数的整除特征
关于数的整除特征的汇总
关于数的整除特征的汇总一、被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．二、被7整除的数的特征方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。
此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。
如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。
数的整除的特征
一、数的整除的特征1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k （其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，2 4，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024， (9)84，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，3 75，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
数的整除特征
数的整除特征1)被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2)被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3)被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4)被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5)被7整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6)被11整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
第二种方法：奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
第三种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7)被13整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
8)被10整除：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）。
9)被12整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
10)被17整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
11)被19整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
12)被23整除：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
数的整除特征
数的整除特征知识概要数的整除特征具有较强的实际意义，常用的数的整除特征如下：1、能被2整除数的特征：个位数字是０、2、4、6、8的数能被2整除。
2、能被5整除的数的特征：个位数字是0和5的数能被5整除。
3、能被3（或9）整除的数的特征：各位数字和能被3（或9）整除。
这个数能被3（或9）整除。
4、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
5、能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
6、能被7（或11或13）整除的数的特征：末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（或11或13）整除。
、7、能被11整除的数的特征：奇数位数字和与偶数位数字和的差（大减小）能被11整除。
例题解评例1、如果六位数12x40y 能被72整除，试求此六位数。
思路点拨：因为六位数12x40y 是72的倍数，且72=9×8 ，所以12x40y既是8的倍数又是9的倍数。
据能被8整除的数的特征，知40y是8的倍数。
（1）当y=0时，根据1＋2＋x＋4是9的倍数，且0≤x≤9可得x=2（2）当y=8时，根据1＋2＋x＋4＋8是9的倍数，且0≤x≤9可得x=3所以所求的六位数是122400或123408。
例2 、一个四位数，减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数603A ，试求出A。
思路点拨：设这个四位数为abcd , 则abcd=1000×a＋100×b＋10×c＋d,它的各位数字之和为a＋b＋c＋d。
于是有：abcd-（a＋b＋c＋d）=1000×a＋100×b＋10×c×d－（a＋b＋c＋d）=999×a＋99×b＋9×c=9×（111×a＋11×b＋c）.这表明“一个自然数减去它的各位数字之和后，所得之差一定是9的倍数，”由已知这个差等于603A ，由此就可求出A来。
数的整除特征
数的整除特征一、整除特征------尾数分析法1、尾数分析法判断整除性（1）一个数的末一位能被2或者说整除，这个数就能被2或5整除。
（2）一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。
（3）一个数的末三位数能被8或者125整除，这个数就能被8或是25整除。
2、被25或125整除的数的特点（1）被25整除的数必须是以25、75、00结尾的数（2）被125整除的数必须是以125、250、375、500、625、750、875、000结尾的数。
二、整除特征-----数位和分析法1、数位和分析法判断整除性（1）一个数各个数位上的数字和能被3整除，这个数能被3整除。
（2）一个数各个数位上的数字和能被9整除，这个数就能被9整除.2、数位和分析法原理数位和分析法同样是根据位值原理推导出来的，举例：1234=1×1000+2×100+3×10+4×1=1×（999+1）+2×（99+1）+3（9+1）+4×1=1×999+2×99+3×9+（1+2+3+4）其中999、99、9都能被3或9整除，所以只需要看1234的各位数字和1+2+3+4能否被3或9整除即可，用这种方法同样能求出1234除以3或9的余数。
3、弃9法“弃九法”也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减、乘计算的结果是否错误，把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原来数的弃九数。
