南航CADCAM考试习题参考答案

r ′(1/ 3) ，并画出曲线的大致形状草图。
解：根据 Bézier 曲线求值的几何做图法，可得
b 11
=
2 3
b0
+
1 3
b1
=
Βιβλιοθήκη Baidu
10 [
3
10 ,]
3
b 21
=
2 3
b1
+
1 3 b2
=
[ 40 , 3
20 ] 3
r(1) 3
=
b22
=
2 3
b11
+
1 3
b21
=
[
20 3
,
40 ] 9
曲线在该点的切矢为：
该曲线在 P1 点处的斜率 m1；(2) 曲线上的点 y(0.5)”, 那么改动以后的题应该怎样解答呢？
(2) 什么是“三切矢方程”？它在解题中起到什么作用呢？
解: (1) t1 = [1 0]
(2) [1.5 0.625] 关于思考题的解答： (1) 解：（1）注意到这三个型值点所形成的两个自变量区间的长度都是 1，这是 Ferguson 曲 线段的特例，于是有：
(2) 如果Vi ，Vi+1 ，Vi+2 三点共线，曲线段 r(u)与控制多边形相切，如图所示.因此在设计时
如果需要曲线与控制多边形相切可以使用三点共线的技巧。
(3) 如果Vi+1 ，Vi+2 两点重合，曲线段 r(u)在首末端点处都与控制多边形相切，如图所示.因
此在设计时如果需要曲线段在首末端点处都与控制多边形相切可以使用两点重合的技巧。
思考：本题虽然有一定难度，但是它的第(3)题说明了一个结论：“欲使得 k 次 B 样条曲线具
有 Bézier 曲线的端点性质，只需要首末各 k+1 个节点重合”。那么请结合第 8 题进一步思考，
如果需要一个三次 B 样条的起始点通过控制多边形的起始点，有几种方法？哪种方法更好？
另外，对比第 8 题和第 9 题，改变均匀 B 样条曲线的形状可以采用什么方法？改变非均匀 B
点 P2 处的切矢量为 t2 = [1 − 1] 。试计算：（1）该曲线在 P1 点处的切矢量 t1 ；（2）计算第
二个曲线段上的点 r1(0.5)
思考：(1) 在上题中，如果把条件改为“构造通过这三个型值点的三次样条曲线 y(x)，使得
起始 P0 处的斜率为 m0 = 1，终点 P2 处的切矢量为 m2 = −1”，解答要求改为“试计算：(1)
i jk 所以，n= ru×rv = 1 0 1 =[-1 -1 1]
011
于是,法线方程是：
R(λ) = r(1,1) + λn =[1 − λ ,1 − λ ,1 + λ ]
切平面方程是： n[ p − r(1,1)] = 0
即x+ y−z =1
3、设曲线 Γ 的自然参数方程是 r(s) ，普通参数方程是 r(t) 。证明：r ′′(t) 可以由 r&(s) 和 r&&(s)
a(3 − 2t)[x − a(3t − t2 )] + 3a( y − 3at) + a(3 + 2t)[z − a(3t + t2 )] = 0
这里， p = [x, y, z] 是流动点坐标
2、写出曲 r(u, v) = [u, v, uv] 在参面数(1,1)处的切平面方程和法线方程。
解：r(1,1)=[1 1 1], ru=[1 0 v], ru (1,1)=[1 0 1] rv=[0 1 u], rv (1,1)=[0 1 1]
(4) 如果Vi ，Vi+1 ，Vi+2 三点重合，曲线段 r(u)退化为直线段，并且经过重合顶点。因此在
设计时如果需要曲线段经过控制多边形顶点可以采用三点重合的技巧。另外，如果五个点相 邻，中间三点重合可以产生尖点。
n
∑ 9、有一条 k 次 B 样条曲线：r(u) = Vi Ni,k (u) ，其节点是矢量 U=[u0,u1,.um-1,um]。试解答 i=0 5
m0 + 4m1 + m2 = 3( y2 − y0 )
2
将 m0 = 1， m2 = −1， y0 = 0 ， y2 = 0 代入有： m1 = 0
（2）在区间[0，1]上的曲线段可以表示为：
y1 (x) = F1 (x) + G0 (x) = − x3 + x 2 + x
所以， y1 (0.5) = −0.125 + 0.25 + 0.5 = 0.625
