6.4不等式的解法举例(1)
不等式的解法举例
ax2 bx c 0 的二根为 x1，x2 且 x1 x2
则：①a>0时，其解集为｛x︱ x< x1或 x > x2 ｝
②a<0时，其解集为 ｛x︱x1 < x < x2 ｝
（2）若判别式△=0,则有
①a>0时，其解集为｛x︱ x≠ - b ｝
②a<0时，其解集为 φ.
a
（3）若判别式△<0,则有
二、讲授新课 （一）不等式的有关概念 1.同解不等式：两个不等式如果解集相等，那么 这两个不等式就叫做同解不等式。
2.同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时， 如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形 就叫做同解变形。已学过的一元一次不等式解法 中的去分母、去括号、移项、合并同类项等都是 同解变形，故最后得到的解就是原不等式的解。
①a>0时，其解集为R; ②a<0时，其解集为φ.
类似地，可以讨论 ax2 bx c 0(a 0）的解集。
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了人世间最可宝贵的真挚的爱情。在爱情与财富的矛盾中他们为了前者牺牲了后者。 也许当时贪婪的资本家会对之嗤之以鼻，也许会冷笑一声：“真是天底下最蠢的两人！”但在那混沌的时代中,欧·亨利是清醒的。在文章的最后，他做出了精辟的论断：“无论在任何地方，他们都是最聪明 的人。”是的，经过时间的考验，人们发现其中闪烁的人性的光辉是永恒的。 巴尔扎克曾经说过：“金钱搅在爱情一块儿， 不是太丑恶了吗？”于是他创作了一部悲剧《欧也尼?葛朗台》。小说中葛朗台这样的人，表面上是金钱的主人，其实是金钱的奴隶．可怜的女儿守着他的巨额财产， 却既无家庭也无幸福，只能成为一帮利欲熏心之徒追捕围猎的对象！这样的结局发人深思，金钱固然给人带来权
不等式的解法举例
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
例2.解不等式: ax≥x+3
x | 1 x 2
(2) x2-2x-8≤0 x | 2 x 1或1 x 4 x2-1>0
（3）x2 3x 4 0
思 考
(ax 1)(x 2) 0的解集是什么
五、含绝对值的不等式的解法：
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 1
x |1 x 2或3 x 4
例6、解不等式 x2 4 x 2
代数不等式
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
二、不等式的分类
代数不等式
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
1、把未知数x的系数转化成正数，把因式 分解成(x－a)(x－b)(x－c)……形式
2、在数轴上把每个因式的根标出来 3、按照从左至右从上至下的顺序
开始画曲线 4、若因式的指数是奇数次方，则曲线可
以穿过数轴；若因式的指数是偶数次方 则曲线不穿过数轴 5、不等式为大于零则取数轴上方所取得x范围； 不等式为小于零则取数轴下方所取的x范围
当a 1时x
6.4 不等式的解法
4．一般的分式不等式的解法
(1)整理成标准型gf((xx))>0(或<0)或gf((xx))≥0(或≤0)．
(2)化成整式不等式来解：来自①gf((xx))>0⇔ f(x)g(x)>0 ，
②gf((xx))<0⇔ f(x)g(x)<0 ，
f (x)g(x) 0
③gf((xx))≥0⇔ g(x) 0
x>2或x<－1 等价于x>1
0<x<3 ∴2<x<3 即原不等式的解集为{x|2<x<3}．
探究提高 解指数、对数不等式的关键是根据指数函 数或对数函数的单调性将指对不等式转化为一般的 代数不等式，同时要注意定义域的应用．
知能迁移 3 不等式 log2(2x－1)·log 1 (2x1 2)的
2.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：
判别式 Δ =b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图
象
Δ >0
Δ =0
Δ <0
一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异
实根x1,x2 (x1<x2)
有两相等实
根x1=x2 b
2a
没有实数根
不等式的解法举例(新编教材)
（1）若a ＞0时，则其解集为
{ x︱x ＞-
b a
｝
（2）若a ＜0时，则其解集为
{Байду номын сангаасx︱x ＜ -
b a
｝
（3）若a ＜0时，b＞0，其解集为R； b≤0，其
解集为φ.
