1.4生活中的优化问题举例-教学设计-教案
1.4 生活中的优化问题举例
4
高为
由题意知 x>0,x+0.5>0,且 3.2-2x>0,
∴0<x<1.6.
设容器的容积为 V m3,
则有 V=x(x+0.5)(3.2-2x)
=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6).
∴V'=-6x2+4.4x+1.6.
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令 V'=0,有 15x2-11x-4=0,
解得
4
x1=1,x2=-15(舍去).
∴当 x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数,
x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数.
∴V 在 x∈(0,1.6)时取极大值 V(1)=1.8,这个极大值就是 V 在
x∈(0,1.6)时的最大值,即 Vmax=1.8.这时容器的高为 1.2 m.
此时 Smax=42=16(m2).
答案:16 m2
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2.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所
制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容
积最大?并求出它的最大容积.
解:设容器底面短边的边长为 x m,则另一边长为(x+0.5) m,
14.8-4x-4(x+0.5)
思路分析:表示面积时,首先要建立适当的平面直角坐标系,借助
椭圆的方程,可表示出等腰梯形的高.
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解:(1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立平面直角坐标系(如
图所示),则点 C 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标为
1.4生活中的优化问题举例(教学设计)
1.4生活中的优化问题举例（教学设计）（不做学案）教学目标：知识与技能目标：会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力。
过程与方法目标：在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养。
情感、态度与价值观目标：在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性。
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题． 教学过程：一．创设情景、新课引入生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．师生互动，新课讲解导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
例1（课本P34例1）．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x=++-=++>。
求导数，得'2512()2S x x =-。
令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。
1.4 生活中的优化问题---市级优质课课件
价为180元/天时，房间会全部住满；房间单
价每增加10元，就会有一个房间空闲。如果
游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的
各种维护费用，房间定价为多少时，宾馆利 润最大？
解：设每个房间每天的定价为x元， x 180 则利润f(x)=(50)(x-20) 10 1 2 =- x 70 x 1360(180 x 680) 10 1 ' 令f ( x) x 70 0, 解得x 350. 5 当x (180,350)时，f ' ( x) 0; 当x (350, 680)时，f ' ( x) 0. 因此，x 350是函数f ( x)的极大值点，也是最大值点， 所以当每个房间定价为350元/天时，宾馆利润最大. 答：当每个房间定价为350元/天时，宾馆利润最大.
练习3：在边长为a的正方形铁皮的四角切去相 等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一 个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子 容积最大？
x
x
解:设箱底边长为 x,则箱高
2
3x 求导数，得V ( x) ax 2 2
ax a 2 x V ( x) Sh x ( ) x , (0 x a) 2 22 2
ax h 2 箱子容积 3
2a 即当x 时，箱子容积最大。 3 2a
3x 2a 令V ( x) ax 0，解得x 或x （舍去） 0 2 32a 2a 当x (0, )时，V ( x) 0；当x ( , a)时，V ( x) 0. 3 3 2a x 是函数V ( x)的极大值点，也是最大值点。 3
新课标人教A版选修2—2第一章 导数及其应用
巩固练习
答案：D
答案：A
生活中的优化问题举例(27)
整理课件
【解析】设圆锥的高为x cm，则底面半径为 202 xc2m，
其体积为V=1 πx(202-x2)(0<x<20)，
3
V′= 1π(400-3x2)，令V′=0，
3
解得x1=2 0
3
3 ，x2=
2(0舍去3 ).
3
当0<x<2 0 3 时，V′>0；当 2 0<x3 <20时，V′<0，
整理课件
2.解应用题的思路和方法
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽
象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知
识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、
研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去.
其思路如下：
实际问题
数学化 转化成数学问题
问 决题
整理课件
2.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再 把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底 的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
整理课件
【解析】1.由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4-x2，
∴矩形面积为S=2x(4-x2)=8x-2x3(0<x<2).∴S′=8-6x2.
整理课件
【归纳】解答题1，2时的注意点与解答本题2时的关键点. 提示：(1)解答题1，2时，注意函数的定义域应该是实际问题 情境中符合实际情况的自变量的取值范围. (2)解答题2时，关键是正确地得到函数解析式后对函数极值点 的判断，当函数在给定的区间上只有一个极值点时，该极值点 为最值点.
