第四章 线性空间 S1 线性空间的概念

1
0
b1 ,n r
,nr
br
,n
r
0
.
0
1
为齐次线性方程组的一个基础解系.
17
2.齐次线性方程组通解
k11 k22 knr nr
其中k1, k2 , , knr是任意常数. 3.非齐次线性方程组通解
X 0 k11 k22 knr nr
其中k1, k2 , , knr是任意常数. X0 是一特解.
复习线性方程组的解法
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2
a2n xn b2
(1)
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
1. 有解的条件 定理1 非齐次线性方程组(1)有解的充要条件是，
系数矩阵与增广矩阵的秩相同，即
rA rB
源自文库
xr1 1 0
0
令
xr2
0
,
1
,
,
0
.
xn 0 0
1
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得
x1
b11
,
b12
,
,
b1 ,n r
,
xr br1 br2
br
,n
r
b11
故
br
1
1 1 ,
0
0
b12
br
2
2 0 ,
kf (x) C[a,b] (k R)
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综合上面几个例子，可以得到
所考虑的对象虽然完全不同，但是它们都有一个 共同点，那就是它们都有加法和数量乘法两种运算。 当然，随着对象不同，这两种运算定义也不同。
为了抓住它们的共同点，把它们统一起来 研究，因而引入线性空间的概念。
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线性空间的定义
定义1. 设V 是一个非空集合，F是一个数域， 在集合V 中定义元(元素)之间的加法运算，使
数的代数性质.
定义：数域是指这样的数的集合：它至少包含0和1 两个数，且对数的加、减、乘、除（除数不为零） 四则运算是封闭的（即所得结果仍在该集合中）.
用 F(或P) 泛指一般的数域。
Q（有理数），R（实数），C（复数）
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二、线性空间的定义
•几个例子
解析几何中，二（三）维向量及其运算 ： 向量的基本属性：可以按平行四边形规律相
因此，X1, X 2 , , X s 的一切线性组合构成线性 方程组的解集合.
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基础解系的定义
定义 齐次线性方程组解集合的极大线性无关子组 称为该齐次线性方程组的一个基础解系.
注：
1) 仅当 rA n 时，才有基础解系。
2) 基础解析不只一个，但每个基础解系所含向 量的个数相同.
3) 若 X1, X2, , X s 是一个基础解系，则通解可
2
2．矩阵消元法
可以通过方程组的初等变换来化简方程组， 使之成为同解的方程组，从而简化求解过程.
线性方程组的初等变换：
用一非零数乘某一方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程； 互换两个方程的位置.
线性方程组可以用增广矩阵来代表， 对线性方程组的初等变换就相当于对其增 广矩阵进行初等行变换.
3
7
（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则
x k1 Ax 0
也是
的解．
证明 A(k1 ) kA(1 ) k0 0.
证毕.
齐次线性方程组若干个解的任意线性组合仍是
Ax＝0的解. 即： 设 X1, X2, …, Xs为解，则
s
j X j
j 1
( 1,2 , ,s 为任意数)
也为原方程组的解.
得任意α,β∈V ，都有α+β∈V ；在F与V的元之 间定义一个数量乘法运算，使得任意k∈F及 a∈V ，都有 ka∈V 。并且加法和数量乘法满
足下列运算规律，则称V为数域F上的线性空间。 【按所定义的线性运算构成数域F上的线性空 间（或者向量空间）】简称V是F上的线性空间， V 的元称为向量.
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的“+”和“·”不同.
• 要证明某非空集合V 对于给定的两种运算能构成数 域F上的线性空间，需逐条验证“+”和“·”的封闭 性及运算规律(1)—(8)成立；要否定某非空集合V 对于给定的两种运算不能构成数域F上的线性空间， 只须说明加法或数乘运算不封闭，或(1)—(8)中有 一条不满足即可.
• 给定V及F，一般可用多种不同的方法定义出不同的 线性空间.
得到：
若用初等行变换把方程组(1)的增广矩阵B化 成 程矩组阵(1)B的1，同则解以方B程1为组增。广矩阵的线性方程组是方
写出(1)的增广矩阵B
B 初等行变换 B1
rA rB ?
N
Y
无解
rA rB n?
N
Y
无穷解(解依赖n－r个参量) 唯一解
4
小结
非齐次线性方程组 Ax
R(A) ≠R(B) Ax 无解; R(A) R(B) n Ax 有唯一解; R(A) R(B) n Ax β 有无穷多解.
实数域R上的线性空间简称为实空间，复数域C上的
线性空间简称为复空间.
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说明:
• 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性 运算．
• 向量空间中的向量不一定是有序数组． • 要点：给定非空集合V 和数域F，定义两种运算“+”
和“·”，且满足运算规律(1)－(8). • 线性空间中的加法“+”与数量乘法“·”可以与通常
最简形
1
0
b11
b1 ,n r
0 A~
0
1
br1
br
,nr
0
0 0
15
（2）得出 R(A) r，同时也可知方程组的一
个基础解系含有n r 个线性无关的解向量．
由于
Ax
0
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr br1 xr1 br ,nr xn
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例3. 定义在区间[a,b] 上全体实连续函数， 关于通常函数的加法及实数与函数的数量 乘法，构成一个实线性空间，记为C[a,b].
例4. n元实系数齐次线性方程组的全体解向量（Rn 的一个子集合），按照n维向量的加法及它与实 数的乘法两种运算也构成一个实线性空间，称 为齐次线性方程组的解空间. 特别，当齐次线性 方程组只有零解时，它的解空间只有一个元— —零元，只有零元的空间称为零空间.
