偏导数的几何意义教学内容
《偏导数的概念》课件
偏导数的几何意义
偏导数在几何上表示函数曲面在某一 点处的切线斜率。
对于二元函数z=f(x,y)，其在点(x0,y0) 处的偏导数即为该点处曲面切线的斜 率。
偏导数的计算方法
通过求导法则进行计算：链式法则、乘积法则、商的法则、复合函数求导 法则等。
对于多元函数的偏导数，需要分别对各个自变量求导，然后根据具体问题 选择合适的方向进行计算。
商的乘积。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其偏导数为各 自函数的偏导数的乘积加上各自函数 对另一变量的导数的乘积。
反函数法则
对于反函数的偏导数，等于原函数在 该点的导数的倒数。
03
CATALOGUE
偏导数在几何中的应用
曲线的切线
总结词
偏导数可以用来求曲线的切线。
详细描述
在几何学中，曲线的切线是曲线在某一点的邻近线段的行为。通过偏导数，我 们可以找到曲线在某一点的切线斜率，从而确定切线的方向和位置。
描述热量在物体中的传递和扩散过程。
电场与磁场
总结词
偏导数在电场和磁场的研究中也有着重要的应用，它可 以帮助我们理解和描述电场和磁场的变化规律。
详细描述
电场和磁场是物理学中两个重要的物理量，它们描述了 电荷和电流产生的场。在研究电场和磁场时，我们常常 需要用到偏导数来描述它们的变化规律。通过偏导数， 我们可以计算出电场和磁场在不同位置的值，从而更好 地理解和描述电场和磁场的变化规律。
THANKS
感谢观看
边际分析
边际分析
偏导数提供了对经济变量边际变化的度量，即当其他条件保持不变时，某一变量变化一 个单位所引起的另一变量的变化量。
边际成本和边际收益
在决策分析中，偏导数用于计算边际成本和边际收益，帮助企业了解产品定价、产量决 策的合理性。
偏导数与全微分课件
dz
A
.
dz
( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y fx z z 0 =AB
0 P y
dz=AB : 切面竖坐标的增量
z dz ( x y )
=AB+BN
y
当x , y 很小时
z dz
x
Q
3、可微性的几何意义与应用
0
y =y0
由一元函数导数的几何意义：
z x
= tan
M
( x , y )
y
x
. .
同理，
z y
?
M
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x , y y ) f ( x , y ) z lim y y M y
M
Tx
偏导数与全微分 的几何意义
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) z lim x x M x 0
M
Tx
L
z= f (x,y)
固定 y =y0
得曲线
z f ( x, y) L： y y 0
z =AN ：曲面竖坐标的增量
用切面竖坐标的增量近似曲面竖坐标的增量 N
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B
过点M的切平面：
( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) fx ( z z0 ) 0 即：
z z0
得曲线
z f ( x , y) x x
《偏导数的应用》课件
目录
• 偏导数的定义与性质 • 偏导数在几何中的应用 • 偏导数在优化问题中的应用 • 偏导数在经济学中的应用 • 偏导数在物理学中的应用 • 偏导数的实际应用案例分析
01
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
偏导数的定义
对于一个多变量函数，如果一个变量 变化，而其他变量保持不变，则该函 数对变化变量的导数称为偏导数。
电场与磁场
总结词
在电磁学中，偏导数可以用于描述电场和磁场的变化。
详细描述
电场和磁场的变化可以用偏导数来描述，通过求解偏导数方程，可以深入理解电磁场的 特性和规律。这对于电磁波的传播、电磁力的计算以及电磁感应的研究等都具有重要意
义。
06
偏导数的实际应用案例分 析
最优价格策略案例
总结词
通过分析需求函数和成本函数，利用偏 导数确定最优价格策略。
在经济学中，边际分析使用偏导数来计算边际成本、边际收 益和边际利润等，帮助企业做出最优决策。边际成本是生产 成本对产量变化的敏感度，边际收益是销售收入对销量变化 的敏感度，而边际利润则是两者之差。
弹性分析
总结词
弹性分析是偏导数的另一个重要应用，它通过计算因变量对自变量的反应程度，来描述函数在不同自变量值下的 变化规律。
偏导数的求法
通过求极限的方式计算偏导数，具体 方法包括求导法则、链式法则和隐函 数求导法则等。
偏导数的几何意义
01
切线斜率
对于二维平面上的曲线，偏导数 在几何上表示曲线在某点处切线 的斜率。
02
03
梯度
方向导数
对于向量场，偏导数可以组成梯 度，表示函数值增长最快的方向 。
对于高维空间中的曲面或超曲面 ，偏导数可以计算方向导数，表 示函数在给定方向上的变化率。
偏导数几何意义(课资参考)
2z x2
6xy2
,
3z x3
6
y2
2z xy
6x2
y
9y2
1
,
2z yx
6x2
y
9
y2
1.
