应用反证法解决立体几何问题
山东省潍坊市第一中学立体几何多选题试题含答案
山东省潍坊市第一中学立体几何多选题试题含答案一、立体几何多选题1．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A ．2A BCO D S SS ⋅=； B ．3333A B C D S S S S <++；C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222111sin sin sin 1αβγ++=；D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则22cos α+2222cos cos 1βγ+=．【答案】ACD 【分析】由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误. 【详解】由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯ 又12A S BC O D '=⋅，12BCOS BC O O '=⋅， 22221124DS BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以2A BCOD S SS ⋅=，故A 正确．对B ：当1a b c ===时，33318B C D S S S ===，则33338B C D S S S ++=，而3332288A S ⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，AM =(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =所以222222222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM ABAM ACAM ADαβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221x y z AMAMAM=++=，所以D 正确．对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，由D 有222222cos cos cos 1αβγ++=，由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确． 故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.2．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -外接球的体积是43π 【答案】BD 【分析】对于A ，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点，不可能；对于B ，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值），由余弦定理可得NC 是定值．对于C ，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，假设1AM B D ⊥，易得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不一定成立．对于D ，当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，体积是43π． 【详解】对于A 选项：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ， 则11////NE AB NF MB ，，又11AB MB ⊥，所以EN NF ⊥， 如果1CN AB ⊥，可得EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点， 不可能，故A 选项不正确；对于B 选项：如图1，由A 选项可得1AMB EFN ≈△△，故1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值），故在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 选项正确．对于C 选项：如图，取AM 中点O ，连接1,B O DO ， 由AB BM =，得1B O AM ⊥，假设1AM B D ⊥，111B D B O B =，所以AM ⊥面1ODB ，所以OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不恒成立，所以假设不成立，可得C 选项不正确．对于D 选项：由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得12BO =2DM =22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，体积是43π．故D 选项正确． 故答案为：BD ． 【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于难题.本题C 选项的解题的关键在于采用反证法证明，进而推出矛盾解题，D 选项求解的关键在于把握平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大.3．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为2D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 5 【答案】AC 【分析】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；【详解】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=1tan 3023︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B C B FC C F ∠==22C 正确；因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为6，故D 错误. 故选：AC.【点睛】本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．4．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A DC 成立 C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立D ．四棱锥1A BCDE -体积最大值为24【答案】CD 【分析】利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为24. 【详解】如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ， 则45CDF ∠=︒，22DF =，故212254222222CF =+-⨯⨯=， 故222DC DF CF ≠+即2CFD π∠≠．若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=， 故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥， 因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，因为1AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值， 由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE平面BCDE DE =，1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故122A F =， 又四边形BCDE 的面积为13211122⨯-⨯⨯=， 故此时体积为13223224⨯⨯=D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，则1//,2IM CD IM CD =，而1//,2BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形，故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确． 故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.5．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡∈⎣，()2,23,Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,23,22R λλλ--，[]0,1λ∈.