中考数学知识点:三角形的重心
2020中考数学知识点:三角形的重心公式证明
2020中考数学知识点:三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。
求证:F为AB 中点。
证明:根据燕尾定理,S(△AOB)=S(△AOC),又S(△AOB)=S(△BOC),∴S(△AOC)=S(△BOC),再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。
重心的几条性质:1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证,则极易证三条中线交于一点。
如图,在△ABC中,AD、BE、CF是中线则AF=FB,BD=DC,CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题,而是综合图形知识要领,这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1.如图,一次函数y=-x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ,则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 2.刘主任乘公共汽车从昆明到相距千米的晋宁区办事,然后乘出租车返回,出租车的平均速度比公共汽车快千米/时,回来时路上所花时间比去时节省了小时,设公共汽车的平均速度为千米时,则下面列出的方程中正确的是( )A.B.C. D.3.已知二次函数y =ax 2+bx 的图象经过点A (﹣1,1),则ab 有( )A.最小值0B.最大值1C.最大值2D.有最小值﹣4.统计局信息显示,2018年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到27.49亿元,若2020年全市农家乐旅游营业收入要达到38亿元,设平均每年比上一年增长的百分率是x ,则下列方程正确的是( )A .27.49+27.49x 2=38B .27.49(1+2x )=38C .38(1﹣x )2=27.49D .27.49(1+x )2=385.某工厂接到加工 600 件衣服的订单,预计每天做 25 件,正好按时完成,后因客户要求提前 3 天交货,工人则需要提高每天的工作效率,设工人每天应多做件,依题意列方程正确的是( )A.B.C. D.6.64的立方根是( )A .8B .2C .3D .47.如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,按以下步骤作图:①:以点B 为圆心,以小于BC 的长为半径画弧,分别交AB 、BC 于点E 、F ;②:分别以点E 、F 为圆心,以大于12EF 的长为半径画弧,两弧相交于点G ; ③:作射线BG ,交AC 边于点D ,若4BC =,5AB =,则ABD S ∆=( )A .3B .103C .6D .2038.已知点A (a ,b )是一次函数y=-x+4和反比例函数y=1x 的一个交点,则代数式a 2+b 2的值为( ) A .8 B .10 C .12 D .149.如图,A 、D 是⊙O 上的两个点,BC 是直径,若∠D =34°,则∠OAC 等于( )A .68°B .58°C .72°D .56°10.在半径为8cm 的圆中,垂直平分半径的弦长为( )A .4cmB .43cmC .8cmD .83cm11.休闲广场的边缘是一个坡度为i =1:2.5的缓坡CD ,靠近广场边缘有一架秋千.秋千静止时,底端A 到地面的距离AB =0.5m ,B 到缓坡底端C 的距离BC =0.7m .若秋千的长OA =2m ,则当秋千摆动到与静止位置成37°时,底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E 约为( )(参考数据:sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)A .0.4mB .0.5mC .0.6mD .0.7m12.如图菱形OABC 中,∠A =120°,OA =1,将菱形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°,则图中阴影部分的面积是( )A.23πB.2332π-C.113122π-D.23π﹣1 二、填空题13.如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,△ABC ∽△DBA .若BD =4,DC =5,则AB 的长为_____.14.﹣19的倒数是_____. 15.某工艺品车间有20名工人,平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品,已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套,则要安排_____名工人制作大花瓶,才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套.16.抛物线y =x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点,则m 的值为_____.17.如图,⊙O 的直径AB=8,点C 在⊙O 上,∠CAB=22.5°,过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 于点D ,则弧CD 的长为______.18.抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________.三、解答题19.如图,等边△ABC 中,P 是AB 上一点,过点P 作PD ⊥AC 于点D ,作PE ⊥BC 于点E ,M 是AB 的中点,连接ME ,MD .(1)依题意补全图形;(2)用等式表示线段BE ,AD 与AB 的数量关系,并加以证明;(3)求证:MD =ME .20.如图,一次函数y =kx+3的图象分别交x 轴、y 轴于点B 、点C ,与反比例函数y x n =的图象在第四象限的相交于点P ,并且PA ⊥y 轴于点A ,已知A (0,﹣6),且S △CAP =18.(1)求上述一次函数与反比例函数的表达式; (2)设Q 是一次函数y =kx+3图象上的一点,且满足△OCQ 的面积是△BCO 面积的2倍,求出点Q 的坐标.21.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 、F 分别是AB 、BC 上的点,且AE CF =,AED CFD ∠=∠,求证:(1)DE DF =;(2)四边形ABCD 是菱形.22.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架,其中方程式是重要的数学成就。
三角形重心性质及应用
三角形重心性质及应用三角形的重心是三条中线的交点,也是三个顶点与对应中线交点的连线所形成的三角形中的重心。
三角形重心有很多特点和应用。
首先,三角形的重心坐标性质。
假设三角形的三个顶点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3),那么重心的坐标可以表示为G(x, y),其中x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3。
这个性质可以很容易地通过几何推导得到,也可以通过向量运算证明。
这个性质可以用来计算三角形的重心坐标。
其次,三角形的重心与重心连线。
三角形的重心与三个顶点分别连线,可以得到三条中线。
中线是三角形的一个特殊的线段,它连接了一个顶点与对应的底边的中点。
三角形的重心恰好是三条中线的交点,因此可以通过重心连线来确定重心的位置。
再次,三角形的重心与面积。
三角形的重心将三角形划分为六个小三角形,其中每个小三角形的面积都相等。
这个性质可以用于求三角形的重心坐标。
设三角形的重心坐标为G(x, y),且已知三个顶点的坐标为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3),则可以通过面积的性质得到x=(Ax1+Ax2+Ax3)/3、y=(Ay1+Ay2+Ay3)/3。
此外,三角形重心的应用还有很多。
其中之一是三角形质心定理。
根据三角形的重心定义,可以推导出质心与顶点的距离满足d(G, A):d(G, B):d(G, C)=2:2:1。
这个性质可以用于解决一些几何问题,例如求质心到某一点的距离比例等。
此外,三角形重心还可以用于求解三角形的面积。
根据面积的定义,可以得到三角形的面积等于底乘以高的一半。
对于任意一个三角形ABC,以重心G为底可以得到一个位于底边上的高。
因此,可以通过底边的长度与高的长度来计算三角形的面积。
最后,三角形的重心还可以用于设计平衡结构。
在工程中,有时候需要设计一个三角形结构,使得结构保持平衡。
此时,可以选择使得结构的重心和支点重合,从而达到平衡的效果。
三角形的重心
三角形的重心三角形的重心是指连接三角形的三条中线的交点。
中线是连接三角形的一个顶点与对应边中点的线段。
三角形重心的坐标可通过计算三个顶点坐标的平均值得出。
重心在三角形内部,距离三个顶点的距离相等。
三角形的重心在数学和几何学中有很重要的应用。
它是很多定理的基础,也是许多几何问题的解决方案。
在本文中,我们将更深入地了解三角形的重心,并探讨一些与它相关的性质和定理。
首先,让我们考虑一个普通三角形ABC。
我们可以通过连接顶点A 与边BC的中点D,顶点B与边AC的中点E,以及顶点C与边AB的中点F,得到三条中线AD,BE,CF。
我们可以使用以下公式来计算重心的坐标:重心的x坐标 = (顶点A的x坐标 + 顶点B的x坐标 + 顶点C的x 坐标) / 3重心的y坐标 = (顶点A的y坐标 + 顶点B的y坐标 + 顶点C的y 坐标) / 3例如,对于一个三角形ABC,假设A(1,2),B(3,4),C(5,6),我们可以通过代入这些坐标计算重心的坐标。
重心的x坐标 = (1 + 3 + 5) / 3 = 3重心的y坐标 = (2 + 4 + 6) / 3 = 4因此,重心的坐标为(3,4)。
三角形的重心有一些非常有趣的性质。
其中一个性质是,重心将每条中线按两个比例分割。
具体来说,重心将AD分割成2:1,BE分割成2:1,CF分割成2:1。
这意味着重心到顶点的距离是重心到对应中点距离的二倍。
另一个重要的性质是,三角形的内心、重心和垂心共线。
内心是三角形内切圆的圆心,垂心是通过连接三角形的顶点与对应边垂直平分线的交点。
这个性质被称为Euler定理。
此外,重心还有其他一些性质。
例如,重心和对边的中点连线垂直。
重心还将每个顶点与重心的连线分割成1:2比例。
在许多三角形问题中,重心是求解问题的关键。
例如,通过重心可以确定一个三角形是否是等边三角形或等腰三角形。
如果一个三角形的三个顶点在同一直线上,那么这个三角形的重心就是这条直线的同一点。
直角三角形的重心
直角三角形的重心
三角形重心是三角形三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时,重心与形心重合。
直角三角形的重心在斜边中点,等腰三角形的重心是三条高的交点(所有的都是),它和它的中心、内心、外心在同一条直线上,也叫心连心。
扩展资料:
1、内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等。
2、外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等。
3、重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
4、垂心是三条高的点,它能构成很多直角三角形相似。
5、旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等。
(1)重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等;
(2)外心扫三顶点的距离相等;
(3)垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心;(4)内心、旁心到三边距离相等;
(5)垂心是三垂足构成的三角形的内心,或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心;
(6)外心是中点三角形的垂心;
(7)中心也是中点三角形的重心;
(8)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。
三角形重心
三角形重心三角形是几何学中最简单、最基本的图形之一,它由三条边和三个顶点组成。
在三角形中,有一个特殊的点称为三角形的重心,它是三条中线的交点。
重心在三角形的性质和应用中有着很重要的地位。
在本文中,将深入探讨三角形重心的定义、性质、计算方法和应用领域。
1. 重心的定义和性质三角形的重心定义为三条中线的交点,其中中线是连接一个顶点与对边中点的线段。
如果一个三角形的三条中线相交于一点,则该点就是三角形的重心。
以下是三角形重心的一些性质:(1)三角形的重心和顶点的连线是三等分角的角平分线;(2)三角形的重心到三边的距离满足距离定理,即重心到顶点所在边的距离是重心到对边的距离的两倍;(3)重心到三边的距离和相等;(4)三角形的重心是三个中线的交点,也是质心的两倍。
2. 重心的计算方法计算三角形的重心可以使用向量法或坐标法。
以坐标法计算为例,假设一个三角形的顶点坐标分别为A(x1, y1),B(x2, y2)和C(x3,y3)。
可以通过以下公式计算重心的坐标G(x, y):x = (x1 + x2 + x3) / 3y = (y1 + y2 + y3) / 3通过坐标法计算重心的好处是,无论三角形的形状和大小如何改变,只要知道顶点的坐标,就能准确计算重心的坐标。
3. 重心的应用领域重心在几何学和物理学中有着广泛的应用。
以下是几个重心的应用领域:(1)建筑物和桥梁设计:重心在建筑物和桥梁的设计中起着关键作用。
确定一个建筑物或桥梁的重心可以帮助工程师分析和预测结构的稳定性和平衡性。
(2)机械工程:在机械工程中,重心的概念经常用于计算和设计运动系统的稳定性。
(3)物理学:在物理学中,重心是许多力学问题的重要概念。
通过确定物体的重心,可以帮助理解和分析物体的运动和平衡状态。
(4)地理学:在地理学中,重心被用来计算地球表面的重心,以便更好地了解地球的质量分布和地理数据分析。
(5)航空航天工程:在航空航天工程中,重心对于飞机和火箭的稳定性和控制至关重要。
2020中考数学知识点:三角形的重心公式证明
2020中考数学知识点:三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。
求证:F为AB 中点。
证明:根据燕尾定理,S(△AOB)=S(△AOC),又S(△AOB)=S(△BOC),∴S(△AOC)=S(△BOC),再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。
重心的几条性质:1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证,则极易证三条中线交于一点。
如图,在△ABC中,AD、BE、CF是中线则AF=FB,BD=DC,CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题,而是综合图形知识要领,这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1.下列说法:①平方等于其本身的数有0,±1;②32xy 3是4次单项式;③将方程121.20.30.5x x -+-=中的分母化为整数,得1010102035x x -+-=12;④平面内有4个点,过每两点画直线,可画6条、4条或1条.其中正确的有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个2.某公司2018年获利润1000万元,计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x ,下列方程正确的是( ) A .1000(1+x )2=1210 B .1210(1+x )2=1000 C .1000(1+2x )=1210D .1000+10001+x )+1000(1+x )2=12103.13的倒数是( ) A.13B.3C.3-D.13-4.如图,已知正方形ABCD ,E 为AB 的中点,F 是AD 边上的一个动点,连接EF 将△AEF 沿EF 折叠得△HEF ,延长FH 交BC 于M ,现在有如下5个结论:①△EFM 定是直角三角形;②△BEM ≌△HEM ;③当M 与C 重合时,有DF =3AF ;④MF 平分正方形ABCD 的面积;⑤FH•MH=214AB ,在以上5个结论中,正确的有( )A .2B .3C .4D .55.如图,从A 点出发的光线,经C 点反射后垂直地射到B 点,然后按原路返回A 点.若∠AOC =33°,OC =1,则光线所走的总路线约为( )A .3.8B .2.4C .1.9D .1.26.多项式4x-x 3分解因式的结果是( ) A .()2x 4x-B .()()x 2x 2x -+C .()()x x 2x 2-+D .2x(2x)-7.若2是关于x 的方程()2120x m x m --++=的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC ∆的两条边的长,则ABC ∆的周长为A .7或10B .9或12C .12D .98.某种病菌的直径为0.00000471cm ,把数据0.00000471用科学记数法表示为( ) A .47.1×10﹣4 B .4.71×10﹣5C .4.71×10﹣7D .4.71×10﹣69.若反比例函数2k y x-=的图象经过点(1,2),则k 的值为( ) A.2-B.0C.2D.410.某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口,周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩,则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是( ) A .12B .14C .16D .11611.如图,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,P 是对角线AC 上的动点,连接DP ,将直线DP 绕点P 顺时针旋转使∠DPG=∠DAC ,且过D 作DG ⊥PG ,连接CG ,则CG 最小值为( )A .65B .75C .3225D .362512.