定理 如果二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续, yx xy
那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
例例7 验证函数 z ln
x2
y2
满足方程
2z x2
2z y2
0
.
证证 因为 z ln x2 y2 1 ln( x2 y2) , 所以 2
y y0
f
x
(x0,
y0)
[
d dx
f
(x, y0)] xx0
f
y ( x0,
y0)
[
d dy
f
(x0, y)] y y0
.
fx(x0, y0) fx(x, y) xx0 ,
y y0
fy(x0, y0) fy(x, y) xx0 ,
y y0
f
x
(x0,
y0)
[
d dx
f
(x, y0)] xx0
例例33 设 z xy(x 0, x 1) , 求证
x z 1 z 2z . y x ln x y
证
z yx y1, x
z x y ln x . y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x x y x y 2z .
y x ln x y y
ln x
例例44 求 r x2 y2 z2 的偏导数.
z , x
f , x
zx , 或 fx(x, y) .
偏导数的几何意义
偏导数得几何意义ﻫ实验目得：通过实验加深学生对偏导数定义得理解掌握偏导数得几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等得条件ﻫ背景知识:一偏导数得定义在研究一元函数时、我们从研究函数得变化率引入了导数概念、对于多元函数同样需要讨论它得变化率、但多元函数得变化量不只一个,因变量与自变量得关系要比一元函数复杂得多、所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量得变化率，以二元函数= 为例，如果只有自变量变化,而自变量y固定(即瞧作常量），这时它就就是得一元函数,这函数对x 得导数，就称为二元函数ｚ对于得偏导数,即有如下定义定义设函数z= 在点得某一邻域内有定义，当y固定在，而在处有增量时,相应得函数有增量- ，如果（1)存在，则称此极限为函数＝在点处对得偏导数，记做, ，,或例如，极限(1)可以表为=类似得,函数z＝在点处对得偏导数定义为记做，，或如果函数= 在区域D内每一点( )处对得偏导数都存在，那么这个偏导数就就是得函数,它就称为函数= 对自变量得偏导函数,记做, ，,或类似得,可以定义函数= 对自变量得偏导函数,记做，，，或由偏导数得概念可知，在点处对得偏导数显然就就是偏导函数在点处得函数值，就像一元函数得导函数一样，以后在不至于混淆得地方也把偏导函数简称为偏导数、至于求=得偏导数,并不需要用新得方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外一个自变量瞧作就是固定得,所以仍旧就是一元函数得微分法问题,求时,只要把暂时瞧作常量而对求导;求时，则只要把暂时瞧作就是常量，而对求导数、偏导数得概念还可以推广导二元以上得函数，例如三元函数在点（)处对得偏导数定义为=其中（)就是函数得定义域得内点，它们得求法也仍旧就是一元函数得微分法问题例求得偏导数解= ，=二偏导数得几何意义二元函数= 在点得偏导数得几何意义设为曲面= 上得一点,过点作平面,截此曲面得一曲线，此曲线在平面上得方程为= ,则导数，即偏导数，就就是这曲线在点处得切线对轴得斜率、同样,偏导数得几何意义就是曲面被平面所截得得曲线在点处得切线对得斜率三偏导数得几何意义我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续，但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续、这就是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴得方向趋于P 时，函数值趋于，但不能保证点Ｐ按任何方式趋于P 时,函数值都趋于、例如，函数= =｛在点（０，0）对得偏导数为同样有但就是我们在前面得学习中知道这函数在点（０，0)并不连续四二阶混合偏导数设函数= 在区域D内具有偏导数=, =那么在D内，都就是得函数、如果这里两个函数得偏导数也存在,则它们就是函数= 得二阶偏导数,按照对变量求导次序得不同有下列四个二阶偏导数:，，其中第二,第三个偏导数称为混合偏导数例2 设,求, ，，，从例子中，我们瞧到两个二阶混合偏导数相等,即,=我们再瞧用ｍaple作求得图形第一个图形为第二个图形为从图中我们瞧到两个连续得偏导函数，它们就是相等得这不就是偶然得,事实上我们有下述定理定理如果函数=得两个二阶混合偏导数及在区域D里连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等换句话说，二阶混合偏导数在连续得条件下与求导得次序无关。
高等数学 下册-偏导数 ppt课件
p V T RT 1 V T p pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
第八章
机动
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结束
一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim 0 x f ( x x x) f ( x0 ) d y 0 f ( x0 ) lim x 0 x d x x x0
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f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
斜率.