生活中的优化问题举例学案
个性学习 课题：《生活中的优化问题举例》 授课时间______________ 个性学习学习目标：利用导数解决一些生活中的优化问题．学习重点：利用导数解决一些生活中的优化问题． 一、复习引入： 1.函数的最大值和最小值: 在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．2．利用导数求函数的最值步骤： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值． 二、讲解新课： 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的强有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二、典型例题例1、海报版面尺寸的设计：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传， 现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm ，左、右两边各 空1dm ，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？思考2: (课本习题A 组第3题)圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。
1.4生活中的优化问题举例(三).ppt1
半径为 6cm时,利润最大 .
y 换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 (图 r3 2 1.4 4)上观察,你有什么发现? f r 0.8π 3 r 从图象上容 易看出,当 r 3 时,
f 3 0,即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
解：⑴P(x) = R(x) – C(x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275 (其中 xN 且 x[1, 20]). ⑵∵ P( x ) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) ∴当 1< x < 12 时, P( x ) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20 时, P( x ) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,即年建造 12 艘船时, 公司 造船的年利润最大. ⑶由 MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (xN 且 x[1, 20]). ∴当 1< x ≤ 20 时，MP (x)单调递减. MP (x)是减函数说明:随着产量的增加,每艘利润与前一 台比较,利润在减少.
4 3 S 3 S S 3 h h 3h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h h 3
l′ = 3
S S S S =0, ∴ h = , 当 h < 时， l ′ <0, h > 时，l′>0. 2 4 4 4 h 3 3 3
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例引言生活中，我们经常面临各种各样的问题和挑战。
为了提高效率、提升生活质量，我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。
在这篇文章中，我们将探讨生活中的优化问题，并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。
什么是优化问题？优化问题是指在给定的限制条件下，寻找一个最优解的问题。
通过优化，我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。
在生活中，我们可以将优化问题应用于各个领域，如时间管理、健康管理、金融规划等。
生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。
我们每天都面临着有限的时间资源，如何合理分配时间成为了一个重要的课题。
以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧：1.制定优先级：将任务按照重要性和紧急性进行排序，优先处理重要且紧急的任务，避免因琐碎的事务耗费过多时间。
2.打破大目标：学会将大目标分解成小目标，逐步推进。
这样可以减少任务的压力，并更好地管理时间。
3.制定时间表：制定一个明确的时间表，为每项任务规定固定的时间段。
这样可以提高效率，并避免时间的浪费。
4.利用时间碎片：充分利用日常生活中的碎片化时间，比如排队等待、交通工具上的时间，可以用来读书、听课等。
2. 健康管理健康是幸福生活的基石，因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。
以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略：1.合理饮食：均衡饮食是健康的基础。
合理控制饮食，摄入适量的营养物质，避免过量或偏食，有助于维持身体的健康状态。
2.积极运动：适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。
根据个人情况选择合适的运动方式和时间，如慢跑、游泳、瑜伽等。
3.规律作息：良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。
合理安排睡眠时间，确保充足的休息，有助于保持精力充沛和情绪稳定。
4.健康检查：定期进行身体检查，及时发现和处理潜在的健康问题，有助于预防和治疗疾病。
3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。
1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
1.4生活中的优化问题举例教学设计