()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥，则()()12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 14λ=，此时11333313,,,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,33R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,33D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.6．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（ ）A ．()1112DA A A B A BC =-+ B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于22AC C ．异面直线AD 与1BC ，所成角的余弦值为66D ．若点E 到平面11ACC A 的距离等于32EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002aA ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,，300B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，130B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以1322a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，1322a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即2223022a a b ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b =． 因为//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于122BB =．选项B 正确． 对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，3002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，()0,0,0D ，1202a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，1322a BC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,-,， 因为211162cos ,||||622a BC DA BC DA BC DA a a ⎛⎫- ⎪⋅⎝⎭<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成角的余弦值为66，选项C 正确． 对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1E F 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A 的距离等于3EB ，即有31E F EB =，又因为在1CE F ∆中，3112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.7．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 有可能是梯形B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形C ．四边形1BFDE 有可能垂直于平面11BB D DD ．四边形1BFDE 面积的最小值为62 【答案】BCD【分析】四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 6 【详解】过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ，如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E平面11ABB A BE =. 平面1BFD E 平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为162322=，因此D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.8．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2，则（）A．BF⊥平面EABB．该二十四等边体的体积为20 3C．该二十四等边体外接球的表面积为8πD．PN与平面EBFN2【答案】BCD【分析】A用反证法判断；B先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C先找到球心与半径，再计算表面积判断；D先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】解：对于A，假设A对，即BF⊥平面EAB，于是BF AB⊥，90ABF∠=︒，但六边形ABFPQH为正六边形，120ABF∠=︒，矛盾，所以A错；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体， 则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以B 对；对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为2R =，其表面积为248R ππ=，所以C 对；对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ，所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠，其正弦值为222PS PN ==，所以D 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。
例谈反证法在高中数学解题中的妙用
例谈反证法在高中数学解题中的妙用摘要：在高中数学教学中，反证法作为一种解题方法，一直备受广大教师及学生的青睐。
纵观数学这门学科的诸多定理及结论，其中也有不少是用反证法来证明的。
可见，反证法在高中数学中占据着十分重要的位置。
反证法作为一种间接证法，不仅能丰富学生的解题技巧，还能锻炼学生的逆向思维，提高综合素养。
本文主要以实例来说明反证法在高中数学解题中的妙用。
关键词：高中数学反证法解题一、反证法解空间几何题中的妙用在苏科版高中数学教材中，立体几何占据着十分重要的地位。
在历年的高考试题中，立体几何题型也一直是重点考查的题型之一。
在一些求证空间关系的空间几何题当中，用正面求解的方法往往耗时费力，而且难度极大，在有限的考试时间中，这样的做法是相当不经济的。
“正难则反”，让学生掌握反证法，不仅可以丰富学生的“武器库”，提高学生解题的效率，还能开发学生的思维能力，从而提高学生的综合数学能力。
例，如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。
求证：AC与平面SOB不垂直。
要求解此题，首先要找到这道题的题眼。
此题的关键点便是“不垂直”。
根据题目给出的信息，若直接求证直线AC与平面SOB不垂直，显然无从入手。
面对这种情况，引用“正难则反”的思维，这道题完全可以用反证法来求解，假设直线AC与平面SOB垂直，再导出矛盾，从而间接推出直线AC与平面SOB不垂直。
解题过程如下：假设AC⊥平面SOB∵直线SO在平面SOB内∴AC⊥SO∵SO⊥底面圆O∴SO⊥AB∴SO⊥平面SAB∴平面SAB∥底面圆O这显然矛盾，因此假设不成立即AC与平面SOB不垂直从以上例子可以看出，运用反证法解此题，不仅大大降低了解题的难度，而且步骤简单，思路清晰，解题效率明显提高。
二、反证法在解方程组题中的妙用在苏科版高中数学教材中，函数相关的内容占据了很大的一个板块。
方程组可谓是贯穿了整个高中数学教学过程。
而在历年高考中，无论是选择题、填空题还是大题，都会牵涉到方程组及函数的内容。
高中立体几何证明方法及例题
1.空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。
2.立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。
近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。
对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。
对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。
