实数a 的取值范围( )A .[1,)+∞B .(0,1]C .[2,)+∞D .(0,)+∞3.已知定义域为R 的偶函数()f x ,其导函数为fx ,对任意[)0,x ∈+∞,均满足:()()2xf x f x >-'.若()()2g x x f x =,则不等式()()21g x g x <-的解集是( )A .(),1-∞-B .1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C .11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D .()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭4.定义域为R 的连续可导函数()f x 满足()()xf x f x e '-=,且()00f =,若方程()()21016m f x f x ++=⎡⎤⎣⎦有四个根,则m 的取值范围是( ) A .2416e e m -<<B .42em <<C .216e m e >-D .2e m >5.直线()0x a a =>分别与曲线21y x =+,ln y x x =+相交于A ,B 两点,则AB的最小值为() A .1B .2C D 6.若函数1()ln f x x a x =-+在区间(1,)e 上存在零点,则常数a 的取值范围为( ) A .01a <<B .11a e<< C .111a e-<< D .111a e+<< 7.函数y =x 3+x 的递增区间是( )A .(0,+∞)B .(-∞,1)C .(-∞,+∞)D .(1,+∞)8.内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为( ) ABCD9.奇函数()f x 满足0x ≥时,()cos 0f x x '+<,且()3,2f π=-则不等式()cos 22f x x π+>--的解集为( )A .(,0)-∞B .(,)π-∞-C .(,)2π-∞-D .(,)π-∞10.已知f (x )=-x 3-ax 在(-∞,-1]上递减,且g (x )=2x-ax在区间(1,2]上既有最大值又有最小值,则a 的取值范围是( ) A .2a >-B .3a -≤C .32a -≤<-D .32a --≤≤11.已知0a >,函数()225,0,2,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解,则a 的取值范围为( )A .14a <<B .24a <<C .48a <<D .28a <<12.已知函数()3242xx f x x x e e=-+-,其中e 是自然对数的底数,若()()2210f a f a +--≤,则实数a 的取值范围为( )A .1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .[]2,1-D .[]1,2-二、填空题13.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )+xf '(x )>0,且f (3)=0,则不等式xf (x )>0的解集是_____.14.若函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点,则实数a 的取值范围是______.15.已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数,()f x '是()f x 的导函数,且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=,若函数()()2()3F x xf x f x '=--的一个零点0(,1)x m m ∈+,则整数m 的值是__________.16.已知函数()()2ln 2f x x x g x x x a ==-++,,若∀x 1,x 2∈(0,+∞),f (x 1)≥g(x 2)恒成立,则实数a 的取值范围为__________17.已知函数32()1f x x ax x =+++在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数,则实数a 的取值范围是________.18.设函数()'f x 是偶函数()(0)f x x ≠的导函数,(1)0f -=,当0x >时,()()0xf x f x '-<,则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________.19.已知函数()1ln f x x a x x=-+,存在不相等的常数m ,n ,使得()()''0f m f n ==,且10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,则()()f m f n -的最小值为____________.20.设函数()2()1xf x x e =-,当0x ≥时,()1(0)f x ax a ≤+>恒成立,则a 的取值范围是________.三、解答题21.设函数3222ln 11(),()28a x x f x g x x x x +==-+. (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与30x y -+=垂直,求函数()f x 的解析式;(2)如果对于任意的1213,[,]22x x ∈,都有112()()x f x g x ⋅≥成立,试求实数a 的取值范围.22.设函数()ln 1x f x x+=, (1)求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程;(2)当1≥x 时,不等式()()211a x f x x x--≥恒成立,求a 的取值范围. 23.已知函数()2xf x eax b =-+(0a >,b R ∈,其中e 为自然对数的底数).(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ,当a b =时,求实数a 的取值范围.24.已知函数22()ln a f x a x x x=⋅++(0a ≠).(1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直,求实数a 的值;(2)讨论函数()f x 的单调性;(3)当(,0)a ∈-∞时,记函数()f x 的最小值为()g a ,求证:21()2g a e ≤. 25.已知函数321()12f x x x ax =-++. (1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程;(2)若函数()f x 在1x =处有极小值,求函数()f x 在区间32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.26.已知函数ln xy x=(0x >). (1)求这个函数的单调区间;(2)求这个函数在区间21,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】首先设函数()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-,判断函数是偶函数,利用导数判断函数的单调性,根据平移关系,可判断函数()y f x =的对称性和单调性,再将2log 9,0.50.5-,以及31log 2转化在同一个单调区间,根据单调性比较大小. 【详解】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-,()()g x g x -=,所以()g x 是偶函数; ()ln3(33)2sin x x g x x -'=-+,当(0,)x π∈时,()0g x '>,()g x 在(0,)π上是增函数, 将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像, 所以()f x 关于直线1x =对称,且在(1,1)π+单调递增. ∵23log 94<<,0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈, ∴0.52314log 92log 0.512->>->>, ∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭, 又∵()f x 关于直线1x =对称,∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭. 