(完整版)初二年级数学之一次函数(平移、对称和面积)
人教版八年级数学下册 19.2.4 一次函数图像的性质与平移 课件
(2,0)
∴S△= 1 ×2 ×4=4 2
1、阅读材料：我们学过一次函数的图象 的平移，如：将一次函数y=2x的图象沿x 轴向右平移1个单位长度可得到函数y=2 （x-1）的图象，再沿y轴向上平移1个单 位长度，得到函数y=2（x-1）+1的图象， 解决问题：
（1）将一次函数y=-x的图象沿x轴向右 平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个 单位长度，得到函数（ ）的图象；
1、直线y=2x+1与y=3x-1的交点P的坐标为(_2,_5_) _， 点P到x轴的距离为____5 ___，点P到y轴的距离为 ___2___。
2.一次函数的图象过点(0,3) ,且与 两坐标轴围成的三角形面积为
9/4，一次函数的解析式为_________________。
y=±2x+3
3.如图，将直线OA向上平移1个单位， 得到一个一次函数的图像，那么这个一次 函数的解析式是____y=_2_x_+_1____________
若函数y=kx+b的图象平行于y= -2x的图象且经 过点（0，4）， 则直线y=kx+b与两坐标轴围成 的三角形的面积是：
解:∵y=kx+b图象与y= - 2x图象平行 ∴k=-2
∵图像经过点（0，4） ∴b=4
∴此函数的解析式为y= - 2x+4
∵函数y= - 2x+4与两坐标轴的交点为(0,4)
（3）将直线AB向上平移6个单位，求原点到
平移后的直线的距离．
5、一次函数y=kx+b（k≠0）的图 象过点A（0，2），B（3，0）， 若将该图象沿x轴向左平移2个单 位，则新图象对应的解析式为
(.y=- 2/3x+ 2/3)
北师大八年级数学一次函数知识点总结
北师大八年级数学一次函数知识点总结北师大八年级数学一次函数知识点总结初中数学一次函数知识点总结一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。
中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。
甚至有存在探究题目出现。
主要考察内容：①会画一次函数的图像，并掌握其性质。
②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。
③能用一次函数解决实际问题。
④考察一ic函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。
突破方法：①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。
②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。
③掌握用待定系数法球一次函数解析式。
④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。
函数性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.即：y=kx+b （k，b为常数，k≠0），∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。
2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。
3当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数图像性质1．作法与图形：通过如下3个步骤：（1）列表.（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。
一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。
正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。
（3）连线，可以作出一次函数的图象一条直线。
八年级数学之一次函数的图像知识点最新5篇
八年级数学之一次函数的图像知识点最新5篇数学一次函数知识点篇一一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx（k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）2、当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x,y），都满足等式：y=kx+b.（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（-b/k,0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k,b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限四、确定一次函数的)○(表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b.（2）因为在一次函数上的任意一点P（x,y），都满足等式y=kx+b.所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②（3）解这个二元一次方程，得到k,b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1、当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt.2、当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
初二数学《一次函数》课件
进阶习题
01
A. (4,4) 或 (-4,-4)
02
B. (4,-4) 或 (-4,4)
03
C. (-4,8) 或 (4,-8)
04
D. (-4,-8) 或 (4,8)
高阶习题
1
高阶习题1：已知一次函数 y = kx + b（k≠0） 经过点 (0,2)，且与坐标轴围成的三角形的面积为 4，求这个一次函数的解析式．
2
A. y = x + 2 或 y = -x + 2
3
B. y = x - 2 或 y = -x + 2
高阶习题
01
C. y = x + 2 或 y = -x - 2
02
D. 以上都不对
03
高阶习题2：已知一次函数 y = kx + b（k≠0）的图象经过点 P(3,4)，它与 x、 y 轴的正半轴分别相交于 A、B 两点，且 OA+OB=15，求此一次函数的解析式 ．
详细描述
斜截式为 $y = mx + b$，其中 $m$ 是斜率，$b$ 是截距。这种形式简洁 地表示了直线方程的斜率和截距，便 于理解和计算。
一次函数的点斜式
总结词
点斜式是一次函数的另一种表达方式，用于描述通过某一点的直线方程。
详细描述
点斜式为 $y - y_1 = m(x - x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 是直线上的一个点，$m$ 是斜率。该形式通过一个已知点和斜率来表示直线方程，具有更强的实际应用价 值。
注重理解而非死记硬背
函数的性质和特点应通过理解来掌握，而不是简单地记忆公式。
多做练习
通过大量的练习，可以更好地掌握一次函数的运用，提高解题能力 。
苏版初二下册数学第19章《一次函数》讲义第19讲一次函数的图象及性质(1)(有解析)
苏版初二下册数学第19章《一次函数》讲义第19讲一次函数的图象及性质（1）（有解析）第一部分知识梳理知识点一：一次函数（正比例）的定义（1）形如y=kx＋b (k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.因为当b=0时，y=kx，那么y叫做x的正比例函数，因此“正比例函数是专门的一次函数”。
（2）正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它能够看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移,）上加下减，左加右减知识点二：正比例函数的图象及性质一样地，形如y=kx (k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一样形式y=kx （k不为零）①k不为零；②x指数为1；③b取零当k>0时，直线y=kx通过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx通过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y反而减小．解析式：y=kx（k是常数，k≠0）必过点：（0，0）、（1，k）走向：k>0时，图像通过一、三象限；k<0时，•图像通过二、四象限增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴知识点三：一次函数的图象及性质一样地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.注：一次函数一样形式y=kx+b (k不为零)①k不为零；②x指数为1；③b取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是通过（0，b ）和（－k b，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它能够看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b (k 、b 是常数，k ≠0)（2）必过点：（0，b ）和（-k b ，0）（3）走向： k>0，图象通过第一、三象限；k<0，图象通过第二、四象限b>0，图象通过第一、二象限；b<0，图象通过第三、四象限 ⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线通过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线通过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线通过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线通过第二、三、四象限（4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位； 当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.