下列运算正确的是( ) A .(y+1)(y ﹣1)=y 2﹣1 B .x 3+x 5=x 8 C .a 10÷a 2=a 5D .(﹣a 2b )3=a 6b 3二、填空题13.如图,在矩形ABCD 中,AB=8,AD=6,点E 为AB 上一点,AE=23,点F 在AD 上,将△AEF 沿EF 折叠,当折叠后点A 的对应点A′恰好落在BC 的垂直平分线上时,折痕EF 的长为_____.14.已知x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣5=0的两个实数根,则x 12+x 22+3x 1x 2=_____. 15.购买1个单价为a 元的面包和3瓶单价为b 元的饮料,所需钱数为 元.16.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AB=2,点D 为线段AB 的中点,将线段BC 绕点B 顺时针旋转90°,得到线段BE ,连接DE ,则DE 最大值是______.\17.不等式﹣2x>﹣4的正整数解为_____.18.同时掷两枚质地均匀的骰子,观察向上一面的点数,用两枚骰子的点数作为点的坐标,则点在第一象限角平分线上的概率是_____.三、解答题19.等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,两边分别交BC、CD于M、N.(1)如图①,作AE⊥AN交CB的延长线于E,求证:△ABE≌△AND;(2)如图②,若M、N分别在边CB、DC所在的直线上时.①求证:BM+MN=DN;②如图③,作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点,若MN=10,CM=8,求AP的长.20.如图,在正方形ABCD中,E是CD上一点,连接AE.过点D作DM⊥AE,垂足为M,⊙O经过点A,B,M,与AD相交于点F.(1)求证:△ABM∽△DFM;(2)若正方形ABCD的边长为5,⊙O的直径为29,求DE的长.21.为了深入培养学生交通安全意识,加强实践活动,新华中学八年级(1)班和交警队联合举行了“我当一日小交警”活动,利用星期天到交通路口值勤,协助交通警察对行人、车辆及非机动车辆进行纠章.在这次实践活动中,若每一个路口安排5名学生,那么还剩下4人;若每个路口安排6人,那么最后一个路口不足3人,但不少于1人.(1)求新华中学八年级(1)班有多少名学生?(2)在值勤过程中,学生发现每辆汽车驶出路口后有三种方式前行:左转、直行、右转,而且每种前行方式的可能性相同.请通过画树形图或列表的方法,求连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率.22.“五一”期间,小张把容积为60升的油箱加满后自驾出行,行驶一段路程后进入服务区停车休息,休息后,小张离开服务区继续前行,为能顺利到达目的地,小张需在相距S千米的加油站加油.若小张从出发点到服务区休息点行驶的路程为200千米,且这期间平均油耗为每千米0.12升.(1)求小张离开服务区休息点时,油箱内还有多少升汽油?(2)记小张从离开服务区休息点到进入加油站加油期间的平均油耗为每千米a升,请写出S与a的函数关系式;若0.08≤a≤0.1,求S的取值范围.23.如图,反比例函数y 1=k x 与一次函数y 2=ax+b 的图象交于点A (2,2)、B (12,n ). (1)求这两个函数解析式;(2)直接写出不等式y 2>1y 的解集.24.(1)计算:201(5)3tan 30|13|π︒-+-+--.(2)解不等式组:3(2)42113x x x x -->⎧⎪+⎨>-⎪⎩.25.为了庆祝“五四”青年节,我市某中学举行了书法比赛,赛后随机抽查部分参赛同学成绩(满分为100分),并制作成图表如下分数段 频数 频率 60≤x<70 30 0.15 70≤x<80 m 0.45 80≤x<90 60 n 90≤x≤100200.1请根据以上图表提供的信息,解答下列问题:(1)这次随机抽查了 名学生;表中的数m = ,n = ; (2)请在图中补全频数分布直方图;(3)若绘制扇形统计图,分数段60≤x<70所对应扇形的圆心角的度数是 ; (4)全校共有600名学生参加比赛,估计该校成绩不低于80分的学生有多少人?【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C A B C D D B D A 二、填空题13.4或43.14.﹣115.(a+3b).16.21+17.x=1.18.1 6三、解答题19.(1)见解析;(2)①见解析;②AP=310.【解析】【分析】(1)利用互余判断出∠EAB=∠NAD,即可得出结论;(2)先构造出△ADG≌△ABM,进而判断出,△AMG为等腰直角三角形,即可得出NM=NG,即可得出结论;(3)由(2)得出MN+BM=DN,进而得出CN=18-2BC,再利用勾股定理得求出CN=6,在判断出△ABP∽△ACN,得出AP AB1AN AC2==,再利用勾股定理求出AN,代入即可得出结论.【详解】解:(1)如图①,∵AE垂直于AN,∴∠EAB+∠BAN=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∴∠NAD+∠BAN=90°,∴∠EAB=∠NAD,又∵∠ABE=∠D=90°,AB=AD,∴△ABE≌△AND;………………(2)如图②,在ND上截取DG=BM,连接AG、MG,∵AD=AB,∠ADG=∠ABM=90°,∴△ADG≌△ABM,∴AG=AM,∠MAB=∠GAD,∵∠BAD=∠BAG+∠GAD=90°,∴∠MAG=∠BAG+∠MAB=90°,∴△AMG为等腰直角三角形,∴AN⊥MG,∴AN为MG的垂直平分线,∴NM=NG,∴DN﹣BM=MN,即MN+BM=DN;(3)如图③,连接AC,同(2),证得MN+BM=DN,∴MN+CM﹣BC=DC+CN,∴CM﹣CN+MN=DC+BC=2BC,即8﹣CN+10=2BC,即CN=18﹣2BC,在Rt△MNC中,根据勾股定理得MN2=CM2+CN2,即102=82+CN2,∴CN=6,∴BC=6, ∴AC=62,∵∠BAP+∠BAQ=45°,∠NAC+∠BAQ=45°, ∴∠BAP=∠NAC , 又∵∠ABP=∠ACN=135°, ∴△ABP ∽△ACN , ∴AP AB 1AN AC 2== 在Rt △AND 中,根据勾股定理得AN 2=AD 2+DN 2=36+144, 解得AN=65,∴AP 1652=, ∴AP=310. 【点睛】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰直角三角形的判定和性质,解(1)的关键是判断出∠EAB=∠NAD ,解(2)的关键是判断出△AMG 为等腰直角三角形,解(3)的关键是判断出△ABP ∽△ACN . 20.(1)见解析;(2) 253【解析】 【分析】(1)由四边形ABCD 为正方形,可得∠BAM =∠ADM ,再由四边形BAFM 为圆内接四边形,可得∠ABM =∠MFD ,可以求证;(2)连接BF ,得BF 为直径,由勾股定理可得到AF 的长,从而得FD =3,因为△ABM ∽△DFM ,所以有53AB AM DF DM ==,而易证△ADM ∽△DEM ,可得DE AMAD DM=,即可得DE 的长度. 【详解】(1)证明:∵四边形ABCD 为正方形, ∴∠BAD =90°, ∴∠BAM+∠MAF =90°, ∵DM ⊥AE ,∴∠MAD+∠ADM =90°, ∴∠BAM =∠ADM ,∵四边形BAFM 为圆内接四边形 ∴∠ABM+∠AFM =180° ∴∠ABM =∠MFD∴△ABM∽△DFM(2)如图,连接BF,∵∠BAF=90°,BF为直径∴在Rt△ABF中,由勾股定理得AF=22(29)5-=2,∴FD=3,∵△ABM∽△DFM,∴53 AB AMDF DM==,∵∠DEM=∠ADM,∠AMD=∠DME=90°,∴△ADM∽△DEM,∴DE AM AD DM=,∴DE=53•AD=553⨯=253【点睛】此题主要考查相似三角形的判定及性质,本题关键是要懂得找相似三角形,利用相似三角形的性质求解.21.(1)新华中学八年级(1)班有44或49名学;(2)1 3【解析】【分析】(1)设有x个交通路口,则八年级(1)班人数为(5x+4)名,根据题意列不等式组求解可得;(2)由树状图求得所有等可能的结果与两辆汽车前行路线相同的情况,继而利用概率公式即可求得答案.【详解】解:(1)设有x个交通路口,则八年级(1)班人数为(5x+4)名,根据题意得546(1)1 546(1)3 x xx x+--≥⎧⎨+--⎩<,解得:7<x≤9,∵x为正整数,∴x=8或9,所以5x+4=44或49.答:新华中学八年级(1)班有44或49名学;(2)列表可得:第一辆第二辆左转直行右转左转(左转,左转)(直行,左转)(右转,左转)直行(左转,直行)(直行,直行)(右转,直行)右转(左转,右转)(直行,右转)(右转,右转)由上表可知,所有可能发生的结果共有9种,并且它们发生的可能性都相等,连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的有3种,分别为(左转,左转),(直行,直行),(右转,右转),∴连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率为31 =93,答:连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率是13.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比.22.(1) 36升; (2)S=36a. 360≤S≤450【解析】【分析】(1)根据剩下的油=原来油箱里的油-消耗的油,列出算式计算即可.(2)根据从离开服务区休息点到进入加油站加油期间的平均油耗=总油量÷总路程即可得到关系式,根据反比例函数的性质即可求解.【详解】(1)60-200×0.12=36(升)(2)S=36a.∵36>0,当0.08≤a≤0.1时,随增大而减小,∴360≤S≤450【点睛】本题考查的是反比例函数的应用,把握题目中的数量关系及掌握反比例函数的性质是解题关键.23.(1)y1=4x;y 2=﹣4x+10;(2)12<x<2或x<0.【解析】【分析】(1)将A坐标代入反比例解析式求出m的值,确定出反比例解析式,将B坐标代入反比例解析式求n的值,确定出B坐标,将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值,即可确定出一次函数解析式;(2)根据图象和交点坐标找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可.【详解】解:(1)将A(2,2)代入反比例解析式得:k=2×2=4,则反比例解析式为y1=4x;将B(12,n)代入反比例解析式得:n=8,即B(12,8),将A与B坐标代y2=ax+b中,得2218 2a ba b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得:410ab=-⎧⎨=⎩.2y=﹣4x+10;则一次函数解析式为(2)由图象得:不等式y2>y1的解集为12<x<2或x<0.【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,待定系数法确定函数解析式,利用了数形结合的思想,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.24.(1)1;(2) 1<x<4.【解析】【分析】(1)先根据零指数幂、有理数乘方的法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.(2)分别求出不等式的解集,即可解答【详解】解:(1)原式=﹣1+1+3×33﹣3 +1=1;(2)3(2)42113x xxx-->⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②,由①得:x>1,由②得:x<4,则不等式组的解集为1<x<4.【点睛】此题考查负整数指数幂,零指数幂,实数的运算,特殊角的三角函数值,解一元一次不等式组,掌握运算法则是解题关键25.(1)200;90,0.3;(2)补图见解析;(3)54°;(4)240人【解析】【分析】(1)根据60≤x<70的频数及其频率求得总人数,进而计算可得m、n的值;(2)根据(1)的结果,可以补全直方图;(3)用360°乘以样本中分数段60≤x<70的频率即可得;(4)总人数乘以样本中成绩80≤x<100范围内的学生人数所占比例.【详解】解:(1)本次调查的总人数为30÷0.15=200人,则m=200×0.45=90,n=60÷200=0.3,故答案为:200、90、0.3;(2)补全频数分布直方图如下:(3)若绘制扇形统计图,分数段60≤x<70所对应扇形的圆心角的度数是360°×0.15=54°,故答案为:54°;(4)600×6020200=240,答:估计该校成绩不低于80分的学生有240人.【点睛】本题考查条形统计图、图表等知识.结合生活实际,绘制条形统计图或从统计图中获取有用的信息,是近年中考的热点.只要能认真准确读图,并作简单的计算,一般难度不大.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1.在一次数学课上,张老师出示了一个题目:“如图,▱ABCD 的对角线相交于点O ,过点O 作EF 垂直于BD 交AB ,CD 分别于点F ,E ,连接DF ,BE .请根据上述条件,写出一个正确结论.”其中四位同学写出的结论如下:小青:OE=OF ;小何:四边形DFBE 是正方形; 小夏:S 四边形AFED =S 四边形FBCE ;小雨:∠ACE=∠CAF . 这四位同学写出的结论中不正确的是( )A.小青B.小何C.小夏D.小雨2.二次根式:①29a -;②()()a b a b +-;③221a a -+;④1x;⑤0.75中最简二次根式是( ) A .①②B .③④⑤C .②③D .只有④3.如图,是小明作线段AB 的垂直平分线的作法及作图痕迹,则四边形ADBC 一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定4.6月15日“父亲节”,小明准备送给父亲一个礼盒(如图所示),该礼盒的俯视图是( )A. B. C. D.5.北京气象部门测得冬季某周内七天的气温如下:3,5,5,4,6,5,7(单位:℃),则这组数据的平均数和众数分别是( ) A .6,5B .5.5,5C .5,5D .5,46.弹簧原长(不挂重物)15cm ,弹簧总长L (cm )与重物质量x (kg )的关系如下表所示: 弹簧总长L (cm ) 16 17 18 19 20 重物重量x (kg ) 0.51.01.52.02.5当重物质量为5kg (在弹性限度内)时,弹簧总长L (cm )是( ) A.22.5B.25C.27.5D.307.某市在旧城改造过程中,需要整修一段全长2400m 的道路.为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际工作效率比原计划提高了20%,结果提前8小时完成任务.求原计划每小时修路的长度.若设原计划每小时修路xm ,则根据题意可得方程( )A .240024008(120%)x x-=+ B .240024008(120%)x x-=+ C .240024008(120%)x x -=-D .240024008(120%)x x-=- 8.如图,已知▱ABCD 中,E 是边AD 的中点,BE 交对角线AC 于点F ,那么S △AFE :S 四边形FCDE 为( )A .1:3B .1:4C .1:5D .1:69.某商店有方形、圆形两种巧克力,小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力,他带的钱会差8元,如果购买5块方形和3块圆形巧克力,他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力,则他会剩下( )元 A .8B .16C .24D .3210.据报道,截至2018年12月,天津轨道交通运营线路共有6条,线网覆盖10个市辖区,运营里程215000米,共设车站154座.将215000用科学计数法表示应为( ) A .321510⨯B .421.510⨯C .52.1510⨯D .60.21510⨯11.如图,点E 在BC 的延长线上,则下列条件中,能判定AD 平行于BC 的是( )A .∠1=∠2B .∠3=∠4C .∠D+∠DAB =180°D .∠B =∠DCE12.观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第2019个图形共有( )个〇.A .6055B .6056C .6057D .6058二、填空题13.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,OAB ∆的顶点,,O A B 均在格点上,点E 在OA 上,且点E 也在格点上. (Ⅰ)OEOB的值为_____________; (Ⅱ)DE 是以点O 为圆心,2为半径的一段圆弧.在如图所示的网格中,将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ',旋转角为,连接E A ',E B ',当23E A E B +''的值最小时,请用无刻度的直尺画出点E ',并简要说明点E '的位置是如何找到的(不要求证明)______.14.如图,∠A=22°,∠E=30°,AC ∥EF ,则∠1的度数为______.15.把多项式a 3b-ab 分解因式的结果为______.16.如图,点A 1,A 2在射线OA 上,B 1在射线OB 上,依次作A 2B 2∥A 1B 1 ,A 3B 2∥A 2B 1 , A 3B 3∥A 2B 2 , A 4B 3∥A 3B 2 , ….若△A 2B 1B 2和△A 3B 2B 3的面积分别为1、9,则△A 1007B 1007A 1008的面积是________.17.如图,九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等,请用含x的代数式表示y,y=____.18.已知32xy=,则x yx y-+=_____.三、解答题19.如图,A、B两点在反比例函数kyx=(k>0,x>0)的图象上,AC⊥y轴于点C,BD⊥x轴于点D,点A的横坐标为a,点B的横坐标为b,且a<b.(1)若△AOC的面积为4,求k值;(2)若a=1,b=k,当AO=AB时,试说明△AOB是等边三角形;(3)若OA=OB,证明:OC=OD.20.