6.4(3)三边对应成比例判定法
初二数学相似三角形性质[人教版]
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直角三角形相似判定的情况
除以上5种方法外，还有：
1.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 三角形相似。
2.如果一个三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么着两个直角三角形相似。
1.下列命题正确的是（ ）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形 相似。
1080
∵∠ABC=∠DBC ∠BDC=∠BCA
1080
31
0
310
∴△ABC∽△CBD
1.下列命题正确的是（ D ）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形 相似。
B. △ABC的三边长为3，4，5. △A’B’C’的三边为 a+3,a+4,a+5.则△ABC∽ △A’B’C’。
C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们 的相似比为1.
D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
2.过矩形ABCD的顶点A作对角线AC的垂线 分别与CB,CD的延长线交于E,F.则图中与 △ABC相似的三角形（ ）C。
A.4个
C
B 7个E
A
F
相似三角形的性质：
1.对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应高的比，对应 中线的比，对应角平分线的比， 周长的比都等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似 比的平方.
相似三角形
开封市金明区杏花营中学 李晓淑
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似 三角形. 三角形相似判定：
1.对应角相等，对应边成比例。
2.预备定理：平行于三角形一边的直线和 其他两边（或两边的延长线）相交，所构 成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。
相似三角形的判定口诀
相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
三边对应成比例，两个三角形相似。
三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。
(简叙为：全等三角形相似)。
新苏科版九年级下册初中数学 6-4 探索三角形相似的条件 教案
6.4 探索三角形相似的条件（1）教学目标： 1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论，学会灵活应用；2．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力． 教学重点：探索“见平行，得相似”的相关结论． 教学难点：成比例的线段中对应线段的确定． 教学过程：活动一：如图，画三条互相平行的直线l 1、l 2、l 3，再任意画2条直线 a 、b ，使 a 、b 分别与l 1、l 2、l 3相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．探索新知： 活动一：提出问题（1）度量所画图中AB 、BC 、DE 、EF 的长度，并计算对应线段的比值，你有什么发现？ （2）如果任意平移l 3，再度量AB 、BC 、DE 、EF 的长度．这些比值还相等吗？活动二：如图，在△ABC 中， 点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，△ADE 与△ABC 有什么关系？问题1：的设置仅说明当平行于三角形一边的直线与其他两边相交时，所构成的三角形与原三角形相似．与其他两边的延长线、反向延长线相交的情况由学生思考、解答．a ba bba得出结论：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似．尝试交流：1．如果再作MN∥DE，共有多少对相似三角形？2．如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于点O，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个？请你写出来．拓展延伸如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC．（1）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果AD＝1，DB＝3，那么DG∶BC＝_____．课堂小结通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？6.4探索三角形相似的条件（2）教学目标：1．探索“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法；2．运用三角形相似解决有关问题；3．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．教学重点：掌握“两角分别相等的两个三角形相似”．教学难点：1．“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法的探究证明；2．会准确地运用判定方法判定三角形是否相似．教学过程：回顾思考：1．判定两个三角形全等有哪些方法？2．如果要判定两个三角形是不是相似，是否一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？3．我们学过哪种判定三角形相似的方法？探索新知：如图，小明用一张纸遮住了3个三角形的一部分，你能画出这3个三角形吗？提出问题：（1）如图，如果∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，那么第一个三角形与第二个三角形全等吗？为什么？如图，如果∠A＝∠E，∠B＝∠F，2AB＝EF，那么第一个三角形与第三个三角形相似吗？如果把2AB＝EF改为3AB＝EF呢？创设情境，引导学生积极思考，小组合作，带领学生画图探究．关于三角形相似的判定“两角对应相等的两个三角形相似”的证明尽量通过两种方法，培养学生合情推理和说理的能力．通过操作使学生感悟到只要满足∠A＝∠E，∠B＝∠F的条件，两个三角形就能相似．两种方法的证明培养学生合情推理和说理的能力．得出结论:两角分别相等的两个三角形相似．尝试交流:例1、如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝50°，∠B＝∠B′＝60°，∠C′＝70°，△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高．找出图中所有的相似三角形．练习1、判断下列说法是否正确？并说明理由．（1）所有的等腰三角形都相似．( )（2）所有的等腰直角三角形都相似．( )（3）所有的等边三角形都相似．( )（4）所有的直角三角形都相似．( )（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似．( )（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似．( )练习2、如图，在△ABC中BD⊥AC，AE⊥BC，图中一定和△BDC相似的三角形有几个? 它们分别是哪些三角形？