《因式分解》全章复习与巩固(提高)知识讲解

合集下载

专题4-11 《因式分解》全章复习与巩固(知识讲解)-七年级数学下册(浙教版)

专题4.11 《因式分解》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1. 理解因式分解概念，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2. 掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等四种基本方法，并能进行因式分解；3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【要点梳理】把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，直到每一项不能再分解为止。

【典型例题】类型一、提取公因式1．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）28()2()()m n m n m n +-+- 【答案】2()(35)m n m n ++ 【分析】先提公因式2（m+n ），再化简计算即可解答．解：原式=2（m+n ）[4(m+n)﹣（m ﹣n ）]=2(m+n)(4m+4n ﹣m+n) =2(m+n)(3m+5n)．【点拨】本题考查因式分解、合并同类项，熟练掌握用提公因式法分解因式的方法，找到公因式是解答的关键．举一反三：【变式】（2020·耒阳市冠湘中学八年级月考）分解因式：2318()12()a b b a ---【答案】26()(322)a b a b -+-【分析】原式先变形为()()231812a b a b +--，再利用提公因式法分解．解：原式=()()231812a b a b +--=()26()32b a b a +--⎡⎤⎣⎦=()()23622a b b a +--．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．类型二、公式法2．（2019·山西九年级专题练习）分解因式：()()229x y x y -+-．【答案】()()422x y x y ++ 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：()()()()()()2222229333x y x y x y x y x y x y -=-=⎡⎤⎣⎦+-+-+--∵()()()()()()22=3333334224x y x y x y x y y y x x x x y y ++-+-+=+++-- ∵()()()()()()224224=2942x y x y y x x y x y x y +++-=++-．【点拨】本题考查了平方差公式、整式运算的知识；求解的关键是熟练掌握平方差公式进行分解因式，即可得到答案．举一反三：【变式】（2020·北京西城区·北师大实验中学八年级期中）因式分解；22(2)(2)a b a b +-+．【答案】3()(-)+a b a b【分析】利用平方差公式进行因式分解后，再进行化简即可. 解:原式=[][](2)+(2)(2)(2)+++-+a b a b a b a b=(33)(-)+a b a b =3()(-)+a b a b【点拨】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的基础，注意检查分解要彻底．3（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）()()243624x y x y ++-+ 【答案】()243x y +- 【分析】先提公因式4，将（x+y ）看成一个整体，利用完全平方公式2222()a ab b a b ++=+分解因式即可．解：原式()()2496x y x y ⎡⎤=++-+⎣⎦()243x y =+-．【点拨】本题考查了提公因式法和完全平方公式法分解因式，解答的关键是掌握完全平方公式的结构特征，公式中的a 、b 可以表示数、字母，也可以是整式．举一反三：【变式】（2020·辽宁沈阳市·八年级期末）分解因式：（1）3x －12x 3；（2）4m 2＋2mn ＋14n 2．【答案】（1）3(12)(12)x x x +-；（2）21(4)4m n +．【分析】（1）先提取公因式3x ，再利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提取公因式14，再利用完全平方公式进行因式分解即可．解：（1）原式23(1)4x x =-231(2)x x ⎡⎤=-⎣⎦3(12)(12)x x x =+-；（2）原式221(1684)m mn n +=+ 2281(4)4m mn n =++⎡⎤⎣⎦ 21(4)4m n =+．【点拨】本题考查了利用提取公因式法和公式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．类型三、十字相乘法4．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）因式分解：()()2550x y x y -+-- 【答案】()()105x y x y -+--【分析】将（x -y ）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可．解：()()2550x y x y -+--=()()105x y x y -+--．【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用．举一反三：【变式】（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）32233672m n m n mn -- 【答案】()()364mn m n m n -+【分析】先提公因式3mn ，再利用十字相乘法分解因式即可．解：原式()223224mn m mn n=--()()364mn m n m n =-+．【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解答的关键．类型四、分组分解法5．（2020·上海松江区·七年级期末）因式分解：323412x x y x y +--．【答案】(3)(2)(2)x y x x ++-【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．解：原式=324312x x x y y -+-=22(4)3(4)x x y x -+- =2(3)(4)x y x +-=(3)(2)(2)x y x x ++-．【点拨】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．举一反三：【变式】（2019·上海奉贤区·七年级期末）分解因式：256152x y x xy +--．【答案】(3)(52)x x y --【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式．解：256152x y x xy +-- =2(515)(62)x x y xy -+- =5(3)2(3)x x y x -+- =(3)(52)x x y --．【点拨】此题考查分解因式：分组分解法、提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、因式分解法，根据每个多项式的特点选用适合的分解方法是解题的关键．6．（2020·信阳市商城思源实验学校八年级月考）分解因式 x 2-y 2-z 2-2yz 【答案】 ()()x y z x y z ++-- 【分析】（3）原式后三项运用完全平方公式分解，最后运用平方差公式进行因式分解即可；解： x 2-y 2-z 2-2yz ；=222(2)x y z yz -++ =22()x y z -+； =()()x y z x y z ++--【点拨】此题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键．【变式】（2020·上海市澧溪中学七年级月考）因式分解：2221--+x y x【答案】(1)(1)x y x y -+--【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有x 的二次项，x 的一次项，有常数项．所以要考虑后三项x 2-2x+1为一组．解：x 2-y 2-2x+1，=-y 2+（x 2-2x+1）， =-y 2+（x -1）2， =（x+y -1）（x -y -1）．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有x 的二次项，x 的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．类型五、综合练习7．（2020·山东东营市·丁庄镇中心初级中学八年级月考）（一）因式分解（1）()()323a m n m n +++ （2）()222224a b a b +-（二）用简便方法计算（1）2222211111111...1123420182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）29991002998-⨯ ．【答案】（一）（1）(2)(3)a m n ++；（2）22()()a b a b -+；（二）（1）10102019；（2）1995- 【分析】（一）（1）根据提取公因式的方法分解即可；（2）首先运用平方差公式分解，然后运用完全平方公式继续分解；（二）（1）运用平方差公式解答便可；（2）根据平方差公式计算即可．解：（一）（1）原式(2)(3)a m n =++；（2）原式2222()(2)a b ab =+-，2222(2)(2)a b ab a b ab =+-++， 22()()a b a b =-+；（二）（1）原式11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22334420192019=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⋯⨯-⨯+， 1324352018202022334420192019，1202022019=⨯， 10102019=；（2）原式2(10001)(10002)(10002)=--+⨯-，2210002000110004=-+-+，1995=-．【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解以及平方差公式的应用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，熟记公式是解答本题的关键．8.（2020·重庆南开中学八年级开学考试）()()()222222x y x y x y -+++-+- 【答案】84-+xy 【分析】运用完全平方公式、平方差公式进行计算．解：原式()()222222x y x y =-+-+()()222222x y x y =--++()()22224x y x y x y x y =-++---+()424x y =⋅-+ 84xy =-+．【点拨】本题考查完全平方公式、平方差公式，灵活变形应用平方差公式是关键．举一反三：【变式】（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）利用分解因式计算：（1）359910088⨯ （2）2220152253851-+⨯ 【答案】（1）39999964；（2）253000 【分析】（1）利用平方差公式运算；（2）先利用平方差公式进行运算，然后再提公因式继续运算即可．【详解】（1）原式5510010088⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2251008⎛⎫=- ⎪⎝⎭251000064=- 39999964= （2）原式()()2015220152253851=+⨯-+⨯253149253851=⨯+⨯ ()253149851=⨯+2531000=⨯ 253000=【点拨】本题考查了因式分解，根据具体数据分析确定因式分解的方法是解题的关键．类型六、因式分解的应用9．（2020·江西九江市·八年级期末）解答下列问题：()1一正方形的面积是()22690,0a ab b a b ++>>，则表示该正方形的边长的代数式是．()2求证：当n 为正整数时， ()()222121n n +--能被8整除．【答案】（1）3a b +；（2）见解析【分析】（1）根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，分解因式即可；（2）原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．解：（1）∵()22269=+3++a ab b a b ，该正方形的边长的代数式是3a b +，故答案为：3a b +．（2）证明：∵ ()()()()()()22212121212121n n n n n n ⎡⎤⎡⎤+--=++-+--⎣⎦⎣⎦=42n ⨯ =8n∵原式能被8整除．【点拨】本题考查了因式分解，是分解因式的实际应用，要知道分解所得的因式在实际环境中所表示的意思．同时还考查了用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的结构特点需要熟记．举一反三：【变式】（2020·成都市金牛实验中学校七年级月考）若a ，b ，c 为ABC 的三边．（1）化简：|a ﹣b+c|+|c ﹣a ﹣b|﹣|a+b|；（2）若a ，b ，c 都是正整数，且a 2+b 2﹣2a ﹣8b+17＝0，ABC 的周长．【答案】（1）a ﹣b ；（2）9 【分析】（1）根据三角形的三边关系化简即可；（2）根据非负数的性质和三角形的三边关系化简即可得到结论．解：（1）∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边，∵a ﹣b+c ＞0，c ﹣a ﹣b ＜0，a+b ＞0，∵|a ﹣b+c|+|c ﹣a ﹣b|﹣|a+b|＝a ﹣b+c ﹣c+a+b ﹣a ﹣b ＝a ﹣b ；（2）∵a 2+b 2﹣2a ﹣8b+17＝（a 2﹣2a+1）+（b 2﹣8b+16）＝（a ﹣1）2+（b ﹣4）2＝0，∵a ＝1，b ＝4，∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边， ∵4﹣1＜c ＜4+1， ∵3＜c ＜5，∵若a ，b ，c 都是正整数，。

