2018-2019学年湖南省常德市市直学校九年级(下)期中数学试卷详细答案与答案解析

2018-2019学年湖南省常德市市直学校九年级（下）期中数学试卷一．选出唯一（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1. −2的相反数是( )A.2B.−2C.12D.−122. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ） A.B. C. D.3. 截至2016年底，国家开发银行对“一带一路”沿线国家累计发放贷款超过1600亿美元，其中1600亿用科学记数法表示为（ ）A.16×1010B.1.6×1010C.1.6×1011D.0.16×10124. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A.x 2−2＝0B.x 2−2x ＝0C.x 2+2＝0D.x 2−2x +1＝05. 下列说法中正确的是（ ）A.一个游戏的中奖概率是10%，则做10次这样的游戏一定会中奖B.为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式C.若甲组数据的方差S 甲2＝0.01，乙组数据的方差S 乙2＝0.1，则乙组数据比甲组数据稳定D.一组数据8，3，7，8，8，9，10的众数和中位数都是86. 反比例函数y =kx （k 为不等于0的常数）的图象如图所示，以下结论错误的是（ ）A.k >0B.若点M (1, 3)在图象上，则k ＝3C.在每个象限内，y 的值随x 值的增大而增大D.若点A(−1, a)，B(2, b)在图象上，则a <b7. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )A.AB =ADB.AC ⊥BDC.AC =BDD.∠BAC =∠DAC8. 我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90∘圆弧P 1P 2̂，P 2P 3̂，P 3P 4̂，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线（如图），已知点P 1(0, 1)，P 2(−1, 0)，P 3(0, −1)，则该折线上的点P 9的坐标为（ ）A.(−6, 24)B.(−6, 25)C.(−5, 24)D.(−5, 25) 二．填上最爱（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）计算a ⋅(a 2)3＝________．若使二次根式√2x − 4有意义，则x 的取值范围是________．如图，点D 在∠AOB 的平分线OC 上，点E 在OA 上，ED // OB ，∠1＝25∘，则∠AED 的度数为________∘．分解因式：________3−4________=________．分式方程2x−1=3x的解为________．如图，AB是⊙O直径，∠AOC＝140∘，则∠D＝________．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(−1, 1)，顶点B在第一象限，若点B在直线y＝kx+3上，则k的值为________．如图，在平面直角坐标系中，直线l:y=√33x−√33与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2018的横坐标是________22018−12．三．倾诉所想（本大题10个小题，满分72分）计算：(π−2018)0−|−√2|⋅cos45∘+(13)−2解不等式组{3+4(x−1)>−9x+32>x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．先化简，再求值：x−3x2−1÷x−3x2+2x+1−(1x−1+1)，其中x＝4．一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2），1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是________（2）先从中任意摸出一个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了________名学生；在扇形统计图中，表示“QQ ”的扇形圆心角的度数为________；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？如图，CD 是⊙O 的直径，CB 是⊙O 的弦，点A 在CD 的延长线上，过点C 作CE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，且CB 平分∠ACE ．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）若BE ＝3，CE ＝4，求⊙O 的半径．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方2√3米处的点C 出发，沿坡角为30∘的斜坡CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37∘，量得仪器的高DE 为1.5米．已知A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，AB ⊥BC ，AB // DE ．求旗杆AB 的高度．（参考数据：sin 37∘≈35，cos 37∘≈45，tan 37∘≈34，计算结果保留根号）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE＝DC，点F是DE与AC的交点．