故选:A【点睛】思路点睛:本题是一道函数单调性,奇偶性,对称性,判断大小的习题,本题所给函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--,看似很复杂,但仔细观察就会发现,通过换元后可判断函数()1y f x =+是偶函数,本题的难点是判断函数的单调性,关键点是能利用对称性,转化3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2.A解析:A 【分析】求出函数的导数,通过讨论a 的范围,得到关于a 的不等式,解出即可. 【详解】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1,等价于()'211f x ax =-≥,1x 时恒成立, 0a时,()'0f x <,不合题意,0a >时,只需211ax -,即1ax在[1,)+∞恒成立, 故max 1()1a x=,故a 的范围是[1,)+∞, 故选:A 【点睛】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1,由此考虑利用导数进行求解.3.C解析:C 【解析】试题分析:[)0,x ∈+∞时()()()()()22(2)0g x xf x x f x x f x xf x =+='+'>',而()()2g x x f x =也为偶函数,所以()()()()21212121321013g x g x g x g x x x x x x <-⇔<-⇔<-⇔+-<⇔-<<,选C.考点:利用函数性质解不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行:如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =,()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =,()()xf x f x '<构造()()f x g x x=,()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等4.A解析:A 【分析】构造函数()()xf x x b e =+,根据()00f =求出0b =,利用导数判断函数的单调性,作出其大致图像,令()t f x =,只需21016mt t ++=两个不同的根1t ,21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】由()()()()()()()()221x xxxxx x f x e f x e f x f x e e f x e ef x e '-'-=-=⇒'=⇒,则()()()()1xx xf x f x x b x x b e e e f ⎡⎤=⇒=+=+⎢⎥⎣⎦⇒, 由()000f b =⇒=,则()xf x e x =⋅.由()()1xf x e x '=+,当()1,x ∈-+∞,()0f x '>,()f x 单调递增;当(),1x ∈-∞-,()0f x '<,()f x 单调递减,当x →-∞,()0f x <,x →+∞,()0f x >,如图所示:令()t f x =,则21016mt t ++=,由已知可得 21016mt t ++=两个不同的根1t ,21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,令()2116g t mt t =++,由12121001016t t m m t t m ⎧+=-<⎪⎪⇒>⎨⎪⋅=>⎪⎩, 则()21000,41601102g e e g m e em ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪>⇒∈-⎨⎪∆>⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎩. 故选:A 【点睛】本题考查了构造函数判断函数的单调性、根据方程根的个数求参数的取值范围,考查了二次函数根的分布,此题综合性比较强,属于中档题.5.B解析:B 【分析】设A (a ,2 a+1),B (a ,a+lna ),求出|AB |,利用导数求出|AB |的最小值. 【详解】设A (a ,2a+1),B (a ,a+lna ),∴|AB |=211a a lna a lna +-+=+-(), 令y 1x lnx =+-,则y ′=11x-, ∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴x =1时,函数y 的最小值为20>,∴|AB |=2111a a lna a lna a lna +-+=+-=+-(),其最小值为2.故选B . 【点睛】本题考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力及转化思想,利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键.6.C解析:C 【分析】先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数,再解不等式(1)ln110f a =-+<,1()ln 0f e e a e=-+>,即得解.【详解】由题得211()0f x x x '=+>在区间()1,e 上恒成立, 所以函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数, 所以(1)ln110f a =-+<,1()ln 0f e e a e=-+>, 可得111a e-<<. 故选:C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.C解析:C 【解析】y ′=3x 2+1>0对于任何实数都恒成立.8.A解析:A 【分析】根据圆柱的高,底面半径以及球半径之间的关系,建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系,利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】根据题意,设圆柱底面半径为r ,圆柱的高为h ,作出示意图如下所示:显然满足2224h r R =-,故圆柱的体积()23214h r h h R h πππ=⨯=-+,故可得()223,(02)4V h h R h R ππ<'=-+<,令()0V h '>,解得0h <<,故此时()V h 单调递增,令()0V h '<2h R <<,故此时()V h 单调递减.故()maxV h V ⎫=⎪⎪⎝⎭.即当3h R =时,圆柱的体积最大. 故选:A . 【点睛】本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值,属综合中档题.9.A解析:A 【分析】构造函数()()sin h x f x x =+,根据其单调性,求解目标不等式即可. 【详解】不妨令()()sin h x f x x =+,因为()()cos 0h x f x x =+'<'在[)0,+∞恒成立, 即()h x 在[)0,+∞单调递减;又()f x 是奇函数,sin y x =是奇函数, 故()h x 是奇函数,且()h x 是R 上的单调减函数.由()3,2f π=-故可得22h π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又()cos 22f x x π+>--,即22h x h ππ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故22x ππ+<,则0x <.