（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1.线线、线面、面面平行关系的转化：面面平行性质α//βαI γ=a ,βI γ⎫⎬⇒a =b ⎭//baa //b⎫⎬ba ⊄α,b ⊂α⎭α⇒a //αa ⊂α,b ⊂αAb a I b =Aαaa //β,b //ββ⎫⎪⎬⎪⎭(a//b,b//c线线∥⇒a //c)公理4线面平行判定线面平行性质线面∥⇒α//β面面平行判定1面面∥面面平行性质面面平行性质1α//γ⎫β//γ⎭⎫⎪a ⊂β⎬αI β=b ⎪⎭a //α⇒a //bα//β⎫a ⊂α⎭⎬⎬⇒α//β⇒a //β2.线线、线面、面面垂直关系的转化：⎫⎪a Ib =O ⎬l ⊥a ,l ⊥b ⎪⎭a ,b ⊂α⇒l ⊥α⎫⎬⇒α⊥βa ⊂β⎭a ⊥α面面⊥三垂线定理、逆定理线线⊥PA ⊥α,AO 为PO 在α内射影a ⊂α则a ⊥OA ⇒a ⊥PO a ⊥PO ⇒a ⊥AOl ⊥α线面垂直判定1线面垂直定义线面⊥α⊥β面面垂直判定面面垂直性质，推论2⎫⎬a ⊂α⎭⇒l ⊥a⎫⎪αI β=b ⎬⇒a ⊥αa ⊂β,a ⊥b ⎪⎭α⊥γβ⊥γαI β⎫⎪⎬⇒a ⊥γ=a ⎪⎭面面垂直定义αI β=l ，且二面角α-l -β⎫成直二面角⎬⇒α⊥β⎭3.平行与垂直关系的转化：a //b ⎫a ⊥αa ⊥α⎫⇒b ⊥αa⎬⎭⎬⇒αa ⊥β⎭//β线线∥线面垂直判定2线面垂直性质2a ⊥α⎫线面⊥面面平行判定2面面平行性质3面面∥⎬⇒a //b b ⊥α⎭α//β⎫a ⊥α⎬a ⊥β⎭4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
高中数学立体几何典型题目
（2010 安徽文 19）如图，在多面体 ABCDEF，四边形 ABCD是正方形，
AB=2EF=2， EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC= 90°，BF=FC，H 为 BC 的中点.
（1）求证：FH∥平面 EDB；（2）求证：AC⊥平面 EDB；
（3）求四面体 B—DEF 的体积.
定值线段 AB 和 CD 滑动，如图，试探究四面体 ABCD 的体 积是否与定值线段 AB 和 CD 的位置有关.
A
B
a
A
B
a
E
C
Db
C
F Db
V SCDF h
1
SCDF
mnsin DCF 2
例 6 （2）（2009 宁夏海南改编） 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱线长为
1，线段
与 C1D1
的交点
R
满足C1R1
1 3
;
④当 3 CQ 1 时,S 为六边形; 4
⑤当 CQ 1时,S 的面积为 6 . 2
例4
例 5．正四面体 ABCD 内接于半径为 R 的球 O（即四个顶点在球面上）， 其内切球半径为 r. (1) 证明：R=3r； (2) 用 R 表示正四面体的棱长.
R 2 r 2 ( 3 a)2 1 R 2 1 a 2 a 2 6 R
3
93
3
例 6 （1） 设异面直线 a 和 b 上各有长度分别为 m 和 n 的
AA1=2，M 是棱 CC1 的中点.（1）求异面直线 A1M 和 C1D1所成的角的正切值；
（2）证明：平面 ABM⊥平面 A1B1M.
A1
D1
B1
C1
M
D A
例析反证法在立体几何中的应用
例析反证法在立体几何中的应用汤燕【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2016(000)012【总页数】2页(P7-8)【作者】汤燕【作者单位】江西省宜春市第一中学【正文语种】中文反证法是一种解题手段,在高中数学中出现的诸多定理与公式的证明,都是用反证法来实现的．反证法的存在,可以帮助学生解决一些正面难以解决的数学难题,有利于锻炼学生思维模式,扩宽了解题思路．下面举例分析反证法在高中立体几何中的应用．在某些题目中,若所需要证明的结论是一个否定命题,而直接证明比较困难,这就需要我们从它的反面即正面命题来求解．例1 如图1所示,a∩α=A．求证:在平面α内不存在一条直线与a平行．分析这是一道简单的证明题,如果直接从正面去考虑证明a与平面α内任意一条直线都不平行,将十分复杂．假如我们从问题的反面思考,不存在一条直线与a平行的反面是至少有一条直线与a平行,就会起到“柳暗花明”的效果．因此可以反面推导,最后根据题意得出矛盾．证明假设原命题不成立,则在平面α存在一条直线b与a平行．又因为b⊂α而a⊄α,所以可以得出a∥α,这与已知a∩α=A矛盾,于是假设不正确,故原命题正确．反面求解的方法简单、实用,不用考虑太多的直线,只需在反面中假设一条直线即可．对学生的思维量要求不高,有利于理解、应用,是教学时首选的方法．对于一些唯一性、存在性的问题,如果用正常的方法解决,其证明过程可采用2步来解决:先证明存在性，再证明唯一性．这就是直接证明法,但某些“唯一性”问题用直接法不易求解，则可采用反证法,使问题变得简单．例2 已知平面α和α外一点P,求证:过点P与α垂直的直线只有一条．分析本题只需要证明唯一性,我们就可以采用反证法来解决．假设过点P与α垂直的直线有2条,再去判断这一假设与其他条件相互矛盾，即可解决问题.证明如图2所示，过点P作PA⊥α,垂足为A．假设还有一条直线PB⊥α,即PA∩PB=P,可知由PA、PB可以确定一个平面β．设α∩β=a,则在β内PA⊥a、PB⊥a,所以PA∥PB．这与PA∩PB=P产生矛盾,所以假设不成立,命题得证．如果采用直接法,则需要解决的问题比较宽泛,给人一种无从下手的感觉．此时教师就要及时引导学生另辟蹊径,转换思维方式,即采用反面逆推的方法．这样既开拓了学生思维,又丰富了解题经验．反证法的使用也可以出现在平行问题的证明上,如果证明2条直线平行,直接证明很困难,我们可以先假设它们不平行,之后再利用已知条件推出矛盾,这样就可以得出2条直线平行．例3 已知a与b是异面直线,又a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α．求证:α∥β．分析2个平面平行的反面是2个平面相交，故可先假设相交，再来判断其与条件矛盾即可．证明如图3所示，假设α与β不平行,α∩β=c.又因为a∥β,b∥α．由直线与平面平行的性质定理可知a∥c、b∥c,则a∥b．这与已知条件a和b是异面直线矛盾,故假设不成立,一定存在α∥β．在利用反证法证明时,一定要根据需要求证的问题来假设．如果假设的条件在之后的解题中没有任何作用,那么反证法就失去了使用的意义．所以在使用反证法时,老师要时刻提醒学生假设的方向与条件,切不可随意假设,令解题走向困境．立体几何中不仅存在大量证明平行的问题,也存在着很多证明相交的问题．在相交的问题中,也可以采用反证法来求证，原理与平行问题相同．例4 已知:PA⊥α,垂足为A,PB⊥β,垂足为B．其中A∈α,B∈α,且A、B不重合．求证:α与β相交．分析本题与上面求证平行的问题相似,也是属于证明面与面之间的关系,因此仍可以采用反证法.证明如图4，假设α与β不相交,则α与β重合或者是平行．当α与β重合时,由PB⊥β可得PB⊥α.又因为PA⊥α,所以过点P有2条直线与α垂直,这与过一点有且只有一条直线与平面垂直相矛盾．当α∥β时,同理也可以推出矛盾,故假设不成立,所以α与β必相交．教师在教会学生利用反证法证明平行问题后,可让学生自行思考如何使用反证法证明相交问题．通过学生自己去思考达到触类旁通的目的．有利于提高学生自行解决问题的能力,也是对学生进行知识迁移训练的大好机会在线面关系证明中,用正面求解的方式往往会耗时耗力,而且难度极大，反证法求解不仅大大降低了解题的难度,而且步骤简单、思路清晰,解题的效率明显提高．例5 如图5所示,设SA、SB是圆锥SO的2条母线,O是底面圆心,C是SB上的一点．求证:AC与平面SOB不垂直．分析此题的关键点是“不垂直”．这个“不”字也是在提醒我们使用反证法．假设直线AC与平面SOB垂直,然后导出矛盾,从而间接推出AC与平面SOB不垂直．证明假设AC⊥平面SOB,因为直线SO在平面SOB内,所以AC⊥SO．又因为SO⊥底面圆O,所以SO⊥AB．即SO⊥平面SAB,所以平面SAB平行底面圆O,显然矛盾,因此假设不成立,即AC与平面SOB不垂直．总之，反证法是高中数学中重要的解题、证明方法,教学中教师不仅要在学生的心中树立使用反证法的思维,更要注重培养、增强他们使用反证法的意识，明白使用反证法时需要注意的事项．只有教导学生灵活掌握了反证法,才能够从容地解决高考中出现的相应题目．。
高中立体几何92异面直线讲解
B
l
(4) A l
例1：图中：（1）哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？ D1
解：在平面 ABCD中
直线AD 平面ABCD
B 面ABCD
C1
A1 D A
B1 C
B
B 直线AD A1 平面ABCD
由异面直线的判定定理 得：AD与A1B是异面直线
同理B1C1、CD、C1D1、CC1、DD1与A1B为异面直线
类比：
平面内两条直线的位置关系：
两条异面直线的位置关系： 异面直线a、b的“交错程度”： 异面直线a、b的“远近”：