三、整除特征---数位差分析法1、 11的整除特征：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、 7、11、13的整除特征如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11、或者3整除，那么这个数能被7、11、或者3整除。
+、、、、。
数的整除特征
1.末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除
2.各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除
3.末两位数字组成的两位数能被4整除的整数必能被4整除
4.末位数字为0或5的整数必能被5整除
5.一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除
6.末三位数字组成的三位数能被8整除的整数必能被8整除
7.末位数字为零的整数必能被10整除
8.另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。
（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。
）
9.至于6和12的整除特性,通过以上的原则判断即可:
各位数之和能被3整除的偶数能被6整除;
各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除
2：末尾1位数能被2整除，即所有偶数
3：被三整除的数必须各个位数上的数加起来为三的倍数
4：末尾两位数能被4整除
5：所有末位为0或5的数
7：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除
8：后三位能被8整除的数
9：各个位数的数字和能被9整除
11：奇数位的和与偶数位的和的差为11的倍数
13：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除
25：末尾的两位数是00，25，50，75四种能被25整除
125：后三位能被125整除的数。
整除的特征
整除的特征数的乘除特征：1．个位数是偶数的数能被2整除； 2．个位数是0或5的数能被5整除；3．末两位数能被4(或25)整除的数能被4(或25)整除； 4．末三位数能被8(或125)整除的数能被8(或125)整除； 5．能被6整除的数只需满足能被2，3整除。
6．各位数字之和能被3(或9)整除的数能被3(或9)整除；7．奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除的数能被11整除；8．末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差(大数减小数) 能被7(或11或13)整除的数能被7(或11或13)整例题1、有72名学生，共捐款b a 7.52，平均每人捐了多少元？2、一个数，它是15的倍数，且各位数字只有8和5两种，当这个数最小它是15的几倍？3、已知整数a a a a a 54321能被11整除，求所有满足这个条件的整数。
4、超市里有6箱货物，分别重16、19、20、15、18、31千克，两顾客买了其中5箱货物，其中一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍，超市里剩下的那箱货物是多少千克？练习：1、有一个四位数24aa ，它能被9整除，请问a 代表什么数字？2、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差是3的倍数，那么这个数最小是多少？3、012005 (200520052005)个n 能被11整除，那么n 最小值是多少？4、七箱油分别是汽油、柴油、机油，它们容量分别是12升、13升、16升、17升、22升、27升和32升。
现在知道汽油有一桶，而柴油的总量分别是机油的3倍，但是不哪箱是什么油。
请你判断每只油桶里装的各是什么油？5、在六位数3□2□1□的三个方框里分别填入数字，是得到的数能被15整除，这样的六位数中最小的是多少？。
数的整除的特征
数的整除的特征我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k（其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k （k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
数的整除特征
数的整除特征首先，我们来定义一下整除的概念。
对于任意两个整数a和b，如果存在一个整数k，使得a=k*b，那么我们称b整除a，记作b，a。
其中，整数k就是a除以b的商。
例如，2整除8，可以表示为2，8，因为8=2*4有了整除的定义，我们就可以讨论整除的一些基本特征了。
首先，任何数都能被1整除。
这是因为对于任意一个整数a，都存在一个整数k=1，使得a=k*a，即a，a。
其次，对于任意一个整数a，a除以a的商为1，即a=a*1、因此，任何一个数都能被自身整除，即a，a。
接下来，我们来讨论一下整除特征中的一个重要性质，即整除的传递性。
如果整数a能够被整数b整除，而整数b能够被整数c整除，那么整数a也能够被整数c整除。
这是因为如果有a=k*b和b=m*c，其中k和m都是整数，那么可以将a表示为a=(k*m)*c，即a=k'*c（其中，k'=k*m），这样就证明了a能够被c整除，即a，c。
最大公约数在整数的整除特征中有很重要的应用。
一个重要的结论是，如果整数a能够被整数b整除，那么a和b的最大公约数就是b。
即，如果a，b，则GCD(a,b)=b。
这可以通过a=k*b和b=m*b，其中k和m都是整数，来进行证明。
因此，对于整除的判断可以使用最大公约数的概念来简化。
最后，我们谈到了整除特征在分解因式和求解方程中的应用。
通过观察一个数的因子和倍数的关系，可以将一个数进行因式分解，找到它的素数因子。
而有一些数论定理也基于整除特征，如唯一分解定理，它指出每个大于1的整数都可以唯一地分解为素数的乘积。
在求解方程中，对于形如ax≡b (mod n)的同余方程，如果数x满足这个方程，那么a和n都能够整除(ax-b)。
根据同余方程的性质，我们可以利用整除特征来求解方程。
总结一下，整除特征是研究整数之间整除关系的基本性质。
它涉及到整除的定义、整除的传递性、最大公约数、最小公倍数以及整除在因式分解和求解方程中的应用等。
常见数的整除特征
常见数的整除特征1.偶数的特征：偶数是可以被2整除的数。
任何一个偶数都可以表示为2n（n为整数），所以偶数除以2的余数必为0。