1.4生活中的优化问题举例教学设计1教材分析教材关于导数的应用，主要涉及的是可导函数单调性、极值和最大 (小) 值的判定，其中关键是函数极值的判定.通过判定可导函数的极值，可以使学生加深对函数单调性与其导数的关系的了解:并且，掌握了函数极值的判别法，再学习函数的极大值与极小值的判定方法，有了这些准备工作学习本节不成问题本节研究增长率、膨胀率、效率、利润、速度等有关导数应用的实例，例如，通过使利润最大、用料最省效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的广泛作用和强大实力，主要目的是:(1) 培养应用意识应用导数，解决生活中的优化问题.(2) 培养学生数学建模的思想，对于一个优化问题，解决的思路是: 第步将优化问题转化为用函数表示的数学问题，第一C步是应用导数这个工具解决数学问题，进而得到问题的答案.2学情分析学生已经学习了函数以及导数的基础知识，知道了利用导数研究函数的基本性质，用导数来处理函数单调性、极值、最值等问题的基本思路，但如何利用导数来解决一些具体的问题，学生的能力还比较薄弱，这都造成了本节课的困难，需要进行问题的引导.1）学生的难点是如何建模，应注重这方面的引导训练:2)考虑对自变量的实际限制，规范解题步骤的表述;3）充分体会导数在解决数学及其他学科实际应用题中的工具性作用.3教学目标1）.体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，2.形成求解优化问题的思路和方法。
过程与方法2）.通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力。
3）.提高将实际问题转化为数学问题的能力。
情感、态度、价值观培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度4 教学重难点教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。
5 教法与学法教法分析：根据本节课的教学内容和教学重难点，本节课采用从具体到抽象，从特殊到一般的方法形成增函数的定义，再引导学生通过类比归纳的方法形成减函数的定义。
高中数学《1.4生活中的优化问题举例》课件 新人教A版选修2-2
5ax ∴y′＝－3a＋ 2 2.令 y′＝0，解得 x＝30. x ＋40 在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在 x ＝30 km 处取得最小值，此时 AC＝50－x＝20 (km)． ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省． 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一， 解决 这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确 书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
方法技巧 转化与化归思想在生活中优化
问题的应用 生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题，通过认真 阅读理解关于实际问题的材料，建立相关数学模型，转化为利用 导数这一工具能够解决的一般数学问题．其解决问题的过程就体
现了转化与化归的思想，基本思路如图：
【示例】 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促 销，在一年内，预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的 3x＋1 函数关系为 Q＝ (x≥0)，已知生产此产品的年固定投入 x＋1 为 3 万元， 每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元． 若每件产 品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占 广告费的 50%”之和． (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数．如果 年广告费投入 100 万元，企业是亏损还是盈利？ (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
18 000 18 000x S＝xy＝x x－20 ＋25＝ ＋25x， x－20
18 000[x－20－x] －360 000 ∴S′＝ ＋25＝ ＋25. x－202 x－202
令 S′>0 得 x>140，令 S′<0 得 20<x<140. ∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x) 的最小值为 S(140)． 当 x＝140 时， y＝175.即当 x＝140， y＝175 时， 取得最小值 24 500， S 故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小．
1.4 生活中的优化问题举例
【解】(1)设商品降价 x 元，则多卖的商品数为 kx2，若记商品 在一个星期的获利为 f(x)，则有 f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)． 由已知条件，得 24＝k×22，于是有 k＝6. 所以 f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]． (2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．
万元．设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
【解答】(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗 40 k 费用为 C(x)＝ ， 再由 C(0)＝8， 得 k＝40， 因此 C(x)＝ . 3x＋5 3x＋5 又建造费用为 C1(x)＝6x， 故隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 40 800 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20× ＋6x＝ ＋6x(0≤x≤10)． 3x＋5 3x＋5
一般来说，利润 L 等于总收入减去总成本，而总收入等于 销售量乘以价格．由此可以得到利润 L 与价格的函数关系式， 进而用导数求最大利润．
某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件．如 果降低价格，销售量可以增加， 且每星期多卖出的商品件数与商 品单价的降低额 x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商 品单价降低 2 元时，每星期多卖出 24 件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
