中考数学专题复习八几何证明题

专题八：几何证明题问题解析

几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力;几何证明题和计算题在中考中占有重要地位．根据新的课程标准;对几何证明题证明的方法技巧上要降低;繁琐性、难度方面要降低．但是注重考查学生的基础把握推理能力;所以几何证明题是目前常考的题型．

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类型一：关于三角形的综合证明题

例题12016·四川南充已知△ABN和△ACM位置如图所示;AB=AC;AD=AE;∠1=∠2．

1求证：BD=CE；

2求证：∠M=∠N．

分析1由SAS证明△ABD≌△ACE;得出对应边相等即可

2证出∠BAN=∠CAM;由全等三角形的性质得出∠B=∠C;由AAS证明△ACM≌△ABN;得出对应角相等即可．

解答1证明：在△ABD和△ACE中;;

∴△ABD≌△ACESAS;

∴BD=CE；

2证明：∵∠1=∠2;

∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE;

即∠BAN=∠CAM;

由1得：△ABD≌△ACE;

∴∠B=∠C;

在△ACM和△ABN中;;

∴△ACM≌△ABNASA;

∴∠M=∠N．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．

同步练

2016·山东省菏泽市·3分如图;△ACB和△DCE均为等腰三角形;点A;D;E在同一直线上;连接BE．

1如图1;若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°

①求证：AD=BE；

②求∠AEB的度数．

2如图2;若∠ACB=∠DCE=120°;CM为△DCE中DE边上的高;BN为△ABE中AE边上的高;试证明：AE=2CM+BN．

类型二：关于四边形的综合证明题

例题22016·山东省滨州市·10分如图;BD是△ABC的角平分线;它的垂直平分线分别交AB;BD;BC 于点E;F;G;连接ED;DG．

1请判断四边形EBGD的形状;并说明理由；

2若∠ABC=30°;∠C=45°;ED=2;点H是BD上的一个动点;求HG+HC的最小值．

考点平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．

分析1结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．

2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;在RT△EMC中;求出EM、MC即可解决问题．

解答解：1四边形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD;

∴EB=ED;GB=GD;

∴∠EBD=∠EDB;

∵∠EBD=∠DBC;

∴∠EDF=∠GBF;

在△EFD和△GFB中;

;

∴△EFD≌△GFB;

∴ED=BG;

∴BE=ED=DG=GB;

∴四边形EBGD是菱形．

2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;

在RT△EBM中;∵∠EMB=90°;∠EBM=30°;EB=ED=2;

∴EM=BE=;

∵DE∥BC;EM⊥BC;DN⊥BC;

∴EM∥DN;EM=DN=;MN=DE=2;

在RT△DNC中;∵∠DNC=90°;∠DCN=45°;

∴∠NDC=∠NCD=45°;

∴DN=NC=;

∴MC=3;

在RT△EMC中;∵∠EMC=90°;EM=．MC=3;

∴EC===10．

∵HG+HC=EH+HC=EC;

∴HG+HC的最小值为10．

点评本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识;解题的关键是利用对称找到点H的位置;属于中考常考题型．同步练

2016·山东省济宁市·3分如图;正方形ABCD的对角线AC;BD相交于点O;延长CB至点F;使CF=CA;连接AF;∠ACF的平分线分别交AF;AB;BD于点E;N;M;连接EO．

1已知BD=;求正方形ABCD的边长；

2猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

类型三：关于圆的综合证明题

例题32016·山东潍坊正方形ABCD内接于⊙O;如图所示;在劣弧上取一点E;连接DE、BE;过点D作DF∥BE交⊙O于点F;连接BF、AF;且AF与DE相交于点G;求证：

1四边形EBFD是矩形；

2DG=BE．

考点正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．

分析1直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出

∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;∠EDF=90°;进而得出答案；

2直接利用正方形的性质的度数是90°;进而得出BE=DF;则BE=DG．

解答证明：1∵正方形ABCD内接于⊙O;

∴∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;

又∵DF∥BE;

∴∠EDF+∠BED=180°;

∴∠EDF=90°;

∴四边形EBFD是矩形；

2∵正方形ABCD内接于⊙O;

∴的度数是90°;

∴∠AFD=45°;

又∵∠GDF=90°;

∴∠DGF=∠DFC=45°;

∴DG=DF;

又∵在矩形EBFD中;BE=D

同步练

枣庄市 2015 中考 -24如图;在△ABC中;∠ABC=90°;以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D;E是BC的中点;连接DE;OE．

1判断DE与⊙O的位置关系;并说明理由；

2求证：BC2=CD 2OE；