2.能被5整除的特征：一个数能被5整除的条件是它的个位数字为0或5、例如，10、25、45等。
3.能被10整除的特征：一个数能被10整除的条件是它的个位数字为0。
例如，30、80、120等。
4.能被2和5同时整除的特征：一个数能同时被2和5整除的条件是它的个位数字为0、2、4、6或8、例如，40、60、100等。
5.能被3整除的特征：一个数能被3整除的条件是它的各位数字之和能被3整除。
例如，36（3+6=9，9能被3整除），258（2+5+8=15，15能被3整除）等。
6.能被9整除的特征：一个数能被9整除的条件是它的各位数字之和能被9整除。
例如，99（9+9=18，18能被9整除），891（8+9+1=18，18能被9整除）等。
7.能被4整除的特征：一个数能被4整除的条件是它的末尾两位数能被4整除。
例如，116（16能被4整除），528（28能被4整除）等。
8.能被8整除的特征：一个数能被8整除的条件是它的末尾三位数能被8整除。
例如，216（216能被8整除），1152（152能被8整除）等。
9.能被6整除的特征：一个数能被6整除的条件是它能同时被2和3整除。
根据特征1和特征5，一个数能被6整除的条件是它是一个偶数且各位数字之和能被3整除。
10.质数的特征：质数是只能被1和自身整除的数。
特征1中提到的偶数和特征2中提到的能被5整除的数不是质数。
11.完全平方数的特征：完全平方数是能被一个自然数的平方整除的数。
例如，1、4、9、16等。
一个数是否是完全平方数可以通过求平方根并判断是否是整数来确定。
总结起来，常见数的整除特征包括偶数、能被2和5同时整除的数、能被3和9整除的数、特定位数（个位、末尾两位、末尾三位）能被4和8整除的数、能被6整除的数、质数和完全平方数。
通过了解这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能被其他数整除。
奥数——数的整除特征
数的整除特征★知识要点1、如果一个数的个位数字能被2或5整除，则这个数能被2或5整除。
2、如果一个数的末两位数字能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除。
3、如果一个数的末三位数字能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除。
4、如果一个数的各位数字之和能被3或9整除，则这个数就能被3或9整除。
5、如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除。
6、被7、11、13整除数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除。
★典型例题例1、在□内填上适当的数，使五位数5874□能被2整除，这样的五位数有多少个？例2、在□内填上适当的数，使六位数69547□能被4或25整除。
例3、在□内填上适当的数，使五位数31□26能被3或9整除。
例4、在865后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数值尽可能地大。
例5、在五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又含有因数5？例6、根据被11整除的数的特征，判别下列数中哪几个能被11整除：3434 3443 52019 68868例7、判断2146455311能否被7，11或13整除？课堂练习1、在□内填上适当的数，使四位数139□能被5整除，这样的四位数有哪几个？2、在□内填上适当的数，使七位数7132□20能被8整除。
3、判断下列哪些数能被25整除，哪些能被125整除？能被125整除的数一定能被25整除吗？反之能被25整除的数一定能被125整除吗？750 765 2775 6325 1500 10004、根据被3和9整除的数的特征，用“去三法”或“或九法”判别下列数中哪些数能被3整除，哪些能被9整除。
请仔细观察能被9整除的数一定能被3整除吗？反之能被3整除的数一定能被9整除吗？请牢记这个规律！5646 49257 25341 87203 56142365、在358后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能地小。
数的整除特征总结
数的整除特征总结数的整除特征是指一个数能够被另外一个数整除时所具有的特征和规律。
在数学中，整除是一种基本的整数关系，研究整除特征可以帮助我们深入理解数学的基本概念和性质。
本文将总结数的整除特征，以便读者更好地理解和掌握整除的规律和应用。
1.一个数除以1等于它本身，这是整除的最基本特征。
任何一个数都能被1整除。
2.如果a能够被b整除，即a/b是一个整数，那么a被b整除的余数为0。
3.如果a能够被b整除，即a/b是一个整数，那么a能够被b的因数整除。
换句话说，如果a能够被b整除，那么b的所有因数也能够整除a。
4.如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c整除。
整除具有传递性。
5.如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c的所有因数整除。
6.如果一个数能够被2整除，那么这个数一定是偶数。
偶数的特征是最后一位数字为0、2、4、6或87.如果一个数能够被3整除，那么这个数的各位数字之和也能被3整除。
8.如果一个数能够被4整除，那么这个数的末尾两位组成的数能被4整除。
9.如果一个数能够被5整除，那么这个数的最后一位数字一定是0或510.如果一个数能够被6整除，那么这个数一定能被2和3同时整除。
11.如果一个数能够被8整除，那么这个数的末尾三位组成的数能被8整除。
12.如果一个数能够被9整除，那么这个数的各位数字之和也能被9整除。
13.如果一个数能够被10整除，那么这个数的末尾一定是0。
14.如果一个数能够被11整除，那么这个数的各位数字之差也能被11整除。
15.如果一个数能够被12整除，那么这个数一定能被3和4同时整除。
这些整除特征是数学中的常见规律和性质，通过了解和应用这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能够被另外一个数整除。
同时，这些特征也有助于我们解决问题和证明数学定理。
总结：数的整除特征是数学中的基本规律和性质，包括整除的基本定义、整除的性质、整除特征与数字的关系等。
掌握和应用整除特征可以帮助我们更好地理解数学的基本概念和性质，同时也有助于我们解决问题和证明定理。
数的整除特征
数的整除特征能被4或25整除的数特征是：一个数末两位能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。