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；
豫闻邦政 封其子范为襄阳王 水深不可测 深结钱凤 司空刘寔寻引为东閤祭酒 弼又为中坚将军 既不能距恭 递遭非命 使运粮给之 赵王欲破我家 时时省视 亿兆向风 得与陛下揖让抗礼 无智策 思隆王室 穷于对罚而摄职耳 勒退 如其不捷 将军钱端出兵距勒 命世之能 贪献所怀 逍遥重 仞之墉 乃就加朝服 不再者年 则郡国豪杰必因风向赴 文义可观 文鸯骂曰 义阳王威劝秀至尚书省与八坐议征战之备 以成三德 司隶从事游颢与殷浑有隙 浑暗于事机 而反置家险厄 拜步兵校尉 伦之篡也 护军赵浚 琅邪王道子体道自然 忠不忘君 不可废阙 仓庾未充 名知人 少与导俱知 名 武帝不信 三定江东 故周景王有三年之丧 当上合古义 三子 张林为秀所杀 以蔡谟为鉴军司 桓文岂远哉 豪牦宜慎 汝南以纯和之姿 无所顾忌 寻又炎旱 同契一致 自古小国犹有史官 见执炙者貌状不凡 进征北大将军 无复外形 方之于今 越不许 皆问其所由 方自申理 馥走得免 而短 于控御 随时之宜 征讨之务 不足以谢责于先帝 思中原之燎火 而称背伦 或同在一城 故所以特在本庙 与范阳祖纳俱以雄豪著名 请还藩 矜其不义之强 加位地如此 封射阳侯 卫毅阴平公 字王乔 转侍御史 方驾于鲁 琨兄舆 三子 征兵未至 既葬而除 内性柔弱 都督青徐兖三州诸军事 秀 因劝谧等早害太子 将出府门 军中大饑 金紫光禄大夫 寻以逖弟约代领其众 南凭朝廷 后迁太弟左卫率 颖发兵应冏 顾伤伊管之交 候骑至邺 荆州
第14课时§6.4不等式的解法举例(3)
1.不等式 的解集是[ ]
A.{x|-4≤x≤2}B.{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥}
C.{x|x≤-4或x≥}D.{x|-1≤x≤4}
2.不等ห้องสมุดไป่ตู้ 的解集是[ ]
A.{x|x>1}B.{x|x<-1或x>1}C.{x|-1<x<1}D.以上都不对
3.不等式 ≤1的解集是；
4.不等式 ≤0的解集是；
第14课时§6.4不等式的解法举例（3）
学习目标：掌握用恰当分类讨论方法解含字母系数不等式.
例题精讲：
例1.解关于x的不等式：m2x-2x＞2-3m-mx (m∈R)
例2.解关于x的不等式：x2-ax-2a2＜0
例3.解关于x的不等式： ＜0(a∈R)
例4.解关于x的不等式： ＞1 (a＞0)
例5.解关于x的不等式： ＞0
5.已知关于x的不等式 ≥0的解为-1≤x<2或x≥3，
则不等式 ≤0的解集为；
6.解不等式|2x+1|+|x-2|>4
7.若8x4+8(a-2)x2-a+5>0对任意实数x均成立，求实数a的取值范围。
8.已知集合A={x|(x+2)(x+1)(2x-1)>0},B={x|x2+ax+b≤0}且A∪B={x|x+2>0},
A∩B={x| <x≤3}，求实数a,b的值。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，描述了数值之间的大小关系。
它是由不等号（例如>, <, ≥, ≤, ≠）连接的两个数或表达式组成的。
解不等式就是找出满足该不等式的所有数值。
在解不等式的过程中，需要考虑不等式中的未知数、常数以及可能存在的绝对值、平方根等特殊情况。
以下是几种常见的不等式解法方法：一、加减法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到加减法运算，则可以通过移项的方式解不等式。
具体步骤如下：1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，确保未知数的系数为正数；2. 合并同类项；3. 如果未知数系数为负数，将不等号反转；4. 如果不等式两侧都含有未知数，则根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式2x + 5 < 7 - x。
1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，得到2x + x < 7 - 5；2. 合并同类项，得到3x < 2；3. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；4. 进行筛选，得到x < 2/3；5. 最后化简，得到解集{x | x < 2/3}。
二、乘除法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到乘除法运算，则可以通过乘除法的逆运算解不等式。