4、计算圆柱螺线 r=[sint,cost,t]在参数 t=0 处的曲率。 思考：直线的曲率是多少呢？平面曲线的挠率是多少呢？曲率的几何意义是什么呢？挠率的 几何意义是什么呢？ 解：曲率 k=1/2. 关于思考题的解答：直线的曲率为 0. 平面曲线的挠率为 0。曲率的几何意义是切矢量相对 于弧长的转动率。挠率的几何意义是副法矢量相对于弧长的转动率，也就是曲线离开密切面 的速度。既然平面曲线始终位于其密切面上，它离开密切面的速度就是 0，因此其挠率也就 是 0。
4个
4个
其得到的图形图本题图(a)所示。另一种是取 3 重顶点，其得到的图形如图(b)所示。显然，
取重节点的方法好，因为取三重顶点时，在曲线中会有一段退化为直线段。
(a) 取重节点
(b)取重顶点
(2) 均匀 B 样条曲线的形状取决于其控制顶点，而非均匀 B 样条曲线的形状决于其控制顶点
和节点矢量。
(3) 贝齐埃曲线的缺点：(1) 曲线次数随着控制顶点的增加而增加。随着曲线次数的增加，
样条曲线的形状可以采用什么方法？进一步地，还请考虑， Bézier 曲线(贝齐埃)与 B 样条
曲线相比有哪些缺点呢？
解：略。
关于思考题的解答：
(1) 如果需要一个非均匀三次 B 样条的起始点通过控制多边形的起始点，有两种方法，一种
是首末节点取 4 重节点：
[u104u21 L43u3 u3+1 L un u1n+414L24un4+33+1 ]
11. 对于图中所示的 NURBS 曲线，简述 ω j 与点 B, N, B j 和V j 的关系。由此论述 ω j 对曲
线形状的影响。进一步地，既然 NURBS 曲线是非均匀 B 样条曲线引入有理形式有的拓展， 那么改变 NURBS 曲线的形状可以有哪些方法呢？
如下问题：
(1) 用 n 和 k 表示 m；
(2) 如果 k=2，n 充分大，当改动款控制顶点 V2 时，有几段曲线的形状会发生变化？写出这 几段曲线的控制顶点和定义域。
(3) 如果 k=2，n=5，在节点矢量除 u0=u1=u2 外再无其它重节点，请绘出该曲线的草图，并 在曲线段之间用黑点隔开。
Ni,k (u)
=
u − ui ui+k − ui
N i,k−1 (u)
+
ui+k+1 − u ui+k +1 − ui+1
N i+1,k−1 (u)
（k≥1）
式中约定 0/0=0，i 为节点序号，k 为基函数多项式的次数，ui（i=0,1,…,n）称为节点。 (1) 写出 k 次 B 样条基函数 Ni,k(u)的定义域。 (2) 如果[u0,u1,…,un]内部无重节点，Ni,k(u)在哪些节点区间内部非 0？ 如果[u0,u1,…,un]= [0,1,…,n]，试计算 N0,2(1.5)的值 解：略。
所以， ds = a 2 + b2 dt
标注为*的题表示有一定难度，供有兴趣的同学参考
1
∫s= t a 2 + b2 dt = t a2 + b2 0
于是，t= s / a2 + b2
进一步地，该圆柱螺线的自然参数方程就是：
r=[asin( s / a2 + b2 ),acos( s / a2 + b2 ),b s / a2 + b2 ]
5、已知 F0 (u) = 2u 3 − 3u 2 + 1 、F1(u) = −2u3 + 3u2 、G0 (u) = u(u −1)2 、G1 (u) = u 2 (u −1) （其中 u ∈[0,1] ）是 Hermit 基函数， P0 [0,0]T 、 P1 [1,1]T 、 P2 [2,0]T 是三个型值点。现构 造通过这三个型值点的参数三次样条曲线 r(u) ，使得起始 P0 处的切矢量为 t0 = [1 1] ，终
r(1) 3
=
2(b21
−
b11 )
=
[ 20,
20 ] 3
b1
b11
b22
b12
b0
b2
7、已知一参数三次曲线段 r(u) 的首末端点及首末端点上的切矢量分别是： r(0) = [0,0] ，
r(1) = [3,0] ，r′(0) = [3,3] ，r′(1) = [3,−3] 。试根据三次 Bézier 曲线的端点性质，求出与 r(u)
