高中数学必修4弧度制

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高中数学新人教B版必修4 弧度制和弧度制与角度制的换算

1．1.2弧度制和弧度制与角度制的换算(1)1弧度的角是如何定义的？(2)如何求角α的弧度数？(3)如何进行弧度与角度的换算？(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？[新知初探]1．度量角的两种制度(1)角度制：①定义：用度作单位来度量角的制度．②1度的角：把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1度．(2)弧度制：①定义：以弧度为单位来度量角的制度．②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．③弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝lr.[点睛]用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad的单位“rad”可省略不写，只写2.2．角度与弧度的互化(1)180°＝π rad.(2)常用的角度数与弧度数的互化：[点睛](1)在应用扇形面积公式S＝12αr2时，要注意α的单位是“弧度”．(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入．(3)在弧度制下的扇形面积公式S ＝12lr ，与三角形面积公式S ＝12ah (其中h 是三角形底边a 上的高)的形式较相似，可类比记忆．(4)由α，r ，l ，S 中任意的两个量可以求出另外的两个量．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度＝1°.( )(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( ) (3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．5弧度的角的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长是( )A.4π3 B ．π C.2π3 D.π3答案：C4．(1)2π3＝________；(2)－210°＝________.答案：(1)120° (2)－7π6[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9. [解] (1)72°＝72×π180＝2π5. (2)－300°＝－300×π180＝－5π3. (3)2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°.(4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°.角度与弧度的互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．[活学活用]将下列角度与弧度进行互化： (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.解：(1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18. (4)－855°＝－855×π180＝－19π4.用弧度制表示终边相同的角[典例] 已知角α＝－2 018°.(1)将α改写成φ＋2k π(k ∈Z,0≤φ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－2π，4π)上找出与α终边相同的角．[解] (1)因为α＝－2 018°＝－6×360°＋142°，且142°＝142×π180＝71π90，所以α＝－12π＋71π90，故α是第二象限角． (2)与α终边相同的角可表示为θ＝2k π＋71π90，k ∈Z ，又－2π≤θ＜4π，所以k ＝－1,0,1，将k 的值分别代入θ＝2k π＋71π90，k ∈Z ，得θ＝－109π90，71π90，251π90.用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z)时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．[活学活用]1．将－1 125°表示成2k π＋α，0≤α<2π，k ∈Z 的形式为________．解析：因为－1 125°＝－4×360°＋315°， 315°＝315×π180＝7π4，所以－1 125°＝－8π＋7π4. 答案：－8π＋7π42．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：如题图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12， ∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z .1．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3.求：(1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积．解：(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3，所以半径r ＝1sin π3＝233，所以这个圆心角所对的弧长l ＝233×2π3＝43π9. (2)由(1)得扇形的面积S ＝12×233×43π9＝4π9.题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB 的面积是4 cm 2，它的周长是8 cm ，求扇形的半径和圆心角．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8， ①12l ·r ＝4， ②由①②，得r ＝2，∴l ＝8－2r ＝4，θ＝lr ＝2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad. 题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝30，故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r ＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254⎝⎛⎭⎫15π＋1<r <15，所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．[提醒] 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．层级一学业水平达标1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析：选D 由角度制和弧度制的定义，知A 、B 、C 说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D 说法错误．2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16D ．32解析：选C 弧长l ＝2r,4r ＝16，r ＝4，得l ＝8，即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π 解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．解析：－135°＝－135×π180＝－34π，113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°与5π3终边相同，是第四象限角．(2)∵236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．层级二应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误．2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转π2，则从动轮N 逆时针旋转( )A.π8B.π4C.π2D ．π解析：选B 设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以1502×π2＝3002×θ，解得θ＝π4，选B.5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z)，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π106．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr .设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3，故α1α＝13.答案：137．已知α＝1 690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π(k ∈Z)．解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8.如图，已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小； (2)求α所对的弧的长度l 及阴影部分的面积S . 解：(1)由于圆O 的半径为10，弦AB 的长为10，所以△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝π3，所以α＝π3.(2)因为α＝π3，所以l ＝α·r ＝10π3.S 扇＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AOB ＝12×10×53＝253，所以S ＝S 扇－S △AOB ＝50π3－253＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.。

人教版数学必修4第一章1.1.2弧度制课件

3.无论是以“弧度”还是以“度”为单位, 角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.

