高等数学微积分不定积分(专题)

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大一高数知识点总结不定积分

大一高数知识点总结不定积分在大一的高等数学课程中，不定积分是一个非常重要的知识点。

不定积分是求导的逆运算，它可以用于求函数的原函数，也可以用于计算一些定积分。

下面将对大一高数中的不定积分进行系统总结。

1. 不定积分的定义和基本性质不定积分是求导的逆运算，它用符号∫表示。

对于函数f(x)，它的不定积分记作∫ f(x) dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。

不定积分有以下基本性质：- 线性性质：∫ (af(x) + bg(x)) dx = a∫ f(x) dx + b∫ g(x) dx，其中a和b是常数。

- 基本积分表：例如∫ x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常数。

- 第一积分基本定理：设函数F(x)是f(x)在区间[a, b]上的一个原函数，则∫ (from a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)。

2. 基本的不定积分法在计算不定积分时，可以利用一些基本的不定积分法来简化计算。

这些方法包括：- 常数乘积法则：∫ a*f(x) dx = a*∫ f(x) dx，其中a为常数。

- 和差法则：∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx。

- 分部积分法：∫ f(x)g(x) dx = F(x)g(x) - ∫ F'(x)g(x) dx。

其中，分部积分法是计算不定积分最常用的方法，它将一个复杂的积分分解为两个简单的积分。

3. 常见的不定积分公式在计算不定积分时，需要熟记一些常见的不定积分公式：- 幂函数：∫ x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n不等于-1。

- 指数函数：∫ e^x dx = e^x + C。

- 三角函数：∫ sin(x) dx = -cos(x) + C，∫ cos(x) dx = sin(x) + C。

- 对数函数：∫ 1/x dx = ln|x| + C，∫ a^x dx = (1/ln(a)) a^x + C，其中a为常数，且a不等于1。

高数之不定积分

详细描述
有理函数的不定积分可以通过有理函数的分解来进行求解。对于形如 (f(x) = frac{P(x)}{Q(x)}) 的有理函数，其中 (P(x)) 和 (Q(x)) 是多项式，可以将 (f(x)) 分解为多项式和简单分式的和，然后分别对各项进行积分，最后求得整个函数的不定积分。
03
不定积分的运算技巧
不定积分表的使用
查阅公式
不定积分表包含了大量常见函数的积分公式，方便学生快速查阅。
简化计算
使用不定积分表可以简化复杂的积分计算过程，提高解题效率。
避免错误
对于初学者来说，不定积分表可以避免在记忆和推导过程中出现错误。
注意事项
使用不定积分表时需要注意公式的适用范围和条件，以及公式的推导和证明。
求解反常积分
反常积分（无穷积分）也可以通过不定积分来求解，通过不定积分得到原函数，再根据反常积分的定义进行计算。
求解函数的零点
对于某些函数，通过不定积分可以找到函数的零点，或者在求解过程中作为中间步骤。
在物理问题中的应用
解决动力学问题
01
在经典力学中，不定积分常用于解决与速度、加速度和力相关
03
求解高阶微分方程
不定积分可以用来求解一阶常微分方程，通过不定积分得到原函数，再代入初值条件求解。
对于高阶微分方程，不定积分可以用来求解部分特解，或者在求解过程中作为中间步骤。
在函数求值中的应用
计算定积分
不定积分是计算定积分的基础，通过不定积分得到原函数，再根据定积分的定义计算定积分。
高数之不定积分
• 不定积分的概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的运算技巧 • 不定积分的应用 • 常见不定积分公式与表格

高等数学100题不定积分及答案

sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 63、 cos 2x cos 3xdx =
1 10
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 64、 tan x sec xdx = sec x + c
∫ 65、
tan2 x sec xdx =
1 2
sec
x
tan
x
−
1 2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+c
∫ 66、
tan x sec2 xdx =
x)2
+
c
∫ 78、
x
−
1
arctan + x2
x
dx
=
1 2
ln(1
+
x
2
)
3
−
2 3
(arctan
x)
2
+c
∫ 79、 arcsin x dx = (arc sin x )2 + c
x(1− x)
∫ 80、
1
dx = − 1 + c
(arcsin x)2 1− x2
arcsin x
∫ 81、 ex dx = ln(1+ ex ) + c
c
∫ 98、 cos x − sin xdx = ln | sin x + cos x | +c sin x + cos x
∫ 99、 sin x + 2 cos x dx = 3sin x + 4 cos x

