高一数学必修一基本初等函数教案
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基本初等函数
一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：
①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若
a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作
)0(>±a a n
②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n
=； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)
0()
0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念
①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *
；2）)0(10≠=a a ；
n 个 3）∈=-p a
a
p p
(1
Q ，4）m a a a n m n m
,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a
a a s
r s
r
,0(>=⋅+、∈s Q ）
； 2）r a a a s
r s
r ,0()(>=⋅、∈s Q ）； 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r
r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
（3）．对数的概念
①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b
=，那么数b 称以a 为底N 的
对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；
2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：
1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；
3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a
N
a =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N
M
a a a
log log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ） ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a
1）1log log =⋅a b b a ；2）b m
n
b a n
a m log log =
。 2．指数函数与对数函数 （1）指数函数：
①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；
3）当10<a 时函数为增函数。 ②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；
3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x
x
a y a y -==与的图象关于y 轴对称
③函数值的变化特征：
（2）对数函数：
①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ；
3）当10<a 时函数为增函数；
4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数 ②函数图像：
1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；
2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<a 时，图象向下无限接近y 轴）；
4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a
a 1log log ==与的图象关于x 轴对称。
③函数值的变化特征：
（3）幂函数 1）掌握5个幂函数的图像特点
2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数
3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1） 当a>0时过（0，0）
4）幂函数一定不经过第四象限
四．【典例解析】 题型1：指数运算
例1．（1）计算：25.021
21
32
5.032
0625.0])32.0()02.0()008.0()9
45()833[(÷⨯÷+---；
（2）化简：
5332
33
23
23323
134)2(248a
a a a a
b a
a
ab b b a a ⋅⋅⨯
-÷++--
。 解：（1）原式=4
1
32
21
32
)10000
625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+-
92
2)2917(21]10
24251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=； （2）原式=
5
131212
13231312
313
13
12
31
3
3133131)()
(2)
2()2()(])2()[(a a a a a
b a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷
+⋅+- 23
23
16
1653
13
13
131312)2(a a a a a
a b
a a
b a a =⨯⨯=⨯
-⨯
-=。
点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。
例2．（1）已知112
2
3x x
-+=，求
22332
2
23
x x x x
--+-+-的值
解：∵1
12
2
3x x -
+=，∴112
2
2()9x x -
+=，
∴1
29x x
-++=，∴17x x -+=，
∴12
()49x x -+=，∴2247x x -+=，
又∵331112
2
2
2
()(1)3(71)18x x x x x x -
-
-+=+⋅-+=⋅-=， ∴
22332
2
2472
3183
3
x x x x
--+--=
=-+-。
点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。