知识点四：函数图象与系数的关系第二部分考点精讲精练考点1、一次函数（正比例）的定义例1、在糖水中连续放入糖x（g）、水y（g），并使糖完全溶解，假如甜度保持不变，那么y与x的函的函数关系一定是（）A、正比例函数B、反比例函数C、图象不通过原点的一次函数D、二次函数例2、直角三角形两个锐角∠A与∠B的函数关系是（）A、正比例函数B、一次函数C、反比例函数D、二次函数例3、若y=（m－3）x+1是一次函数，则（）A、m=3B、m=－3C、m≠3D、m ≠－3例4、下列问题中，是正比例函数的是（）A、矩形面积固定，长和宽的关系B、正方形面积和边长之间的关系C、三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系D、匀速运动中，速度固定时，路程和时刻的关系例5、若函数y=－2xm+2+n－2是正比例函数，则m的值是_____，n 的值为_____．例6、我们明白，海拔高度每上升1km，温度下降6℃．某时刻测量我市地面温度为20℃．设高出地面xkm处的温度为y℃，则y与x的函数关系式为，y_____x的一次函数（填“是”或“不是”）．例7、已知y=（k－1）xIkI+（k2－4）是一次函数．（1）求k的值；（2）求x=3时，y的值；（3）当y=0时，x的值．例8、红星机械厂有煤80吨，每天需烧煤5吨，求工厂余煤量y（吨）与烧煤天数x（天）之间的函数表达式，指出y是不是x的一次函数，并求自变量x的取值范畴．例9、举一反三：1、下列函数中，是一次函数的有（ ） A 、x y 2= B 、X －1=0 C 、y=2（x －1） D 、y=x2+12、y=（m －1）x|m|+3m 表示一次函数，则m 等于（ ）A 、1B 、－1C 、0或－1D 、1或－13、若函数y=（k －1）x+k2－1是正比例函数，则k 的值是（ ）A 、－1B 、1C 、－1或1D 、任意实数4、当自变量x= 时，正比例函数y=（n+2）xn 的函数值为3．5、已知函数y=3x+1，当自变量增加3时，相应的函数值增加______。
八年级上册数学书一次函数知识点优选篇
八年级上册数学书一次函数知识点优选篇八年级上册数学书一次函数知识点 1一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）函数，叫做一次函数。
当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。
一次函数的图象及性质一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（―b/k，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。
（当b0时，向上平移；当b0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b（k、b是常数，k≠0）（2）必过点：（0，b）和（―b/k，0）（3）走向：k0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第二、四象限b0，图象经过第一、二象限；b0，图象经过第三、四象限k0，b0；=直线经过第一、二、三象限k0，b0；=直线经过第一、三、四象限K0，b0；=直线经过第一、二、四象限K0，b0；=直线经过第二、三、四象限（4）增减性：k0，y随x的增大而增大；k0，y随x增大而减小。
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴。
（6）图像的平移：当b0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位。
直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两直线平行：k1=k2且b1≠b2（2）两直线相交：k1≠k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2确定一次函数解析式的方法（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果。
函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题。
建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题。
八年级数学一次函数课件-一次函数的图象与性质
【变式2】已知一次函数y＝(2m－3)x＋2，y随x的增大而减 小，则m的取值范围是( D ) A.m＜32B.m＞－32 C.m＞32D.m＜32
数学
八年级 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ册
人教版
第3课时一次函数的 图象与性质
知识点3 一次函数性质的综合运用 【例题3】已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3. (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象在y轴上的截距为－2，求m的值； (3)若函数图象平行于直线y＝3x－3，求m的值； (4)若这个函数是一次函数，且y随x的增大而减小，求m的取 值范围.
数学
八年级 下册
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第3课时一次函数的 图象与性质
1.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，其性质如下：
图象
k，b的符号 经过的象限 增减性
b＞__0_ k＞0
b＜0
第一、__二__、__三_ y随x的增
象限
大而增大
第 一_、__三__、__四_ y随x的增
象限
大而 增大
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4
0
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第3课时一次函数的 图象与性质
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第3课时一次函数的 图象与性质
【变式1】在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象. (1)y＝－3x＋4. (2)y＝3x＋4.
数学
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第3课时一次函数的 图象与性质
解:(1)当x＝0时,y＝0＋4＝4, 当y＝－2时,x＝2, 因此一次函数y＝－3x＋4的图象经过(2,－2)和(0,4); (2)当x＝0时,y＝0＋4＝4, 当y＝－2时,x＝－2, 因此一次函数y＝3x＋4的图象经过 (－2,－2)和(0,4); 如图所示:
完整)北师大版八年级数学上册一次函数
完整)北师大版八年级数学上册一次函数基础知识回顾】一次函数的定义：一般地，如果y=kx+b，那么y就是x 的一次函数。
特殊地，当b=0时，y就是x的正比例函数；当k=0时，y就是常数函数。
一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标。
名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图像去解决。
2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题。
】一次函数的同象及性质：一次函数y=kx+b的图像经过点（0,b）和（-b/k,0）；正比例函数y=kx的图像经过原点；当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小。
名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，只有当b=0时，它才是正比例函数。
】用系数法求一次函数解析式：关键是确定一次函数y=kx+b中的k和b的值。
步骤：1、设一次函数表达式；2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式；3、解关于系数的方程或方程组；4、将所求的系数代入等设函数表达式中。
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组：一般地，将x=或y=解一元一次方程求直线与坐标轴的交点坐标，代入y=kx+b中；对于一元一次不等式kx+b>0或kx+b<0，即一次函数同象位于x轴上方或下方，利用函数性质解决问题；对于二元一次方程组，求解两条直线的交点坐标即为方程组的解。
名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题、方程涉及问题等。
】重点考点例析】考点一：一次函数的同象和性质例1（2012•黄石）已知反比例函数y=x/b，若一次函数y=kx+2与其同象，则k的取值范围是多少？解析：反比例函数y=x/b的图像经过点（b,1）和（1,b），因此一次函数y=kx+2的图像也经过这两点。
将这两点代入一次函数的解析式，得到k的取值范围为k≠-2b。
初二数学《一次函数》ppt课件
倾斜度一样（平行）
都经过一、三象限
直线 还经过第二象限
b相同
k不同
都与y轴相交于点（0，2）
都经过一、二、三象限
倾斜度不一样（不平行）
1
-1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
0
观察:这些函数的图像 有什么特点?
x
y
在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象: 1. 2. y=3x y=3x+2
y
x
o
-4
2
7.一个函数图像过点（1，2），且y随x增大而增大，则这个函数的解析式是___
B
如图所示，三峡工程在6月1日至6月10日下阐蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间.假设水库水位匀速上升，那么下列图像中，能正确反映这10天水位h(米)随时间t(天)变化的是( )
从图中可以看出: 1.当一次函数的k值相等时,直线互相平行.
2.当一次函数的b值相等时,直线在y轴交于一点.