（1）求证：∠BDE＝∠ACD；（2）若DE＝2DF，过点E作EG // AC交AB于点G，求证：AB＝2AG；（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．①求证：AB⋅BE＝AD⋅BC；②若DE＝4DF，请直接写出S△ABC:S△DEC的值．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2−2x+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、B的坐标分别为(−1, 0)，(3, 0)，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与直线BC相交于点E．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当△PBC的面积最大时，请求出P点的坐标和△PBC的最大面积；（3）点Q是线段BD上的一动点，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，是否存在点Q使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BQ的长，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2018-2019学年湖南省常德市市直学校九年级（下）期中数学试卷一．选出唯一（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1.【答案】A【考点】相反数【解析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【解答】解：根据相反数的定义，−2的相反数是2．故选A.2.【答案】B【考点】中心对称图形【解析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．3.【答案】C【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】1600亿用科学记数法表示为1.6×1011，4.【答案】C【考点】根的判别式【解析】根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根，从而可以解答本题．【解答】A 、△＝0−4×1×(−2)＝8>0，此方程有两不相等实数根；B 、△＝(−2)2−4×1×0＝4>0，此方程有两不相等实数根；C 、△＝0−8＝−8<0，此方程没有实数根；D 、原方程配方得(x −1)2＝0，此方程有两相等的根．5.【答案】D【考点】众数方差中位数概率的意义全面调查与抽样调查【解析】直接利用该概率的意义以及众数、中位数的定义和方差的意义分别分析得出答案．【解答】A 、一个游戏的中奖概率是10%，则做10次这样的游戏一定会中奖，说法错误；B 、为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用抽样调查的方式，故此选项错误；C 、若甲组数据的方差S 甲2＝0.01，乙组数据的方差S 乙2＝0.1，则甲组数据比乙组数据稳定，故此选项错误；D 、一组数据8，3，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8，正确．6.【答案】C【考点】反比例函数的性质反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数的图象【解析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．【解答】∵ 反比例函数的图象位于一、三象限，∴ k >0故①正确；当点M (1, 3)在图象上时，代入可得k ＝3，故②正确；当反比例函数的图象位于一、三象限时，在每一象限内，y 随x 的增大而减小， 故③错误；将A(−1, a)，B(2, b)代入y =k x 中得到，得到a ＝−k ，b =12k ，∵k>0∴a<b，故④正确，7.【答案】C【考点】菱形的判定平行四边形的性质等腰三角形的性质平行线的性质【解析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．【解答】解：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时▱ABCD是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、∠BAC=∠DAC时，∵▱ABCD中，AD // BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴▱ABCD是菱形．∴∠BAC=∠DAC时命题正确．故选C.8.【答案】B【考点】规律型：图形的变化类规律型：数字的变化类规律型：点的坐标【解析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，所以P9的坐标为(−6, 25).故选B.二．填上最爱（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）【答案】a7【考点】同底数幂的乘法幂的乘方与积的乘方根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可求解．【解答】a⋅(a2)3＝a⋅a6＝a7．