2 400 (2)f′(x)＝6－ ， 3x＋52 2 400 令 f′(x)＝0，即 ＝6， 3x＋52 25 解得 x＝5 或 x＝－ (舍去)． 3 当 0≤x<5 时，f′(x)<0；当 5<x≤10 时，f′(x)>0，
1.4生活中的优化问题举例教学设计
通常采取什么方法解决这一类问题呢？问题1：这些问题的共同点是什么？（求最值）问题2：这些实际生活的问题能否用数学方法来解决？与哪部分数学知识有关？（函数） 问题3：求函数最值的方法和步骤是什么？要用到哪些工具？（导数工具） 问题4：在实际问题中求函数的最值还应该注意什么？（函数的定义域） 情境二：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？问题1：根据以往的经验，这种问题往往与哪个知识点有关？（均值定理） 问题2：均值定理应用的前提是什么？（一正，二定，三相等）问题3：由经验可知，图形越对称越能取得最值。
那这个问题是不是当版心为正方形时 四周空心面积最小呢？（均值定理解法可由学生分组完成）问题4：除了用均值定理解决这个问题外，还有没其他的方法？能不能用导数解决？ （导数解法见课本34页）情境三：课本例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题1：瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 问题2：瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是()332240.20.80.8,0633r y f r r r r r πππ⎛⎫==⨯-=-<≤ ⎪⎝⎭令()20.8(2)0f r r r π'=-= 解得 2r =（0r =舍去）当()0,2r ∈时，()0f r '<；当()2,6r ∈时，()0f r '>．当半径2r >时，()0f r '>它表示()f r 单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径2r <时，()0f r '< 它表示()f r 单调递减，即半径越大，利润越低；（1）半径为2cm 时，利润最小，这时()20f <，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为6cm 时，利润最大．问题3：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察（课本35页图1.4-2），会有什么发现？ 情境四：课本例3磁盘的最大存储量问题（1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？（2）你知道磁盘的结构吗？ （3）如何使一个圆形磁盘存储尽可能多的信息呢？【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。
1.4生活中的优化问题举例第1课时精品教案
1.4.1 生活中的优化问题举例【教课目的】：（1）知识与技术：生活中常常碰到求收益最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题都是优化问题，感觉解决这些优化问题（也称最值问题）的特别现实的意义。
（2）感情态度与价值观：让学生充足领会到生活中到处有数学。
（3 ）过程与方法：培育学生主动发现问题、剖析问题、解决问题的能力，进一步培育学生应用数学的意识 , 领会导数在解决实质问题中的作用 .【教课要点】：利用导数解决生活中的一些优化问题;【教课难点】：数学模型的成立；【教课打破点】：创建丰富的拥有现实意义的问题背景，设置悬念，激发学生的学习兴趣。
【教法和学法设计】：教法：情形研究，师生互动。
学法：自主研究，合作沟通。
【课前准备】： Powerpoint【教课过程设计】：教课活动设计企图教课环节一、一、复习与引入复导数的应用一:判断单一性、求单一区间用导数法确立函数的单一性时的步骤是：经过复习（ 1 ）求出函数的导函数 f ’ (x) 习能够帮导（ 2 ）求解不等式 f ’ (x)>0 ，求得其解集，助学生巩数再依据解集写出单一递加区间固已学的（ 3 ）求解不等式 f ’ (x)<0 ，求得其解集，知识，同的再依据解集写出单一递减区间时，为以应导数的应用二:求函数的极值下的学习用1. 解方程 f ’(x)=0. 当 f ’(x 0 )=0 时 . 铺路①假如在x 0 邻近的左边 f ’(x) ＞ 0右边 f ’(x) ＜ 0, 那么 ,f(x 0) 是极大值 ;①假如在x 0 邻近的左边 f ’(x) ＜ 0右边 f ’(x) ＞ 0, 那么 ,f(x 0) 是极小值 ;2.导数为零的点是该点为极值点的必需条件,而不是充足条件.导数的应用三：求函数的最值设函数f(x) 的图象在[a,b] 上是连续不停的曲线,那么它必有最大值和最小值, 在[a,b] 上的最大值与最小值的步骤以下:①求 y=f(x) 在 (a ， b) 内的极值 (极大值与极小值 );②将函数 y=f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b) （即端点的函数值）作比较,此中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.二、生活中常常碰到求收益最大、用料最省、效率最高等创问题，这些问题往常称为优化问题．经过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，设我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．情问题Ⅰ:汽油的使用效率何时最高?景我们知道 ,汽油的消耗量 w( 单位 :L) 与汽车的速度v( 单位 :km/h) 之间有必定的关系 ,汽油的耗费量 w提是汽车的速度 v 的函数 . 根据生活经验 ,思考下列出两个问题:(1)是否是汽车的速度越快,汽油的耗费量越大?问(2)“汽油的使用效率最高”的含义是什么?题老师：汽油的使用效率 G= 汽油的消耗量 w/ 汽车履行行程 s, 即 :G=w/s求 G 的最小值问题如图 ; 反映汽油平均消耗率 g( 每小时的汽油消耗量 ) 与汽车行使的均匀速度 v 之间关系 ,1g(L/h )通过实例创建问题情境，培育学生的剖析能力，激发他们的学习兴趣。
生活中的优化问题举例
由上述例子, 我们不难发现, 解决优化问题的基 本思路是 :
优化问题
优化问题的答案
用函数表示的数学问题
用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过 程是一个典型的数学 建模过程.