异面直线a、b所成的角：过空间任一点O，分别引直线 a1∥a，b1∥b，则a1和b1所成的锐角（或直角）作为异 面直线a、b所成的角。（夹角）
a
A
a1
O
b
b1
平移法
即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转 化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
异面直线所成角范围： （0, ] 2
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说两条直线互 相垂直.
若两条异面直线a、b互相垂直，仍记为a b .
例2：图中：（1）哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？
AD、B1C1、CD、C1D1、CC1、DD1与A1B为异面直线
（2）求直线BA1和CC1的夹角的度数 （3）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？ D1 A1 B1 C1
a
3.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中： ⑴哪些棱所在直线与直线AA1成异面直线且互相垂直？ ⑵已知AB=√3，AA1=1，求异面直线BA1与CC1所成角的度数。 D1 C1 B1 答；⑴BC、CD、B1C1、C1D1. A1 C ⑵ 600 D A B
最新毕业论文：浅谈反证法在中学数学中的应用
浅谈反证法在中学数学中的应用摘要：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。
关键词：反证法证明矛盾1. 引言有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。
这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。
数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。
2. 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。
不仿设原命题为qp→，s是推出的结论，s一般是条件、某公理定义定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为：()qpssqp→⇔Λ→→，即()qpssqp→⇔Λ→Λ。
逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。
根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。
模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设；（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
3. 反证法的适用范围反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。
那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。
第六章 反证法在立体几何中的应用
第六章 反证法在立体几何中的应用在立体几何中哪些命题适合应用反证法，我们进行了一些归纳，下面以实例来说明。
一、证明诸直线共面例题：求证：过一点和一条直线垂直的所有直线都在同一平面内。
已知：一点P 与一条直线l ，且a 、b 、c.......n 都垂直于l.求证：a 、b 、c.......n 在同一平面内。
证明：⎩⎨⎧⊥⊥=⋂bl a l P b a , α确定的平面b a l ,⊥⇒； 假设、确定的平面又面ααn a l n l a ,l ,pn ⊥⇒⎩⎨⎧⊥⊥⊄； 这样过一点有两个平面与直线l 垂直，与有且只有一个矛盾，那么α⊂pn ，故命题得证。
二、证明诸点共面例题：已知空间四点A 、B 、C 、D 满足2π=∠=∠=∠=∠DAB CDA BCD ABC ,求证：A 、B 、C 、D 共面。
证明：抓住四个角都是直角这一特征，容易联想到勾股定理进行比较，从二推出矛盾。
假设A 、B 、D α∈， C α∉，/C 是C 在α内的射影，连/C D,D C CD AD D C C C ADCD /// ⇒⊥⇒⊥⊥α ⑴同理B C CB / ⇒ ⑵D ABC D C B A ADAB AB B C AD D C ////,,,,,⇒∈⊥⊥⊥α且是矩形， 所以22/2//2BD D C BC D BC =+⇒=∠π⑶已知2222BD CD BC BCD =+⇒=∠π⑷ 由⑴⑵有 2/2/22B C D C CB CD ++由⑶⑷有 2/2/22B C D C CB CD +=+ ⇒矛盾，则C 一定在α内，即A 、B 、C 、D 共面。
三、证明两条直线异面例题1：已知两个不同平面βα、相交于直线l ，经过直线l 上两点A 和B 分别在α内直线 作AC ，β内作直线BD;求证：AC 、BD 是异面直线。
证明：假设 AC 、BD 共面，则 AC 、BD 所在平面βα点，即和过点，即和过A BC B AC 那么，βα、重合与已知矛盾；所以 AC 、BD 是异面直线。
浅谈“反证法”在高中数学的应用
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
高中立体几何最佳解题方法及考题详细解答
高中立体几何最佳解题方法总结一、线线平行的证明方法1、利用平行四边形；2、利用三角形或梯形的中位线；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。
（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两个直线平行。
7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
二、线面平行的证明方法1、定义法：直线和平面没有公共点。
2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。
（线面平行的判定定理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。
4、反证法。
三、面面平行的证明方法1、定义法：两个平面没有公共点。
2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（面面平行的判定定理）3、平行于同一个平面的两个平面平行。
4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。
5、垂直于同一条直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法1、勾股定理；2、等腰三角形；3、菱形对角线;4、圆所对的圆周角是直角；5、点在线上的射影；6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。
7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
（三垂线定理）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直；2、点在面内的射影；3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。
（线面垂直的判定定理）4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。
应用反证法，让学生解题更轻松