【答案】x≥2【考点】二次根式有意义的条件【解析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式√2x − 4有意义，∴2x−4≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2.【答案】50【考点】平行线的性质【解析】根据平行线的性质得到∠3＝∠1，根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，等量代换得到∠2＝∠3，由三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】∵ED // OB，∴∠3＝∠1，∵点D在∠AOB的平分线OC上，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴∠AED＝∠2+∠3＝50∘，【答案】x,x,x(x+2)(x−2)【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3−4x，=x(x2−4)，=x(x+2)(x−2)．故答案为：x；x；x(x+2)(x−2).【答案】x＝3【考点】解分式方程【解析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可．方程两边都乘以x(x−1)得：2x＝3(x−1)，解得：x＝3，检验：∵当x＝3时，x(x−1)≠0，∴x＝3是原方程的解，∴原方程的解为x＝3，【答案】20∘【考点】圆周角定理【解析】先利用邻补角的定义计算出∠BOD，然后根据圆周角定理求解．【解答】∵∠AOC＝140∘，∴∠BOC＝180∘−140∘＝40∘，∴∠D=1∠BOC＝20∘．2【答案】−2【考点】正方形的性质一次函数图象上点的坐标特点【解析】先求出B点坐标，再代入直线y＝kx+3，求出k的值即可．【解答】∵正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(−1, 1)，∴B(1, 1)．∵点B在直线y＝kx+3上，∴1＝k+3，解得k＝−2．【答案】22018−1．2【考点】等边三角形的性质一次函数图象上点的坐标特点【解析】先根据直线l:y =√33x −√33与x 轴交于点B 1，可得B 1(1, 0)，OB 1＝1，∠OB 1D ＝30∘，再过A 1作A 1A ⊥OB 1于A ，过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ，过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ，根据等边三角形的性质以及含30∘角的直角三角形的性质，分别求得A 1的横坐标为21−12，A 2的横坐标为22−12，A 3的横坐标为23−12，进而得到A n 的横坐标为2n −12，据此可得点A 2018的横坐标． 【解答】 由直线l:y =√33x −√33与x 轴交于点B 1，可得B 1(1, 0)，D(0, −√33)， ∴ OB 1＝1，∠OB 1D ＝30∘，如图所示，过A 1作A 1A ⊥OB 1于A ，则OA =12OB 1=12， 即A 1的横坐标为12=21−12，由题可得∠A 1B 2B 1＝∠OB 1D ＝30∘，∠B 2A 1B 1＝∠A 1B 1O ＝60∘，∴ ∠A 1B 1B 2＝90∘， ∴ A 1B 2＝2A 1B 1＝2，过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ，则A 1B =12A 1B 2＝1， 即A 2的横坐标为12+1=32=22−12，过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ，同理可得，A 2B 3＝2A 2B 2＝4，A 2C =12A 2B 3＝2，即A 3的横坐标为12+1+2=72=23−12，同理可得，A 4的横坐标为12+1+2+4=152=24−12，由此可得，A n 的横坐标为2n −12，∴ 点A 2018的横坐标是22018−12，三．倾诉所想（本大题10个小题，满分72分）【答案】 原式＝1−√2×√22+9＝9．【考点】 实数的运算特殊角的三角函数值 零指数幂零指数幂、负整数指数幂【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】原式＝1−√2×√22+9＝9．【答案】{3+4(x−1)>−9x+32>x+1，解不等式①得：x>−2，解不等式②得：x<1，则不等式组的解集为−2<x<1，它的解集在数轴上表示出来为：【考点】解一元一次不等式组在数轴上表示不等式的解集【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集，再把它的解集在数轴上表示出来即可．【解答】{3+4(x−1)>−9x+32>x+1，解不等式①得：x>−2，解不等式②得：x<1，则不等式组的解集为−2<x<1，它的解集在数轴上表示出来为：【答案】原式=x−3(x+1)(x−1)×(x+1)2x−3=1x−1，当x＝4时，原式=13．【考点】分式的化简求值【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】原式=x−3(x+1)(x−1)×(x+1)2x−3=1x−1，当x＝4时，原式=13．【答案】12列表如下：所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能，则P（两次摸到红球）=212=16．【考点】概率公式列表法与树状图法【解析】（1）根据4个小球中红球的个数，即可确定出从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次都摸到红球的情况数，即可求出所求的概率．