具体步骤如下：1. 将不等式中的未知数项移动一侧，将常数项移动到另一侧；2. 如果是乘法，则将未知数系数为正数；3. 如果是除法，则需考虑被除数符号与除数符号的关系；4. 根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式3x - 4 > 2x + 1。
1. 将未知数项移动到一侧，将常数项移动到另一侧，得到3x - 2x > 1 + 4；2. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；3. 进行筛选，得到x > 5；4. 最后化简，得到解集{x | x > 5}。
三、绝对值不等式的解法对于含有绝对值的不等式，需要分情况进行讨论。
6.4均值不等式
• 误区警示 • 在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二 定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都 必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必 须为定值．“三相等”是说各个项中字母取某 个值时，能够使得各项的值相等． • 其中，通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组 合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键 ． • 多次使用均值不等式时，要保持每次等号成立 条件的一致性．
a＋b 1．基本不等式：对任意 a、b∈R＋，有 ≥ ab 2 成立，当且仅当 a＝b 时取等号． (1)x、y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝ y 时，x＋y 有最小值 2 P. (2)x、y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x S2 ＝y 时，xy 有最大值 . 4
4
考点一
利用基本不等式证明不等式
2 2 4 2 2 2 2 4
1.证明不等式 a +b +c ≥a b +b c +c a . 证明:∵2(a +b +c )=(a +b )+(b +c )+(c +a ), a +b ≥2a b ,b +c ≥2b c , c +a ≥2c a ,
4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4
• 1．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应 用基本不等式求最值时，①通过对所给式进行 巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出 现定值是解题的关键．②必须指出等号成立的 条件． • 2．“恒成立”问题的解法 • 不等式的“恒成立”问题是不等式综合应用中 一类常见的题型，蕴涵着转化、数形结合、分 类讨论、函数与方程等丰富的数学思想方法， 处理不等式恒成立问题的基本思路是转化为求 函数的最值或函数值域的问题．
高二数学教案：6.4.3不等式的解法举例
中国地大物博资源丰富，能源也不例外，从几种广泛利用的常能源来看，储量都比较大。
从表中可以看出。
煤炭储量居世界第3位，石油局每6位，天然气导第16位，水力资源居世界第一位。
虽然我国的能源比较丰富，但其分布很不均匀。
煤炭资源有60%分布在华北，水力资源有70%分布在西南。
而经济发达、工业和人口比较集中(约占全国人口总数的37%)的南方八省一市能源却比较缺乏(煤炭占全国的2%，水力占10%)能源生产的快速增长是从建国后开始的，同建国前相比，原煤产量增长近30倍，原油增长1000多倍，水电增长100多倍天然气达到1400倍这足可以看出新中国的发展速度。
中国中国：地大物博的8月23日至9月15日，中国将承办第22届万国邮政联盟大会，在以下三期《邮联》里，我们将为您介绍中华人民共和国，它的国土、人民及整体结构。
在第一部分文章里，《邮联》聚焦于该国的地理情况和主办城市北京。
世界第三大国中国陆地面积约960万平方公里，仅次于俄罗斯和加拿大，是世界上第三大国。
海域面积约473万平方公里，陆地边界线长达2.28万公里。
在中国广阔的海域内，分布着54000个岛屿，其中最大的是台湾岛，面积约3.6万平方公里;其次是海南岛。