如图,直线l的解析式为y=﹣x+4,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点.平行于直线l的直线m 从原点O出发,沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动,它与x轴、y轴分别相交于M、N两点,设运动时间为t秒(0<t≤4).(1)求A、B两点的坐标;(2)以MN为对角线作矩形OMPN,记△MPN和△OAB重合部分的面积为S1,在直线m的运动过程中,当t为何值时,S1为△OAB面积的5 16?21.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点O在AB上,BC=CD,过点C作⊙O的切线,分别交AB,AD的延长线于点E,F.(1)求证:AF⊥EF;(2)若cosA=45,BE=1,求AD的长.22.解不等组533(1)131922x xx x->+⎧⎪⎨-<-⎪⎩并求出其整数解.23.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BC交CB延长线于E,CF∥AE交AD延长线于点F.(1)求证:四边形AECF是矩形;(2)连接OE,若cos∠BAE=45,AB=5,求OE的长.24.如图,反比例函数y=kx(x<0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个三角形(不写画法),要求每个三角形均需满足下列两个条件:①三个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②三角形的面积等于|k|的值.25.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连结DE、OE.(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由.(2)求证:BC2=2CD•OE.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C C B A C D C BD二、填空题 13.(Ⅰ)23(Ⅱ)取格点,M N ,连接MN ,交OB 于点F ;连接AF ,交DE 于点'E ,点'E 即为所求. 14.52°. 15.ab(a+1)(a-1) 16.20113 17.2x ﹣7 18.15三、解答题19.(1)8(2)△AOB 是等边三角形(3)见解析 【解析】 【分析】(1)由反比例函数系数k 的几何意义解答;(2)根据全等三角形△ACO ≌△BDO (SAS )的性质推知AO =BO ,结合已知条件AO =AB 得到:AO =BO =AB ,故△AOB 是等边三角形;(3)证明:在Rt △ACO 和Rt △BDO 中,根据勾股定理得:AO 2=AC 2+OC 2,BO 2=BD 2+OD 2,结合已知条件OA=OB ,得到:AC 2+OC 2=BD 2+OD 2,由坐标与图形性质知:2222()()k k a b ab+=+,整理得到:2222()()k k a b b a -=- ,2222222(k a b a b a b --=),易得k b a =,故OC =OD .【详解】解:(1)∵AC ⊥y 轴于点C ,点A 在反比例函数ky x=(k >0,x >0)的图象上,且△AOC 的面积为4,∴12|k|=4, ∴k =8;(2)由a =1,b =k ,可得A (1,k ),B (k ,1), ∴AC =1,OC =k ,OD =k ,BD =1, ∴AC =BD ,OC =OD .又∵AC ⊥y 轴于点C ,BD ⊥x 轴于点D , ∴∠ACO =∠BDO =90°, ∴△ACO ≌△BDO (SAS ). ∴AO =BO . 又AO =AB , ∴AO =BO =AB , ∴△AOB 是等边三角形;(3)证明:在Rt △ACO 和Rt △BDO 中,根据勾股定理得:AO 2=AC 2+OC 2,BO 2=BD 2+OD 2, ∵OA =OB ,∴AC 2+OC 2=BD 2+OD 2,即有:2222()()kk a b ab+=+,∴2222()()k k a b b a -=-,2222222(k a b a b a b--=), 因为0<a <b ,所以a 2﹣b 2≠0,∴2221=k a b,∴1k ab =±,负值舍去,得:1k ab=, ∴kb a=, ∴OC =OD .【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k 的几何意义以及全等三角形的判定与性质,利用数形结合解决此类问题,是非常有效的方法.20.(1)A(4,0),B(0,4);(2)t=73或t=3.【解析】【分析】(1)由直线的解析式,分别让x、y为0,可求得A、B的坐标;(2)由已知易求得三角形ABO的面积,然后用t表示出重合部分的面积,根据题意列出方程即可得到答案.【详解】(1)y=﹣x+4,令y=0,得x=4,令x=0,得y=4,故A(4,0),B(0,4);(2)S△ABO=12×4×4=8,当0<t≤2时,S△MNP=12t2,如图1由题意得12t2=8×516,解得此时t=5(不合题意舍去),如图2,当2<t≤4时,S1=S△ABO﹣S△OMN﹣2S△MAF,即S1=8﹣12t2﹣2×12(4﹣t)2=516×8,解得t=73或t=3.【点睛】本题考查了一次函数的应用;在求解第二问时,要思考全面,分类讨论的应用是正确解答本题的关键.21.(1)略;(2)325.【解析】【分析】(1)连接AC,OC,如图,先证明OC∥AF,再根据切线的性质得OC⊥EF,从而得到AF⊥EF;(2)先利用OC∥AF得到∠COE=∠DAB,在Rt△OCE中,设OC=r,利用余弦的定义得到415rr=+,解得r=4,连接BD,如图,根据圆周角定理得到∠ADB=90°,然后根据余弦的定义可计算出AD的长.【详解】解:(1)连接AC,OC,如图,∵CD=BC,∴CD BC=,∴∠1=∠2,∵OA=OC,∴∠2=∠OCA,∴∠1=∠OCA,∴OC∥AF,∵EF为切线,∴OC⊥EF,∴AF⊥EF;(2)∵OC∥AF,∴∠COE=∠DAB,在Rt△OCE中,设OC=r,∵cos∠COE=cos∠DAB=45OCOE=,即415rr=+,解得r=4,连接BD,如图,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,在Rt△ADB中,cos∠DAB=45 ADAB=,∴AD=45×8=325.【点睛】本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了圆周角定理和解直角三角形.22.4【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集,再找到他们的公共解集.【详解】解:533(1)131922x xx x->+⎧⎪⎨-<-⎪⎩①②,由①得:x>3,由②得:x<5,∴不等式的解集为:3<x<5,∴整数解是:4.【点睛】此题主要考查不等式组的解集,解题的关键是熟知不等式的性质.23.(1)证明见解析;(2)25.【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得到AD ∥BC ,推出四边形AECF 是平行四边形,根据矩形的判定定理即可得到结论;(2)根据三角函数的定义得到AE =4,BE =3,根据勾股定理得到AC =45,再根据直角三角形斜边中线的性质即可得到结论.【详解】(1)∵四边形ABCD 是菱形,∴AD ∥BC ,∵CF ∥AE ,∴四边形AECF 是平行四边形,∵AE ⊥BC ,∴四边形AECF 是矩形;(2)在Rt △ABE 中,∠E=90°,∵cos ∠BAE =AE AB =45,AB =5, ∴AE =4,∴BE =22AB AE -=3,∵AB =BC =5,∴CE =8,∴AC =22AE EC +=45,∵四边形ABCD 是菱形,AC 、BD 交于点O ,∴AO =CO ,∵∠AEC=90°,∴OE =12AC=25.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,菱形的性质,解直角三角形,正确的识别图形是解题的关键.24.(1)2y x=-;(2)详见解析【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求得;(2)根据三角形满足的两个条件画出符合要求的两个三角形即可.【详解】解:(1)∵反比例函数y=kx(x<0)的图象过格点P,由图象易知P点坐标是(﹣2,1),∴将P(﹣2,1)代入y=kx得,k=﹣2×1=﹣2,∴反比例函数的解析式为2yx =-;(2)如图所示:△APO、△BPO即为所求作的图形;第三个点可以是(﹣4,0),(﹣2,﹣1),(4,0),(﹣2,3),(﹣6,1),(2,1),(0,2),(0,﹣2).【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图,反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数解析式,三角形的判定与性质,正确求出反比例函数的解析式是解题的关键.25.(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)连接OD,根据直角三角形中线性质和圆周角定理可得∠ODE=90°;(2)连接OE,根据三角形中位线性质证△ABC∽△BDC,BC2=2CD•OE.【详解】(1)证明:连接OD,∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°,在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,∴CE=DE=BE= BC,∴∠C=∠CDE,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∵∠ABC=90°,即∠C+∠A=90°,∴∠ADO+∠CDE=90°,即∠ODE=90°,∴DE⊥OD,又OD为圆的半径,∴DE为圆O的切线;(2)证明:连接OE,∵E是BC的中点,O点是AB的中点,∴OE是△ABC的中位线,∴AC=2OE∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC=90°,∴△ABC∽△BDC,.BC2=2CD•OE.;【点睛】考核知识点:三角形中位线,相似三角形判定和性质.。
三角形的重心是什么
三角形的重心是什么三角形的重心是三角形三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时,重心与形心重合。
重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6.三角形ABC的重心为G,点P为其内部任意一点,则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC ²+CA²)。
7.在三角形ABC中,过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则AB/AP+AC/AQ=3。
8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线,所得的6个切点为Pi,则Pi均在以重心G为圆心,r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。
9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点,则PA²+PB²+PC²=GA²+GB ²+GC²+3PG²。
顺口溜三条中线必相交,交点命名为重心;重心分割中线段,线段之比二比一。
三角形的五心1、内心:三角形三条内角平分线的交点,即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理:经圆外一点作圆的两条切线,这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理:角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心:是三角形三条边的垂直平分线的交点,即外接圆的圆心。
外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心:三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心,当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心。
4、重心:重心是三角形三边中线的交点。
5、旁心:三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。
中考重点三角形的中心与垂心
中考重点三角形的中心与垂心中考重点:三角形的中心与垂心三角形是几何学中的基础图形之一,经常在中考题目中出现。
掌握三角形的基本性质是解题的关键,而了解三角形的中心和垂心等重点概念,则更有助于我们理解和解答相关题目。
本文将详细介绍三角形的中心和垂心,并探讨它们的性质及应用。
一、三角形的中心三角形有四个重要的中心,分别是重心、外心、内心和垂心。
在本文中,我们重点介绍三角形的重心和外心。
1. 三角形的重心三角形的重心是三条中线的交点,即三条连接三角形顶点和对边中点的线段。
以三角形ABC为例,假设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点,连接AD、BE、CF,它们的交点G就是三角形ABC的重心。
重心G将三角形的每条中线分成两段,且其中一段比另一段长2倍。
重心具有以下性质:- 重心到三角形顶点的距离比重心到对边的距离长2倍。
- 重心将三角形分成六个小三角形,其中三个顶点分别是G和三角形ABC的顶点,而另外三个顶点分别在三角形ABC的中点上。
- 所有的中线都经过重心,且把三角形分成六个面积相等的小三角形。
2. 三角形的外心三角形的外心是三条垂直平分线的交点,即三角形三个顶点和所在边的垂直平分线的交点。
以三角形ABC为例,假设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点,连接AD、BE、CF,它们的垂直平分线的交点O就是三角形ABC的外心。
外心具有以下性质:- 外心到三个顶点的距离相等,即AO=BO=CO。
- 外心是三角形外接圆的圆心,外接圆的半径等于外心到三个顶点的距离。
- 外接圆上的弧度是三条边所对应的内角的平分线。
二、三角形的垂心三角形的垂心是三条高线的交点,即三角形三个顶点和对边所在直线的交点。
以三角形ABC为例,假设D、E、F分别为BC、AC、AB 上的垂足(垂足是对边到顶点的垂线与对边的交点),它们的交点H 就是三角形ABC的垂心。
垂心具有以下性质:- 垂心到三个顶点的距离不相等,即AH≠BH≠CH。
- 垂心是三角形三条高线的交点,垂心到对边的距离等于垂线段最短的那条高线的长度。
中考重点三角形中线定理
中考重点三角形中线定理在中学数学中,三角形是一个基础的几何形状,而三角形中线定理则是中考中重点考察的知识点之一。
三角形中线定理指出,三角形的三条中线所交于一点,且这个点到三个顶点的距离相等,即三角形的中线交点是三角形所对应的重心。
下面将详细介绍三角形中线定理的原理和推论。
一、三角形中线定理的原理在平面几何中,我们首先需要明确中线的概念。
对于任意给定的三角形ABC,连接顶点A和边BC的中点D,连接顶点B和边AC的中点E,连接顶点C和边AB的中点F,则称线段DE为三角形ABC的中线,线段EF为三角形ABC的中线,线段FD为三角形ABC的中线。
根据三角形中线的定义,我们可以得出以下推论:推论1:三条中线交于一点通过观察我们发现,线段DE、线段EF和线段FD都通过三角形ABC的顶点,且每条中线都是由两个顶点的中点所组成,因此这三条中线会相交于某一点。
这一点被称为三角形ABC的重心,通常用字母G表示。
推论2:重心到三个顶点的距离相等根据三角形中线定理的原理可知,三角形ABC的重心G是三条中线的交点,所以重心G到顶点A的距离等于重心G到顶点C的距离,重心G到顶点B的距离也相等。
为了证明三角形中线定理,我们需要先证明推论2,即重心到三个顶点的距离相等。
下面给出证明过程:证明:由于三角形ABC的每条中线都是由两个顶点的中点所组成,我们设线段DE的中点为M,线段EF的中点为N,线段FD的中点为P。
则根据线段中点定理可知,中点M到顶点A的距离等于中点M到顶点C的距离,中点N到顶点B的距离等于中点N到顶点A的距离,中点P到顶点C的距离等于中点P到顶点B的距离。
接下来,我们通过向量法来证明重心G到三个顶点的距离相等。
设向量AG为向量a,向量BG为向量b,向量CG为向量c。
由向量的性质可知,向量a加上向量b等于向量c。
即a+b=c。
现在我们分别在向量a的起点A、向量b的起点B、向量c的起点C处绘制线段,分别垂直于向量a、向量b、向量c,并在这些线段上选取长度等于a、b、c的向量分别为向量a'、向量b'、向量c'。
直角三角形重心知识点总结
直角三角形重心知识点总结一、重心的概念重心是一个几何形状的质心,表征着这个形状的整体重量的几何中心。
在直角三角形中,三条中线的交点就是重心,位于三角形的内部。
重心是一个三角形的重要性质,能够帮助我们研究三角形的性质和相关定理。
二、重心的性质1. 重心将三角形分成三个面积相等的三角形2. 重心到顶点的距离是中线到所在边中点距离的二分之一3. 重心到对边中点的距离是重心到这条边的距离的二分之一4. 重心到任一顶点的距离是重心到非对角顶点中点的距离的二分之一5. 重心同时在三条中线上三、如何求直角三角形的重心通常我们可以通过以下几种方法来求解直角三角形的重心:1. 根据重心的定义来求解2. 利用中线长度关系来求解3. 利用坐标方法来求解下面我们就分别来看一下这几种方法的具体步骤。
四、根据重心的定义来求解在直角三角形中,重心就是三条中线的交点,所以我们可以通过以下步骤来求解:1. 先找到直角三角形的三个顶点A、B、C2. 根据中位线的定义,找到AB、BC、AC的中点D、E、F3. 用直线相交的方法求解出重心G这种方法简单直接,但是需要保证我们能够准确地找到中点和重心的坐标。
五、利用中线长度关系来求解在直角三角形中,三条中线的长度关系是:AG^2 = 2 * BG^2 = 2 * CG^2。
我们可以通过这个关系来求解重心。
具体步骤如下:1. 先找到直角三角形的三个顶点A、B、C2. 根据中位线长度关系,求解出重心G的坐标这种方法相对简单,只需要比较中线长度关系即可求解出重心的坐标。
六、利用坐标方法来求解在直角三角形中,我们可以利用坐标方法来求解重心的坐标。
