轴对称图形与等腰三角形资料讲解

想一想
观察下图中的每组图案，你发现了什么？
像上述这样，把一个图形沿着某一
条直线折叠，如果它能够与另一个图形 重合，那么称这两个图形成轴对称。这 条直线就是对称轴。折叠后重合的点叫 做对称点。
轴对 称图形
轴对 称
轴对称图形是 一个图形。
轴对称是两个图形 之间的关系。
想一想：我们所学过的哪些几何图形是轴对称 图形？
（2）请你用尺规做出钝 角三角形、直角三 角形的三边的垂直 平分线，再观察是 否交于一点。
首先，我从性质1出发。
性质1：等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：等边对等角。
A
已知：如图，在ABC中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C
证明：
（1）取BC的中点D，连接AD。
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
证明：过点P作 PMOA，PNOB ， 垂足分别为M、N 因OC是角平分线， PMOA，PNOB ， 故PM=PN 由PD=PE，PM=PN，
得 R t P M D R t P N E
M D P N E P 则 P E O M D P 而 M D P P D O 1 8 0 P D O P E O 1 8 0
例3 如图2，在ABC中，BAC的平分线与BC边的垂直平分
线相交于点P。过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足 分别是M、N。求证：BM=CN。
证明：因AP是角平分线，PMAB，PNAC，
故PM=PN
又因PD是BC的垂直平分线，
故PB=PC
因PB=PC，PM=PN，
故 R t P B M R t P C N BMCN
证明：过点D作DM⊥AB，DH⊥BC， DN⊥AC，垂足为M、H、N。 ∵BD平分∠CBM 且DM⊥AB，DH⊥BC， ∴DM＝DH 同理可证：DN＝DH ∴DM＝DN ∴ AD是∠BAC的角平分线
例2 如图1，OC平分，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上 一点，且PD=PE，求证： P D O P E O 1 8 0
∴△ABC△≌△ACD (SSS)
∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等) B
D
C
交流：你有其他证法吗？学生通过探索会发现，
（2）做∠BAC的平分线，交BC边于D； （3）过点A做AD⊥BC。
思考：在前面的证明过程中线段AD具有哪些的性质和特征 ？
性质2： 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边。
1 引导探索：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线
轴对称图形与轴对称的区别与联系
轴对称
区
1、指两个图形的形状及位置
别
关系 2、指两个图形而言。
轴对称图形
1、是一个具有特殊形状 的图形
2、指一个图形说的
联
1、都有一条直线，并都沿这条直线折叠重合
2、如果将轴对称图形沿着对称轴分开，就是关于这条直
系
线轴对称；如果成轴对称的两个图形看成一个整体， 它又是轴对称图形。
轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线折叠，直 线两旁的部分能够完全重合，那么这个 图形叫做轴对称图形。
这条直线叫这个图形的对称轴。
动动手，试一试
1、取一张纸； 2、在纸的一侧上滴一滴墨水，将纸迅 速对折、压平；
3、将纸打开铺平,观察所得到的图案,位 于折痕两侧的墨迹图案彼此有什么联系?
互相重合 对称
01234
56789
想一想：下列英文字母中，
哪些是轴对称图形？
ACDEFGHI JLMNOPQR STUVWXYZ
你知道吗？中国的汉字也
十分注重对称美。
中目王 申 木呈土 美
3.国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗 哪些是轴对称图形？找出它们的对称轴。
美国
澳大利亚
乌拉圭
加拿大
瑞典
挪威
英国
以色列
具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高
线又具有怎样的性质呢？
（提出问题，激发学生探究的欲望。学生猜想）
2、 探究中发现：在等腰三角形中做出两底角的平分线，你
会发现图中有那些相等的线段？你能用文字叙述你的结论吗？
（1）例 证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。）
做一做： 你能利用轴对称知识
为校运动会设计一个会 徽吗？
下面介绍用尺规作图，
作出线段AB的垂直平分线：
做法：
1、分别以点A、B为圆
心，大于
1 2
AB长为
半径（为什么？）画
弧交于点E、F。
2、过点E、F做直线。
则直线EF就是线段AB 的垂直平分线。
操作：
1、请用圆规丈量，比 较EA与EB的大小， FA与FB的大小。
2、在直线EF上再任取 两点M、N，MA与 MB、NA与NB的大 小呢？
问题:你能说说线段垂直平分线上点的特
征吗?
例：已知：如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相
交于点P。 求证：点P在BC的垂直平分线上
操作：
（1）请你通过折叠的方 法找出一个锐角三 角形纸片每条边的 垂直平分线，观察 这三条垂直平分线， 你发现了什么？
对于这部分的处理我借助了多媒体。我 把它定位四个部分 ：
1、赏轴对称 2、识轴对称 3、辨轴对称 4、做轴对称
自然界物体
北京天坛祈年殿
中外建筑
北京故宫
美国白宫
欧洲风情
艾 菲 尔 铁 塔
剪纸艺术
车标设计
交通标志
这些图形有什么共同特征？
（1）它们都是对称的。 （2）它们沿着某条直线折叠后， 直线两旁的部分能完全重合。
线段、角、等腰三角形 、长方形、正方形、菱
形、圆、椭圆等
想一想：圆有几条对称轴?
圆有无数条对称轴!对称轴是经过圆心的直线
找一找：
有的图形的对称轴这么多哇！
以后找对称轴我可得好好想想呀！
下面的图形是轴对称图形吗？如果 是，有几条对称轴？
6条
12条
2条
1条
想一想：0-9十个数字中，
哪些是轴对称图形？
（2） 你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
其它证法合作交流完成。）
A
E
D
B
C
习题：已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F
求证：DE＝DF
A
E
F
B
D
C
例1：如图，已知△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点D。 求证：AD是∠BAC的角平分线。