特殊位置关系—平行
y=3x
y=3x+2
观察函数y=3x和y=3x+2的图象，我 们知道：它们是互相平行的，所以 ，其中 一条直线可以看作是由另一 条直线平移得到的。 你能说出直线y=3x+2是由直线y=3x 向____平移____个单位得到的吗？
3.一次函数y=x+2的图像不经过第____象限
EX
5.一次函数 y 1=kx+b与y 2=x+a的图像如图所示，则下列结论（1）k<0;(2)a>0;(3)当x<3时，y 1<y 2中，正确的有____个
一次函数的平移和对称
函数图像的对称性一、点的对称1、在平面直角坐标系中，已知点P),(ba，则（1）点P到x轴的距离为b；（2）点P到y轴的距离为a；（3）点P到原点O的距离为PO＝22ba+2、平行直线上的点的坐标特征：a)在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；点A、Bb)在与y点C、D的横坐标都等于n；3、对称点的坐标特征：c)点P),(nm关于x轴的对称点为),(1nmP-，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；d)点P),(nm关于y轴的对称点为),(2nmP-，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；e)点P),(nm关于原点的对称点为),(3nmP--，即横、纵坐标都互为相反数；关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称4、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：f)若点P（nm,）在第一、三象限的角平分线上，则nm=，即横、纵坐标相等；g)若点P（nm,）在第二、四象限的角平分线上，则nm-=，即横、纵坐标互为相反数；XXX XP在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上二、(一次函数)： 1、若直线与直线关于（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为 （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为（3）原点对称，则直线l 的解析式为 （4）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为（5）直线对称，则直线l 的解析式为2、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠（2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b =（4）两直线垂直⇔121-=k k三、二次函数：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。
考点08 一次函数的图象与性质-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点08 一次函数的图象和性质一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。
各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面。
也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。
故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
一、一次函数的图象与平移二、一次函数的性质三、待定系数法求解一次函数的表达式四、一次函数与方程、不等式的关系五、一次函数与三角形面积考向一：一次函数的图象与平移一．一次函数的图象二．一次函数图象的画法1．下列函数：①y ＝4x ；②y ＝﹣；③y ＝；④y ＝﹣4x +1，其中一次函数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．【解答】解：y ＝﹣4x ，y ＝﹣，y ＝﹣4x +1都符合一次函数的定义，属于一次函数；y ＝是反比例函数，综上所述，其中y 是x 的一次函数的个数有3个．故选：C．一次函数的图象是经过点和点的一条直线2．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）（k＞0）的图象大致是（ ）A．B．C．D．【分析】根据一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵y＝k（x﹣1）（k＞0），∴一次函数图象过点（1，0），y随x的增大而增大，故选项B符合题意．故选：B．3．如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（ ）A．B．C．D．【分析】根据一次函数的系数与图象的关系逐项分析即可．【解答】解：A、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于正半轴，则kb＞0，kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；B、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的一次项系数为正，与题干图形相矛盾，不符合题意；C、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＜0与kb＜0相一致，符合题意；D、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；故选：C．4．在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（ ）A．将1向右平移4个单位长度B．将1向左平移4个单位长度C．将1向上平移4个单位长度D．将1向下平移4个单位长度【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案．【解答】解：设将直线y＝6x﹣2向左平移a个单位后得到直线y＝6x+2（a＞0），∴6（x+a）﹣2＝6x+2，解得：a＝，故将直线y＝6x﹣2向左平移个单位后得到直线y＝6x+2，同理可得，将直线y＝6x﹣2向上平移4个单位后得到直线y＝6x+2，观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．5．直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是 （1，0） ．【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可．【解答】解：直线y＝2x﹣4沿y轴向上平移2个单位，则平移后直线解析式为：y＝2x﹣4+2＝2x﹣2，当y＝0时，则x＝1，故平移后直线与x轴的交点坐标为：（1，0）．故答案为：（1，0）．6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ）A．k1k2＜0B．k1+k2＜0C．b1﹣b2＞0D．b1b2＞0【分析】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＜0，b1＜0，k2＜0，b2＞0，然后逐一判断即可解答．【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过四、二、三象限，∴k1＜0，b1＜0，∵一次函数y＝k2x+b2的图象过一、二、四象限，∴k2＜0，b2＞0，∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意；B、k1+k2＜0，故B符合题意；C、b1﹣b2＜0，故C不符合题意；D、b1•b2＜0，故D不符合题意；故选：B．考向二：一次函数的性质对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上1．一次函数y＝﹣3x+1的图象经过（ ）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限【分析】利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．【解答】解：∵y＝﹣3x+1，∴k＜0，b＞0，故直线经过第一、二、四象限．故选：A．2．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．大小不确定【分析】利用偶次方的非负性，可得出m2≥0，进而可得出k＝m2+1＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣3＜﹣1，可得出y1＜y2．【解答】解：∵m2≥0，∴k＝m2+1＞0，∴y随x的增大而增大．又∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，且﹣3＜﹣1，∴y1＜y2．故选：B．3．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，当x1＜x2时，y1＜y2，则m 的取值范围是（ ）A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜1【分析】由“当x1＜x2时，y1＜y2”，可得出y随x的增大而增大，结合一次函数的性质，可得出m﹣1＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＜y2，∴y随x的增大而增大，∴m﹣1＞0，解得：m＞1，∴m的取值范围是m＞1．故选：C．4．对于一次函数y＝﹣2x+1的相关性质，下列描述错误的是（ ）A ．函数图象经过第一、二、四象限B ．图象与y 轴的交点坐标为（1，0）C ．y 随x 的增大而减小D ．