最新八年级上册数学第14章复习知识点：因式分解

最新八年级上册数学第14章复习知识点：因式分解学好知识就需求往常的积聚。

知识积聚越多，掌握越熟练，查字典数学网编辑了2021最新八年级上册数学第14章温习知识点：因式分解，欢迎参考!
因式分解
定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的方式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。

分解因式与整式乘法为相反变形。

同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤
1、因式分解与解高次方程有亲密的关系。

关于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。

在数学上可以证明，关于一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。

只是由于公式过于复杂，在非专业范围没有引见。

关于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比拟复杂。

关于五次以上的普通多项式，曾经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。

2 、一切的三次和三次以上多项式都可以因式分解。

这看起来或许有点不可思议。

比如X^4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。

但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。

假设有兴味，你也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。

3 、因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。

因式分解很多时分就是用来提公因式的。

寻觅公因式可以用辗转相除法来求得。

规范的辗转相除技艺关于中先生来说难度颇高，但是中学有时分要处置的多项式次数并不太高，所以重复应用多项式的除法也可以比拟笨，但是有效地处置找公因式的效果。

因式分解知识点归纳

因式分解知识点归纳因式分解是代数中的重要概念和技巧，它在解方程、求根、化简表达式等方面都有广泛的应用。

以下是关于因式分解的知识点归纳：一、基本概念1.因式：在乘法中，参加运算的每个数或字母或含有字母的式子，称为因式。

2.因式分解：把一个多项式写成若干个因式相乘的形式，称为因式分解。

3.因数：若一个数a能够整除另一个数b，那么称a是b的因数，b 是a的倍数。

二、因式分解的原则1.分解的因式中只能有素数，即不能再分解。

2.同一因式在分解式中只能出现一次，不允许出现多个相同的因式。

三、因式分解的方法1.公因式法：把多项式中的公因式提出来，然后将剩余部分进行因式分解。

2.提取因式法：将多项式中的因式提取出来，然后将剩余部分进行因式分解。

3.平方差公式：对于两个完全平方差的多项式，可以利用平方差公式进行因式分解。

4.分组分解法：将多项式中的项进行分组，然后利用求和公式或平方差公式进行因式分解。

5.完全平方公式：对于一个完全平方的多项式，可以利用完全平方公式进行因式分解。

四、常用的因式分解公式1.两个平方差的因式分解公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；a² + 2ab+ b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。