㊀㊀㊀应用反证法,让学生解题更轻松◉江苏省启东市第一中学㊀朱伶鹭㊀㊀１引言反证法属于间接论证的一种方法,是通过断定与论题相矛盾的判断的虚假来确立论题的真实性,在数学解题中也较为常用．在高中数学解题教学中,部分题目采用正面直接的方法通常难度较大㊁不易求解,还要耗费大量的时间与精力,极易影响学生参与解题的兴致与积极性,教师可指导他们应用反证法来解题,使其解题更为轻松,且有效改善个人思维水平．２运用反证法有效处理函数问题在数学知识体系中,函数与方程有着密不可分的关系,其中在高中数学教学中,函数有关内容占据着较大板块,更是贯穿于整个高中数学教学．在历年高考中,无论是选择题㊁填空题,还是大题,往往会涉及到函数和方程相关内容．高中数学教师在解题训练中,可指导学生巧妙运用反证法处理函数类问题,使其掌握新的解题技巧,提高他们解题的准确度．例１㊀给定实数a ,a ʂ０,且a ʂ１,设函数y ＝x －１a x －１(其中x ɪR ．x ʂ１a )．证明:(１)经过该函数图象上任意两个不同点的连线不平行于x 轴;(２)该函数图象关于直线y ＝x 成轴对称图形．分析: 不平行 的否定是 平行 ,假设 平行 后得出矛盾就能够反向推翻假设．证明:(１)设M １(x １,y １),M ２(x ２,y ２)是函数图象上任意两个不同点,则x １ʂx ２．假设直线M １M ２平行于x 轴,则必有y １＝y ２,即x １－１a x １－１＝x ２－１a x ２－１,整理后得到a (x １－x ２)＝x １－x ２．根据x １ʂx ２得到a ＝１,这同已知 a ʂ１相矛盾,所以假设不成立,即直线M １M ２不平行于x 轴．(２)根据y ＝x －１a x －１,得a x y －y ＝x －１,即(a y －１)x ＝y －１,得到x ＝y －１a y －１,则原函数的反函数也是y ＝x －１a x －１,故图象一致．因为互为反函数的两个图象关于直线y ＝x 对称,所以得到函数y ＝x －１a x －１的图象关于直线y ＝x 成轴对称图形．针对上述案例,对于 不平行 的否定性结论采用反证法,在假设 平行 的情况下极易得到一些性质,经过推理发现同已知条件相矛盾,由此简化证明流程,正确率也得以保证．３利用反证法巧妙处理不等式问题一直以来,不等式的求解与证明都是高中数学教学中的重要内容,也是学生在学习过程中的难点之一,面对常规题目他们可以采用比较法㊁综合法与分析法来解题．不过当学生遇到一些难度系数较高的不等式试题时,通过正向很难处理,这时高中数学教师可以引导他们利用反证法巧妙处理不等式问题,使其掌握多种多样的解题方式,增强自身的解题能力．例２㊀已知a ＋b ＋c ＞０,a b ＋b c ＋a c ＞０,a b c ＞０,求证:a ＞０,b ＞０,c ＞０．面对这样形式的问题,学生要用到反证法,证明:假设题目中给出的结论不成立,a ,b ,c 不都是正数,根据a b c ＞０可以判断出这三个数中一定存在两个负数,另外一个是正数,不妨假设a ＜０,b ＜０,c ＞０,根据a ＋b ＋c ＞０可知c ＞－(a ＋b )．又因为a ＋b ＜０,所以,c (a ＋b )＜－(a ＋b )(a ＋b ),两边同时加上a b ,则c (a ＋b )＋a b ＜－(a ＋b )(a ＋b )＋a b ,即为a b ＋b c ＋a c ＜－a ２－ab －b ２．因为a ２＞０,a b ＞０,b ２＞０,所以,－a ２－a b －b ２＜０,a b ＋b c ＋a c ＜０,这同已知条件a b ＋b c ＋a c ＞０存在矛盾,故说明假设不成立,从而a ＞０,b ＞０,c ＞０成立．上述案例,学生使用反证法进行证明,一个原本复杂难解的问题就迎刃而解,由此可见,他们将反证３９２０２２年４月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀师生园地教育纵横Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀法巧妙地应用到不等式解题过程中去,能够大大缩短解题时间,加快解题速度．４应用反证法准确解答数列类问题由于高中数学涉及到的知识内容较多,不少知识点还较为复杂,学生在解题环节往往会遇到这样或那样的困境,导致他们无法顺利解题,影响学习兴趣与积极性．数列属于高中数学中的重要内容,题目复杂多变,尤其部分问题从正面切入难度较大,面对这一现状,教师应当提醒学生应用反证法,使其明确解题思路,帮助他们准确解答问题．例３㊀已知等比数列{a n}的公比为q,前n项和是S n,判断数列{S n}是否是等比数列．分析:学生通过阅读题干内容分析后判定出这是一道定性命题,此类问题要想从正向证明或者解答难度相当大,过程也较为复杂,这时教师可引领他们应用反证法,借助逆向思维的优势来解题．解:假设数列{S n}是一个等比数列,所以S２ˑS２＝S１ˑS３,则a２１(１＋q)２＝a１ˑa１(１＋q＋q２)．由于数列{a n}是一个等比数列,那么a１ʂ０．将上述式子化简后得到(１＋q)２＝１＋q＋q２,整理得q＝０．这同等比数列中公比不为０存在矛盾,故假设不成立,则数列{S n}不是一个等比数列．５使用反证法恰当解决命题证明题数学作为一门涉及众多概念㊁公式㊁性质的科目,学生在学习过程中,会遇到不少命题类的证明问题,这些题目主要考查思维水平,且部分题目很难从正面直接证明．所以,高中数学教师在日常解题训练中,面对命题证明问题时,应指引学生分析题目类型,使其灵活引用反证法,从方面展开证明,顺利完成解题．例４㊀证明一个圆只有一个圆心．分析:假如学生从正向对这个问题进行直接论证,将会无从下手,故他们可以采用反证法来证明这个命题．首先假设一个圆存在两个圆心,再得出与已知结论相矛盾的结论,最后得到原命题正确这一结论．证明:假如一个圆存在两个圆心A和O,在圆内作弦C D,取中点E,把O E和A E连接起来,这样过直线C D上一点E同时有两条直线O E,A E都垂直于弦C D,与平面内 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 的基本性质存在矛盾,所以 一个圆只有一个圆心 这一结论是成立的．对于上述案例,学生处理这道题目时,从正向视角切入是无法下手进行证明的,只有利用反证法从问题的反向视角来思考,才可以找到解题的突破口,让他们恰当解决该类试题．６采用反证法快速解答几何类问题高中数学题目主要包括代数与几何两大类,其中立体几何题型也历年高考中的一个常考考点,特别是一些求证空间位置关系的几何试题,采用正向求解不仅耗时耗力,难度还比较大．在平常解题训练中,教师需引领学生坚持 正难则反 的原则,使其采用反证法来处理这类题目,促使他们掌握更多的解题技巧,加快解题速度．图１例５㊀如图１所示,设S A,S B是圆锥S O的两条母线,O的底面圆心,C是S B上的一点,求证:A C与平面S O B不垂直．分析:要想求证题目中的所设,学生首先需找到本题中的题眼,关键点就是 不垂直 ．结合题目中提供的条件,如果直接证明直线A C和平面S O B不垂直,显然无法进行,面对这一情况,教师可提示他们采用反证法来证明,假设直线A C和平面S O B垂直,以此为切入点导出矛盾,间接推导出直线A C和平面S O B不垂直．具体证明方法如下:假设A Cʅ平面S O B,由于直线S O在平面S O B内,得出A CʅS O．因为S Oʅ底面圆O,所以S OʅA B,S Oʅ平面S A B,平面S A B和底面圆O是平行关系,这显然与题设相矛盾,判定出假设不成立,即为直线A C和平面S O B不是垂直关系．在上述案例中,学生采用反证法处理该道题目,不仅有效降低该证明题的难度,而且证明步骤也变得较少,显得简单快捷,形成清晰的证明思路,他们的解题效率得以明显提升．在高中解题教学活动中,教师需充分意识到反证法在解题中的作用,指导学生对结论先提出反设,再推理出矛盾所在,最后得出结论,使其根据具有题目类型灵活运用反证法,有效处理数学难题,逐步提高他们的解题能力与思维水平．Z４９教育纵横师生园地㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年４月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
反证法在几何解题中的应用
上 ，而体现在整体与综合之中． 有效 ，是通过我们诸 多美术教师
美术课 给学生 的不仅仅是美 术． 蔡元培在任教育总长 （ 民国 长期的 、共 同的努力形成的．
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硅教 育论蛞 ［ ２ ０ １ ３ 年第 ８ 期］
证 明：假设 ＡＣ和 Ｂ Ｄ不 是异面 直线 ，那 么 ＡＣ和 Ｂ Ｄ在 同 也有． 这类题 目用直接证法证明相当困难 ，因此一般情况下都采
具来创作一样 的东西 ． 美 术课应 给学生一种 或几种创 造美 的技 是给学生 以创造美的技艺 ，更在于对美的认同或创造．所以美术 术 ，而这种技术是 因人而异 的 ，教育 中应 给学生提供 多种 方式 课要 给学生美的体验．给学生提供发现美 、感受美 的眼睛 ，给学 让其选择 ．同时 ，向学生提供 的技术也应是考虑学生的不同年龄 生创造美 的意识及精 神 ，当学生 具有 了审美 的眼睛及创 造美的 及控 制相应成本．不能为了学校的特色而不考虑学生的个性及经 意识及 能力 ，学生就有了一个美好 的生活及美好 的明天． 济 ，不能 以学校 的特色取代学 生的特性 ，为了学校 的名誉 而牺 从 学校 的地位 看 ，美 术是 门小学科 ，但 从培 养学生 来讲 ， 牲 了 学生 的利 益 ． 美术又有其他学科 所无法取代 的功能 ，甚 至在某种程度 上会超 让 学生掌握鉴 赏美的方法及 知识也是美 术教育 的一个 重要 黑色六月 ”的离去 ，而被学 内容 ，对一般学 生来讲 ，这方 面 的知 识及 能力反 而更为重 要 ， 越其他学科．当其他学科随着高考 “
会不会作 画对 大部分学生来讲 不是很重要 的 ，但有没有 审美能 生抛置九霄云外 之时 ，美术依然 会以其独特 的方式长久 地影响 力却会影响学 生的生活质量及学识修养．中学美术教育主要不是 着学生 ，陪伴其一生．
初三数学29. 1 几何问题的处理方法;29. 2 反证法知识精讲华东师大版