微积分--不定积分

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第四节几种特殊类型函数的积分
设Pm(x)和Qn(x)分别是m次和n次实系数多项式,则
形如
Pm ( x ) Qn ( x )
的函数称为有理函数.当m<n时,称为真分式,否则称为假分式.
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最简真分式(其中A、B为常数)：
(1) A xa A ( x a)
2 k
( a为常数); ( k 1为整数，a为常数); ( p, q为常数, 且p 4q 0)
2
1 x 1
2
x 1是
1 x 1
2
在(1,)内的一个原函数 .
返回
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一个函数具有原函数时,它的原函数不止一个 .
定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连续,则在区间I上存在可导函数F(x),使对任意x∈I,都有 F(x)=f(x)．
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则在区间 I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任意常数)的形式 . 证 (1)已知F(x)是f(x)的一个原函数,故F(x)=f(x)．又[F(x)+C]= F(x)= f(x),
x a x a
2 2
1
ln | sec t tan t | C , ln | | C
a x a | C
2 2
ln | x
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例21 解
求
dx x 2x 3
2
.
x
dx
2
2x 3

( x 1)
1 2
1
2
( 2)
2

第四章不定积分

三角代换x a sint
高等数学（XJD）
双曲代换x a sh t
5. 有理函数的积分
P ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n 1 x a n Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm a0 0 b 0 0
dF ( x ) F ( x ) C
[k
1
f ( x ) k 2 g( x )]dx k1 f ( x )dx k 2 g( x )dx
高等数学（XJD）
3. 积分方法 1)直接积分法利用不定积分表、积分性质以及定积分5个公式求积分 2)换元法积分法
f (u)du
1 t 1 1 1 ln C ( )dt 3 t 1 t 1 2(ln 3 ln 2) t 1 2 ln 2 1 3x 2x ln x C. x 2(ln 3 ln 2) 3 2
1
高等数学（XJD）
e x (1 sin x ) dx. 例2 求 1 cos x
7. 简单无理函数的积分
8. 典型例题
高等数学（XJD）
1. 不定积分的定义
f ( x )dx F ( x ) C
2. 不定积分的性质
（连续函数一定有原函数）
d dx
f ( x )dx f ( x )
d [ f ( x )dx] f ( x )dx
F ( x )dx F ( x ) C

f ( x) f ( x) d[ ] f ( x ) f ( x )
1 f ( x) 2 [ ] C. 2 f ( x )
高等数学（XJD）

不定积分100道例题及解答

不定积分100道例题及解答不定积分100道例题及解答1. 问题：计算不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解答：根据不定积分的基本性质，我们可以逐个对各项进行积分。

对于x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) =x^3/3。

对于2x，应用常数倍法则得到的积分结果为 x^2。

对于常数项1，则积分结果是x。

将这三个结果相加，即得到最终的积分结果为x^3/3 + x^2 + x + C，其中C为常数项。

2. 问题：计算不定积分∫(2e^x + 3x^2) dx解答：对于2e^x，应用指数函数的基本积分法则得到 2e^x。

对于3x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) = x^3/3。

将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 2e^x + x^3/3 + C，其中C为常数项。

3. 问题：计算不定积分∫(sin(x) + cos(x)) dx解答：对于sin(x)，应用三角函数的基本积分法则得到 -cos(x)。

对于cos(x)，同样应用三角函数的基本积分法则得到 sin(x)。

将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 -cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数项。

4. 问题：计算不定积分∫(1/x^2) dx解答：对于1/x^2，可以应用倒数函数的基本积分法则得到 -1/x。

因此，最终的积分结果为 -1/x + C，其中C为常数项。

5. 问题：计算不定积分∫(ln(x) + 1/x) dx解答：对于ln(x)，应用对数函数的基本积分法则得到 xln(x) - x。

对于1/x，同样应用倒数函数的基本积分法则得到 ln(x)。

将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 xln(x) - x + ln(x) + C，其中C为常数项。

6. 问题：计算不定积分∫(e^2x + x^3) dx解答：对于e^2x，应用指数函数的基本积分法则得到(1/2)e^2x。

高数不定积分题目及答案

高数不定积分题目及答案
高数不定积分是高等数学中的重要概念，也是数学基础知识的重要组成部分。

无论学习过
程如何，有了不定积分的概念，我们就能够理解其他数学技术，更好地应用它们。

高数不
定积分题目需要考生理解高等数学中重要知识点，如不定积分的定义、它的概念、等变量
求积公式、有理函数和多项式积分等，同时，将这些知识和技术结合在一起，解决实际问题。