图象与坐标轴调成三角形的面积为【分析】根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A ．∵k ＝﹣2＜0，b ＝1＞0，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意；B ．当x ＝0时，y ＝1，∴函数图象与y 轴的交点坐标为（0，1），错误，符合题意；C ．∵k ＝﹣2＜0，∴y 的值随着x 增大而减小，正确，不符合题意；D ．令y ＝0可得y ＝1，∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：×1×＝，故D 正确，不符合题意．故选：B ．5．已知点（﹣2，y 1），（2，y 2）都在直线y ＝2x ﹣3上，则y 1 ＜ y 2．（填“＜”或“＞”或“＝”）【分析】由k ＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，再结合﹣2＜2即可得出y 1＜y 2．【解答】解：∵k ＝2＞0，∴y 随x 的增大而增大，又∵﹣2＜2，∴y 1＜y 2．故答案为：＜．考向三：待定系数法求一次函数的解析式1．一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（ ）A．B．C．D．【分析】利用待定系数法即可求解．【解答】解：设函数的解析式是y＝kx．根据题意得：﹣2k＝3．解得：k＝﹣．故函数的解析式是：y＝﹣x．故选：A．2．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（ ）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．m的值不存在【分析】结合一次函数的性质，对m分类讨论，当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，此时x＝1，y ＝2且x＝3，y＝6；当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，此时x＝1，y＝6且x＝3，y＝2；最后利用待定系数法求解即可．【解答】解：当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，∴当x＝1时，y＝2且当x＝3时，y＝6，令x＝1，y＝2，解得m＝，不符题意，令x＝3，y＝6，解得m＝﹣6，不符题意，当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，∴当x＝1时，y＝6且当x＝3时，y＝2，令x＝1，y＝6，解得m＝﹣2，令x＝3，y＝2，解得m＝﹣2，符合题意，故选：B．3．已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣3．则当x＝﹣时，y＝ ．【分析】设y＝kx，把x＝2，y＝﹣3代入，求出k得到函数解析式，把x＝﹣代入函数解析式，求出即可．【解答】解：根据题意，设y＝kx，把x＝2，y＝﹣3代入得：﹣3＝2k，解得：k＝﹣，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x，把x＝﹣代入y＝﹣x，得y＝﹣×（﹣）＝，故答案为：．4．已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．（1）求此一次函数表达式；（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把A（2，0），B（0，4）代入求出k的值即可；（2）把x＝﹣1代入（1）中函数解析式进行检验即可．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵A（2，0），B（0，4）在函数图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+4；（2）由（1）知，函数解析式为：y＝﹣x+4，∴当x＝﹣1时，y＝5≠6，∴点（﹣1，6）不一次函数的图象上．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD 的解析式．【分析】（1）把C （0，6）代入函数解析式，可得答案．（2）先求D 的坐标，再利用待定系数法求解AD 的解析式．【解答】解：（1）直线y ＝﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴﹣2×0+a ＝6，∴a ＝6，∴直线的解析式为y ＝﹣2x +6；（2）点D （﹣1，n ）在y ＝﹣2x +6上，∴n ＝﹣2×（﹣1）+6＝8，∴D （﹣1，8），设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把点A （﹣3，0）和D （﹣1，8）代入得，解得，∴直线AD 的解析式为y ＝4x +12．考向四：一次函数与方程不等式间的关系的交点坐标由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：1．已知方程2x ﹣1＝﹣3x +4的解是x ＝1，则直线y ＝2x ﹣1和y ＝﹣3x +4的交点坐标为（ ）A ．（1，0）B ．（1，1）C ．（﹣1，﹣3）D ．（﹣1，1）【分析】把x ＝1代入直线解析式y ＝2x ﹣1求出y 的值即可得到交点坐标．【解答】解：∵x ＝1是方程2x ﹣1＝﹣3x +4的解，∴把x ＝1代入y ＝2x ﹣1，得y ＝2×1﹣1＝1．∴交点坐标为（1，1）．故选：B ．2．如图，直线y ＝ax +b （a ≠0）过点A （0，1），B （2，0），则关于x 的方程ax +b ＝0的解为 x ＝2 ．【分析】所求方程的解，即为函数y ＝ax +b 图象与x 轴交点横坐标，确定出解即可．【解答】解：方程ax +b ＝0的解，即为函数y ＝ax +b 图象与x 轴交点的横坐标，∵直线y ＝ax +b 过B （2，0），∴方程ax +b ＝0的解是x ＝2，故答案为：x ＝2．3．如图，一次函数y ＝2x +1的图象与y ＝kx +b 的图象相交于点A ，则方程组的解是（ ）A．B．C．D．【分析】先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解．【解答】解：y＝3代入y＝2x+1得2x+1＝3，解得x＝1，所以A点坐标为（1，3），所以方程组的解是．故选：B．4．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则x+y＝ 3 ．【分析】根据由图象可知，直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（1，2），即可确定二元一次方程组的解，进一步求值即可．【解答】解：由图象可知，直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（1，2），∴二元一次方程组的解为，∴x+y＝1+2＝3，故答案为：3．5．若定义一种新运算：，例如：2@4＝2+4﹣3＝3，2@1＝2﹣1+3＝4，下列说法：①（﹣1）@（﹣2）＝4；②若x@（x+2）＝5，则x＝3；③x@2x＝3的解为x＝2；④函数y＝（x2+1）@1与x轴交于（﹣1，0）和（1，0）．其中正确的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】根据新定义，逐项判断即可．【解答】解：（﹣1）@（﹣2）＝﹣1﹣（﹣2）+3＝4，故①正确；∵x@（x+2）＝x+（x+2）﹣3＝2x﹣1，∴x@（x+2）＝5即是2x﹣1＝5，解得x＝3，故②正确；当x＜2x，即x＞0时，∵x@2x＝3，∴x+2x﹣3＝3，解得x＝2；当x≥2x，即x≤0时，∵x@2x＝3，∴x﹣2x+3＝3，解得x＝0，∴x@2x＝3的解是x＝2或x＝0，故③错误；∵x2+1≥1，∴y＝（x2+1）@1＝x2+1﹣1+3＝x2+3，令y＝0得x2+3＝0，方程无实数解，∴函数y＝（x2+1）@1与x轴无交点，故④错误；∴正确的有①②，共2个，故选：C．6．如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是 1 ，当y1＞y2时，x的取值范围是 x＜1 ，当y1＜y2时，x的取值范围是 x＞1 ．【分析】根据两条直线的交点、结合图象解答即可．【解答】解：由图象可知，当kx﹣b＝nx时，x的值是1，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1．故答案为：1，x＜1，x＞1．7．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图象与性质的方法，对新函数y＝2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣2﹣1m1210n﹣2…其中m＝ 0 ，n＝ ﹣1 ．（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质： 当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大 ．（3）当时，x的取值范围为 x≤﹣1或x≥2 ．【分析】（1）把x＝﹣1和x＝4分别代入解析式即可得到m、n的值；（2）利用描点法画出图象，观察图象可得出函数的性质；（3）利用图象即可解决问题．【解答】解：（1）把x＝﹣1代入y＝2﹣|x﹣1|得，y＝2﹣|﹣1﹣1|＝0，∴m＝0；把x＝4代入y＝2﹣|x﹣1|得，y＝2﹣|4﹣1|＝﹣1，∴n＝﹣1；故答案为：0，﹣1；（2）画出函数的图象如图：观察图象可知：当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；（3）画出一次函数y＝x+的图象，观察图象可知：当时，x的取值范围为x≤﹣1或x≥2，故答案为：x≤﹣1或x≥2．考向五：一次函数与三角形面积一．一次函数与坐标轴围成三角形面积的规律方法归纳1.一次函数y=kx+b（k≠0）与坐标轴交点规律与x轴交点坐标（，0）故：当k、b同号时，直线交于x轴负半轴；当k、b异号时，直线交于x轴正半轴对于直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点坐标（0，b）故：当b＞0时，直线交于y轴正半轴；当b＜0时，直线交于y轴负半轴2.求两直线交点坐标方法：联立两直线解析式，得二元一次方程组，解方程组得交点坐标；3.求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高；二．一次函数图象与几何图形动点面积1.此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息2.对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点3.动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。