必修4-1.1-任意角和弧度制PPT课件

的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的
正半轴。
➢角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（包含第一、二、三、四象限角）
➢角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是哪坐标轴上角（包含x,y正负半轴上的角）
.
7
2．象限角和坐标轴上角
终边
终边
y
x
o
始边
终边
终边是第一象限角
是第二象限角是第三象限角是第四象限角
１.{β| β=k∙1800 ，k∈Z} {β| β=kπ ，k∈Z}
２.{β| β=k∙900 ，k∈Z}
{β| β=k∙
2
，k∈Z}
3.{β| k ∙ <β<2kπ
3600 +
<β<k∙ 3600+900 ，k∈Z}
，k∈Z}
={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
.
11
所以终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
现状生活中：体操、跳水、滑冰、转体720度的高难度动作,直体后空翻转体900度及以上的旋转时钟的时针、分针转动和调准时间时顺时针、逆时针拨转角度主从动轮转动角车的轮子的转动角风车,风扇叶片等转动
.
4
思考：这些旋转形成的角该如何表示和区分?
引入新的角定义:
定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射线OA、 OB分别是角的始边和终边，端点O为角的顶点。

数学：1.1.2《弧度制》课件(苏教版必修4)

1、注册资本并不需要一次缴清我国目前实行注册资本认缴制，认缴制的意思就是：注册资本不用在一开始就全部缴纳完成，而是只要在承诺的时限内(一般为10-20年)缴完即可，这极大的降低了公司注册时的资金压力。
猜卷子，轻狂书生被批评为文锋还不如小童生老道，大受打击，化悲痛为酒量，自己喝，并且满席的逼人喝。满席的被他带动起来，都致力于进行“自己喝与劝人喝”的行为，端着酒榼，大言不惭道：“怕什么？这又不是烈酒，是淡酒！童子都饮得！”于是小童生和宝音都躲不过去。明柯好歹良心发现，替宝音挡一挡狼爪：“这小子酒量不行。”宝音深受启发，正准备装醉，“卟嗵”，那边已倒下一个。刘晨寂来酒不拒，饮下三杯，轰然倒地，醉死如一截木头，任谁推都不动，好如一截木头。而蝶宵华饮过三杯，宽了外衣，剩个碧蓝精绣薄绸子的中衣，中衣领口扣子还解开一颗，肉香四溢，媚眼流盼，气场全开。来给宝音灌酒的无聊人士，先被刘晨寂的倒下，吸引了注意力，之后就流着哈喇子跟其他人一样聚到蝶宵华脚边了，像被肉摊上香气吸引来的苍蝇，任摊主左挥右驱，百赶不去。——摊主就是那自封护花有责，不胜群蝇之扰的七王爷。宝音居此宴会，芒刺在股，坐立不安。男人就喜欢这种调调？见识了！反正以后她打死都不要来了。小童生免过被灌酒的劫难，又来同宝音攀谈，宝音也理解他：毕竟席上看来，只有宝音一人跟他年龄相近嘛！雄性动物的本能，年长的都爱欺负弱小的，小童生估计平时被欺负惨了，遇见宝音，如茫茫大海中攀住一根浮木。可宝音小身体里装着个老灵魂，纵然心怀宽广母爱泛滥，也不见得此时此地愿与他交谈——她还怕多说多错呢！第八十三章自毁入宫路（2）小童生殷勤的喋喋不休，拷问至祖籍家人。她微笑敬他一杯酒，自己只抿了一口，轰然倒地，百问不答，效刘晨寂状。闭上了眼睛，宝音看不到刘晨寂此时的危险，否则，未必敢学他。轻狂书生从蝶宵华身边被挤了出来，转头忽见刘晨寂俯在桌上，肌肤如玉、布衣国色，顿生歹念，踉跄过去，待趁醉把手搭在他肩上，吃顿豆腐，忽觉天旋地转，似乎是酒力涌上来，禄山之爪再也搭不下去，跑出去吐了，吐至一半，忽忆及一事，心头凛然：城东某富翁，听说也是此道馋痨，贪吃不顾形像的人，某日召刘大夫视疾，见色起意，病榻边就要毛手毛脚，忽的病势大危，昏迷了三天三夜，几乎没能抢救得转来，人都说他自作孽。除此人之外，还有某无赖儿，想用计谋，逼刘大夫就范，谋划到一半，家遭祝融，流落街头，这也是自作孽。再加上他今儿喝到吐„„想对刘大夫不轨的人，似乎很容易自作孽，不可活呢？宝音在屋里，装醉都装得腰酸背痛，不断腹诽此宴之不可理喻，不知什么时候才能结束。还有，如果是她安排的宴会啊，看到有客人醉倒，立刻就安排扶下去，软褥上卧着，奉碗醒酒汤了！何至于就让客人趴到现在？想啥就来啥，还真有个粗喉咙道：“把醉了的兄弟都抱到那边躺着吧！老

