数理统计第五章 分布检验

r
2
i 1
1
(ni npi ) 2 npi
3.6.1
2
2 近似服从自由度为 r-1 的卡方分布。
2 2 当 H 0 为真时， 不应过大，若 过大，就 可认为原假设不真。
并指出，当样本容量 n 充分大且 H 0
为真时，
例1 某大公司的人事部门希望了解公司职工的病假是否均 匀分布在周一到周五，以便合理安排工作。如今抽取了 100名病假职工，其病假日分布如下：
ˆ i p
ˆ j p
n j n
, j 1, 2, , c.
度是 rc (r c 2) 1 ( r 1)(c 1) 的 2 分布。 对给定的显著性水平 , 拒绝域为
2 W { 2 ((r 1)(c 1))}
因而对检验问题（3.6.3），可采用检验统计量
B1
B2
… … … …
Bc
X1
A1 A2

n11 n12 n 21 n 22
n1c
n 2c

nrc
பைடு நூலகம்n1 n 2
P ( X Ai B j ) p ij , i 1, , r ; j 1, , c.
记

Ar
合计
n r1
nr 2
n 2
nr
pi P( X 1 Ai ) pij , i 1,, r
因此我们的检验问题为
r
c
(nij npi p j ) 2 (npi p j )
i 1 j 1
H 0 : p ij p i p j , i, j
H 1 : 至少一对（ i, j ），
最后一个等式是在原假设 H 0 为真时导出的，在最后 一个式子中有 r+c 个未知参数 p i 和 p j 需要估计。 （3.6.3） 又由
H 0 : p ( Ai ) pi , i 1,2, , r
r
自的总体是否与某种理论分布相一致，在实际问题 中常会遇到这种分类数据，下面讨论这类数据的有 关检验问题。
pi 1 其中各 p i 已知，pi 0 且 ，现对总体作了 i 1 n1 , n2 , , n r H n次观察，各类出现的频数分别为 。若 0 p i 与频率 ni n 为真，则各概率 应相差不大，或各观 ni 与理论频数 npi 察频数 应相差不大。据此想法，英 国统计学家K.Pearson提出了一个检验统计量
j 1
c
n1
nc
n
13
p j P ( X 2 B j ) p ij , j 1, , c
i 1
14
r
r
c
当 X 1 与 X 2 两个特性独立时，应对一切 i , j 有
2 (nij npij ) 2 (npij )
i 1 j 1
pij pi p j
12
(ai 1 , ai ]
频数 10 26 56 64 30 14 200
ni
本检验方法依赖分组，分组不同有可能得出不同的 2 11 结论，这是在连续场合 拟合优度检验的不足之处。
2
2014-9-29
X2
…
合计
在这种列联表中，人们关心的问题是两个特征是否独 立，称这类问题为列联表的独立性检验。 为明确写出检验问题，记总体 X 为 ( X 1 , X 2 ) ，它是 二维随机变量，这里 X 1 被分成 r 类，A1 ,, Ar ; X 2 B1 , , Bc 。 并设 被分成c 类，
合计 1841 1159 3000
20
女
20
72
442
625
1159
合计
60
210
1062
1668
3000
19
然后计算 2 (40 36.8) 2 36.8 (138 128.9) 2 128.9
(620 651.7) 2 651.7 (1043 1023.6) 2 1023.6 (20 23.2) 2 23.2 (72 81.1) 2 81.1 (442 410.3)2 410.3 (625 644.4) 2 644.4 7.326
ni ˆi p
ˆi np
ˆ i )2 (ni np ˆi np
经合并后，组数r=8。计算得
2 10.4051
查表得
2 0.05 (6) 12.592
1 5 15 17 26 11 6 8 4 2 3 2

