算法导论求n个点的最小距离

算法导论求n个点的最小距离

2010-01-20 17:23

在中文算法导论649页

算法：

0：把所有的点按照横坐标排序

1：用一条竖直的线L将所有的点分成两等份

2：递归算出左半部分的最近两点距离d1，右半部分的最近两点距离d2，取

d=min(d1,d2)

3：算出“一个在左半部分，另一个在右半部分”这样的点对的最短距离d3。4：结果＝min(d1,d2,d3)

关键就是这第3步。貌似这需要n^2的时间，把左边每个点和右边每个点都对比一下。其实不然。秘密就在这里。

首先，两边的点，与分割线L的距离超过d的，都可以扔掉了。

其次，即使两个点P1,P2（不妨令P1在左边，P2在右边）与分割线L的距离（水平距离）都小于d，如果它们的纵坐标之差大于d，也没戏。

就是这两点使得搜索范围大大减小：

对于左半部分的，与L的距离在d之内的，每个P1来说：右半部分内，符合以上两个条件的点P2最多只有6个！

原因就是：

d是两个半平面各自内，任意两点的最小距离，因此在同一个半平面内，任何两点距离都不可能超过d。

我们又要求P1和P2的水平距离不能超过d，垂直距离也不能超过d，在这个d*2d 的小方块内，最多只能放下6个距离不小于d的点。

因此，第3步总的比较距离的次数不超过n*6。

第3步的具体做法是：

3.1 删除所有到L的距离大于d的点。 O(n)

3.2 把右半平面的点按照纵坐标y排序。 O(nlogn)

3.3 对于左半平面内的每个点P1，找出右半平面内纵坐标与P1的纵坐标的差在d以内的点P2，计算距离取最小值，算出d3。 O(n*6) = O(n)

因为3.2的排序需要O(nlogn)，

所以整个算法的复杂度就是O(n((logn)^2))。

改进：

我们对3.2这个排序的O(nlogn)不太满意。

既然整个算法是递归的，我们可以利用第2步的子递归中已经排好序的序列，在第3.2部归并这两个子列，这样3.2的复杂度变成了O(n)。

这样，整个算法就是O(nlogn)的。

代码如下: VC6.0下编译通过

#include "stdafx.h"

#include

#include

#include

#define MAX 10000

typedefstruct point{

intx,y;

}POINT;

double delta = MAX ;

inttotalnum;

POINT mem_p1,mem_p2;

int cmx(const void *a,const void *b) //比较x坐标

{

return ((POINT *)a)->x-((POINT *)b)->x;

}

intcmy(const void *a,const void *b) //比较y坐标

{

return ((POINT *)a)->y-((POINT *)b)->y;

}

double min(double p1,double p2)

{

return p1>p2?p2:p1;

}

double dist(POINT s1,POINT s2) //求两点的距离

{

double dx = s1.x-s2.x;

double dy = s1.y-s2.y;

return sqrt(dx*dx + dy*dy);

}

void rec_cl_pair(POINT a[],inti,int j)

{

double temp,xx;

int k;

if(j-i<3)//小于或等于三个点的时候可以直接求得最小距离

{

qsort(a+i,j-i+1,sizeof(a[0]),cmy);//按Y坐标从小到大排列 xx = dist(a[i],a[i+1]);//两个点的距离

if(j-i==1)//只有两个点的时候直接返回

{

if(xx

{

mem_p1 = a[i];

mem_p2 = a[i+1];

delta = xx;

}

return;

}

double t = dist(a[i+1],a[i+2]); //有三个点的情况

if(t

{

mem_p1 = a[i+1];

mem_p2 = a[i+2];

delta = t;

}

t = dist(a[i],a[i+2]);

if(t

{

mem_p1 = a[i];

mem_p2 = a[i+2];

delta = t;

}

return;

}

k=(i+j)/2;

double middle=a[k].x;//中线点

rec_cl_pair(a,i,k);//求左边点的最小距离

rec_cl_pair(a,k+1,j);//求右边点的最小距离

int t=0;

POINT v[100];

for(k=i;k<=j;k++)

{

if(a[k].x>middle-delta && a[k].x < middle+ delta)

{

t++;

v[t] = a[k];//存入离中线距离小于delta的点

}