故选:A . 【点睛】本题考查构造函数法,涉及利用导数研究函数单调性以及利用单调性解不等式,属综合中档题.10.C解析:C 【分析】利用()f x 导数小于等于零恒成立,求出a 的范围,再由()2'2ag x x x =+在(]1,2上有零点,求出a 的范围,综合两种情况可得结果. 【详解】因为函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减,所以()2'30f x x a =--≤对于一切(],1x ∈-∞-恒成立,得23,3x a a -≤∴≥-, 又因为()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值,又有最小值, 所以,可知()2'2ag x x x =+在(]1,2上有零点, 也就是极值点,即有解220ax x+=,在(]1,2上解得32a x =-, 可得82,32a a -≤<-∴-≤<-,故选C. 【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围,属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法:① 视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围. 11.D解析:D 【分析】根据分段函数,看成函数()f x 与直线()2y a x =-的交点问题,分0x =,0x ≤,0x >讨论求解.【详解】当0x =时,()502f a =,对于直线()2y a x =-,2y a =,因为0a >,所以无交点; 当0x ≤时,()2f x x '=,令2x a =-,解得 2ax =-,要使方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解,则252222a a a a ⎛⎫⎛⎫-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得 2a >;当0x >时,()2f x x '=-,令2x a -=-,解得 2ax =,因为0x ≤时,方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解,则0x >时,无交点, 则2222a a a ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得 8a <,综上:a 的取值范围为28a <<故选:D 【点睛】关键点点睛:本题关键是由0a >和直线()2y a x =-过定点()2,0,确定方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解只有一种情况:当0x ≤时,方程恰有2个互异的实数解,当0x >时,方程无实数解.12.A解析:A 【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数,把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+,再利用导数求得函数的单调性,在把不等式转化为221a a ≤+,即可求解. 【详解】由题意,函数32()42xxf x x x e e =-+-的定义域为R , 又由3322()42e (42)()e x xx xf x x x x x e f x e -=-++-=--+-=-, 所以()f x 是R 上的奇函数,又因为2222()3423430x x f x x e x x e '=-++≥-+=≥, 当且仅当0x =时取等号,所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数,因为()22(1)0f a f a +--≤,可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+,所以221a a ≤+,解得112a ≤≤, 故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选:A 【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略: 1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义. 具体步骤:①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式;②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如:“12x x >”或“12x x <”的常规不等式,从而得解.2、利用函数的图象研究不等式,当不等式问题不能用代数法求解时,常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题,从而利用数形结合求解.二、填空题13.(﹣∞﹣3)∪(3+∞)【分析】令当x >0时可得x ∈(0+∞)上函数单调递增由可得由函数是定义在R 上的奇函数可得函数是定义在R 上的偶函数进而得出不等式的解集【详解】解:令当x >0时∴x ∈(0+∞)上解析:(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) 【分析】令()()g x xf x =,()()()g x f x xf x ''+=,当x >0时,()()0f x xf x '+>,可得x ∈(0,+∞)上,函数()g x 单调递增.由()30f =,可得()30g =.由函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得函数()g x 是定义在R 上的偶函数.进而得出不等式的解集. 【详解】解:令()()g x xf x =,()()()g x f x xf x ''+= 当x >0时,()()0f x xf x '+>∴x ∈(0,+∞)上,函数()g x 单调递增.()30f =,∴()30g =.∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数, ∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数. 由()()03g x g >=,即()()3g x g >, ∴|x |>3,解得x >3,或x <﹣3.∴不等式()0xf x >的解集是()(),33-,-∞⋃+∞. 故答案为:()(),33-,-∞⋃+∞. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.14.或【分析】首先求出函数的导函数当时可得在定义域上单调递减再根据零点存在性定理可得在上存在唯一的零点当时由导数可得函数的单调性及最小值为令利用导数说明的单调性即可求出参数的值;【详解】解:因为定义域为解析:0a ≤或1a = 【分析】首先求出函数的导函数,当0a ≤时,可得()f x 在定义域上单调递减,再根据零点存在性定理可得()f x 在()0,1上存在唯一的零点,当0a >时,由导数可得函数()f x 的单调性及最小值为()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+-⎪⎝⎭,令()112ln g a a a =+-,()0,a ∈+∞利用导数说明()g a 的单调性,即可求出参数a 的值; 【详解】解:因为()()2212ln 1f x ax a x x =+---,定义域为()0,∞+,所以()()()()()222122112221ax a x ax x f x ax a x x x+---+'=+--== 当0a ≤时,()0f x '<恒成立,即()f x 在定义域上单调递减,()()1310f a =-<,当0x +→时,20ax →,()210a x -→,2ln x -→+∞,所以()f x →+∞,所以()f x 在()0,1上存在唯一的零点,满足条件; 当0a >时,令()()()2110ax x f x x -+'=>,解得1x a >即函数在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,令()()()2110ax