有限元法的前后处理
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2 网格剖分 网格剖分是在映射后的正方形区域中进行的。 剖分时可以有两种方法：等边剖分和不等边剖分。 （1）等边剖分 将ξ=-1边和ξ=1边剖分成相等的份数。同样，将 η=-1和η=1边也剖分成相等的份数。则最终剖 份单元数为 。 N N
8 x N i , xi i 1 8 y N i , yi i 1 式中 Ni , , i 1,2,,8 为映射函数，也就是8
节点四边形等参数单元位移插值函数的形函数。
1 4 1 i 1 i i i 1 i 1,3,5,7 1 N i , 1 2 1 i i 2,6 2 1 1 2 1 i i 4,8 2
O
（2）不等边剖分 某一方向两个边界上的剖分数不一致。 比如ξ =-1分割数为3， ξ=1一侧的分割数为7。需 要计算沿另一个方向（等ξ值、 η方向）的分割 数，使相邻的两条等ξ值线的分割数差1。
O
B
A
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C
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对于相邻的两条等ξ值线分割数不相等的情况， 应将分割数多的等ξ值线上的最后两点与相邻 的、分割数少1的等ξ值线上的最后一点组成一 个三角形单元。已经形成的四边形单元，只要 连接四边形的两个对角点，即可得到两个三角 形单元。或者保持四边形单元，这样，求解区 域既有四边形单元，也有三角形单元，相应的 单元刚度矩阵也有两种类型，总体合成时，按 照总体节点编号累加单元中的元素值即可。 完成局部坐标系ξoη中的大单元的分割后，对应 的总体坐标系xoy中的大四边形也同时被分割 了。从ξoη到xoy的坐标变换关系是
Ni , , i 1,2,,8 根据已知的 xi , yi , i 1,2,,8 ， 将(ξK,ηK)代入坐标变换式，即可求出对应的 (xK,yK)。
3 顺序编码 编码就是将所有节点连续无缺地顺序编号，并对 每个单元编号和形成单元信息。 编码可以分成两步来做。首先对每个大四边形编 码。 对基本的大四边形单元编码时，可以按行（列） 进行。以按行编码为例，每计算一个节点， 节点号加1。单元编号也可类似进行（比如按 NS (1) 列）。
二 有限元网格的自动剖分 有限元网格的自动剖分与计算模型的几何表示方 法有密切的关系。 整体表示的几何模型，适宜于采用整体剖分—— 要用到较多的数学知识。 下面讨论分块表示几何模型时常用的一种分块剖 分法。 以二维问题为例。图示的二维区域可以看成是 A,B,C三个部分组成。 A,B,C都是简单的四边 形，四边形顶点的坐标可以表示其形状和位置。
O
K
如果以O为起点，则K点的局部坐标为 2 2 1 K O K 1 1
N 4 2 2 2 1 K O K 1 1 N 3 3
O ,O — 起算点的局部坐标 1,1；
K ，K — 从O点算起方向和方向的分割线序数。
以（1）为例，首先按比例画到坐标纸上，然后 按一定的顺序编号，再整理出如下信息，以供 有限元分析之用： *节点信息—节点编号和节点坐标； *单元信息—单元编号和单元中节点号的排列顺 序； *材料信息—计算模型的材料性质（弹性模量， 泊松比，比热，导热系数等）； *载荷信息—计算模型所受的负载信息（集中力， 体积力，表面力，温度，压力等）； *约束信息—初始条件和边界条件。
最后还要将这些数据一一输入计算机。 以上工作乏味而且容易出错。有限元分析的前处 理就是使计算机部分或全部完成计算模型的几 何剖分、数据生成和数据输入，有限元的后处 理则是将有限元计算结果由计算机整理成易于 阅读或分析的数值或图形形式。 8-2 有限元分析的前处理技术 有限元法的前处理主要有以下内容： （1）计算模型的几何表示； （2）模型网格的自动分划（或剖分）； （3）刚度矩阵的带宽优化； （4）模型网格图的计算机绘制。
A
B
C
网格自动剖分的方法分成四个步骤： 1）分块映射；2）网格剖分；3）顺序编码；4） 总体合成。 1 分块映射 首先把计算区域手工粗分成若干个四边形区域的 组合，每个四边形称为一个大单元。