《生活中的优化问题举例》
学习目标： 1、掌握导数在生活中的优化问题问题中的应用 2、能把生活中的实际问题数学化——数学建模
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传， 现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各 空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？ 解：设版心的高为xdm，则版心的 宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm
解：设每瓶饮料的利润为y，则 4 r3 3 2 2 y f (r ) 0 . 2 p r 0 . 8 p r = 0.8π ( - r ) (0 r 6) 33
r f '(r) (0，2) 2 0 (2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6]
减函数↘
+
增函数↗
f (r)
极小值
∵f (r)在(0，6）上只有一个极值点 ∴由上表可知，当r=2时，利润最小
1dm 1dm
128 S ( x ) ( x 4)( 2) 128 x 512 2x 8 ( x 0) x 512 S '( x ) 2 2 x
x
2dm
512 512 S( x) 2 x 8，S '( x ) 2 2 x x 令S '( x ) 0可解得x 16 （x -16舍去）
2
r f '(r) f (r )
(0，2) 减函数↘
生活中的优化问题举例(含过程)
▪ [思路分析] 代入数据求k的值，建造费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求 最值．
[解析] (1)设隔热层厚度 xcm，由题意建筑物每年的能源消耗费用为 C(x)＝ 3x＋k 5(0≤x≤10)，再由 C(0)＝8 得 k＝40，
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.
体积面积最值问题
例1 请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片， 切去阴影部分所示的四个全等的等腰 直角三角形，再沿虚线折起，使得A， B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. 点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE ＝FB＝x(cm). 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值.
自主练习巩固2
某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨) 之间的关系为 P＝24200－15x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x 元．问 每月生产多少吨该产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收 入－成本)．
[思路分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝Px，月利润＝月收入－成本 ＝Px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．
自主练习巩固1
▪ 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同 的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截 下的小正方形边长应为多少？
▪ [思路分析] 设截下的小正方形边长为x，用x表示出长方体的边长， 根据题意列出关系式，然后利用导数求最值．
3.生活中的优化问题举例-人教A版选修1-1教案
3.生活中的优化问题举例-人教A版选修1-1教案一、引入生活中随处可见的问题和矛盾，让我们不禁思考，如何通过优化措施，实现更加高效的生活方式。
在人教A版选修1-1教案中，生活中的优化问题被作为一个重要的教学内容，通过案例和实践，让学生感受到优化带来的便利和效率。
那么，本文以该教案中的优化问题为基础，尝试讲述与说明生活中的优化问题，并通过例子说明如何解决这些问题。
二、生活中的优化问题举例2.1 交通拥堵生活在大城市中的每一个人，在日常出行时都会遇到这样的问题：拥挤的交通、堵车的路况等等。
其实这种情况在很多时候源于道路设施的不足、车辆数量的过多等原因，解决这种问题的方法也有很多。
比如，实施交通限行、优化公共交通线路、建立智能交通管理系统等等。
2.2 商品价格的波动在消费领域，商品价格波动也让很多消费者感到困扰。
这种问题常见于大型电商平台、超市等场合。
那么，如何解决这个问题呢？一种比较常见的方式是利用数据分析，通过逐步了解价格的波动趋势，掌握相关信息，找到最适合自己消费的最佳时机，从而降低生活成本。
2.3 垃圾分类莫非在生活中垃圾处理也是一项重要的优化问题？答案是肯定的。
随着社会的不断发展和城市化的不断加速，垃圾的处理问题越来越难以忽略，也越来越需要采取更加科学和有效的措施。
垃圾分类便是一个比较好的方向。
通过垃圾分类，可以有效减少垃圾的数量，实现资源的最大化利用。
2.4 电子产品的使用时间现代人总是离不开电子产品，如手机、电脑等等。
然而，这些电子产品在使用中消耗的电量也越来越大，为生活带来了不少麻烦。
在这方面，人们可以通过多项技术升级，增加电子产品的续航时间，或者制定更加科学的使用规则，最大限度地延长电池使用寿命。
三、生活中的优化问题解决方案3.1 交通拥堵解决方案针对城市交通拥堵的问题，可以通过实施交通限行、优化公共交通线路、建立智能交通管理系统等方式进行优化。
与此同时，可以考虑建立一套完善的交通规划体系，提高城市智能化水平，推广绿色低碳交通，进一步提高城市交通运输的效率。
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教学准备
1. 教学目标
1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力. 提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力
3．体会导数在解决实际问题中的作用.
2. 教学重点/难点
【教学重点】：
利用导数解决生活中的一些优化问题．
【教学难点】：
将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。
3. 教学用具
多媒体
4. 标签
1．4．1生活中的优化问题举例
教学过程
课堂小结
1、建立数学模型（确立目标函数）是解决使用性性问题的关键
2、要注意不能漏掉函数的定义域
注意解题步骤的规范性。