高中人教a版数学必修4：第2课时弧度制 word版含解析

第2课时弧度制1.2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.2．弧长计算公式：l ＝|α|·r (α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S ＝12l ·r 或S ＝12|α|·r 2(α是弧度数且0<α<2π)．3一、选择题 1．－315°化为弧度是( )A ．－43πB ．－5π3C ．－7π4D ．－76π答案：C解析：－315°×π180＝－7π42．在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为π3cm ，它所对的圆心角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案：A解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6.3．与角－π6终边相同的角是( )A.5π6B.π3C.11π6D.2π3 答案：C解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C. 4．下列叙述中正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案：D解析：由弧度的定义，知D 正确．5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 为( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π} 答案：D解析：求出集合A 在[－4,4]附近区域内的x 的数值，k ＝0时，0≤x ≤π；k ＝1时，4<2π≤x ≤3π；在k ＝－1时，－2π≤x ≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A ∩B .6．下列终边相同的一组角是( )A ．k π＋π2与k ·90°，(k ∈Z )B ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，(k ∈Z )C ．k π＋π6与2k π±π6，(k ∈Z )D.k π3与k π＋π3，(k ∈Z ) 答案：B解析：(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z ，都表示π的奇数倍．二、填空题7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. 答案：2解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为42＝2 rad.8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2，∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.9．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了________弧度．答案：－23π3解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－⎝⎛⎭⎫3×2π＋56·2π＝－23π3三、解答题10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车以30 km/h 的速度通过，求火车经过10 s 后转过的弧度数．解：∵圆弧半径R ＝2 km ＝2 000 m ，火车速度v ＝30 km/h ＝253m/s ，∴经过10 s 后火车转过的弧长l＝253×10＝2503(m)，∴火车经过10 s 后转过的弧度数|α|＝l R ＝25032 000＝124.11．已知角α＝2010°.(1)将α改写成θ＋2k π(k ∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角； (3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．解：(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π<7π6<3π2，角α与角7π6的终边相同，故α是第三象限角．(2)与α终边相同的角可以写为r ＝7π6＋2k π(k ∈Z )．又－5π≤r <0，∴k ＝－3，－2，－1.∴与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.(3)令0≤r ＝76π＋2k π＜5π，∴k ＝0,1，∴与α终边相同的角为76π，196π.能力提升12．如下图所示，在某机械装置中，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，射线OA 围绕点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则θ等于( )A ．－4πB ．－6πC ．－8πD ．－10π 答案：B解析：小正六边形沿着大正六边形滚动一条边并且到下一条边上时，射线OA 旋转了π3＋2π3＝π，则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置时，共旋转了π×6＝6π.又射线OA 按顺时针方向旋转，则θ＝－6π，故选B.13．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n π2－π3，n ∈Z ， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，试确定M 、N 、P 之间满足的关系．解：解法一：集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ； N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m π2－π3或x ＝2m ＋12π－π3，m ∈Z＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π－π3或x ＝m π＋π6，m ∈Z ； P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m 2π＋π6或x ＝2m －12π＋π6，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6或x ＝m π－π3，m ∈Z . 所以M N ＝P .解法二：M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝6m ＋16π，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3·(2m )＋16π，m ∈Z ；N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ；P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3k ＋16π，k ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ＝N .所以M ⊆N ＝P .。