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注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 0 , x2 y2 0
《二节偏导数》课件
偏导数表示函数曲面在某一点的切线 斜率，即函数值随该变量变化的速率 。
偏导数在几何上的应用
切线方程
通过偏导数可以求出函数曲面在某一点的切线方程。
函数值变化趋势
通过偏导数可以判断函数值随某变量的变化趋势，如增减性、极值点等。
偏导数的计算方法
定义法
根据偏导数的定义，对函数进行求导，得 到偏导数的值。
《二节偏导数》ppt课件
CONTENTS
• 偏导数的定义 • 二阶偏导数的概念 • 二阶偏导数的连续性 • 二阶偏导数的可微性 • 二阶偏导数的极值问题
01
偏导数的定义
偏导数的定义及几何意义
偏导数的定义
对于一个多变量函数，如果一个变量 变化，而其他变量保持不变，则该函 数对变化变量的导数称为偏导数。
解释
性质1和性质2说明，二阶偏导数 的连续性对一阶偏导数和二阶偏 导数本身的连续性和极限行为都 有一定的约束。
二阶偏导数连续性的应用
应用1
在微分学中，二阶偏导数的连续性是证明一些微分中值定理（如拉 格朗日中值定理和柯西中值定理）的重要前提条件。
应用2
在实变函数中，二阶偏导数的连续性是研究函数的光滑性、可微性 和可积性的重要依据。
解释
在实际应用中，二阶偏导数的连续性对于分析函数的局部行为和性 质具有重要意义，特别是在处理一些复杂的数学模型时。
04
二阶偏导数的可微性
二阶偏导数的可微性定义
要点一
定义
如果函数在某点的二阶偏导数都存在，并且在该点的邻域 内连续，则称该函数在该点具有二阶偏导数的可微性。
要点二
数学表达式
设函数$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的二阶偏导数分别为 $f_{xx}(x_0, y_0)$、$f_{xy}(x_0, y_0)$和$f_{yy}(x_0, y_0)$，若这三个二阶偏导数都存在，并且$f_{xx}(x, y)$、 $f_{xy}(x, y)$和$f_{yy}(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的邻域内连 续，则称$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$具有二阶偏导数的可微 性。
高等数学高数课件 9.2偏导数
0.
可以看出关于y的偏导可通过互换变量x,y而得到。
若将函数的自变量互换后，函数的表达式不变，
则称该二元函数具有对称性，即 z(x, y) z( y, x)
若将函数的自变量互换后，函数的表达式相反，
则称该二元函数具有反对称性，即 z(x, y) -z( y, x)
1）若 z(x, y)具有对称性，计算二阶偏导数时，先
自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
，z
x
或
f
x
(
x
,
y
)
.
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
导数，记作 z y
，f y
，
z
y
或
f
y
(
x,
y).
偏导数的定义
对自变量 y 的偏导数为 f y x, y , … . 偏导数的概念
可推广到二元以上的函数.