初二数学一次函数(含答案)
一次函数例题精讲一、函数的相关概念1．常量与变量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量．如在圆的面积公式2πS R =中，π是常数，是一个常量，而S 随R 的变化而变化，所以S 、R 是变量． 2．自变量、因变量与函数在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系． 注意：⑴对于每一个给定的x 值，y 有一个唯一确定的值与之对应，否则y 就不是x 的函数．例如2y x =就不是函数，因为当4x =时，2y =±，即y 有两个值与x 对应．⑵对于每一个给定的y 值，x 可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．二、函数自变量的取值范围函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： ⑴整式：自变量的取值范围是任意实数．⑵分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数． ⑶根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． ⑷零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类．三、函数的表示方法1．函数的三种表示方法：⑴列表法：通过列表表示函数的方法．⑵解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=． ⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法． 2．对函数的关系式（即解析式）的理解：⑴函数关系式是等式．例如4y x =就是一个函数关系式． ⑵函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数．⑶函数关系式在书写时有顺序性．例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13yx -=就表示x 是y 的函数．求y 与x 的函数关系时， 必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式．四、函数的图象1．函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x 和函数y 的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象． 2．函数图象的画法⑴列表； ⑵描点； ⑶连线． 3．函数解析式与函数图象的关系：由函数图象的定义可知，图象上任意一点(),P x y 中的x ，y 都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的j 解析式，如果满足函数解析式，这个店就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．板块一、函数及其自变量取值范围【例1】 下列关系式中不是函数关系的是（ ）A.y =0x >)B.y x =(0x >)C.y =0x >)D.y =(x <【答案】A【例2】 在函数y =中，自变量x 的值取值范围是( )A.3x <-B.3x ≤-C.3x ≤D.3x >【答案】D【例3】 函数y 的自变量的取值范围是( )A.22x -<≤B.22x -≤≤C.2x ≤且2x ≠D.22x -<<【答案】A【例4】 求下列各函数中自变量x 的取值范围；⑴y =y；⑶0y x =；⑷y =+【答案】⑴32x ≤且1x ≠-；⑵1x ≥且x ≠40x -≤<或04x <≤；⑷102x ≤<或122x <≤【例5】 等腰三角形的周长为30，写出它的底边长y 与腰长x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围？【答案】⑴302y x =-，由三角形的三边关系可得：2x y >，0x >，0y >，可得15152x <<． 【例6】 如图，周长为24的凸五边形ABCDE 被对角线BE 分为等腰ABE ∆及矩形BCDE ，AE DE =，设AB 的长为x ，CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，写出自变量的取值范围．【答案】244y x =-，在ABE ∆中，2244x x >-， 所以4x >，故46x <<．【例7】 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟 C ．25分钟 D ．27分钟【答案】B【例8】 李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校。
初二学生数学一次函数知识点总结8篇
初二学生数学一次函数知识点总结8篇第1篇示例：初二学生在学习数学的过程中，一次函数是一个非常重要的知识点。
一次函数也称为一元一次方程，是数学中最简单的一种函数形式，通常表示为y=ax+b。
在初中阶段，学生需要了解一次函数的基本概念、性质和应用。
一、一次函数的基本概念1. 一次函数的定义一次函数是由形如y=ax+b的函数所构成，其中a和b是常数，a 不等于0。
其中a称为斜率，b称为截距。
2. 一次函数的图像一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的斜度，截距决定了直线与y轴的交点。
3. 一次函数的定义域和值域一次函数的定义域是整个实数集，值域也是整个实数集。
4. 一次函数的自变量和因变量在一次函数中，自变量是x，表示输入的数值；因变量是y，表示输出的数值。
二、一次函数的性质1. 斜率的意义一次函数中，斜率a表示当自变量x增加1单位时，因变量y的增量。
斜率可以告诉我们函数的增减趋势。
2. 相关性质一次函数中，两条直线平行或重合的条件是它们的斜率相等，截距相等。
3. 函数值的计算根据一次函数的表达式，可以通过代入自变量的值计算出相应的因变量的值。
4. 求解一元一次方程一次函数也可以看作是一元一次方程，通过方程的变形求解可以得到未知数的值。
三、一次函数的应用1. 数据拟合在实际问题中，可以利用一次函数对数据进行拟合，从而预测未来的发展趋势。
2. 函数关系一次函数描述了两个变量之间的线性关系，可以用来研究变量之间的影响和规律。
3. 图像分析通过一次函数的图像，可以分析函数的特性，如斜率的大小、截距的位置等。
四、注意事项1. 理解斜率和截距的含义，掌握它们在一次函数中的作用。
2. 熟练掌握一次函数的基本运算，如加减乘除等。
3. 多做练习，加深对一次函数的理解和掌握。
4. 注意一次函数在实际问题中的应用，培养运用数学解决问题的能力。
一次函数是初中数学中的基础知识之一，掌握好一次函数的概念、性质和应用可以为学生打下坚实的数学基础，提升数学运用能力。
北师大版初二上-一次函数讲义全精选全文
可编辑修改精选全文完整版第四章：一次函数◆4.1函数1．函数的概念一般地,在一个变化过程中有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y 值,那么我们称y是x的函数．其中x是自变量,当自变量取一个值时,另一个变量就有唯一确定的值与它对应,这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据．辨误区自变量与另一个变量的对应关系若y是x的函数,当x取不同的值时,y的值不一定不同．如：y＝x2中,当x＝2,或x＝－2时,y的值都是4.[例1－1] 下列关于变量x,y的关系式：①x－3y＝1；②y＝|x|；③2x－y2＝9.其中y是x 的函数的是< >．A．①②③ B．①② C．②③ D．①②[例1－2] 已知y＝2x2＋4,<1>求x取错误!和－错误!时的函数值；<2>求y取10时x的值．.谈重点函数中变量的对应关系当自变量取一个值时,另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值,则自变量并不一定有唯一的值与之相对应,所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系．2．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式,也称为函数解析式或关系表达式．谈重点函数关系式中的学问①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量,哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量,等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如,y＝x＋1是表示y是x的函数．若写成x＝y－1就表示x是y的函数．