高二数学必修4知识点：任意角和弧度制

高二数学必修 4 知识点：随意角和弧度制在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

小编准备了高二数学必修 4 知识点，希望你喜爱。

1.随意角(1)角的分类：①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角.②按终边地点不一样分为象限角和轴线角.(2)终边同样的角：终边与角同样的角可写成+k360(kZ).(3)弧度制：① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 .②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||=， l 是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 .③用弧度做单位来胸怀角的制度叫做弧度制.比值与所取的r 的大小没关，仅与角的大小相关.④弧度与角度的换算：360 弧度 ;180 弧度 .⑤弧长公式： l=||r ，扇形面积公式：S 扇形 =lr=||r2.2.随意角的三角函数(1)随意角的三角函数定义：设是一个随意角，角的终边与单位圆交于点P(x， y) ，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin =y ，cos =x，tan =，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 .(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 .3.三角函数线察看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与少儿生活靠近的，能理解的察看内容。

随机察看也是不行少的，是相当风趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边察看，一边发问，兴趣很浓。

我供给的察看对象，注意形象传神，色彩鲜亮，大小适中，指引少儿多角度多层面地进行察看，保证每个少儿看获得，看得清。

看得清才能说得正确。

在察看过程中指导。

我注意帮助少儿学习正确的察看方法，即按次序察看和抓住事物的不一样特点重点察看，察看与说话相联合，在察看中累积词汇，理解词汇，如一次我抓住机遇，指引少儿察看雷雨，雷雨前天空急巨变化，乌云密布，我问少儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像海洋的波涛。

高中数学弧度制课件一新人教A必修4

1º=
π
180
rad0.01745rad
1rad
=
(
180
π
) º 57.3º =57º 18′
6 .特殊角的度数与弧度数的对应表:
0 4 3 2 32
例值；（2）精确到0.001的近似值。
例2. 将3.14 rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001).
例3.利用弧度制来推导扇形的公式：
(1 )1 2 SR2; (2 )1 2l SR.
其中R是半径，l是弧长，(02)
为圆心角，S是扇形面积。
l OS
R
小结
1.弧度的计算公式： l
r
2.弧度与角度的换算：
1º=
π
180
rad
1rad = ( 180 ) º
π
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
3.角度是一个量,弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.