具体步骤如下:1. 已知直角三角形的三个顶点A、B、C的坐标2. 分别求得AB、BC、AC的中点D、E、F的坐标3. 利用中点和重心的关系,求解出重心G的坐标这种方法是最直接的,只需要根据坐标计算的方法,即可求解出重心的坐标。
七、直角三角形重心的应用1. 利用重心来求解三角形的面积直角三角形的重心可以将三角形分成三个面积相等的三角形,利用这一性质,我们可以通过重心来求解三角形的面积。
三角形的重心知识点
三角形的重心知识点一、重心的定义。
1. 在三角形中,重心是三角形三条中线的交点。
- 中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
例如,对于△ABC,设D为BC边的中点,连接AD,则AD是BC边上的中线。
三角形有三条中线,分别是三条边对应的中线,这三条中线交于一点,这个点就是重心,通常用字母G表示。
二、重心的性质。
1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
- 以△ABC为例,G为重心,AD是BC边上的中线,则AG = 2GD,同理,若BE是AC边上的中线,BG = 2GE;若CF是AB边上的中线,CG = 2GF。
2. 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
- 即S△ABG = S△BCG = S△ACG。
因为每个三角形的面积等于三角形ABC面积的三分之一。
这是由于重心将每条中线分成2:1的两段,根据等底同高三角形面积比等于底边比等原理可以得出。
3. 若在平面直角坐标系中,已知三角形三个顶点的坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),则重心G的坐标为((x_1 + x_2+x_3)/(3),(y_1 + y_2 +y_3)/(3))。
- 例如,若A(1,2),B(3,4),C(5,6),则重心G的坐标为((1 + 3+5)/(3),(2 +4+6)/(3))=(3,4)。
三、重心的应用实例。
1. 在求解三角形相关线段长度问题中的应用。
- 例如,已知三角形的一条中线长为6,求重心到这条中线所对顶点的距离。
根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1,设重心到对边中点的距离为x,则重心到顶点的距离为2x,中线长为3x = 6,解得x = 2,所以重心到顶点的距离为2x=4。
2. 在求解三角形面积相关问题中的应用。
- 若已知三角形的面积为S,求由重心和三角形三个顶点组成的每个小三角形的面积。
根据重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等,可知每个小三角形的面积为(S)/(3)。
三角形的重心知识点详解2024人教版
三角形的重心知识点详解2024人教版三角形的重心是几何学中的一个重要概念,它不仅在理论上有着丰富的性质和应用,而且在实际生活中也有广泛的应用。
本文将详细介绍三角形重心的定义、性质、计算方法及其应用,帮助读者全面理解这一重要知识点。
一、三角形重心的定义三角形的重心是指三角形三条中线的交点。
中线是从一个顶点到对边中点的线段。
重心具有以下几个重要特点:1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这意味着重心将每条中线分成两部分,其中靠近顶点的部分是靠近对边中点部分的两倍。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这表明重心将三角形分成了三个面积相等的小三角形。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这意味着重心是三角形内到三个顶点距离的平方和最小的点。
二、三角形重心的性质三角形重心具有许多重要的性质,这些性质在几何学中有着广泛的应用。
以下是一些主要性质:1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这一性质可以通过中线定理证明。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这一性质可以通过面积公式证明。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这一性质可以通过向量法或解析几何的方法证明。
4. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
这一性质可以通过均值不等式证明。
5. 在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
这一性质可以通过坐标几何的方法证明。
三、三角形重心的计算方法计算三角形重心的方法有很多种,以下是几种常见的方法:1. 坐标法:在平面直角坐标系中,设三角形的三个顶点坐标分别为((x_1, y_1))、((x_2, y_2))和((x_3, y_3)),则重心的坐标为:这一公式表明重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均。
2. 向量法:设三角形的三个顶点分别为(mathbf{A})、(mathbf{B})和(mathbf{C}),则重心(mathbf{G})的向量表示为:这一公式表明重心的向量是三个顶点向量的算术平均。
三角形中的四心问题(重心、外心、内心、垂心)(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招-几何模型篇
模型介绍1.三角形的五心三角形的五心定义外心:三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心,外心到三个顶点的距离相等;内心:三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心,内心到三边的距离相等;重心:三角形三条中线的交点为三角形的重心,重心为中线的三等分点;垂心:三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心;旁心:与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆,旁切圆的圆心叫做三角形旁心;三角形有三个旁心.2.三角形的重心(1)三角形的重心是三角形三边中线的交点.(2)重心的性质:①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.③重心到三角形3个顶点距离的和最小.(等边三角形)3.三角形的外接圆与外心(1)外接圆:经过三角形的三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆.(2)外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.(3)概念说明:①“接”是说明三角形的顶点在圆上,或者经过三角形的三个顶点.②锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.③找一个三角形的外心,就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点,三角形的外接圆只有一个,而一个圆的内接三角形却有无数个.4.三角形的内切圆与内心例题精讲(1)内切圆的有关概念:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.(2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形.(3)三角形内心的性质:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角. 5.垂心:三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.例题精讲考点一:三角形重心问题【例1】.如图,△ABC 的中线BD 、CE 相交于点F ,若四边形AEFD 的面积为6,则△CBF 的面积为.变式训练【变式1-1】.如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,CO ⊥AB 于点O ,中线AE 与CO 相交于点F,则的值为.【变式1-2】.如图,在平面直角坐标系中,点B (﹣2,3),点C 在x 轴负半轴,OB =BC ,点M 为△OBC 的重心,若将△OBC 绕着点O 旋转90°,则旋转后三角形的重心的坐标为.考点二:三角形外心问题【例2】.如图,点O是△ABC的外心,连接OB,若∠OBA=17°,则∠C的度数为°.变式训练【变式2-1】.已知△ABC的三边a,b,c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a=4﹣30,则△ABC 的外接圆半径的长为.【变式2-2】.如图,△ABC的外接圆的圆心坐标为.考点三:三角形内心问题【例3】.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.则△ABC的内切圆半径r=.变式训练【变式3-1】.⊙O是△ABC的内切圆,且∠C=90°,切点为D,E,F,若AF,BE的长的值为()是方程x2﹣13x+30=0的两个根,则S△ABCA.30B.15C.60D.13【变式3-2】.如图所示,在矩形ABCD中,BD=10,△ABD的内切圆半径为2,切三边于E、F、G,则矩形两边AB=,AD=.考点四:三角形垂心问题【例4】.如图,H是锐角△ABC的垂心(3条高的交点),若AH=BC,则∠BAC的度数是.变式训练【变式4-1】.如图,在△ABC中,已知AB=5,CA=7,BC=6,H为垂心,则AH=.【变式4-2】.如图,在△ABC中M为垂心,O为外心,∠BAC=60°,且△ABC外接圆直径为10,则AM=.1.如图,△ABC中,∠BAC=70°,∠ABC=45°,点O是△ABC的外接圆的圆心,则∠AOB等于()A.65°B.90°C.130°D.140°2.如图,△ABC中,AB=BC=AC=3,O是它的内心,以O为中心,将△ABC旋转180°得到△A′B′C′,则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为()A.B.C.D.3.小颖同学在手工制作中,把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为()A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm4.如图所示,△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F,若∠DEF=52°,则∠A的度数是()A.52°B.76°C.26°D.128°5.如图,四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,∠A=90°,∠C=60°.若AB=5.则△ABD外心与△BCD内心的距离是()A.5B.C.D.6.如图,若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆,则的值为()A.B.C.D.7.如图,已知Rt△ABC的直角边AC=24,斜边AB=25,一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动,且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切,当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是()A.B.25C.D.568.如图,点G是△ABC的重心,且△DGC的面积为4,则△ABC的面积为.9.如图所示,△ABC是⊙O的内接三角形,AD⊥BC于D点,且AC=5,DC=3,AB=,则⊙O的直径等于.10.如图,点D是等腰Rt△ABC的重心,其中∠ACB=90°,将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连结DE.若△ABC的周长为6,则△DCE的周长为.11.如图,⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点,若⊙O的半径是1,∠C=60°,AB=5,则△ABC的周长为.12.如图,点P是△ABC的重心,过P作AB的平行线DE,分别交AC于点D、交BC于点E;作DF∥BC,交AB于点F,若△ABC的面积为36,则四边形BEDF的面积为.13.如图所示,O是△ABC的内心,∠BOC=100°,则∠BAC=度.14.一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12=0的两个根,则此直角三角形外接圆的半径等于.15.如图,△ABC中,已知AB=8,BC=5,AC=7,则它的内切圆的半径为.16.如图,G为△ABC的重心,点D在CB延长线上,且BD=BC,过D、G的直线交AC于点E,则=.17.在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC,H是△ABC的垂心,角平分线AL垂直于OH,则BC=.18.如图,⊙O的半径为,△ABC是⊙O的内接等边三角形,将△ABC折叠,使点A落在⊙O上,折痕EF平行BC,则EF长为.19.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆,则O1O2=.20.如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD垂直相交于O点,则AB=.21.若△ABC的外接圆半径为2,H是△ABC垂心,则△HAB的外接圆半径长是22.如图,剪一个边长为2的等边三角形,让它沿直线l在桌面上向右滚动,当等边三角形第9次落在直线l上时,等边三角形的内心运动过的路程长为.23.如图,O,H分别为△ABC的外心和垂心,O到BC边的距离为2,H到BC边的距离为HE=3,则BC边上的高为.24.如图,正△ABC的面积是8,取正△ABC的内心O1,以O1B为边长作正△O1BP1,再取正△O1BP1的内心O2,以O2B为边长作正△O2BP2,…,依次规律作第2009个正△O2009BP2009.则△O2009BP2009的面积是.25.如图,点P为△AOB的重心,点B在x轴的正半轴上,函数(k>0)图象经过点A,P,且交AB于点C,则点A,P的纵坐标之比是,AC:BC的值为.26.如图,已知锐角△ABC的外接圆半径等于2,∠BAC=60°,O、H分别为△ABC的外心和垂心,连接OH与BC的延长线交于点P,则OH•OP=.27.如图,AB=2,BC=1,△ABC与△EBD为全等的Rt△(∠ABC=∠EBD=90°),F 为直线AE和直线CD的交点,求线段BF的取值范围为.28.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点O是△ABC的重心,将线段AO绕点A 逆时针旋转至O',点D为线段CO′的中点,连接BD,则BD的最大值为.29.如图,等边△ABC的边长为4,点O为△ABC的三条中线的交点,点D,E分别为边AB,BC上的点,若∠DOE=120°,则DE的最小值为.30.如图,锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O,H是三角形ABC的垂心,AO的延长线与BC交于点M,若OH⊥AO,BC=10,OA=6,则OM的长=.31.如图,半径为3的⊙O分别与x轴,y轴交于A,D两点,⊙O上两个动点B,C,使∠BAC=45°恒成立,设△ABC的重心为G,则DG的最小值是.32.如图,线段AC=7,半圆D的直径AB=4,点B在射线CB上运动.(1)当半圆D恰好经过AC边的中点时,CB=;(2)当△ABC的内心,外心与某一个顶点在同一条直线上时,tan C=.33.如图,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度;(2)如果△PGH是直角三角形,试求OG:PG:HG的值;(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.34.如图,AB为半圆的直径,C是半圆弧上一点,正方形DEFG的一边DG在直径AB上,另一边DE过△ABC的内切圆圆心O,且点E在半圆弧上.①若正方形的顶点F也在半圆弧上,则半圆的半径与正方形边长的比是;②若正方形DEFG的面积为100,且△ABC的内切圆半径r=4,则半圆的直径AB=.35.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象过点C(0,﹣4)和点D(2,﹣6),与x轴交于点A、B(点A在点B的左边),且点D与点G关于坐标原点对称.(1)求该二次函数解析式,并判断点G是否在此函数的图象上,并说明理由;(2)若点P为此抛物线上一点,它关于x轴,y轴的对称点分别为M,N,问是否存在这样的P点使得M,N恰好都在直线DG上?如存在,求出点P的坐标,如不存在,请说明理由;(3)若第四象限有一动点E,满足BE=OB,过E作EF⊥x轴于点F,设F坐标为(t,0),0<t<4,△BEF的内心为I,连接CI,直接写出CI的最小值.。
【附2套中考卷】2020中考数学知识点:三角形的重心公式证明
2020中考数学知识点:三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。
求证:F为AB 中点。
证明:根据燕尾定理,S(△AOB)=S(△AOC),又S(△AOB)=S(△BOC),∴S(△AOC)=S(△BOC),再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。
重心的几条性质:1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证,则极易证三条中线交于一点。