【解答】4个小球中有2个红球，则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是12；故答案为：12；列表如下：所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能，则P（两次摸到红球）=212=16．【答案】100,108∘喜欢用短信的人数为：100×5%＝5人喜欢用微信的人数为：100−20−5−30−5＝40补充图形，如图所示：喜欢用微信沟通所占百分比为：40100×100%＝40%∴该校共有1500名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%＝600人．【考点】用样本估计总体条形统计图扇形统计图【解析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用QQ的百分比即可求出QQ的扇形圆心角度数．（2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图．（3）用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计1500名学生中喜欢用微信进行沟通的人数即可求出答案．【解答】∵喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，∴此次共抽查了：20÷20%＝100人喜欢用QQ沟通所占比例为：30100=310，∴QQ”的扇形圆心角的度数为：360∘×310=108∘，故答案为：100、108∘．喜欢用短信的人数为：100×5%＝5人喜欢用微信的人数为：100−20−5−30−5＝40补充图形，如图所示：喜欢用微信沟通所占百分比为：40100×100%＝40%∴该校共有1500名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%＝600人．【答案】解：(1)设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依题意有{2x=3y，3x−2y=1500，解得{x=900，y=600.答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；(2)设销售甲种商品a万件，依题意有900a+600(8−a)≥5400，解得a≥2．答：至少销售甲种商品2万件．【考点】二元一次方程组的应用——销售问题一元一次不等式的实际应用【解析】（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；（2）可设销售甲种商品a万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依题意有{2x=3y，3x−2y=1500，解得{x=900，y=600.答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；(2)设销售甲种商品a万件，依题意有900a+600(8−a)≥5400，解得a≥2．答：至少销售甲种商品2万件．【答案】连接OB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵CB平分∠ACE，∴∠OCB＝∠ECB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB // CE，∵CE⊥AB，∴OB⊥AE，∴直线AB是⊙O的切线；连接DB，∵∠E＝90∘，BE＝3，CE＝4，∴BC＝5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90∘，∴∠DBC＝∠E，∵∠DCB＝∠BCE，∴△BCD∽△ECB，∴BCCE =CDBC，∴54=CD5，∴CD=254，∴⊙O的半径=258．【考点】圆周角定理切线的判定与性质【解析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据角平分线的定义得到∠OCB＝∠ECB，根据平行线的性质得到OB⊥AE，于是得到结论；（2）连接DB，根据勾股定理得到BC＝5，根据圆周角定理得到∠DBC＝90∘，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】连接OB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵CB平分∠ACE，∴∠OCB＝∠ECB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB // CE，∵CE⊥AB，∴OB⊥AE，∴直线AB是⊙O的切线；连接DB，∵∠E＝90∘，BE＝3，CE＝4，∴BC＝5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90∘，∵∠DCB＝∠BCE，∴△BCD∽△ECB，∴BCCE =CDBC，∴54=CD5，∴CD=254，∴⊙O的半径=258．【答案】旗杆AB的高度为(3√3+3.5)m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】过点E作EF⊥AB于点F，延长ED交BC于点G，根据余弦的定义求出CG，根据正切的定义求出AF，结合图形计算，得到答案．