高中数学 1-1-2弧度制和弧度制与角度制的换算课件新人教B版必修4

(2010·新余市高一下学期期末测试)在单位圆中，面积
为1的扇形所对圆心角的弧度数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 设扇形的弧长为l，由题意，
得 S＝12lR＝12l×1＝1，∴l＝2，
∴扇形所对圆心角的弧度数为Rl ＝21＝2.
[例4] 已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？
[分析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，则扇形面积可表示为 S＝12lr，l 与 r 之间还要满足周长为 20，即 l＋2r＝ 20，所以 l＝20－2r，这样 S 就能表示成关于 r 的二次函数，再利用二次函数的性质求最值即可．
[解析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，由已知条件可知：l＋2r＝20，即 l＝20－2r.由 0<l<2πr，得 0<20－2r<2πr， ∴π1＋01<r<10.
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为：β＝2kπ＋α(k∈Z)．这些角所组成的集合为{β|β＝2kπ＋ α，k∈Z}．
用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合． [解析] 第一象限角的集合：
S1＝α2kπ<α<π2＋2kπ，k∈Z
；
第二象限角的集合：
S2＝απ2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z
rad≈0.01745rad，
1rad＝ (18π0)°≈57.3°＝57°18′.
3．在弧度制下，弧长公式为 l＝θr，扇形面积公式为
S＝
1 2lr .
重点：弧度的概念，角度与弧度的换算，弧长公式．难点：弧度概念的理解及角度与弧度的换算和弧度制下弧长与扇形面积公式． 1．关于弧度的理解，主要明确以下几点： (1)和角度制对比，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制． (2)根据圆心角定义，对于任何一个圆心角α，所对弧长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数．因此，弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变化，而是一个大小确定的角，可以取为度量角的标准．

高中数学必修4弧度值教案

高中数学必修4弧度值教案
课题：弧度值
目标：学生能够掌握弧度值的概念，能够转换角度和弧度的关系
教学重点：弧度的定义，角度和弧度的转换
教学难点：角度和弧度的转换
教学准备：教材、黑板、粉笔、教学PPT
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过引导学生回顾之前学过的角度的概念，让学生思考什么是角度，并与圆相关联。

二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义：引导学生思考圆周角的度量方式，并介绍弧度的定义为圆周的长度等于半径的角。

2. 角度和弧度的关系：通过示意图和实际问题，让学生理解角度与弧度的转换关系。

三、练习（25分钟）
1. 让学生完成几道简单的练习题，巩固弧度的概念及与角度的转换。

2. 让学生通过实际问题应用角度和弧度的计算方法。

四、总结（5分钟）
老师带领学生总结本节课学到的知识点，并强调弧度值在数学中的重要性。

五、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对弧度值的理解和运用。

板书设计：
1. 弧度的定义：圆周的长度等于半径的角
2. 角度和弧度的关系：1弧度=180°
3. 角度和弧度的转换公式：θ(弧度)=θ(角度) × π/180
反思：
通过本节课的教学，学生对弧度值的概念有了更深入的认识，能够灵活运用角度和弧度的转换公式进行计算。

同时，本节课难度适中，但为了更好地巩固和理解弧度值的知识，可以设计更多场景化的问题，提高学生的实际运用能力。

高中数学必修四第1章三角函数课件 1.1.2 弧度制

高中数学必修四
第一章三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z

Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z

类型一角度制与弧度制的换算【例 1】将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．

数学：第一章《弧度制》课件(北师大版必修4)

4 π (3) 5
5π o o (4)-150 (4) 6 (3)-144
1、对于一些特殊角的度数与弧度数注：
之间的换算要熟记。
45 °
度弧度
0° 30 °
60 ° 90 ° 180 ° 270° 360°
0
π
6
π 4
π 3
π 2
π
3 π 2π 2
2、用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 3、用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式。
解题思路
判断一个用弧度制表示的角所在象限 , ,然 2 ( )的形式一般是将其化成后再根据所在象限予以判断 .
( 2 1) ( ) 注意: 不能写成的形式 . 10 例 3 不能写成 3 3 的形式, 4 而应写成 2 3
例3、把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ 的形式： 16 11 （1 ）；（2） 315 ；（3）．( 4) 8 3 7 16 4 （1）： 4 3 3 7 0 315 2
（2）:
4
4
11 3 （3）： 2 7 7
|
( ) ( ) ( )
( )
；上海策划公司上海创意设计公司上海公关策划公司上海广告公司上海广告有限公司上海广告制作公司；
比の上煞气の毒/这壹句话让众人愣咯愣/但很快它们就明白咯/只见马开手臂甩动之间/有着壹条巨大の螣蛇煞暴动而出/很旧很慢比较/)螣蛇煞舞动之间/煞气喷涌/直接冲击在漫滴の毒物之上/螣蛇煞何其恐怖/它确定拥有法则の东西/冲击之间/顿时腐蚀壹片片毒物/不管确定七彩蝙蝠/还确

