伽罗瓦仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的着作
伽罗瓦小传
伽罗瓦小传作者：徐强来源：《初中生世界·七年级》2017年第08期伽罗瓦出生在巴黎近郊，父母都受过良好的教育，他从小由母亲在家里教育.除教授伽罗瓦各种基本知识以外，作为古代文化的爱好者，他母亲还把古希腊的英雄主义、浪漫主义灌输给儿子.伽罗瓦十二岁才进入学校学习.他的日常功课成绩平平，当他发现勒让德的《几何基础》这本书时，他被深深吸引了，据说他像读小说一样一口气读完了它，掌握了所有内容.然后他就开始阅读拉格朗日和阿贝尔的著作.在十五岁时，他已经在读专业书籍，并开始有了原创性的发现.遗憾的是，他的学习是不系统的，很多计算都靠心算，只记下结果.他曾两次尝试进入巴黎综合理工学院，但因为缺乏系统性的知识被拒之门外，这对于数学界来说是一个巨大的损失，因为这所曾经培养出很多大数学家的学校也许能认识到他的才华，提供他所需要的环境.1828年，伽罗瓦17岁，他遇到了数学教师里沙.里沙利用业余时间到巴黎大学听课，使自己的水平跟上时代的步伐，并把新知识传授给学生们.里沙把全部精力倾注在学生身上.19世纪法国有好几位杰出的数学家均出自他的门下，这就是对他的最高奖赏.伽罗瓦在里沙的帮助和鼓励下，在继承前人科学研究成果的基础上，创立了“群”的思想.1829年，伽罗瓦把部分成果写成论文寄给了法国科学院，审稿人是柯西，他当然有足够的能力读懂它，但是柯西把手稿弄丢了.伽罗瓦并不气馁，又把他的研究成果提交参加1830年度的法国科学院数学大奖评选，那篇论文本来应该会为他赢得最高的荣誉，可是科学院的秘书傅里叶把论文的手稿带回了家，令人难以置信的是，还没来得及读，傅里叶就猝然去世了，手稿也不知去向.最后，伽罗瓦把第二个研究报告寄给了法国科学院，这一次泊松终于没有弄丢，审阅了它，但因为论文中用了“置换群”这个崭新的数学概念和方法，以致像泊松这样赫赫有名的数学家也未能领会，伽罗瓦的成果以“完全不可理解”被草率地否定了.那时科学界对形式和技巧的崇拜远远超过对创造和开拓的追求，当然也就不会发现伽罗瓦的价值.悲剧的是，据说伽罗瓦因为一段感情陷入一场决斗，自知必死的伽罗瓦在去世的前一天晚上仍然奋笔疾书，总结他的学术思想，整理、概述他的数学工作.他希望有朝一日自己的研究成果能大白于天下.他的朋友 Chevalier 遵照伽罗瓦的遗愿，将他的数学论文寄给卡尔·弗里德里希·高斯与雅各比，但是都石沉大海，一直到1843年，才由刘维尔肯定伽罗瓦研究结果之正确、独创与深邃，并在1846年将它发表.伽罗瓦使用群论的想法去讨论方程式的可解性，整套想法現称为伽罗瓦理论，是当代代数与数论的基本支柱之一.它直接推论的结果十分丰富：他系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解.他漂亮地证明了高斯的论断：若用尺规作图能作出正 p 边形，p 为质数的充要条件为p=22k+1.所以正十七边形可作出.他解决了古代三大作图问题中的两个：“不能任意三等分角”“倍立方不可能”.（作者单位：江苏省海门市教师发展中心）。
大学数学史考试知识点
1、 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。
2、 古希腊三大著名的几何问题是：A 、 化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形;B 、 倍立方体,即求作一个立方体，使其体积等于已知立方体的两倍；C 、 三等分角，即分任意角为三等分。
3、 九章算术是中国古典数学最重要著作。
4、 刘徽的数学成就最突出的是“割圆术”和体积理论。
5、 祖冲之圆周率上下限为1415927.31415926.3<<π。
6、 《数书九章》的作者是秦九韶7、 变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。
8、 欧拉是史上最多产的数学家。
9、 高斯一生至少给出过二次互反律8个不同的证明。
10、高斯1801年发表了《算术研究》后,数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展.11、《数书九章》明确的、系统的叙述了求解一次同余方程组的一般解法。
12、非欧几何的发明首先由罗巴切夫斯基发表。
13、1900年法国数学家希尔伯特提出23个数学问题。
14、1994年英国数学家wilson 证明了费马大定理。
15、Cantor （康托尔）系统发展了集合论.1、 宋元数学最突出的成就之一是高次方程的数值求解。
2、 宋世杰的代表著作是“算学启蒙”和“四元玉鉴”。
3、 罗巴切夫斯基最早最系统地发表非欧几何的研究成果.4、 黎曼1854年创立了更广泛的几何是黎曼几何。
5、 统一几何理论是德国数学家克莱因。
6、 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想中取得世界领先的成果。
1．世界上第一个把π 计算到3。
1415926＜n ＜3.1415927 的数学家是B.祖冲之2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是C.朱世杰3．就微分学与积分学的起源而言（ A ）积分学早于微分学4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是D.《周髀算经》5．简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 间有关系V+F-E=2这个公式叫 欧拉公式6．中国古典数学发展的顶峰时期是D 。
贝尔所著《数学大师：从芝诺到庞加莱》摘录
贝尔所著《数学大师：从芝诺到庞加莱》摘录关于《数学大师：从芝诺到庞加莱》《数学大师:从芝诺到庞加莱》是介绍数学史和数学艺术的经典著作,它深入浅出地介绍了数学发展的历程，从古希腊的几何学，历经牛顿的微积分学，再到概率论、符号逻辑等等，都有详略合宜的叙述。
它也是一部思想史，追述了从古代到20世纪数学思想的伟大发展。
贝尔是美国重要的数学史家。
他的这部《数学大师》是介绍数学史和数学艺术的经典著作。
《数学大师:从芝诺到庞加莱》深入浅出地介绍了数学发展的历程，从古希腊的几何学，历经牛顿的微积分学，再到概率论、符号逻辑等等，都有详略合宜的叙述。
同时，《数学大师:从芝诺到庞加莱》又告诉我们，数学家并不是一群躲在象牙塔内冥思苦想、不食人间烟火的怪人，他们除了智力过人以外，也和我们一样，有着世俗的欲望和追求，经历着常人的喜悦和苦恼。
全书以历史上30多位数学大师的生平为主线，分章讲述了他们的杰出贡献、性情喜好和生活轶事。
最后，《数学大师》也是一部思想史，追述了从古代到20世纪数学思想的伟大发展。
它以清晰的笔触、幽默的手法，对复杂的数学思想作了巧妙的分析和论述。
作者简介：埃里克·坦普尔·贝尔(Eric Temple Bell)1883年出生于苏格兰的阿伯丁。
早年就学于英格兰。
1902年到美国，进斯坦福大学学习，l904年取得文学士学位。
1908年在华盛顿大学做研究生，兼事教学，1909年获该校文学硕士学位。
1911年进哥伦比亚大学，1912年获该校哲学博士学位。
此后回华盛顿大学任数学讲师，1921年成为教授。
1924年夏～1928年夏任教于芝加哥大学，1926年上半年任教于哈佛大学，随之受聘为加州理工学院的数学教授。
贝尔是美国国家科学院院士，曾任美国数学协会主席，美国数学学会和美国科学促进会副主席，《美国数学学会会报》、《美国数学学报》和《科学哲学》编委。
他曾获美国数学学会的博歇(Bocher)奖。
线性代数发展简介
线性代数发展简介由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。
如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。
历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。
最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。
矩阵和行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。
行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。
1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。
同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。
1750 年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。