EOA D拓展延伸:过△ABC （∠C＞∠B）的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC 相似，这样的直线有几条？请把它们一一作出来．课堂小结:通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？6.4 探索三角形相似的条件（3）教学目标:1．探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法，并能运用解题；2．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力． 教学重点:掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．教学难点: 1．“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法的证明； 2．能恰当地运用判定方法判定三角形是否相似． 教学过程: 回顾思考:我们学过哪些判定三角形相似的方法？ 探索新知:如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A ＝∠A'， ．能判断△ABC 与△A'B'C' 相似吗？ 提出问题：如果把21换成其他数值，再试一试． 已知： ，∠A ＝∠A'． 求证：△ABC ∽△A'B'C'．关于三角形相似的判定方法“ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证明，通过操作、观察、探索等合情推理活动，使学生感悟到判断三角形相似的条件． 得出结论两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．尝试交流1．如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠B ＝∠E ，要 使△ABC ∽△DEF ，需要添加什么条件？12A B A C AB AC ''''==ABAC k A B A C ==''''2．如图，△ABC与△A'B'C'相似吗？有哪些判断方法？3．如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm．（1）在AB上取一点D，当AD＝______时，△ACD ∽△ABC；（2）在AC的延长线上取一点E，当CE＝时，△AEB ∽△ABC；此时，BE与DC有怎样的位置关系？为什么？拓展延伸有一池塘，周围都是空地．如果要测量池塘两端A、B间的距离，你能利用本节所学的知识解决这个问题吗？课堂小结通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问BC'B'A'CBA6.4 探索三角形相似的条件（4）教学目标: 1．掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法，并能解决简单的问题； 2．经历两个三角形相似判定的探索过程，体验用类比得出数学结论的过程． 教学重点:掌握“三边成比例的两个三角形相似”．教学难点: 1．“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法的证明； 2．会准确地运用判定方法判定三角形是否相似． 教学过程:（1）判定两个三角形全等有哪些方法？（2）如果要判定两个三角形是否相似，是否一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ （3）我们学过哪些判定三角形相似的方法？ 探索新知:由三角形全等的SSS 判定方法，我们想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？提出问题：如何证明这个命题是真命题？关于三角形相似的判定方法“三边成比例的两个三角形相似”， 得出结论:三角形相似的判定方法：三边成比例的两个三角形相似．尝试交流:1．，试说明∠BAD ＝∠CAE . 如图已知 AEACDE BC AD AB = =2．△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，△ABC与△DEF相似吗？为什么？3．根据下列条件，判断△ABC和△A'B'C'是否相似，并说明理由．AB＝3，BC＝5，AC＝6，A'B'＝6，B'C'＝10，A'C'＝12．题2也可以用判定方法“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．拓展延伸:要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，6，8．另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几种答案？课堂小结:通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？6.4探索三角形相似的条件（5）教学目标: 1．理解黄金三角形、三角形重心的概念；2．运用黄金三角形、三角形重心的结论解决实际问题．教学重点:对黄金三角形、三角形重心的理解．教学难点:三角形三条中线相交于一点的证明．教学过程:回顾思考:1．如何判定两个三角形是否相似？2．什么叫黄金分割？探索新知:1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC 的角平分线．（1）△ABC与△BDC 相似吗？为什么？（2）判断点D是否是AC的黄金分割点，并说明理由．2．如何证明三角形的三条中线相交于一点？题2也可以用面积法证．假设中线CF与BE相交于点G，延长AG与BC相交于点D，可证△AFG、△BFG、△AGE、△CGE 面积都相等，再证△BDG与△DCG面积相等（同底等高三角形），推出BD＝DC，即D是BC的中点．得出结论：1．我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形．黄金△ABC 它具有如下的性质： （1）0.618BCAB； （2）设BD 是△ABC 的底角的平分线，则△BCD 也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点； （3）如再作∠C 的平分线，交BD 于点E ，则△CDE 也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形．2．三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍．新知应用1．如图，正五边形ABCDE 的5条边相等，5个内角也相等． （1）找找看，图中是否有黄金三角形？ （2）点F 分别是哪些线段的黄金分割点？A B H F GNM ED C精品文档精心整理2．已知：△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，AD与中线BE相交于点G，AD＝18，GE＝5，求BC的长．课堂小结通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？。
三角形相似与位似
知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。
平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3可得等.EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C 由DE ∥BC 可得：.此推论较原定理应AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定三
A1
B
C
B1
C1
由勾股定理，得
BC
BC BC
AB 2 AC 2 , BC
A B 2 A C 2 .