2.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。

3.一次式的因式分解公式：ax + bx = x(a + b)；ax - bx = x(a - b)；ax + ay = a(x + y)；ax - ay = a(x - y)。

五、案例分析1.因式分解：将多项式因式分解为两个一次因式的乘积。

例如：x²-3x-10=(x-5)(x+2)。

2.提取公因式：将多项式中的公因式提取出来。

因式分解总复习课件

题目3
请将$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ 进行因式分解。
综合练习题
题目1
请将多项式$x^3 - 9x$进行因式分解，并说明其与平方差公式的
关系。
题目2
将多项式$x^4 - 4x^2 + 4x - 1$ 进行因式分解，并说明其与完全平方公式的关系。
题目3
请将多项式$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2 + 4b^2$进行因式分解，并说明其与平方差公式和完全平方公式的综合运用。
详细描述
在完成因式分解后，应进一步观察和简化结果，去除所有公因式。这样可以确保最终的表达式更加简洁明了，易于理解和应用。
符号问题要处理好
总结词
在因式分解过程中，应特别注意符号的处理，确保结果的正确性。
VS
详细描述
在进行因式分解时，符号的处理是一个关键环节。要特别注意符号的变化和影响，确保在分解过程中符号的处理是正确的。这样可以避免后续运算中出现错误或混淆。
02
因式分解的基本形式
提公因式法
步骤
首先找出多项式中的公因子，然后将公因子提取出来，最后将原多项式中的每一项除以公因子。
例子
$2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$。
公式法
步骤
首先观察多项式是否符合平方差公式或完全平方公式，然后代入公式进行因式分解。
例子
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$， $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
THANKS
感谢观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$。03因式分解的应用

因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；&(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.;（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

初中八年级数学上册第一章《因式分解》复习与巩固教案教学设计

初中八年级数学上册第一章《因式分解》复习与巩固教案教学设计导入新课讲授新课重点知识讲解课堂练习前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.（一）讨论推导本章知识结构图请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.（2）分解因式与整式乘法的关系.（3）分解因式的方法.很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）（二）下面请大家把重点知识回顾一下.1.举例说明什么是分解因式.2.分解因式与整式乘法有什么关系?3.分解因式常用的方法有哪些?［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.（1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2（2）6x2y3=3xy·2xy2（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2（4）4ab+2ac=2a（2b+c）［例2］将下列各式分解因式.（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5;（2）－9ab+18a2b2－27a3b3;（3）41－91x2;（4）9（x+y）2－4（x－y）2;［例3］把下列各式分解因式:（1）x7y3－x3y3;（2）16x4－72x2y2+81y4;从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢?分解因式的一般步骤为:（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.（三）课堂小测1.把下列各式分解因式（1）16a2－9b2;小组讨论积极展示根据教师的提示回答问题积极回答。

因式分解知识要点

因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。

1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。

本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。

2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。

如:()++=++。

ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。

公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。

2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。

运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。

整式乘法与因式分解(全章复习与巩固)(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)