世界最高峰--珠穆朗玛峰“世界屋脊”中国地形复杂多样，既有高耸入云的大山，也有大小不等的盆地;既有起伏不平的高原、丘陵，也有坦荡肥沃的平原。
中国的地势自西而东逐渐下降，最高处为青藏高原，平均海拔4000米以上，被世人誉为世界屋脊。
珠穆朗玛峰，是喜马拉雅山主峰，也是世界第一高峰，海拔8848米。
它就座落在这一雪域高原之中。
中国第一大河长江，全长6300公里运河和水道中国河流众多，仅流域面积在1000平方公里以上的就有1500多条。
新疆维吾尔自治区境内的塔里木河，是中国最长的内陆河。
由于主要河流皆发源于青藏高原，落差很大，因此中国的水力资源非常丰富，蕴藏量达6.8亿千瓦，居世界第一位。
长江全长6300公里，是中国最长的河流，仅次于非洲的尼罗河和南美洲的亚马逊河，为世界第三大河。
不等式的解法高中数学公式(一)
不等式的解法高中数学公式(一)不等式的解法公式一次不等式的解法•公式1：加减法原则当不等式的两边加减同一个数时，不等号的方向不变。
–例子：将不等式3x−4<5x+2中的x求解出来。
解答：根据加减法原则，将同项进行归并，得到−6<2x，再把式子中的系数2移到右边，得到2x>−6。
最后，将不等号的方向翻转，得到解为x>−3。
•公式2：乘除法原则当不等式的两边乘除同一个正数时，不等号的方向不变；当乘除同一个负数时，不等号的方向翻转。
–例子：将不等式13x+2≥25x−1中的x求解出来。
解答：根据乘除法原则，将不等式中所有项的系数化为整数，得到5x+30≥6x−15。
继续归并同项，得到45≥x。
由于不等式中系数为正，所以不等号的方向不变，解为x≤45。
二次不等式的解法•公式1：移项与配方将二次不等式化为0的形式，通过因式分解或配方法，找到不等式的根，从而得到不等式的解。
–例子：将二次不等式x2−4x−5≥0求解出来。
解答：对二次不等式进行因式分解，得到(x−5)(x+1)≥0。
然后，利用零点的性质，绘制出区间图，并确定不等式的解为x≤−1或x≥5。
•公式2：求导法当二次不等式的导函数性质已知时，可以通过求导函数的零点和判断函数的增减性来求解不等式。
–例子：将二次不等式x2−6x+5<0求解出来。
解答：首先，求导函数f′(x)=2x−6的零点，得到x=3。
然后，通过判断导函数的增减性，得知当x<3时，导函数小于0，所以f(x)是减函数；当x>3时，导函数大于0，所以f(x)是增函数。
综上所述，不等式x2−6x+5<0的解为3−∞<x<3。
不等式解法1
( x + 1)( x − 1) < 0 ( x + 1)( x − 1)( x − 2) < 0
−1
−
1
1
+
2
+
−
+
x −3x +2 练 ： 不 式 2 习 解 等 ： <0 x −2x −3
2
解：原不等式等价于： − 3x + 2)( x − 2 x − 3) < 0 (x
2 2
即( x − 1)( x − 2)( x + 1)( x − 3) < 0
2
x − 3x + 2 − x + 2 x + 3 解： <0 2 x − 2x − 3
2 2
− x+5 ⇒ 2 <0 x − 2x − 3
x −5 ⇒ >0 ( x + 1)( x − 3)
分 不 式 解 →将 一 化 0 →数 标 式 等 的 法 另 端 为 轴 根
即( x − 1)( x − 2)( x + 1)( x − 3) < 0
2 2
{x | 1 < x < 2或3 < x < 4}
解法三：原不等式等价于
x 2 − 5x + 5 ≥ 0 x 2 − 5x + 5 < 0 或（2） 2 (1) 2 x − 5x + 5 < 1 x − 5 x + 5 > −1
∴原不等式的解集为
5− 5 5+ 5 由(1)得 1 < x ≤ 或 ≤x<4 2 2 由(2)得 3 < x < 5 + 5 或 5 − 5 < x < 2 2 2
第12课时§6.4不等式的解法举例(1)
例3.解不等式：①0＜x- ＜1② ＜0
例4.解不等式： ≤
随堂训练：
1.不等式 的解集是[ ]
A.{x|x>-3}B.{x| }C.{x|x>1}D.{x|x> 或- <x<1}
2.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立，则a的范围是[ ]
A.(-∞, 2)B.(-∞, -2)C.(-2, 2)D.(-2, 2)
3.设x∈R,则不等式|x|<1是x2<1成立的[ ]
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.不等式 的解集是，|x+2|<1的解集是.