AB 2 AC 2 k 2 AB 2 k 2 AC 2 kBC k. BC BC BC
BC AB AC . BC A B A C
∴Rt △ABC∽Rt △A'B'C'.
知识要点
判定三角形相似的定理
H L
√
如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
A
A1
用数学符号表示：
在Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1中
B
A
D
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
两直角三角形相似只需要一对锐角相等即可。
C
常用的相等的角： ∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD 常用的成比例的线段：
A
BC BD AB
2
D
B
CD 2 AD DB AC 2 AD AB
AC BC AB CD
通过以上相似，你能得到哪些线段是其余某些线段的比例中 项？ 即： 1、AC2=AD.AB 2、BC2=BD.AD 3、CD2=AD.BD （射影定理）内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角 边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边 在斜边上的射影和斜边的比例中项。
所以一对儿直角三角形相似只需要一对儿锐角相等即可
''
A
B
C A′
用数学符号表示：
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
(完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档
相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC， （2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CEEF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
6.4.3 探索三角形相似的条件——“两边成比例且夹角相等”苏科版数学九年级下册教案
两边成比例且夹角相等教学目标知识目标：1．使学生了解“识别三角形相似的条件2”的说明思路与方法，并掌握应用这个条件解决有关问题．2．通过这个条件的引出进一步提高学生对类比数学思想方法的理解．3．了解通过以比例形式、等角形式寻找一对三角形相似的论证过程．能力目标：4．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．情感目标：5．渗透几何证明的统一美和简洁美教学重点、难点：1．重点是使学生掌握这个识别条件，会运用它们判定三角形相似．2．难点是对判定条件2作一种辅助线思路的进一步巩固，以及讨论这种类型题的审题及书写格式．教学方法：引导-----类比-----讨论-----发现．教学过程：（一）细心观察，大胆猜想用多媒体展示一个三角形通过放大镜不同倍率的放大得到的三角形。
×2×3×4提问：所得三角形边长、角发生了怎么样的变化？与原三角形相似吗？让学生猜想如果一个三角形的两条边分别是另一个三角形两条边的k倍，并且夹角相等，那么这两个三角形是否相似？下面我们一起进行进一步的探索，同学们要积极的去想象、思考。
（二）科学验证，得出新知用动画演示的方式，师生共同探讨证明的方法： 三角形相似的条件（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．符号语言：在△ABC 和△A ´B ´C ´中∵ ，∠B' ＝∠B∴ △A ´B ´C ´∽△ABC上述识别方法中的“角”一定是两对应边的夹角吗？【操作】让学生动手操作，画两个三角形△ABC 和△A’B’C’ ，符合如下要求：利用几何花板演示所画的三角形，让学生直观地感觉到两个三角形不一定相似。
两边对应成比例且一边的对角对应相等的两三角形不一定相似。
（三）学以致用，体验成功A ´B ´C ´A B C C″B ″试一试（1）：如图，一个纸板△ABC ，AB ＝4，AC ＝3，E 为AB 中点，请你在边AC 上找一点F ，用剪刀沿着EF 剪开，所得三角形与原△ABC 相似。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
两个直角三角形相似的判定
一直角三角形的三边分别为3，4， 5，另一直角三角形的两边分别为6， 8，则这两个直角三角形相似。
（ ×）
例1、 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90° ，AC=a，BC=b，当BD与a，b之间满足怎 样的关系式时，△ABC∽△CDB？
∠B= ∠两角对应相等，两三角形相似。 B' 定理3： ∠A= ∠A' ∠B= ∠B' △ABC∽△A'B'C'
B
C
一、知识回顾
2．判定两个直角三角形全等的方法
有哪些？