也就是说：求y与x的函数关系式,必须是用只含变量x的代数式表示y,即得到的等式<解析式>左边只含一个变量y,右边是含x的代数式．[例2]已知等腰三角形的周长为36,腰长为x,底边上的高为6,若把面积y看做腰长x的函数,试写出它们的函数关系式．3．自变量的取值范围<1>使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围．<2>自变量的取值范围的确定方法：首先,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．当解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数；当解析式是二次根式时,自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当解析式中含有零整数幂或负整数指数幂时,自变量的取值应使相应的底数不为0；其次,当函数解析式表示实际问题时,自变量的取值还必须使实际问题有意义．[例3]若等腰三角形的周长为50 cm,底边长为x cm,一腰长为y cm,y与x的函数关系式为y＝错误!<50－x>,则变量x的取值范围是__________．4．函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：列表法、图象法、解析法,以解析法应用较多．有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示,而有的只能用其中的一种或两种来表示．<1>列表法：列一张表,第一行表示自变量取的各个值,第二行表示相应的函数值,这种表示函数关系的方法称为列表法．<2>图象法：通过建立平面直角坐标系,以自变量取的每一个值为横坐标,以相应的函数值为纵坐标,描出每一个点,由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象,这种表示函数关系的方法称为图象法．<3>解析法：用式子表示函数关系的方法称为解析法,这样的式子称为函数的解析式．析规律函数的三种表示方法三种表示方法各有优缺点,应用时要视具体情况,选择适当的表示方法,或将三种方法结合使用．①列表法：优点是能明显地显现出自变量与对应的函数值,缺点是取值有限；②图象法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质,缺点是求得的函数值是近似的；③解析法：优点是简明扼要、规范准确,并且可以根据解析式列表、画图象,进而研究函数的性质；缺点是有些函数无法写出解析式,只能列出表格或画出图象来表示．[例4] 你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水,乌鸦想喝,但是嘴够不着瓶中的水,于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度随石子的增多而上升,乌鸦喝到了水．但是还没解渴,瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度,乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中,水面又上升,乌鸦终于喝足了水,哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x ,瓶中水面的高度为y ,下面能大致表示上面故事情节的图象是< >．5.怎样判定函数关系<1>从关系式判定函数由函数的定义知道,在某个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 每一个确定的值,y 都有且只有一个值与之对应,当x 取不同的值时,y 的值可以相等也可以不相等,但如果一个x 的值对应着两个不同的y 值,那么y 一定不是x 的函数．根据这一点,我们可以判定一个关系式是否表示函数．<2>从表格中判定函数根据函数的定义知道,从表格中理解函数仍然是先看是否只有两个变量,再看对于变量x 每一个确定的值,y 是否都有唯一的值和它对应,也就是说x 若取相同的值,y 必须是相同的值．<3>从图象上判定函数根据函数的定义知道,每一个x 值只能对应唯一的一个y 值,因此要判断哪些图形表示的是函数,只要在所给的自变量的取值范围内任作一条垂直于x 轴的直线,若直线与所给图形只有一个交点,则说明这个图形表示的是函数,若交点不止一个,则一定不是函数．[例5－1] 下列表格中能反映y 是x 的函数的是< >．A x －1 1 2 3 －1 y 0 2 4 8 10B x 0 1 2 3 0 y －2 2 3 4 6C x 2 2 2 2 2 y －1 0 1 1 3D x －1 1 2 3 4 y 0 2 4 8 10[例5－2] y x 6.如何判断同一函数学习了函数的概念,判断两个函数是否表示同一函数要看它们是不是满足以下三个条件：<1>自变量的取值范围完全相同．<2>函数值的取值范围完全相同．<3>变形后,两个函数的解析式是一致的,即自变量和函数的对应关系完全相同．如果两个函数满足以上三个条件,那么它们是同一函数．解答这类问题的关键是正确理解上述的三个条件．☆函数的自变量取值范围和解析式为函数的两个基本条件,判断两个函数是否相等的关键是看自变量取值范围和解析式.自变量取值范围和函数值分别相同的函数不一定是相等函数.[例6-1] 下列函数中,与y ＝x 表示同一个函数的是< >．A ．y ＝错误!B ．y ＝|x |C ．y ＝<错误!>2D ．y ＝错误![例6-2]下列各组函数中,哪些是同一函数：①y x =与1y x =+；②1,y x x =-为实数,与1,y x x =-为自然数；③24y x =-与22y x x =-+④11y x =+与11u x =+； ⑤2y x x =2y x =； ⑥2||y x =与2,02,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩； 7．函数图象的实际应用函数的图象是由点组成的,每个点都具有实际意义,利用函数的图象可以反映实际问题中的关系,同样通过观察函数的图象也可以得到关于实际问题的相关信息．可以说,函数的图象是我们解决实际问题的有效手段和重要的工具．解决函数图象选择问题的关键是在阅读反映实际问题的文字语言的同时,对图象进行观察、分析,获取有效的解题信息．解答这类问题主要是利用数形结合的思想分析问题、解决问题．[例7]父亲节,学校"文苑"专栏登出了某同学回忆父亲的小诗："同辞家门赴车站,别时叮咛语千万,学子满载信心去,老父怀抱希望还．"如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离,横轴t表示离家的时间,那么下面与上述诗意大致吻合的图象是< >．………………………………………………………………………………◆4.2一次函数与正比例函数1．一次函数的定义若两个变量x,y之间的关系式可以表示成y＝kx＋b<k,b为常数,k≠0>的形式,则称y是x的一次函数<x是自变量>．谈重点一次函数的条件函数是一次函数必须符合下列两个条件：<1>关于两个变量x,y的次数是1；<2>必须是关于两个变量的整式．[例1]下列函数中,是一次函数的是< >．A．y＝7x2B．y＝x－9 C．y＝错误! D．y＝错误!2．正比例函数的定义对于一次函数y＝kx＋b,当b＝0,即y＝kx<k为常数,且k≠0>时,我们称y是x的正比例函数．辨误区一次函数与正比例函数的关系需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况,特殊之处在于b＝0,且k≠0,因此,正比例函数一定是一次函数,但一次函数并不一定是正比例函数．[例2]下列函数中,是正比例函数的是< >．A．y＝－2x B．y＝－2x＋1 C．y＝－2x2D．y＝－错误!辨误区正比例函数的判断要判断一个函数是否是正比例函数,首先看它是否为一次函数,也就是能否转化为y＝kx ＋b<k≠0>的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数,函数解析式能否转化为y＝kx<k≠0>的形式．3．根据条件列一次函数关系式列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法,解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题,抓住关键词,找出问题中的变量并用字母表示,然后根据题意列出函数关系式．点技巧如何列函数关系式列关系式时,一定要先知道两个变量,并且弄清谁是自变量．[例3] 甲、乙两地相距30 km,某人从甲地以每小时4 km的速度走了t h到达丙地,并继续向乙地走．<1>试分别确定甲、丙两地距离s1<km>及丙、乙两地距离s2<km>与时间t<h>之间的函数关系式．<2>它们是什么函数．4．一次函数与正比例函数的联系与区别若两个变量x,y之间的关系可以表示成y＝kx＋b<k,b为常数,k≠0>的形式,则称y是x 的一次函数,特别地当b＝0时,称y是x的正比例函数,显然正比例函数是一次函数,而一次函数不一定是正比例函数,正比例函数是一次函数的特殊情况．区别：①正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限,但一次函数一般不经过原点,通常情况下要经过三个象限．__①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b＝0时,一次函数转化为正比例函数,因此正比例函数是一次函数的特例．[例4－1]在下列函数中,x是自变量,哪些是一次函数？哪些是正比例函数？<1>y＝3x；<2>y＝错误!；<3>y＝－3x＋1；<4>y＝x2.[例4－2] 已知正比例函数中自变量每增加一个单位,函数值就减少2个单位,求函数的解析式．5．用一次函数解决实际问题函数与我们的生活息息相关,生活中的许多问题可以通过函数得以解决,如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系式,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式．