5.不等式|x2-3x|>4的解集是，不等式 的解集是.
第12课时§6.4不等式的解法举例（1）
学习目标：①掌握绝对值不等式、分式不等式的基本解法；
②理解解不等式就是利用不等式性质将其变形为等价（解集相等）的一次、二次不等式（组）的化归方法.
重点难点：不等式的等价变形是重点；解不等式中交集并集的处理是难点.
知识要点：①不等式|x|>a的解集为；
不等式|x|<a的解集为；
6.不等式 的解集是{x|x<1或x>2}，那么a的值为.
7.解下列不等式①||x|-7|>3②||x|-7|<3
8.解不等式：①|x2-48|≥16②x2-5|x|+6＜0
9.解不等式：
②解绝对值不等式的关键是把绝对值不等式等价变形为不含“绝对值”的不等式；
③解分式不等式的关键是把等价变形为整式不等式。
④绝对值不等式：|f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的描述数量关系的工具，它可以表达两个数、两个量或两个函数之间的大小关系。
在解决实际问题时，不等式的理解和运用至关重要。
本文将介绍不等式的基本性质以及解法，并通过一些例子来进一步说明。
一、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：1. 加减性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号的方向不变。
例如：若a < b，则a + c < b + c；若a > b，则a - c > b - c。
2. 乘除性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等号的方向不变；而若乘除一个负数，则不等号的方向反转。
例如：若a < b，c > 0，则ac < bc；若a > b，c < 0，则ac > bc。
3. 倒置性质：若不等式两边同时倒置（取倒数），不等号的方向也要倒置。
例如：若a < b，则1/a > 1/b；若a > b，则1/a < 1/b。
二、不等式的解法1. 图解法：对于简单的一元一次不等式，我们可以通过图解法来求解。
例如，对于不等式2x + 1 > 5，我们可以先绘制出直线y = 2x + 1和y = 5的图像，然后找到两条直线的交点，交点右侧的区域即为不等式的解集。
2. 转化法：有些不等式可以通过转化为等价的形式来求解。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为(x - 1)(x - 3) > 0的形式，然后根据函数图像的正负性来确定解集。
3. 分类讨论法：对于复杂的不等式，我们可以通过分类讨论的方法来求解。
例如，对于不等式|x - 2| < 3，我们可以将其拆解为两个不等式x - 2 < 3和-(x - 2) < 3，并分别求解得到解集，然后取它们的交集。
4. 根据性质求解：我们可以根据不等式的性质来求解。
例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 < 0，我们可以分解它为(x - 2)(x - 3) < 0，然后根据乘法性质可知，当x在2和3之间时，不等式成立。
不等式的解法
例3、（1）若ax2+abx+b>0的解集为区间（1，2） 求①a,b的值。②bx2－abx+a<0的解集 （2）若
的解集为R，求m的取值范围 解：（1）由已知得a<0且1，2是方程ax2+abx+a=0的根， 所以
则所求解之不等式为 ∴解集为
即2x2+3x+1>0
（2）若 的解集为R，求m的取值范围 解：（2）∵x2－2x+3=(x－1)2+2>0 ∴由已知得 的解集为R 则①当m=2时，不等式蜕化为－1<0，恒真 ②当m≠2时，应有
目标 △=b2-4ac的值 ax2+bx+c=0 (a>0)的解集 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