例如, 三元函数 u f x, y, z 在 x, y, z处的偏导数
xy
x2 x2
y2 y2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0,
x2 y2 z2.
x换y，y换z， z换x，表达 式不变
证
u x
1 r2
r x
1 r2
x r
x r3
,
2u x 2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
.
由函数关于自变量的对称性, 得
2u y 2
1 r3
3 y2 r5
,
2u z 2
1 r3
3z2 r5
例11 设 f ( x, y)
偏导数几何意义
对于多元隐函数，需要使用多元函数微分法进行求导。首先确定函数中的各个自变量， 然后分别对每个自变量求偏导数，最后根据隐函数的约束条件求解出所需的导数。
偏导数在隐函数求导中作用
描述函数在某一点处沿某一方向的变化率
偏导数可以描述多元函数在某一点处沿某一方向的变化率。在隐函数中，偏导数可以帮助我们了解函数在某一点处沿 某一自变量方向的变化情况。
02
偏导数与切线、法线关系
切线方程与偏导数关系
切线斜率
偏导数表示了函数在某一点沿着某一方向的变化率，即切线 的斜率。
切线方程
通过偏导数和函数在某一点的取值，可以确定该点处的切线 方程。
法线方程与偏导数关系
法线斜率
法线与切线垂直，因此法线的斜率与 切线的斜率互为负倒数。偏导数可用 于计算法线的斜率。
性质。例如，在曲面上，切平面和法线可以用于定义曲面的定向、曲率
以及曲面上的测地线等概念。
03
偏导数与方向导数关系
方向导数定义及性质
方向导数定义
方向导数是函数在某一点沿某一方向的 变化率。对于二元函数$z = f(x, y)$，在 点$P(x_0, y_0)$处沿方向$l$（与$x$轴 正向夹角为$alpha$）的方向导数定义为 $lim_{rho to 0} frac{f(x_0 + Delta x, y_0 + Delta y) - f(x_0, y_0)}{rho}$，其 中$rho = sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2}$，$Delta x = rho cos alpha$， $Delta y = rho sin alpha$。
方向导数在几何图形中应用
切线斜率
偏导数的教学设计方案
一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）理解偏导数的概念，掌握偏导数的计算方法。
（2）学会运用偏导数求解多元函数的一阶偏导数和二阶偏导数。
（3）了解偏导数在实际问题中的应用。
2. 过程与方法目标：（1）通过实例分析，培养学生对偏导数的直观理解。
（2）通过实际问题，引导学生运用偏导数解决问题。
（3）培养学生分析问题、解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：（1）激发学生对数学的兴趣，提高学生的数学素养。
（2）培养学生严谨、求实的科学态度。
（3）培养学生团结协作、勇于探索的精神。
二、教学内容1. 偏导数的概念及计算方法2. 偏导数的几何意义3. 偏导数的应用三、教学过程1. 导入新课通过实际问题引入偏导数的概念，如：求平面曲线在某点的切线斜率，激发学生的学习兴趣。
2. 偏导数的概念及计算方法（1）引导学生回顾导数的概念，类比一元函数的导数，引入偏导数的概念。
（2）通过实例讲解偏导数的计算方法，包括直接求导法和复合函数求导法。
（3）进行课堂练习，巩固所学知识。
3. 偏导数的几何意义（1）通过图形展示，让学生直观理解偏导数的几何意义。
（2）讲解偏导数与曲线切线斜率的关系，引导学生将偏导数应用于实际问题。
（3）进行课堂练习，巩固所学知识。
4. 偏导数的应用（1）通过实例讲解偏导数在求解多元函数极值、拐点等方面的应用。
（2）引导学生运用偏导数解决实际问题，如：求多元函数的最值、最优化问题等。
（3）进行课堂练习，巩固所学知识。
5. 总结与反思（1）回顾本节课所学内容，总结偏导数的概念、计算方法及应用。
（2）引导学生反思自己在学习过程中的收获与不足，提出改进措施。
6. 布置作业（1）完成课后练习题，巩固所学知识。
（2）思考偏导数在实际问题中的应用，撰写一篇小论文。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与程度等。
2. 作业完成情况：检查学生完成课后练习题的情况，了解学生对知识的掌握程度。
3. 小论文：评价学生运用偏导数解决实际问题的能力。
8.2-2偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系
偏 导数存在与连续的
关系
第八章多元函数微分学 第2节偏导数及其在经济分析中的应用
主讲 韩华
1 -几何意义
经济数学
微积分
偏导数人（X。成0） 就 是曲面被平面 y = yQ 所 截 得 的 曲 线在点处的切线 对x轴的斜率.