▲判定直角三角形全等除“SAS”，“ASA”， “ AAS”“SSS”方法外，还有“HL”的方法，即有斜 边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等． 思考：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形是否相似呢？
随堂练习 2．已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，CD，C′D′分 别是两个三角形斜边上的高，且 CD∶C′D′=AC∶A′C′
请说明：△ABC∽△A′B′C′．
3.如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E是 BC上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC， 求证：(1) AE是∠CAB的平分线； (2) AB•AF＝AC•AE。
直角三角形相似的判定
A
A′
c b
B
a
∟
C
B′
C′
一、知识回顾
1、相似三角形的判定定理： 定理1：三边对应成比例，两三角形相似。
AB BC CA △ABC∽△A'B'C' B' A' B' B' C' C' A'
九年级数学上册《三条边对应成比例的两个三角形相似》优秀教学案例
本案例中，教师关注学生的个体差异，针对不同层次的学生布置难易适度的习题。这种差异化教学策略使每个学生都能在课堂上找到适合自己的学习节奏，提高学习效果。
5.反思与评价相结合，促进学生的自主学习
本案例强调反思与评价的重要性，教师通过课堂观察、学生自评和互评等多种方式，全面评估学生的学习效果。这种评价方式有助于学生认识到自己的优点和不足，培养自我反思、自主学习的习惯，为学生的终身学习打下坚实基础。
此外，我还会要求学生在课后进行自我反思，总结自己在课堂上的收获和不足，为下一节课的学习做好准备。通过这样的方式，使学生在完成作业的过程中，进一步巩固和深化对相似三角形性质的理解。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设
本教学案例的最大亮点之一是紧密联系学生的生活实际，通过展示校园内外的三角形物体，引导学生从生活中发现数学问题。这种情景创设使得学生对相似三角形的概念有了更直观、生动的认识，激发了他们的学习兴趣，提高了课堂的吸引力。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论的环节，我会将学生分成小组，每组挑选一道具有代表性的习题进行讨论。讨论过程中，学生需要共同分析问题，探讨解题思路，并尝试用相似三角形的性质来解决问题。
我会在各组之间巡回指导，提供必要的帮助和提示，鼓励学生发表自己的观点，倾听他人的意见，通过合作交流，共同解决问题。
（四）总结归纳
（二）过程与方法
1.通过观察、发现、讨论等教学活动，培养学生独立思考、合作交流的能力。
2.引导学生运用已学的几何知识和方法，探索相似三角形的性质，培养学生的创新精神和实践能力。
3.通过解答例题、习题，让学生掌握相似三角形性质的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
4.鼓励学生将所学知识运用到实际生活中，培养学生的数学应用意识和实际操作能力。
相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)
相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。
相似比为k。
判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
ABCDDABCDABCEAB C D E推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
公开课：三边对应成比例
三边对应成比例的两个三角形相似.
已知:如图△ABC和△ ABC中,
AB AB
AC AC
BC BC
求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
B`
C`
A
D
E
B
C
判定定理3： 三边对应成比例的两三角形相似. A
几何语言： ∵ AB AC BC
复习回顾:
定义
判定方法
三角、三边对应相等 角边角
全等三角形 的两个三角形全等. （ASA）
角角边 边角边 边边边 （AAS） （SAS） （SSS）
相似三角形 三角对应相等，
三边对应成比例的 两个三角形相似.
平行于三角形一边的直线 和其他两边相交,所截的三 角形与原三角形相似.
有两个角对应相等的两三 角形相似.
8
6
F
12
E
(3)AB=3，BC=4，AC=6；
方法总结：把每个三角形的三
DE=6，EF=9，DF=12 边按大小顺序依次排列，然后
不相似
比较它们对应的比值是否相等
例2：如图,在6×6的正方形方格中,△ABC与△DEF
的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，
△ABC与△DEF相似吗?
若相似,请给出证明,若不
BC AC
=2厘米，，
A'C'
=3厘米
，B'C'
=4厘米.