稍后，数学家贝祖(E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。
总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796) 。
范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。
特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。
就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。
科学家简介
伽 罗 瓦 1811年10月25日，伽罗瓦生在巴黎附近的一座小市镇，父亲是本市市长，母亲是当地法官的女儿，她聪明而有教养，是伽罗瓦的启蒙老师。
除教授各种基本知识以外，作为古代文化的热烈爱好者，她还把古希腊的英雄主义，浪漫主义灌输到儿子的幼小心灵中，伽罗瓦从小就有强烈的好奇心和求知欲。
十二岁那年，他考入当地著名的皇家中学，在老师的眼里，尽管伽罗瓦具有“杰出的才干”，但这位体格柔弱的少年却被认为“为人乖僻、古怪，过分多嘴”。
他不满意内容贫乏，编排琐碎的教科书，对老师只注重形式和技巧的的讲课形式也深感失望。
他不见重于师长，甚至被说成是笨蛋。
他在后来的一封信中曾大为感慨地写道：“不幸的年轻人要到什么时候才能不整天听讲或死记听到的东西呢？”十五岁的伽罗瓦毅然抛开教科书，直接向数学大师的专著求教，著名数学家勒让德尔的经典著作《几何原理》，使他领悟到清晰有力的数学思维内在的美。
学习拉格朗日的《论数值方程解法》和《解析函数论》，使他的思维日趋严谨。
接着，他又一口气读完了欧拉与高斯的著作，这些数学大师的著作使他感到充实，感到自信：“我能够做到的，决不会比大师们少！”。
1828年，伽罗瓦17岁，这是他关键的一年，他遇到了数学教师里沙（1795-1849）。
里沙不是一个普通的教书匠，他利用业余时间到巴黎大学听课，使自己的水平跟上时代的步伐，并把新的知识传授给学生们。
里沙有很高的才能，好心的朋友们劝他从事著作，他却把全部精力倾注在学生身上，十九世纪法国有好几个杰出的数学家，就出自他的门下，这就是对他的最高奖赏。
伽罗瓦在里沙的帮助和鼓励下，在继承前人科学研究成果的基础上，他创立了“群”的思想。
写出了第一篇数学论文，寄到法兰西科学院，负责审查这篇论文的是当时法国数学家泰斗柯西和波松。
柯西是当时法国首屈一指的数学家。
他一向是很干脆和公正的，但偶然的疏忽却带来了损失。
第一件事是对阿贝尔没有给予足够的重视。
第二件事是伽罗瓦向科学院送交论文时，未能及时作出评价，以致连手稿也给遗失了。
伽罗瓦群论诞生
伽罗瓦群论的诞生方程论是古典代数的中心课题。
直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程。
所谓方程有根式解（代数可解），就是这个方程的解由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来的。
群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。
一、伽罗瓦群论产生的历史背景从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">+，，这是对系数函数求平方根。
接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。
这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。
他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。
同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。
用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。
1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根（n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1x n，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。
必知的科技大家（上）-第8章
第8章伽罗华非凡的天才几千年的数学发展历史，孕育与造就了数以百计的数学大师。
其中，最令人难以忘怀的莫过于年轻的法国数学家伽罗华。
他在代数领域表现出的卓越才能及其开创性贡献，足以泽及后世，让人钦佩与敬仰；而他那种不屈不挠地与命运抗争的精神与毅力，又给其短暂而又多难的一生增添了几分悲壮与慷慨。
在纪念这位英才去世160周年之际，让我们追忆一下他艰难跋涉的足迹吧！伽罗华生于1811年12月25日，这正是以1789年为开端的伟大革命时代转入保守沉闷的波旁王朝复辟的历史时期。
故乡是巴黎市郊的一座美丽的小城镇。
父亲作为一位有责任心的自由党人，深受伽罗华尊敬与爱戴；母亲是一位法官的女儿，聪明而有教养，是伽罗华的启蒙老师。
她除了教授各种基本知识外，还把古希腊文学中的英雄主义、浪漫主义情操灌输到儿子稚嫩而敏感的心中。
伽罗华的童年就是在这种影响与熏陶下度过的。
1823年10月，12岁的伽罗华考入路易——勒——格兰皇家中学。
但枷罗华对这所“著名”中学的教育方式并不欣赏：一方面是由于同窗共学的贵族子弟们的傲慢态度使他难以忍受，另一方面是由于教师们缺乏生气的教学方法使他失望。
因此，中学的开始两年，尚未涉足数学领域的伽罗华并没有表现出特殊的才华。
终于到了中学三年级，伽罗华被批准学习数学。
他一踏入数学天地，就立即表现出一种只有数学大师才具备的那种注重推理方法的简洁和清晰的非凡天赋。
他痛恨内容贫乏、编排琐碎的教科书，厌恶教师只注重形式和技巧的讲课方式，于是，年仅15岁的伽罗华毅然抛开教科书，直接攻读数学大师的专著，如醉如痴：勒让德尔的经典著作《几何原理》，使他领悟到清晰有力的数学思维内在的美；拉格朗日的《论数值方程解法》和《解析函数论》，则进一步训练了思维，开阔了眼界；当他接连读完了欧拉、高斯等人的著作后，一种自信和豪气油然而生，因而坠入数学王国的深河而不能自拔。
伽罗华在数学领域中表现出的惊人的理解力与自信心，那种与传统方式、观念决裂的勇气及其选定的探索新领域的独特道路与思维方式，是其成为数学先驱的准备和象征。
伽罗瓦 讲稿
伽罗瓦——锲而不舍的天才数学家埃瓦伊斯特.伽罗瓦( Evariste Galois, 1811-1832) ，法国数学家, 群论的奠基人，1811 年10 月25日生于法国巴黎附近的拉赖因堡小城市。
父亲为人正直厚道,担任拉赖因堡镇长14年。
母亲是当地法官的女儿, 聪明而有教养, 她作为伽罗瓦的启蒙老师,不仅教授基本知识, 还把从拉丁和希腊文学中汲取来的英雄主义、浪漫主义和对传统宗教的怀疑态度灌输到儿子幼小的心灵中, 使伽罗瓦从小就有强烈的好奇心、求知欲、刻苦执着的钻研精神, 这就为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础。
1823 年10 月, 年满12 岁的伽罗瓦考入巴黎有名的路易.勒格兰皇家公立中学。
在中学读书的前三年,伽罗瓦是一名优等生, 各门功课的成绩优秀, 尤其是文学非常突出。
此后伽罗瓦开始对数学产生了浓厚的兴趣, 并逐渐把大部分时间和主要精力由学习文学转移到钻研数学上。
学校由反动政客统治着, 不仅生活条件恶劣, 还要求学生为当局歌功颂德。
认真、热心的伽罗瓦与学校制度格格不入, 始终保持着与其他同学的距离。
下棋找高手, 弄斧到班门。
不久, 课堂上的初等数学内容已不能满足他的需求了, 他不得不去图书馆自学课本以外的高等数学知识。
此间他有幸接触到了著名数学家勒让德、阿贝尔、拉格朗日、雅可比、欧拉、柯西、高斯等人的经典著作或论文。
最重要的是勒让德的《几何原理》，这本高深莫测的书唤起了伽罗瓦对数学的一往情深, 从此他对数学知识的渴求变得如饥似渴。
拉格朗日的《论数值方程解法》、《解析函数论》和《微积分学教程》, 使其思维日趋严谨。
接着, 他又读完了欧拉、高斯、雅可比、柯西、阿贝尔等顶尖数学家的著作, 为自己打下了坚实的数学基础。
同时提升了他的信心:“我能够做到的, 决不会比大师们少!”知识的积累、视野的开阔, 使伽罗瓦练就炉火纯青的心算本领, 可以凭借纯粹的心算完成最困难复杂的数学研究。
群的阶与群中元素的阶的关系