以下是高数不定积分的若干例题及答案：
（1）求解：∫1/（x+2)^2dx
答案：-1/(x+2)+c，其中c为任意常数。

（2）求解：∫1/（x^2-1)dx
答案：1/（2x）+1/2ln|x+1|-1/2ln|x-1|+c，其中c为任意常数。

（3）求解：∫x/(x^2+1)dx
答案：1/2ln|x^2+1|+c，其中c为任意常数。

高数不定积分的概念，对于学习高等数学相关知识，有着重要的意义，除了上述的例题外，不定积分的操作还包括了微积分中的定理，如黎曼和符号定积分、牛顿积分定理以及欧拉积分定理，并且还有许多技巧，这些不仅可以降低学习难度，而且也增强对数学概念的理解能力。

也就是说，想要学习高等数学，具备一定的不定积分基础知识是不可缺少的。

在数学学习中，除了学习高数不定积分的基本概念、方法和应用，考生还需要加强自己的
推导能力，从而能够在给出的积分问题上利用有效的方法来解决问题。

只有在精研和实践中，才能取得良好的效果，这样才能更好地掌握数学中重要的概念和技巧。

不定积分高等数学

即：若 F (x) f (x) , 则
f ( x)dx F ( x) C
任意常数
积分变量被积表达式被积函数
积分号
说明:原函数和不定积分的联系 1. 不定积分是由无限多个原函数组成的集合；
2. 不定积分＝原函数＋C（任意常数）
F ( x) f ( x)
f (x)dx F (x) C
3.已知 f (ln x) x 求 f (x).
4.已知
f (ln x) x 求 f (x).
4、基本积分表
(1) kdx kx C (k 是常数)
(7) sin xdx cos x C
(2)
x dx
x 1
1
C
( 1) (8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C
(3)
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(18)
a2
1
x2
dx
1 a
arctan
x a
C
(14) tan xdx ln cos x C
(19)
1 dx arcsin x C
a2 x2
a
(15) cot xdx ln sin x C
(20)
例5. 求解: 原式 =
1 x x2 x (1 x2 )
dx
.
x (1 x2 x(1 x2 )
)
dx
1
1 x2
dx
1 x
dx
arctan x ln x C .
例6. 求解: 原式 =
1
x4 x2
dx
.
(

微积分第6章不定积分

详细描述
如果被积函数是奇函数或偶函数，那么在不定积分时，我们需要注意奇偶性的性质，以便简化计算过程。例如，如果被积函数是奇函数，那么其不定积分的结果将是偶函数；
反之，如果被积函数是偶函数，那么其不定积分的结果将是奇函数。
被积函数可积性问题
要点一
总结词
被积函数的可积性是解决不定积分问题的前提条件。
不定积分的性质
总结词
不定积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、可乘性等。
详细描述
不定积分具有以下性质
02
01
可乘性
∫f(x) * g(x) dx = ∫f(x) dx * ∫g(x) dx，即两个函数的乘积的不定积分等于它们不定积分的乘积。
05
03
线性性质
∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b是常数，f(x)和 g(x)是可积函数。
详细描述
幂函数不定积分是微积分中一个重要的知识点，它涉及到函数的积分和微分之间的关系，对于理解微积分的基本概念和运算规则具有重要意义。
三角函数不定积分
总结词
三角函数不定积分是微积分中的重要内容，需要掌握基本的积分公式和运算方法。
总结词
掌握三角函数不定积分的计算方法，对于解决与三角函数相关的物理问题和工程问题具有重要意义。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通过求导数的逆运算，将原函数进行不定积分，得到不定积分的结果。这种方法适用于一些简单的不定积分，但对于一些复杂的不定积分，可能需要结合其他方法一起使用。
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化不定积分的方法。

高等数学第四章不定积分

积分学不定积分定积分微分与积分是一对互逆的运算第四章不定积分§1 不定积分的定义与性质1.问题的提出2.定积分的定义3.定积分的性质例, ,(sin )cos ()x x x '=∀∈-∞+∞一、原函数存在定理定义1若在I 上恒有F '(x )=f (x )（即d F (x )=f (x )d x ），称F (x ) 为f (x ) 在I 上的一个原函数。