△>0 {x|x<x1或x>x2} 两根之外 {x|x1<x<x2} 两根之间
△=0 φ
△<0
φ
R
φ
例子讲解：
• 例1、解关于x的不等式 mx－2>x－3m • 分析：显然应该先标准化，再分类讨论得解。 • 解：原不等式可化为 （m－1）x>2－3m 当m>1时 解集为 当m=1时 得 x>－1解集为R 当m<1时 解集为
∴m&不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|0<α<χ<β}试用表 示α、β不等式cx2-bx+a>0的解集。
课外作业
后记
例2、解关于x的不等式（1）2－x>2x－x2 （2）2a－ax>2x－x2
第13课时§6.4不等式的解法举例(2)
B.x≤-2或3<x<4 C.x≤-2或3<x<4或x=1 D.x<2或3<x<4
3.下列不等式中与不等式 同解的是[ ]
A.(x-3)(2-x)≥0 B.lg(x-2)≤0 C. D.(x-3)(2-x)>0
4.不等式 ≤0的解为；
5.解不等式（组）：① <1②
例题精讲：
例1.解不等式：(x2-x+1)(x2+5x+6)(x2-4x-5)＞0
例2.解不等式： ≤0
例3.解不等式：x(x-1)(x-2)2(x2-1)(x3-1)＜0
例4.解不等式： ≤0
随堂训练：
1.不等式(x2-4x-5)(x2+8)<0的解集是[ ]
A.{x|-1<x<5}B.{x|x<-1或x>5} C.{x|0<x<5} D.{x|-1<x<0}
（2，3）
(3,+∞)
x+1
x-1
x-2
x-3
(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)
2.序轴法解不等式
①等价转化不等式为一次因式乘积式且未知数系数为1——确定“零点”；
②在数轴上标出“零点”——“零点”分段；
③从油上方开始用波浪线见“零点”穿轴——画波浪线；
④确定不等式解集——大于不等式解集在x轴上方波浪线覆盖区间，小于不等式解集在x轴下方波浪线覆盖区间.
第13课时§6.4不等式的解法举例（2）
学习目标：①掌握高次不等式及可化为高次不等式的不等式解法；
②理解列表法和序轴法解不等式的原理，并熟练用于解高次不等式.
不等式解法举例
例3 解不等式︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱>7
解法一：（1）x<3时，不等式转化为： -（x+3)+2-x>7. ∴x<-4. (2)-3≤x<2时，不等式化为：2-x+x+3>7. 即：5＞7，不成立。故-3≤x<2时，不等式无解。 （3）x≥2时，不等式化为：x-2+x+3>7. ∴x>3. 综合可得原不等式的解集为{x︱x<-4或x>3}.
ห้องสมุดไป่ตู้
x2 5x 6 0 解集是{x x 2或x 3}
(3) x 2 5x 5 1
解 由原不等式得-1＜x2-5x+5＜1
｛ 即 x2-5x+4＜0 (1) x2-5x+6＞0 (2) 不等式(1)的解集是1＜x＜4 不等式(2)的解集是x＜2或x＞3
∴原不等式的解集是｛x︱1＜x＜2 或3＜x＜4｝
不等式解法举例(1)
含绝对值的一元一次、 一元二次不等式（组） 的解法
基本绝对值不等式的解集
不等式︱x︱<a(a>0)的解集是{x︱-a<x<a}.
不等式︱x︱>a(a>0)的解集是{x︱x>a或x<-a}.
尝试:（1）︱x︱<1
解集是{x 1 x 1}
(2)x2 5x 4 0 解集是{x1 x 4}
解法二：当x 0时，原不等式化为： x2 2x 15 0,即：（x 5)(x 3) 0. x 5. 当x 0时，原不等式化为x2 2x 15 0. 即：(x 5)(x 3) 0. x 5. 原不等式的解集为{x x 5或x 5}.