初三数学29. 1 几何问题的处理方法；29. 2 反证法知识精讲华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§29. 1 几何问题的处理方法§29. 2 反证法二. 重点、难点：1. 重点：⑴进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式，能灵活地应用所学的公理、定理、定义进行逻辑推理，提高演绎推理的能力．⑵掌握运用等腰三角形的判定和性质定理．⑶理解和掌握平行四边形、特殊平行四边形以及等腰梯形的性质定理和判定定理．会用逻辑推理的方法进行证明．⑷了解反证法的概念，掌握反证法证明几何命题的思想和步骤．2. 难点：⑴有些命题可以通过观察和实验得到，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而说明证明的必要性．所以理解证明的必要性和能够证明一个命题是本单元的重难点．⑵在证明过程中，如何添加适当的辅助线也是本单元的难点之一．三. 知识梳理：1. 研究几何图形性质的方法前面我们已经学习了许多几何图形的性质，在认识这些图形的性质时，常常采用量一量、算一算、猜一猜等方法，这是研究几何图形性质的一种基本方法．而本章是用逻辑推理的方法来推导图形的性质，逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法．逻辑推理需要依据，常用的依据有公理、定理（如经过两点有且只有一条直线）、定义、性质（如等式性质、不等式性质）、等量代换等．2. 逻辑推理的依据－－－－公理、定理⑴公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，我们把这样的真命题叫做公理．公理是不需要证明的．⑵定理：一些命题从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，我们把这样的真命题叫做定理．3. 证明⑴一个命题是否正确，要经过逻辑推理，这个推理的过程叫做证明．⑵证明的一般步骤：①根据题意，画出图形，图形要具有一般性，不能特殊化，并且在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证．③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．4. 用推理方法研究三角形三角形中需要证明的定理很多，而定理的证明方法各有不同，学习时要注意以下方法：⑴通过图形的运动，将三角形拼在一起，找到证明斜边，直角边定理的途径；⑵通过对角平分线的两条定理的类比得出线段垂直平分线的两定理；⑶证明勾股定理逆定理时可用构造法证明；⑷学习概念时需用概念辨析法．在解答有关等腰三角形的问题时，需运用分类思想，不要出现漏解现象．5. 用推理方法研究四边形⑴学习平行四边形的判定和性质，可按边的关系、角的关系以及对角线的关系进行分类，在证明有关平行四边形问题时，要根据已知条件的特点，正确合理地使用平行四边形的判定和性质定理，可以用平行四边形知识证明的问题，不要再倒退到用三角形的全等来证明．⑵将矩形和菱形放在一起进行类比，可以更好地掌握矩形和菱形的特殊性质、学习三角形、等腰梯形的中位线时也要用类比的方法．⑶证明一个问题时，要从已知条件与求证结论两头入手，探索解题途径，建立沟通已知与求证的桥梁，最后用综合法写出证题过程，研究四边形时，一般通过作辅助线把它转化为三角形的有关问题来解决，同时要注意四边形知识的直接应用．由于各种特殊平行四边形概念交错，容易混淆，所以在判断时常常因为概念不清而出错．学习时要对平行四边形与特殊的平行四边形之间的从属关系等基本知识进行整理，弄清演变过程，使之结构化、系统化，并通过针对性的训练，加深理解内在关系，在应用中得到巩固．6. 反证法⑴反证法的概念：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题成立，这样的证明方法叫做反证法．⑵反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论的反面是正确的；②从这个假设出发，通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；③由矛盾说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确．反证法是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，从而想出的从问题的反面出发给出证明的一种方法．这里总结了反证法的一般步骤，要注意的是，若结论的反面不止一种情况，必须把各种可能情况全部列举出来，并逐一加以否定．【典型例题】例1. 已知：如图，点D在AC上，点E在AB上，BD和CE相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．分析：BE和CD分别在△BOE与△COD中，由已知条件不能直接证明△BOE≌△COD，但已知AB=AC，AB、BE及AC、CD分别在一条直线上，如果能证明AE=AD，就可得BE=CD．而AE、AD分别在△AEC和△ADB中，可由已知条件证得△AEC≌△ADB．∴△AEC≌△ADB（ASA）．∴AE=AD（全等三角形的对应边相等）．又∵AB=AC，∴BE=CD．例2. 等腰三角形一边上的高是另一边的一半，则顶角的度数为 ．分析：一般会填30°或120°，这是不完整的，原因是没有充分考虑一切可能的情形，出现漏解现象．我们遇到多解问题时，一定要分类讨论，要充分考虑一切可能的情形，避免出现漏解现象．正确解法：⑴如图，当底边上的高是腰长的一半时，CD=21AC ，∴∠ACB=120°．⑴ ⑵ ⑶ ⑷⑵如图，当一腰上的高是底边的一半时，BD=21AB ，可得∠ACB=120°． ⑶如图，当一腰上的高是另一腰的一半，且高在△ABC 的外部，即DB=21BC ，可得∠ACB=150°．⑷如图，当一腰上的高是另一腰的一半，且高在△ABC 的内部，DB=21BC ，∴∠C=30°． ∴正确解为30°、150°、120°．例3. 求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．分析：根据证明文字命题的一般步骤，先找出条件和结论，再画图写出已知和求证，最后写出证明．证明文字命题的一般步骤：⑴理解题意，找出命题的条件和结论；⑵根据题意正确画出图形；⑶根据条件结论，结合图形写出已知和求证；⑷探索证明思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ．求证：∠DBC=21∠A ． 证法一：用折半法，找出或作出较大角的一半的角，证明它与较小的角相等．作顶角平分线AE ．∵AE ⊥BC （等腰三角形“三线合一”）．∴∠EAC+∠C=180°－90°=90°．∴BD ⊥AC （已知），∴∠DBC+∠C=180°－∠BDC=180°－90°=90°．∴∠DBC+∠C=∠EAC+∠C ． ∴∠DBC=∠EAC ．∵∠EAC=21∠A ，∴∠DBC=21∠A ． 证法二：用加倍法，找出或作出等于较小角的两倍的角，证明它与较大的角相等． 如图，作∠DBF=∠DBC ，BF 交AC 于F ．由作法得∠FBC=2∠DBC ，即∠DBC=21∠FBC ．∴△BFD ≌△BCD （ASA ）． ∴∠BFD=∠C ．∴∠FBC=180°－∠BFD －∠C=180°－2∠C ．又∵∠C=∠B ，∴∠A=180°－∠B －∠C=180°－2∠C ．∴∠FBC=∠A （等量代换）．∵∠DBC=21∠FBC （已证），∴∠DBC=21∠A ．例4. 等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长是 cm ．分析：要求三角形的周长，只要求出第三边的长即可，由于题目中的三角形是等腰三角形，第三边也就只能在4cm 和9cm 中选取，由三角形三边的关系可知，第三边不能为4cm ，故其周长即可确定．解：设第三边长为xm ，则9－4﹤x ﹤9+4，即5﹤x ﹤13．由于此三角形是等腰三角形，所以第三边的长为9cm ，即周长为22cm ．点拨：本题主要考查了等腰三角形的一些性质以及三角形中的有关概念，需要注意的是有关等腰三角形的问题往往需要进行讨论，但本题需要考虑到三角形三边的关系，4cm 只能作底边．例5. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC 、∠ACD 的平分线交于点P ．求证：点P 到AB 、AC 的距离相等．分析：欲证点P 到AB 、AC 的距离相等，只需证PE=PF 即可．证明：如图，过点P 作PE ⊥AB 交BA 延长线于E ，过点P 作PF ⊥AC 于F ，过点P 作PG ⊥CD 于G ．∵点P 在∠ABC 的角平分线上，∴PE=PG ．∵点P 在∠ACD 的角平分线上，∴PF=PG ．∴PE=PF ．∴点P 到AB 、AC 的距离相等．例6. 已知：如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O ，且与AB 、CD 分别相交于点F 、E ．求证OE=OF ．分析：本题证法不惟一，但不论用何种证法，主要途径是平行四边形的性质．证法一：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，OA=OC ，∠ECO=∠FAO ． 