群的阶与群中元素的阶的关系群的阶与其元素的阶的关系摘要近世代数虽是一门较新的，较抽象的学科，但如今它已渗透到科学的各个领域，解决了许多著名的数学难题:像尺规作图不能问题，用根式解代数方程问题，编码问题等等．而群是近世代数里面最重要的内容之一，也是学好近世代数的关键．本论文旨在从各个角度和方面来探讨群的阶与其元的阶之间的关系．具体地来说，本文先引入了群的概念，介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无限群中关于元的阶的情况．并举了一些典型实例进行分析，之后又重点介绍了有限群中关于群的阶与其元的阶之间的关系的定理——拉格朗日定理，得出了一些比较好的结论．在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说，都占据着更为突出的地位．同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支．因此，在本文最后，我们介绍了著名的有限交换群的结构定理，并给出了实例分析．关键词：群论有限群元的阶AbstractThe Modern Algebra is a relatively new and abstract subject, but now it has penetrated into all fields of science and solved a number of well-known mathematical problems, such as, the impossibility for Ruler Mapping problem, the solutions for algebraic equations with radical expressions, coding problems and so on. The group is one of the most important portions in the Modern Algebra, and also the key of learning it well.This paper aims at discussing the relations between the order of a group and the orders of its elements from all the angles and aspects. Specifically, this thesis firstly introduces the concept of a group and some relatives with it; secondly focuses on the orders of the elements in the finite group and the infinite group respectively, some typical examples are listed for analyses; thirdly stresses on the theorem - Lagrange's theorem on the relations between the order of a group and the orders of its elements in the finite group, accordingly obtaining some relatively good conclusion.In the many branches of group theory, the finite group theory, whether from the theory itself or from the practical applications, occupies a more prominent position. At the same time, it is also one of the largest researches and the most active branches of mathematics in the recent years. Therefore, in this paper finally, we introduce the famous theorem of the structures on the finite exchanging groups, and give several examples for analyses.Key words：group theory finite groups the orders of elements目录１绪论 (1)1.1 群论的概括 (1)1.2 群论的来源 (1)1.3 群论的思想 (2)2 预备知识 (2)2.1 群和子群 (2)群的定义 (2)群的阶的定义 (3)元的阶的定义 (4)子群、子群的陪集 (6)同构的定义 (6)2.2 不变子群与商群 (7)不变子群与商群 (7)Cayley(凯莱)定理 (7)内直和和外直积的定义 (8)3 群中元的阶的各种情况及其实例分析 (9)3.1 有限群中关于元的阶 (9)有限群中元的阶的有限性 (9)有限群中关于元的阶及其个数的关系 (9)3.2 无限群中关于元的阶 (10)无限群G中，除去单位元外，每个元素的阶均无限 (10)无限群G中，每个元素的阶都有限 (10)G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 (11)4 群的阶与其元的阶之间的关系 (11)4.1 拉格朗日(Lagrange)定理 (11)拉格朗日定理 (11)相关结论 (12)4.2 有限交换群的结构定理 (13)有限交换群的结构定理 (13)相关例子 (14)参考文献 (16)致谢·········································································错误!未定义书签。
数学史话之夭折的天才阿贝尔和伽罗瓦
数学史话之夭折的天才阿贝尔和伽罗瓦我们每个人都知道，诺贝尔奖每年都有，颁给了很多在各自领域做出了突出贡献的科学家，但唯独没有给数学家的奖项，而数学界的诺贝尔奖则一直由一个叫做菲尔兹的奖项独占。
然而菲尔兹奖相对于诺贝尔奖来说，不但少（四年一届），而且条件苛刻（只颁给40岁以下的数学家）。
可能是觉得数学家在40岁以后基本已经告别开拓和创新了吧，不过也的确如此，世界范围内的数学家都是在十分年轻的时候就做出了惊人的成就。
而这个世界对于数学家，特别是青年数学家来说，又实在太残酷了。
很多时候，他们需要的不止是才华，还有时代、方向、领域，甚至运气。
比如科普君今天要说的这两位，都是在生命之花刚开始绽放的时候就凋谢了，如同划过天边的流星一样，闪亮而短暂。
他们用极其短暂的一生奉献给人类的却是'够科学家忙500年'的成果。
他们就是阿贝尔和伽罗瓦。
阿贝尔和伽罗瓦尼尔斯·亨利克·阿贝尔于1802年出生在挪威的一个小村庄芬德，他的父亲是个牧师。
当时整个挪威都十分贫穷，阿贝尔从小就处在饥饿之中。
他13岁的时候开始入学读书，这时候它的数学才华开始显现。
在他老师的引导下，16岁的阿贝尔开始阅读牛顿、欧拉和拉格朗日的著作，并且很快就领会了它们，然后他开始挑战高斯的《算术研究》，也非常快地掌握了这本'七封印之书'的最深奥难懂的部分。
若干年后，有人问阿贝尔如何才能快速地进入一流的行列，阿贝尔回答说：要学习大师们，而不是他们的学生。
阿贝尔在学习的过程中发现了前辈们认为已经证明了的，但是实际上并没有被严格证明的很多东西，特别是欧拉的关于无穷级数和拉格朗日的关于分析学的一些内容。
阿贝尔决心依靠自己的努力来弥补这些不足，他很快就证明了一般二项式定理，但这只是阿贝尔为了澄清无穷级数理论和应用的极具野心的庞大计划的一小部分。
二项式定理然而，到了1820年，阿贝尔的父亲去世了，养活全家（阿贝尔有6个弟妹）的重担压到了18岁的阿贝尔肩上。
悲情天才伽罗瓦，17岁解决世纪难题，21岁死于一场愚蠢的决斗
悲情天才伽罗瓦，17岁解决世纪难题，21岁死于一场愚蠢的决斗1832年的一个深夜，在巴黎郊外的一个小屋子里漏出一丝光亮，一个瘦弱的年轻人正在昏暗的灯下奋笔疾书，边写还边痛心疾首地哭道：“哦，我为何要死在如此琐碎的小事上？我没时间了，我没时间了！”天刚蒙蒙亮的时候，他还是应邀参加了那场愚蠢的决斗，在那个雾气迷蒙的清晨，他举起了枪，瞄向目标。
两边的枪声同时响起，年轻人的腹部中枪，痛苦地倒在地上。
几个小时，年轻人被一个农民送到医院，他的弟弟也赶来了，他流着眼泪安慰弟弟说：“不要哭，我需要鼓起全部的勇气在20岁死去。
”第二天，年轻人在医院去世，他被埋葬于一个壕沟里。
如今，那里成为一片荒地，他的坟墓已无处可寻，他不朽的纪念碑是他的著作，共60页的手稿。
打开凤凰新闻，查看更多高清图片一、高次方程这名年轻人就是法国著名的天才数学家伽罗瓦，他因证明一元五次方程：ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0无根式解而闻名于世。