专题8.43整式乘法与因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）1.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【要点梳理】要点一、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c++÷=÷+÷+÷=++要点二、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b+-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点三、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】【类型一】整式的乘法➽➼直接运算✮✮化简求值1、计算：(1)()3232x y xy ⋅-．(2)()()5232x y x y +-．【答案】(1)5424x y -(2)221544x xy y --【分析】（1）根据积的乘方公式和单项式乘单项式运算法则进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可．（1）解：()3232x y xy ⋅-()23338x y x y ×-=231324x y ++=-5424x y =-；（2）解：()()5232x y x y +-53522322x x x y y x y y=⋅-⋅+⋅-⋅22151064x xy xy y =-+-221544x xy y =--．【点拨】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，积的乘方公式和单项式乘单项式运算法则，准确计算．举一反三：【变式1】计算：()()222321x x x -⋅-+-．【答案】6549189x x x -+-【分析】根据积的乘方及单项式乘以多项式可进行求解．解：()()222321x x x -⋅-+-()42921x x x =⋅-+-6549189x x x =-+-．【点拨】本题主要是考查积的乘方及单项式乘以多项式，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．【变式2】计算：()()()()22241x y y y x y +-+-+【答案】24362y xy x y---【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可．解：()()()()22241x y y y x y +-+-+222242244xy x y y y y xy x=-+-++--24326y xy y x =---．【点拨】本题考查了整式的乘除，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．2、先化简再求值：(3)(1)(1)x y x y ++--，其中122x y =-=-．【答案】233x y ++，4-．【分析】对整式去括号，合并同类项，然后把x 、y 的值代入整式即可得出整式的值．解：(3)(1)(1)x y x y ++--33x xy y xy x=+++-+233x y =++，当122x y =-=-时．原式()1232342⎛⎫=⨯-+⨯-+=- ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．举一反三：【变式1】先化简，再求值：222312122323333x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2x =，1y =-．【答案】23xy xy +；43-【分析】根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入即可求解．解：222312122323333x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2232322212333939x xy xy y y x =-++--++23xy xy =+；当2x =，1y =-时，原式()()221213⨯-=⨯-+223=-+43=-．【点拨】本题考查了整式的化简求值，掌握多项式乘以多项式以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．【变式2】已知()()232x mx x n +-+的展开式中不含x 的一次项，常数项是6-．(1)求m ，n 的值．(2)求()()22m n m mn n +-+的值．【答案】(1)32m n ==，(2)35【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m ，n 的值；（2）利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．（1）解：()()232x mx x n +-+3222263x nx mx mnx x n=+++--()()322263x n m x mn x n =+++--，由题意可知：60mn -=，36n -=-，解得：32m n ==，；（2）解：()()22m n m mn n +-+322223m m n mn m n mn n =-++-+33m n =+，当32m n ==，时，原式333227835=+=+=．【点拨】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．【类型二】乘法公式➽➼直接运算✮✮化简求值3、计算：(1)()22()x y x xy y +-+(2)22(35)(23)x x --+【答案】(1)33x y +(2)254216x x -+【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；（2）根据完全平方公式分别计算，然后合并同类项即可求解．（1）解：原式322223x x y xy x y xy y =-++-+33x y =+；（2）解：原式()22930254129x x x x =-+-++22930254129x x x x =-+---254216x x =-+．【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，掌握整式乘法运算的运算法则以及乘法公式是解题的关键．举一反三：【变式1】计算：()()()()22232x y x y x y x x y -++---．【答案】22x 【分析】根据完全平方公式，平方差公式以及整式的加减运算，求解即可；解：原式22222224322x xy y x y x xy x =-++--+=．【点拨】此题考查了完全平方公式，平方差公式以及整式的加减运算，解题的关键是掌握整式的相关运算法则．【变式2】计算：(1)2(32)(32)(32)x y x y x y ---+(2)()()()222226x x x ---【答案】(1)2128xy y -+(2)2812x -+【分析】（1）利用完全平方公式及平方差公式去括号，再加减法；（2）根据多项式乘以多项式及幂的乘方去括号，再计算加减法．（1）解：2(32)(32)(32)x y x y x y ---+()2222912494x xy y x y =-+--2222912494x xy y x y =-+-+2128xy y =-+；（2）()()()222226x x x ---42246212x x x x =--+-2812x =-+．【点拨】此题考查了整式的混合运算，正确掌握完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式及幂的乘方计算法则是解题的关键．4、先化简后求值：(1)2(5)(5)(2)(2)(1)x x x x x +---++-，其中3x =(2)()()()2123222x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤---+÷ ⎪⎣⎦⎝⎭，其中2x =，3y =．【答案】(1)2531x x +-；7-(2)2420x y -+，12【分析】（1）按照平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式展开，再合并同类项得到最简代数式，再代入x 取值求出代数式的值．（2）利用完全平方公式和平方差公式进行化简，再按照多项式除以单项式的运算法则进行计算，最后代入求值即可．解：（1）2(5)(5)(2)(2)(1)x x x x x +---++-22225(44)2x x x x x =---+++-22225442x x x x x =--+-++-2531x x =+-将3x =代入得：2531x x +-235331=+⨯-7=-（2）()()()2123222x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤---+÷ ⎪⎣⎦⎝⎭22221(41294)()2x xy y x y y =-+-+÷21(1210)()2xy y y =-+÷2420x y=-+将2x =，3y =代入得：2420x y-+242203=-⨯+⨯12=【点拨】本题主要考查整式化简求值，掌握完全平方公式和平方差公式以及整式的混合运算法则是解题的关键．举一反三：【变式1】若23m m +=，求2(2)(2)m m m -++的值．【答案】10【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．解：2(2)(2)m m m -++22244m m m m =-+++2224m m =++当23m m +=时，原式22()423410m m =++=⨯+=【点拨】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题关键．【变式2】先化简，再求值：()()()()2222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦，其中a 、b满足()2210a b -++=【答案】a b --，1-【分析】根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案．解：原式()22222444422a ab b a b a ab a ⎡⎤=-++---÷⎣⎦()22222444422a ab b a b a ab a=-++--+÷()2224422a ab a ab a=--+÷()2222a ab a=--÷a b =--，∵()2210a b -++=，∴20a -=，10b +=，∴2a =，1b =-，当2a =，1b =-时，原式()211=---=-．【点拨】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．【类型三】整式的乘法✮✮乘法公式➽➼变形运算✮✮图形问题5、（1）已知11=54m n =，求代数式()()222525m n m n +--的值；（2）已知13ab a b =--=，，求22a b +的值．【答案】（1）40mn ，2；（2）7【分析】（1）先用平方差公式将原式进行化简，再将11=54m n =，代入进行计算即可；（2）根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．解：（1）()()222525m n m n +--()()()()25252525m n m n m n m n =++-⋅+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦410m n=⋅40mn =，当11=54m n =，时，原式114040254mn ==⨯⨯=；（2） 13ab a b =--=，，()22222327a b a b ab ∴+=-+=-=．【点拨】本题考查了求代数式的值，运用平方差公式、完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的变形是解题的关键．举一反三：【变式1】已知实数m ，n 满足6m n +=，3=-mn ．(1)求()()22m n ++的值；(2)求22m n +的值．【答案】(1)13(2)42【分析】（1）先根据多项式乘以多项式的计算法则将所求式子变形为()24mn m n +++，再把已知条件式整体代入求解即可；（2）根据()2222m n m n mn +=+-进行求解即可．（1）解：()()22m n ++224mn m n =+++()24mn m n =+++，∴当6m n +=，3=-mn 时，原式326413=-+⨯+=；（2）解：∵6m n +=，3=-mn ，∴()()2222262336642m n m n mn +=+-=-⨯-=+=．【点拨】本题主要考查了多项式乘多项式——化简求值，完全平方公式的变形求值，正确计算是解题的关键．【变式2】利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若22228160m mm n n -+-+=，求m 、n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴()()22228160m mn n n n -++-+=，∴()()2240m n n -+-=，∴()20m n -=，()240n -=，∴4n =，4m =．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知2245690a ab b b ++++=，求a 、b 的值；(2)已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2242460a a b b -+-+=，求c 的值；【答案】(1)63a b ==-，；(2)2c =．【分析】（1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解；（2）先配凑完全平方公式求出a ，b 值，再根据三角形三边关系求出第三边．（1）解：∵2245690a ab b b ++++=，∴22244690a ab b b b +++++=，∴()()22230a b b +++=，∴2030a b b +=+=，，∴63a b ==-，；（2）解：∵2242460a a b b -+-+=，∴()22442210a ab b -++-+=∴()()222210a b -+-=，∴2010a b -=-=，，解得21a b ==，，∵a 、b 、c 是ABC 的三边长，∴2121c -<<+，即13c <<，∵c 是正整数，∴2c =．