(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

弧度制说课稿

弧度制说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的内容是“弧度制”。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“弧度制”是高中数学必修 4 第一章《三角函数》中的重要内容。

在此之前，学生已经学习了角度制，而弧度制的引入为后续学习三角函数的图象和性质等知识奠定了基础。

教材通过类比长度、重量等度量制的建立过程，引导学生理解弧度制的概念和意义。

同时，教材注重弧度制与角度制的换算，培养学生的运算能力和数学思维。

二、学情分析学生在初中已经接触过角度制，对角度的度量有一定的认识。

但对于弧度制这一新的概念，可能会感到陌生和抽象。

因此，在教学中需要通过具体的实例和直观的演示，帮助学生理解弧度制的本质。

此外，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力还处于发展阶段，在教学过程中要注重引导学生进行思考和探究，逐步培养学生的数学素养。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算公式。

（2）能够用弧度制表示角的大小，并能进行简单的运算。

2、过程与方法目标（1）通过类比、归纳等方法，引导学生自主探究弧度制的建立过程，培养学生的数学思维能力。

（2）通过实例分析和练习，提高学生的运算能力和解决实际问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学知识的内在联系，体会数学的严谨性和科学性。

（2）激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、创新的精神。

四、教学重难点1、教学重点（1）弧度制的概念和弧度与角度的换算。

（2）用弧度制表示角的大小。

2、教学难点弧度制概念的理解。

五、教法与学法1、教法（1）讲授法：讲解弧度制的概念、原理和相关知识。

（2）演示法：通过多媒体演示，帮助学生直观地理解弧度制。

（3）启发式教学法：引导学生思考问题，激发学生的学习积极性。

2、学法（1）自主探究法：让学生自主探究弧度制的建立过程，培养学生的自主学习能力。

人教版B版高中数学必修4：弧度制和弧度制与角度制的换算_课件4

变式训练2 将下列角度与弧度互化 (1)480°； (2)－1120°； (3)－136π；
16π (4) 3 .
解析 (1)480°＝480×1π80＝83π； (2)－1120°＝－1120×1π80＝－596π； (3)－136π＝－163π×18π0°＝－390°； (4)163π＝136π×18π0°＝960°.
其中α是圆心角的弧度数，n是圆心角的角度数．由此可知，弧度制下的扇形的弧长与面积公式要比角度制下的简单.
课堂互动探究
剖析归纳触类旁通
典例剖析
例1 下列命题中，假命题是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同度量单位 B．一度的角是周角的3160，一弧度的角是周角的21π C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 D．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径
(4)－158π＝－4π＋25π，0<25π<2π， ∴25π是第一象限角，∴－158π是第一象限角．
例4 一扇形周长为20，问扇形的半径和圆心角各取何值时，才能使扇形的面积最大？
剖析解答本题，需灵活运用弧度制下的弧长与面积公式．本题是求扇形面积最大值，关键是寻找面积S与半径r的函数关系式，然后再求函数的最大值．
解法2 (化为角度)： β＝1π0＝1π0×18π0°＝18°，γ＝1≈57.30°， φ＝172π×18π0°＝105°. 显然，15°<18°<57.30°<105°. 故α<β<γ<θ＝φ.
规律技巧 ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住π rad＝180°这一关系；②以后用弧度制表示角时，“弧度”或 “rad”可以省略不写，而只写这个角所对应的弧度数即可，但是在用角度表示时，“度”或“°”却不能省略，以防止与弧度混淆；③用弧度作为单位时，常出现π，如果题目中没有特殊的要求，应当保留π的形式，不要写成小数．