在开始他的故事前，先简单介绍一下一元高次方程求解的历程。
关于一元二次方程：aX²+bX+c=0，早在古巴伦伦时期，人们就已经解决。
而一元三次方程的根式解，两千多年过去了，一直没有进展。
直到16世纪，在意大利的一场数学竞赛中，三次方程的问题才算彻底解决。
1535年，来自意大利的结巴数学家塔塔利亚宣称掌握了一种特殊的方法，可以解决三次方程的根式解，引发数学界的轩然大波。
塔塔利亚塔塔利亚的成就引起了另一位数学家弗里奥的不满，他宣称自己早于塔塔利亚之前，就已经撑握三次方程的求解方法。
于是，二人决定通过一场数学竞赛来解决争端。
比赛的结果是塔塔利亚赢了，他成功地解答了弗里奥出的三十个题目，而弗里奥只答对了六个。
三次方程被解决后，一个叫费拉里的数学家借鉴前人的方法，采取降幂法，成功获得了四次方程的根式解。
然而，就在人们认为五次方程的解法会接踵而至时，在此后的三百多年里，无数数学家为此而前仆后继、殚精竭虑，却成果寥寥，连高斯、欧拉、拉格朗日等数学大师在五次方程面前也是一筹莫展。
决斗而死的数学家
决斗而死的数学家1832年5月31日清晨，法国首都巴黎近邻的一条道路旁边，默默地躺着一位因决斗而负重伤的青年．当人们把他送进医院后，不到一天，这个青年就离开了人世．他还不到21岁．这个青年就是近代代数学的奠基人、代数奇才，名叫伽罗华．伽罗华，1811年10月25日出生在法国巴黎附近的一个小城市．父亲原来主管一所学校，后来被推选为市长．伽罗华从小就有强烈的好奇心和求知欲，对每一件新鲜事物总要寻根究底，虽然他父母都受过很好的教育，有时也难以回答他的问题．不过，父母总是鼓励他说：“孩子，你问得好，让我们查查书，想一想．” 父母还尽量抽空给伽罗华讲些科学家追求真理的故事．有时已经讲到深夜，父母很疲倦了，而伽罗华还在聚精会神地听，还不断提出问题．就这样，父母在伽罗华幼小心灵中撒下了为科学、为真理而献身的种子．在父母的教导下，伽罗华学习识字、看书，并且逐渐学会自己阅读．有时，他一个人去图书馆看书，看书入了神，直到管理员提醒他：“伽罗华，这儿都下班了，你该回家吃饭了．” 他才恋恋不舍地离开图书馆．伽罗华15岁时进入巴黎的一所公立中学读书，他非常喜欢数学．当时，挪威青年数学家阿贝尔证明了“除了某些特殊的五次和五次以上的代数方程可以用根式求解外，一般高于四次的代数方程不能用根式求解”．这是一个延续了200年的数学难题，被阿贝尔初步解决了．什么是根式求解呢？以一元二次方程为例，对于任意一个二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）都可用公式来解，在这个公式中除了四则运算外，主要是一个根式．一元三次方程的解的公式也是由根式来表示的．阿贝尔的杰出成就轰动了整个数学界，可是有些问题他没有来得及解决，比如怎样判断哪些方程可以用公式求解，哪些方程不能用根式解．由于阿贝尔不满21岁就过早地离开了人间，这些问题便被遗留下来了．阿贝尔的成就激励着伽罗华，五次方程问题使伽罗华产生了浓厚的兴趣，中学时代的伽罗华就开始钻研五次方程问题．他研究了大数学家拉格朗日、高斯、柯西和阿贝尔的著作，他特别喜欢读那些能够指出疑难问题的书．他说：“最有价值的科学书籍，是著作者在书中明白指出了他不明白的东西的那些书．遗憾的是，这还很少被人们所认识，作者由于掩盖难点，大多害了他的读者．”伽罗华通过阅读拉格朗日的《几何》，弄懂了数学的严密性．1829年3月，17岁的伽罗华在《纯粹与应用数学年刊》上发表了一篇论文．这篇论文清楚地解释了拉格朗日关于连分式的结果，显示了一定的技巧．在这篇论文发表的前一年，即1828年，伽罗华就把自己关于方程的两篇论文，送交法国科学院要求审查．科学院决定由数学家柯西和泊松负责审查这个中学生的论文．由于柯西根本不把中学生的论文放在眼里，他把伽罗华的论文给丢了．1829年伽罗华又把自己的研究成果写成论文，送交法国科学院．这次负责审查论文的是数学家傅里叶．不幸的是，傅里叶接到论文，还没有来得及看，就病逝了，论文又不知下落了．伽罗华的论文两次丢失，使他非常气愤．但是他没有因此而丧失信心，仍继续钻研方程问题．新的打击接踵而来：1829年7月，伽罗华的父亲，因持有自由主义政见，遭到政治迫害而自杀；一个月后，他报考在科学上有很高声望的多科工艺学院，由于拒绝采用考核人员提出的解答方法来解答问题，结果名落孙山，第二年再考，仍没有考上．他转而报考高等师范学院，因数学成绩出色，而被该校录取．这期间，他通过《数学科学通报》得知了阿贝尔去世的消息，同时发现阿贝尔最终发表的论文中，有许多结论在他送交法国科学院的论文中曾提出过．伽罗华这一阶段的研究十分重要，最主要的是他完整地引入了“群”的概念，并且成功地运用了“不变子群”的理论．这些理论着重解决了“任意n次方程的代数解问题”；运用这些理论，还可以解决一些多年来没有解决的古典数学问题．由伽罗华引入的“群” 的概念，现在已经发展成近代代数的一个分支——群论．1831年，伽罗华向法国科学院送交了第三篇论文，论文题目是《关于用根式解方程的可解性条件》．由于论文提出的“置换群”这个崭新的数学概念和方法，连泊松这样著名的数学家也难于看懂和不能理解．于是将论文退了回去，并劝告伽罗华写一份详尽的阐述．可惜，以后由于伽罗华投身政治运动、屡遭迫害，直到死也没完成这项工作．伽罗华刚上大学，就结识了几位共和主义的领导人．他越来越不能容忍学校的苛刻校规，他在一个刊物上发表了激烈抨击校长的文章，为此，被学校开除了．伽罗华失学以后，一方面以替别人补习数学维持生活，一方面投身于火热的民主革命运动．1831年5月和7月，他因参加游行和示威两次被捕入狱．在狱中他继续研究数学，修改关于方程论的论文，研究群论的应用和椭圆函数，半年之后，由于霍乱流行，伽罗华从监牢转到一家私人医院服刑．在医院里，他继续研究，还写了几篇哲学论文，由于传染病继续流行，伽罗华被释放了．但是反对派又设下圈套，以解决爱情争执为借口，让伽罗华与一个反动军官进行决斗．决斗中伽罗华受到致命伤，第二天就死去了．决斗前夕，伽罗华已经预料到了自己的不幸结局．他连夜给朋友们写了几封信，请求朋友把他对高次方程代数解的发现，交给德国著名数学家雅科比和高斯，“恳求他们，不是对这些东西的正确性，而是对它的重要性发表意见．并且期待着今后能够有人认识这些东西的奥妙，作出恰当的解释”．在朋友们的帮助下，伽罗华的最后信件发表在1832年9月号的《百科评论》上，可惜没有引起人们的注意．伽罗华死后14年，法国数学家列维尔，从伽罗华弟弟手里得到了伽罗华生前未公开发表的大部分论文手稿，并把这些手稿发表在自己创办的《数学杂志》上，这才引起数学家的注意．在伽罗华死后38年，法国数学家若当根据他的思想，写了一部巨著《置换及代数方程》，人们终于真正认识了伽罗华．伽罗华短暂的一生给数学留下了瑰宝，正如他给朋友的信中所写的那样：“记住我吧！朋友．为了使祖国知道我的名字，我的生命实在太不够了．除了我的生命，我的一切都已献给了科学，献给了广大群众”．。
伽罗瓦理论到底有多伟大？千年数学难题直接沦为简单推论
伽罗⽡理论到底有多伟⼤？千年数学难题直接沦为简单推论历史回顾⼀元⼆次⽅程的解法是我们再熟悉不过的数学知识，但⼀元三次⽅程的解法似乎并不⼴为⼈知，⽽了解四次⽅程解法的就更少了。
当然，解三次和四次⽅程都是有判断法则和求根公式的，这和⼆次⽅程是类似的。
那么⼀个⾃然的问题是次数⾼于四次的⼀般代数⽅程有没有求根公式呢？也就是能不能利⽤系数把解表⽰出来呢？对于⼗六世纪的代数学⽽⾔，解三次和四次⽅程就是最⼤的难题，这⼀问题最终由意⼤利数学家塔尔塔利亚和卡尔达诺所解决。
他们解四次⽅程的思想是通过变量替换获得⼀个三次⽅程，通过解这个三次⽅程就能获得原四次⽅程的解，于是很多数学家都想通过模仿这⼀⽅法来获得⾼次⽅程的根式解。
欧拉，⾼斯，拉格朗⽇这样当时最伟⼤的数学家都做过尝试，但最终都失败了。
拉格朗⽇甚⾄发表了长篇⼤论，详细分析了三四次⽅程的解法，指出这种⽅法不可能适⽤于⾼次⽅程，最后拉格朗⽇惊叹：“⾼次⽅程的根式解是不可能解决的数学问题之⼀，这是在向⼈类的智慧挑战！”在拉格朗⽇之后，意⼤利数学家鲁菲尼开始猜测⾼次⽅程没有根式解，但他终其⼀⽣也没能取得突破，只是得到了猜测：如果⽅程有根式解，那么这⼀根式必定是⽅程的根和单位根的有理多项式。
阿贝尔第⼀个真正取得突破的数学家是来⾃挪威的年轻⼈阿贝尔（1802~1829），他发展了拉格朗⽇关于“根的置换”的数学思想，并且提出了“域”和“不可约多项式”的概念。
利⽤⾃⼰的理论，阿贝尔修正了鲁菲尼的猜测，并最终严格证明了：如果⼀个⽅程有根式解，则这个表达式中的每⼀个根式都是⽅程的根和某些单位根的有理函数。
利⽤这个重要的结论，阿贝尔最终证明了⾼于四次的⼀般⽅程没有根式解！不仅如此，阿贝尔还成功构造出了任意次数的代数可解的特殊⽅程，但他还是遗留了⼀个问题，那就是如何判断⼀个给定的⽅程是否根式可解，例如⾼斯曾经证明过⽅程X^p－1=0有根式解，其中p为素数。