又∵∠AOF=∠COE ，∴△AOF ≌△COE ．∴OE=OF ．证法二：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，OA=OC ． ∴OEOF OC OA ． ∴OE=OF ． 点拨：本题还可以用平行四边形的中心对称性来证明，请读者自己试一试．例7. 如图，在平行四边形ABCD 中CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB=6，BC=4，则AE ：EF ：FB 为（ ）A. 1：2：3B. 2：1：3C. 3：2：1D. 3：1：2分析：如图，应利用平行四边形的性质及其他图形的性质求解，由∠1=∠2，∠1=∠3，可得∠2=∠3．所以BE=BC=4．而AB=6，所以AE=2．故可求得AE=2，EF=1，BF=3．解：选B例8. 如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O 点，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于点F ．求证：OE=OF ．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO ．又∵AG ⊥EB ，∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3．∴∠1=∠2．∴Rt △BOE ≌Rt △AOF ．∴OE=OF ．变式题：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变（如下图），则结论“OE=OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．分析：结论“OE=OF ”仍成立，可通过证Rt △AOF ≌Rt △BOE 来证OE=OF ．解：结论“OE=OF ”仍成立，证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOF=∠BOE=90°，OA=OB ．∴在Rt △AFO 中，有∠F=90°－∠FAO ．又∵AG ⊥BE ，则在Rt △AGE 中，有∠E=90°－∠GAE ．∵∠FAO=∠GAE ，∴∠E=∠F ．∴Rt △AOF ≌Rt △BOE ．∴OE=OF ．例9. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF 分别与BD 、AC 交于点G 、H ．若AD=6，BC=10，则GH= ．分析：灵活运用梯形及三角形的中位线性质，是解决此题的关键．EF 是梯形的中位线，则EG 是△BAC 的中位线，CF 是△DBC 的中位线，HF 是△DAC 的中位线，根据中位线的性质可解决此题．解：EG=21AD ，GF=21BC ，FH=21AD ， CH=EF －2EG=21（AD+BC ）－AD=21（BC －AD ）=2．例10. 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的点，F 是CD 边上的点，且AE=AF ，AB=4．设△AEF 的面积为y ，EC 为x ，求y 与x 之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．分析：求△AEF 的面积有多种方法，我们要由题目的条件出发，寻求一种既易于求出这个三角形的面积，又易于与EC 建立联系的方法．由于四边形ABCD 是正方形，它的边长都为4，EC 为x ，那么BE 是容易用x 的代数式表示的，这样，△ABE 、△ECF 的面积都容易用x 的代数式表示，而△ABE 与△ADF 是全等的，这样由正方形的面积减去上述三个三角形的面积求△AEF 的面积是较好的方法．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠B=∠D=90°．又∵AE=AF ，∴△ABE ≌△ADF ．∴BE=DF ．∵BC ＝CD ，∴EC ＝FC ＝x ，BE ＝DF ＝4－x ．由图形可知，S △AEF =AB 2－2S △ABE －S △ECF =42－2×21×4×（4－x ）－21x 2， ∴y=－21x 2+4x ． ∵E 点在BC 边上，且与E 与C 重合时△AEF 不存在，∴x 的取值范围为0﹤x ≤4，它的图象如下．点拨：x 的取值要保证有合理的实际意义，由于x 的取值范围为0﹤x ≤4，所以，它的图象是抛物线的一部分，并且点（0，0）是空心圆点，点（4，8）是实心原点．例11. 用反证法证明：四边形中至少有一个角是钝角或直角．分析：根据题设与结论，写出已知、求证，然后按反证法的步骤进行证明．已知：四边形ABCD ．求证：四边形ABCD 中至少有一个角是钝角或直角．证明：假设四边形ABCD 中没一个角是钝角或直角，则∠A ＜90O ，∠B ＜90O ，∠C ＜90O ，∠D ＜90O ，于是∠A+∠B+∠C+∠D ＜90O ×4=360O ．这与四边形内角和是360O 相矛盾，所以四边形ABCD 中至少有一个角是钝角或直角．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、填空题（每题3分，共30分）1. 一个多边形的每个外角都等于72°，这个多边形是 边形，它的每个内角是 ．2. 等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为15cm 和13cm 两部分，则此三角形的腰长 cm ，底边长 cm ．3. 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题为 ．4. n 边形的外角和与内角和的度数之比为2：9，则边数为 ．5. 平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，其周长为50cm ，且△AOB 的周长比△COB 的周长大9cm ，则AB= cm ，BC= cm ．6. 正方形的边长为5cm ，以它的对角线为边长的等边三角形的高为 cm ．7. 三角形的一条中位线将这个三角形分成的一个小三角形与一个梯形的面积之比等于 ．8. 等腰梯形的腰与上底相等，且等于下底的一半，这个等腰梯形的周长为50cm，则它的中位线长cm．9. 若菱形的边长为1cm，其中一内角为60°，则它的面积为．10. 兴威公园的一段甬路是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，是拼铺图案的一部分．如果每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于．二、选择题（每题3分，共24分）11. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB，DE=AC，有下列判断：①BC=AD，②DE⊥AC，③∠C=45°，其中结论正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③12. 下列命题中，正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形13. 如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线（）A. 互相平分B. 相等C. 互相垂直D. 互相垂直平分14. 等腰梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，那么图形中全等三角形有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对15. □ABCD中，AB=AC=6cm，P是BC边上一点，过点P，作PE∥CA，交AB于E，PF∥BA，交AC于F点，则四边形AEPF的周长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm16. 平行四边形ABCD中，两条对角线AC、BD的长分别是12和8，则边AB的取值（）A. 0＜AB＜2B. 2＜AB＜10C. 4＜AB＜10D. 4＜AB＜2017. 矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形中，是中心对称图形的个数是（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个18. 如图，四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，□ABED的面积是36cm2，则四边形ABCD的周长为（）A. 49cmB. 43cmC. 41cmD. 46cm三、解答题（22题10分，23题12分，其余每题8分，共46分）19. 如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，延长AB到F，使BF=BE，连结并延长AE，交CF于G．求证：AG⊥CF．