如图,在△ABC中,AD、BE、CF是中线则AF=FB,BD=DC,CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题,而是综合图形知识要领,这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题 1.如图,内有一点D ,且,若,则的大小是( )A .B .C .D .2.某公司2018年获利润1000万元,计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x ,下列方程正确的是( ) A .1000(1+x )2=1210 B .1210(1+x )2=1000 C .1000(1+2x )=1210D .1000+10001+x )+1000(1+x )2=1210 3.下面给出五个命题(1)正多边形都有内切圆和外接圆,且这两个圆是同心圆 (2)各边相等的圆外切多边形是正多边形 (3)各角相等的圆内接多边形是正多边形 (4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 (5)正n 边形的中心角360n a n︒=,且与每一个外角相等 其中真命题有( ) A .2 个B .3 个C .4 个D .5 个4.将直线21y x =+向下平移n 个单位长度得到新直线21y x =-,则n 的值为( ) A .2-B .1-C .1D .25.如图,在△ABC 中,BF 平分∠ABC ,AF ⊥BF ,D 为AB 中点,连接DF 并延长交AC 与点E ,若AB =12,BC =20,则线段EF 的长为( )A .3B .4C .5D .66.已知反比例函数3(k y k x -=为常数),当0x <时,y 随x 的增大而减小,k 的取值范围是() A .k <0B .k 0C .k <3D .k >37.如图,等边三角形ABC ,B 点在坐标原点,C 点的坐标为(4,0),则点A 的坐标为( )A .(2,3)B .(2,23)C .(23,2)D .(2,22)8.有以下四个命题中,正确的命题是( ). A .反比例函数2y x=-,当x>-2时,y 随x 的增大而增大 B .抛物线222y x x =-+与两坐标轴无交点 C .垂直于弦的直径平分这条弦,且平分弦所对的弧 D .有一个角相等的两个等腰三角形相似9.如何求tan75°的值?按下列方法作图可解决问题,如图,在Rt △ABC 中,AC =k ,∠ACB =90°,∠ABC =30°,延长CB 至点M ,在射线BM 上截取线段BD ,使BD =AB ,连接AD ,依据此图可求得tan75°的值为( )A .23-B .23+C .13+D .31-10.如图.在直角坐标系中,矩形ABC0的边OA 在x 轴上,边0C 在y 轴上,点B 的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC 翻折,B 点落在D 点的位置,且AD 交y 轴于点E .那么点D 的坐标为( )A .412()55-,B .213()55-,C .113()25-,D .312()55-,11.A 、B 、C 、D 四名同学随机分为两组,两个人一组去參加辩论赛,问A 、B 两人恰好分到一组的概率( ) A .14B .13C .16D .1212.下列方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )A.2x-8x+17=0B.2x-6x-10=0C.2x-42x+9=0D.2x-4x+4=0二、填空题13.如图,图形B是由图形A旋转得到的,则旋转中心的坐标为_____.14.如图,在中,,,以点为圆心,的长为半径画弧,与边交于点,将绕点旋转后点与点恰好重合,则图中阴影部分的面积为_____.15.(3分)在ABCD中,AB<BC,已知∠B=30°,AB=2,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,使点B′落在ABCD 所在的平面内,连接B′D.若△AB′D是直角三角形,则BC的长为.16.若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为_____.17.若(x+2)(x﹣1)=x2+mx﹣2,则m=_____.18.如图,△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若AB=12,BC=9,则EF的长是_____.三、解答题19.已知:△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣(2k+2)x+k2+2k=0的两个实数根,第三边长为10.问当k为何值时,△ABC是等腰三角形?20.如图,等边△ABC中,P是AB上一点,过点P作PD⊥AC于点D,作PE⊥BC于点E,M是AB的中点,连接ME,MD.(1)依题意补全图形;(2)用等式表示线段BE,AD与AB的数量关系,并加以证明;(3)求证:MD=ME.21.随着“互联网+购物”的快速发展,快递业务也越来越红火,某小区物业为了解本小区1200户家庭在过去的一年中收到快递的情况,随机调查了80户家庭去年一年共收到的快递件数,并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图(不完整).组号分组频数频率1 0~4 4 0.0502 5~9 12 0.1503 10~14 a 0.4504 15~19 18 0.2255 20~24 b m6 25~29 4 0.050合计80 1.000根据以上提供的信息,解答下列问题(1)表格中a=,b=,m=;补全频数分布直方图;(2)这80户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在哪一个小组?(3)请估计该小区去年一年共收到快递件数大约是多少?22.为了丰富学生的校园文化生活,学校开设了书法、体育、美术音乐共四门选修课程.为了合理的分配教室,教务处问卷调查了部分学生,并将了解的情况绘制成如下不完整的统计图:(1)参与问卷调查的共有________人,其中选修美术的有________人,选修体育的学生人数对应扇形统计图中圆心角的度数为________. (2)补全条形统计图;(3)若每人必须选修一门课程,且只能选一门,已知小红没有选体育,小刚没有选修书法和美术,则他们选修同一门课程的概率是多少,列树状图或列表法求解.23.某学校要开展校园文化艺术节活动,为了合理编排节目,对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查(每名学生必须选择且只能选择一类),并将调查结果绘制成如下不完整统计图.请你根据图中信息,回答下列问题: (1)本次共调查了 名学生.(2)在扇形统计图中,“歌曲”所在扇形的圆心角等于 度. (3)补全条形统计图(标注频数).(4)根据以上统计分析,估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为 人. 24.1135323(5)(1)(3)(10)10464675+----++- 25.先化简,再求值:222211a a a a a a -⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭,其中a =20190﹣(12)﹣1【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A A A D B D B C B A C B二、填空题13.(0,1).14.2-.15.4或6.16.120°17.118.5三、解答题19.k=8或10【解析】【分析】因为方程有两个实根,所以△>0,从而用k的式子表示方程的解,根据△ABC是等腰三角形,分AB=AC,BC=AC,两种情况讨论,得出k的值.【详解】∵△=[﹣(2k+2)]2﹣4(k2+2k)=4k2+8k+4﹣4k2﹣8k=4>0,∴x=()2242k--+±⎡⎤⎣⎦,∴x1=k+2,x2=k,设AB=k+2,BC=k,显然AB≠BC,而△ABC的第三边长AC为10,(1)若AB=AC,则k+2=10,得k=8,即k=8时,△ABC为等腰三角形;(2)若BC=AC,则k=10,即k=10时.△ABC为等腰三角形.【点睛】本题考查了一元二次方程的根,公式法,解本题要充分利用条件,选择适当的方法求解k的值,从而证得△ABC为等腰三角形.20.(1)见解析;(2)AD+BE=12AB,理由见解析;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题目要求,依据垂线和中点的概念作图即可得;(2)由△ABC是等边三角形知∠A=∠B=60°.结合PD⊥AC,PE⊥BC得∠APD=∠BPE=30°,据此知AD=12 AP,AD=12AP,再根据AD+BE=12(AP+BP)可得答案;(3)取BC中点F,连接MF.知MF=12AC,MF∥12AC.据此得∠MFB=∠ACB=∠A=∠MFE=60°.从而知AM=12AB,AB=AC,MF=MA.根据EF+BE=12BC得AD+BE=12AB.据此知EF=AD.即可证△MAD≌△MFE得出答案.【详解】(1)补全图形如图:(2)线段BE,AD 与AB 的数量关系是:AD+BE=12 AB,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=60°.∵PD⊥AC,PE⊥BC,∴∠APD=∠BPE=30°,∴AD=12AP,AD=12AP.∴AD+BE=12(AP+BP)=12AB;(3)取BC中点F,连接MF.∴MF=12AC.MF∥12AC,∴∠MFB=∠ACB=60°,∴∠A=∠MFE=60°,∵AM=12AB,AB=AC,∴MF=MA,∵EF+BE=12 BC,∴AD+BE=12 AB,∴EF=AD,∴△MAD≌△MFE(SAS),∴MD=ME.【点睛】本题是三角形的综合问题,解题的关键是掌握等边三角形和直角三角形的性质、中位线定理及全等三角形的判定与性质等知识点.21.(1)见解析(2)3(4)16050【解析】【分析】(1)总数乘以第3组频率可得a,总数减去其它分组人数可得b,依据频率=频数÷总数可得m;(2)根据中位数的定义求解可得;(3)总户数乘以样本的平均值即可得.【详解】解:(1)a=80×0.45=36,b=80﹣(4+12+36+18+4)=6,m=6÷80=0.075,补全直方图如下:故答案为:36、6、0.075;(2)这组数据的中位数是第40、41个数据的平均数,而这两个数据均落在第3组,所以这80户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在第3组;(3)24712123617182262741070 12001200160508080⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯=(件),估计该小区去年一年共收到快递件数大约是16050件.【点睛】本题考查搜集信息的能力(读图、表),分析问题和解决问题的能力.正确解答本题的关键在于准确读图表.22.(1)60,12,108°;(2)详见解析;(3)1 6【解析】【分析】(1)用参与了解的音乐的学生数除以所占的百分比即可求得调查的总人数;用总人数减去书法的人数减去体育和音乐的人数就可得到美术的人数;用选修体育的人数除以总人数再乘以360°即可求出对应扇形的圆心角;.(2)根据选修课程的人数补全条形统计图即可;.(3)列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可.【详解】(1) 由条形统计图可知音乐有24人,由扇形统计图可知音乐占40%,2440%=60∴÷(人);选修美术的人数:606182412---=(人);选修体育的圆心角:1860360=108÷⨯(2) 条形统计图如图,(3) 树状图如下:由树状图可知,共有6种等可能情况,其中小红和小刚选修同一门课程的情况有1种,所以概率为16【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.23.(1)本次共调查了50名学生;(2)72°;(3)补全条形统计图见解析;(4)该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人; 【解析】 【分析】(1)用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数;(2)用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数; (3)先计算出最喜欢舞蹈类的人数,然后补全条形统计图; (4)用2000乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可; 【详解】(1)14÷28%=50,所以本次共调查了50名学生;(2)在扇形统计图中,“歌曲”所在扇形的圆心角的度数=360°×1050=72°; (3)最喜欢舞蹈类的人数为50﹣10﹣14﹣16=10(人), 补全条形统计图为:(4)2000×1650=640, 估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人; 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.24.34335- 【解析】【分析】根据有理数的加减法法则计算即可.【详解】原式=11353235131010464675-+-+- 13153231531010446675⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 15935=-+ 34335=- 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算,掌握有理数的加减法的运算法则是关键.25.2a a -,13- 【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题.【详解】 解:222211a a a a a a -⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭ 2(1)2(1)(1)1a a a a a a ---=÷-- 112a a a a -=⋅--+ 2a a=-, 当a =20190﹣(12)﹣1=1﹣2=﹣1时, 原式=112(1)3-=---. 【点睛】本题考查了分式的计算和化简.解决这类题目关键是把握好通分与约分,分式加减的本质是通分,乘除的本质是约分.同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足的函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为()A.4.25分钟B.4.00分钟C.3.75分钟D.3.50分钟2.下列判断正确的是()A.甲乙两组学生身高的平均数均为1.58,方差分别为S甲2=2.3,S乙2=1.8,则甲组学生的身高较整齐B.为了了解某县七年级4000名学生的期中数学成绩,从中抽取100名学生的数学成绩进行调查,这个问题中样本容量为4000C.在“童心向党,阳光下成长”合唱比赛中,30个参赛队的决赛成绩如下表:则这30个参赛队决赛成绩的中位数是9.7D.有13名同学出生于2003年,那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于必然事件3.如图,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD=2,△ABC的周长为14,则BC的长为( )A.3B.4C.5D.64.已知⊙O,AB是直径,AB=4,弦CD⊥AB且过OB的中点,P是劣弧BC上一动点,DF垂直AP于F,则P从C运动到B的过程中,F运动的路径长度()A .33πB .3C .23πD .25.已知点P (a+1,2a ﹣3)关于x 轴的对称点在第二象限,则a 的取值范围是( )A.﹣1<a <B.﹣<a <1C.a <﹣1D.a>6.如图,等边三角形ABC 的边长为4,点O 是△ABC 的内心,∠FOG =120”,绕点O 旋转∠FOG ,分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点,连接DE ,给出下列四个结论:①OD =OE :②S △ODE =S △BDE :③四边形ODBE 的面积始终等于833;④△BDE 周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.47.若关于x 的不等式x <a 恰有2个正整数解,则a 的取值范围为( )A.2<a≤3B.2≤a<3C.0<a <3D.0<a≤28.如图,AB 是⊙O 的直径,△ACD 内接于⊙O ,延长AB ,CD 相交于点E,若∠CAD =35°,∠CDA =40°,则∠E 的度数是( )A.20°B.25°C.30°D.35°9.已知抛物线()()y x a x a 1=+--(a 为常数,a 0≠).有下列结论:①抛物线的对称轴为1x 2=;②方程()()x a x a 11+--=有两个不相等的实数根;③抛物线上有两点P(x 0,m),Q(1,n),若m n <,则00x 1<<;其中,正确结论的个数为( )A .0B .1C .2D .310.关于x 的一元一次不等式组213(1)x x x m--⎧⎨⎩<<有三个整数解,则m 的取值范围是( )A.5≤m<6 B.5<m<6 C.5≤m≤6D.5<m≤611.将抛物线y=﹣3x2先向右平移4个单位,再向下平移5个单位,所得图象的解析式为()A.y=﹣3(x﹣4)2﹣5 B.y=﹣3(x+4)2+5C.y=﹣3(x﹣4)2+5 D.y=﹣3(x﹣4)2﹣512.|-3|的值等于()A.3B.-3C.±3D.二、填空题13.不等式1﹣x≥2的解集是_____.14.计算:2cos60°﹣(3+1)0=_____.15.16的平方根等于_________.16.计算(-3x2y)•(13xy2)=_____________.17.已知一组数据:1,4,x,2,6,9,若这组数据的众数为2,则这组数据的平均数为_____,中位数为_____.18.如果分式有意义,那么x的取值范围是_____.三、解答题19.某运输公司现将一批152吨的货物运往A,B两地,若用大小货车15辆,则恰好能一次性运完这批货.已知这两种大小货车的载货能力分别为12吨/辆和8吨/辆,其运往A,B两地的运费如下表所示:目的地(车型) A地(元/辆) B地(元/辆)大货车800 900小货车400 600(1)求这15辆车中大小货车各多少辆.(用二元一次方程组解答)(2)现安排其中的10辆货车前往A地,其余货车前往B地,设前往A地的大货车为x辆,前往A,B两地总费用为w元,试求w与x的函数解析式.20.某体育健身中心为市民推出两种健身活动付费方式,第一种方式:办会员证,每张会员证300元,只限本人当年使用,凭证进入健身中心每次再付费20元;第二种方式:不办会员证,每次进入健身中心付费25元设小芳计划今年进入健身中心活动的次数为x(x为正整数).第一种方式的总费用为y1元,第二种方式的总费用为y2元(1)直接写出两种方式的总费用y1、y2分别与x的函数关系式;若小芳计划今年进入健身中心活动的总费用为1700元,选择哪种付费方式,她进入健身中心活动的次数比较多.(2)当x>50时,小芳选择哪种付费方式更合算?