x f x x-+'=<,解得10x a <<即函数在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,则()f x 在1x a =取值极小值即最小值,()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭, 令()112ln g a a a =+-,()0,a ∈+∞,则()2221210a g a a a a +'=+=>恒成立,即()112ln g a a a=+-在定义域上单调递增,且()112ln110g =+-=, 所以要使函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点,则()min 1112ln 0f x f a a a ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭,解得1a =,综上可得0a ≤或1a =; 故答案为:0a ≤或1a = 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题,考查分类讨论思想,属于中档题.15.2【分析】先通过已知求出得到再利用导数研究得到函数在内没有零点函数的零点在内即得的值【详解】因为函数是定义在上的单调函数且对任意的都有所以是一个定值设所以所以或(舍去)所以所以所以所以函数在是增函数解析:2 【分析】先通过已知求出2()=+1,f x x 得到3()33F x x x =--,再利用导数研究得到函数()F x 在(0,1)内没有零点,函数()F x 的零点在(2,3)内,即得m 的值.【详解】因为函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数,且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=,所以2()f x x -是一个定值,设2()f x x t -=, 所以2()=+f x x t ,()2f t =所以2()=+2,1f t t t t =∴=或2t =-(舍去). 所以2()=+1,()2f x x f x x '=,所以23()(1)22333F x x x x x x =+-⨯-=--, 所以2()33=3(1)(1)F x x x x '=-+-,所以函数()F x 在(1,)+∞是增函数,在(0,1)是减函数,因为(0)30,(1)50F F =-<=-<,所以函数()F x 在(0,1)内没有零点.因为(2)86310,(3)2712150F F =--=-<=-=>,函数()F x 在(1,)+∞是增函数, 所以函数()F x 的零点在(2,3)内, 所以2m =. 故答案为:2 【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用,考查利用导数求函数的单调区间,考查利用导数研究零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.【分析】求导后即可求得根据二次函数的性质可得再由恒成立问题的解决方法可得即可得解【详解】求导得则当时函数单调递减;当时函数单调递增;所以;函数为开口向下对称轴为的二次函数所以当时;由题意可知即故答案解析:11a e≤--【分析】求导后即可求得()()11f x f ee --≥=-,根据二次函数的性质可得()()11g x g a ≤=+,再由恒成立问题的解决方法可得11a e -+≤-,即可得解. 【详解】求导得()ln 1f x x '=+,则当()10,x e -∈时,()0f x '<,函数()f x 单调递减;当()1,x e -∈+∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增;所以()()11f x f e e--≥=-;函数()22g x x x a =-++为开口向下,对称轴为1x =的二次函数,所以当()0,x ∈+∞时,()()11g x g a ≤=+; 由题意可知11a e -+≤-即11a e -≤--. 故答案为:11a e -≤--. 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题,考查了推理能力,属于中档题.17.【分析】求导得转化条件为在区间内恒成立令求导后求得即可得解【详解】函数在区间内是减函数在区间内恒成立即在区间内恒成立令则当时单调递减;当时单调递增;又故答案为:【点睛】本题考查了导数的综合应用考查了 解析:2a ≥【分析】求导得2()321f x x ax '=++,转化条件为1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立,令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭,求导后求得()max 2g x =即可得解. 【详解】32()1f x x ax x =+++,∴2()321f x x ax '=++,函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数, ∴()0f x '≤在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立,即1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立,令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭,则()2221312232x x x x g -++='=-,∴当2,3x ⎛∈- ⎝⎭时,()0g x '<,()g x 单调递减;当13x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,()g x 单调递增;又2734g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,123g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴()2g x <,∴2a ≥.故答案为:2a ≥. 【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了运算求解能力与推理能力,属于中档题.18.【分析】构造函数讨论单调性和奇偶性结合特殊值即可求解【详解】设函数是偶函数所以函数是奇函数且当时即当时单调递减所以当时当时是偶函数所以当时当时所以使得成立的的取值范围是故答案为:【点睛】此题考查利用解析:()()1,00,1-⋃【分析】 构造函数()()f x F x x=,讨论单调性和奇偶性,结合特殊值即可求解. 【详解】 设函数()()f x F x x =,()f x 是偶函数,()()()()f x f x F x F x x x--=-=-=-, 所以函数()F x 是奇函数,且()()()()1110,10F f f F ==-=-=, 当0x >时,()2()()0xf x f x F x x'-'=<, 即当0x >时,()F x 单调递减,()01F =, 所以当01x <<时,()()0f x F x x=>,()0f x >, 当1x >时,()()0f x F x x=<,()0f x <, ()f x 是偶函数,所以当10x -<<时,()0f x >,当1x <-时,()0f x <,所以使得()0f x >成立的x 的取值范围是()()1,00,1-⋃. 故答案为:()()1,00,1-⋃ 【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性解决不等式相关问题,关键在于准确构造函数,需要在平常的学习中多做积累,常见的函数构造方法.19.【分析】求出由已知可得为的两根求出关系并将用表示从而把表示为关于的函数设为利用的单调性即可求解【详解】因为的定义域为令即因为存在使得且即在上有两个不相等的实数根且所以∴令则当时恒成立所以在上单调递减解析:4e【分析】求出()f x ',由已知可得,m n 为()0f x '=的两根,求出,,m n a 关系,并将,n a 用m 表示,从而把()()f m f n -表示为关于m 的函数设为()h m ,利用()h m 的单调性,即可求解. 