O
1 -几何意义
经济数学--微积分
偏导数人（乂0 9 No ） 就 是 曲 面 被 平 面 X = x0 所 截 得 的曲线在点 M。处 的切线对 p轴的斜 率.
点处并不连续.偏导数存在宀连续.
微积分
谢谢
T导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导—►连续， 多元
函数中在某点偏导数存在斗连续,
= i 例如，函数 f (x,y)
2 x2y, x 2 + y 2 丰 0
+ , X2
y2
2
,
、0,
x2+ y2= 0
依定义知在(0,0)处，fx (0,0) = fy (0,0) = 0. 但函数在该
《D82偏导数》课件
偏导数的物理意义：偏导数在物理中常用于描述函数在某一点处的变化率，如温度、压力等。
偏导数的计算步骤
确定偏导数 的定义域
确定偏导数 的函数形式
计算偏导数 的值
验证偏导数 的结果
偏导数的计算实例
计算方法：使用偏导数公式进行计算 实例1：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)处的偏导数 实例2：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(2,2)处的偏导数 实例3：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(3,3)处的偏导数
数值方法包括有限差分法、有限元法等
计算精度与初始条件有关
计算精度与网格划分有关
初始条件越接近真实值，计算精度越高
偏导数的误差分析
偏导数的定义：偏导 数是函数在某一点处 沿某一方向的导数
偏导数的计算方法： 使用偏导数公式进行 计算
偏导数的误差来源： 数值计算、近似计算、 计算精度等
偏导数的误差分析方法： 使用误差分析方法进行 误差分析，如误差传播 定律、误差分析公式等
在经济学中的应用
需求曲线：D82偏导数用 于计算需求曲线的斜率
供给曲线：D82偏导数用 于计算供给曲线的斜率
消费者剩余：D82偏导数 用于计算消费者剩余
生产者剩余：D82偏导数 用于计算生产者剩余
市场均衡：D82偏导数用 于计算市场均衡点
价格弹性：D82偏导数用 于计算价格弹性
在其他领域的应用
化学领域：用于描述化学反 应速率和反应平衡
生物领域：在生物学、医学等领域有广泛应用
社会领域：在社会学、心理学等领域有广泛应用
偏导数计算技术的发展方向
高等数学偏导数PPT课件.ppt
f
(x, y)
xy x2 y2
( x2 y2 0 ),
f (0, 0) 0
但是
lim f (x , 0) f (0, 0) lim 0 0 ,
x0
x
x0
lim f (0, y) f (0, 0) lim 0 0 ,
y0
y
y0
( f y(0,0))x .
例 验证函数 u( x, y) ln x2 y2 满足拉普
拉斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 ln
x2
y2
1 ln( x2 2
y2 ),
u x
x x2
y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
求偏导数时,只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量,其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 .
例 求 z x2 3xy y2在(1,2)处对 x 的偏导数．
解法一 (用定义)
z x
x 1 y2
lim z(1 x,2) z(1,2)
x0
x
8
.