新人教A版高一数学必修四第一章三角函数1.1.2弧度制

[归纳升华] 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数.
1．将下列角度与弧度进行互化： (1)5611π；(2)－71π2 rad；(3)10°；(4)－855°.
解析： (1)5611π＝5611×180°＝15 330°；
2．5 弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因为32π<5<2π，因此 5 弧度的角的终边在第四象限．
答案： D
3．扇形圆心角为 216°，弧长为 30π，则扇形半径为________．
解析： 216°＝216×1π80＝6π5 ，l＝α·r＝6π5 r＝30π，∴r＝25. 答案： 25
(3)如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的圆心角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
[边听边记] (1)由公式|α|＝rl，可知圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也变为原来的 2 倍时，圆心角大小不变；但扇形面积 S＝12lr，故面积变为原来的 4 倍．
(2)设扇形的弧长为 l，半径为 r，则 l＋2r＝40，则 S＝12lr＝12(40－2r)r＝20r －r2，所以 r＝10 时，扇形面积最大，此时 l＝40－2r＝20，圆心角的弧度数 α＝rl ＝2100＝2.
π (2)如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－ 6 ，
而 75°＝75×1π80＝51π2 ，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θ|
2kπ－π6 ＜θ＜2kπ＋51π2 ，k∈Z.

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（2）已知扇形的周长为 8cm，面积为4cm，2 求扇形的中
心角的弧度数．
例4. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
练习2
计算：（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
4
4
2
（2）∵ 57.30 1.5 85.95 8557 ∴ tan1.5 tan8557 14.12
三、用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
练习1：如果α 是第二象限的角，那么2α 、α /2 分别是第几象限的角？
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°
180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
2、若α是第四象限角，则180º－α是（ C）
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
① 弧长公式： l r
由公式： l l r
r
比公式
l nr
180
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积.
② 扇形面积公式 S 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S R2 n 1 R2
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系：
AB r

AB r
=定值，
设α =nº，AB 弧长为l，半径OA为r，
则 l n 2 r , l n 2 ，
360 r 360
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
D 第四象限角
3、若90º<β<α<135º，则α+β的范围是 _(_1_8_0_º,_2_7_0_º)_，α－β的范围是___(_0_º,_4_5_º)___;
1.1.2 弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量， 1度的角是怎样定义的呢？
周角的 1 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度常用的度量角的制度——弧度制。
（第二课时）
复习回顾：
一、弧度的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
二、弧度与角度的换算
180°= π 弧度
∴ 1= rad 0.01745rad
180
1
rad

180

57.30
57 18'
例1 1、按照下列要求，把22.5°、67°30′化成弧度：（1）求其精确值；（2）求其精确到0.001的近似值.

扇形面积是 ( 1)R2
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得
3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
12αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
例2 (1) 已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，求扇形的弧长和面积；
（2）已知扇形的周长为10cm，面积为 4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.
例3、
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角的弧度数．
180
1
rad

180

57.30
57 18'
例1 1、按照下列要求，把22.5°、67°30′化成弧度：（1）求其精确值；（2）求其精确到0.001的近似值.
2、把弧度制角 1 , 3 化为角度制表示。
35
练习:
请写出一些特殊角的弧度数
度 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
2、把弧度制角 1 , 3 化为角度制表示。
35
练习:
请写出一些特殊角的弧度数
度 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
弧度数 0 2 3 5
6 4 32 3 4 6
3 2
2
注: 1.用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字或“rad” 通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 2.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式, 如无特别要求，不用将π化成小数。
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
二、弧度与角度的换算
思考： 1.若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是多少？
2.若弧是一个半圆，其圆心角的弧度数是多少？
360°= 2π 弧度 180°= π 弧度
l=2 π r
（B）
Or
∴ 1= rad 0.01745rad
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角
的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心角的大小； 360
360 2
又 αR=l，所以
S 1 lR 2
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 R2 2 2
l
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
所以它的面积是 S 1 lR 2
例1. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
弧度数 0 2 3 5
6 4 32 3 4 6
3 2
2
注: 1.用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字或“rad” 通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 2.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式, 如无特别要求，不用将π化成小数。
1.1.2 弧度制