上的一个在是原函数),( cos sin +∞-∞=∴I x x (1) 满足什么条件的函数有原函数？问题：(2) 若原函数存在，如何求出？复习：原函数存在定理：连续函数一定有原函数.(sin 1)(sin 3)(sin )cos ,x x x C x '''+=+=+=原函数F (x )不唯一，但只相差一个常数可以看出：简言之：原函数之间只相差一个常数。

⎰=xatt f x d )()(Φ例：积分常数积分号被积函数定义2：Cx F dx x f +=⎰)()(被积表达式积分变量函数f (x )在区间I 上的全体原函数称为f (x )在I 上的不定积分，记为：不定积分是全体原函数的集合。

⎰dx x f )(C 不可丢！前面两例可写作：⎰+=C x xdx sin cos , ,(sin )cos ()x x x '=∀∈-∞+∞问：不定积分的几何意义？不定积分的几何意义xyoxCx F y +=)()(x F y =是积分曲线上、下平移所得到一族积分曲线，称为积分曲线族．)(x F 在点处有相同的斜率，即这些切线互相平行．x )(x f x x f d )(⎰()F x C=+称为的积分曲线.不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的积分曲线.的图形的所有积分曲线组成f d)xx(的积分曲线族.yxO0x每条积分曲线上，横坐标相同的点处的切线是平行的例1.设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1, 2) ,故有因此所求曲线为12+=x y yx)2,1(O[xd d)1(⎰x x f d )(])(x f =[d ⎰x x f d )(]x x f d )(=或C x +=⎰d )2()(x F ')(x F 或C +=⎰d )(x F )(x F 二.不定积分的性质微分运算与求不定积分的运算是互逆的:线性性质⎰=±dx x g x f )]()([)1(;)()(⎰⎰±dx x g dx x f ⎰=dx x kf )()2(.)(⎰dx x f k （k 是常数，)0≠k⎰+=k Ckx kdx ()1(是常数););1(1)2(1-≠μ++μ=+μμ⎰C x dx x ;||ln )3(⎰+=C x xdx ⎰=C dx 0⎰+=C x dx 1基本积分表⎰=xdx cos )6(;sin C x +⎰=xdx sin )7(;cos C x +-⎰=xdx 2sec ;tan C x +⎰=xdx 2csc ;cot C x +-=⎰dx e x )5(;C e x +=⎰dx a x )4(;ln 1C a a x +（8）（9）⎰=xdx x tan sec )12(;sec C x +⎰=xdx x cot csc )13(;csc C x +-=+⎰dx x211)11(C x +arctan =-⎰dx x 211)10(C x +arcsin C x arc +-=cot C x +-=arccos 注：检验积分结果正确与否的方法是积分结果求导= 被积函数。

微积分18-不定积分及其计算(B)

二.不定积分的计算利用不定积分的性质换元法( 第一、第二 )分部积分法. 种方法积分时应用较广泛的一分部积分法是计算不定:导公式相对应该方法与函数的乘积求 , )( ),( 则有上可微在区间设函数I x v x u. )()()()())()((x v x u x v x u x v x u '+'=' , )()( )()( 对上式两的原函数存在与如果函数x v x u x v x u '', 便得到积分边关于x. d )()()()(d )()(⎰⎰'-='x x u x v x v x u x x v x u. 分部积分公式该公式称为不定积分的3. 不定积分的分部积分法定理)()( . )( , )( x v x u I x v x u '若函数上可微在区间设函数, 则上的原函数存在在区间I. d )()()()(d )()(⎰⎰'-='x x v x u x v x u x x v x u. 分部积分公式该公式称为不定积分的. 函数的积分计算一个数的积分计算转化为另分部积分公式将一个函. )(d )()()()()(⎰⎰-=x u x v x v x u x dv x u一般说来, 当被积函数为下列形式之一时, 可考虑运用分部积分法进行计算:幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 ,指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 ,幂函数与指数函数之积 ,指数函数与对数函数之积 ,一个函数难于用其它方法积分 ,两个函数的乘积 .注意：在分部积分法中，技巧在于如何选择适当的v'。