【解答】过点E作EF⊥AB于点F，延长ED交BC于点G，在Rt△CDG中，∠DCG＝30∘，∴GD=12CD＝2，CG＝CD⋅cos∠DCG＝2√3，∴BG＝CB+CG＝4√3，在Rt△AFE中，AF＝EF⋅tan∠AEF＝3√3，∴AB＝AF+BF＝3√3+3.5，【答案】证明：∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠B，∵DC＝DE，∴∠ACD+∠ACB＝∠B+∠BDE，∴∠BDE＝∠ACD；证明：如图1，∵EG // AC，∴∠DAC＝∠DGE，∠BEG＝∠ACB，由（1）知：∠DCA＝∠BDE，∵DC＝DE，∴△DCA≅△EDG(AAS)，∴AD＝EG，∵∠B＝∠ACB＝∠BEG，∴EG＝BG＝AD，∴DG＝AB，∵DE＝2DF，AF // EG，∴DEDF =DGAD=2，∴DG＝2AD＝2AG，∴AB＝DG＝2AG；①如图2，过点E作EG // AC，交AB的延长线于点G，则有∠A＝∠G，∵AB＝AC，CD＝DE，∴∠ACB＝∠ABC，∠DCE＝∠DEC，∴∠ACD+∠DCE＝∠EDG+∠DEC，∴∠ACD＝∠EDG，在△DCA和△EDG中，∵{∠ACD=∠EDG∠A=∠GCD=DE，∴△DCA≅△EDG(AAS)．∴DA＝EG，∵AC // EG，∴△ACB∽△GEB，∴ACEG =BCBE，∵EG＝AD，AC＝AB，∴AB⋅BE＝AD⋅BC；②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH // PD，∵AF // EG，∴AFEG =ADDG=DFDE，∵DE＝4DF，∴AFEG =ADDG=14，设AF＝a，则EG＝AD＝4a，DG＝16a，∵∠ACB＝∠ABC，∴∠GBE＝∠BEG，∴BG＝EG＝4a，∴BD＝12a，∵AH // PD，∴PDAH =BDAB=12a16a=34，设PD＝3ℎ，AH＝4ℎ，∵EG // AC，∴BGAB =BEBC=4a16a=14，设BE＝y，BC＝4y，∴S△ABC=12BC⋅AH=4y⋅4ℎ2=16yℎ2=8yℎ，S△DCE=12CE⋅PD=5y⋅3ℎ2=152yℎ，∴S△ABC:S△DEC＝8yℎ:152yℎ＝16:15．【考点】三角形综合题【解析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题．（2）如图1，证明△DCA≅△EDG(AAS)，得AD＝EG，根据等腰三角形的判定得：DG＝AB，由平行线分线段成比例定理得：DEDF =DGAD=2，由此可得结论；（3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA≅△EDG(AAS)，得DA＝EG，再证明△ACB∽△GEB，列比例式可得结论；②如图3，作辅助线，构建△ABC和△DCE的高线，先得AFEG =ADDG=14，设AF＝a，则EG＝AD＝4a，DG＝16a，根据AH // PD，得PDAH =BDAB=12a16a=34，设PD＝3ℎ，AH＝4ℎ，根据EG // AC，同理得BGAB =BEBC=4a16a=14，设BE＝y，BC＝4y，利用三角形面积公式代入可得结论．【解答】证明：∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠B，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∴∠ACD+∠ACB＝∠B+∠BDE，∴∠BDE＝∠ACD；证明：如图1，∵EG // AC，∴∠DAC＝∠DGE，∠BEG＝∠ACB，由（1）知：∠DCA＝∠BDE，∵DC＝DE，∴△DCA≅△EDG(AAS)，∴AD＝EG，∵∠B＝∠ACB＝∠BEG，∴EG＝BG＝AD，∴DG＝AB，∵DE＝2DF，AF // EG，∴DEDF =DGAD=2，∴DG＝2AD＝2AG，∴AB＝DG＝2AG；①如图2，过点E作EG // AC，交AB的延长线于点G，则有∠A＝∠G，∵AB＝AC，CD＝DE，∴∠ACB＝∠ABC，∠DCE＝∠DEC，∴∠ACD+∠DCE＝∠EDG+∠DEC，∴∠ACD＝∠EDG，在△DCA和△EDG中，∵{∠ACD=∠EDG∠A=∠GCD=DE，∴△DCA≅△EDG(AAS)．∴DA＝EG，∵AC // EG，∴△ACB∽△GEB，∴ACEG =BCBE，∵EG＝AD，AC＝AB，∴AB⋅BE＝AD⋅BC；②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH // PD，∵AF // EG，∴AFEG =ADDG=DFDE，∵DE＝4DF，∴AFEG =ADDG=14，设AF＝a，则EG＝AD＝4a，DG＝16a，∵∠ACB＝∠ABC，∴∠GBE＝∠BEG，∴BG＝EG＝4a，∴BD＝12a，∵AH // PD，∴PDAH =BDAB=12a16a=34，设PD＝3ℎ，AH＝4ℎ，∵EG // AC，∴BGAB =BEBC=4a16a=14，设BE＝y，BC＝4y，∴S△ABC=12BC⋅AH=4y⋅4ℎ2=16yℎ2=8yℎ，S△DCE=12CE⋅PD=5y⋅3ℎ2=152yℎ，∴S△ABC:S△DEC＝8yℎ:152yℎ＝16:15．【答案】∵ 点A 与点B 关于直线x ＝1对称， ∴ B(3, 0)，设抛物线解析式为y ＝a(x +1)(x −3)， 把C(0, −3)代入得−3a ＝−3，解得a ＝1，∴ 抛物线就笑着说为y ＝(x +1)(x −3)＝x 2−2x −3， ∵ y ＝(x −1)2−4，∴ 抛物线顶点D 的坐标为(1, −4)；（1）y ＝x 2−2x −3，C(0, −3)； 设点P(m, m 2−2m −3)，易得直线BC 的解析式为y ＝x −3， 如图1，过P 作PG // y 轴交直线BC 与G ， ∴ G(m, m −3)，∴ S △PBC ＝S △CPG +S △PBG =12m(m −3−m 2+2m +3)+12(3−m)(m −3−m 2+2m +3)，∴ s △BPC =−32m 2+92m =−32(m −32)2+278，∴ 当m =32时，△PBC 的最大面积为278，P(32, −154)； 存在．