1

8
0.0138 0.0592 0.1268 0.1809 0.1935 0.1657 0.1182 0.0723 0.0387 0.0184 0.0079 0.0031
i 1
(ni npi ) npi
3.6.2
2 近似服从自由度为 r-k-1 的 分布.
6
1
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在 采 用 ( 3. 6. 2 ) 式 , 要 求 各 ni 不 能 过 少 , 通 常 要 求 ni 5 , 当某些频数小于5时, 通常的做法是将临 近的若干组合并.
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
r i 1
2
ˆ i p ˆ j ) (nij np ˆ i p ˆ j np j 1
c
2
17
18
3
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例 4 某地调查了 3000名失业人员，按性别文化程 度分类如下：试在水平上检验失业人员的性别与文 化程度是否有关。 0.05
学历 性别 男 大专以 上 40 中专 技校 138 高 中 620 初中及以下 合计
r c i
p ij p i p j
2 在这一问题中统计量 可写改为
p
i 1
1, p j 1
j 1
16
因而只有r+c-2个独立参数需要估计.
15
各
pi 和 p j 的极大似然估计分别为：
ni , i 1, 2, , r; n
2 在 H0 为真, n 较大时. 近似服从自由
工作日 频数 周一 17 周二 27 周三 10 周四 28 周五 18
基于此想法，检验的拒绝域应有如下形式：
W { 2 c}
2 对于给定的显著性水平 ，由分布 (r 1) 可 定出,
c ( r 1)
3
2
试问该公司职工病假是否均匀分布在一周五个工作日 中 0.05 （ ）？
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第五章 分布检验
§5.1拟和优度检验
当我们对总体分布知之甚少时，就要采用非参数 2 检验。我们首先讨论 拟合优度检验。
2 拟合优度检验就是用来检验一批分类数据所来
一、总体可分为有限类，且总体分布不含未知参数 设总体可分成r类，记为 A1 , A2 , , Ar ，要检验的假 设为：
§5.2正态性检验
用于判断总体是否为正态分布的检验称为正态性 检验。由于正态分布在实际中使用频繁，迫使统 计学家去寻找专门的正态性检验。在几十种正态 性 检 验 方 法 中 ， Wilk-Shapiro 的 W 检 验 和 Dagustino的D检验是最好的，它们犯第二类错 误的概率最小。 一、样本（3≤n≤50）场合的 W 检验 设从总体X中抽取了容量为n的样本 现检验如下假设：
22
解:
H 0 : pij pi p j H 1 : pij pi p j
i, j some i, j
然后计算
2 (442 458.88 ) 2 458.88 (38 21.12) 2 21.12
(514 497.12) 2 497.12 (6 22.88 ) 2 22.88 27.14
总体分布中含有未知参数 。 可用样本均值 x 4.28 去估计。当时K.Pearson仍采用前面的统计量和检验 方法。直到1924年英国统计学家R.A.Fisher纠正了 这一错误 , 他证明了在总体分布中含有 k 个独立的未知 参数时,若这k个参数用极大似然估计代替,则当样本容 量n充分大时 2 r
四、列联表的独立检验
在有些实际问题中，当我们抽取了一个容量为 n 的 样本后，对样本中每一样品可按不同特性进行分类。 例如在进行失业人员情况调查时，对抽取的每一位失 业人员可按其性别分类，也可按其年龄分类，当然也 可按其它特征分类。 当我们用特征对样品分类时，记这两个特征分别为X 1 与 X 2 ，不妨设 X 1 有 r 个类别，X 2 有 C 个类别， 则可把被调查的n个样品按其所属类别进行分类，列成如 下一张 r c 的二维表，这张表也称为（二维）列联表。
4
二、总体可分为有限类，且总体分布含有未知参数 例 2 在某交叉路口记录每 15秒内通过的汽车数量， 共观察了25分钟，得100个记录，经整理得：
通过的汽车数量
记 Ai 表示15秒钟内通过交叉路口的汽车为 i 辆, i 0,1, ,11 . 要检验的假设记为：
H 0 : P ( Ai ) pi , i 0,1, ,11


1.38 5.92 12.68 18.09 19.35 16.57 11.82 7.23 3.87 1.84 0.79 0.31

0.2315 0.4245 0.0657 2.2854 1.8724 2.8657 0.0820
因为
2 2 0.05 (6)
故接受H0，即认为通过该交叉路口的汽车数量服从泊松分布。
0 1 2 3
4
5 6 7 8 9 10 11 2
频数
1 5 15 17 26 11 6 8 4 2 3
在水平上检验如下假设：通过该交叉路口的汽车数量 服从泊松分布P ( ) 。 0.05 解：这里把总体分成12类，每一类出现的概率分别为： i