解法二 (用定义)
f (x x, y, z) f (x, y, z)
fx
(
x,
y,
z)
lim
x0
x
,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f
(x,
y
y, z) y
f
(x,
y, z) ,
fz ( x,
y, z)
《函数偏导数的应用》课件
经济增长模型通常采用偏导数来分析各种经济变量对经济增 长的影响。例如，政府可以通过调整投资、消费、技术进步 等变量的偏导数大小，来预测经济增长的变化，从而制定相 应的经济政策。
牛顿冷却定律
总结词
牛顿冷却定律是描述物体温度随时间变 化的规律，通过偏导数可以分析温度变 化的速率。
VS
详细描述
根据牛顿冷却定律，物体的温度随时间的 变化率与物体和周围环境的温差成正比。 通过引入偏导数，可以进一步分析温度变 化的速度和方向，从而更好地理解物体冷 却或加热的过程。
偏导数的几何意义
在二维平面上，偏导数表示函数图像 在某一点的切线的斜率。在三维空间 中，偏导数表示函数图像在某一点的 切平面与坐标轴的交点。
偏导数的性质
线性性质
对于两个函数的和或差，其偏导数等于各自 偏导数的和或差。
常数倍性质
对于常数倍的函数，其偏导数等于该常数乘以函数 的偏导数。
高阶偏导数
对于一个多变量的函数，其偏导数可以多次 求导，得到高阶偏导数。高阶偏导数的计算 方法与一阶偏导数类似。
信号特征提取
利用偏导数可以提取信号的特征，通过求导数找到信号的突变点 或峰值点，从而提取出信号的特征。
信号分类
利用偏导数可以对信号进行分类，通过求导数找到不同类信号的 特征，从而实现信号的分类。
06
偏导数的实际案例分析
经济增长模型
总结词
经济增长模型是偏导数在实际中应用的经典案例，通过偏导 数分析自变量对因变量的影响程度，为政策制定提供依据。
系统稳定性分析
利用偏导数可以分析控制系统的 稳定性，通过求导数找到系统失 稳的临界点，从而采取相应的措 施提高系统的稳定性。
控制系统优化
§6.3偏导数
′ = z ′yx
的偏导数, 的偏导数, 偏导数. 的偏导数称为 偏导数
10
z = x 3 y 2 3xy 3 xy + 1, 求它的二阶偏导数 求它的二阶偏导数. 例1.设 设
z 解 = 3x 2 y 2 3 y 3 y , x 2 z z = = 6 xy 2 , 2 x x x
z = 2 x3 y 9 xy 2 x, y 2 z z = = 6 x 2 y 9 y 2 1, xy y x
2 z z 2 z z 2 2 3 = = 2 x 18xy, = = 6 x y 9 y 1, y 2 y y yx x y y 3z 2 z 2 z 3 z = 2 = 6 y2, = 2 = 12xy. 再求 3 2 x x x x y y x
称为函数 z = f ( x , y ) 对于 x 的偏改变量或偏增量, 的偏改变量或偏增量, 类似地: 类似地: y z
= f ( x0 , y0 + y ) f ( x0 , y0 )
的偏改变量或偏增量. 称为函数 z = f ( x , y ) 对于 y 的偏改变量或偏增量 当 x 在 x0 处有增量 x , y 在 y0 处有增量 y 时,
x z y z 1 2 2 = 2 , = 2 , 证 z = ln( x + y ), 2 2 y x + y 2 x x + y
z (x + y ) x 2x y x = , = 2 2 2 2 2 2 2 x (x + y ) (x + y )
2
2
2
2
2
2 z ( x2 + y2 ) y 2 y x2 y2 . = = 2 2 2 2 2 2 2 y (x + y ) (x + y )
数学分析ch12-5偏导数在几何中的应用教材课程
求函数在某点的偏导数时，首先要选定一个自变量让其发生变化 ，而其余的自变量则保持不变。然后将选定的自变量代入到原函 数中，并对该函数求导。最后，将求导结果中的自变量替换为选 定的点的坐标值，即可得到该点处的偏导数。
偏导数存在性与连续性关系
偏导数存在性
如果函数在某点的某个方向上的偏导数存在，那么该函数在 该点上沿着这个方向是可微的。但是，即使函数在某点的所 有方向上的偏导数都存在，该函数在该点也不一定可微。
高阶偏导数的性质
高阶偏导数具有一些重要的性质，如交换性、对称性和可加性等。其中交换性指的是混合偏导数的顺序可以交换 而不影响结果；对称性指的是在某些特殊情况下，混合偏导数的结果与求导顺序无关；可加性则是指高阶偏导数 可以拆分为多个低阶偏导数的组合进行计算。
02
偏导数在几何中意义
空间曲线切线与法平面方程
偏导数在几何形状描述中应用
80%
形状分析
通过偏导数可以分析几何形状的 变化趋势，如曲线的弯曲程度和 曲面的凹凸性等。
100%
最优化问题
在求解某些最优化问题时，偏导 数可用于判断目标函数在某一点 处的变化率，从而确定最优解的 位置。
80%
物理应用