【点拨】本题考查完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式．6、请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，用两种方法表示阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）①________________②________________；(2)由（1）你能得到怎样的等量关系？请用式子表示：________________(3)如果图中的a b a b 、（＞）满足225314a b ab +==，.求：①a b +的值②22a b -的值【答案】(1)①22a b +，②22a b ab +-（）(2)22a b +=22a b ab +-（）；(3)①9a b +=±，②45【分析】(1)根据阴影部分的面积与空白部分的面积关系即可求出结果；（2）根据阴影部分的面积相等即可求出结果；（3）根据完全平方式与已知条件即可求出对应值．（1）解：∵图中阴影部分的面积由两部分组成，第一部分的面积为2a ，第二部分的面积为：2b ；∴阴影部分的面积的第一种表示方法为22a b +．∵大正方形的面积为()2222a b a ab b +=++；空白部分的面积为2ab ab ab +=，∴阴影部分的面积为：()22222222a b ab a ab b ab a b +-=++-=+，故答案为：①22a b +；②()22a b ab +-．（2）解：由（1）可知阴影部分的面积相等，∴()2222a b a b ab +=+-，故答案为：()2222a b a b ab +=+-；（3）解：①∵()2222a b a b ab +=+-，∴()2222a b ab a b ++=+，∵225314a b ab +==，，∴()25321481a b +=+⨯=，∴9a b +=±，∵0a >，0b >，∴9a b +=；②∵()2222a b a b ab +=+-，∴()()2222222222a b a b ab a ab b ab a b ab +=+-=++-=-+，∴()2222a b ab a b +-=-，∵225314a b ab +==，，∴5321425-⨯=，∴()225a b -=，∴5a b -=±，∵0a >，0b >，a b>∴5a b -=，∴()()229545a b a a b b -⨯-＝＋＝＝．【点拨】本题考查了完全平方式和平方差公式的几何意义，熟练公式法是解题的关键．举一反三：【变式1】图1是一个长为2a 、宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于___________；面积等于___________．(2)观察图2，请你写出下列三个代数式()()22a b a b +-，，ab 之间的等量关系为___________．(3)运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且5mn =，4m n -=，试求m n +的值．【答案】(1)a b -，()2a b -或()24a b ab +-(2)()()22a b a b +--4ab =(3)±6【分析】（1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长，根据正方形的面积公式求得面积；（2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于()2a b +、()2a b -、ab 的等式；（3）根据（2）中结论即可解题．解：（1）图中阴影部分边长为a b -，则阴影部分的面积为()2a b -或()24a b ab +-故答案为：a b -；()2a b -或()24a b ab +-；（2）用两种不同的方法表示阴影的面积：方法一：阴影部分为边长()a b =-的正方形，故面积()()()2a b a b a b =--=-；方法二：阴影部分面积a b =+为边长的正方形面积-四个以a 为长、b 为宽的4个长方形面积()24a b ab =+-；∴22()4()a b ab a b +-=-；即()()22a b a b +--4ab =，故答案为：()()224a b a b ab +--=；（3）由（2）得，()()224m n m n mn +--=，∴()22420m n +-=，∴m n +=±6．【点拨】本题考查了完全平方公式的计算，考查了正方形面积计算，本题中求得22()4()a b ab a b +-=-是解题的关键．【变式2】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为a b +的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：；(2)如果图中的a 、(0)b a b >>满足2270a b +=，15ab =，求a b +的值；(3)已知22(9)(1)124x x ++-=，求(9)(1)x x +-．【答案】(1)()2222a b a ab b +=++；(2)10；(3)12．【分析】（1）依据该图形的总面积为2()a b +或222a ab b ++可得结果；（2）由（1）题结果可得222()2a b a ab b +=++，将2270a b +=，15ab =可求得2()a b +即a b +的值；（3）设9x a +=，1x b -=，则(9)(1)10a b x x -=+--=，依据222()2a b a b ab -=+-代入计算可求得12ab =即可求出(9)(1)x x +-．（1）解：该图形的总面积为：2()a b +或222a ab b ++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（2）由（1）题结果可得222()2a b a ab b +=++，∴当2270a b +=，15ab =时，2()70215100a b +=+⨯=，∴10010a b +=；（3）设9x a +=，1x b -=，∴(9)(1)10a b x x -=+--=，则2222(9)(1)x x a b ++-=+，∵222()2a b a b ab -=+-，10a b -=，22124a b +=，∴1001242ab =-，∴12ab =，∴(9)(1)12x x +-=．【点拨】本题考查了完全平方公式的证明及应用；解题的关键是熟练掌握完全平方公式．【类型四】因式分解➽➼直接进行因式分解✮✮因式分解的应用7、因式分解．(1)2123mn n -;(2)228168a ab b -+【答案】(1)()34n m n -(2)28()a b -【分析】（1）利用提公因式进行分解，即可解答；（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答．解：（1）()223143mn n n m n =--；（2）228168a ab b -+228(2)a ab b =-+28()a b =-．【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．举一反三：【变式1】因式分解：(1)322363a a b ab -+．(2)2()16()a x y y x -+-【答案】(1)()23a a b -(2)()()()44x y a a -+-【分析】（1）提取公因式3a ，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）将()y x -变形为()x y --，提取公因式()x y -，再根据平方差公式分解因式．（1）解：原式()2232a a ab b =-+()23a a b =-；（2）解：原式()()216a x y x y =---()()216x y a =--()()()44x y a a =-+-【点拨】本题考查了综合提公因式与公式法分解因式，熟练掌握常用因式分解的方法是解题的关键．【变式2】我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：()()()()2222222424222x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=---+．②拆项法：例如：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x +-=++-=+-=+-++=-+．仿照以上方法分解因式：(1)22441x x y +-+；(2)268x x -+．【答案】(1)()()2121x y x y +++-(2)()()24x x --【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）将原式先变形为2268691x x x x -++-=-，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．（1）解：22441x x y +-+22441x x y =++-()2221x y =+-()()2121x y x y =+++-；（2）解：268x x -+2691x x =-+-()231x =--()()3131x x =-+--()()24x x =--．【点拨】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．8、利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：(1)因式分解：244x x -+=________．(2)填空：①当2x =-时，代数式244x x ++=_______；②当x =________时，代数式2690x x -+=．③代数式2820x x ++的最小值是________．(3)拓展与应用：求代数式226828a b a b +-++的最小值．【答案】(1)2(2)x -(2)①0②3③4(3)3【分析】（1）根据完全平方公式将原式进行因式分解即可；（2）①将2x =-代入求解即可；②解方程2690x x -+=，即可获得答案；③将代数式变形为2(4)4x ++，根据非负数的性质即可确定答案；（3）将代数式226828a b a b +-++变形为22(3)(4)3a b -+++，根据非负数的性质即可确定答案．（1）解：2244(2)x x x -+=-．故答案为：2(2)x -；（2）①当2x =-时，244x x -+2(2)4(2)4=--⨯-+0=；②∵2690x x -+=，∴2(3)0x -=，∴当3x =时，代数式2690x x -+=；③∵2820x x ++2(4)4x =++，又∵2(4)0x +≥，∴当4x =-时，代数式2820x x ++的最小值是4．故答案为：①0；②3；③4；（3）解：∵原式22698163a ab b =-+++++22(3)(4)3a b =-+++，又∵2(3)0a -≥，(4)0b +≥，∴原式3≥，代数式226828a b a b +-++的最小值是3．【点拨】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质等知识，解题关键是理解题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．举一反三：【变式1】仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m -+有一个因式是()3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()243x x m x x n -+=++则()22433x x m x n x n-+=+++∴343n m n+=-⎧⎨=⎩解得：7n =-，21m =-∴另一个因式为()7x -，m 的值为-21．问题：(1)已知二次三项式26x x a ++有一个因式是()5+x ，求另一个因式以及a 的值；(2)已知二次三项式26x x p --有一个因式是()23x +，求另一个因式以及p 的值．【答案】(1)另一个因式()1x +，a 的值为5(2)另一个因式为()35x -，p 的值为15【分析】（1）设另一个因式是()x b +，则()224=33x x m x x b b -++++，根据对应项的系数相等即可求得b 和k ．（2）设另一个因式是()3x m +，利用多项式的乘法法则展开，再根据对应项的系数相等即可求出m 和p ．（1）解：设另一个因式为()x b +()()265x x a x x b ++=++则()22655x x a x b x b++=+++∴565b b a+=⎧⎨=⎩解得：1b =，5a =另一个因式()1x +，a 的值为5（2）解：设另一个因式为()3x m +，得()()26323x x p x m x --=++，则()2266923x x p x m x m--=+++∴9213m m p+=-⎧⎨=-⎩解得：5m =-，15p =∴另一个因式为()35x -，p 的值为15．【点拨】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键．【变式2】（1）计算：20232022(2)(2)-+-；（2）一个长方形的长与宽分别为a ，b ，若该长方形的周长为14，面积为5，求2332363ab a b a b ++的值．【答案】（1）20222-；（2）105【分析】（1）逆用同底数幂的乘法公式进行运算即可；（2）根据长方形的周长为14，面积为5，得出()214a b +=，5ab =，然后对2332363ab a b a b ++进行分解因式，最后整体代入求值即可．解：（1）20232022(2)(2)-+-()()()20222022222=-⨯-+-20222022222=-⨯+()2022212=-+⨯20222=-；（2）∵长方形的周长为14，面积为5，∴()214a b +=，5ab =，即7a b +=，5ab =，2332363ab a b a b++()2232ab b ab a =++()2=+3ab a b=⨯⨯357=．105【点拨】本题主要考查了幂的运算，分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法，完全平方公式，注意整体代入思想的应用．。