一般我们优先将指数函数，三角函数，幂函数看成是v'，而不会将对数函数，反三角函数看成v'，有时还会直接把dx看作dv例1解.dsin⎰xxx计算xxu=)(1)(='xuxxv sin)(='xxv cos)(-=⨯-⎰⎰---=xxxxxxx d)cos()cos(dsin⎰+-=xxxx dcoscos.sincos Cxxx++-=例2解.sindcos3⎰xxxx计算⨯-x1xx3sincosx2sin21-⎰⎰+-=xxxxxxxx223sind21sin2sindcos.cot21csc22Cxxx+--=⎰⎰⎰==333dsin)d(sinsindcosuuxxxxx.sin212122CxCu+-=+-=-)sin(xu=例3解.darccos⎰xx计算⨯-x1xarccos211x--1darccosdarccos2⎰⎰-+=xxxxxxx.1arccos2Cxxx+--=例4解.dsin2⎰xxx计算⨯-xcos-xsin2xx2⎰⎰+-=xxxxxxxx dcos2cosdsin22⨯-xsinxcosx 1)dsinsin(2cos2⎰-+-=xxxxxx.cos2sin2cos2Cxxxxx+++-=.,,,用分部积分法可以连续使只要条件允许与换元法一样该例说明例5解⨯-xsin x cos xexe. d cos ⎰x x e x计算d sin sin d cos ⎰⎰-=x xe x e x x exx x⨯-xcos -x sin xe xe)d cos cos (sin ⎰+--=x x e x e x e xxxd cos cos sin ⎰-+=x xe x e x e xxx. )cos (sin 21d cos C x x e x x e xx++=⎰故例6解⨯-x122ax+22axx+.d22⎰+=xaxI计算⎰⎰+-+=+=dd2222222axxxaxxxaxId)(2222222⎰+-+-+=axxaaxaxxdd2222222⎰⎰+++-+=axxaxaxaxx||ln22222axxaIaxx+++-+=.||ln221d2222222CaxxaaxxxaxI+++++=+=⎰故例7解. ,d )(ln +∈⎰Z n x x n 计算⨯-x1nx )(ln xx n n 1)(ln 1-,d )(ln 则记⎰=x x I nnd )(ln )(ln d )(ln 1⎰⎰--==x x n x x x x I n n n n. )(ln 1--=n nI n x x: ,得到一个递推关系式于是. )(ln 1--=n nn I n x x I 利用递推关系式可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分.. d )(ln ,33⎰=x x I 求例如 ,3)(ln 233I x x I -= ,2)(ln 122I x x I -=,ln 01I x x I -=,d d )(ln 00C x x x x I +===⎰⎰)(ln 1C x x x I +-=))(ln (2)(ln 22C x x x x x I +--=. 6ln 6)(ln 3)(ln 233C x x x x x x x I +-+-=故例8解⨯-xcos -x sin x n 1sin-xx n n cos sin)1(2--. d sin ⎰x x n计算,d sin 则记⎰=x x I nn ⎰⎰-==xx x x x I n nn d sin sin d sin 1d cos sin )1(cos sin 221⎰---+-=x x x n x x n nd sin )1(d sin)1(cos sin 21⎰⎰---+-=--x x n x x n x x nn n xx 22sin 1cos -=nn n I n I n x x )1( )1(cos sin21---+-=-- . 1cos sin 1 21---+-=n n n I nn x x n I 故. d 0C x x I +==⎰如果需要，条件又允许，则不定积分的换元法、分部积分法等可以混合起来使用。

高等数学微积分不定积分(专题)

分表

(3)

dx x

说明：
ln x x
0,
C;

dx x

ln
x

C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x

dx x

ln(
x)

C
,

dx x

ln
|
x
|
C
,
简写为

dx x

ln
x

C.
2019/10/12
不定积分冯国臣
(4)

1
三、不定积分的性质
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证

f
( x)dx

g( x)dx

f ( x)dx

g( x)dx
f
( x)
g( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
2019/10/12
不定积分冯国臣
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx.
（k 是常数，k 0)
例5
求积分

( 1
3 x2

2 )dx.
1 x2
解

( 1
3 x2

2 )dx 1 x2

3
1
1 x
2
dx

2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C

高等数学—不定积分练习题

第三章复习X.1 积分换元的几种形式1．利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分求⎰-dx x x 229解令t x sec 3=，则tdt t dx tan sec 3⋅= 于是⎰-dx x x 229⎰⎰=⋅=dt tttdt t t t sec tan tan sec 3sec 9tan 322.9|9|ln 9|393|ln sin |tan sec |ln )cos (sec 221221C xx x x C xx x xC t t t dt t t +---++---+=+-+=-=⎰练习求⎰-+221)1(xxxdx2．倒代换（即令tx1=）设n m ,分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当1>-m n 时，可以考虑使用倒代换。