【详解】 因为()1ln f x x a x x=-+的定义域为()0,∞+, ()22211'1a x ax x x xf x ++=++=, 令()'0f x =,即210x ax ++=,()0,x ∈+∞,因为存在m ,n ,使得()()''0f m f n ==,且10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,即210x ax ++=在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根m ,n , 且m n a +=-,1⋅=m n ,所以1n m =,1a m m=--, ∴()()11111ln ln f m f m m m m m m m m m m n ⎛⎫⎛⎫=-+---+--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 11l 2n m m m m m ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=,令()112ln h m m m m m m ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 则()()()22211121ln l 'n m m m m h m m m -+⎛⎫=-=⎪⎝⎭, 当10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()'0h m <恒成立, 所以()h m 在10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减,∴()min 14h m h e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭,即()()f m f n -的最小值为4e. 故答案为:4e. 【点睛】本题考查最值问题、根与系数关系、函数的单调性,应用导数是解题的关键,意在考查逻辑推理、计算求解能力,属于中档题.20.【分析】求得在处的切线的斜率结合图像求得的取值范围【详解】函数对于一次函数令解得(负根舍去)所以在上递增在上递减画出的图像如下图所示由图可知要使当时恒成立只需大于或等于在处切线的斜率而所以故答案为: 解析:[1,)+∞【分析】求得()f x 在0x =处的切线的斜率,结合图像,求得a 的取值范围. 【详解】函数()2()1xf x x e =-,()01f =.对于一次函数()()10g x ax a =+>,()01g =.()()'221,0x f x xx e x =--+⋅≥,令'0f x,解得01x (负根舍去),所以()f x 在()00,x 上递增,在()0,x +∞上递减,画出()f x 的图像如下图所示.由图可知,要使当0x ≥时,()1(0)f x ax a ≤+>恒成立,只需a 大于或等于()f x 在0x =处切线的斜率.而()'01f=,所以1a ≥.故答案为:[1,)+∞【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.三、解答题21.(1)21ln ()x x f x x+=;(2)12a ≥. 【分析】 (1)求导3ln 4()x x x a f x x --'=,由已知得(1)1f '=-,求出12a =得解(2)求导2()34g x x x '=-得到()g x 在(12)32, 上的最大值为1()12g = 转化11()1,x f x ⋅≥ 得到1112ln a x x x ≥-在113[,]22x ∈恒成立.构造函数1111()ln ,h x x x x =-求得1()h x 的最大值为(1)1h =,得解【详解】 (1)3ln 4()x x x af x x --'=,∵曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与30x y -+=垂直,∴(1)1f '=-, 12a ∴=.21ln ()x x f x x +∴= (2)2()34g x x x '=-,∴14(,)23x ∈,()0g x '<,43(,)32x ∈,()0g x '>,∴()g x 在14(,)23上递减,在43(,)32上递增, ∴()g x 在14(,)23上的最大值为131()1,()224g g ==较大者,即()1g x ≤, ∵对于任意的113[,]22x ∈,都有112()()x f x g x ⋅≥成立, ∴11()1,x f x ⋅≥ 1112ln 1,a x x x +∴≥ 即对任意的111113(,),2ln 22x a x x x ∈≥-成立. 令1111()ln ,h x x x x =-,11()ln h x x '=-,∴11(,1)2x ∈,1()0h x '>,13(1,)2x ∈,1()0h x '<,∴1()h x 在1(,1)2上递增,在3(1,)2上递减,1()h x 的最大值为(1)1h =, ∴21a ≥,12a ≥. 【点睛】本题考查函数导数几何意义及利用导数研究函数最值及不等式恒成立求参数范围.属于基础题.22.(1)230x e y e +-=(2)(,0]-∞ 【详解】试题分析:(1)先求函数导数,再根据导数几何意义得切线斜率为()'f e ,最后根据点斜式求切线方程(2)构造函数()()2ln 1g x x a x =--,利用导数并按0a ≤,10<2a <,12a ≥进行分类讨论,通过函数的单调性以及最值进行与0比较,可得结果. 试题(1)根据题意可得,()2f e e=, ()2ln 'xf x x -=,所以()22ln 1'e f e e e -==-,即21k e=-, 所以在点()(),e f e 处的切线方程为()221y x e e e-=--,即230x e y e +-=. (2)根据题意可得,()()()221ln 110a x x a x f x x x x-----=≥在1≥x 恒成立,令()()2ln 1g x x a x =--,()1x ≥,所以()12g x ax x-'=, 当0a ≤时,()0g x '>,所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递增, 所以()()10g x g ≥=, 所以不等式()()21a x f x x->成立,即0a ≤符合题意;当0a >时,令120ax x-=,解得x =1=,解得12a =,当10<2a <1,所以()g x '在⎛ ⎝上()0g x '>,在+⎫∞⎪⎪⎭上()0g x '<,所以函数()y g x =在⎛ ⎝上单调递增,在+⎫∞⎪⎪⎭上单调递减,21111ln 1ln g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令()1ln h a a a a =--+,()222111'10a a h a a a a-+=-++=>恒成立,则()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 所以()1111ln 2ln2202222h a h ⎛⎫<=--+=+-<⎪⎝⎭, 所以存在10g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭, 所以102a <<不符合题意;②当12a ≥1≤ ()0g x '≤在[)1,+∞上恒成立,所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递减,所以()()10g x g ≤= 显然12a ≥不符合题意; 综上所述,a 的取值范围为{}|0a a ≤ 23.