但天妒英才，阿贝尔在仅仅27岁之时，便因贫困交加⽽抱憾离世。
伽罗瓦 介绍
伽罗瓦河北师范学院邓明立伽罗瓦，E．(Galois，Evariste)1811年10月25日生于法国巴黎附近的拉赖因堡；1832年5月31日卒于巴黎．数学．伽罗瓦的父亲N．G．伽罗瓦(Galois)是法国资产阶级革命的支持者，为人正直厚道．他在1815年拿破仑发动“百日政变”期间，当选为拉赖因堡市的市长．伽罗瓦的母亲是一位当地法官的女儿，聪明而有教养，但个性倔强，甚至有些古怪．她是伽罗瓦的启蒙老师，为他的希腊语和拉丁语打下了基础，并且把她自己对传统宗教的怀疑态度传给了儿子．1823年10月，12岁的伽罗瓦离别双亲，考入路易·勒格兰皇家中学，开始接受正规教育．在中学的前两年，他因希腊语和拉丁语成绩优异而多次获奖；但在第三年(1826)，伽罗瓦对修辞学没有下足够的功夫，因而只得重读一年．在这次挫折之后，他被批准选学第一门数学课．这门课由H．J．韦尼耶(Vernier)讲授，他唤起了伽罗瓦的数学才能，使他对数学发生了浓厚的兴趣．他一开始就对那些不谈推理方法而只注重形式和技巧问题的教科书感到厌倦，于是，他毅然抛开教科书，直接阅读数学大师们的专著．A．M．勒让德(Legendre)的经典著作《几何原理》(Eléments de géo－me tre，1792)，使他领悟到数学推理方法的严密性；J．L．拉格朗日(Lagrange)的《解数值方程》(Rélution deséquations nume－riques，1769)、《解析函数论》(Théorie des fonctions analytiques，1797)等著作，不仅使他的思维更加严谨，而且其中的思想方法对他的工作产生了重要的影响；接着他又研究了L．欧拉(Euler)、C．F．高斯(Gauss)和A．L．柯西(Cauchy)的著作，为自己打下了坚实的数学基础．学习和研究数学大师的经典著作、是伽罗瓦获得成功的重要途径．他深信自己能做到的，决不会比他们少．他的一位教师说：“他被数学的鬼魅迷住了心窍．”然而，他忽视了其他学科，导致了他首次(1828)报考巴黎综合工科学校失败．1828年10月，伽罗瓦从初级数学班升到L．P．E．里查德(Richard)的数学专业班．里查德是一位年轻而富有才华的教授，并且具有发掘科学英才的敏锐判断力和高度责任感．他认为伽罗瓦是最有数学天赋的人物，“只宜在数学的尖端领域中工作”．于是，年仅17岁的伽罗瓦开始着手研究关于方程理论、整数理论和椭圆函数理论的最新著作．他的第一篇论文“周期连分数的一个定理的证明”(Démonstration d’un théoréme sur les fractionscontinues périodiques)，于1829年3月发表在J．D．热尔岗(Gergonne)主办的《纯粹与应用数学年刊》(Annales de Mathé－matiques Pures et Appliquées)上，它更为清楚地论述和说明了欧拉与拉格朗日关于连分式的结果．据伽罗瓦说，他在1828年犯了和N．H．阿贝尔(Abel)在8年前犯的同样错误，以为自己解出了一般的五次方程．但他很快意识到了这一点，并重新研究方程理论，他坚持不懈，直到成功地用群论阐明了这个带普遍性的问题．1829年5月25日和6月1日，他先后将他的两篇关于群的初步理论的论文呈送法国科学院．科学院请柯西做论文的主审．然而，一些事件挫伤了这个良好的开端，而已在这位年轻数学家的个性上留下了深深的烙印．首先，伽罗瓦的父亲由于受不了保守的天主教牧师的恶毒诽谤于7月2日自杀身亡．之后不到一个月，伽罗瓦参加了巴黎综合工科学校的入学考试，由于他拒绝采用主考官建议的解答方法，结果又遭失败．最后他不得已报考了高等师范学院，于1829年10月被录取．柯西审核的伽罗瓦的论文，新概念较多，又过于简略，因此柯西建议他重新修改．1830年2月，伽罗瓦将他仔细修改过的论文再次呈送科学院，科学院决定由J．B．J．傅里叶(Fourier)主审．不幸，傅里叶5月份去世，在他的遗物中未能找到伽罗瓦的手稿．1830年4月，伽罗瓦的论文“关于方程代数解法论文的分析”发表在B．D．费吕萨克(Férussac)的《数学科学通报》(Bulle－tetin des Sciences Mathématiques)上．同年6月，他又在同一杂志上发表了两篇论文——“关于数值方程解法的注记”和“数的理论”，这期杂志上还刊登着柯西和S．D．泊松(Poisson)的文章，这充分说明了伽罗瓦已在数学界赢得了声誉．伽罗瓦进入师范学院一年，正当他做出卓越的研究工作之时，法国历史上著名的1830年“七月革命”爆发了．伽罗瓦作为一名勇敢追求真理的共和主义战士，反对学校的苛刻校规，抨击校长在“七月革命”期间的两面行为．为此，他于1830年12月8日被校方开除．于是，他便根据自己的意志投身于政治活动．1831年5月9日，在一个共和主义者的宴会上，伽罗瓦举杯对国王进行了挑衅性的祝酒，于第二天被捕．罪名是教唆谋害国王生命的未遂罪．6月15日被塞纳陪审法院释放．在此期间，伽罗瓦继续进行数学研究．他于1831年1月13日开了一门关于高等代数的公开课，以讲授自己独创的学术见解谋生．但是，这个设想并未获得多大成功．1831年1月17日，他向科学院呈送了题为“关于方程根式解的条件”的论文，这次负责审查论文的是泊松和S．F．拉克鲁瓦(Lacroix)．虽然泊松认真地审阅了它，可得出的结论却是“不可理解”．在他们给科学院的报告中说：“我们已经尽了最大努力来研究伽罗瓦的证明，他的推理显得不很清楚，到目前为止，我们还不能对它作出正确评价，因为有说服力的证明还没有得到．因此，在这篇报告中，我们甚至不能给出他的证明思想．”最后，泊松建议伽罗瓦进一步改进并详细阐述他的工作．1831年7月14日，伽罗瓦率众上街示威游行时，再次被捕，他被关押在圣佩拉吉监狱．他在狱中顽强地进行数学研究，一面修改他关于方程论的论文，研究椭圆函数，一面着手撰写将来出版他著作时的序言．1832年3月16日，由于宣布霍乱正在流行，伽罗瓦被转移到一家私人医院中服刑．他在那里陷入恋爱，后因爱情纠纷而卷入一场决斗．4月29日，伽罗瓦获释．5月29日，即决斗的前一天，伽罗瓦给共和主义者的朋友们写了绝笔信．尤其在给A．舍瓦列耶(Cheralier)的信中，表明他在生命即将结束的时候，仍在整理、概述他的数学著作．第二天清晨，在冈提勒的葛拉塞尔湖附近，他与对手决斗，结果中弹致伤后被送进医院．1832年5月31日，这位未满21岁的数学家与世长辞了．伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了代数方程的可解性问题．人们为了纪念他，把用群论的方法研究代数方程根式解的理论称之为伽罗瓦理论．它已成为近世代数学的最有生命力的一种理论．群论起源于代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果．对于方程论，拉格朗日有过卓越的概括．在1770年前后，他利用统一的方法(现在称为拉格朗日预解式方法)，详细分析了二次、三次、四次方程的根式解法，提出了方程根的排列置换理论是解决问题的关键所在．他的方法对于求解低次方程卓有成效，但对一般的五次方程却没有任何明确的结果，致使他对高次方程的求解问题产生了怀疑．P．鲁菲尼(Ruffini)于1799年首次证明了高于四次的一般方程的不可解性，但其证明并不完善．在1824—1826年，阿贝尔修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明了一般的五次或五次以上的代数方程不可能有根式解．其间，高斯于1801年建立了分圆方程理论，解决了二项方程的可解性问题，这对于伽罗瓦理论的创立至关重要．1815年，柯西对于置换理论的发展做出了贡献．固然高于四次的一般方程不能有根式解，但是有些特殊类型的方程(如二项方程、阿贝尔方程割仍然可以用根式求解．因此，全面地刻画可用根式求解的代数方程的特性问题，乃是一个需要进一步解决的问题．伽罗瓦的理论正是在这样的背景上发展起来的．伽罗瓦继承和发展了前人及同时代人的研究成果，融会贯通了各流派的数学思想，并且凭着他对近代数学概念特性的一种直觉，超越了他们．他系统地研究了方程根的排列置换的性质，首次定义了置换群的概念，他认为了解置换群是解决方程理论的关键．在1831年的论文中，伽罗瓦把具有封闭性的置换的集合称为“群”．当然，这只是抽象群的一条重要性质而已．群是近代数学中最重要的概念之一，它不仅对数学的许多分支有深刻的影响，而且在近代物理、化学中也有许多重要的作用．因此，群的概念需要以高度抽象的形式来表达．