求⎰>+)0(222a xa xdx解令tx 1=，则dt t dx 21-=，于是原式⎰⎰⎰++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12)1(1111122222222222t a t a d a t a tdt dt t t a tC xa a x C a t a ++-=++-=2222221 练习⎰-+dx x xx 11223．指数代换（适用于被积函数)(x f 由x a 所构成的代数式）令t ax=，.ln 1tdt a dx ⋅=求⎰++xx x dx 4212解令t x=2，t dt dx ⋅=2ln 1 原式⎰⎰++=⋅⋅++=43)21(2ln 12ln 1122t dtt dt t t t CC t C t t t d x ++=++=++⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+⎰312arctan 2ln 32312arctan 2ln 322321arctan 322ln 123)21()21(2ln 1122练习求⎰+++6321x x xee e dxX.2 有理函数的积分一、有理函数的积分形为mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++++++++=----11101110)()( ，（1）其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a 。

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tan
x
cos2
d x
x
1 tan
x
dtan
x
ln
tan
x
C
例6：
sin2 x d x
1
cos 2x 2
d
x
1 2
dx
1 2
cos 2x d 2 x
1 x 1 sin2x C. 24
同理， cos2 x d x 1 x 1 sin2x C. 24
例7：
cos4
xd
x
1
cos 2 x 2
f (u)
du
[F (u) C]u( x) F ( x) C. 证明：{ F( x) C } F( x)( x)
f ( x)( x), 得证。
换元公式： f ( x)( x)d x
(x)d x d ( x) f ( x) d ( x)
φ (x) = u
f (u)du F(u) C
x
1 d x d ln x x
1 ln x
d
ln
x
1 u
d
u
ln u
C
ln
ln
x
C.
题目做得熟练后，中间变量 u 可以不写出来。
例2：
11 x2 sin x d x
1 x2
d
x
d(
1) x
sin
1 x
d
1 x
cos 1 C. x
例3： tanxcdo1sxxdcocsoisnsxxxdxln cos x C.
则 f (x)dx F(x) C
就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C .
y
它们相互平行，即在横坐标相同的点处有相同的切线斜率。

高数知识点不定积分的定义和基础考点高数知识点不定积分的定义和基础

高数知识点不定积分的定义和基础考点高数知识点不定积分的
定义和基础
不定积分的定义是**寻找一个函数的导数等于给定函数的过程，即找到一个函数F，使得F'(x) = f(x)**。

不定积分是微积分中的基础概念，它表示函数的原函数。

如果一个函数F在区间I上的导数是f(x)，那么称F为f在区间I上的一个原函数。

不定积分的本质是求解微分方程的过程，其中\( \frac{d}{dx} \left[ \int f(x) dx \right] = f(x) \)。

不定积分的基础考点包括**基本积分公式和积分方法**。

对于基础考点，掌握不定积分的性质和基本积分公式是非常重要的。

这些公式包括但不限于：对常数的积分、幂函数的积分、自然对数函数的积分、三角函数的积分等。

除了基本积分公式外，还需要熟悉并能够应用换元积分法和分部积分法等技巧来解决更复杂的积分问题。

换元积分法通常用于解决积分中含有复合函数的问题，而分部积分法则适用于积分乘积形式的函数。

2年考研高等数学专题基础第4章不定积分

R(sin x , cos x ) dx
R
1
2u u
2
,
1 1
u2 u2

1
2 u
2
du.
讨论类型 R( x ,n ax b ), R( x , n ax b ),
cx e
解决方法作代换去掉根号.
常考题型与典型例题
【答案】 (D) .
M kx x 2 px
Nk q
积分
Mx N dx, ( x2 px q)n
a 2 q p2 , b N Mp ,
4
2
x2
px q
x
p 2 2
q
p2 4
,
令 x p t
2
x2 px q t2 a2 ,
Mx N Mt b,
Mx N dx
Mt dt
b dt
答案：A
tan
x 2
1 tan
2
tan 4
tan x
dx
tan
2
(
x 2
)dx
4
2 tan( x 2
4
)
x
C
4 2
常用“凑”微分公式：
sec4 xdx sec2 x sec2 xdx sec2 xd tanx
1 tan3 x tan x C 3
2arctan t C 2 arctan 4 x C x
a 2 )n 1
b
dt . ( t 2 a 2)n
x3 x2 1 x2 1
x 1
x x2
2 1
.
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)

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