中考数学专题复习几何证明含解析含答案

几何证明压轴题

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.

(1) 求证：DC=BC;

(2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；

(3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值.

[解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2.

又tan ∠ADC=2,所以212DM =

=.即DC=BC. (2)等腰三角形.

证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=.

所以，△DEC ≌△BFC

所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠.

所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒

即△ECF 是等腰直角三角形.

（3）设BE k =,则2CE CF k ==

，所以EF =.

因为135BEC ∠=︒，又45CEF ∠=︒，所以90BEF ∠=︒.

所以3BF k == 所以1sin 33

k BFE k ∠==.

2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．

（1）求证：△ADE ≌△CBF ；

（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

[解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ．

∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，

∴AE ＝21AB ，CF ＝2

1CD ． ∴AE ＝CF

∴△ADE ≌△CBF ．

（2）当四边形BEDF 是菱形时，

四边形 AGBD 是矩形．

∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD ∥BC ．

∵AG ∥BD ，

E B

F C D

A

∴四边形 AGBD 是平行四边形．

∵四边形 BEDF 是菱形，

∴DE ＝BE ．

∵AE ＝BE ，

∴AE ＝BE ＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，

∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB ＝90°．

∴四边形AGBD 是矩形

3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，

FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线

相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

[解析]（1）BM =FN ．

证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，

∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF ．

又∵∠BOM =∠FON ， ∴ △OBM ≌△OFN ．

∴ BM =FN ．

（2） BM =FN 仍然成立．

（3） 证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，

∴∠DBA =∠GFE =45°，OB =OF ．

∴∠MBO =∠NFO =135°．

又∵∠MOB =∠NOF ， ∴ △OBM ≌△OFN ．

∴ BM =FN ．

4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。

图13－2

图13－3

图13－1 A ( G ) B ( E )

（1）若sin ∠BAD =35，求CD 的长；

（2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）。

[解析] （1）因为AB 是⊙O 的直径，OD ＝5

所以∠ADB ＝90°，AB ＝10

在Rt △ABD 中，sin ∠BAD BD AB = 又sin ∠BAD =35，所以BD 1035=，所以BD =6

AD AB BD =-=-=22221068

因为∠ADB ＝90°，AB ⊥CD

所以DE AB AD BD CE DE ··，==

所以DE ⨯=⨯1086 所以DE =245 所以CD DE ==2485

（2）因为AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD

所以CB BD AC AD ⌒⌒⌒⌒，==

所以∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD

因为AO ＝DO ，所以∠BAD ＝∠ADO

所以∠CDB ＝∠ADO

设∠ADO ＝4x ，则∠CDB ＝4x

由∠ADO ：∠EDO ＝4：1，则∠EDO ＝x

因为∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90°

所以4490x x x ++=︒

所以x ＝10°

所以∠AOD ＝180°－（∠OAD ＋∠ADO ）＝100°

所以∠AOC ＝∠AOD ＝100°

S OAC 扇形=⨯⨯=1003605125182ππ

5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G.