还能回得答到下同面样的的问结论题吗：？
A 12cm
18cm
(1)分别计算
A' B' AB
,
B' C' BC
(完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档
相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
(4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
(5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
(6)判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ ABC 中，/ BAC=90 , AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)( AD) 2=BD- DC ( 2)( AB) 2=BD • BC ,22(3)( AC) =CD・ BC。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即 2 2(AB) + ( AC) = ( BC)2典型例题:例1 如图，已知等腰 △ABC 中，AB = AC , AD 丄BC 于D , CG II AB , BG 分别交AD , AC 于E 、F ，求证：BE 2=EF EG证明：如图，连结 EC ,v AB = AC , AD 丄BC ,•••/ ABC = Z ACB , AD 垂直平分 BC••• BE = EC ，/ 1 =Z 2，•/ ABC- / 1 =Z ACB- / 2 ,即/ 3 = Z 4，又 CG // AB ，•/ G = Z 3，•/ 4 = Z GCE EF又•••/ CEG = Z CEF , CEF GEC , • EG = CE • EC 2= EG- EF ，故 EB 2=EF -EG【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明•而 其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE , EF , EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
九年级数学下第6章6.4探索三角形相似的条件6.4.4用三边对应成比例判定三角形相似习题苏科版
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(2)若(1)中两三角形不相似，那么要使它们相 似，不改变AC的长，A′C′的长应改为多少？
解：当A′C′＝24 cm时，两三角形相似．
11 【2020秋·南京期中】如图，在4×4的正方形 网格中，每个小正方形的顶点称为格点， △ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方 形的格点上．
(1) 填 空 ： ∠ ABC ＝ __1_3_5____° ， BC ＝ ___2__2___；
故 x 的值可以为 5 或 7.
9 如图，O为△ABC内一点，点D、E、F分别是OA、 OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵在△OAB 中，点 D，E 分别是 OA， OB 的中点，∴DE 是△OAB 的中位线． ∴DABE＝12.同理EBFC＝12，DACF＝12.
∴DABE＝EBFC＝DACF，∴△DEF∽△ABC.
( B) A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
【点拨】设小正方形的边长均为 1，则 “帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的 三边长分别为 2，2 5，4 2.“车”与“炮”之间的
距离为 1，“炮”与②之间的距离为 5，“车”与
②之间的距离为 2
2，∵2
5 ＝2 54
22＝12，∴“马”
应落在②处．
【点拨】紧扣相似三角形对应点的不确定性， 应分情况讨论，分别求出另外两边的长．
4
如图，AADB＝DBCE＝AACE，则下列结论：①△ABC
∽△ADE；②AC 平分∠DAE；③∠AFB＝∠
AGE；④∠ABF＝∠ADE.
其中正确的有( B )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
九年级数学上册《三条边对应成比例的两个三角形相似》教案、教学设计
-结合直观演示法，利用几何画板等教学工具，形象直观地展示相似三角形的性质。
-采用小组合作、讨论交流等方式，培养学生的团队协作能力和口头表达能力。
2.教学过程：
-导入新课：通过一个实际生活中的问题，引出相似三角形的定义，让学生初步感知相似三角形的应用。
-各小组派代表进行汇报，展示他们的讨论成果。
2.教学目的：
-培养学生的团队协作能力和口头表达能力。
-加深学生对相似三角形性质的理解，拓展他们的思维。
（四）课堂练习
1.教学活动设计：
-设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成，巩固相似三角形的性质和判定方法。
-针对不同层次的学生，提供不同难度的题目，使他们在练习中提高。
-激发学生对相似三角形性质的好奇心，调动他们的学习兴趣。
-引导学生从生活中发现数学问题，体会数学与生活的紧密联系。
（二）讲授新知
1.教学活动设计：
-通过几何画板动态演示，让学生直观地观察并发现相似三角形的性质。
-结合教材，讲解相似三角形的定义，阐述三条边对应成比例的两个三角形相似的原因。
-通过具体例子，讲解相似三角形的判定方法，如SSS（Side-Side-Side）判定法。
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养他们的学习积极性。
2.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强他们的自信心。
3.通过相似三角形的学习，让学生感受到几何图形的美，提高他们的审美能力。
4.培养学生严谨、认真的学习态度，使他们认识到细节在数学学习中的重要性。
5.引导学生将数学知识与实际生活相结合，培养他们用数学眼光观察世界的能力。
3.案例分析：结合实际案例，让学生运用相似三角形的判定方法，解决具体问题。
九年级数学相似三角形性质
3.如图，梯形ABCD中AB∥CD, AB=a, BD=b, CD=c,若∠DBC=∠A,则a,b,c使方程 aX2-2bX+c=0有（ ）D C
A.没有实数根 B.有两个相等 实根 C.有两个不等 实根 D.以上都不对
A B
3.如图，梯形ABCD中AB∥CD, AB=a, BD=b, CD=c,若∠DBC=∠A,则a,b,c使方程 aX2-2bX+c=0有（ ） D C c
相似三角形
开封市金明区杏花营中学 李晓淑
定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似 三角形. 三角形相似判定： 1.对应角相等，对应边成比例。 2.预备定理：平行于三角形一边的直线和 其他两边（或两边的延长线）相交，所构 成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。 5.判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
2.过矩形ABCD的顶点A作对角线AC的垂线 分别与CB,CD的延长线交于E,F.则图中与 C △ABC相似的三角形（ ）。
A.4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
C D
B A F
E
相似三角形的性质：
1.对应角相等，对应边成比例. 2.相似三角形对应高的比，对应 中线的比，对应角平分线的比， 周长的比都等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似 比的平方.