并说明理由21.如图,已知在平面直角坐标系内,点A(1,﹣4),点B(3,3),点C(5,1)(1)画出△ABC;(2)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;(3)求四边形ABB1A1的面积.22.问题提出(1)如图①,在等腰Rt△ABC中,斜边AC=4,点D为AC上一点,连接BD,则BD的最小值为;问题探究(2)如图②,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M是BC上一点,且BM=4,点P是边AB上一动点,连接PM,将△BPM沿PM翻折得到△DPM,点D与点B对应,连接AD,求AD的最小值;问题解决(3)如图③,四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图,其中∠BAD=∠ADC=135°,∠DCB=30°,AD =22km,AB=3km,点M是BC上一点,MC=4km.现计划在四边形ABCD内选取一点P,把△DCP建成商业活动区,其余部分建成景观绿化区.为方便进入商业区,需修建小路BP、MP,从实用和美观的角度,要求满足∠PMB=∠ABP,且景观绿化区面积足够大,即△DCP区域面积尽可能小.则在四边形ABCD内是否存在这样的点P?若存在,请求出△DCP面积的最小值;若不存在,请说明理由.23.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A、D为圆心,以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;第三步,连接DE、DF.若BD=6,AF=4,CD=3,求线段BE的长.24.计算:021(2019)12()2π---+-25.已知:如图,∠ACB =90°,AC =BC ,AD ⊥CE ,BE ⊥CE ,垂足分别是点D ,E .(1)求证:△BEC ≌△CDA ;(2)当AD =3,BE =1时,求DE 的长.【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D C A C B A B D DA A二、填空题13.x≥314.015.±4.16.33x y -17.318.x≠3三、解答题19.(1)中大货车用8辆,小货车用7辆;(2)w =100x+9400(3≤x≤8,且x 为整数).【解析】【分析】(1)根据表格列出二元一次方程,再根据二元一次方程的解法计算即可.(2)根据费用的计算,列出费用和大货车x 的关系即可.【详解】(1)设大货车用x 辆,小货车用y 辆,根据题意得: 15128152x y x y +=⎧⎨+=⎩ , 解得:87x y =⎧⎨=⎩.故这15辆车中大货车用8辆,小货车用7辆.(2)设前往A地的大货车为x辆,前往A,B两地总费用为w元,则w与x的函数解析式:w=800x+900(8﹣x)+400(10﹣x)+600[7﹣(10﹣x)]=100x+9400(3≤x≤8,且x为整数).【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用,关键在于设出合适的未知数,再根据条件列出方程.20.(1)y1=20x+300,y2=25x;选择第一种付费方式,她进入健身中心活动的次数比较多;(2)当50<x<60时,选择第二种付费方式更合算;当x>60,选择第一种付费方式更合算.【解析】【分析】(1)根据题意列出函数关系式即可;再把y=1700分别代入函数关系式即可求解;(2)根据(1)中的函数关系式列不等式即可得到结论.【详解】解:(1)根据题意得y1=20x+300,y2=25x;第一种方式:20x+300=1700,解得x=70,即她进入健身中心活动的次数为70次;第二种方式:25x=1700,解得x=68,即她进入健身中心活动的次数为68次;所以选择第一种付费方式,她进入健身中心活动的次数比较多;(2)当y1>y2,即20x+300>25x时,解得x<60,此时选择第二种付费方式更合算;当y1=y2,即20x+300=25x时,解得x=60,此时选择两种付费方式一样;当y1<y2,即20x+300<25x时,解得x>60,此时选择第一种付费方式更合算.所以当50<x<60时,选择第二种付费方式更合算;当x>60,选择第一种付费方式更合算.【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用一次函数的性质解答.21.(1)见解析;(2)见解析;(3)28.【解析】【分析】(1)根据A,B,C三点坐标画出三角形即可.(2)分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可.(3)四边形是梯形,利用梯形的面积公式计算即可.【详解】解:(1)△ABC如图所示.(2)△A 1B 1C 1如图所示.(3)1112ABB A S =四边形×(2+6)×7=28. 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.22.(1)2;(2)174-;(3) 存在点P ,使得△DCP 的面积最小,△DCP 面积的最小值是(2932﹣20)km 2. 【解析】【分析】(1)如图1,当BD ⊥AC 时,BD 的值最小,根据直角三角形斜边中线的性质可得结论;(2)如图2,根据BM =DM 可知:点D 在以M 为圆心,BM 为半径的⊙M 上,连接AM 交⊙M 于点D',此时AD 值最小,计算AM 和半径D'M 的长,可得AD 的最小值;(3)如图3,先确定点P 的位置,再求△DCP 的面积;假设在四边形ABCD 中存在点P ,以BM 为边向下作等边△BMF ,可知:A 、F 、M 、P 四点共圆,作△BMF 的外接圆⊙O ,圆外一点与圆心的连线的交点就是点P 的位置,并构建直角三角形,计算CD 和PQ 的长,由三角形的面积公式可求得面积.【详解】解:(1)当BD ⊥AC 时,如图1,∵AB =BC ,∴D 是AC 的中点,∴BD =12AC =12×4=2,即BD 的最小值是2; 故答案为:2;(2)如图2,由题意得:DM =MB ,∴点D 在以M 为圆心,BM 为半径的⊙M 上,连接AM 交⊙M 于点D',此时AD 值最小,过A作AE⊥BC于E,∵AB=AC=5,∴BE=EC=12BC=1632⨯=,由勾股定理得:AE=2253-=4,∵BM=4,∴EM=4﹣3=1,∴AM=2217AE EM+=,∵D'M=BM=4,∴AD'=AM﹣D'M=17﹣4,即线段AD长的最小值是17﹣4;(3)如图3,假设在四边形ABCD中存在点P,∵∠BAD=∠ADC=135°,∠DCB=30°,∴∠ABC=360°﹣∠BAD﹣∠ADC﹣∠DCB=60°,∵∠PMB=∠ABP,∴∠BPM=180°﹣∠PBM﹣∠PMB=180°﹣(∠PBM+∠ABP)=180°﹣∠ABC=120°,以BM为边向下作等边△BMF,作△BMF的外接圆⊙O,∵∠BFM+∠BPM =60°+120°=180°,则点P 在BM 上,过O 作OQ ⊥CD 于Q ,交⊙O 于点P ,设点P'是BM 上任意一点,连接OP',过P'作P'H ⊥CD 于H ,可得OP'+P'H≥OQ=OP+PQ ,即P'H≥PQ,∴P 即为所求的位置,延长CD ,BA 交于点E ,∵∠BAD =∠ADC =135°,∠DCB =30°,∠ABC =60°,∴∠E =90°,∠EAD =∠EDA =45°,∵AD =22 ,∴AE =DE =2,∴BE =AE+AB =5,BC =2BE =10,CE =53,∴BM =BC ﹣MC =6,CD =53﹣2,过O 作OG ⊥BM 于G ,∵∠BOM =2∠BFM =120°,OB =OM ,∴∠OBM =30°,∴∠ABO =∠ABM+∠MBO =90°,OB cos30BG ︒==23, ∴∠E =∠ABO =∠OQE =90°,∴四边形OBEQ 是矩形,∴OQ =BE =5,∴PQ =OQ ﹣OP =5﹣23, ∴S △DPC =11293(523)(532)222PQ CD ⋅=--= ﹣20, ∴存在点P ,使得△DCP 的面积最小,△DCP 面积的最小值是(2932﹣20)km 2. 【点睛】本题是四边形与圆的综合题,有难度,考查三角形的面积,等腰直角三角形的判定和性质,等边三角形,矩形的判定和性质,圆的有关性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造圆来解决问题,属于中考常考题型.23.8【解析】【分析】根据作法得到MN 是线段AD 的垂直平分线,则AE=DE ,AF=DF ,所以∠EAD=∠EDA ,加上∠BAD=∠CAD ,得到∠EDA=∠CAD ,则可判断DE ∥AC ,同理DF ∥AE ,于是可判断四边形AEDF 是平行四边形,加上EA=ED ,则可判断四边形AEDF 为菱形,所以AE=DE=DF=AF=4,然后利用平行线分线段成比例可计算BE 的长.【详解】解:根据作法可知:MN是线段AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF,∴∠EAD=∠EDA,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠EDA=∠CAD,∴DE∥AC,同理DF∥AE,∴四边形AEDF是平行四边形,而EA=ED,∴四边形AEDF为菱形,∴AE=DE=DF=AF=4,∵DE∥AC,∴BE:AE=BD:CD,即BE:4=6:3,∴BE=8.【点睛】本题考查了作图-复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了菱形的判定与性质和平行线分线段成比例.24.5-23【解析】【分析】运用负指数幂、零次方以及二次根式的化简的知识进行化简,然后计算即可.【详解】解:原式=1-23+4=5-23.【点睛】本题考查了负指数幂、零次方以及二次根式的化简,其解题关键在于运用相关知识对原式进行化简. 25.(1)见解析;(2)2【解析】【分析】(1)根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC,根据等式性质求出∠ACD=∠CBE,根据AAS证明△BCE≌△CAD;(2)根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE,BE=CD,利用DE=CE-CD,即可解答.【详解】(1)证明:∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠E=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠∠CBE=90°,∴∠ACD=∠CBE,在△ADC和△CEB中,ADC E90 ACD CBE AC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADC≌△CEB(AAS),(2)解:∵△ADC≌△CEB,∴BE=CD=1,AD=EC=3,∴DE=CE﹣CD=3﹣1=2.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,垂线的定义等知识点的应用,解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件.。
重心图形知识点总结初中
重心图形知识点总结初中一、平面图形的重心对于平面图形来说,它的重心是指在图形内部某个点,通过这个点,可以将图形的质量均匀地分配。
1. 直线段的重心直线段AB的重心在其中点C处。
2. 三角形的重心三角形的重心是三条中位线的交点G,即重心G是三角形三条中位线的交点。
3. 四边形的重心四边形的重心G是对角线交点O点与它的对边的中点连线的交点。
4. 正多边形的重心正多边形的重心在其内切圆的中心处。
5. 不规则图形的重心不规则图形的重心可以通过裁定法来求得。
即用一张薄纸将图形剪下来,然后将重心点放在支点上,使薄纸保持平衡,这时支点所在的位置就是图形的重心。
二、立体图形的重心对于立体图形来说,它的重心是指在图形内部某个点,通过这个点,可以将图形的质量均匀地分配。
1. 直方体的重心直方体的重心在其对角线的交点O点处。
2. 圆柱体的重心圆柱体的重心在其轴线上的中点处。
3. 球体的重心球体的重心在其球心处。
4. 锥体的重心锥体的重心在轴线上的$\dfrac{1}{4}$处。
5. 圆锥的重心圆锥的重心在轴线上的$\dfrac{1}{4}$处。
总结:每种图形都有其特定的求重心方法,而且这些方法可以通过几何分析和推导得到。
在解题时,我们可以根据图形的形状和性质来确定如何求其重心。
三、重心在实际生活中的应用重心在实际生活中有着广泛的应用,如:1. 设计建筑结构时,需要考虑建筑物的重心位置,以确保建筑物的稳定性和安全性。
2. 在机械设计中,需要考虑机械零件的重心位置,以确保机械能够平衡稳定地运动。
3. 在航天航空领域,需要考虑航空器和航天器的重心位置,以确保飞行器的平衡和飞行稳定性。
4. 在运动和运动器材设计中,需要考虑物体的重心位置,以确保运动器材的平衡性和稳定性。
总之,重心在许多领域都有着广泛的应用,它不仅仅是一个抽象的几何概念,还是实际生活中需要考虑的重要因素。
结语重心是平面图形和立体图形的一个重要概念,它在几何学和实际生活中都有着重要的应用。
三角形重心知识点总结
三角形重心知识点总结三角形是初中数学中重点学习的内容之一,其中三角形的重心也是一个非常重要的概念。
在这篇文章中,我们将对三角形重心的相关知识进行总结。
一、什么是三角形重心三角形是由三条边和三个角组成的图形,它是几何学中最基本的概念之一。
而三角形的重心则是三角形内部的一个点,它被三条中线所交叉的点。
三角形的中线分别是连接每个角的对边中点的线段,它们交于三角形的一个点,这个点就是三角形的重心。
重心通常用字母G 表示。
二、三角形重心的特点1. 重心是三条中线交点三角形的重心是三条中线的交点,即三个中点所构成的点。
2. 重心到顶点的距离比相等三角形三个顶点到重心所连的线段长度相等。
也就是说,重心到每个顶点的距离是相等的。
3. 重心所在直线是中位线连接重心和中点的线段就是三角形的中位线。
4. 重心将中线按比例分割以重心为顶点的三角形,与原三角形的各个边成比例。
三、三角形重心的性质1. 重心位于三角形重心所在直线上三角形三条中线的交点即为三角形的重心。
这个交点所在的直线被称为三角形重心所在直线。
2. 重心到三角形各顶点距离之和最小重心到三角形各顶点的距离之和最小,且一定小于任何一个三角形内部的点到三角形各顶点距离之和。
3. 重心分离定理在三角形内,以重心为圆心、以重心到任一顶点长度为半径所画的圆,与三角形外接圆相内切。
4. 重心定理重心所在直线把三角形面积分为 $2:1$。
5. 等腰三角形的重心落在中线交点处在等腰三角形中,重心与垂足重合,也就是重心位于中线交点处。
四、三角形重心相关例题1. 如图,在三角形ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,连接AF交DE于K,连接BE交CD于L,连接AC交DE 于M,求KLM三角形的重心。
解:首先我们需要确定三角形ABC的重心G,它是三条中线的交点。
然后根据重心的性质,我们可以得知重心到三角形各顶点的距离一定相等。
因此,在三角形ABC中,AG=BG=CG。
我们知道,三角形的中线将对边分成两段相等的部分,因此AE=EC,BE=BD,CF=FA。
初中数学 什么是三角形的重心
初中数学什么是三角形的重心在初中数学中,三角形的重心是指一个三角形内的一个点,它是三角形三条中线的交点。
重心具有一些重要的性质和应用,下面将详细介绍重心的定义、性质和应用。
1. 重心的定义:重心是指一个三角形内的一个点,它是三角形三条中线的交点。
三角形的中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
2. 重心的存在性:对于任意一个三角形,重心都是存在的。
这是因为三角形的三条中线必定会相交于一个点,这个点就是重心。
3. 重心与中线的关系:重心是三角形三条中线的交点。
也就是说,如果你将一个三角形的三条中线画出来,那么它们将会相交于一个点,这个点就是重心。
4. 重心的性质与应用:-重心将三角形的每条中线分成两段:重心将三角形的每条中线分成两段,其中一段的长度是另一段的两倍。
这意味着,从重心到三角形的一个顶点的距离是从重心到对边中点的距离的两倍。
-重心是三角形内心、外心和垂心的一个特例:重心是三角形内心、外心和垂心的一个特例。
内心是三角形内接圆的圆心,外心是三角形外接圆的圆心,而垂心是三角形垂直平分线的交点。
重心同时具有这三个特点,因此可以看作是它们的一个特例。
-重心对于三角形的性质和应用具有重要作用:重心在三角形的性质和应用中具有重要作用。
例如,通过利用重心的性质,我们可以证明三角形的重心、内心和垂心的连线共线,判断三角形是否为等腰三角形,解决与重心相关的几何问题等等。
总结起来,重心是指一个三角形内的一个点,它是三角形三条中线的交点。
重心将三角形的每条中线分成两段,是三角形内心、外心和垂心的一个特例。
重心在三角形的性质和应用中具有重要作用。
2020中考数学知识点:三角形的重心公式证明
2020中考数学知识点:三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。
求证:F为AB 中点。
证明:根据燕尾定理,S(△AOB)=S(△AOC),又S(△AOB)=S(△BOC),∴S(△AOC)=S(△BOC),再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。
重心的几条性质:1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证,则极易证三条中线交于一点。