ri′(1)
N
Vi
Vi + 3
那么请你根据这个端点性质进一步考虑：(1) 如果Vi ，Vi+1 ，Vi+2 ，Vi+3 四点共线，曲线段 r(u)会变成什么形状呢？(2) 如果Vi ，Vi+1 ，Vi+2 三点共线，曲线段 r(u)和控制多边形在位 置关系上有什么特点？(3) 如果Vi+1 ，Vi+2 两点重合，曲线段 r(u)和控制多边形在位置关系 上有什么特点？(4) 如果Vi ，Vi+1 ，Vi+2 三点重合，曲线段 r(u)和控制多边形在位置关系上
端点处的切矢量是控制多边形首末边的 3 倍。
8、利用上题的条件，根据均匀三次 B 样条曲线的端点段性质计算出与 r(u) 等价的三次均匀
B 曲线的控制顶点，并绘图说明。 思考：解答上题时运用了均匀三次 B 样条曲线的端点段性质(讲义第 4 章第 22 页)：
ri′(0) Vi +1
ri (0) M
Vi+2 ri (1)
线性表示。 思考：该题在证明过程中用到 t=t(s)， 即把一般参数 t 表示为弧长 s 的函数。那么，对于具 体的曲线，如 r=[asint,acost,bt], 你能把一般参数 t 表示为弧长 s 的函数吗？ 证明：略。 关于思考题的解答如下：
(ds)2 = (dr)2 =[ − a sin t , − a cos t , b ]2(dt)2
等价的三次 Bézier 曲线的控制顶点，并绘图说明。 思考：三次 Bézier 曲线的端点性质是什么呢？ 解：设三次 Bézier 曲线为：
3
∑ rr(u) =
3
Vi Bi,3 (u)
i=0
由 rr(0) = V0 知：V0=[0, 0]
− rr′(1) rr′(0)
由 rr(1) = V1 知：V3=[3, 0]
习题参考答案
1、写出曲线 r(t) = [a(3t − t2 ),3at, a(3t + t 2 )] (a > 0) 在参数 t 处的切线方程和法平面方程。 解： r′(t) = [a(3 − 2t),3a, a(3 + 2t)]
所以切线方程是： R(λ) = r(t) + λr′(t)
即 R(λ) = [a(3t − t2 ) + a(3 − 2t)λ, 3at + 3aλ, a(3t + t 2 ) + a(3 + 2t)λ] 法平面方程是： r′(t)[ p − r(t)] = 0
有什么特点，r(u)会变成什么形状？(提示：自己推导后，阅读教材科购买的教材上的相关内 容检验自己推导的正确性) 解：略。
4
关于思考题的解答：
(1) 如果Vi ，Vi+1 ，Vi+2 ，Vi+3 四点共线，曲线段 r(u)退化为一个直线段，如图所示.因此在
设计时如果需要构造直线段可以运用四点共线的技巧。
曲线对控制网格的逼近程度也不断降低。(2) 改动一个控制顶点，整个曲线的形状也随之改
变。
6
10*、设区间[a,b]上有一个分割：a=u0≤u1≤…≤un≤b， n 充分大，在该分割上可以按照如下 de-Boor 递推公式定义 B 样条基函数：
N i,0
=
⎧1 ⎩⎨0
u ∈[ui , ui+1 ] u ∉[ui , ui+1 ]
(2) 在原题的解答中，用到了三切矢方程：
ti−1 + 4ti + ti+1 = 3(ri+1 − ri−1 )
三切矢方程是用来计算各型值点的切矢量的，从而使得构造的曲线为二阶连续。
6、给定平面上三个控制顶点V0 =[0,0]T 、V1 =[10,10]T 、V2 =[20,0]T ，计算由这三个控制 顶点定义的二次 Bézier 曲线(贝齐埃曲线) r(t) 上的点 r(1/ 3) ，以及曲线在该点的切矢
V1 •
•V2
又 rr′(0) = 3(V1 − V0 ) ， rr′(1) = 3(V3 − V2 )
所以，V1=[0, 0]+[3,3]/3=[1,1],
V0• rr(0)
rr(1)
V •
3
V2=[3, 0]-[3,-3]/3=[2,1] 绘图说明
关于思考题的解答：
三次 Bézier 曲线(贝齐埃曲线)的端点性质是：曲线经过控制多边形的首末段点，曲线在首末