高等数学微积分不定积分(专题)

F ( x) C ,
x0
x C , x 0
但F ( x)在x 0处不可微， 故假设错误
所以 f ( x) 在 (, ) 内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
2020/3/10
不定积分 冯国臣
一、第一类换元法
问题 cos2xdx sin 2x C,
d
dx

f ( x)dx

f ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
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二、基本积分表
实例
x1 x
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例 9 已知一曲线 y f ( x) 在点( x, f ( x)) 处的 切线斜率为sec2 x sin x ，且此曲线与y 轴的交 点为(0,5) ，求此曲线的方程.
解 dy sec2 x sin x, dx
y sec2 x sin xdx

cos
3
x
cos
2 xdx

1 2

(cos
x

cos
5
x)dx
1 sin x 1 sin 5x C.
2
10
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例13 求 csc xdx.
解（一）

csc
xdx


1 sin
x
dx


2
sin
1 x cos
x
dx
22


tan
x 2
1 cos
的原函数,
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f [ (t)] f ( x). 说明F ( x)为 f ( x)的原函数,
f ( x)dx F( x) C [( x)] C,
f ( x)dx f [ (t)] (t)dt t ( x)
(15) cosh xdx sinh x C;
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例4 求积分 解
根据积分公式（2）
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三、不定积分的性质
证
等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
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例5 求积分 解
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1

xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
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基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
x 2
2
d

x 2



1 tan
x 2
d

tan
x 2

ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
（使用了三角函数恒等变形）
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解（二）
csc
xdx


1 sin
x
dx


sin x sin2 x
x)

1 2

1

1 2 ln
d x
(1

2
ln
x)
u 1 2ln x

1
2
1 du u

1 2
ln
u

C

1 ln(1 2
2ln x) C.
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例4
求
x (1 x)3dx.
解
x
x 11
(1 x)3dx (1 x)3 dx
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
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函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
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例6 求积分 解
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例7 求积分 解
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例8
求积分

1

1 cos
2
x
dx.
解

1

1 cos
2x
dx


1

1 2 cos 2
x

dx 1

1 2

1 cos2
x
dx

1 2
tan
x

C
.
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.


d 1
x
3
4

1 arctan x 4 C.
3
3
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例7 求 解
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例8 求 解
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例9 求 原式
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例10 求 解
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例14 设 解令
求 f (x).
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例15 求 解
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问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令
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（应用“凑微分”即可求出结果）
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定理2 则有换元公式
证设 为 令 则
分 表
(3)

dx x

说明：
ln x x 0,
C;

dx x

ln
x

C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x


dx x

ln(

x
)

C
,


dx x

ln
|
x
|
C
,
简写为

dx x

ln
x

C.
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(4)

1
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思考题
1, x 0 符号函数 f ( x) sgn x 0, x 0
1, x 0
在 (, ) 内是否存在原函数？为什么？
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思考题解答
不存在.
假设有原函数 F ( x)
x C, x 0
第二类积分换元公式
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例16 求
1 dx (a 0).
x2 a2
解 令 x a tan t dx a sec2 tdt
t



2
,
2


x
1 2
a
2
dx


a
1 sec
t

a
sec2
tdt
sectdt ln(sec t tan t) C
或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数.
ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
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原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间I 内连续， 那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
xdx

cot
x

C;
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(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)

a
xdx

ax ln a

C;
(14) sinh xdx cosh x C;
微分与积分
——微分是导数的变型运算 ——积分是 微分的 逆 运 算
一、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x)
或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x)
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0
F ( x) G( x) C （ C 为任意常数）
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不定积分的定义： ——不定积分就是原函数族
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2

cos
2
xdx

1 2

cos
tห้องสมุดไป่ตู้t

1 2
sin
t

C
1 2
sin
2
x

C
.
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在一般情况下：
设
则
如果
（可微）
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由此可得换元法定理
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定理1
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
简言之：连续函数必然有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
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关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
（2）若F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数 则 F ( x) G( x) C （ C 为任意常数）
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
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例1 求 x5dx.
解


x6


x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求

1
1 x2
化为 观察重点不同，所得结论不同.
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例1 求 解（一）
解（二） 解（三）
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例2 求 解
一般地
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例3
求

x(1
1 2ln
dx. x)
解

x(1
1 2ln
dx x)


1

1 2 ln
d x
(ln
dx.
解

arctan
x

1
1 x2
,


1
1 x
2
dx

arctan
x

C
.
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例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.


[ (1
1 x)2

(1
1 x)3
]d (1

x)
1
1

1
x

C1

2(1

x)2

C2


1
1
x

2(1
1
x)2

C
.
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例5 求
a2
1
x 2 dx .
解

a2
1
x 2 dx

1 a2

1
1

x a2
2dx

1 a

1
1

1 x
2
dx

arctan
x

C;
(5)

1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8)

dx cos2
x


sec2
xdx
tan
x

C;
(9)

dx sin 2
x


csc2
tan x cos x C,
y(0) 5, C 6, 所求曲线方程为 y tan x cos x 6.
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四、小结
原函数的概念：F ( x) f ( x)
不定积分的概念： f ( x)dx F ( x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
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例11 求 解
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
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例12 求 cos 3x cos 2xdx.
解 cos Acos B 1[cos( A B) cos( A B)], 2
cos 3x cos 2x 1 (cos x cos5x), 2
x a

2
d



x a


1 arctan a
x a

C.
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例6
求
x
2

1 8x

dx. 25
解

x2
1 8x
dx 25

1
( x 4)2
dx 9

1 32


x
3
1 4 2


dx 1
1 3


x
3
1 42
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x



1
1 u2
du


1 2


1
1
u

1
1
u
du
1 ln 1 u C 1 ln 1 cos x C.
2 1u
2 1 cos x
类似地可推出 sec xdx ln(sec x tan x) C.