直线x ＝1交x 轴于F ，BD =√22+42=2√5，①如图3，EQ ⊥DB 于Q ，△DEQ 沿边EQ 翻折得到△D′EQ ， ∵ ∠EDQ ＝∠BDF ，∴ Rt △DEQ ∽Rt △DBF ， ∴ DQDF =DEBD ，即DQ4=2√5，解得DQ =4√55， ∴ BQ ＝BD −DQ ＝2√5−4√55=6√55； ②如图4，ED′⊥BD 于H ，∵ ∠EDH ＝∠BDF ，∴ Rt △DEQ ＝H ∽Rt △DBF ， ∴ DHDF =DEDB =EHBF ，即DH 4=25=EH 2，解得DH =4√55，EH =2√55， 在Rt △QHD′中，设QH ＝x ，D′Q ＝DQ ＝DH −HQ =4√55−x ，D′H ＝D′E −EH ＝DE −EH ＝2−2√55， ∴ x 2+(2−2√55)2＝(4√55−x)2，解得x ＝1−√55， ∴ BQ ＝BD −DQ ＝BD −(DH −HQ)＝BD −DH +HQ ＝2√5−4√55+1−√55=√5+1；③如图5，D′Q ⊥BC 于G ，作EI ⊥BD 于I ，由①得EI =2√55，BI =6√55， ∵ BE =√22+22=2√2， ∴ BG ＝BE −EG ＝2√2−2√55， ∵ △DEQ 沿边EQ 翻折得到△D′EQ ，∴ ∠EQD ＝∠EQD′， ∴ EG ＝EI =2√55，∵ ∠GBQ ＝∠IBE ， ∴ △BQG ∽△BEI ， ∴BQ BE=BG BI，即2√2=2√2−2√556√55，∴ BQ =4√53−2√23， 综上所述，当BQ 为6√55或√5+1或4√53−2√23时，将△DEQ 沿边EQ 翻折得到△D′EQ ，使得△D′EQ 与△BEQ 的重叠部分图形为直角三角形．【考点】二次函数综合题【解析】（1）利用抛物线的对称性得到B(3, 0)，则设交点式为y ＝a(x +1)(x −3)，把C(0, −3)代入求出a 即可得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式即可得到D 点坐标；（2）设P(m, m 2−2m −3)，先确定直线BC 的解析式y ＝x −3，根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论；（3）存在．直线x ＝1交x 轴于F ，利用两点间的距离公式计算出BD ＝2√5，分类讨论：①如图3，EQ ⊥DB 于Q ，证明Rt △DEQ ∽Rt △DBF ，利用相似比可计算出结果；②如图4，ED′⊥BD 于H ，证明Rt △DEQ ＝H ∽Rt △DBF ，利用相似比和勾股定理即可得到结果；③如图5，D′Q ⊥BC 于G ，作EI ⊥BD 于I ，根据相似三角形的性质和翻折的性质即可得到结论． 【解答】∵ 点A 与点B 关于直线x ＝1对称， ∴ B(3, 0)，设抛物线解析式为y ＝a(x +1)(x −3)， 把C(0, −3)代入得−3a ＝−3，解得a ＝1，∴ 抛物线就笑着说为y ＝(x +1)(x −3)＝x 2−2x −3， ∵ y ＝(x −1)2−4，∴ 抛物线顶点D 的坐标为(1, −4)；（1）y ＝x 2−2x −3，C(0, −3)； 设点P(m, m 2−2m −3)，易得直线BC 的解析式为y ＝x −3， 如图1，过P 作PG // y 轴交直线BC 与G ， ∴ G(m, m −3)，∴ S △PBC ＝S △CPG +S △PBG =12m(m −3−m 2+2m +3)+12(3−m)(m −3−m 2+2m +3)，∴ s △BPC =−32m 2+92m =−32(m −32)2+278，∴ 当m =32时，△PBC 的最大面积为278，P(32, −154)；存在．直线x ＝1交x 轴于F ，BD =√22+42=2√5，①如图3，EQ ⊥DB 于Q ，△DEQ 沿边EQ 翻折得到△D′EQ ， ∵ ∠EDQ ＝∠BDF ，∴ Rt △DEQ ∽Rt △DBF ， ∴ DQDF =DEBD ，即DQ4=2√5，解得DQ =4√55， ∴ BQ ＝BD −DQ ＝2√5−4√55=6√55； ②如图4，ED′⊥BD 于H ， ∵ ∠EDH ＝∠BDF ，∴ Rt △DEQ ＝H ∽Rt △DBF ， ∴ DHDF =DEDB =EHBF ，即DH 4=2√5=EH 2，解得DH =4√55，EH =2√55， 在Rt △QHD′中，设QH ＝x ，D′Q ＝DQ ＝DH −HQ =4√55−x ，D′H ＝D′E −EH ＝DE −EH ＝2−2√55，∴ x 2+(2−2√55)2＝(4√55−x)2，解得x ＝1−√55， ∴ BQ ＝BD −DQ ＝BD −(DH −HQ)＝BD −DH +HQ ＝2√5−4√55+1−√55=√5+1；③如图5，D′Q ⊥BC 于G ，作EI ⊥BD 于I ，由①得EI =2√55，BI =6√55， ∵ BE =√22+22=2√2， ∴ BG ＝BE −EG ＝2√2−2√55， ∵ △DEQ 沿边EQ 翻折得到△D′EQ ， ∴ ∠EQD ＝∠EQD′， ∴ EG ＝EI =2√55， ∵ ∠GBQ ＝∠IBE ，∴ △BQG ∽△BEI ， ∴BQ BE=BG BI，即BQ2√2=2√2−2√556√55，∴ BQ =4√53−2√23， 综上所述，当BQ 为6√55或√5+1或4√53−2√23时，将△DEQ 沿边EQ 翻折得到△D′EQ ，使得△D′EQ 与△BEQ 的重叠部分图形为直角三角形．。