辨误区写解析式,定自变量的范围通常确定一个函数,不仅要确定这个函数的解析式,还要确定这个函数的自变量的取值范围．[例5] 一天老王骑摩托车外出旅游,刚开始行驶时,油箱中有油9 L,行驶了1 h后发现已耗油1.5 L.<1>求油箱中的剩余油量Q<L>与行驶的时间t<h>之间的函数关系式,并求出自变量t的取值范围；<2>如果摩托车以60 km/h的速度匀速行驶,当油箱中的剩余油量为3 L时,老王行驶了多少千米？………………………………………………………………………………◆4.3一次函数的图象1．函数的图象对于一个函数,我们把它的自变量x与对应的变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描出它的对应点,所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象．谈重点函数图象与点的坐标的关系<1>函数图象上的任意点P<x,y>必满足该函数关系式．<2>满足函数关系式的任意一对x,y的值,所对应的点一定在该函数的图象上．<3>判定点P<x,y>是否在函数图象上的方法是：将点P<x,y>的坐标代入函数表达式,如果满足函数表达式,这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的表达式,这个点就不在函数的图象上．[例1] 判断下列各点是否在函数y＝2x－1的图象上．A<2,3>, B<－2,－3>．2．函数图象的画法画函数图象的一般步骤：<1>列表：列表给出自变量与函数的一些对应值,通常把自变量x的值放在表的第一行,其对应函数值放在表的第二行,其中x的值从小到大．<2>描点：以表中每对对应值为坐标,在平面直角坐标系内描出相应的点．描点时一般把关键的点准确地描出,点取得越多,图象越准确．<3>连线：按照自变量从小到大的顺序,把所描的点用平滑的曲线连接起来．释疑点平滑曲线的特点所谓的"平滑曲线",现阶段可理解为符合图象的发展趋势、让人感觉过渡自然、比较"平""滑"的线,实际上有时是直线．[例2] 作出一次函数y＝－2x－1的图象．分析：取几组对应值,列表,描点,连线即可．解：列表：x …－2－101…y …31－1－3…描点：以表中各组对应值作为点的坐标,在坐标系中描出相应的点．连线：把这些点连起来．注：一次函数y＝－2x－1的图象是直线,连线时,两端要露头．3.一次函数的图象和性质<1>一次函数的图象和性质①一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b<k≠0>的图象是一条直线．由于两点确定一条直线,因此画一次函数的图象,只要描出图象上的两个点错误!,过这两点作一条直线就行了．我们常常把这条直线叫做"直线y＝kx＋b"．②一次函数中常量k,b<k≠0>：直线y＝kx＋b<k≠0>与y轴的交点是<0,b>,当b＞0时,直线与y轴的正半轴相交；当b＜0时,直线与y轴的负半轴相交；当b＝0时,直线经过原点,此时一次函数即为正比例函数．一次函数y＝kx＋b中的k,决定了直线的倾斜程度,k的绝对值越大,则直线越接近y轴,反之,越靠近x轴．③一次函数y＝kx＋b<k≠0>的性质：当k＞0时,直线y＝kx＋b从左向右上升,函数y的值随自变量x的增大而增大；当k＜0时,直线y＝kx＋b从左向右下降,函数y的值随自变量x的增大而减小．<2>正比例函数的图象和性质①正比例函数的图象：一般地,正比例函数y＝kx<k是常数,k≠0>的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y＝kx.在画正比例函数y＝kx的图象时,一般是经过点<0,0>和<1,k>作一条直线．②正比例函数y＝kx的性质：当k＞0时,直线y＝kx经过第一、三象限,从左往右上升,即y随x的增大而增大；当k＜0时,直线y＝kx经过第二、四象限,从左往右下降,即y随x 的增大而减小．[例3－1]作出一次函数y＝－3x＋3的图象．[例3－2]若一次函数y＝<2m－6>x＋5中,y随x增大而减小,则m的取值范围是________．[例3－3]下图表示一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx<k,b是常数,且k≠0>图象的是< >．4．k,b的符号与直线所过象限的关系学习了一次函数y＝kx＋b<k≠0>,我们知道一次函数图象经过哪些象限是由k,b的符号决定的．一般分为四种情况：<1>k＞0,b＞0时,图象过第一、二、三象限；<2>k＞0,b＜0时,图象过第一、三、四象限；<3>k＜0,b＞0时,图象过第一、二、四象限；<4>k＜0,b＜0时,图象过第二、三、四象限．析规律 k,b的符号与直线的关系根据一次函数y＝kx＋b中k,b的符号可以确定图象所经过的象限；根据函数图象所经过的象限,可以确定k,b的符号．解决有关问题,应熟练把握k,b的符号与函数图象所经过象限的几个类型,并能灵活应用．[例4－1] 一次函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限,则正比例函数y＝kbx图象经过哪个象限？[例4－2]如图是一次函数y＝kx＋b的图象的大致位置,试分别确定k,b的正负号,并判断一次函数y＝<－k－1>x－b的图象所经过的象限．5.一次函数图象与坐标轴的交点一次函数的图象是直线,这条直线与x轴交于点错误!,与y轴交于点<0,b>．考查直线与两坐标轴的交点的问题常见的有三类：<1>判定直线所过的象限,一般给出函数关系式,判定直线经过哪几个象限或确定不经过哪个象限．<2>求直线的解析式,一般先设出函数关系式为y＝kx＋b<k≠0>,把已知的两点的坐标分别代入,求出k,b的值即可．<3>求两交点与坐标轴围成的三角形的面积,由于这个三角形是直角三角形,利用面积公式即可．[例5] 如图,已知直线y＝kx－3经过点M<－2,1>,求此直线与x轴,y轴的交点坐标,并求出与坐标轴所围的三角形的面积．6．关于一次函数的最值问题对于一般的一次函数,由于自变量的取值范围可以是全体实数,因此不存在最大、最小值<简称"最值">,但在实际问题中,因题目中的自变量受到实际问题的限制,所以就有可能出现最大值或最小值．求解这类问题,先分析问题中两个变量之间的关系是否适合一次函数模型,再在自变量允许的取值范围内建立一次函数模型．运用一次函数解决实际问题的关键是根据一次函数的性质来解答．除正确确定函数表达式外,利用自变量取值范围去分析最值是解题的关键．"在生活中学数学,到生活中用数学",是新课标所倡导的一个主旨之一,在考题中,有许多利用数学知识求解生活中的实际问题的试题,考查同学们利用所学知识求解实际问题的能力．[例6] 某报刊销售亭从报社订购晚报的价格是0.7元,销售价是每份1元,卖不掉的报纸可以以每份0.2元的价格退回报社,若每月按30天计算,有20天每天可卖出100份报纸,其余10天每天只能卖出60份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同,报亭每天从报社订购多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大？………………………………………………………………………………◆4.4一次函数的应用1．确定一次函数表达式<1>借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点,若过原点,则为正比例函数,可设其关系式为y＝kx<k≠0>；若不过原点,则为一次函数,可设其关系式为y＝kx＋b<k≠0>；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数,只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数,则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中,求出其中的k,b,即可确定出其关系式．<2>确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件①由于正比例函数y＝kx<k≠0>中只有一个未知系数k,故只要一个条件,即一对x,y的值或一个点的坐标,就可以求出k的值,确定正比例函数的表达式．②一次函数y＝kx＋b<k≠0>有两个未知系数k,b,需要两个独立的关于k,b的条件,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点的坐标或两对x,y的值．[例1]如图,直线AB对应的函数表达式是< >．A．y＝－错误!x＋3 B．y＝错误!x＋3 C．y＝－错误!x＋3 D．y＝错误!x＋3点技巧用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数,故应设成y＝kx＋b<k≠0>的形式,再将A,B两点坐标代入该关系式,即可求出k,b,从而确定出具体的关系式．2．待定系数法<1>定义：先设出式子中的未知系数,再根据条件求出未知系数,从而写出这个式子的方法,叫做待定系数法,其中的未知数也称为待定系数．<2>用待定系数法求解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x,y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中,得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程<组>,得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中,得到所求函数的解析式．[例2－1] 一次函数图象如图所示,求其解析式．[例2－2] 在直角坐标系中,一次函数y＝kx＋b的图象经过三点A<2,0>,B<0,2>,C<m,3>,求这个函数的表达式,并求m的值．解：根据题意,得2k＋b＝0①,b＝2, km＋b＝3②,把b＝2代入①,得2k＋2＝0,即k＝－1；把b＝2,k＝－1代入②,得m＝－1.故函数的表达式为y＝－x＋2.3．