能被8或125整除的数的特征是：一个数末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。
能被9整除的数的特征是：一个数各个位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。
（能被9整除的数一定能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除）能被11整除的数的特征是：一个数奇数位上的数字与偶数位上的数字之和的差能被11整除，这个数就能被11整除。
能被7或13整除的数的特征是：一个数末三位与末三位以前的数字组成的差能被7或13整除，这个数就能被7或13整除。
（当末三位数字表示的数大于末三位以前的数字表示的数时，就用前者减去后者，然后判断。
例如：5873556先用5873－556=5317，再算出317-5=31的差。
因为312÷13=24所以25873556能被13整除。
而312÷7=44·····4,所以5873556不能被7整除）能被6整除的数的特征是：如果一个数的个位是0，2，4，6，8.且各个数位上数字和能被3整除，这个数就能被6整除。
能被5整除的数的特征是：一个数个位是0和5，这个数就能被5整除。
能被3整除的数的特征是：一个数各个位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。
能被2整除的数的特征是：一个数个位是0，2，4，6，8，这个数就能被2整除。
如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的倍数也一定能被另一个数整除。
如果第一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个数整除。
如果两个数都能被另一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。
如果一个数都能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一定能被另外两个数的积整除。
数的性质 整除性 数的整除特征
因为3|（ × 999 + × 99 + × 9），
根据整除的Байду номын сангаас差性，
3能整除（ × 1000 + × 100 + × 10 + ）与（ × 999 + × 99 + × 9）的差
（ + + + ）。
一、数的整除特征
5、能被11整除的数的特征：奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差（大减小）
如果11能够整除，由和差性，11|( + + − − )。
一、数的整除特征
6、能被7(11或13) 整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组
成的数之差（大减小）能被7(11或13) 整除。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = × 1000 + = 1001 + −
数的整除特征
主要学习内容
01
数的整除特征
02
典型例题分析
一、数的整除特征
1、能被2(或5)整除的数的特征：末位数字能被2(或5)整除。
为了便于小学生理解，我们通常说成：如果一个整数的个位数字是0，2，4，6，8，
那么它能被2整除；如果一个整数的个位数字是0或5，那么它能被5整除。
2、能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能被4(或25)整除。
是11的倍数。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = 10000 + 000 + 100 + 10 +
= 9999 + + 1001 − + 99 + + 11 − +
数的整除特征
数的整除特征性质l 如果数a 、b 都能被数c 整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c 整除．性质2 如果数a 能被数b 整除，c 是整数，那么积ac 也能被b 整除．性质3 如果数a 能被数b 整除，b 又能被数c 整除，那么a 也能被c 整除．性质4 如果数a 能同时被数b 、c 整除，而且b 、c 互质，那么a 一定能被积bc 整除． 如果一个自然数的末位数能被2(或5)整除，那么这个自然数就能被2(或5)整除，否则这个数就不能被2(或5)整除．如果一个自然数的末两位数能被4(或25)整除，那么这个自然数就能被4(或25)整除，否则这个数就不能被4(或25)整除．如果一个自然数的末三位数能被8(或125)整除，那么这个自然数就能被8(或125)整除。
否则这个数就不能被8(或125)整除．如果一个数的各个数位上的数字和能被9(或3)整除，那么这个数就能被9(或3)整除。
否则这个数就不能被9(或3)整除．如果一个自然数的奇数位上数字和减去偶数位上数字和的差能被1l 整除．那么这个数便能被ll 整除．否则这个数便不能被1l 整除．例1 在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4(或25)整除．例2 在□中填上合适的数字，使七位数4786□7□能被125(或8)整除．例3在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除．例4 在□里填上适当的数字，使七位数□1992□□能同时被9、25、8整除．例5 有一个五位数563b a ，它能被75整除，那么这个五位数是多少？例6 五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值是几(不同字母表示不同的数字)?例7 在五位数中，能被11整除且各位数字和为43的数有哪些?例8 将l，2，3，…，30从左到右依次排列成一个51位数123456…2930，试求这个51位数能否被11整除．例9 一个五位数17□99正好能被7整除，则□内应填哪个数.1. 从0，1，2，3这四个数中任选三个，组成能同时被2，3，5整除的三位数，这样的三位数有哪些？2. 四位数841□能被6整除，□中应填什么？3. 把789连续写多少次，所组成的数能被9整除，并且这个数最小？4. 四位数BA18能被30整除，则这个四位数是几？5．已知一个六位数--------x6x6x6能被11整除，这个六位数是几？6.一个六位数的各位数字均不相同，最左边一位的数字是3，且它能被11整除，这样的六位数中最小的是多少？1．一个六位数586□□□能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的一个．2．在□内填上合适的数字，使□679□能同时被8、9整除．3．六位数615ABC能被36整除，而且所得商最小，问A、B、C的值各是多少?4. 四位数13AA能被9整除，求A．5.-----ab36这个四位数，同时能被2，3，5，9整除，这个四位数是几？6. 有一个五位数，它能被72整除，如果中间的三个数字依次是8，7，0，那么这个五位数是多少？7．已知整数-------------a5a4a3a2a1能被11整除，则a为几？8．一个七位数的各位数字均不相同，并且它能被11整除，这样的七位数中，最大的一个是几？9．在□内填上合适的数字，使六位数19□88□能被35整除．。