因式分解复习课课件

常见的因式分解方法
公因式分解
将多项式分解为一个或多个共同的因子，然后提取出公因式。
差平方分解
将一个完全平方的差表示为两个不同的数的乘积。
分组分解
将多项式中的项进行分组，并找到各组之间的共同因子。
特殊因式分解的例子
1
立方差公式
2
用于分解完全立方差的特殊公式：
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
因式分解复习课ppt课件
欢迎来到因式分解复习课程！在本课程中，我们将深入探讨因式分解的基本概念、步骤以及常见的方法。我们还将研究特殊因式分解的一些例子，以及因式分解在实际生活中的应用。最后，我们将进行一些练习题，帮助您巩固所学。让我们开始吧！
因式分解的基本概念
1 什么是因式分解？
因式分解是将一个多项式分解为不可再分解的因子乘积的过程。
科学实验
在科学实验中，因式分解可以帮助我们更好地2 练习题二
分解多项式 $3x^2 + 6x + 3$
分解多项式 $x^3 - 8$
3 练习题三
分解多项式 $4x^2 - 25$
总结和复习提示
在本课程中，我们学习了因式分解的基本概念、步骤和常见方法。我们还研究了特殊因式分解的例子，并讨论了因式分解在实际生活中的应用。通过练习题，您可以巩固所学知识。继续练习和实践，因式分解将变得更加容易和自然。
2 为什么重要？
因式分解有助于简化算术和代数运算，并在解决数学问题时提供更清晰的视角。
3 基本术语
多项式：由系数和幂次方组成的表达式。因子：可整除一个多项式的表达式。
因式分解的步骤

湘教版九年级数学上册《因式分解法》知识全解

《因式分解法》知识全解课标要求能用因式分解法解一元二次方程.知识结构内容解析因式分解法⑴因式分解的理论依据是：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0。

反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0。

⑵因式分解法的概念：将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解的方法叫做因式分解法。

⑶用因式分解法解一元二次方程的步骤是：①将方程化为20ax bx c ++=(a ≠0) 的形式；②将方程的左边分解为两个一次因式的积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是方程的解。

注意：因式分解的方法有提公因式法、公式法，但是比较常用的方法是提公因式法。

重点难点重点在使学生掌握用因式分解法解一元二次方程，体会转化思想，并能熟练运用。

但是在教材理解和把握上，一方面，要使学生明确该方法的结构，解题步骤，体会转化思想，另一方面教师在教学该部分知识前，应该强化复习多项式因式分解的方法，化难为易，使不同学生都有收获。