现在公认群是元素间存在二元运算(例如乘法)并具有下列四条性质的集合：(1)(封闭性)集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合；(2)(结合性)乘法满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)；(3)(存在单位元)集合中存在单位元I，对集合中任意元素a满足I·a=a·I=a；(4)(存在逆元)对集合中任一元素a，存在唯一元素a-1，使得a-1·a=a·a-1=I．伽罗瓦是利用群论的方法解决代数方程可解性问题的．他注意到每个方程都可以与一个置换群联系起来，即与它的根之间的某些置换组成的群联系；现在称这种群为伽罗瓦群．对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使该函数的值不变．反过来，如果伽罗瓦群中的每个置换都使一个根的多项式函数的值不变，则这多项式函数的值是有理的．因此，一个方程的伽罗瓦群完全体现了它的根(整体)的对称性．伽罗瓦的思想方法大致是这样的：他将每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域(现在称之为方程的伽罗瓦域)，这个域又对应一个群，即这个方程的伽罗瓦群．这样，他就把代数方程可解性问题转化为与方程相关的置换群及其子群性质的分析问题．这是伽罗瓦工作的重大突破．具体说来，假设方程x n+a1x n-1+a1x n-2+…+a n-1x+a n=0的系数生成的域为F，E是方程的伽罗瓦域，它是将方程的根添加到F上所生成的域，现在称之为伽罗瓦扩张．让G表示方程的伽罗瓦群．这个方程是否可用根式求解的关键问题是：数域F是否可以经过有限次添加根式而扩张为根域E．也就是说是否存在有限多个中间域：F1，F1，…，F s-1，F s=E，使F=F0F1F1…F s=E．其中每个F i都是由F i-1添加F i-1中的数的根式所生成的扩域．不妨假定，F是含有这个方程的系数及1的各次方根的最小域，且每次所添加的根式均为素数次根．那么，这样的中间域Fi与Fi-1之间有何关系呢？伽罗瓦经过认真的研究，认为关键取决于使Fi-1保持不变的Fi的自同构变换群的结构．可以证明，这样的自同构群是素数阶的循环群，且阶数为[Fi∶Fi-1]．域上的自同构群概念的引入，使域与群发生了联系．即建立了伽罗瓦域的子域与伽罗瓦群的子群之间的一一对应关系．事实上，保持F=F0的元素不动的E的每个自同构决定方程根的一个置换，它属于伽罗瓦群G；反之，G中每个置换引起E的一个自同构，它使F的元素不动．这样就建立了E的自同构群和方程的伽罗瓦群之间的同构．由此建立E的子域(包含F)和G的子群之间的一一对应：保持子域Fi元素不动的G中全部置换构成G的一个子群Gi，让Gi与Fi对应，而且反过来也可用Gi来刻划Fi，即Fi是E中对Gi的每个置换保持不动的元素全体．伽罗瓦还利用方程根的n！值的线性系数θ(n表示方程根的个数)来定出方程的伽罗瓦群．虽然这种计算并非易事，但的确给出了计算伽罗瓦群的一种方法，而且伽罗瓦在这里给出了域扩张的本原元素的概念．在代数方程可解性的研究中，伽罗瓦的主要思想是对给定方程的系数以及经过有限次扩张的中间域给出了一个群的序列，使得每个扩域相对应的群是它前一个域相应的群的子群．伽罗瓦基本定理就描述了中间域与伽罗瓦群的子群之间的对应关系．利用这种关系，可由群的性质描述域的性质；或由域的性质描述群的性质．因此，伽罗瓦的理论是域与群这两种代数结构综合的结果．伽罗瓦的工作主要基于两篇论文——“关于方程根式解的条件”和“用根式求解的本原方程”．这两篇论文于1846年由J．刘维尔(Liouille)编辑出版．此后，人们便开始介绍和评价伽罗瓦的工作，他的思想方法逐渐为人们所接受．在这些论文中，伽罗瓦将其理论应用于代数方程的可解性问题，由此引入了群论的一系列重要概念．当伽罗瓦将二项方程作为预解方程研究时，他发现其相应的置换子群应是正规子群且指数为素数才行．正规子群概念的引入及其性质和作用的研究，是伽罗瓦工作的又一重大突破．属于伽罗瓦的另一个群论概念是两个群之间的同构．这是两个群的元素之间的一一对应，使得如果在第一个群中有a·b=c，则对第二个群的对应元素，有a′·b′=c′．他还引进了单群和合成群的概念．一个没有正规子群的群是单群，否则是合成群．他表述了最小单群定理：阶是合成数的最小单群是60阶的群．伽罗瓦还利用正规子群判别已知方程能否转化为低次方程的可解性问题．用现代语言可将他的思想方法描述如下：首先定义正规子群的概念，即群G的子群N叫做G的正规子群，是指对于每个g∈G，g－1Ng=N；其次是寻找极大正规子群列，确定极大正规子群列的一系列合成因子．如果一个群所生成的全部合成因子都是素数，伽罗瓦就称这个群为可解的．他利用可解群的概念全面刻画了用根式解方程的特性，给出了判别方程可解性的准则：一个方程可用根式解的充要条件是这个方程的伽罗瓦群是可解群．虽然这一准则不能使一个确定方程的精确求解更为简单，但它确实提供了一些方法，可以用来得出低于五次的一般方程，以及二项方程和某些特殊类型方程的可解性的有关结果，还可以直接推导出高于四次的一般方程的不可解性．因为一般的n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn；当n＞4时，n次交错群An是非交换的单群(不可解)，An又是Sn的极大正规子群．由此可推出Sn 是不可解的．既然对于所有这样的n值，都存在其Sn是伽罗瓦群的n次方程，所以一般的高于四次的方程不可能得到根式解．在“关于方程代数解法论文的分析”中，伽罗瓦提出了一个重要定理(未加证明)：一个素数次方程可用根式求解的充要条件是这个方程的每个根都是其中两个根的有理函数．伽罗瓦用它判别特殊类型方程的根式解问题．他所研究的这种方程，现在称之为伽罗瓦方程，是阿贝尔方程的推广．在“数的理论”一文中，伽罗瓦用现在所谓的“伽罗瓦虚数”对同余理论作了推广并将之应用于研究本原方程可用根式求解的情况．关于伽罗瓦虚数，在伽罗瓦之前只知道特征0的域，如有理数域、实数域、复数域等，伽罗瓦在这篇论文中给出了一类新的域，即伽罗瓦域，现在称为有限域，它们是素数特征的城．有限域在现在通讯中的重要作用是尽人皆知的．伽罗瓦的数学遗作，首次(1846)发表在刘维尔主办的《纯粹与应用数学杂志》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)上．1897年，E．皮卡(Picard)再次出版了《伽罗瓦数学手稿》(Ocuvres mathématiques d’Evariste Galois)．之后，J．塔涅伊(Tannery)编辑的《伽罗瓦的手稿》(Manuscriste d’Evariste Galo－is)于1908年正式出版．1962年，R．布尔哥涅(Bourgne)和J．P．阿兹拉(Azra)编辑出版了带有评论性的典型版本《伽罗瓦数学论文全集》(Ecrists et mémoires mathématiques d’EvaristeGalois)，它汇集了伽罗瓦所有已发表的著作，以及绝大部分还保存的数学提纲、信件和原稿．这些史料证实了伽罗瓦的数学研究，与他对数学本质尤其对数学方法的追求、探索是密不可分的，展示了他对现代数学精神的远见卓识．从中精选出的有关数学观、方法论的原文，已成为当今研究的方向．伽罗瓦不仅研究具体的数学问题，而且研究能概括这些具体成果并决定数学长期发展及人们思维方式转变的新理论——群论．由此还发展了域论．D．希尔伯特(Hilbert)曾把伽罗瓦的理论称为“一个明确的概念结构的建立”．这种理论，对于近代数学、物理学、化学的发展，甚至对于20世纪结构主义哲学的产生和发展，都发生了巨大影响．正象E．T．贝尔(Bell)所说的：“无论在什么地方，只要能应用群论，从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐，群的概念是近世科学思想的出色的新工具之一．”伽罗瓦还是头一位有意识地以结构研究代替计算的人．他使人们从偏重“计算”研究的思维方式转变为用“结构”观念研究的思维方式，他的理论是群与域这两种代数结构综合的结果．在他的论文序言部分明确表述了这种思想，他提出：“使计算听命于自己的意志，把数学运算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类——这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路．”这种深邃的数学思想，已明显地具有现代数学的精神．伽罗瓦“‘把数学运算归类”这句话，毫无疑问是指现在所谓群论．群的功能正是将所研究的对象进行分类，而不管研究对象本身及其运算的具体内容，它是在错综复杂的现象中探讨共同的结构．一般说来，一个抽象的集合不过是一组元素而已，无所谓结构，一旦引进了运算或变换就形成了结构；所形成的结构中必须包含着元素间的关系，这些关系通常是由运算或变换联系着的．“把数学运算归类，而不是按照它们的外部特征加以分类”，其思想实质是：数学由研究具体的数和形的外部特征转变成研究一般的、抽象的结构．