20. 已知：四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠A=135°，AD=23，BC=6，求四边形ABCD 的面积．21. 求证：对角线相等的平行四边形是矩形．22. 已知：如下图，AB=CD ，AD=BC ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ．（1）根据以上条件，你能得出哪些等式（如可以得出DE=BF ）？至少写出可得等式中的任意三个；（不同于DE=BF ）（2）证明你写出的关于线段相等的一个结论．23. 如下图，在平面直角坐标系中，点A 是动点且纵坐标为4，点B 是线段OA 上的一个动点，过点B 作直线MN 平行x 轴，设MN 分别交射线OA 与x 轴形成的两个角的平分线于点E 、F ．⑴求证：EB=BF ； ⑵当OAOB 为何值时，四边形AEOF 为矩形？并证明你的结论； ⑶是否存在点A 、B ，使四边形AEOF 为正方形？若存在，求点A 与点B 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案 http://一、填空题：1. 五，108°2. 10；8（或332;326） 3. 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形4. 115. 17；86.625 7. 31 8. 18 9. 23cm 2 10. 120°二、选择题：11. A 12. D 13. B 14. C15. C 点拨：不妨取P 为BC 的中点．16. B 17. C 18. D三、解答题：19. 点拨：证Rt △FBC ≌Rt △EBA ，得∠F=∠BEA ．而∠BAE+∠BEA=90°，故∠BAE+∠F=90°．∴AG ⊥CF ．20. 点拨：作如图所示的辅助线，把四边形补成矩形，用矩形面积减去两个等腰直角△ADE 和△CDF 的面积．由题意，得ED=6232==AE ． 过D 作DG ∥BC 于G ，则有DG=GC=BC －BG ．又BG=6，∴DG=6－6． 则有S 四边形ABCD =6×（6－6）－)66(216621--⨯⨯2=12． ∴四边形ABCD 的面积为12．21. 已知：在□ABCD 中，AC=DB （如图）．求证：□ABCD 是矩形．证明：∵AC=DB ，BC=CB ，AB=DC ，∴△ABC ≌△DCB ．∴∠ABC=∠DCB ．又AB ∥DC ，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=90°． ∴□ABCD 是矩形．22. 点拨：AE=CF ，AF=CE ，∠ADE=∠CBF 等．证明略．23. ⑴证明：如图．∵OF 是∠AOx 的角平分线，∴∠1=∠2．∵MN 平行于x 轴，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∴BO=BF ．同理可证BO=BE ．所以EB=BF ．⑵解：当21=OA OB 时，四边形AEOF 是矩形． ∴21=OA OB ，∴OB=AB ． 又∵BE=BF ，∴四边形AEOF 是平行四边形．∵OE 、OF 是角平分线，∴∠EOF=90°．∴四边形AEOF 是矩形．⑶解：存在点A 、B 使四边形AEOF 为正方形，如下图．∵MN 平行于x 轴，∴当A 点在y 轴时，即A 点坐标为（0，4）时，有OA ⊥EF ． 此时，取OA 的中点B （0，2），由（2）知四边形AEOF 是矩形．∴四边形AEOF 是正方形．∴存在A （0，4），B （0，2），使四边形AEOF 为正方形．。
(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测卷(有答案解析)(4)
故 ，
故三棱柱 的外接球表面积 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正三棱柱外接球的表面积的求法，关键点是确定球心的位置和球的半径的长度，考查了学生的空间想象力和计算能力.
3．C
解析：C
【分析】
对A，直角三角形的斜边大于直角边可判断；对B，由 可判断；对C，可得 即异面直线 和 所成角，即可求出；对D， （或 ）为直角时， 与平面 不垂直.
A．外心、重心B．内心、垂心C．外心、垂心D．内心、重心
11．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为（）
A． B． C． D．
12． 是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面 与 平行的是（）
三、解答题
21．如图，在直三棱柱 中， .
（1）求三棱柱 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小；
（3）求二面角 的平面角的余弦值.
22．如图，长方体 由， ， ， ，过 作长方体的截面 使它成为正方形.
（1）求三棱柱 的外接球的表面积；
（2）求 .
23．如图，已知长方体 ， ， ，直线 与平面 所成的角为30°， 垂直 于E．
25．如图，在五面体 中，四边形 是平行四边形.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求证：平面 平面 .
26．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 .
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.
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用反证法证明几何问题
65yttrgoi用反证法证明几何专题对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。
从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。
下面我们对反证法作一个简单介绍。
一、反证法的概念：（又称归谬法、背理法）是一种论证方式，不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
二、反证法的基本思路：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。
这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。
三、反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
归缪法穷举法四、适用范围“反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。
五、反证法在平面几何中的应用例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。
辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题及解析(三)练习
高中立体几何典型500题及解析(三)(101~150题)101. C B A '''∆是△ABC 在平面α上的射影，那么C B A '''∠和∠ABC 的大小关系是 ( ) (A) C B A '''∠<∠ABC (B) C B A '''∠>∠ABC(C) C B A '''∠≥∠ABC(D) 不能确定解析：D一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等． 102. 已知: 如图, △ABC 中, ∠ACB = 90︒, CD ⊥平面α, AD , BD 和平面α所成的角分别为30︒和45︒, CD = h , 求: D 点到直线AB 的距离。
解析：1、先找出点D 到直线AB 的距离, 即过D 点作 DE ⊥AB , 从图形以及条件可知, 若把DE 放在△ABD 中不易求解。
2、由于CD ⊥平面α, 把DE 转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求DE 在平面α内的射影长。
解: 连AC , BC , 过D 作DE ⊥AB , 连CE , 则DE 为D 到直线AB 的距离。
∵CD ⊥α∴AC , BC 分别是AD , BD 在α内的射影。
∴∠DAC , ∠DBC 分别是AD 和BD 与平面α所成的角 ∴∠DAC = 30︒, ∠DBC = 45︒ 在Rt △ACD 中, ∵CD = h , ∠DAC = 30︒ ∴AC =3h在Rt △BCD 中∵CD = h , ∠DBC = 45︒∴BC = h ∵CD ⊥α, DE ⊥AB ∴CE ⊥AB在Rt △ACB 中AB AC BC h =+=222S AC BC AB CE =⨯=1212· ∴CE AC BCABh h h h =⨯==3232·∴在Rt △DCE 中,DE DC CE h h h =+=+=22223272() ∴点D 到直线AB 的距离为72h 。