(1)1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭(2)32a e >【分析】(1)直接求出函数的导函数,令()0f x '>,解不等式即可;(2)由题意容易知道2102222a ln a a a f ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭,解出即可求得实数a 的取值范围; 【详解】解:(1)因为()2x f x e ax b =-+所以()()220x f x e a a '=->,令()0f x '>,得1ln 22a x >,∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)由(1)知,函数()f x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减,在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增, ∴x →-∞时,()f x →+∞;x →+∞,()f x →+∞,∵函数()f x 有两个零点12,x x ,∴1ln 022a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭,又a b =, ∴ln 21ln ln 02222a a a a f e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭, 即ln 0222a a a a -+< 所以3ln02a -< 所以32a e >【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题,考查导数中零点问题,考查转化思想及运算求解能力,属于中档题.24.(1)1a =-或32a =;(2)答案不唯一,具体见解析;(3)证明见解析. 【分析】(1)利用导数几何意义列方程解得结果;(2)先求导函数,再根据a 的正负分类讨论,对应确定导函数符号,进而确定单调性; (3)根据(2)单调性确定()g a 解析式,再利用导数求()g a 最大值,即证得结果.【详解】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞,222()1a a f x x x =-+', 根据题意有(1)2f '=-,则2230a a --=,解得1a =-或32a =; (2)22222222()(2)()1a a x ax a x a x a f x x x x x+--+=-'+==,①当0a >时,∵0x >,由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>,解得x a >,由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<,解得0x a <<,∴()f x 在(,)a +∞上单调递增,在(0,)a 上单调递减,②当0a <时,∵0x >,由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>,解得2x a >-, 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<,解得02x a <<-,∴()f x 在(2,)a -+∞上单调递增,在(0,2)a -上单调递减,(3)证明:由(2)知,当(,0)a ∈-∞时()f x 的最小值为(2)-f a , 即22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a=-=⋅-+-=⋅---, 2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a -=-+⋅=-'---,令()0g a '=,得212a e =-, 当21(,)2a e ∈-∞-时()0g a '>,当21(,0)2a e ∈-时()0g a '<, 则212a e =-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点,且是极大值点, 从而也是()g a 的最大值点, ∴22222max 11111()()ln[2()]3()22222g a g e e e e e =-=-⋅-⨯--⨯-=, ∴当(,0)a ∈-∞时,21()2g a e ≤恒成立. 【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数求单调性、利用导数求函数最值与证不等式,考查综合分析求解与论证能力,属中档题.25.(1)210x y -+=;(2)4927. 【分析】(1)利用导数的几何意义求切线的斜率,再利用点斜式方程即可求出切线方程。
人教版新课标高中数学选修2-2《导数及其应用》单元测试题(含答案)
11 Oyx导数单元测试题 2014.3.12一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)1. 函数3(21)y x =+在0x =处的导数是 ( ) A.0B.1C.3D.62.函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 ( )A .024=++πy xB .024=+-πy xC .024=--πy xD .024=-+πy x3.设函数()f x 的导函数为()f x ',且2()2'(1)f x x x f =+⋅,则'(0)f 等于 ( )A .0 B. -4 C. -2 D. 2 4. 给出以下命题:① 若()0b af x dx >⎰,则()0f x >; ②20sin 4x dx =⎰π;③()f x 的原函数为()F x ,且()F x 是以T 为周期的函数,则()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰;其中正确命题的个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 0 5.函数313y x x =+- 有 ( ) A.极小值-1,极大值1 B. 极小值-2,极大值3C. 极小值-1,极大值3D. 极小值-2,极大值26. 若函数32()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则b 的取值范围是( )A. 02b <<B. 2b <C. 0b >D. 102b << 7. 方程0109623=-+-x x x 的实根个数是( ) A .3B .2C .1D .08. 已知自由下落物体的速度为V gt =,则物体从0t =到0t 所走过的路程为( )A .2012gt B .20gt C . 2013gt D .2014gt 9.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,底面边长为( ). A.3V B.32V C.34V D .32V 10.已知函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示,其中()f x '为函数()f x 的导函数,则()y f x =的大致图象是( )二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)11.dx x ⎰--3329= , dx x x ⎰+20)sin (π= .12. 已知曲线323610y x x x =++-上一点P ,则过曲线上P 点的所有切线方程中,斜率最小的切线方程是 .13.由曲线22y x =+与3y x =,0x =,2x =所围成的平面图形的面积为 . 14.已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示,则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集 .三、解答题15.(本小题满分12分)已知函数32()f x x ax bx c =+++在2x =-处取得极值,并且它的图象与直线33y x =-+ 在点( 1 , 0 ) 处相切, 求,,a b c 的值.16.(本小题满分12分)平面向量13(3,1),(,)22a b =-=,若存在不同时为0的实数k 和t 使2(3),x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥,试确定函数()k f t =的单调区间.17.