伽罗瓦对代数结构的探索，深化了人们关于数学研究对象的认识——按照这种观念，数学的研究对象不是孤立的量，而是数学的结构．从自发到自觉转变的意义上说，伽罗瓦已经处于近代数学的开端．他为19世纪数学家们提出的问题及任务，导致了公理方法的系统发展和代数基本结构的深入研究．因此，伽罗瓦是近世代数学的创始人．伽罗瓦在数学上做出了巨大的贡献，他在数学观、认识论方面也有不少独立的见解．他认为科学是人类精神的产物，与其说是用来认识和发现真理，不如说是用来研究和探索真理．科学作为人类的事业，它始于任何一个抓住它的不足并重新整理它的人．伽罗瓦指出：“科学通过一系列的结合而得到进展，在这些结合中，机会起着不小的作用，科学的生命是无原由的、没有计划的(盲目的)，就像交错生长的矿物一样．”在数学中，正像在所有的科学中一样，每个时代都会以某种方式提出当时存在的若干问题，其中有一些迫切的问题，它们把最聪慧的学者吸引在一起，这既不以任何个人的思想和意识为转移，也不受任何协议的支配．伽罗瓦向往着科学家之间的真诚合作，认为科学家不应比其余的人孤独，他们也属于特定时代，迟早要协同合作的．伽罗瓦的奠基性工作及其思想中孕育的开创精神，并未得到他同时代人的充分赏识和理解，其原因不是人为的偏见，而是当时人们认识上的不足．直到伽罗瓦去世14年后的1846年，刘维尔编辑出版了他的部分文章；1866年，J．A．塞雷特(Serret)出版的《高等代数教程》(第三版)(Cours d’algébre superieure)，澄清了伽罗瓦关于代数方程可解性理论的思想，建立了置换理论；1870年，C．若尔当(Jordan)出版的《置换和代数方程专论》(Traitédes substitutions et deséquations algébriques)，全面介绍了伽罗瓦的理论．从此，群论和伽罗瓦的全部工作才真正被归入数学的主流．伽岁瓦的理论导致了抽象代数学的兴起．。
人教版B版高中数学选修3-4(B版)群与代数方程根式可解性
要点总结
想要理解伽罗瓦理论并不是一件简单的事情，我们 需要深厚的群、环、域的基础，在这里我们简单介绍一 下伽罗瓦理论。
首先，域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。 那么，若K/F为伽罗瓦扩张，K上的F-自同构的集合 构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为Gal(K/F)。 这里的域是一个和我们学的群不一样的代数结构。
典型剖析
有了这个定理，便可以解决用尺规做正பைடு நூலகம்边形的问 题。
比如作正七边形，这个看上去非常简单的题目，曾 经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能 由尺规作出的。
再比如作正九边形，此图也不能作出来，因为单用 直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。
伽罗瓦理论有深远的影响，广义上的伽罗瓦理论还 包括尺规作图，诺特方程，循环扩张，库默尔理论等内 容。
典型剖析
如果平面上一点P是（1）中两直线的交点或是（1） 中一直线和（2）中一圆的交点或是（2）中两圆的交点， 则称点P可用尺规直接从S作出。
如果对点P存在一串点P1，…，Pn，Pn=P使得P1可用 尺规直接从S作出而且Pi+1可用尺规直接从点集S∪{P1，…， Pn}作出，则称P可用尺规从S作出。
群与代数方程根式可解性
知识填充
一个多项式的根如何用它的系数经过四则运算和开 方表示出来即所谓用根式解方程的问题，这是19世纪以 前代数的一个主要问题。
大约在公元前1700年人们就已经知道一元二次方程 的解法，但是三、四次方程直到公元1500年左右才由费 罗、塔塔格利亚、卡尔塔诺和费拉利给出解的公式。
要点总结
线性代数发展史
线性代数发展史由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。
如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。
历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。
最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。
行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。
行列式是由和日本数学家发明的。
1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。
同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。
1750 年，瑞士数学家(G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。
稍后，数学家贝祖(E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。
总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796) 。
范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。
特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。
就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。
伽罗瓦
伽罗瓦埃瓦里斯特·伽罗华（Eacute;variste Galois，公元1811年~公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。
伽罗华死于一次近乎自杀的决斗，引起了后人的种种猜测。
可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。
他被公认为是数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。
第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。
后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。
数学世界的顽强斗士19世纪初，有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们，而如何求解高次方程就是其中之一。
历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候已得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576年)问到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560年)解出。
这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。
数学史题库
数学史考试重点1. 简述数学史的定义及数学史课程的内容。
答：数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展及其与社会政治经济和一般文化的联系。
数学史课程的功能可以概括成以下四部分:（1）掌握历史知识：通过学习关于数学的专门知识，更好的从整体上把握数学。
（2）复习已有知识：按学科讲述学过的数学知识，系统的提高对该学科的理解。
（3）了解新的知识：通过学习数学各学科的发展，了解没有学过的学科的内容。
（4）受到思想教育：通过了解数学家为数学而奋斗的高尚品质，陶冶数学情操。
2. 简述数学内涵的历史发展。
答：数学的内涵随时代的变化而变化，一般可分为四个阶段。
A 数学是量的科学：公元前4世纪。
B 数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学;19世纪。
C 数学研究各种量之间的关系与联系：20世纪50年代。
D 数学是作为模式的科学：20世纪80年代。
1. 简述河谷文明及其数学。
答：历史学家往往把四大文明古国的文明称之为“河谷文明”，因为这些国家是在河流的入海口建立的。
尼罗河孕育了埃及文明；底格里斯河、幼发拉底河孕育了巴比伦文明；黄河和长江孕育了中国文明；印度河和恒河孕育了印度文明。
埃及、美索不达米亚的数学产生较早，纪元前已经衰微，而印度、中国的数学崛起较晚，却延续至中世纪。
2. 简述纸草书与泥板文书中的数学。