为了既能表示直边大单元，又能表示曲边大单元， 采用8个节点来描述一个大单元。 右图中，（a）是真实图形在总体坐标系下的样 子，经过等参数单元的变换后，得到（b）图 中边长为2的正方形。 同样的方法可以得到B和C的映射结果。
一 计算模型的几何表示 1 对于设计阶段的零部件进行有限元分析，如果 采用计算机辅助设计，则模型的几何表示可采 用计算机造型系统中的几何表示。常用的有表 面模型和立体模型。 2 对于已有的零部件做有限元分析，既可以将其 输入到计算机中，采用第一种办法表示其几何 形状，也可以根据零件的几何形状来决定其表 示法。常用的有整体表示法和分块表示法。 （1）整体表示法：用点表示线，用线表示面， 用面表示体。 （2）分块表示法：把整体看成是由简单个体的 组合，而简单个体则可用多边形和多面体表示。
xi , yi , i 1,2,,8 是总体坐标系中大四边形各
边节点的坐标。
按照坐标变换关系式，将已经分割后的局部坐标 系中的正方形中的网格节点坐标(ξ,η)代入，即 可得到对应的总体坐标系下的节点坐标(x,y)。 例如， ξ方向分割数Nξ=4， η方向的分割数Nη=3， 求图中K点的坐标(xK,yK)。
k1
(1)
( 2)
ห้องสมุดไป่ตู้
( 4)
NS ( 2 )
k2
NS (3)
(5)
k5
NS ( 4 )
(3)
为了形成与某一个单元相关的节点号，在节点编 号时，对每一个新行的第一个节点专门形成一 个数组NS(i)。其中的i代表节点编码的行号， NS(i)的值代表该行起点节点号。 如果单元编码按列进行，则第二个单元的节点是 NS(3)， NS(3)+1， NS(2)+1， NS(2)。 如果单元是8节点等参元，还要计入单元每边中 间一点的节点号。 对每个大四边形顺序编码，这样，可能会有一些 节点在大四边形组合后，同一节点拥有两个节 点号。这个问题可以在下一步—总体合成中予 以解决。
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2 网格剖分 网格剖分是在映射后的正方形区域中进行的。 剖分时可以有两种方法：等边剖分和不等边剖分。 （1）等边剖分 将ξ=-1边和ξ=1边剖分成相等的份数。同样，将 η=-1和η=1边也剖分成相等的份数。则最终剖 份单元数为 。 N N
8 x N i , xi i 1 8 y N i , yi i 1 式中 Ni , , i 1,2,,8 为映射函数，也就是8
节点四边形等参数单元位移插值函数的形函数。
1 4 1 i 1 i i i 1 i 1,3,5,7 1 N i , 1 2 1 i i 2,6 2 1 1 2 1 i i 4,8 2
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（2）不等边剖分 某一方向两个边界上的剖分数不一致。 比如ξ =-1分割数为3， ξ=1一侧的分割数为7。需 要计算沿另一个方向（等ξ值、 η方向）的分割 数，使相邻的两条等ξ值线的分割数差1。
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对于相邻的两条等ξ值线分割数不相等的情况， 应将分割数多的等ξ值线上的最后两点与相邻 的、分割数少1的等ξ值线上的最后一点组成一 个三角形单元。已经形成的四边形单元，只要 连接四边形的两个对角点，即可得到两个三角 形单元。或者保持四边形单元，这样，求解区 域既有四边形单元，也有三角形单元，相应的 单元刚度矩阵也有两种类型，总体合成时，按 照总体节点编号累加单元中的元素值即可。 完成局部坐标系ξoη中的大单元的分割后，对应 的总体坐标系xoy中的大四边形也同时被分割 了。从ξoη到xoy的坐标变换关系是
Ni , , i 1,2,,8 根据已知的 xi , yi , i 1,2,,8 ， 将(ξK,ηK)代入坐标变换式，即可求出对应的 (xK,yK)。
3 顺序编码 编码就是将所有节点连续无缺地顺序编号，并对 每个单元编号和形成单元信息。 编码可以分成两步来做。首先对每个大四边形编 码。 对基本的大四边形单元编码时，可以按行（列） 进行。以按行编码为例，每计算一个节点， 节点号加1。单元编号也可类似进行（比如按 NS (1) 列）。