如图,在△ABC中,AD、BE、CF是中线则AF=FB,BD=DC,CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题,而是综合图形知识要领,这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1.如图,已知△ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC ,三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1,l 2,l 3上,且l 1,l 2之间的距离为2,l 2,l 3之间的距离为3,则AC 的长是( )A .217B .25C .42D .72.下列运算正确的是( )A.236a a a ⋅=B.336a a a +=C.22a a -=-D.326()a a -= 3.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有x 匹,小马有y 匹,那么可列方程组为( )A .10033100x y x y +=⎧⎨+=⎩B .1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩C .100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩D .1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩ 4.若4<k <5,则k 的可能值是( )A .23B .8C .23D .45+5.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点A 、B 在反比例函数y =k x(k >0,x >0)的图象上,点A 、B 横坐标分别为2和6,对角线BD ∥x 轴,若菱形ABCD 的面积为40,则k 的值为( )A.15B.10C.152D.56.已知在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 与BD 相交于点O ,AO =CO ,如果添加下列一个条件后,就能判定这个四边形是菱形的是( )A.BO =DOB.AB =BCC.AB =CDD.AB ∥CD 7.如图,已知二次函数的图象与轴交于点,顶点坐标为,与轴的交点在和之间(不包括端点).有下列结论:①当时,;②;③;④.其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.近日,海南省旅游委通报了2019年春节黄金周假日旅游工作情况,该省共接待游客5670万人次.数据5670万用科学记数法表示为( )A .556.710⨯B .65.6710⨯C .656.710⨯D .75.6710⨯9.如图,点A (﹣2,0),B (0,1),以线段AB 为边在第二象限作矩形ABCD ,双曲线y =k x(k <0)过点D ,连接BD ,若四边形OADB 的面积为6,则k 的值是( )A .﹣9B .﹣12C .﹣16D .﹣1810.如图,AD ,CE 分别是△ABC 的中线和角平分线.若AB=AC ,∠CAD=20°,则∠ACE 的度数是( )A.20°B.35°C.40°D.70°11.如图所示,90,,E F B C AE AF ∠=∠=∠=∠=,结论:①EM FN =;②CD DN =;③FAN EAM ∠=∠;④ACN ABM ∆≅∆,其中正确的是有( )A .1个B .2个C .3个D .4个12.下列计算正确的是( )A .(b ﹣a )(a+b )=a 2﹣b 2B .2212255x xy x y ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭C .(﹣2x 2)3=﹣6x 3y 6D .(6x 3y 2)÷(3x )=2x 2y 2二、填空题 13.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知(23,0)A ,B(0,6),M(0,2),点Q 在直线AB 上,把BMQ 沿着直线MQ 翻折,点B 落在点P 处,联结PQ ,如果直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°,那么点P 的坐标是____________14.如图,AD 为ABC △的角平分线,AC BC = ,E 在AC 延长线上,且AD DE =,若6,2AB CE ==,则BD 的长为______.15.2016年鄂尔多斯市实现生产总值4417.9亿元,按可比价格计算,比上年增长7.3%,在内蒙古自治区排名第一,将数据“4417.9亿元”精确到十亿位表示为______元.16.把抛物线y=2(x-1)2+1向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为______.17.如图,有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞,门洞内的地面宽度为8m ,两侧蹑地面4m 高处各有一盏灯,两灯间的水平距离为6m ,则这个门洞的高度为_______m .(精确到0.1m )18.n 个数据2、4、6、8、….、2n ,这组数据的中位数是_____.(用含n 的代数式表示)三、解答题19.在平面直角坐标系中,反比例函数y =k x (x >0,k >0图象上的两点(n ,3n )、(n+1,2n ). (1)求n 的值;(2)如图,直线l 为正比例函数y =x 的图象,点A 在反比例函数y =k x(x >0,k >0)的图象上,过点A作AB⊥l于点B,过点B作BC⊥x轴于点C,过点A作AD⊥BC于点D,记△BOC的面积为S1,△ABD 的面积为S2,求S1﹣S2的值.20.已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.如图,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.(1)求证:△OCP∽△PDA;(2)若tan∠PAO=12,求边AB的长.21.已知点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若BC=10,∠BAC=90°,求▱AECF的周长.22.已知关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0.(1)当t=3时,解这个方程;(2)若m,n是方程的两个实数根,设Q=(m﹣2)(n﹣2),试求Q的最小值.23.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,延长BC至F,使CF=BE,连接DF.(1)求证:四边形AEFD是矩形;(2)若BF=8,DF=4,求CD的长.24.如图,在△ABD中,AB=AD,AB是⊙O的直径,DA、DB分别交⊙O于点E、C,连接EC,OE,OC.(1)当∠BAD是锐角时,求证:△OBC≌△OEC;(2)填空:①若AB=2,则△AOE的最大面积为;②当DA 与⊙O 相切时,若AB =2,则AC 的长为 .25.如图,工人师傅用一块长为10分米,宽为6分米的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形;(厚度不计)(1)当长方体底面面积为12平方分米时,裁掉的正方形边长为______分米;(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍,且将容器的外表面进行防锈处理,其侧面处理费用为0.5元/平方分米,底面处理费用为2元/平方分米;求:裁掉的正方形边长为多大时,防锈处理总费用最低,最低为多少?【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D C D A B C D C BC D二、填空题13.(23,0)-或(0,2)-或(23,4)14.272-15.42×101116.y=2x 2+117.118.n+1三、解答题19.(1)2(2)6【解析】【分析】(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征得到n•3n=(n+1)•2n,然后解方程可得n 的值;(2)设B (m ,m ),利用△OBC 为等腰直角三角形得到∠OBC =45°,再证明△ABD 为等腰直角三角形,则可设BD =AD =t ,所以A (m+t ,m ﹣t ),把A (m+t ,m ﹣t )代入y =12x 中得到m 2﹣t 2=12,然后利用整体代入的方法计算S 1﹣S 2.【详解】解:(1)∵反比例函数y =k x(x >0,k >0图象上的两点(n ,3n )、(n+1,2n ). ∴n•3n=(n+1)•2n,解得n =2或n =0(舍去),∴n 的值为2;(2)反比例函数解析式为y =12x , 设B (m ,m ),∵OC =BC =m ,∴△OBC 为等腰直角三角形,∴∠OBC =45°,∵AB ⊥OB ,∴∠ABO =90°,∴∠ABC =45°,∴△ABD 为等腰直角三角形,设BD =AD =t ,则A (m+t ,m ﹣t ),∵A (m+t ,m ﹣t )在反比例函数解析式为y =12x 上, ∴(m+t )(m ﹣t )=12,∴m 2﹣t 2=12,∴S 1﹣S 2=2211112222m t -=⨯=6. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义:在反比例函数y =k x(k≠0)图象中任取一点,过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.也考查了反比例函数的性质.20.(1)见解析;(2)AB =10.【解析】【分析】(1)只需要证明两对对应角分别相等即可证明相似(2)根据题①可知CP =4,设BO =x ,则CO =8﹣x ,PD =2(8﹣x ),即可解答【详解】(1)证明:∵四边形ABCD 为矩形,∴∠B =∠C =∠D =90°.由折叠,可知:∠APO =∠B =90°,∴∠APD+∠CPO =90°.∵∠APD+∠DAP =90°,∴∠DAP =∠CPO ,∴△OCP∽△PDA;(2)解:由折叠,可知:∠APO=∠B=90°,AP=AB,PO=BO,tan∠PAO=POAP=BOAB=12.∵△OCP∽△PDA,∴12 PO OC CPAP PD DA===∵AD=8,∴CP=4.设BO=x,则CO=8﹣x,PD=2(8﹣x),∴AB=2x=CD=PD+CP=2(8﹣x)+4,解得:x=5,∴AB=10.【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质和折叠问题,解题关键在于证明全等21.(1)证明见解析;(2)20.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定和性质即可得到结论;(2)根据直角三角形的性质得到AE=CE=12BC=5,推出四边形AECF是菱形,于是得到结论.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点,∴AF=12AD,CE=12BC,∴AF=CE,AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形;(2)∵BC=10,∠BAC=90°,E是BC的中点.∴AE=CE=12BC=5,∴四边形AECF是菱形,∴▱AECF的周长=4×5=20.【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和菱形的判定,关键是掌握平行四边形对边相等,对角相等;邻边相等的平行四边形是菱形.22.(1)x 1=3﹣2,x 2=3+2;(2)Q 的最小值是﹣1.【解析】【分析】(1)把t =3代入x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4=0,再利用公式法即可求出答案;(2)由根与系数的关系可得出m+n =2t 、mn =t 2﹣2t+4,将其代入(m ﹣2)(n ﹣2)=mn ﹣2(m+n )+4中可得出(m ﹣2)(n ﹣2)=(t ﹣3)2﹣1,由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t 的取值范围,再根据二次函数的性质即可得出(m ﹣2)(n ﹣2)的最小值.【详解】(1)当t =3时,原方程即为x 2﹣6x+7=0, 63628322x ±-==±, 解得132x =-,232x =+;(2)∵m ,n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4=0的两实数根,∴m+n =2t ,mn =t 2﹣2t+4,∴(m ﹣2)(n ﹣2)=mn ﹣2(m+n )+4=t 2﹣6t+8=(t ﹣3)2﹣1.∵方程有两个实数根,∴△=(﹣2t )2﹣4(t 2﹣2t+4)=8t ﹣16≥0,∴t≥2,∴(t ﹣3)2﹣1≥(3﹣3)2﹣1=﹣1.故Q 的最小值是﹣1.【点睛】本题考查了根的判别式,一元二次方程ax 2+bx+c =0(a≠0)的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.也考查了一元二次方程的解法.23.(1)见解析;(2)CD =5.【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得到AD ∥BC 且AD =BC ,等量代换得到BC =EF ,推出四边形AEFD 是平行四边形,根据矩形的判定定理即可得到结论,(2)设BC =CD =x ,则CF =8﹣x 根据勾股定理即可得到结论.【详解】(1)证明:∵在菱形ABCD 中,∴AD ∥BC 且AD =BC ,∵BE =CF ,∴BC =EF ,∴AD =EF ,∵AD∥EF,∴四边形AEFD是平行四边形,∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°,∴四边形AEFD是矩形.(2)解:设BC=CD=x,则CF=8﹣x,在Rt△DCF中,∵x2=(8﹣x)2+42 ,∴x=5,∴CD=5.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,菱形的性质,勾股定理,正确的识别图形是解题的关键.24.(1)见解析;(2)①S△AOE最大=12;②AC=1.【解析】【分析】(1)利用垂直平分线,判断出∠BAC=∠DAC,得出EC=BC,用SSS判断出结论;(2)①先判断出三角形AOE面积最大,只有点E到直径AB的距离最大,即是圆的半径即可;②根据切线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可.【详解】(1)连接AC,如图1,∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BD,∵AD=AB,∴∠BAC=∠DAC,∴BC EC=,∴BC=EC,在△OBC和△OEC中BC EC OB E OC COO=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△OBC≌△OEC(SSS),(2)①∵AB是⊙O的直径,且AB=2,∴OA=1,设△AOE的边OA上的高为h,∴S△AOE=12OA×h=12×1×h=12h,∴要使S△AOE最大,只有h最大,∵点E在⊙O上,∴h最大是半径,即h最大=1∴S△AOE最大=12,故答案为12;②如图2:当DA与⊙O相切时,∴∠DAB=90°,∵AD=AB=2,∴∠ABD=45°,∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴AC=BC=2221 22AB=⨯=,故答案为:1【点睛】此题是圆的综合题,主要考查了圆的性质,全等三角形的判定和性质,解本题的关键是确定面积最大时,点E到AB的距离最大是半径.25.(1)裁掉的正方形的边长为2dm;(2)裁掉的正方形边长为3.5分米时,总费用最低,最低费用为31元.【解析】【分析】(1)由设裁掉的正方形的边长为xdm,用x的代数式表示长方体底面的长与宽,再根据矩形的面积公式列出方程,可求得答案;(2)由条件“制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍“列出不等式,可求得x的取值范围,用x可表示出总费用,利用二次函数的性质可求得其最小值,可求得答案.【详解】(1)设裁掉的正方形的边长为xdm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去),答:裁掉的正方形的边长为2dm;(2)设总费用为y元,则y=2(10-2x)(6-2x)+0.5×[2x(10-2x)+2x(6-2x)]=4x2-60x+192=4(x-7.5)2-33,又∵12-2x≤5(8-2x),∴x≤3.5,∵a=4>0,∴当x<7.5时,y随x的增大而减小,∴当x=3.5时,y取得最小值,最小值为31,答:裁掉的正方形边长为3.5分米时,总费用最低,最低费用为31元.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用,一元二次方程的应用,矩形的面积计算,列代数式.正确列代数式和找出等量关系列方程,求二次函数的最值的方法是本题的关键.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1.一个几何体由一些小正方体摆成,其主视图与左视图如左图所示.其俯视图不可能是( )A. B. C. D.2.若实数a ,b ,c 满足a+b+c=0,且a <b <c ,则函数y=cx+a 的图象可能是( )A .B .C .D .3.地球上的海洋面积约三亿六千一百万平方千米,用科学记数法表示为( )平方千米.A .361×106B .36.1×107C .3.61×108D .0.361×1094.下列计算正确的是( )A .2a+b =2abB .a 3÷a=a 2C .(a ﹣1)2=a 2﹣1D .(2a )3=6a 35.如图,在▱ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,并且∠DAC =60°,∠ADB =15°.点E 是AD 边上一动点,延长EO 交BC 于点F .当点E 从D 点向A 点移动过程中(点E 与点D ,A 不重合),则四边形AFCE 的变化是( )A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D.平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形6.如图,AD 是ABC ∆的中线,点O 是AC 的中点,过点A 作AE BC ∥交DO 的延长线于点E ,连接CE ,添加下列条件仍不能判断四边形ADCE 是菱形的是( )A .ABC ⊥ B .AB AC = C .AC 平分DAE∠D .72171()01230.9244040120E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 7.关于x 的一元二次方程(k-1)x 2+4x+1=0有实数根,则k 的取值范围是( ) A .k 5< B .k 5<且k 1≠ C .k 5≤ D .k 5≤且k 1≠8.如图,I 是△ABC 的内心,AI 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ,连接BI 、BD 、DC .下列说法中错误的一项是( )A.