答：古埃及人在一种纸莎草压制成的叶片上书写，幸存至今，被称为纸草书。
莱茵德纸草书（现存于伦敦大英博物馆）中有84个数学题目；莫斯科纸草书（现存于俄国普希金精细艺术博物馆）中有25个数学题目；还有其他纸草书。
纸草书中的数学知识包括：（1）算术，包括加法运算、单位分数、十进制计数、位置法；（2）几何，包括面积、体积计算和四棱台体积公式。
美索不达米亚人用尖芦管在湿泥板上写字，然后将湿泥板晒干或烘干，幸存至今，被称之为泥板文书。
出土50万块其中数学文献300块。
泥板文书中的数学包括：（1）记数，包括偰形文、60制、位值原理；（2）程序化算法，包括û1.414213；(3)数表；(4)x²–px–q=0 ,x³=a,X³+X²=a (5)几何，测量、面积、体积公式、相似形、勾股数值。
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行列式
1772 年，法国数学家拉普拉斯 证明了范德蒙提出的一些规则 推广了范德蒙展开行列式的方法 1815 年，法国数学家柯西 第一个系统的几乎是近代的处理 乘法定理, 方阵, 双足标记法 改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出 了一个证明
行列式
19 世纪，英国数学家西尔维斯特 活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动 他(犹太人)受到剑桥大学的不平等对待 改进了从一个n 次和一个m 次的多项式中消 去 x 的方法(他称之为配析法) 并给出形成的行列式为零时这两个多项式 方程有公共根充分必要条件这一结果(但没 有给出证明)
行列式
法国数学家范德蒙 (Alexandre-Théophile Vandermonde, 1735.2.28-1796.1.1) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述 把行列式理论与线性方程组求解相分离 给出了用余子式来展开行列式的法则 自幼在父亲的指导下学习音乐 但对数学有浓厚的兴趣 后来终于成为法兰西科学院院士
因此在线性方程组的数值解法得到发展的 同时，线性方程组解的结构等理论性工作 也取得了令人满意的进展。
现在，线性方程组的数值解法在计算数学 中占有重要地位。
向量
古希腊的亚里士多德已经知道力可以表示成向量， 二力合成的平行四边形法则。 法国数学家笛卡尔和费马为解析几何奠定了基础。 挪威测量学家未塞尔(Caspar Wessel, 1745.6.81818.3.25), 瑞士数学家阿工(Jean Robert Argand, 1768.7.18-1822.8.13)发明了复数的几何表示。 英国数学家科兹, 法国数学家棣美弗, 范德蒙 (Alexandre-Théophile Vandermonde, 1735.2.281796.1.1), 瑞士数学家欧拉也曾认识到平面上的点 可与复数一一对应。
向量
德国数学家高斯建立了复平面的概念。 英国物理学家数学家亥维赛在向量分析上 作出了许多贡献。 1843年,英国数学家哈密顿发现了四元数。 1844年, 德国数学家格拉斯曼提出了n 维向 量的理论。 1888年, 意大利数学家皮亚诺以公理的方式 定义了有限维或无限维向量空间。
矩阵
德国数学家弗罗伯纽斯 最小多项式、秩、不变因子和初等因子、 正交矩阵、相似变换、合同矩阵等概念 以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等 因子的理论 并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要 性质
矩阵
1854 年，法国数学家约当 矩阵化为标准型的问题 1892 年，加拿大数学家梅茨勒
(William Henry Metzler,1863.9.18-1943.4.18)
行列式
德国数学家雅可比 继柯西之后，在行列式理论方面最多产 引进了函数行列式(雅可比行列式) 指出函数行列式在多重积分的变量替换中 的作用，给出了函数行列式的导数公式 雅可比的著名论文 《论行列式的形成和性质》 标志着行列式系统理论的建成
行列式
由于行列式在数学分析、几何学、线性方 程组理论、二次型理论等多方面的应用， 促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很 大发展。 整个 19 世纪都有行列式的新结果。 除了一般行列式的大量定理之外，还有许 多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。
线性方程组
公元前1世纪,《九章算术》 初等行变换, 相当于高斯消元法。 • 17 世纪后期, 德国数学家莱布尼茨 曾研究含两个未知量三个方程的线性组 • 18 世纪上半叶, 英国数学家麦克劳林 具有二、三、四个未知量的线性方程组 得到了现在称为克莱姆法则的结果 • 克莱姆不久也发表了这个法则
线性方程组
行列式
出现于线性方程组的求解 最早是一种速记的表达式 现已是数学中一种非常有用的工具 发明人: 德国数学家莱布尼茨 日本数学家关孝和
行列式
1750 年，瑞士数学家克莱姆 《线性代数分析导引》
行列式的定义和展开法则，克莱姆法则 稍后，法国数学家贝祖 将确定行列式每一项符号的方法进行了系 统化，利用系数行列式概念指出了如何判 断一个齐次线性方程组有非零解
方阵的特征方程和特征根(特征值), 有关矩阵的一些基本结果
凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭 剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学 三年后他转从律师职业，工作卓有成效 并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文
矩阵
1855 年，法国数学家埃米特 证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特 征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵 的特征根性质等 后来，德国数学家克莱伯施 、布克海姆 (A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根 性质 泰伯 (H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并给 出了一些有关的结论
矩阵
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的 他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式 而发明了这个述语。 英国数学家凯莱 被公认为是矩阵论的创立者 首先把矩阵作为一个独立的数学概念 首先发表了关于这个题目的一系列文章 同研究线性变换下的不变量相结合，首先 引进矩阵以简化记号。
矩阵
英国数学家凯莱 1858 年，《矩阵论的研究报告》 系统地阐述了关于矩阵的理论: 矩阵的相等、运算法则、转置以及逆等 指出了矩阵加法的可交换性与可结合性
18世纪下半叶，法国数学家贝祖 对线性方程组理论进行了一系列研究 证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件 是系数行列式等于零
19世纪，英国数学家史密斯和道奇森 前者引进了方程组的增广矩阵的概念 后者证明了n个未知数m个方程的方程组相 容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相 同
线性方程组
大量的科学技术问题，最终将其写成矩 阵的幂级数的形式 傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了 无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展 的需要而开始的。
矩阵
矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质， 矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪 的发展，现在已成为独立的一门数学分 支——矩阵论。 而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解 论和广义逆矩阵论(M-P)等矩阵的现代理论。 矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技 的各个领域。