数的整除的特征
数的整除的特征（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
数的整除特征
数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。
（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。
（9）若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。
（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（13）一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除,只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除（14）末位数字为零的整数必能被10整除（15）另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数,那么这个整数也是11的倍数.（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位,十位、千位、百万位……称为偶数位.）（16）至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可：各位数之和能被3整除的偶数能被6整除；各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。
（17）能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3）在解方程的时候，要注意格式。要写（）字，而且（）要对齐；解的过程中要移项，移项时要注意把未知项放在一边，把常数项放在另一边。移项时要注意改变符号。如把等号左边的“+”变到另一边就变成了（）。
（4）在解方程组的时候，我们会遇到很多去小括号的情况。去小括号的规则是：当小括号的括号左边使用“+”连接，去掉小括号后，括号里面的式子符号（），举例：（）；当小括号的括号左边使用“—”连接，去掉小括号后，括号里面的式子符号（），举例：（ ）。
2(★★)(迎春杯试题)
已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少
⑶(★★★)
1213…9899除以99的余数是多少
【例6】(★★★)
请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数，
使它是99的倍数。这个五位数最大是多少
二Hale Waihona Puke 综合考察【例7】（1）(★★★)
4.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几
5. 如果一个六位数a2000b能被 26整除，所有这样的六位数是
6.某个七位数1993□□□能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除，那么它的最后三位数字依次是多少
易错题
一．填空
（1）当字母乘以字母的时候，乘号要用一个（）表示，举例：（）；当字母除以字母的时候，除号要用（）表示，举例：（）；当数与字母相乘的时候，（）写在前面，举例：（N×2=）。
有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除。求出后两位数。
自我检测
1.一个三位数等于它的各位数字之和的42倍，这个三位数是多少
2.将1996加一个整数，使所得的和能被9与11整除，加的整数要尽可能小，那么所加整数是多少
3.一个五位数恰好等于它各位数字之和的2009倍，则这个五位数是多少
两个四位数A275和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B.
【例3】(★★★)
设六位数N=x1527y，又N是4的倍数，且被11除余5，那么x+y等于多少
【例4】(★★★)
在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少
【例5】
1(★★)(希望杯试题)
六位数20□□08能被99整除，□□是________。
（2）除以3,9的余数和这个数数字之和除以3,9的余数相同；
（3）能否被99整除是把多位数从个位开始两位一段，看所有的数段和能否被99整除。
3.差系：7,11,13
（1）判断一个多于4位的整数能否被7,11,13整除：规律是把数从末三位断开，用末三位与末三位之前的数做差，看这个差是否为7,11,13的倍数；
（2）能否被11整除：规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否为11的倍数，这个差除以11余几就代表这个数除以11余几。
4.拆分系：
72=8×912=3×41001=7×11×13
一、特征应用
【例1】(★★)
在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能被9，25和8整除。
【例2】(★★)
二.一个长方形的三条边的长度和为64m，这个长方形的面积最大为多少（提示：最值问题中，长度和一定，差小积大。）
已知2ab2ab2ab能被91整除，那么ab是多少
（2）(★★★★)
将三位数3ab连续重复地写下去，共写2005个3ab，所得的数3ab3ab……3ab（2005个3ab）正好是91的倍数，那么ab=。
【例8】(★★★)
如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少
【拓展】(★★★)
第十一讲数的整除特征
【教学重难点】
了解数的整除特征并学会根据数的整除特征来解决相应的问题。
数的整除特征
1.末位系：2,5；4,25；8,125
（1）能否被2和5整除是看末一位；
（2）能否被4和25整除是看末两位；
（3）能否被8和125整除是看末三位。
2.和系：3,9，99
（1）能否被3,9整除是看数字之和是不是3,9的倍数；