直角三角形相似判定的情况 除以上5种方法外，还有：
1.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 三角形相似。 2.如果一个三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么着两个直角三角形相似。
Hale Waihona Puke 1.下列命题正确的是（）
三边成比例的判定方法-课件
8．如图，在1×5的正方形的网格上面有四边形ABCD，求 ∠BDC的度数．
解：由图知 AB＝ 2，AD＝1，BD＝ 5，BC＝5，DC＝ 10，
∴ABDD＝ 15，ADBC＝
2＝ 10
15，BBDC＝
55＝
15，∴ABDD＝ADBC＝BBDC，
∴△ABD∽△DCB，∴∠BDC＝∠BAD＝135°
9．(易错题)如图，已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，点P是 AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若想得到以A，P，Q为 顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为( B )
(1)试证明△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (3)画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格 点并且与△ABC相似．(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法 与证明)
解：(1)由题意得AB＝2，AC＝，BC＝5，∵AB2＋AC2＝BC2， ∴△ABC为直角三角形
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
A．3
B．3 或43
C．3 或34
4 D .3
10．如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；② △BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥ 中与①相似的是( B )
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6.4 探索三角形相似的条件（3） 【学习目标】 1、通过探索与交流，得出两个三角形只要具备三边对应成比例，即可判断两个三角形相似的方法； 2、尝试选择判断两个三角形相似的方法，解决生活中一些简单的实际问题；
3、经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力；
4、通过和三角形全等的条件类比，渗透类比的数学思想，并领会特殊与一般的关系。
【重点】掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”。
【难点】 1、“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法的探究的证明；
2、会准确地运用判定方法判定三角形是否相似。
【教学过程】
一、实践探索：
1．操作活动：如图，已知△ABC ．
⑴画△A ′B ′C ′，使得
2'
C 'B BC 'C 'A AC 'B 'A AB === ⑵比较∠A 与∠A ′的大小；
由此，你能判断△ABC 和△A ′B ′C ′相似吗？为什么？
⑶设
k '
C 'B BC 'C 'A AC 'B 'A AB ===，改变k 的值的大小，再试一试。
2．归纳总结得出此定理：三边__________的两个三角形相似．
符号语言：∵______________________，∴△______∽△______．
3．尝试练习
（1）一个三角形3边的长分别为4cm 、8cm 、6cm ，另一个三角形3边的长分别为12cm 、18cm 、24c m ．这两个三角形相似吗？为什么？
（2）说说图①～③中各边对三角形是否相似？为什么？
二、例题解析
例1 已知O 为△ABC 内的任意一点，点A'、B'、C '分别是线段OA 、OB 、OC 的中点，△A'B'C'与△ABC 相似吗？为什么？
例2 如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点F ，点E 在BD 上，且AD AC ED BC AE AB ==． （1）∠1=∠2相等吗？为什么？
（2）判断△ABE 与△ACD 是否相似，并说明理由．
变式：图中还有哪几对相似三角形？把它们分别表示出来，并说明理由。
三、课堂练习
1.在△ABC 与△DEF 中，若AB=12，BC=15，AC=24，DE=20，DF=40，EF=25，则△ABC 与△DEF__________ （填“相似”或“不相似”）；
2.∆ABC 的三边长分别为2，√2，√10，
∆A'B'C'的两边长分别为1和√5，当∆A'B'C'的第三边长为_____时，∆ABC ∽∆A'B'C'；
3.△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，△ABC 与△DEF 相似吗？为什么？。