(本小题满分12分)已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5,其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0),(2,0), 如图所示.求:(1)0x 的值; (2),,a b c 的值. (3)若曲线=y )(x f )20(≤≤x 与m y =有两个不同的交点,求实数m 的取值范围.18.(本小题满分13分)已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点),1(m P 处的切线方程为31y x =-+.(1)若函数()f x 在2x =-时有极值,求()f x 的表达式; (2)函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增,求实数b 的取值范围.19.(本小题满分13分)定义在定义域D 内的函数)(x f y =,若对任意的D x x ∈21,都有12|()()|1f x f x -<,则称函数)(x f y =为“妈祖函数”,否则称“非妈祖函数”.试问函数]1,1[()(3-∈+-=x a x x x f ,R a ∈)是否为“妈祖函数”?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由.20.(本小题满分13分) 设0a ≥,2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>.(Ⅰ)令()()F x xf x '=,讨论()F x 在(0)+,∞内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当1x >时,恒有2ln 2ln 1x x a x >-+.周三练习题答案1—5 DDBBC 6—10 DCACB11. 92π,218π+ 12.3110x y --=13. 1 14. (,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞15.'2'2'2:()32(2)3(2)2(2)01240(1)3231,8()(1,0)1106f x x ax b f a b a b f a b a b f x a b c c =++∴-=-+-+=∴-+==++=-∴==-∴+⨯+⨯+=∴=3解又又过点,116.解:由13(3,1),(,)22a b =-=得0,2,1a b a b === 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=- (t ≠0)'233()0,1,144f t t t t =-><->得或;2330,1144t t -<-<<得 且 t ≠0所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞;减区间为(1,0),(0,1)-。
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新课标选修2-2高二数学理导数测试题一.选择题(1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A .),2(+∞B .)2,(-∞C .)0,(-∞D .(0,2)(2)曲线3231y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( )A .34y x =-B 。
32y x =-+C 。
43y x =-+D 。
45y x =-a (3) 函数y =a x 2+1的图象与直线y =x 相切,则a =( )A .18 B .41 C .21D .1 (4) 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( )A .2B .3C .4D .5(5) 在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是( )A .3B .2C .1D .0(6)函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( )A .0a >B .0a ≥C .0a <D .0a ≤ (7)函数3()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( )A .12B . -1C .0D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( )A 、0B 、1002C 、200D 、100!(9)曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23二.填空题(1).垂直于直线2x+6y +1=0且与曲线y = x 3+3x -5相切的直线方程是 。
(2).设 f ( x ) = x 3-21x 2-2x +5,当]2,1[-∈x 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数m 的取值范围为 .(3).函数y = f ( x ) = x 3+ax 2+bx +a 2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b = 。
(4).已知函数32()45f x x bx ax =+++在3,12x x ==-处有极值,那么a = ;b = (5).已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是(6).已知函数32()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是(7).若函数32()1f x x x mx =+++ 是R 是的单调函数,则实数m 的取值范围是 (8).设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点,P 点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是 。
三.解答题1.已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P (0,2),且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .(Ⅰ)求函数)(x f y =的解析式;(Ⅱ)求函数)(x f y =的单调区间.2.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值. (Ⅰ)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值; (Ⅱ)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.3.已知函数323()(2)632f x ax a x x =-++- (1)当2a >时,求函数()f x 极小值;(2)试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。