偏导数在物理学中也有广泛应用 ，如描述质点运动轨迹的切线和 法平面、求解电场和磁场的分布 等。
数学分析ch12-5偏导数在几 何中的应用教材课程
目
CONTENCT
录
• 偏导数概念及性质 • 偏导数在几何中意义 • 多元函数极值与最值问题 • 隐函数存在定理及其几何意义 • 偏微分方程简介及其在几何中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
偏导数概念及性质
偏导数定义与计算方法
偏导数定义
《高数偏导数》课件
高阶偏导数计算
总结词
高阶偏导数的计算需要遵循一定的规律和技巧。
详细描述
高阶偏导数的计算需要理解二阶偏导数和更高阶偏导数的概念，掌握高阶偏导 数的求导法则，如高阶乘积法则、高阶链式法则等，以便在遇到高阶偏导数时 能够正确计算。
隐函数求导法则
总结词
隐函数求导法则是解决隐函数偏导数的关键。
详细描述
隐函数求导法则是基于复合函数求导法则的扩展，适用于解决由一个方程组确定的隐函数组的偏导数 问题。通过对方程两边同时求导，并利用方程组中其他方程的导数，可以求得隐函数组的偏导数。
法线方程
根据法线方向向量和原点坐标，可以求出法线方 程。
法线与切线的夹角
在曲面上某一点，法线与切线的夹角可以通过求 法线方向向量和切线方向向量的夹角得到。
04ห้องสมุดไป่ตู้
偏导数的计算技巧
链式法则
总结词
链式法则是偏导数计算中的重要技巧，用于计算复合函数的偏导数。
详细描述
链式法则是基于复合函数求导法则的，当一个复合函数中包含多个中间变量时，链式法则能够将外层函数的偏导 数通过中间变量传递到内层函数，从而简化计算过程。
2
如果函数在某点处偏导数不存在，则该函数在该 点处不可微。
3
偏导数的连续性是保证函数可微的必要条件。
可微性的概念
可微性是指函数在某点处的极限值等 于函数在该点的值，即函数在该点处 具有切线。
如果函数在某点处可微，则该点处的 切线存在，且切线的斜率等于该点处 的偏导数值。
可微性的判定
01
如果函数在某点处的左右极限相等，则该函数在该 点处可微。
乘积法则
对于两个函数的乘积的偏导数，其偏导数是各自函数的偏导数的乘积 。
《高等数学偏导数》课件
连续性与可导性
偏导数存在时，函数在某点的邻域内 连续。
偏导数存在且连续时，函数在该点的 某邻域内可导。
偏导数的计算法则
链式法则
对于复合函数，求偏导数时需要使用 链式法则。
乘积法则
对于两个函数的乘积，求偏导数时需 要使用乘积法则。
商式法则
对于两个函数的商，求偏导数时需要 使用商式法则。
高阶偏导数
对于高阶偏导数，可以使用递推关系 进行计算。
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
01
对于一个函数，如果它的二阶偏导数存在，则称这个二阶偏导
数为该函数的高阶偏导数。
高阶偏导数的计算
02
高阶偏导数的计算需要使用到前面已经求得的低阶偏导数。
高阶偏导数的几何意义
03
高阶偏导数可以用来描述函数图像的凹凸性、拐点等几何特征
偏导数表示函数曲面在某一点处与坐标轴平 面的交线在该方向的切线斜率。
偏导数的几何意义
切线斜率
对于二元函数，偏导数表示函数曲面在某一点处的切 线斜率。
凹凸性
通过研究偏导数的符号变化，可以判断函数在某一点 的凹凸性。
最值问题
利用偏导数研究函数的极值问题，通过求偏导数等于 零的点，找到可能的极值点。
02
根据不同的标准，最优化方法可以分为多种类型 ，如线搜索方法、信赖域方法、梯度下降法等。
最优化方法的选择依据
选择最优化方法时需要考虑问题的性质、计算资 源、精度要求等因素。
3
最优化方法的优缺点比较
各种最优化方法都有其优点和局限性，需要根据 实际情况进行选择和调整。
05
偏导数在实际问题中的应用
经济问题
在给定函数中寻找最小值或最大值，且附加某些约束条件的数学 问题。
偏导数的几何意义_概述说明以及解释
偏导数的几何意义概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在数学分析和微积分中，偏导数是一个重要的概念。
它们被广泛应用于各个领域，如优化问题、几何体参数化与曲线拟合以及物理学中的场和流动问题等。
偏导数的几何意义不仅能帮助我们理解函数在给定点处的变化率，还能揭示函数曲面切平面方向和法线方向上的斜率。
1.2 文章结构本文将首先介绍偏导数的定义，然后深入探讨偏导数在几何上的含义。
接着，我们将讨论偏导数在实际问题中的应用场景，并对其进行详细说明。
最后，我们将解释常见的偏导数计算方法并推导其中涉及到的公式。
1.3 目的本文旨在帮助读者全面理解偏导数在几何上的意义，并能够应用于实际问题中。
通过阐述偏导数计算方法和公式推导过程，读者将获得更深入和全面的知识。
此外，本文还将总结关键观点并提出未来可能研究方向，为读者进一步探索奠定基础。
以上就是本文“1. 引言”部分的详细内容。
2. 偏导数的几何意义：2.1 偏导数的定义：在多元函数中，偏导数是指对于一个变量求导时，其他变量保持不变。