再者，在例题讲解中，教师在讲解第一个例题后，可以由学生参与讲解相关例题，充分调动学生学习积极性，培养学生观察能力、分析问题与解决问题的能力。

难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程。

关键：通过相关题组的练习设置，让学生比较与分析解一元二次方程方法的多样性，切实感悟用因式分解法解方程的优越性，有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。

指导学生通过观察与演示，小组合作交流，总结因式分解规律，从而突破难点。

教法导引所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式。

如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零。

用因式分解法更为简单。

例如：x 2＋5x ＋6＝0，因式分解后（x ＋2）（x ＋3）＝0，得x ＋2＝0或x ＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解。

可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键。

(完整版)因式分解知识点归纳总结

因式分解知识点归纳总结概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

因式分解的方法：提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正(例如： -3x^2+x=-x(3x-1))分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

注意：把 2a^2+1/2 变成 2(a^2+1/4)不叫提公因式提公因式法基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

例如： -am+bm+cm=a(x-y)+b(y-x)=⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

因式分解单元分类总复习-2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

《因式分解》单元分类总复习考点一因式分解知识总结：1.因式分解与整式乘法的关系：互为逆运算（故：将因式分解的结果乘出来可以用来检验因式分解的正误）2.因式分解基本步骤：一“提”→提取公因式（公因式可以是单独数字、单独字母、数字与字母乘积类的单项式；也可以是一个整体的多项式；提公因式一定要一次提完）二“套”→套用乘法公式（两项想平方差公式、三项想完全平方公式）3.分解因式时，一定要按照步骤，先观察能否提取公因式，再考虑用公式法分解，对于结果，一定要进行检查，看是否已分解彻底【例题典析】1．（2021春•拱墅区校级期中）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．x3﹣xy2＝x（x﹣y）2B．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2C．x2+4x﹣4＝x（x+4）﹣4D．4x2+2xy+y2＝（2x+y）2【分析】根据因式分解的概念进行逐项分析解答即可．（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）【解答】解：A、x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），是因式分解不完全，故这个选项不符合题意；B、﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，是因式分解，故这个选项符合题意；C、结果不是整式的积的形式，不是因式分解，故这个选项不符合题意；D、4x2+4xy+y2＝（2x+y）2，左右两边不相等，所以因式分解错误，故这个选项不符合题意．故选：B．2．（2021春•罗湖区校级期末）下列各式从左到右因式分解正确的是（）A．2x﹣6y+2＝2（x﹣3y）B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．x2﹣4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案．【解答】解：A、2x﹣6y+2＝2（x﹣3y+1），故原式分解因式错误，不合题意；B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故原式分解因式错误，不合题意；C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故原式分解因式错误，不合题意；D、x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），正确．故选：D．3．（2020春•绍兴期中）下列多项式可以用平方差公式进行因式分解的有（）①﹣a2+b2；②x2+x+；③x2﹣4y2；④（﹣m）2﹣（﹣n）2；⑤﹣121a2+36b2；⑥﹣s2+2s．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】直接利用平方差公式分别分解因式得出答案．【解答】解：①﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a），可以用平方差公式进行因式分解；②x2+x+＝（x+）2，不可以用平方差公式进行因式分解；③x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），可以用平方差公式进行因式分解；④（﹣m）2﹣（﹣n）2＝（m+n）（m﹣n），可以用平方差公式进行因式分解；⑤﹣121a2+36b2＝（6b﹣11a）（6b+11a），可以用平方差公式进行因式分解；⑥﹣s2+2s＝﹣s（s﹣4），不可以用平方差公式进行因式分解；故选：C．4．下列多项式能分解因式的是（）A．﹣m2﹣n2B．m2+2m+1C．m2﹣m+D．m2﹣n【分析】根据因式分解的方法逐个判断即可．【解答】解：A．不能分解因式，故本选项不符合题意；B．能用完全平方公式分解因式，故本选项符合题意；C．不能分解因式，故本选项不符合题意；D．不能分解因式，故本选项不符合题意；故选：B．5．（2021秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2 C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1【分析】根据提公因式法，公式法进行分解即可判断．【解答】解：A．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故A不符合题意；B．﹣a2﹣b2在有理数范围不能进行因式分解，故B符合题意；C．a3﹣3a2+2a＝a（a﹣1）（a﹣2），故C不符合题意；D．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D不符合题意；故选：B．6．（2021秋•黄石港区期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．【解答】解：∵左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a ﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．7．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1B．a2+a C．（a﹣1）2﹣a+1D．（a+2）2﹣2（a+2）+1【分析】根据因式分解的意义求解即可．【解答】解：A、原式＝（a+1）（a﹣1），故A不符合题意；B、原式＝a（a+1），故B不符合题意；C、原式＝（a﹣1）（a﹣1﹣1）＝（a﹣2）（a﹣1），故C符合题意；D、原式＝（a+1）2，故D不符合题意；故选：C．8．（2021春•拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【分析】（1）运用平方差公式进行因式分解．（2）先提公因式，再运用完全平方公式．（3）先运用平方差公式，再提公因式．（4）运用十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底．【解答】解：（1）﹣a2+1＝（1+a）（1﹣a）．（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2．（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2＝[2（x+2y）+5（x﹣y）][2（x+2y）﹣5（x﹣y）]＝（2x+4y+5x﹣5y）（2x+4y﹣5x+5y）＝（7x﹣y）（﹣3x+9y）＝﹣3（7x﹣y）（x﹣3y）．（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．9．（2021春•长清区期末）因式分解：（1）mx2﹣my2；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．【分析】（1）直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（a﹣b），进而分解因式即可．【解答】解：（1）mx2﹣my2＝m（x2﹣y2）＝m（x+y）（x﹣y）；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）．10．（2021春•北仑区期中）分解因式：（1）4x2﹣；（2）3a﹣6a2+3a3．【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）4x2﹣＝（2x﹣）（2x+）；（2）3a﹣6a2+3a3＝3a（1﹣2a+a2）＝3a（1﹣a）2．考点二因式分解方法拓展知识总结：分组分解因式：当多项式有四项及以上时常需要分组。