4已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,其中,,0m n R m ∈<, (I )求m 与n 的关系式; (II )求()f x 的单调区间;(III )当[]1,1x ∈-时,函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求m 的取值范围.5.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值.(Ⅰ)求a 、b 的值;(Ⅱ)若对于任意的[03]x ∈,,都有2()f x c <成立,求c 的取值范围.6.已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是增函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是减函数,又.23)21(='f (Ⅰ)求)(x f 的解析式;(Ⅱ)若在区间],0[m (m >0)上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围.7.设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-.(Ⅰ)求a ,b ,c 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值.参考解答一.BBDDD CDDA二.1、y=3x-5 2、m>7 3、4 -11 4、18,3-- 5、(,0)-∞ 6、1,)3⎡+∞⎢⎣7、(,1)(2,)-∞-⋃+∞ 8、),32[]2,0[πππY三.1.解:(Ⅰ)由)(x f 的图象经过P (0,2),知d=2,所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是.233)(23+--=x x x x f (2).012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数,在)21,21(+-内是减函数,在),21(+∞+内是增函数.2.(Ⅰ)解:323)(2-+='bx ax x f ,依题意,0)1()1(=-'='f f ,即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(23-+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ,得1,1=-=x x .若),1()1,(∞+--∞∈Y x ,则0)(>'x f ,故)(x f 在)1,(--∞上是增函数,)(x f 在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ,则0)(<'x f ,故)(x f 在)1,1(-上是减函数. 所以,2)1(=-f 是极大值;2)1(-=f 是极小值.(Ⅱ)解:曲线方程为x x y 33-=,点)16,0(A 不在曲线上.设切点为),(00y x M ,则点M 的坐标满足03003x x y -=. 因)1(3)(200-='x x f ,故切线的方程为))(1(30200x x x y y --=-注意到点A (0,16)在切线上,有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=--化简得830-=x ,解得20-=x .所以,切点为)2,2(--M ,切线方程为0169=+-y x .3.解:(1)'22()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a =-++=--()f x 极小值为(1)2a f =-(2)①若0a =,则2()3(1)f x x =--,()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点; ②若0a <, ∴()f x 极大值为(1)02a f =->,()f x Q 的极小值为2()0f a<, ()f x ∴的图像与x 轴有三个交点;③若02a <<,()f x 的图像与x 轴只有一个交点;④若2a =,则'2()6(1)0f x x =-≥,()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点; ⑤若2a >,由(1)知()f x 的极大值为22133()4()044f a a =---<,()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点;综上知,若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点;若0a <,()f x 的图像与x 轴有三个交点。
4.解(I)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=,所以36n m =+(II )由(I )知,2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时,有211m>+,当x 变化时,()f x 与()f x '的变化如下表:故有上表知,当0m <时,()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减, 在2(1,1)m+单调递增,在(1,)+∞上单调递减.(III )由已知得()3f x m '>,即22(1)20mx m x -++>又0m <所以222(1)0x m x m m-++<即[]222(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-①设212()2(1)g x x x m m=-++,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,所以22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得 43m -<又0m < 所以403m -<<即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭5.解:(Ⅰ)2()663f x x ax b '=++,因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有(1)0f '=,(2)0f '=.即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩,.解得3a =-,4b =.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,32()29128f x x x x c =-++, 2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--. 当(01)x ∈,时,()0f x '>; 当(12)x ∈,时,()0f x '<; 当(23)x ∈,时,()0f x '>.所以,当1x =时,()f x 取得极大值(1)58f c =+,又(0)8f c =,(3)98f c =+.则当[]03x ∈,时,()f x 的最大值为(3)98f c =+. 因为对于任意的[]03x ∈,,有2()f x c <恒成立,所以 298c c +<, 解得 1c <-或9c >, 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ,,.6.解:(Ⅰ)2()32f x ax bx c '=++,由已知(0)(1)0f f ''==,即0320c a b c =⎧⎨++=⎩,,解得032c b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩,. 2()33f x ax ax '∴=-,13332422a a f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭,2a ∴=-,32()23f x x x ∴=-+.(Ⅱ)令()f x x ≤,即32230x x x -+-≤,(21)(1)0x x x ∴--≥,102x ∴≤≤或1x ≥.又()f x x ≤在区间[]0m ,上恒成立,102m ∴<≤7.(Ⅰ)∵()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-即33ax bx c ax bx c --+=--- ∴0c =∵2'()3f x ax b =+的最小值为12- ∴12b =-又直线670x y --=的斜率为16因此,'(1)36f a b =+=- ∴2a =,12b =-,0c =. (Ⅱ)3()212f x x x =-.2'()6126(f x x x x =-=+,列表如下:∵(1)10f -=,f =-(3)18f =∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =,最小值是f =-。