设 a、、 V，、 F
(1) a a
(2) (a ) a ( )
(3) 0V，对a V，都有a 0 a
(4) a V， V，都有a 0,
称为a的负元，记做 a。
(5) 1a a
(6) (a ) a
(7) ( )a a a
(8) (a ) ()a
(1)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
矩阵形式 Ax＝0
6
解的性质
（1）若x 1 , x 2 为 Ax 0 的解，则 x 1 2
也是 Ax 0 的解.
证明 A1 0, A2 0
A(1 2 ) A1 A2 0 0 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
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第一节 线性空间的概念
§4.1.1 线性空间的定义和例子
一．数域
下面的方程有解吗？
x2 + 1 = 0
•在自然数、整数、有理数、实数范围内无解. •在复数范围内有解：0±i
可见，在不同的讨论范围内，得到的回答不一样.
常见讨论范围：有理数的全体，实数的全体， 复数的全体.
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• 在代数中，常把有共同性质的对象一起讨论. • 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为
X * k1X1 k2 X2 成立. 于是
knr Xnr
X X 0 k1 X1 k2 X 2 knr X nr
(3)
这说明，任何齐次线性方程组(1)的任何一个解都
可表成(3)的形式.
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而所有具有(3)形式的向量，即当 k1, k2 , , knr 任意取值时，显然都是非齐次线性方程组的(1)解.
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例5 实(复)数域按本身的加法和乘法构成自身上的一 个线性空间.
例6 次数等于n(n≥1)的实系数多项式的全体，对于多 项式的加法和数量乘法，能否构成数域R上的线 性空间?
解： xn V , xn 1V ， 但
xn ( xn 1) 1V
∴V 对加法运算不封闭，从而V 对于指定的 运算不构成R上的线性空间.
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例1.实数域R上的全体m n矩阵，对于矩阵的加法 和数乘运算构成R上的线性空间，记作R mn （或M mn ( R)）.
例2.所有次数不超过n(n是自然数)的实系数多项式的 全体，关于通常多项式的加法以及实数与多项式的 乘法构成一个实线性空间，记作Pn[ x]. 即： Pn[ x] { p( x) a0 a1x an xn | a0,a1, ,an R }
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当 rA rB r n 时，导出组(2)有基础解系： X1, X2, , Xnr
设 X0为非齐次线性方程组(1)的一个特解.
再设X为非齐次线性方程组(1)的任一个解向量.
由上面分析可得 X * X X0 是导出组的解，故可以用
导出组的基础解系线性表出， 即存在一组数
k1 , k2 , , knr 使得
可表示为：k1 X1 k2 X 2 ks X s
(k1, k2 , , ks任意取值)
10
§3.3.2 非齐次线性方程组解的结构
设非齐次线性方程组为
AX＝b
(1)
如果将常数项b换成零向量，则得到的齐次线性方程组
AX＝O
(2)
称为AX＝b的导出组.
设 X1, X2 为(1)的两个解，X 3为(1)的导出组(2)的一
1
定理2 充分性的证明过程也是解线性方程组的一般 规则. 当r<n时，解向量依赖于n-r个参数.
因而方程组(1)有无穷多解. 当r＝n时方程
组(1)只有唯一解. 定理3 非齐次线性方程组 (1)：
当 rA rB 时，无解；
当 rA rB n 时，有唯一解；
当 rA rB n 时有无穷多解.
定理1 把非齐次线性方程组的一个特解X0 加到它的 导出组的每个解向量上，就得到非齐次线性 方程组的全部解向量，并可表示为
X X 0 k1 X1 k2 X 2 knr X nr
其中 k1, k2 , , knr是任意常数.
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小结
１．齐次线性方程组基础解系的求法
（1）对系数矩阵 A进行初等变换，将其化为
30
例7 判别下列集合是否为向量空间
V2{x(1 x2 xn)T | x2 xnR }
解： V2不是向量空间
因为若a(1 a2 an)T V2 则2a(2 2a2
2an)T V2
例8. 问当 b 0 时，非齐次的线性方程组Ax=b的解
加，也可以与实数作数量乘法. 不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的
这两种运算来描述的.
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所有n阶实矩阵：也定义了加法和数量乘法
( ) ( ) ( ) aij bij aij bij
( ) ( ) k aij kaij
n维向量作为特殊的矩阵，也有类似运算规律.
定义在区间[a, b]上的连续函数的全体构成集合 C[a,b]: f (x), g(x) C[a,b] 有 f (x) g(x) C[a,b]
4． 线性方程组解的情况
AX 有解 R( A) n
(此时基础解系中含有n R(A)个解向量)
R(A) R(B) n AX 有唯一解
R(A) R(B) n AX 有无穷解
R(A) R(B) AX 无解 18
第四章 线性空间
本章主要讨论线性空间的一些基 本概念与基本定理，在此基础上使大 家能利用这些基本概念与定理解决相 关问题.
个解. 则
AX1 b, AX2 b, AX 3 O
从而
A( X1 X 2 ) AX1 AX 2 b b O
A( X1 X 3 ) AX1 AX 3 b O b
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即
➢非齐次线性方程组(1)的两个解的差是对应 导出组(2)的解；
➢非齐次线性方程组(1)的解与导出组(2)的解 的和仍是(1)的解。
齐次线性方程组 Ax 0
R(A) n Ax 0只有零解; R(A) n Ax 0有非零解.
5
预备概念：
解集合：一个线性方程组的全体解向量构成的集合.
§3.3.1齐次线性方程组的基础解系
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1 a22 x2
a2n xn 0
8
当 rA n 时，齐次线性方程组的解集合有无穷
个解向量. 但此集合一定存在极大线性无关子组.
例如 设 X1, X2 , , X s 是其一个极大线性无关子组.
则有： (1) 解集合中任一个向量必可用 X1, X2 , , X s 线性表出. (2) X1, X2 , , X s的任意线性组合都是Ax＝0的解.