一次函数的实际应用<1>通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题,要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析,观察函数图象时,首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么,也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．释疑点函数图象中的特殊点观察图象获取信息时,一定要注意图象上的特殊点,这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．<2>一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数,它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点,这部分内容在中考中占有重要的地位．谈重点函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中,当自变量的取值范围受到一定的限制时,函数y＝kx＋b<k≠0>的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析,其图象可能是射线、线段或折线等等．[例3－1]甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y<m>与挖掘时间x<h>之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题：<1>乙队开挖到30 m时,用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了__________ m.<2>请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式．<3>当x为何值时,甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？[例3－2] 某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给国有出租车公司的月费用是y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象<两条射线>如图,观察图象回答下列问题：<1>每月行驶的路程在什么范围内时,租国有出租车公司的车合算？<2>每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同？<3>如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km,那么这个单位租哪家车合算？析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中,当取相同的自变量时,下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．4．一次函数和一元一次方程的关系当一次函数y＝kx＋b<k≠0>中的函数值为0时,可得0＝kx＋b即kx＋b＝0,这在形式上变成了求关于x的一元一次方程,也就是说,当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；若从图象上来看,则可看做函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标,即为方程kx＋b＝0的解．由此可见,方程与函数是密不可分的．[例4] 某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验,实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y<L>与行驶时间t<h>的关系如下表,与行驶路程x<km>的关系如下图．请你根据这些信息求A行驶时间t<h>012 3油箱余油量y<L>1008468525一次函数y＝kx＋b<k≠0>的图象可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到<当b ＞0时,向上平移；当b＜0时,向下平移>．实际上就是指一次函数y＝kx＋b的图象沿y轴平移时,在b的位置上按照"上加下减"的规律进行．如：一次函数l1：y＝错误!x＋2的图象可以看做是由正比例函数l：y＝错误!x的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到的；一次函数l2：y＝错误!x－2的图象可以看做是由正比例函数l：y＝错误!x的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到的．思考：函数图像左右移动解析式如何变化呢？[例5] 如图所示,将直线OA向上平移1个单位长度,得到一个一次函数的图象,那么这个一次函数的解析式是__________．析规律平移中的函数解析式解决平移问题可以对性质进行记忆直接运用,也可以找出平移后借助坐标系运用待定系数法求解．平移前后k的值不变,改变的是b的值．6.函数、方程和不等式的完美结合从"数"的角度看,由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0<a,b为常数,且a≠0>的形式,所以解一元一次方程可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值为0时,求相应的自变量的值；反之,求自变量x为何值时,一次函数y＝ax＋b的值为0,只要求出方程ax＋b＝0的解即可．由于任何一元一次不等式都可以转化为类似ax＋b＞0或ax＋b＜0的形式,所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值大<小>于0时,求自变量相应的取值范围；反之,求一次函数y＝ax＋b的值何时大<小>于0时,只要求出不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集即可．从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出,三者最终能用函数观点统一起来,并且达到一种完美的结合,这种结合,又常常在一些考题中得以体现．。
八年级上册数学一次函数
八年级上册数学一次函数
八年级上册数学的主要内容包括一次函数的概念、性质和应用。
以下是一次函数的基本知识点：
1. 一次函数的概念：一次函数是指形式为y = kx + b的函数，其中k和b为常数，且k不等于0。
2. 斜率和截距：在一次函数中，k被称为斜率，它表示函数图像在x轴上的变化率。
b被称为截距，它表示功能图像与y轴的交点。
3. 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，具有特定的斜率和截距。
当斜率为正数时，函数图像呈现上升的趋势；当斜率为负数时，函数图像呈现下降的趋势。
4. 平行和垂直线：在一次函数中，具有相同斜率的函数图像是平行的；具有斜率的倒数的函数图像是垂直的。
5. 解一次方程：一次函数可以用来解决一次方程，即求解形式为kx + b = 0的方程。
解方程的方法有多种，如逆运算法、代入法和图像法等。
6. 解一次不等式：一次函数也可以用来解决一次不等式，即求解形式为kx + b > 0或kx + b < 0的不等式。
解不等式的方法与解方程类似，但需要注意不等号的方向性。
7. 应用于实际问题：一次函数可以应用于实际问题，如速度与时间的关系、成本与产量的关系等。
通过建立一次函数的数学模型，可以对问题进行分析和解决。
以上是八年级上册数学中关于一次函数的主要内容，你可以根据这些知识点进行学习和练习。
如果有具体的问题，请随时向我提问。
(最新整理)初二数学一次函数知识点总结全面
初二数学一次函数知识点总结全面编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初二数学一次函数知识点总结全面）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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、将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线，.．李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行进, 中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校,李老师加快了速度,仍保持匀速行进,如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y （千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示．一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3）, 那么这个一次函数的解析式为）1A．y=—2x+3 B．y=-3x+2 C．y=3x-2 D．y=x-323．(12分）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便,他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题:（1)农民自带的零钱是多少？（2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？24．（10分）如图所示的折线ABC 表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象．（1）写出y与t 之间的函数关系式．（2）通话2分钟应付通话费多少元？通话7分钟呢？。