线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DC 重合B.线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DI 重合C.∠CAD 绕点A 顺时针旋转一定能与∠DAB 重合D.线段ID 绕点I 顺时针旋转一定能与线段IB 重合9.下列运算正确的是( )A .a 3+a 3=a 6B .(﹣a 2)3=a 6C .a 5÷a ﹣2=a 7D .(a+1)0=1 10.计算:11x x x+-=( ) A .1 B .2 C .1+2x D .2x x- 11.如图,在△ABC 中,AB =AC =5,BC =6,将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△A'BC’,连接A'C ,则A'C 的长为( )A .6B .4+23C .4+33D .2+3312.如图,下列条件中,不能判定//AD BC 的是( )A.12∠=∠B.180BAD ADC ︒∠+∠=C.34∠=∠D.180ADC DCB ︒∠+∠=二、填空题 13.在△ABC 中,AB =AC ,过点A 作AD ⊥AC 交射线CB 于点D ,若△ABD 是等腰三角形,则∠C 的大小为_____度.14.若关于x 的一元二次方程(k ﹣1)x 2+4x+1=0有实数根,则k 的取值范围是_____.15.如图所示,四边形ABCD 中,60BAD ∠=︒,对角线AC 、BD 交于点E ,且BD BC =,30ACD ∠=︒,若19AB =,7AC =,则CE 的长为_____.16.平面直角坐标系中,点P(﹣2,4)关于x 轴对称的点的坐标为_____.17.掷一枚材质均匀的骰子,掷得的点数为素数的概率是______.18.不等式5﹣2x >﹣3的解集是_____.三、解答题19.如图,在△ACD 中,DA =DC ,点B 是AC 边上一点,以AB 为直径的⊙O 经过点D ,点F 是直径AB 上一点(不与A 、B 重合),延长DF 交圆于点E ,连结EB .(1)求证:∠C =∠E ;(2)若弧AE =弧BE ,∠C =30°,DF =2,求AD 的长.20.(1)计算:(﹣2)2﹣(π﹣3.14)0+8;(2)化简:(x ﹣3)(x+3)+x (2﹣x ).21.甲骑电动车、乙骑摩托车都从M 地出发,沿一条笔直的公路匀速前往N 地,甲先出发一段时间后乙再出发.甲,乙两人到达N 地后均停止骑行,已知M ,N 两地相距1753km ,设甲行驶的时间为x (h ),甲、乙两人之同的距离为y (km ),表示y 与x 函数关系的图象如图所示.请你解决以下问题:(1)求线段BC 所在直线的函数表达式;(2)分别求甲,乙的速度;(3)填空:点A 的坐标是 .22.如图,抛物线y=-x2+4x-1与y轴交于点C,CD∥x轴交抛物线于另一点D,AB∥x轴交抛物线于点A,B,点A在点B的左侧,且两点均在第一象限,BH⊥CD于点H.设点A的横坐标为m.(1)当m=1时,求AB的长.(2)若AH=2(CH-DH),求m的值.23.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m+3)x+m2+2=0.(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;(2)若方程两实数根分别为x1、x2,且满足x12+x22=31+|x1x2|,求实数m的值.24.在一次数学考试中,小明有一道选择题(只能在四个选项A、B、C、D中选一个)不会做,便随机选了一个答案;小亮有两道选择题都不会做,他也随机选了两个答案.(1)小明随机选的这个答案,答对的概率是;(2)通过画树状图或列表法求小亮两题都答对概率是多少?(3)这个班数学老师参加集体阅卷,在阅卷的过程中,发现学生的错误率较高.他想:若这10道选择题都是靠随机选择答案,则这10道选择题全对的概率是.25.某公司要购买一种笔记本供员工学习时使用.在甲文具店不管一次购买多少本,每本价格为2元.在乙文具店购买同样的笔记本,一次购买数量不超过20时,每本价格为2.4元;一次购买数量超过20时,超过部分每本价格为1.8元.设在同一家文具店一次购买这种笔记本的数量为x(x为非负整数).(Ⅰ)根据题意,填写下表:一次购买数量(本) 10 20 30 40 …甲文具店付款金额(元) 20 60 …乙文具店付款金额(元) 24 66 …(Ⅱ)设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为1y元,在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为2y元,分别写出1y ,2y 关于x 的函数关系式;(Ⅲ)当50x 时,在哪家文具店购买这种笔记本的花费少?请说明理由.【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C C B B B D D C AC B 二、填空题13.30或60.14.k≤5且k≠1.15.16516.(﹣2,﹣4) 17.12 18.x <4三、解答题19.(1)见解析;(2)AD =3+1.【解析】【分析】(1)证明∠A =∠C ,∠A =∠E 即可.(2)作FH ⊥AD 于H ,连接OE .只要证明△DFH 是等腰直角三角形即可解决问题.【详解】(1)证明:∵DA =DC ,∴∠A =∠C ,∵∠A =∠E ,∴∠C =∠E .(2)解:作FH ⊥AD 于H ,连接OE .∵弧AE =弧BE ,∴OE ⊥AB ,∴∠AOB =90°,∴∠ADF =45°,∵∠FHD =90°,DF =2,∴HF =HD =1,∵∠A =∠C =30°,FH =1,∠AHF =90°,∴AH =3FH =3,∴AD =AH+DH =3+1.【点睛】本题考查圆周角定理,等腰直角三角形的判定和性质,垂径定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.20.(1)3+22;(2)2x ﹣9.【解析】【分析】(1)先计算负整数指数幂,零指数幂,化简二次根式,然后计算加减法;(2)先利用平方差公式和单项式乘多项式去括号,然后计算加减法.【详解】(1)原式=4﹣1+22=3+22.(2)原式=x 2﹣9+2x ﹣x 2=2x ﹣9.【点睛】考查了平方差公式,实数的运算,单项式乘多项式,零指数幂等知识点,熟记计算法则即可解答,属于基础题.21.(1)y =20x ﹣503;(2)甲的速度为30 km/h ,乙的速度为50km/h ;(3)(13,10). 【解析】【分析】(1)根据函数图象中的数据可以求得线段BC 所在直线的函数表达式;(2)根据题意和函数图象中的数据可以求得甲和乙的速度;(3)由(2)的结论可以求得点A 的坐标并写出点A 表示的实际意义【详解】解:(1)设线段BC 所在直线的函数表达式为y =kx+b (k≠0), ∵5,06B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,340,23C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线BC 上, 50634023k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得k 2050b 3=⎧⎪⎨=-⎪⎩,即线段BC 所在直线的函数表达式为y =20x ﹣503; (2)设甲的速度为m km/h ,乙的速度为n km/h ,51563631340m 2323n m n ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩,得3050m n =⎧⎨=⎩, 故甲的速度为30 km/h ,乙的速度为50km/h ,(3)点A 的纵坐标是:130103⨯=, 即点A 的坐标为(13,10). 故答案为:(13,10) 【点睛】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.22.(1)2;(2)35m =-【解析】【分析】(1)因为A 在抛物线上,则把m=1代入二次函数解析式y=-x 2+4x-1解得y=2,令-x 2+4x-1=2解得的两个根分别是A 、B 两点的横坐标.由于B 点在A 点右边,用B 点横坐标减去A 点横坐标所得的数值就是AB 线段的长度.(2)根据题意以及抛物线的对称性分析可得AB=CH-DH ,若AH=2(CH-DH ),实际上AH=2AB ,此时△ABH 应为等腰直角三角形,∠B 为直角,AB=BH ,用待定系数法设点A 的坐标为(m ,-m 2+4m-1),再利用等腰三角形边比数量关系设出B 点坐标,由于A 、B 两点关于对称轴直线x=2对称,建立方程求解即可得m 的值.【详解】(1)∵m=1,∴A 的横坐标为1,代入y=-x 2+4x-1得,y=2,∴A (1,2),把y=2代入y=-x 2+4x-1得,2=-x 2+4x-1,解得x 1=1,x 2=3,∴B (3,2),∴AB=3-1=2.(2)∵AB ∥x 轴交抛物线于点A ,B ,∴A 、B 两点关于对称轴对称,∴CH-DH=AB ,∵AH=2(CH-DH ),∴AH=2AB,∴22 ABAH=,∴∠BAH=45°,∴AB=BH,由A在抛物线上,则设A(m,-m2+4m-1),则B(-m2+5m,-m2+4m-1).∴对称轴h=()2542(1)2m m m+-+-=⨯-∴整理得,m2-6m+4=0解得,m=3+5或m=3-5又∵A点在对称轴左边∴m<2∴m=3-5【点睛】本题考查了数形结合的思想以及用待定系数法设点的坐标并建立方程求解的能力.23.(1)m≥﹣112;(2)m=2.【解析】【分析】(1)利用判别式的意义得到(2m+3)2﹣4(m2+2)≥0,然后解不等式即可;(2)根据题意x1+x2=2m+3,x1x2=m2+2,由条件得x12+x22=31+x1x2,再利用完全平方公式得(x1+x2)2﹣3x1x2﹣31=0,所以2m+3)2﹣3(m2+2)﹣31=0,然后解关于m的方程,最后利用m的范围确定满足条件的m的值.【详解】(1)根据题意得(2m+3)2﹣4(m2+2)≥0,解得m≥﹣1 12;(2)根据题意x1+x2=2m+3,x1x2=m2+2,因为x1x2=m2+2>0,所以x12+x22=31+x1x2,即(x1+x2)2﹣3x1x2﹣31=0,所以(2m+3)2﹣3(m2+2)﹣31=0,整理得m2+12m﹣28=0,解得m1=﹣14,m2=2,而m≥﹣1 12;所以m =2.【点睛】本题考查了根与系数的关系:若x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx+c =0(a≠0)的两根时,1212,b c x x x x a a+=-=.灵活应用整体代入的方法计算. 24.(1)14;(2)116;(3)1014. 【解析】【分析】(1)错误答有3个,除以答案总数4即可(2)根据题意画出树状图即可知道一共有16种情况,选出两题都错的情况,即可解答(3)由(2)可知两题都对的概率为(14)2,10道选择题全对的概率是10个14的乘积 【详解】(1)∵只有四个选项A 、B 、C 、D ,对的只有一项, ∴答对的概率是14 ; 故答案为:14; (2)根据题意画图如下:共有16种等情况数,两题都答对的情况有1种, 则小亮两题都答对概率是116; (3)由(2)得2道题都答对的概率是(14)2,则这10道选择题全对的概率是(14)10=1014. 故答案为:1014. 【点睛】 此题考查概率公式和列表法与树状图法,解题关键在于看懂题中数据25.(Ⅰ)40,80;48,84;(Ⅱ)12y x =;当020x ≤≤时,2 2.4y x =;当20x >时,2 1.812y x =+.(Ⅲ)当5060x ≤<时,有0y <,在甲文具店购买这种笔记本的花费少;当60x >时,有0y >,在乙文具店购买这种笔记本的花费少.【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意分别求出付款金额即可;(Ⅱ)根据题意可得y 1的解析式,分别讨论0x 20≤≤时和x>20时,根据题意可得y 2的解析式;(Ⅲ) 记12y y y =-,得出x>50时y 关于x 的解析式,根据一次函数的性质解答即可.【详解】(Ⅰ)20×2=40(元),40×2=80(元),2,4×20=48(元)2,4×20+1.8×(40-20)=84(元)故答案为:40,80;48,84.(Ⅱ)根据题意,得1y 2x =.当0x 20≤≤时,2y 2.4x =;当x 20>时,()2y 2.420 1.8x 20 1.8x 12=⨯+⨯-=+.(Ⅲ)当x 50≥时,记()12y y y 2x 1.8x 120.2x 12=-=-+=-. 当y 0=时,即0.2x 120-=,得x 60=.∴当x 60=时,在这两家文具店购买这种笔记本的花费相同. ∵0.20>,∴y 随x 的增大而增大.∴当50x 60≤<时,有y 0<,在甲文具店购买这种笔记本的花费少; 当x 60>时,有y 0>,在乙文具店购买这种笔记本的花费少.【点睛】本题考查一次函数的实际应用,熟练掌握一次函数的性质是解题关键.。
三角形重心知识点总结
三角形重心知识点总结三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形,而三角形的重心则是三角形的一个重要性质。
接下来,让我们详细了解一下三角形重心的相关知识。
一、什么是三角形的重心三角形的重心是三角形三条中线的交点。
中线是连接三角形一个顶点和它所对边中点的线段。
我们可以通过实际操作来直观地理解重心的位置。
比如,用一块质地均匀的三角形纸板,通过悬挂法可以找到其重心。
二、重心的性质1、重心到三角形顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1 。
假设三角形的三个顶点分别为 A、B、C,三条中线分别为 AD、BE、CF,重心为 G 。
那么 AG = 2GD,BG = 2GE,CG = 2GF 。
2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
因为重心将每条中线都分成了 2:1 的两段,所以根据三角形的面积公式,以中线分割成的两个小三角形的面积比也是 2:1 。
从而可以得出重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
3、重心到三角形三边距离之积与三边长度之比为定值。
4、三角形内到三边距离之积最大的点是重心。
三、重心的计算方法如果已知三角形三个顶点的坐标分别为 A(x₁, y₁) 、B(x₂, y₂) 、C(x₃, y₃) ,那么重心 G 的坐标可以通过以下公式计算:G 的横坐标=(x₁+ x₂+ x₃) / 3G 的纵坐标=(y₁+ y₂+ y₃) / 3这个公式的推导可以基于中线的性质和向量的知识。
四、重心在实际生活中的应用1、工程设计在一些工程结构的设计中,了解重心的位置可以确保结构的稳定性。
比如,建造桥梁、高塔等时,需要考虑重心的位置以防止倾倒。
2、物体平衡在日常生活中,比如摆放物品或者搬运重物时,知道物体的重心位置可以更轻松地保持平衡,避免掉落或倾倒。
3、体育运动在许多体育运动中,运动员需要掌握自身的重心位置来保持平衡和做出更好的动作。
例如,体操运动员、滑雪运动员等都需要对重心有很好的控制。
五、与重心相关的常见题型1、证明题证明一个点是三角形的重心,通常需要证明该点是三条中线的交点,并且满足重心的性质,如距离比例关系等。
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2019中考数学知识点:三角形的重心
为了能更好更全面的做好复习和迎考准备,确保将所涉及的2019中考考点全面复习到位,让孩子们充满信心的步入考场,现特准备了2019中考数学知识点。
三角形的重心
已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE 交于O,CO延长线交AB于F。
求证:F为AB中点。
证明:根据燕尾定理,S(△AOB)=S(△AOC),又
S(△AOB)=S(△BOC),∴S(△AOC)=S(△BOC),再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。
重心的几条性质:
1.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
2.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
3.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3 纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/3
要练说,得练听。
听是说的前提,听得准确,才有条件正确模仿,才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中,注意听说结合,训练幼儿听的能力,课堂上,我特别重视教师的语言,我对幼儿说话,注意声音清楚,高低起伏,抑扬有致,富有吸引力,这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼
儿不专心听别人发言时,就随时表扬那些静听的幼儿,或是让他重复别人说过的内容,抓住教育时机,要求他们专心听,用心记。
平时我还通过各种趣味活动,培养幼儿边听边记,边听边想,边听边说的能力,如听词对词,听词句说意思,听句子辩正误,听故事讲述故事,听谜语猜谜底,听智力故事,动脑筋,出主意,听儿歌上句,接儿歌下句等,这样幼儿学得生动活泼,轻松愉快,既训练了听的能力,强化了记忆,又发展了思维,为说打下了基础。
4重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分,我常采用范读,让幼儿学习、模仿。
如领读,我读一句,让幼儿读一句,边读边记;第二通读,我大声读,我大声读,幼儿小声读,边学边仿;第三赏读,我借用录好配朗读磁带,一边放录音,一边幼儿反复倾听,在反复倾听中体验、品味。
如果用塞瓦定理证,则极易证三条中线交于一点。
要练说,得练看。
看与说是统一的,看不准就难以说得好。
练看,就是训练幼儿的观察能力,扩大幼儿的认知范围,让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中,积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时,我着眼观察于观察对象的选择,着力于观察过程的指导,着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
提供的2019中考数学知
识点,是我们精心为大家准备的,希望大家能够合理的使用!。