学生版《因式分解》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《因式分解》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 理解因式分解的意义，了解分解因式与整式乘法的关系；2．掌握提公因式法分解因式，理解添括号法则；3. 会用公式法分解因式；4. 综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、添括号的法则括号前面是“﹢”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号. 要点四、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点五、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点六、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、分解因式：(1)222284a bc ac abc +-；(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-．２、利用分解因式证明：712255-能被120整除．类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：()()()222244x y x y x y ++---，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．举一反三：【变式】下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=原式＝()()264y y +++（第一步）＝2816y y ++（第二步）＝()24y +（第三步）＝22(44)x x -+（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）．A 、提取公因式B ．平方差公式C 、两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x xx x --++进行因式分解．4、计算：(1－212)(1－213)(1－214)…(1－212004)(1－212005)举一反三：【变式】设22131a =-，22253a =-，…，()()222121n a n n =+--（n 为大于0的自然数）．（1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出1a ，2a ，…，n a ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数（不必说明理由）．类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式5、分解因式：（1）()()222222x x ---- （2）()2224420x x x x +--- （3）2244634a ab b a b -+-+-举一反三：【变式】下列何者是765228321x x x -+的因式？（）A ．2x ＋3B ．2(117)x x -C ．()5113x x -D ．()627x x +6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x 厘米、y 厘米，且322344x x y xy y +--＝0，求长方形的面积．举一反三：【变式】因式分解：221448x y xy --+，正确的分组是（）A ．22(14)(84)x xy y -+-B ．22(144)8x y xy --+C ．22(18)(44)xy x y +-+ D ．221(448)x y xy -+-【巩固练习】一.选择题1. 下列式子变形是因式分解的是（）A ．()25656x x x x -+=-+B ．()()25623x x x x -+=--C ．()()22356x x x x --=-+D ．()()25623x x x x -+=++2. 已知：△ABC 的三边长分别为a b c 、、，那么代数式2222b c ac a -+-的值（）A.大于零B.等于零C.小于零 D 不能确定3．已知31216x x -+有一个因式是4x +，把它分解因式后应当是（）A ．2(4)(2)x x +-B ．2(4)(1)x x x +++C ．2(4)(2)x x ++D ．2(4)(1)x x x +-+4．若()()2x a x b x px q ++=++，且0p >，0q <，那么a b ，必须满足条件( )．A.a b ，都是正数B. a b ，异号，且正数的绝对值较大C.a b ，都是负数D. a b ，异号，且负数的绝对值较大 5. 下列因式分解错误的是（）A ．()()22x y x y x y -=+-B ．()22693x x x ++=+ C ．()2x xy x x y +=+ D ．()222x y x y +=+6．将下述多项式分解后，有相同因式1x -的多项式有 ( )①； ②； ③； ④；⑤； ⑥ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个7. 已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解成()()8ax b x c ++，其中,,a b c 均为整数，则a b c ++=（）A ．－12B ．－32C ．38D ．728. 将3223x x y xy y --+分组分解，下列的分组方法不恰当的是（）A. 3223()()x x y xy y -+-+B. 3223()()x xy x y y -+-+C. 3322()()x y x y xy ++--D. 3223()x x y xy y --+二.填空题9. ()()2154304x y x y +-+＝_________，其中x ＝2，y ＝－2．10. 分解因式：()()229a b a b +--＝_____________.11.已知2226100m m n n ++-+=，则mn ＝．12.分解因式：()()223a a a +-+＝__________.13．若32213x x x k --+有一个因式为21x +，则k 的值应当是_________.14.把多项式22ac bc a b -+-分解因式的结果是__________.15.已知5,3a b ab +==，则32232a b a b ab -+＝．16.分解因式：（1）4254x x -+＝________；（2）3322a m a m am +--＝________. 三.解答题17.求证：791381279--能被45整除．18. 把下列各式分解因式：（1）349x x - （2）()228x x -+-．19.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：________.（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出22252a ab b ++因式分解的结果，画出你的拼图．20.下面是某同学对多项式()()642422+-+-x x x x ＋4进行因式分解的过程：解：设y x x =-42原式＝()()264y y +++ （第一步）＝2816y y ++ （第二步）＝()24+y （第三步）＝()2244+-x x （第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）A ．提取公因式 B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()122222++--x x x x 进行因式分解.。

《因式分解》复习

下课了!
复习课
永定二中姜兰伟
（一）分解因式的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式。也叫做因式分解。
即：一个多项式 →几个整式的积注：必须分解到每个多项式因式不能再分解为止
（二）分解因式的方法：
（1）、提取公因式法（2）、运用公式法（3）、十字相乘法
（1）、提公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
例题：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2 ②p（y-x）-q（x-y） ③ (x-y)2-y(y-x)2
（2）运用公式法：
运用公式法中主要使用的公式有如下几个：平方差公式：完全平方公式：
（2）运用公式法：
例题：把下列各式分解因式
① x2－4y2 ② 9x2-6x+1
⑶十字相乘法
公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
1
p
1
q
⑶十字相乘法
例题：把下列各式分解因式
① X2-5x+6 ② a2-a-2
例题：把下列各式分解因式：
((12))4１xx22-+1x6yy+2 １ y2.
２
２
⑶ -x3y3-2x2y2-xy
(4)81a4-b4
因式分解的步骤
一提 ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。
二套
② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用

《因式分解》全章复习与巩固(提高)知识讲解

专题4-11 《因式分解》全章复习与巩固(知识讲解)-七年级数学下册(浙教版)

最新八年级上册数学第14章复习知识点：因式分解

因式分解知识点归纳

因式分解总复习课件

因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解专题复习及讲解(很详细)

初中八年级数学上册第一章《因式分解》复习与巩固教案教学设计

因式分解知识要点

整式乘法与因式分解(全章复习与巩固)(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)

因式分解复习课课件

湘教版九年级数学上册《因式分解法 》知识全解

(完整版)因式分解知识点归纳总结

因式分解单元分类总复习-2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

学生版《因式分解》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《因式分解》复习

湘教版九年级数学上册《因式分解法》知识全解