对于一个函数$f(x_1, x_2,...,x_n)$，它关于第$i$个自变量$x_i$的偏导数表示为$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
2.2 几何意义一: 曲面切平面方向的斜率：偏导数的一种几何意义是描述曲面在某一点处切平面的斜率。
具体来说，考虑一个二元函数$f(x,y)$，我们可以将其看作是一个曲面。
在这个曲面上取一点$(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$，此时$x$轴和$y$轴为该点的坐标轴，而斜率为偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$和$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$所组成的向量就是切平面在该点上的法向量。
2.3 几何意义二: 曲面上某点法线方向的斜率：另一种几何意义是描述曲面上任意一点处法线方向（垂直于曲面）的斜率。
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偏导数的几何意义
偏导数的几何意义
实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件
背景知识：
一偏导数的定义
在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义
定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在处有增量时,相应的函数有增量
- ,
如果 (1)
存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做
, , ,或
例如,极限(1)可以表为
=
类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为
记做, , 或
如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做
, , ,或
类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做
, , ,或
由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.
至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在
变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求
时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数.
偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为
=
其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题
例求的偏导数
解= ,
=
二偏导数的几何意义
二元函数= 在点的偏导数的几何意义
设为曲面= 上的一点,过点作平面,截此曲面得一曲线,此曲线在平面上的方程为= ,则导数
,即偏导数,就是这曲线在点处的切线对
轴的斜率.同样,偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲
线在点处的切线对的斜率
三偏导数的几何意义
我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P 时,函数值趋于,但不能保证点P按任何方式趋于 P 时,函数值都趋于.例如,函数
= ={
在点(0,0)对的偏导数为
同样有
但是我们在前面的学习中知道这函数在点(0,0)并不连续
四二阶混合偏导数
设函数= 在区域D内具有偏导数
= , =
那么在D内, 都是的函数.如果这里两个函数的偏导数也存在,则它们是函数= 的二阶偏导数,按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:
,
,
其中第二 ,第三个偏导数称为混合偏导数
例2 设,求, , ,
,
从例子中,我们看到两个二阶混合偏导数相等,即, =
我们再看用maple作求的图形
第一个图形为
第二个图形为
从图中我们看到两个连续的偏导函数，它们是相等的
这不是偶然的,事实上我们有下述定理
定理如果函数= 的两个二阶混合偏导数及在区域D里连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等
换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。