6.4不等式的解法举例(1)

一 元 二 次 不 等 式
Δ >0
有两异根 x1<x2
Δ =0
有两重根 b x1=x2= 2a b x 2a Ø
Δ <0
无实根
ax2+bx+c>0 x<x1或x>x2 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)
R Ø
x1<x<x2
二次函数的图 象(a>0) y= ax2+bx+c
五、含绝对值的不等式的解法：
例2.解不等式组
10+2x≤11+3x
5x-3 ≤4x-1
7+2x>6+3x
四、一元二次不等式的解法：
例3.解下列不等式（组）：
(1)2+x-x2≥0
(2) x2-2x-8≤0 x2-1>0
一元二次不等式的解集与一元二次方程以及二次 函数的图象的关系：
Δ =b2-4ac
一元二次方程 的根(a>0) ax2+bx+c=0
3 x 0或 x 3 4 x 1 4 1 x 2 x 1 原不等式的解集是
3 x | x 1 4
练习：
解下列不等式：
(1) 2x 1 3 (3) x 2 x 2 2 (2) x 5 5 (4) 3x 4 x 3
二、不等式的分类
整式不等式 有理不等式
一次 二次 高次 分式不等式
代数不等式
无理不等式
指数不等式
初等超越不等式
对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
b x , ( a 0) a
b x , (a 0) a
x 2 7x 例1.解不等式 2( x 1) 1 3 2
x0 x 2 0 x0 x 2 2 或 或 x x 2 0 x 0 1 x 2 x 0
0 x 2或 2 x 0
原不等式的解集是
2 x 2
x | 2 x 2
g ( x) 0 f ( x) 0 f ( x) g ( x) 2
g ( x) 0 f ( x) 0 f ( x) g ( x) 2
总结： f ( x) g ( x)
例8解不等式 x 2 x. .
分析：能否直接平方？对 x 的符号进行讨论。
x20 x 2 0 或 解：原不等式 x 0 x 2 x2 x 0
6.4不等式的解法举例（1）
一、定 义：
同解不等式： 如果两个不等式的解集相等，那么这两 个不等式就叫做同解不等式。 如：2x+6<0与x<-3 不等式的同解变形： 一个不等式变形为另一个不等式时，如果这 两个不等式是同解不等式，那么这种变形就 叫做不等式的同解变形。 如：2x+6<0 与x<-3
(5) 2x 5 x 1
作业：
(1) x 1 3 x 解下列不等式： (2) 3 x x 2 (3) 6 5x x | x 3 |
2
七、无理不等式的解法：
复习下列不等式成立的条件：
1.
a
b ab
条件：a b 0
2. a b a b 条件：a
b0
2
3. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
条件： f ( x) 0
4. f ( x) g ( x)
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
g ( x) 0
总结：
f ( x) g ( x)
或
g ( x) 0 f ( x) 0
例9解不等式 4x2 3x 1 2x. .
解：原不等式 4x 3x 2x 1
2
4 x 2 3x 0 x(4 x 3) 0 2x 1 2x 1 0 4 x 2 3 x (2 x 1) 2 3 x 4 x 1
f ( x) g ( x)
条件： f ( x) 0
g ( x) 0
例7、解不等式： 2 x 1 x 2
解：原不等式等价于
2x 1 0 x20

2
2 x 1 ( x 2)
1 x 2 x2
x 5
x 5 或 x 1
原不等式的解集为
x | x 5
例4.解不等式 | x 5x 5 | 1
2
六、分式与高次不等式的解法：
x 3x 2 0 例5、解不等式 2 x 2x 3
2
提问：下列不等式怎样解？
(1) (x2-3x+2)(x2-2x-3)≤0
x 2 3x 2 (2) 2 0 x 2x 3
例6、解不等式：x(x-1)(x-2)2(x2-1)(x3-1)>0