二 有限元网格的自动剖分 有限元网格的自动剖分与计算模型的几何表示方 法有密切的关系。 整体表示的几何模型，适宜于采用整体剖分—— 要用到较多的数学知识。 下面讨论分块表示几何模型时常用的一种分块剖 分法。 以二维问题为例。图示的二维区域可以看成是 A,B,C三个部分组成。 A,B,C都是简单的四边 形，四边形顶点的坐标可以表示其形状和位置。
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如果以O为起点，则K点的局部坐标为 2 2 1 K O K 1 1
N 4 2 2 2 1 K O K 1 1 N 3 3
O ,O — 起算点的局部坐标 1,1；
K ，K — 从O点算起方向和方向的分割线序数。
以（1）为例，首先按比例画到坐标纸上，然后 按一定的顺序编号，再整理出如下信息，以供 有限元分析之用： *节点信息—节点编号和节点坐标； *单元信息—单元编号和单元中节点号的排列顺 序； *材料信息—计算模型的材料性质（弹性模量， 泊松比，比热，导热系数等）； *载荷信息—计算模型所受的负载信息（集中力， 体积力，表面力，温度，压力等）； *约束信息—初始条件和边界条件。
最后还要将这些数据一一输入计算机。 以上工作乏味而且容易出错。有限元分析的前处 理就是使计算机部分或全部完成计算模型的几 何剖分、数据生成和数据输入，有限元的后处 理则是将有限元计算结果由计算机整理成易于 阅读或分析的数值或图形形式。 8-2 有限元分析的前处理技术 有限元法的前处理主要有以下内容： （1）计算模型的几何表示； （2）模型网格的自动分划（或剖分）； （3）刚度矩阵的带宽优化； （4）模型网格图的计算机绘制。
A
B
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网格自动剖分的方法分成四个步骤： 1）分块映射；2）网格剖分；3）顺序编码；4） 总体合成。 1 分块映射 首先把计算区域手工粗分成若干个四边形区域的 组合，每个四边形称为一个大单元。
为了既能表示直边大单元，又能表示曲边大单元， 采用8个节点来描述一个大单元。 右图中，（a）是真实图形在总体坐标系下的样 子，经过等参数单元的变换后，得到（b）图 中边长为2的正方形。 同样的方法可以得到B和C的映射结果。
一 计算模型的几何表示 1 对于设计阶段的零部件进行有限元分析，如果 采用计算机辅助设计，则模型的几何表示可采 用计算机造型系统中的几何表示。常用的有表 面模型和立体模型。 2 对于已有的零部件做有限元分析，既可以将其 输入到计算机中，采用第一种办法表示其几何 形状，也可以根据零件的几何形状来决定其表 示法。常用的有整体表示法和分块表示法。 （1）整体表示法：用点表示线，用线表示面， 用面表示体。 （2）分块表示法：把整体看成是由简单个体的 组合，而简单个体则可用多边形和多面体表示。
xi , yi , i 1,2,,8 是总体坐标系中大四边形各
边节点的坐标。
按照坐标变换关系式，将已经分割后的局部坐标 系中的正方形中的网格节点坐标(ξ,η)代入，即 可得到对应的总体坐标系下的节点坐标(x,y)。 例如， ξ方向分割数Nξ=4， η方向的分割数Nη=3， 求图中K点的坐标(xK,yK)。
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(1)
( 2)
ห้องสมุดไป่ตู้
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NS ( 2 )
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NS (3)
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NS ( 4 )
(3)
为了形成与某一个单元相关的节点号，在节点编 号时，对每一个新行的第一个节点专门形成一 个数组NS(i)。其中的i代表节点编码的行号， NS(i)的值代表该行起点节点号。 如果单元编码按列进行，则第二个单元的节点是 NS(3)， NS(3)+1， NS(2)+1， NS(2)。 如果单元是8节点等参元，还要计入单元每边中 间一点的节点号。 对每个大四边形顺序编码，这样，可能会有一些 节点在大四边形组合后，同一节点拥有两个节 点号。这个问题可以在下一步—总体合成中予 以解决。