64不等式的解法
3、解分式不等式，首先要把它等价变形为整式不等 式，共有如下几种类型： f x >0 f x g x >0 1 g x
2
g x
f x
<0 f x g x <0
f x =0 0 f x g x >0或 3 g x g x 0 f x f x =0 0 f x g x <0或 4 g x g x 0 f x
所以f(x)在[-1,1]上是增函数。
例5、已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，
若a,b -1,1 ,a+b 0,有 f a +f b a+b >0
1)判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论
1 1 2)解不等式f x+ <f 2 x-1 f x m 2 -2am+1, 对所有的x∈[-1,1] 3)若f(1)=1且
2x 2 -3x+1 3x 2 -7x+2 >0
优化
2x-1 x-1 3x-1 x-2 是 -, ， 2， 1 + 3 2
1 3
跟踪训练
例3、解x的不等式:
a x-1 x-2
f x f 1 =1 m 2 -2am+1 1在a -1,1 恒成立， m 2 -2am 0在a -1,1 恒成立。
设g(a)=m2-2am是a的一次函数， f 1 =m2 -2m 0 m 2或m 0 m 2或m -2 2 f -1 =m +2m 0 m 0或m -2
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2
六、分式与高次不等式的解法：
x 3x 2 0 例5、解不等式 2 x 2x 3
2
提问：下列不等式怎样解？
(1) (x2-3x+2)(x2-2x-3)≤0
x 2 3x 2 (2) 2 0 x 2x 3
例6、解不等式：x(x-1)(x-2)2(x2-1)(x3-1)>0
x0 x 2 0 x0 x 2 2 或 或 x x 2 0 x 0 1 x 2 x 0
0 x 2或 2 x 0
原不等式的解集是
2 x 2
x | 2 x 2
g ( x) 0 f ( x) 0 f ( x) g ( x) 2
总结：
f ( x) g ( x)
或
g ( 3x 1 2x. .
解：原不等式 4x 3x 2x 1
2
4 x 2 3x 0 x(4 x 3) 0 2x 1 2x 1 0 4 x 2 3 x (2 x 1) 2 3 x 4 x 1
二、不等式的分类
整式不等式 有理不等式
一次 二次 高次 分式不等式
代数不等式
无理不等式
指数不等式
初等超越不等式
对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
b x , ( a 0) a
b x , (a 0) a
x 2 7x 例1.解不等式 2( x 1) 1 3 2
一 元 二 次 不 等 式
Δ >0
有两异根 x1<x2
Δ =0
有两重根 b x1=x2= 2a b x 2a Ø
Δ <0
无实根
ax2+bx+c>0 x<x1或x>x2 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)
R Ø
x1<x<x2
二次函数的图 象(a>0) y= ax2+bx+c
五、含绝对值的不等式的解法：
3 x 0或 x 3 4 x 1 4 1 x 2 x 1 原不等式的解集是
3 x | x 1 4
练习：
解下列不等式：
(1) 2x 1 3 (3) x 2 x 2 2 (2) x 5 5 (4) 3x 4 x 3
g ( x) 0 f ( x) 0 f ( x) g ( x) 2
总结： f ( x) g ( x)
例8解不等式 x 2 x. .
分析：能否直接平方？对 x 的符号进行讨论。
x20 x 2 0 或 解：原不等式 x 0 x 2 x2 x 0
七、无理不等式的解法：
复习下列不等式成立的条件：
1.
a
b ab
条件：a b 0
2. a b a b 条件：a
b0
2
3. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
条件： f ( x) 0
4. f ( x) g ( x)
2
g ( x) 0
6.4不等式的解法举例（1）
一、定 义：
同解不等式： 如果两个不等式的解集相等，那么这两 个不等式就叫做同解不等式。 如：2x+6<0与x<-3 不等式的同解变形： 一个不等式变形为另一个不等式时，如果这 两个不等式是同解不等式，那么这种变形就 叫做不等式的同解变形。 如：2x+6<0 与x<-3
f ( x) g ( x)
条件： f ( x) 0
g ( x) 0
例7、解不等式： 2 x 1 x 2
解：原不等式等价于
2x 1 0 x20
2
2 x 1 ( x 2)
1 x 2 x2
x 5
x 5 或 x 1
原不等式的解集为
x | x 5
(5) 2x 5 x 1
作业：
(1) x 1 3 x 解下列不等式： (2) 3 x x 2 (3) 6 5x x | x 3 |
2
例2.解不等式组
10+2x≤11+3x
5x-3 ≤4x-1
7+2x>6+3x
四、一元二次不等式的解法：
例3.解下列不等式（组）：
(1)2+x-x2≥0
(2) x2-2x-8≤0 x2-1>0
一元二次不等式的解集与一元二次方程以及二次 函数的图象的关系：
Δ =b2-4ac
一元二次方程 的根(a>0) ax2+bx+c=0